Universidade Estadual de Londrina
Centro de Ciências Exatas - Departamento de Matemática
Prof. Dr. Marcio A. Jorge Silva
Curso: Matemática
LISTA EXTRA P2 - FUNÇÕES HOLOMORFAS
1. Mostre que a função f (z) = z não é diferenciável em ponto algum de C.
2. Prove, pela definição de derivada, que a função f (z) = 1/z é derivável em todo ponto z ∈ C∗ e
que f ′ (z) = −1/z 2 para todo z ̸= 0.
3. Se f é derivável em z0 , então mostre que f é contı́nua em z0 .
4. Seja f (z) = |xy|1/2 , z = x + iy ∈ C. Mostre que:
(a) f é contı́nua em C,
(b) Vale as condições de Cauchy-Riemann em z = 0,
(c) f ′ (0) não existe.
5. Se f é uma função holomorfa em um aberto A ⊂ C, então mostre que
∂f
∂z (z)
= 0, ∀ z ∈ A.
6. Seja f (z) uma função inteira. Mostre que a função g(z) = f (z) também é inteira. Mostre que a
2
função f (z) = ez é inteira, determine f ′ (z) e g(z) neste caso.
7. Sejam f e g funções deriváveis em z0 com f (z0 ) = g(z0 ) = 0. Se g ′ (z0 ) ̸= 0, mostre que
lim
z→z0
8. Dadas as funçõs cos(z) =
f ′ (z0 )
f (z)
= ′
.
g(z)
g (z0 )
eiz + e−iz
eiz − e−iz
e sin(z) =
, mostre que:
2
2i
(a) [sin(z)]′ = cos(z) e [cos(z)]′ = − sin(z).
(b) sin2 (z) + cos2 (z) = 1, sin(−z) = − sin(z) e cos(−z) = cos(z),
(c) cos(z) = cos(z) e sin(z) = sin(z),
(d) sin(z + w) = sin(z) cos(w) + sin(w) cos(z) e cos(z + w) = cos(z) cos(w) − sin(z) sin(w).
9. Defina as funções seno e cosseno hiperbólicas, mostre que essas funções são inteiras, calcule suas
derivadas e determine, pelo menos, 4 propriedades de tais funções.
10. Mostre que a função exponencial ez é uma bijeção entre a faixa {z; 0 < Im(z) < π} e o semi-plano
superior {z; Im(z) > 0}.
11. Dê exemplos no qual o ramo principal do logaritmo log(z) = log |z| + i(arg z) verifica:
(a) log(zw) ̸= log(z) + log(w),
(b) log(z/w) ̸= log(z) − log(w),
(c) log(z 2 ) ̸= 2 log(z).
12. Mostre que z λ+µ = z λ z µ , para quaisquer z, λ, µ ∈ C, com z ̸= 0.
13. Dê exemplos mostrando que é possı́vel termos (zw)λ ̸= z λ wλ e (z λ )µ ̸= z λµ .
LISTA EXTRA P2 - SEQUÊNCIAS E SÉRIES
1. Determine se as sequências abaixo são convergentes ou não. Em caso positivo, calcule seu limite.
√
1+i
in
n
(b) zn = in ,
(c) zn = in,
(d) zn = ni,
(a) zn = √ ,
(e) zn =
.
n+1
n
2. Mostre que toda sequência de Cauchy em C é convergente. Conclua que C é completo.
3. Toda sequência limitada de números complexos possui uma subsequência convergente em C.
∞
∞
∞
∑
∑
∑
zn é absolutamente convergente, mostre que ela é convergente e 4. Se
zn ≤
|zn |.
n=0
n=0
5. Se lim zn = 0, o que se pode afirmar sobre a convergência da série
n→∞
∞
∑
n=0
zn ? Justifique!
n=0
∞
∑
6. Mostre que a série
n(1 + i)n (2i)−n é absolutamente convergente.
n=0
7. (a) Mostre que a série potências
∞
∑
z n converge se |z| < 1 e que
n=0
(b) Calcule o valor das séries
∞
∑
∞
∑
zn =
n=0
2−n e
n=0
∞
∑
1
para |z| < 1.
1−z
(1 + i)n 2−n .
n=0
8. Determine o raio de convergência das seguintes séries:
(a)
∞
∑
zn
n=0
n
,
2
(b)
∞
∑
3ni n
z ,
i(2n)!
∞
∑
n2i
(c)
n=0
n=0
(z − π)n ,
2n
(d)
∞
∑
(−1)n+1 n
√
z .
3in
n=0
9. Mostre que
(a)
∞
∑
n(n − 1)z
n−2
n=2
2
=
,
(1 − z)3
(b)
∞
∑
n=0
z
nz =
,
(1 − z)2
n
(c)
∞
∑
(n + 1)z n =
n=0
1
.
(1 − z)2
10. Determine a expansão em série de Taylor centrada na origem das funções sin(z) e cos(z).
∞
∑
11. Verifique que a série
(−1)n [(i − 1)−n−1 + (i + 1)−n−1 ](z − i)n é convergente no disco de centro
n=0
√
√
em i e raio 2, isto é, em D = {z ∈ C; |z − i| < 2} e que
∞
∑
(−1)n [(i − 1)−n−1 + (i + 1)−n−1 ](z − i)n =
n=0
1
é analı́tica em C∗ = C\{0}.
z
1
13. Mostre que f (z) =
é analı́tica em C\{1}.
z−1
12. Mostre que f (z) =
14. Mostre que f (z) =
15. Mostre que f (z) =
16. Mostre que f (z) =
1
é analı́tica em C\{−2i}.
z + 2i
z2
1
é analı́tica em C\{−1, 1}.
−1
z2
1
é analı́tica em C\{−i, i}.
+1
2z
,
−1
z2
∀ z ∈ D.