I. R. P. M. - Investigação em Resolução de Problemas de Matemática - www.irpm.com.br
DIFERENTES TIPOS DE PROBLEMAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA
Valdir Alves da Silva¹
“A resolução de problemas é a forma mais eficaz não somente do
desenvolvimento da atividade matemática dos estudantes, mas
também da aprendizagem dos conhecimentos, das habilidades, dos
métodos e das aplicações matemáticas”.
Anna Zofia Krygowska (1970), citado em D’Amore (2007, p. 285)²
A literatura que discute a Resolução de Problemas no ensino da Matemática mostra
que alguns autores classificam os problemas em vários tipos. Sabemos que tentar classificar
os problemas matemáticos não é uma tarefa fácil. Tal constatação pode ser confirmada em
Echeverría e Pozo (1998)³ e Huete e Bravo (2006).
Existem inúmeras classificações das possíveis estruturas dos problemas, tanto em
função da área à qual pertencem e do conteúdo dos mesmos como do tipo de
operações e processos necessários para resolvê-los, ou de outras características.
Assim, por exemplo, seria possível diferenciar entre problemas do tipo dedutivo ou
do tipo indutivo, dependendo dos raciocínios que o sujeito precisasse realizar.
(ECHEVERRÍA E POZO, 1998, p. 20).
Neste mesmo caminho Huete e Bravo (2006, p. 139) dizem que “a classificação de
problemas matemáticos não tem sido tarefa fácil. Pode-se prestar atenção à natureza do
problema ou ao contexto no qual se resolve, ao componente sintático, às relações matemáticas
ou à sua estrutura lógica, etc.”.
Observa-se a partir dos depoimentos desses autores, que tentar classificar os
problemas é correr um grande risco, pois como já disseram, existem muitas variáveis em jogo
nessa classificação.
Diante dessa complexidade, optamos em fazer um estudo bibliográfico para verificar
__________________
¹ Graduado em Matemática, Mestre em Psicologia e Pós-Graduado em Educação Matemática.
² D’Amore, B. Elementos de didática da matemática. São Paulo:Editora Livraria da Física, 2007.
³ Echeverría e Pozo - Departamento de Psicologia Básica, Faculdade de Psicologia da Universidade Autônoma
de Madrid.
1
I. R. P. M. - Investigação em Resolução de Problemas de Matemática - www.irpm.com.br
como esse assunto está sendo tratado e, ao mesmo tempo, compreender um pouco mais sobre
a Resolução de Problemas no Processo de Ensino e Aprendizagem da Matemática.
Nossa investigação foi inspirada na obra de Huete e Bravo (2006). Esses autores
apresentam um estudo interessante sobre os diferentes tipos de problemas e fazem referência a
diversos autores consagrados, como Polya (1992), Simon (1973), Fredericksen (1984),
Rietman (1965), Greeno (1978), Mayer (1986), Vergnaud (1991), Nesher (1986), Nesher e
Katriel (1977), Sarduy (1987). Além desses autores, encontramos também contribuições
importantes acerca deste assunto em Polya (1978), Pozo (1998), Smole e Diniz (2001), Krulik
e Reys (1997), Costa (2008), Dante (2009), Toledo e Toledo (1997), Rabelo (2002), Machado
(2003), Schiliemann e Carraher (1998), Sternberg (2013), Vergnaud (2009), Sá (2004), Silva
(2003) e Carvalho (2012).
Dando início à nossa investigação, verifica-se que Echeverría e Pozo (1998) 4
classificam os problemas em problemas bem definidos e mal definidos. Esses autores dizem
que:
Problema bem definido ou estruturado - é aquele no qual é possível identificar
facilmente se foi alcançado uma solução. Nesse tipo de tarefa tanto o tipo de partida
do problema (proposição) como o ponto e chegada (solução) e o tipo de operações
que devem ser feitas para percorrer a distância entre ambos estão especificados de
forma muito clara. (ECHEVERRÍA E POZO, 1998, p. 20).
Problema mal definido ou mal estruturado - seria aquele no qual o ponto de partida
ou as normas que estipulam quais são os passos necessários para resolver a tarefa
são muito menos claros e específicos. Além disso, nas tarefas mal estruturadas é
possível encontrar várias soluções muito diferentes entre si, todas elas válidas como
forma de resolver o problema por meio de métodos também diferentes e igualmente
válidos. (ECHEVERRÍA E POZO, 1998, p. 20-21).
É importante destacar que a classificação dos problemas que Echeverría e Pozo
apresentam é uma classificação geral para os problemas, não faz referência à matemática.
Esses autores dizem ainda que não existem problemas totalmente bem definidos, a não ser as
tarefas que denominamos de exercícios, e que, também, não existem problemas totalmente
mal definidos, a não ser aqueles problemas cuja solução seja impossível de ser encontrada.
Encontramos em Echeverría (1998, p. 43-65) 4 ,de forma bastante tímida, dois tipos de
__________________
4
Echeverría, M. D. P. P.; Pozo, J. I. Aprender a resolver problemas e resolver problemas para aprender. In:
Pozo, J. I. A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998.
2
I. R. P. M. - Investigação em Resolução de Problemas de Matemática - www.irpm.com.br
problemas no ensino da matemática, isto é, os problemas qualitativos e quantitativos. Em
relação a esses problemas, Pozo e Crespo (1998) 5 apresentam uma definição que pode nos
ajudar a compreendê-los melhor. Esses autores dizem que:
Problemas qualitativos - são aqueles que os alunos precisam resolver através de
raciocínios teóricos, baseados nos seus conhecimentos, sem necessidade de apoiarse em cálculos numéricos e que não requerem para a sua solução a realização de
experiências ou de manipulações experimentais. São geralmente problemas abertos,
nos quais se deve predizer ou explicitar um fato, analisar situações cotidianas ou
científicas e interpretá-las a partir dos conhecimentos pessoais e/ou modelo
conceitual proporcionado pela ciência. (p. 78)
Problemas quantitativos - são aqueles nos quais o aluno deve manipular dados
numéricos e trabalhar com eles para chegar a uma solução, seja ela numérica ou não.
São problemas nos quais a informação recebida é principalmente quantitativa,
embora o resultado possa não sê-lo. Por isso, a estratégia de resolução estará
fundamentalmente baseada no cálculo matemático, na comparação de dados e na
utilização de fórmulas. (p. 80).
.
Polya (1978) 6 , um dos primeiros matemáticos a escrever sobre resolução de
problemas, classifica os problemas em: problemas rotineiros, problemas de determinação,
problemas de demonstração e problemas práticos. Polya diz que:
Problema rotineiro - pode ser considerado o que consiste em resolver a equação
x 2  3x  2  0 , caso a resolução da forma geral da equação quadrática haja sido
previamente ensinada e exemplificada, de tal maneira que o aluno nada mais tenha a
fazer do que substituir algumas letras, que aparecem na solução geral, pelos números
-3 e 2. Mesmo que a equação quadrática não tenha sido resolvida genericamente sob
a forma “literal”, mas se meia dúzia de equações desse tipo, com coeficientes
numéricos, o tenham sido pouco antes, o problemas poderá ser chamado “rotineiro”.
De modo geral, um problema será rotineiro se ele puder ser solucionado pela
substituição de dados específicos no problema genérico antes, ou pelo seguimento,
passo a passo, de algum exemplo muito batido. Ao apresentar um problema, o
professor põe à frente do aluno uma resposta imediata e decisiva à indagação:
Conhece um problema correlato? Desse modo, o aluno de nada mais precisa, além
de um pouco de cuidado e de paciência para seguir uma fórmula preestabelecida,
sem ter a oportunidade de usar o seu discernimento nem as suas faculdades
inventivas. (p. 124).
_____________________________
5
6
Pozo, Juan Ignacio e Crespo, Miguel A. Gómez - A solução de problemas nas Ciências da Natureza. In: Pozo,
J. I. (Org.). A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998.
Polya, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Rio de Janeiro: Interciência,
1978.
3
I. R. P. M. - Investigação em Resolução de Problemas de Matemática - www.irpm.com.br
Problemas de determinação - tem por objetivo encontrar um certo objeto, a
incógnita. Os problemas de determinação podem ser teóricos ou práticos, abstratos
ou concretos, problemas sérios ou simples enigmas. Podemos procurar determinar
incógnitas de todos os tipos; podemos tentar encontrar, calcular, obter, produzir,
traçar, construir todos os tipos imagináveis de objetos. (p. 124).
Problemas de demonstrações - têm por objetivo mostrar conclusivamente que certa
afirmativa, claramente enunciada, é verdadeira ou, então, que é falsa. Temos de
responder à pergunta: esta afirmativa é verdadeira ou falsa? E temos de respondê-la
conclusivamente, quer provando-a verdadeira, quer provando-a falsa. (p. 124).
Problemas práticos - são diferentes, em diversos aspectos, dos problemas puramente
matemáticos, muito embora os principais motivos e processos sejam essencialmente
os mesmo e ambos os casos. Os problemas práticos da Engenharia geralmente
envolvem problemas matemáticos. Um exemplo muito ilustrativo de problema
prático é a construção de uma barragem sobre o rio. (p.124).
Além de Polya (1978), Huete e Bravo (2006) apresentam outra classificação para os
problemas. Ou seja, falam de problemas bem estruturados e os que não apresentam uma
estrutura bem definida. Esta classificação foi feita por Simon 7 (1973, apud Trigo 8 , 1996, p.
33-34). Para Simon:
Problemas bem estruturados - são aqueles que geralmente aparecem na instrução ou
nos livros-textos de matemática. Nesse tipo de problemas, a informação para
resolvê-lo é parte do enunciado, as regras para encontrar a solução são claras, além
de existirem critérios definidos para resolvê-los. Por outro lado os problemas malestruturados são aqueles que de modo geral, se encontram no cotidiano. Aqui é
freqüente que não exista informação suficiente para resolvê-lo ou talvez demasiada
informação. Assim, quem tente resolvê-los necessita reformulá-los e fornecer ou
eliminar certa informação na fase de resolução. (HUETE E BRAVO, 2006, p.140).
Os conceitos de problemas bem estruturados e mal estruturados também são
abordados em Smole et al 9 . As autoras dizem que:
Os problemas que apresentam para quem os resolvem, um caminho claro e
imediatamente disponível para a resolução são denominados bem estruturados. São
também características desse tipo de problema: o conhecimento dos estados inicial e
final, a boa especificação das regras, a possibilidade de decidir se a solução é correta
ou não. Alguns problemas bem estruturados podem ser resolvidos usando-se um
caminho formal que envolve um ou mais processos repetitivos, isto é, usando-se
algoritmos. Quando o resolvedor considera que nos problemas há ausência de algum
desses elementos, podemos dizer que, sob sua ótica, o problema é mal estruturado.
_______________
Simon, H. A. The estructure of ill estructured problems. Artificial intelligencfe, (4), 181-201.
Santos Trigo, L.M. Princípios y métodos de La resolución de problemas em El aprendizaje de lãs matemáticas
México: Grupo Editorial Iberoamérica.
9
Smole, K. S. ; Ishihara, C. A.; Taunay, M. Cândido, P. Refletindo sobre alguns aspectos do processo de
resolver problemas. Disponível em < http://www.mathema.com.br>. Acesso em: 06/01/2014.
7
8
4
I. R. P. M. - Investigação em Resolução de Problemas de Matemática - www.irpm.com.br
Observa-se entre Smole et al e Simon uma diferença em relação aos problemas mal
estruturados. Simon faz referências aos problemas mal estruturados como sendo problemas
do cotidiano, o que Smole et al não o faz.
Outro autor que fala sobre problemas bem estruturados e mal estruturados é Sternberg
(2013, p.388). Para ele, “os problemas são bem estruturados quando possuem caminhos claros
para uma solução. Estes problemas também são denominados problemas bem definidos” e “os
problemas mal estruturados não possuem caminhos claros para soluções. Estes problemas
também são denominados problemas mal definidos”.
Verifica-se ainda na obra de Huete e Bravo (2006) mais três categorias bem próximas
à classificação dos problemas apresentada por a Smole et al, Simon e Sternberg . Tais
categorias são abordadas por Fredericksen (1984) 10 como sendo: problemas bem
estruturados, problemas estruturados e problemas mal estruturados. Tais problemas podem
ser compreendidos como:
Problemas bem estruturados - são aqueles que aparecem claramente formulados,
podem ser resolvidos com a aplicação de algum algoritmo conhecido e existem
critérios para verificar se a solução é correta. (HUETE E BRAVO, 2006, p.140).
Problemas estruturados - são aqueles que requerem um “pensamento produtivo”.
São semelhantes aos bem estruturados com a condição de que quem os resolve têm
de projetar todo o processo de solução ou parte dele. (HUETE E BRAVO, 2006,
p.140).
Problemas mal estruturados - são aqueles que carecem de uma clara formulação, de
um procedimento que garantam uma solução, sem que existam critérios definidos
para determinar quando se obteve uma solução. (HUETE E BRAVO, 2006, p.141).
O conceito de problema estruturado apresentado por Fredericksen, faz-me lembrar de
Echeverría e Pozo (1998) e Costa (2008) 11 . Echeverría e Pozo dizem que uma das
classificações clássicas dos diferentes tipos de problemas é realizada pela Gestalt em função
das atividades que as pessoas realizam para resolver uma tarefa. Segundo eles, os psicólogos
_____________________
10
Fredericken, N. Implications of cognitive theory for instruction in problem solving. Review of Educational
Research, 1984, (54), 363-407.
11
Para Costa (2008, p. 45), “ Gestalt é considerada uma das mais importantes escolas da teoria contemporânea
da aprendizagem e é composta pelas teorias do insight, de insight de objetivo e do campo cognitivo, com sua
origem na Alemanha, na primeira metade do século XX e tendo como representantes iniciais do seu
desenvolvimento Max Wertheimer (1880-1943), Kurt Koffka (1886-1941) e Kurt Lewin (1890-1947)”.
Costa, Claudio Fernandes. Por que resolver problemas na educação matemática: uma contribuição da Escola
da Gestalt. Tese (Doutorado em Educação) - Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, 2008.
5
I. R. P. M. - Investigação em Resolução de Problemas de Matemática - www.irpm.com.br
da Gestalt distinguiram entre pensamento produtivo e reprodutivo. “ O pensamento produtivo
consiste na produção de novas soluções a partir de uma organização ou reorganização dos
elementos do problema, enquanto que o reprodutivo consiste na aplicação de métodos já
conhecidos”. (ECHEVERRÍA E POZO, 1998, p. 20).
Rietmam (1965) 12 , outro autor citado na obra de Huete e Bravo (2006), apresenta
quatro categorias para os problemas. Essas categorias fazem referência ao estado inicial e
final na composição do problema. Em outras palavras, diz respeito aos tipos de problemas que
apresentam estado inicial bem defindo e estado final bem defino, problemas que apresentam
estado inicial bem defindo e estado final mal definido, problemas que apresentam estado
inicial maldefinido e estado final bem definido e problemas que apresentam estado inicial e
final maldefinidos.
As categorias de Rietman (1965) se aproximam, pelo menos em duas delas, com a
classificação apresentada por Echeverría e Pozo (1998), quando eles falam sobre problemas
bem definidos e problemas mal definidos.
Greeno (1978, citado Huete e Bravo, 2006, p.141) 13 também sugeriu três tipos de
classificação para os problemas. O primeiro tipo chamou de problemas de estrutura indutora,
o segundo de problemas de transformação e o terceiro de problemas de ordenamento. Para
Greeno os problemas de:
Estrutura indutora - dão-se várias instâncias, e quem resolver o problema deve
descobrir a norma ou modelo implícito.
Transformação - dá-se um estado inicial, e quem resolve o problema deve achar
uma sequência de operações que produza o estado final.
Ordenamento - dão-se todos os elementos, e quem resolve o problema deve ordenálos de forma tal, que o resolva.
Mayer (1986, p.20) 14 citado em Huete e Bravo (2006, p. 141), fez comentário a
respeito da classificação dos problemas apresentada por Greeno, dizendo que nem todos os
problemas podem ser classificados com precisão em problemas de estrutura indutora,
problemas de transformação e problemas de ordenamento.
______________________
12
Reitman, W. R. Cognition and thought: na information processing approach. New York: Wiley, 1965.
Greeno, J. G. A study of problem solving. Em R. Glaser (comps.). Advances in istructional Psychology.
Vol. 1, Hillsdale, N. J. Erlbaum, 1978.
14
Mayer, R. Pensamiento, resolución de problemas y congnición. Barcelona: Paidós, 1986
13
6
I. R. P. M. - Investigação em Resolução de Problemas de Matemática - www.irpm.com.br
Prosseguindo com nossa investigação, encontramos em Passoni e Campos (2011),
Huete e Bravo (2006), Damm (2011) e Vergnaud (2009) dois tipos de problemas de
fundamental importância para o ensino e aprendizagem da matemática, ou seja, os problemas
do tipo aditivos e os problemas do tipo multiplicativo.
Em relação aos problemas aditivos encontramos na obra de Damm (2011, p. 35) 15 a
seguinte definição - “são aqueles nos quais os enunciados, em geral, descrevem uma situação
social ou econômica muito simples (jogo de bola de gude, compra, deslocamento, etc.) e a
resolução pede somente a utilização das operações de adição e subtração”. Outra definição
semelhante à de Damm é apresentada por Passoni e Campos (2011, p.49) 16 . Esses autores
dizem que os “problemas aditivos são aqueles em que os enunciados descrevem situações do
cotidiano e em cuja resolução podem usar apenas adição ou subtração”.
Em de Vergnaud (2009) encontramos também uma definição para problemas aditivos.
Segundo este autor:
Os matemáticos, a justo título, consideram a subtração e a adição como operações
matemáticas estreitamente aparentadas uma da outra. De nossa parte seremos
levados a estudá-las em conjunto. Por “problemas aditivos”, estamos entendendo
todos aqueles cuja solução exige tão somente adições ou subtrações, do mesmo
modo pelo qual entendemos por “estruturas aditivas” as estruturas em que as
relações em jogo são formadas exclusivamente por adições ou subtrações.
(VERGNAUD, 2009, p.197).
Quanto às estruturas aditivas citadas por Vergnaud, Bravo e Huete (2006, p. 142)
dizem que:
Problemas de estruturas aditivas são aqueles que se resolvem com uma operação de
adição ou subtração. Deles podemos fazer várias classificações, dependendo do tipo
de variável que consideramos. Os problemas simbólicos de estrutura aditiva irão
variar conforme a sentença aberta dada no problema. Mudando a incógnita criam-se
seis sentenças para a soma e outras seis para a diferença.
Em relação à variação dos problemas simbólicos de estruturas aditivas, que Huete e
Bravo dizem na citação, está relacionada com os tipos de sentenças abertas. Em outras
palavras está relacionada com uma situação desconhecida (x). Por exemplo, para a soma
temos (a + b = x), (a + x = c), (x + b = c), (x = a + b),(c = x + b) e (c = a + b). Para a subtração
basta trocar o sinal em todos os parênteses e encontrar mais seis sentenças matemáticas.
________________________
15
Damm, R. F. Representação, compreensão e resolução de problemas aditivos. In: Machado, S. A. (Org.).
Aprendizagem em matemática: registros e representações semiótica. 8ª ed. São Paulo: Papirus, 2003.
16
Passoni, J. C.; Campos, T. M. M. Revisitando os problemas aditivos de Vergnaud de 1976. In: Machado, S.
A. (Org.). Aprendizagem em matemática: registros e representações semiótica. 8ª ed. São Paulo: Papirus, 2003.
7
I. R. P. M. - Investigação em Resolução de Problemas de Matemática - www.irpm.com.br
Ainda em relação aos problemas aditivos, Bravo e Huete (2006, p. 143) mostram mais
quatro tipos de problemas: causa/mudança, combinação, comparação e igualdade. Todos
esses Problemas relacionados ao campo semântico.
Problema de causa/mudança - caracteriza pela presença de uma ação que implícita
ou explicitamente modifica uma quantidade inicial, dando como resultado o
incremento ou decremento dessa quantidade.
Problema de combinação - apresentam situações em que se propõem duas
quantidades separadas, as quais podem ser consideradas isoladamente ou como
partes de um todo, sem que haja nenhum tipo de ação.
Problemas de comparação - supõem a relação de duas quantidades separadas, ou
para determinar a diferença existente entre elas, ou para averiguar uma das
quantidades conhecendo a outra e a diferença entre elas.
Problemas de igualdade - constituem uma mistura dos problemas comparação e
mudança. Por outro lado, há uma ação que tem que ser aplicada a um dos conjuntos;
por outro, a comparação de dois conjuntos separados.
Huete e Bravo (2006) sublinham para existência de subtipos de problemas em relação
ao campo semântico. Esses autores dizem que, para o problema de causa/mudança, existem
três tipos de mudança. Para os problemas de combinação, podem existir dois tipos, conforme
o lugar em que se situa a incógnita. Para os problemas de comparação e igualdade há seis
subtipos de problemas para cada um. Todos esses subtipos de problemas podem ser vistos a
partir dos exemplos que os autores apresentam na referência que colocamos no final deste
texto.
Quanto aos problemas multiplicativos Vergnaud (2009, p. 239) traz o seguinte
conceito:
Podem distinguir duas grandes categorias de relações multiplicativas: definimos
assim as relações que comportam uma multiplicação ou uma divisão. A mais
importante delas, que se utiliza para a introdução da multiplicação no ensino
fundamental e que a trama da grande maioria dos problemas de tipo multiplicativo, é
uma relação quaternária, e não uma relação ternária; por isso está bem representada
na escrita habitual da multiplicação: a x b = c, já que essa não comporta mais que
três termos. Estamos, por isso, obrigados a reexaminar completamente a noção de
multiplicação.
Huete e Bravo dizem, fazendo referência a Vergnaud, que os problemas que implicam
operações de multiplicação e divisão se situam quase sempre no contexto de duas grandes
categorias, ou seja, em isomorfismo de medida e produto de medida. Os problemas que se
situam na categoria isomorfismo de media, segundo Vergnaud (2009, p.239), “são os
8
I. R. P. M. - Investigação em Resolução de Problemas de Matemática - www.irpm.com.br
problemas que apresentam uma relação entre quatro quantidades; duas quantidades são
medidas de certo tipo, e as duas outras medidas, de outro tipo”. Este autor apresenta como
exemplo desta categoria os seguintes problemas:
Problema 1 - Tenho 3 pacotes de iogurte. Há 4 iogurtes em cada pacote. Quantos
iogurtes eu tenho?
Problema 2 - Minha mãe quer comprar tecido a R$ 24,80 o metro para fazer um
vestido e um paletó. Ela necessita de R$ 3,50 metros de tecido. Quanto ela deverá
gastar?
Problema 3 - Paguei R$ 12,00 por 3 garrafas de vinho. Quanto custa cada garrafa?.
Problema 4 - Pedro tem R$ 12,00 e quer comprar pacotes de bala a R$ 4,00 o
pacote. Quantos pacotes ele pode comprar?
Problema 5 - Uma corrida de automóveis tem 247,760 km de percurso. Um carro
consome 6, 785 litros de combustível a cada 100 quilômetros. Quanto ele consumirá
durante essa corrida?
Problema 6 - Vou comprar 12 garrafas de vinho a R$ 19,50 por três garrafas.
Quanto vou gastar?
Problema 7 - 3 novelos de lã pesam 200 gramas. São necessários 8 para fazer um
pulôver. Qual vai ser o peso do pulôver?
Os problemas que acabamos de mostrar revelam uma relação quaternária (isomorfismo
de medida) em que duas quantidades são medidas de certo tipo, enquanto o restante são
medidas de outro tipo. Em outras palavras, é uma proporção.
Os problemas que se situam na categoria produto de medida, Vergnaud (2009, p.253),
diz que “essa forma de relação consiste em uma relação entre três unidades, das quais uma é o
produto das outras ao mesmo tempo no plano numérico e no plano dimensional”. Como
exemplo, Vergnaud apresenta os seguintes problemas:
Problema 1 - 3 rapazes e 4 moças querem dançar. Cada rapaz quer dançar com cada
moça e cada moça, com cada rapaz. Quantos seriam os casais possíveis?
Problema 2 - Uma sala retangular tem 4 m de comprimento e 3 m de largura. Qual é
sua área?
Problema 3 - Trocando somente de pulôver e de cachecol, Ana pode ter 15 trajes
diferentes. Ela tem três pulôveres; quantos cachecóis ela tem?
Problema 4 - Uma piscina tem uma superfície de 250 metros quadrados e são
necessários 625 metros cúbicos de água para enchê-los. Qual é a profundidade
média dela?
9
I. R. P. M. - Investigação em Resolução de Problemas de Matemática - www.irpm.com.br
Nesta categoria de problemas verifica-se uma relação ternária. Em outras apalavras, o
terceiro elemento (c = solução) é obtido através do produto das duas quantidades: a e b, isto é,
a x b = c.
Huete e Bravo (2006, p. 148) dizem ainda que “os problemas multiplicativos podem
ser classificados, quanto ao aspecto semântico, em problemas de razão (ou isomorfismo de
medidas), problemas de comparação, problemas de combinação (ou produto de medidas) e
problemas de conversão”. Veja alguns exemplos citados por esses autores:
Problema de razão (ou isomorfismo de medidas) - Pedro tem 3 envelopes. Em cada
envelope tem cinco figurinhas. Quantas figurinhas têm no total?
Problemas de comparação - Maria tem 5 centavos de euro e Artur três vezes mais.
Quanto dinheiro Artur tem?
Problemas de combinação ( ou de produto de medidas) - Em um armário há 3 calças
e duas camisas. De quantas formas diferentes podemos vestir-nos?
Problema de conversão - Em uma prateleira há algumas caixas. Em cada caixa há 5
sacos e em cada saco 7 balas. Quantas balas há em cada caixa?
É importante ressaltar que os exemplos que acabamos de apresentar são limitados
neste texto. Isto quer dizer que existem outros exemplos que contribuem para o entendimento
de cada tipo de problema em relação aos aspectos semânticos. Como por exemplo, no
problema de conversão existem aqueles em que a quantidade intensiva é uma razão (citação
acima), aqueles em que a quantidade intensiva é um quantificador ou aqueles em que uma
quantidade é uma razão e a outra um quantificador. Huete e Bravo (2006) apresentam vários
exemplos que o leitor poderá encontrar na referência citada no final deste texto.
Para finalizar os problemas com estrutura multiplicativa, Huete e Bravo (2006) citam
os teóricos (Nesher e katriel, 1977) 17 . Nesher e katriel classificam os problemas em três
categorias, isto é, em problemas de mapping rule, problemas de comparação multiplicativa e
problemas de multiplicação cartesiana. Bravo e Huete dizem que os problemas de mapping
rule trazem correspondência com isomorfismo de medidas e que os problemas de comparação
multiplicativa não são vistos como categoria independente na análise de Vergnaud e os
engloba também como isomorfismo de medidas. Já os problemas de multiplicação cartesiana
são incluídos na categoria de produto de medidas de Vergnaud.
___________________
17
Nesher, P.; Katriel, T. A semantic analysis of addition na subtration Word problems in aithmetic.Edictional
Studies in Mathematics, 1977, (8), 251-269.
10
I. R. P. M. - Investigação em Resolução de Problemas de Matemática - www.irpm.com.br
Outra classificação de problemas matemáticos que aparece na obra de Huete Bravo
(2006) são os problemas de raciocínio e os problemas recreativos. Esses problemas foram
citados por Sarduy (1987)
18
como sendo:
Problemas de raciocínio - são problemas que necessitam, para serem resolvidos, da
análise lógica, da elaboração de hipóteses, inferências, etc. Naturalmente, a
denominação de problemas de raciocínio é, em certa medida, tautológica, pois todo
verdadeiro problema implica reflexão, o raciocínio de quem o resolver; no entanto,
tal denominação nada mais faz que reafirmar o fato de que tais problemas
necessitam de um forma especial de raciocínio. Por exigir uma alta dose de trabalho
mental, constitui um fator essencial na formação do pensamento e na assimilação
dos conhecimentos matemáticos. (HUETE E BRAVO, 2006, p. 154).
Problemas recreativos - apresentam situações interessantes que estimulam o
raciocínio e a fantasia. Os problemas matemáticos recreativos com texto situam os
alunos frente à necessidade analisar detidamente as situações apresentadas, pois, na
maioria das vezes, (HUETE E BRAVO, 2006, p. 154-155).
Com base em nossa experiência, podemos afirmar que os tipos de problemas
apresentados por Sarduy estão cada vez mais ausentes no ensino atual da matemática. Parecenos que esses tipos de problemas estão destinados exclusivamente para as atividades préescolares e para os alunos do 1º ao 5º. A partir desses ciclos escolares, observa-se uma ruptura
na metodologia do ensino da matemática, realizada por muitos professores, de modo que a
elaboração do conhecimento matemático se dá apenas no nível da concepção e da “decoreba”.
Dando continuidade à nossa investigação, encontramos em Butts (1997) sete tipos de
problemas matemáticos. Para esse autor, os problemas matemáticos podem ser classificados
em exercícios de reconhecimento, exercícios de algoritmos, problemas de aplicação,
problemas de pesquisa aberta e situação-problema. A palavra exercícios está sendo mantida
neste texto para sermos fiéis à classificação dada por Butts (1977, pp. 33-36). Veja como ele
define cada um desses problemas:
Exercícios de reconhecimento - são exercícios que normalmente pede ao resolvedor
para reconhecer ou recordar um fato específico, uma definição ou enunciado de um
teorema.
Exercícios de algoritmos - são exercícios que podem ser resolvidos com um
procedimento passo-a-passo, frequentemente algum algoritmo numérico.
____________________
18
Sarduy, A. F. Bases psicopedagógicas de la enseñanza de la solución de problemas matemáticos en la escuela
primaria. La habana: Editorial Pueblo y educación, 1987.
11
I. R. P. M. - Investigação em Resolução de Problemas de Matemática - www.irpm.com.br
Problemas de aplicação - são problemas que envolvem algoritmos aplicativos. Os
problemas tradicionais caem nesta categoria, exigindo sua resolução: (a) formulação
do problema simbolicamente e depois (b) manipulação dos símbolos mediante
algoritmos diversos.
Problemas de pesquisa aberta - são aqueles em cujo enunciado não há uma
estratégia para resolvê-lo. O problema dado deste ensaio entra nessa categoria.
Normalmente, tais problemas expressam-se por: “Prove que...”, “Encontre todos...”
ou “Para quais...é...”, mas muitas outras variações mais interessantes são possíveis.
Situação-problema - não estão incluídos aqui os problemas propriamente ditos, mas
situações nas quais uma das etapas decisisvas é identificar o(s) problema(s)
inerente(s) à situação, cuja solução irá melhorá-la.
Butts (1977) apresenta de forma brilhante uma série de exemplos para cada um desses
tipos de problemas. Tais exemplos podem ser vistos na referência que citamos no final deste
artigo.
Outro autor que apresenta vários tipos problemas matemáticos é Dante (2009). Este
autor denomina os problemas como sendo de exercícios de reconhecimento, exercícios de
algoritmos, problemas-padrão, problemas-padrão simples, problemas-padrão composto,
problemas-processo ou heurísticos, problemas de aplicação e problemas de quebra-cabeça.
Novamente a palavra exercícios é mantida aqui para sermos fiéis à classificação dada por
Dante (2009, p. 24). Veja como ele define cada um desses problemas:
Exercícios de reconhecimento - seu objetivo é fazer com que o aluno reconheça,
identifique ou lembre um conceito, um fato específico, uma definição, uma
propriedade, etc. (p. 24)
Exercícios de algoritmos - são aqueles que podem ser resolvidos passo a passo.
Geralmente no nível elementar, são exercícios que pedem a execução dos algoritmos
da adição, subtração, multiplicação e divisão de números naturais. Seu objetivo é
treinar a habilidade em executar um algoritmo e reforçar conhecimentos anteriores.
(p. 24)
Problemas-padrão - são problemas que em sua resolução envolve a aplicação direta
de um ou mais algoritmos anteriormente aprendidos e não exige nenhuma estratégia.
(p. 25)
Problemas-padrão simples - são problemas que podem ser resolvidos com uma
única operação. (p. 25)
Problemas-processo ou heurístico - são problemas cuja solução envolve operações
que não estão explicitamente no enunciado. Em geral, não podem ser traduzidos
diretamente para a linguagem matemática, nem resolvido pela aplicação automática
de algoritmos, pois exigem do aluno um tempo para pensar e arquitetar um plano de
ação, uma estratégia que poderá levá-lo à solução. Por isso, tonam-se mais
interessantes do que os problemas-padrão. (p. 25)
12
I. R. P. M. - Investigação em Resolução de Problemas de Matemática - www.irpm.com.br
Problemas-padrão composto - são problemas que podem ser resolvidos com duas ou
mais operações. (p. 25)
Problemas de aplicação - são aqueles que retratam situações reais do dia a dia e que
exige o uso da matemática para serem resolvidos. São também chamados de
situação-problema contextualizada. (p. 27)
Problemas de quebra-cabeça - são problemas que envolvem e desafiam os alunos.
Geralmente constituem a chamada matemática recreativa, e sua solução depende,
quase sempre, de um golpe de sorte ou da facilidade em perceber algum truque,
alguma regularidade, que é a chave da solução. (p. 28)
Em relação aos problemas-processo ou heurístico e os problemas de aplicação citados
por Dante (2009), encontramos também uma citação em Carvalho (2012, p. 30). Esta autora
diz que os problemas heurísticos podem ser chamados de problemas não convencionais, e
que, “para resolver esse tipo de problema, há necessidade de elaborar um raciocínio mais
complexo, pois as operações não estão evidenciadas no enunciado. Esse tipo de problema
desafia o aluno a usar sua criatividade na elaboração de estratégias de resolução”. Como
exemplo a autora apresenta o seguinte problema:
Três pessoas chamaram o elevador. Lucas foi o primeiro a entrar e o elevador desceu
6 andares; entrou a Maria. Depois o elevador subiu 8 andares e entrou o José.
Desceu 6 andares e parou no 4º andar. Em qual andar cada uma das pessoas entrou
no elevador? (CARVALHO, 2012, p. 30).
Em relação aos problemas de aplicação citado por Dante, Carvalho (2012) chama de
problemas do cotidiano. Para ela, esses problemas são os mais interessantes para os alunos,
pois sua resolução envolve situações do dia a dia escolar das crianças e permite que elas
façam levantamento de dados, confecção de gráficos, tabelas, desenhos, aplicação das
operações. A autora sublinha ainda dizendo que este tipo de problema permite a elaboração de
projetos envolvendo outras áreas de conhecimento.
Renata Stancanelli (2001, p.103) 19 também discute os diferentes tipos de problemas
no ensino da matemática. A autora diz que não pretende fazer uma classificação dos
problemas e, sim fazer uma reflexão sobre os diferentes tipos de problemas que podem ser
oferecidos aos alunos. A autora apresenta os problemas sem solução, problemas com mais de
uma solução, problemas, problemas com excesso de dados, problemas de lógica e problemas
_____________________________
19
Stancanelli, R. Conhecendo diferentes tipos de problemas. In: Smole & Diniz (Org.). Ler, escrever e resolver
problemas: habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed editora, 2001.
13
I. R. P. M. - Investigação em Resolução de Problemas de Matemática - www.irpm.com.br
problemas não-convencionais. A Stancanelli diz que:
Problemas sem solução - são problemas que rompem com a concepção de que os
dados apresentados devem ser usados na sua resolução e de que todo problema tem
solução. (p. 107)
Problemas com mais de uma solução - são problemas que rompem com a crença de
que todo problema tem uma única resposta, bem como com a crença de que há
sempre uma maneira certa de resolvê-lo e que, mesmo quando há várias soluções,
uma delas é correta. (p. 109)
Problemas com excesso de dados - são problemas que apresentam excesso de
informações, mas que nem todas são usadas em sua resolução. (p. 110)
Problemas de lógica - são problemas que fornecem uma proposta de resolução cuja
base não é numérica, que exige raciocínio dedutivo e que proporcionam uma
experiência rica para o desenvolvimento de operações de pensamento como previsão
e checagem, levantamento de hipóteses, busca de suposição, análise e classificação.
(p. 114)
Problemas não convencionais – são problemas que podem ter mais de uma solução,
bem como transformar-se em novos problemas interessantes com alteração de
alguns de seus dados. (p. 116).
Em relação aos problemas de lógica citado por Stancanelli, encontramos novamente
em Carvalho (2012) uma citação, que segundo ela, são os problemas que os alunos mais
gostam resolver, pois são muitos desafiadores.
Nessa investigação não poderia deixar de citar a obra de Toledo, uma colega em que
tive o prazer de compartilhar diversas reflexões sobre o ensino e aprendizagem da
Matemática. Toledo e Toledo (1997) faz uma abordagem sobre os diferentes tipos de
problemas e os classificam em problemas de arme e efetue, problemas de enredo, problemas
não-convencionais e problemas de aplicação. Esses autores dizem que:
Problemas do tipo armem e efetuem - problemas desse tipo constituem simples
treino de técnicas operatórias e de memorização de tabuada. (p. 85)
Problemas não-convencionais - são problemas que desenvolvem no aluno a
capacidade de planejar, elaborar estratégias gerais de compreensão dos problemas,
tentar soluções e avaliar adequação do raciocínio desenvolvido e os resultados
encontrados. (p. 85)
Problemas de enredo - são problemas tradicionais envolvendo as operações que
estão sendo estudadas no momento. Desenvolvem no aluno a capacidade de traduzir
em expressões matemáticas as situações descritas em linguagem comum. (p. 85)
Problemas de aplicação - são problemas elaborados a partir de uma situação de
vivência dos alunos, e a solução requer o uso de conceitos, técnicas e processos
matemáticos. (p. 86).
14
I. R. P. M. - Investigação em Resolução de Problemas de Matemática - www.irpm.com.br
Os diferentes tipos de problemas matemáticos também foram estudados por Rabelo.
Este autor afirma que usou a tipologia de Charles e Lester (1984), citada em Borralho
(1990) 20 . Rabelo (2002, p. 80) diz que:
Problemas de um passo - podem ser resolvidos com a aplicação direta das operações
básicas da aritmética.
Problemas de dois ou mais passos - podem ser resolvidos pela aplicação direta das
operações básicas mas envolvendo duas ou mais delas.
Problemas-processo - não podem ser resolvidos utilizando-se processos mecânicos,
mas utilizando-se uma ou mais estratégias de resolução: problemas não rotineiros.
.
Problemas de aplicação - muitas vezes, admitem mais de uma solução e são
resolvidos pela utilização de uma ou mais operações e de uma ou mais estratégias de
resolução.
Problemas tipo puzzle - podem suscitar o interesse e hábito de olhar para eles sob
diversos pontos de vista diferentes.
Outro tipo de problema interessante que encontramos na literatura foi denominado por
Silva (2003, p. 49) de problemas-narrativas. Para essa autora, “os problemas-narrativas são
na forma de conto ou história quase sempre envolvendo uma situação ou personagem
surrealistas”. A autora diz ainda dizendo que tais problemas não são novidades e são tão
antigos quanto à própria matemática.
Para ilustrar os problemas-narrativas vamos apresentar um problema encontrado no
Papiro de Rhind 21 citado em Silva (2003, p. 49):
Numa cidade havia sete casas, em cada casa havia sete gatos, cada um deles come
sete ratos, cada um dos quais havia comido sete espigas, cada uma delas teria
produzido sete medidas de grão. Achar a soma dos números de casas, gatos, ratos,
espigas e medidas de grão. (Hariki, 1996, p. 378) 22 .
Para aqueles que gostam desse tipo de problema sugerimos a belíssima obra de Silva
(2003) citado na referência deste artigo.
____________________
20
Borralho. A. M. A. Aspectos metacognitivos na resolução de problemas de matemática: proposta de um
programa de intervenção. Portugal, Associação dos Professores de Matemática, 1990, p. 75.
21
Papiro de Rhind é um documento egípcio de cerca de 1650 A.C. que detalhava a resolução de diversos
problemas. (veja: Boyer, Carl, B. Historia da Matemática. São Paulo: Edgar Blucher, 1974, p. 9).
22
Hariki, S. A história dos problemas-narrativas. In: ICME, 8; metting of the HPM, anais Braga, 1976, v. 2,
p. 373-380.
15
I. R. P. M. - Investigação em Resolução de Problemas de Matemática - www.irpm.com.br
No artigo de Sá (2004, p.13), encontramos Borasi (1986) 23 , que apresentou a seguinte
classificação dos problemas. Veja:
1) Problema tipo exercício - o contexto é inexistente. A formulação é única e
explicita. A solução geralmente é única e exata. Quanto ao método de solução
ele diz que existe a combinação de algoritmos conhecidos.
Exemplo: Determine o valor da expressão: 4 x 5 + 8 : 2
2) Problema verbal - em relação ao contexto Borasi diz que é totalmente explicito
no texto. A formulação é única e explicita. A solução geralmente é única e exata
e para o método de solução existe a combinação de algoritmos conhecidos.
Exemplo: Uma dúzia de canetas custa $ 36,00. Quanto custam 7 dessas canetas?
3) Desafio - O contexto é totalmente explicito no texto. A formulação é única e
explicita. A solução geralmente é única e exata. Em relação ao método de
solução Borasi sublinha para a elaboração de um novo algoritmo, insight ou
reformulações.
Exemplo: Repartir 44 bombons entre 10 crianças, de tal forma que nenhuma das
crianças receba a mesma quantidade que a outra e que não haja quebra de
bombons.
4) Prova - o contexto é parcial apresentado no texto e que conhecimentos teóricos
são admitidos. Em relação à formulação ele diz que é única e explicita. Quanto à
solução o autor diz que geralmente é única, mas não necessariamente. Quanto ao
método de solução ele diz que existe a exploração do contexto, reformulações e
elaboração de novos algoritmos.
Exemplo: Prove que se a, b, c não são números inteiros, então as raízes de ax² +
bx + c = 0 não são números racionais.
5) Vida real – o contexto é parcialmente apresentado no texto. A formulação é
parcial e muitas alternativas são possíveis. Quanto à solução do problema ele diz
que muitas são possíveis e algumas somente aproximadas. Quanto ao método de
solução ele diz que existe a exploração do contexto, reformulações e até mesmo
a elaboração de um modelo.
Exemplo: Meu pai deseja lajotar uma sala quadrangular irregular. Ele deseja
saber qual é a quantidade aproximada de lajota que deve comprar.
6) Situação problema - Borasi sublinha que o contexto é parcialmente apresentado
no texto-problemático. A formulação é sugerida muito implicitamente. Quanto à
solução do problema ele diz que muitas são possíveis. Quanto ao método se
solução o autor diz que existe a exploração do contexto e reformulações, bem
como a proposição de um problema.
Exemplo: O teorema fundamental da aritmética diz que todo número natural
maior que 1 pode ser escrito, se desprezarmos a ordem, de maneira única como
um produto de números primos. Comente sobre essa afirmação se mudarmos a
palavra produto por soma.
____________________
23
Borasi, R. On the nature of problem. Educaional Studies in Mathematics, n. 17, p. 124 – 141, 1986.
16
I. R. P. M. - Investigação em Resolução de Problemas de Matemática - www.irpm.com.br
7) Situação - o contexto é parcial no apresentado texto não problemático.
Quanto à formulação ela é inexistente. Em relação à solução Borasi diz que
existe a criação de um problema e quanto ao método de solução o autor
menciona a proposição de um problema.
Exemplo: Considere as seguintes ternas pitagóricas: (3, 4, 5), (5, 12, 13),
(– 8, 15,17) e ( – 7, 24, 25).
Observa-se na classificação de Borasi que ele fez uso dos descritores: contexto,
formulação, solução e método de solução para classificar os problemas em exercícios,
problema verbal, desafio, prova, vida real, situação problema e situação. Essa maneira de
classificar os problemas é bem diferente das classificações apresentadas anteriormente.
Conclusão
O levantamento bibliográfico que acabamos de realizar mostra claramente que os
autores fizeram uso de diferentes enfoques para classificar os problemas. Alguns se basearam
nas características do sujeito e no processo de resolução, outros prestaram à atenção à
natureza do problema, ao componente semântico, às operações matemáticas, às estruturas
lógicas, ou de outras características já citadas. Esta constatação vem ao encontro das palavras
de Echeverría e Pozo (1998, p. 20) quando eles dizem que “existem inúmeras classificações
das possíveis estruturas dos problemas, tanto em função da área à qual pertencem e do
conteúdo dos mesmos como do tipo de operações e processos necessários para resolvê-los”.
Acreditamos que os autores e os diferentes tipos de problemas que conseguimos
investigar, até o presente momento, possam contribuir para a prática dos professores em sala
de aula e, ao mesmo tempo, servir de fonte de pesquisa para todos aqueles interessados em
ampliar o conhecimento sobre a Resolução de Problemas no ensino e aprendizagem da
Matemática.
Para encerrar gostaríamos de dizer que nossa investigação ainda não está encerrada,
pois acreditamos na existência de outras obras que tratam os diferentes tipos de problemas e
que ainda não tivemos a oportunidade de conhecer.
17
I. R. P. M. - Investigação em Resolução de Problemas de Matemática - www.irpm.com.br
 Referências
Boyer, Carl, B. Historia da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgar
Blucher, 1974.
Carvalho, M. Problemas? Mas que problemas? Estratégias de resolução de problemas
matemáticos em sala de aula. 5ª ed. Petrópolis - RJ: Vozes, 2012.
Costa, C. F. Por que resolver problemas na educação matemática? Uma contribuição da
escola da Gestalt. Tese (Doutorado em Educação) - Pontifícia Universidade Católica do Rio
de Janeiro, 2008.
Dante, L. R. Didática da resolução de problemas de matemática. 3ª ed. São Paulo: Ática,
1991.
Huete, J. C. S.; Bravo, A. A. F. A. O ensino da matemática: fundamentos teóricos e bases
psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 2006.
Krulik, S.; Reys, R. E. A Resolução de problemas na matemática escolar. Trad. Hygino H.
Domingues e Olga Corbo. São Paulo: Atual, 1997.
Machado, S. A. (Org.). Aprendizagem em matemática: registros e representações semiótica. 8ª
ed. São Paulo: Papirus, 2003.
Polya, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Rio de
Janeiro: Iterciências, 1978.
Pozo, J. I. (Org.). A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto
Alegre: Artmed, 1998.
Rabelo. E. H. Textos matemáticos: Produção, interpretação e resolução de problemas. 3ª ed.
Petrópolis – Rio de Janeiro: Vozes, 2002.
Sá, P. F. O que é resolução de problemas, afinal? Revista Trilhas, Belém, v. 5, n. 2, p. 11-17,
dez, 2004.
18
I. R. P. M. - Investigação em Resolução de Problemas de Matemática - www.irpm.com.br
Silva, C. M. S.; Filho, M. G. S. Matemática: resolução de problemas. Brasília: Liber Livro,
2011.
Silva, C. M. S. Explorando as operações aritméticas com recursos da história da
Matemática. Brasília: Plano editora, 2003.
Schliemann, A. & Carraher, D. W. (Org.). A compreensão de conceitos aritméticos: ensino e
pesquisa. Campinas – SP: Papirus, 1998.
Smole, K. S; Diniz, M. I. (Org.). Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para
aprender matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001.
Smole, K. S. Ishihara, C. A.; Taunay, M. Cândido, P. Refletindo sobre alguns aspectos do
processo de resolver problemas. Disponível em < http://www.mathema.com.br>. Acesso em:
06/01/2014.
Sternberg, R. J. Psicologia cognitiva. 5ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
Toledo, M. & Toledo, M. Didática da matemática: como dois e dois: a construção da
matemática. São Paulo: FTD, 1997. (Conteúdo e metodologia).
Vergnaud, G. A criança, a matemática e a realidade: problemas do ensino da matemática na
escola elementar. Curitiba - PR: Editora da UFPR, 2009.
19