2.o Teste - SMA0333 Cálculo III - 10.04.2014
Prof. Sérgio H. Monari Soares
Nome:
Número USP:
Nas seguintes questões marque a alternativa correta.
a
1. Questão
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
∞
X
1
√
A série
n
n=1
converge pelo critério da razão
diverge pelo critério da razão
P
converge pelo critério da comparação com o termo da série ∞
n=1
converge pelo critério da integral
diverge pelo critério da integral
a
2. Questão
Para quais valores de x a série
∞
X
(x − 2)n
n=1
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2n
é convergente?
x ∈ (−0, 1)
x ∈ (0, 4)
x ∈ (−∞, ∞)
x ∈ (−1, 1)
x ∈ (−2, 2)
∞
X
(xn
√ é convergente?
2. Questão BIS Para quais valores de x a série
n
n=1
a
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
a
x ∈ (−∞, ∞)
x ∈ [−1, 1[
x ∈] − 1, 1[
x ∈] − 2, 2[
x ∈]0, 1[
3. Questão
A série
∞
X
n=1
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(−1)n
10n n2
n!
converge absolutamente
converge condicionalmente
diverge pelo critério da comparação
diverge pelo critério da razão
diverge pelo critério da raiz
1
n
2
4.a Questão
Quais das seguintes séries convergem?
∞
X
3n
I.
(−1)
n2n
n=1
n
II.
∞
X
10n
n=1
n!
III.
∞
X
n8
n=1
4n
(a) I only (b) II only (c) III only (d) I and II only (e) II and III only
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Somente
Somente
Somente
Somente
Somente
a
5. Questão
I
II
III
I e II
II e III
Dada a série
∞
X
2n + 1
. Qual dos seguintes resultados é bemn2
sucedido na determinação da da convergência ou divergência desta série?
∞
X
1
(a) Comparação com a série
n2
n=1
∞
X
1
(b) Comparação com a série
n
n=1
(c) O critério da integral
(d) O critério da divergência
(e) O critério da razão
n=1
6.a Questão Dizemos que uma sequência (an ) converge para l ∈ R quando n
tende para infinito, isto é, lim an = l, se e somente se,
n→∞
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Dado ε > 0, existe N > 0 tal que se n < N temos |an − l| < ε.
Dado ε > 0, existe N > 0 tal que se n > N temos |an − l| < ε.
Dado ε > 0, existe N > 0 tal que se n ≥ l temos |an − l| < ε.
Existe ε > 0, tal que para todo N > 0, se n > N temos |an − l| < ε.
n.d.a
7.a Questão
Considere as seguintes afirmações:
(i) Toda sequência monótona é convergente;
(ii) Toda sequência decrescente e limitada converge para zero;
(iii) Toda sequência monótona e limitada converge.
É correto afirmar que:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(i), (ii) e (iii) são verdadeiras.
(i), (ii) e (iii) são falsas.
(i) é verdadeira e (iii) é falsa.
(ii) é verdadeira e (i) é falsa.
(ii) é falsa e (iii) é verdadeira.
8.a Questão
Considere as seguintes afirmações:
3
(i) Se existir M ∈ R tal que |an | ≤ M, ∀n ∈ N, então a sequência (an ) é tal que
lim an existe;
n→∞
(ii) Sejam a, b ∈ R e (an ) e (bn ) sequências tal que lim an = a e lim bn = b, então
n→∞
n→∞
lim an .bn existe e é igual a a.b;
n→∞
(iii) A soma de duas sequências divergentes pode ser convergente.
É correto afirmar que:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(i) é falsa e (ii) é verdadeira.
(ii) é falsa e (iii) é verdadeira.
(i), (ii) e (iii) são falsas.
(i), (ii) e (iii) são verdadeiras.
n.d.a
9.a Questão
Considere as seguintes afirmações:
(i) Sejam f : R+ → R e (an ) a sequência definida por an = f (n), n ∈ N. O limite
lim an pode existir mesmo que o limite lim f (x) não exista;
n→∞
x→∞
(ii) Seja f : R+ → R. Suponha que exista N0 ∈ N tal que a sequência (an )
é definida por an = f (n), ∀n ≥ N0 . Se lim f (x) = l ∈ R, então lim an =
x→∞
n→∞
lim f (x);
x→∞
(iii) Sejam f : R+ → R e (an ) a sequência definida por an = f (n), n ∈ N. Se a
função f não for monótona, então a sequência (an ) também não será.
É correto afirmar que:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(i) é verdadeira e (ii) é falsa.
(ii) é verdadeira e (iii) é falsa.
(i), (ii) e (iii) são falsas.
(i), (ii) e (iii) são verdadeiras.
n.d.a
10.a Questão
Considere as seguintes afirmações:
(i) Toda sequência de Cauchy é limitada;
(ii) Toda subsequência de uma sequência de Cauchy é uma sequência de
Cauchy;
(iii) Sejam (an ) e (bn ) sequências tal que an ≤ bn , ∀n ∈ N. Se lim an = ∞, então
n→∞
lim bn = ∞.
n→∞
É correto afirmar que:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(i) é falsa e (ii) é verdadeira.
(ii) é falsa e (iii) é verdadeira.
(i), (ii) e (iii) são falsas.
(i), (ii) e (iii) são verdadeiras.
n.d.a
4
Questão
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e