MODELAGEM MATEMÁTICA COMO ESTRATÉGIA DE ENSINO E
APRENDIZAGEM: POSSIBILIDADE PARA UMA EDUCAÇÃO MAIS SIGNIFICATIVA
Adriana Helena Borssoi
Universidade Estadual de Londrina – UEL
[email protected]
Resumo
No contexto do ensino da Matemática, entendemos que a aprendizagem deve estar
vinculada a ações que caracterizam o “fazer matemática”, oportunizando ao aluno
experimentar, modelar, analisar situações e desenvolver um espírito crítico a respeito
das soluções encontradas. Desse modo, o ensino deve se dar ao sujeito, em
ambientes nos quais a aprendizagem aconteça de forma significativa, considerando a
dimensão do desenvolvimento científico e tecnológico. Neste sentido, temos nos
ocupado em investigar em que aspectos a Modelagem Matemática como estratégia de
ensino e a aprendizagem pode ser uma facilitadora da Aprendizagem Significativa.
Fundamentados nos pressupostos teóricos da Modelagem Matemática na perspectiva
da Educação Matemática e na Teoria da Aprendizagem Significativa, estabelecemos
algumas relações que podem contribuir com a prática docente no que diz respeito à
organização de uma proposta de ensino e aprendizagem viável para ser implementada
em cursos regulares. Abordamos nesta oportunidade uma atividade de aprendizagem
desenvolvida por um grupo de alunos de um curso de Química desenvolvida no
decorrer do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias no qual a Modelagem
Matemática foi a estratégia de ensino e aprendizagem enfatizada.
Palavras-chave: Modelagem Matemática; Aprendizagem Significativa; Atividades de
Aprendizagem.
1 Introdução
A reflexão sobre a prática é reconhecida como uma importante condição
para o aprimoramento da autonomia profissional. Esta é uma questão crucial para o
profissional da educação que considera as recomendações atuais que visa a formação
do estudante para a cidadania. De acordo com Fiorentini (1995), a construção do
ideário pedagógico é uma construção idiossincrática e deve se dar a partir
pressupostos teóricos e de sua reflexão sobre a prática.
O comprometimento com as tais recomendações para uma educação de
fato significativa, que produza o efeito desejado, requer do professor disposição para
uma busca constante pelo aprimoramento profissional. Deste modo a busca pode se
iniciar por conhecer as diversas possibilidades alternativas para a ação em sala de
aula.
2
Para Perez (1999),
Uma sala de aula como a que propomos exige que o professor
tenha uma fundamentação teórica que lhe dê condições de
compreender as razões para a utilização das diversas
metodologias, em especial aquelas que envolvem os alunos em
atividades abertas, e capacidade de usar efetivamente uma
variedade de estratégias de acordo com os objetivos e tendo em
conta a idade, a capacidade e as necessidades dos alunos.
Uma busca pessoal por alternativas que possam oportunizar atividades
de aprendizagem que conduzam a uma aprendizagem significativa dos estudantes é
crucial e desejável. Assim, algumas questões relacionadas com o ensino e com a
aprendizagem em ambiente escolar devem ser consideradas.
A aprendizagem da Matemática efetivamente acontece quando o
estudante consegue atribuir significado sobre os conceitos ou idéias matemáticas e
passa a usar e compartilhar esses significados.
Neste sentido, vimos apresentar uma possibilidade que nos parece estar
na direção oportuna para efetivar um ambiente de sala de aula de forma comprometida
com uma formação cidadã, no qual o estudante é levado a estabelecer relações,
justificar, analisar, discutir e criar a partir das atividades de aprendizagem propostas.
Estaremos
considerando
neste
texto
dois
pressupostos
teóricos:
Aprendizagem Significativa e Modelagem Matemática. Entendemos que aproximação
entre ambos pode proporcionar ao professor uma oportunidade que pode favorecer sua
prática docente.
2 Aprendizagem Significativa
Para Ausubel et al. (1980), uma educação capaz de promove uma
Aprendizagem Significativa deve considerar o processo de construção de significados
como elemento central do processo de ensino e aprendizagem. Aliadas a esta
condição devem ser consideradas três condições básicas para que o ensino conduza a
uma Aprendizagem Significativa: a) O material organizado para o ensino deve ser
potencialmente significativo; b) A estrutura cognitiva do aluno deve dispor de
3
conhecimentos prévios que permitam o relacionamento do que o aluno já sabe com os
conhecimentos novos; c) O aluno deve apresentar uma predisposição positiva para
aprender de maneira significativa, ou seja, para relacionar o conhecimento que já tem
com o que deve aprender.
O professor tem uma função crucial nesse processo e deve adotar
procedimentos que permita estabelecer um ambiente propício à Aprendizagem
Significativa. Moreira (1999) orienta que se faça uma análise conceitual do conteúdo a
fim de identificar conceitos e procedimentos básicos, para neles concentrar o empenho
na organização do material com as atividades de aprendizagem. Segundo ele, outra
recomendação é buscar a melhor maneira de relacionar, explicitamente, os aspectos
mais importantes do conteúdo a ser desenvolvido, aos aspectos especificamente
relevantes da estrutura cognitiva do aluno. Posteriormente, o professor deve ordenar
esses conceitos em uma seqüência decrescente e cíclica, de forma que, enquanto
alguns conceitos sejam apresentados outros possam ser revisados.
O produto da Aprendizagem Significativa é a aquisição de significados, o
que pode ser constatado pela ocorrência de uma compreensão legítima, que requer a
posse de significados claros, precisos diferenciados e transferíveis (MOREIRA, 1999).
Por isso, no processo de aprendizagem significativa de uma nova concepção o
estudante aprende a distinguir os significados compartilhados, aceitos em um certo
contexto, daqueles que são considerados errôneos nesse contexto. Para Moreira, é
importante que na avaliação da Aprendizagem Significativa busquemos evidências de
que o aluno, cada vez mais, usa os significados compartilhados no contexto da matéria
de ensino.
Para Ausubel a medida e a avaliação são centrais no conceito de
aprendizagem na sala de aula, segundo ele os dados obtidos com a avaliação devem
ajudar o estudante a fim de situá-lo no processo, mostrando-lhe seu nível de
desenvolvimento e ainda devem fornecer recursos ao professor para que, além de
avaliar o estudante, avalie também o material e os métodos adotados. A sugestão
proposta por Ausubel, para evitar a “simulação da Aprendizagem Significativa” é utilizar
questões e problemas formulados de maneira diferente e não familiar, exigindo a
máxima transformação do conhecimento adquirido pelo aluno. Este é um meio pelo
qual é possível perceber se o aluno usa os significados compartilhados no contexto da
matéria de ensino.
4
Deste modo, Novak & Gowin (1988), acreditam que em um evento
educacional um ser humano (estudante) adquire um conhecimento em um certo
contexto, interagindo com um professor (ou algo que o substitua); a avaliação também
se inclui no evento porque muito do que acontece no processo ensino-aprendizagemconhecimento-contexto, depende da avaliação, ou, como coloca Novak, “muito do que
acontece na vida das pessoas depende também da avaliação”. Levando em
consideração estes cinco elementos, Novak propõe como fundamental em sua teoria a
idéia de que todo evento educativo implica em ação para trocar significados entre
professor e aluno, cujo objetivo é a Aprendizagem Significativa de um novo
conhecimento contextualmente aceito. Para novak & Gowin (1988), as boas
experiências educativas deveriam ajudar a controlar o significado de maneira a levar
tanto a um esforço como a uma satisfação humana apropriados.
Cabe ao professor investir esforços para constituir uma proposta de
ensino que possa favorecer a ocorrência desta aprendizagem. Nesse intuito, é
apropriado escolher estratégias de ensino e aprendizagem potenciais. Abordaremos
aqui uma possibilidade, a Modelagem Matemática, que de acordo com o ideário
pedagógico do professor pode ser adequada.
3 Modelagem Matemática como estratégia de Ensino e Aprendizagem
A Modelagem Matemática, hoje uma tendência da Educação Matemática,
tem suas raízes no método científico amplamente utilizado pelos profissionais da
Matemática Aplicada. Uma transposição para os propósitos do ensino tem se mostrado
um valioso recurso para o processo de ensino e aprendizagem escolar.
Na Educação Matemática a Modelagem Matemática pode assumir
diferentes perspectivas, dentre as quais pode ser considerada como uma estratégia de
ensino e aprendizagem em sala de aula. Esta tem sido fortemente recomendada por
pesquisadores como Bassanezi (2002), D’Ambrósio (2002), Blum & Niss (2001),
Almeida (2002) entre outros. Adotamos esta perspectiva por reconhecermos que o uso
da Modelagem Matemática em um ambiente de ensino e aprendizagem traz a
possibilidade de desenvolver nos estudantes participantes do processo, inúmeros
aspectos importantes que podem contribuir para sua melhor formação.
5
É desejável que durante a modelagem, ocorra a aprendizagem de
conceitos e técnicas do conteúdo que está sendo estudado. Assim o objeto de estudo
pode contribuir como agente motivador da aprendizagem e dar suporte para a
ocorrência da mesma. Neste sentido, encontramos em D’Ambrósio (1986), um forte
argumento, que vem corroborar esta expectativa:
[...] o ponto de vista que me parece de fundamental importância e
que representa o verdadeiro espírito da Matemática é a
capacidade
de
modelar
situações
reais,
codificá-las
adequadamente, de maneira a permitir a utilização das técnicas e
resultados conhecidos em um outro contexto, novo. Isto é, a
transferência de aprendizado resultante de uma certa situação
para a situação nova é um ponto crucial do que se poderia
chamar aprendizado da Matemática, e talvez o objetivo maior do
seu ensino (p.44).
As justificativas para utilização da Modelagem Matemática como
estratégia de ensino e aprendizagem podem ser encontradas nas produções de
diversos autores. Tais justificativas aparecem não apenas relacionadas à aplicabilidade
da Matemática ou no intuito de que os conteúdos sejam trabalhados de forma mais
significativa matematicamente, mas também em um sentido mais amplo, considerando
aspectos extramatemáticos, como desenvolver, por meio das atividades de
modelagem, o conhecimento reflexivo e o engrandecimento humano.
Há indicativos de que a aquisição do conhecimento se dá a partir de fatos
da realidade, assim, entendemos que a Modelagem Matemática em sala de aula
viabiliza a interação da matemática escolar com aquela presente fora do ambiente da
sala de aula. Segundo Niss (1992), para que o aluno saia da posição passiva, onde
apenas recebe informações, e se torne um sujeito ativo e participante, é necessário
que ele se envolva no desenvolvimento de todo o processo de modelagem, não apenas
das etapas em que a ênfase são os aspectos puramente matemáticos.
As atividades de modelagem podem, de acordo com Bassanezi (2002),
levar o estudante a compreender melhor os argumentos matemáticos, incorporar
conceitos e resultados de modo mais significativo, e ao mesmo tempo criar
predisposição para aprender matemática porque de alguma forma o estudante passa a
compreendê-la e valorizá-la.
Neste sentido, ressaltamos que, no que diz respeito ao fator motivação
dos estudantes, melhores resultados podem ser esperados se as atividades de
6
modelagem estiverem relacionadas com a área de interesse dos estudantes, ou seja,
que a realidade de onde o problema emerge não seja qualquer, mas sim a realidade na
qual eles estejam inseridos (BORSSOI, 2004).
4 Aproximações entre Aprendizagem Significativa e Modelagem Matemática
Reconhecemos a existência de uma série de possibilidades de organizar
atividades de aprendizagem com características que favoreçam a ocorrência da
Aprendizagem Significativa aos estudantes. Ao nosso ver a Modelagem Matemática é
especialmente oportuna para esse fim, pois é possível perceber muitas aproximações
entre estes dois pressupostos teóricos. Citamos especialmente a similaridade das
características das atividades de aprendizagem sugeridas na teoria de Ausubel para
promover a Aprendizagem Significativa e aquelas que emergem das atividades de
modelagem.
A fim de perceber se a aprendizagem dos estudantes caracteriza uma
aprendizagem significativa quando as atividades de aprendizagem ocorrem em um
ambiente de Modelagem Matemática, consideramos um conjunto de aspectos que
consideramos como indicativos de Aprendizagem Significativa, portanto devem ser
considerados durante a avaliação da aprendizagem. Estes aspectos a que nos
referimos são caracterizados e discutidos por nós em BORSSOI (2004) e BORSSOI &
ALMEIDA (2003).
Dividimos estes aspectos em dois grupos, um dos quais compreende os
aspectos motivacionais composto por: envolvimento nas atividades, elaboração de
estratégias própria e aprendizagem extraconteúdo e o outro compreende os aspectos
cognitivos composto por: compreensão conceitual, construção e manipulação de
representações múltiplas, aplicação do conhecimento a situações novas e, retenção do
conhecimento por longo tempo.
Estes aspectos foram levantados considerando principalmente as
condições básicas para a Aprendizagem Significativa mencionados no item 2 deste
texto e nas características da Modelagem Matemática em situações de ensino.
Mencionamos que estes aspectos devem ser considerados durante a
avaliação da aprendizagem, mais especificamente sugerimos que a verificação da
ocorrência ou não destes aspectos podem levar o professor a concluir se houve ou não
7
a Aprendizagem Significativa no estudante. Desta forma, a avaliação é um elemento ao
qual o professor deve dar grande importância ao organizar o ensino. Os instrumentos
de avaliação convencionais como as provas devem receber outros aliados de modo
que sejam suficientes e eficazes para na evidenciar os aspectos motivacionais e
cognitivos aludidos.
Em seguida mencionamos brevemente a proposta na perspectiva que
vimos explorando até aqui e como ilustração descrevemos uma das atividades de
aprendizagem indicadas.
5 Delineamento de uma Proposta
Neste trabalho nos referimos a uma proposta de ensino organizada de
forma a contemplar características requeridas para a ocorrência da Aprendizagem
Significativa dos estudantes. A mesma foi desenvolvida em 2003, na Universidade
Estadual de Londrina, com uma turma regular da segunda série do um curso de
bacharelado em Química na disciplina de Cálculo e Geometria Analítica.
Na elaboração da proposta de ensino levamos em conta as várias
possibilidades propostas por Blum & Niss (apud Carreira, 1993) de integrar a
Modelagem Matemática no currículo e nos identificamos com alternativa da
combinação. Esta alternativa sugere que as atividades de modelagem ora sejam
usadas na introdução de conceitos matemáticos novos, ora para a aplicação dos
conceitos e métodos estudados. Assim, várias atividades de modelagem permearam as
aulas durante o estudo do conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias. Estas eram
atividades compartilhadas, em que a professora conjuntamente com os alunos
distribuídos em grupos as desenvolviam.
No decorrer do estudo, uma das atividades de aprendizagem propostas
aos estudantes foi que conduzissem, distribuídos em equipes, uma atividade de
modelagem que abordasse as equações diferenciais, da forma mais independente
possível da professora. Apesar de contarem com um horário de orientação aos
trabalhos, deveriam ser autônomos para escolher o tema que tivessem interesse em
estudar, definir o problema a investigar e adotar as estratégias necessárias para
obtenção de dados, definição de hipóteses e para formulação, resolução e validação do
modelo matemático.
8
Os trabalhos desenvolvidos, em sua maioria, estavam diretamente
relacionados com a área de estudo e pesquisa dos alunos, a Química. É possível
evidenciar esta afirmação observando os títulos dos trabalhos, os quais foram
apresentados em seminários ao final do período de estudo: GT A - Análise da Matéria
Orgânica de água de rio; GT B - Efeito da temperatura na solubilidade do Nitrato de
Potássio em água; GT C - Farmacocinética Química; GT D - Estudo da variação da
Turbidez no tratamento de água da Sanepar; GT E - Estudo da obesidade como fator
de risco da Diabetes tipo 2; GT F - Crescimento de Orquídea; GT G - Caracterização
de Cálcio nas águas do rio Limoeiro e GT H - Estudo da cinética de oxidação do ácido
Málico por Vanádio em meio de ácido Sulfúrico.
Abordaremos brevemente o trabalho desenvolvido pela equipe GT B, a
fim de evidenciar elementos que consideramos relevantes quanto às relações entre
Aprendizagem Significativa e a atividade de Modelagem Matemática. Esta equipe foi
entrevistada pela professora após a conclusão do trabalho, deste modo, algumas
informações foram fornecidas na entrevista, outras por meio do trabalho escrito e
outras constam na ficha de acompanhamento, instrumento formulado pela professora
para registrar a evolução do trabalho de cada equipe.
O trabalho cujo título é “Efeito da temperatura na solubilidade do Nitrato
de Potássio em Água” foi elaborado pelos alunos, aos quais denominaremos, B1, B2,
B3 e B4.
Para esse trabalho a equipe realizou experimentos de laboratório para
obtenção de dados que permitissem estudar, em termos matemáticos, o efeito da
temperatura na solubilidade do nitrato de potássio (KNO 3 ) em água. Os dados obtidos
pela equipe são mostrados nas duas primeiras colunas da Tabela 1.
Segundo a equipe, o experimento do grupo foi motivado e fundamentado
em estudos realizados durante as aulas de Química Geral Experimental no ano
anterior. Para eles o diferencial neste trabalho é a possibilidade de trabalhar com a
ferramenta matemática e determinar por meio desta um modelo que permite ler a
variação da solubilidade em qualquer tempo.
Por meio da analise da curva de tendência dos dados e do conhecimento
teórico a respeito do assunto a equipe levantou duas hipóteses: i) a taxa de
solubilidade do sal (KNO 3 ) é proporcional à sua concentração, presente na solução
aquosa em cada temperatura T; e, ii) o sal é solubilizado completamente, ou seja, não
há corpo de fundo.
9
A equação diferencial
dS
= kS (T ) de variáveis separáveis é de simples
dT
solução e se mostrou adequada para o problema.
Para a determinação dos
parâmetros o grupo linearizou a expressão exponencial S (T ) = M .e kT e fez questão de
comparar a regressão linear obtida pelo ajuste de curvas do Excel com os resultados
calculados pelo método dos Mínimos Quadrados.
Os
valores
fornecidos
pelo
S (T ) = 1, 09686.e0,0257T ,
modelo
comparativamente com os dados experimentais estão na Tabela 1, onde podemos
observar uma boa aproximação entre ambos, pois a margem de erro é muito pequena.
Solubilidade
Modelo 1
10
Temperatura (ºC)
Tabela 1: Evolução de Solubilidade de
Nitrato de
Potássio
Solubilida
Temp
de
Modelo Erro
(°C)
(g/5mL
S(T)
(%)
H 2 O)
1,1547
02
1,10
-4,97
1
1,6127
15
1,51
-6,80
7
2,0853
25
2,01
-3,75
8
2,3111
29
2,48
6,80
6
2,8387
37
3,02
6,00
2
3,5774
46
3,50
-2,21
5
4,7462
57
4,82
1,53
3
6,2968
68
6,12
-2,90
6
6,6289
70
6,90
3,92
8
7,9355
77
7,80
-1,74
4
9,0236
82
8,75
-3,13
7
8
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
Solubilidade (g/5mL H2O)
Figura 1: Gráfico comparativo dos dados
reais e modelo
A equipe considerou que o modelo pode ser usado com confiabilidade
para explicar, prever, projetar e decidir sobre o fenômeno em estudo. Segundo os
alunos, através do modelo pode-se decidir a quantidade de sal que irá solubilizar em
determinada temperatura (levando em consideração o volume de água) na realização
10
de um experimento. Quando a finalidade é estudar a solubilidade do sal no meio
ambiente pede-se verificar se está em quantidade adequada para servir como
fertilizante. Outra possibilidade é de identificar se as águas de determinada região
estão com excesso de nitrato (NO 3 ), neste caso podem acarretar conseqüências à
saúde, algumas das quais foi discutida pela turma ao final da apresentação.
No decorrer dos trabalhos, em algumas situações as estratégias adotadas
pela equipe conduziam ao insucesso e precisavam ser repensadas. Nestas situações
os alunos recorriam à orientação das professoras que os auxiliavam a pensar em
alternativas mais adequadas, ou procuravam meios alternativos.
6 Considerações
Acreditamos que as características que emergem em um ambiente de
Modelagem Matemática oportunizam a evidenciar os aspectos que consideramos
indicativos de Aprendizagem Significativa, aos quais nos referimos no item 4.
A atividade de aprendizagem realizada pela equipe GT B nos permite
algumas considerações neste sentido.
Um dos objetivos da disciplina de Cálculo e Geometria Analítica, de
acordo com o Programa da Disciplina (2003) é desenvolver no estudante um
conhecimento reflexivo e crítico acerca da solução de problemas que envolvem os
conteúdos de Cálculo. Entendemos que este objetivo fica devidamente contemplado
quando as atividades de aprendizagem são propostas visando uma aprendizagem
significativa, em especial em um ambiente de modelagem.
Percebemos por meio das afirmações dos estudantes e pela conduta dos
mesmos em relação ao desenvolvimento do trabalho que tanto os aspectos
motivacionais como os aspectos cognitivos foram evidenciados. Neste texto faremos
algumas considerações em relação aos primeiros, porém uma discussão mais
minuciosa pode ser encontrada em (BORSSOI, 2004).
Os aspectos motivacionais podem ser ativados quando os estudantes são
postos em contato com situações do contexto real, oportunizada pela atividade de
Modelagem Matemática, que estimula o envolvimento e a participação ativa dos
mesmos.
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O grupo precisa decidir que problema estudar, como obter dados e
informações para o trabalho e principalmente durante o desenvolvimento da
modelagem quando, de posse das informações, precisa decidir como usá-las. Assim,
deparam com a necessidade de adotar estratégias próprias. De acordo com Ausubel et
al. (1980), a elaboração de estratégias próprias, especialmente em situações de ensino
que colocam o aluno em contato com um contexto real, pode denotar se o
conhecimento está sendo construído de forma significativa.
O enfrentamento que inevitavelmente os alunos têm com os problemas
da realidade e a aproximação dos problemas que estão fora da sala de aula com os
conteúdos estudados os levam a repensar seus papéis enquanto alunos e suas
responsabilidades com a própria aprendizagem. Para Bassanezi (2002) é necessário
ver o estudante como um participante ativo do desenvolvimento do conteúdo e
considera o fato de os alunos escolherem o tema de seu trabalho de grande
importância, pois faz com que se sintam responsáveis pelo próprio aprendizado.
Neste sentido tocamos no aspecto de aprendizagem extraconteúdo, que
envolve também aprendizagem de atitudes, valores, e construção de conhecimentos
não essencialmente relacionados com a matemática do problema estudado, mas que
são essenciais para o entendimento da situação em estudo. Os alunos reconheceram
que, entre outras coisas, aprenderam bastante sobre a própria Química ao
investigarem os conhecimentos envolvidos em seus problemas. E atribuíram um valor
expressivo à oportunidade de trabalhar em ambiente informatizado durante as aulas,
ao mesmo tempo em que trabalhavam com a modelagem.
Quanto a motivação para a aprendizagem sabemos que é uma atribuição
idiossincrática e que nem todos reagem da mesma forma a uma atividade de
aprendizagem, de modo que, o que é altamente estimulante para um estudante pode
passar despercebido por outro. Porém, a experiência com o desenvolvimento desta
proposta de ensino e aprendizagem nos mostrou que os estudantes, em geral, se
mostram estimulados com as atividades.
As atividades de aprendizagem compartilhadas como o trabalho com
modelagem proporciona uma atmosfera muito propícia para a troca de significados,
fato reconhecido tanto por professores quanto por alunos. Assim, as atividades
compartilhadas podem contribuir com a aprendizagem de cada participante de forma
diferenciada, mas têm uma importante função social de promover um espaço para
discussões e troca de significados.
12
Nosso intento com a estruturação de uma proposta que considera a
Modelagem matemática como uma estratégia se fundamentou na possibilidade de
oferecer ao estudante condições para alcançar a Aprendizagem Significativa. Pudemos
perceber indícios de que nossa opção é facilitadora dessa aprendizagem, pois as
atividades de aprendizagem em ambiente de modelagem permitem emergir uma
grande quantidade de conceitos matemáticos e extramatemáticos que proporcionam
interações favoráveis à aprendizagem, mostrando-se bastante adequadas.
Conforme destacamos inicialmente, a promoção de uma educação de
fato significativa está muito relacionada com a disposição do professor para uma busca
constante pelo aprimoramento de sua prática.
Uma proposta de ensino que considera a Modelagem Matemática pode
ser viabilizada em sala de aula de cursos regulares, porém, o que mencionamos neste
texto é uma possibilidade dentre tantas outras que podem ser idealizadas a partir da
busca de cada profissional.
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13
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