QUANDO ENUNCIADOS DE PROBLEMAS NÃO PASSAM DE MEROS
EXERCÍCIOS
Roberto José Medeiros Junior
[email protected]
Ettiène Guérios
[email protected]
RESUMO
Este trabalho revela quando enunciados de problemas de Matemática deixam de se
apresentar como “problema” e passam a figurar como exercícios de reprodução de
algoritmos pré-estruturados. Trata-se, em síntese, de investigar por meio de entrevistas
semi-estruturadas a definição defendida por esses autores sobre o que são problemas e o
que são exercícios. Os instrumentos utilizados para a coleta de dados foram: documento
escrito, em que alunos de 5ª e 6ª série resolveram problemas organizados pelos autores;
entrevista semi-estruturada com os professores dos alunos e com alguns alunos, os quais
foram selecionados em função das resoluções que apresentaram ao que chamamos, no
presente artigo, de problemas e exercícios. Levamos em conta as reflexões, no que tange a
prática pedagógica, a ação didática, a didática prática e a ênfase nos procedimentos
heurísticos na Resolução de Problemas. Os teóricos que fundamentam o campo da
atividade heurística da Resolução de Problemas são George Polya, Alan Schoenfeld,
Eduard Silver e Frank Lester Jr. Concluímos que somente a boa vontade do professor e um
bom livro didático não são suficientes para a criação do que entendemos ser problema em
Matemática, e que questões como definir a didática na Resolução de Problemas, em
especial, são imprescindíveis não só para a excelência da didática do professor, mas,
também, para o desenvolvimento de procedimentos heurísticos por parte do aluno.
Palavras-chave: Resolução de Problemas; Ação Didática; Educação Matemática.
154
INTRODUÇÃO
Em Educação Matemática a Resolução de Problemas1 está definida não mais como
apenas uma tendência na área, e sim como frente de pesquisa em diversos eixos
relacionados à Didática, Formação de Professores e Investigação Matemática.
Interessou-nos aprofundar os estudos em Resolução de Problemas, enquanto modo
didático, onde professores e alunos resolvem problemas de matemática, compreendendo, a
priori, diferenças entre problemas e exercícios, relacionando o estilo do enunciado com a
expectativa do professor e do aluno em responder ao problema. Sendo assim, apontamos,
para a definição do que são problemas e de problemas, que não passam de meros
exercícios no âmbito da pesquisa realizada no ano de 2007 para conclusão da dissertação
de mestrado em Educação, linha de pesquisa Educação Matemática, da Universidade
Federal do Paraná.
Inicialmente, buscou-se a significação apontada por Medeiros (2007) em relação a
problema e exercício, relacionando-a à resolução de problemas e exercícios aplicados na
dissertação de mestrado Resolução de Problemas e Ação Didática em Matemática no
Ensino Fundamental (2007). Estenderam-se às definições de problema a questão dos
enunciados longos e curtos (MEDEIROS, 2007). Nesse percurso metodológico,
identificaram-se diferentes definições sobre o que é problema e o que é exercício,
buscando compreender as convergências e as divergências aparentes nessas definições.
O material empírico2 foi obtido aplicando-se documento escrito, em que alunos de
5ª e 6ª série resolveram problemas3 organizados pelo pesquisador; e entrevista semi1
Optamos por escrever “Resolução de Problemas” com as iniciais em maiúsculas quando
estivermos nos referindo aos seus aspectos teóricos e utilizaremos “resolução de problemas” em minúsculas
para referenciar o ato de resolver problemas em matemática.
2
Os procedimentos técnicos para a produção do material empírico foram os seguintes:
1. O pesquisador elabora uma lista de problemas e exercícios para servir à pesquisa,
observando o planejamento desenvolvido pelo(a) professor(a) para a série em questão.
2. Em seguida, o professor (a) aplica a lista com os problemas e exercícios aos seus alunos
de 5ª e 6ª série.
3. A professora retorna ao pesquisador os problemas e exercícios organizados, por uma
análise prévia, qualitativa, dos modos de resolução dos problemas e exercícios apresentados pelos
seus alunos.
4. Em horários previamente marcados, pesquisador e professor(a) discutiram as resoluções
dos alunos apresentadas pelos professores sob o ponto de vista das interpretações feitas por estes.
5. O(A) Professor(a) separa das demais resoluções os alunos que lhe chamaram a atenção,
para futura entrevista. O pesquisador pede que o professor esclareça o porquê da escolha.
6. Professor(a) e pesquisador entrevistam os alunos selecionados.
7. O pesquisador entrevista o(a) professor(a) com o intuito de verificar se as questões
iniciais apontadas por ele(a) foram contempladas nas entrevistas.
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estruturada com os professores dos alunos e com alguns alunos, os quais foram
selecionados em função das resoluções que apresentaram aos problemas propostos. Estes
instrumentos geraram documentos escritos que foram analisados qualitativamente,
retirando trechos que são analisados mais a frente.
Tendo em vista que se buscava articular as relações didáticas entre professor-alunoconhecimento matemático, optamos por estudar a Resolução de Problemas sob a ótica de
ensinar Matemática através da Resolução de Problemas (ONUCHIC, 2004), com o foco na
atividade heurística4 da resolução de problemas (MEDEIROS, 2007).
Aqui, cabe ressaltar que a receptividade dos problemas e exercícios propostos foi
uma manifestação que interferiu na localização contextual do problema e na consequente
elaboração das estratégias de resolução pelos alunos, o que definimos com procedimento
heurístico do aluno ao se deparar com um problema ou exercício. Algo como “gostar do
problema” é fator determinante na escolha da estratégia (dos procedimentos) de resolução
dele.
O fato de os alunos tenderem a resolver os problemas tal e qual seu professor o
apresenta também foi observado. Tal atitude, por vezes inconsciente, pelo professor, pode
mascarar o potencial criativo dos alunos e os procedimentos heurísticos que são
necessários à resolução dos problemas. O que afirmamos é que quando o professor resolve
problemas, anunciados por ele como problemas, modifica a estratégia de resolução dos
alunos. A ação didática determina de imediato qual é a estratégia de resolução, um
problema demanda maior “interpretação do texto”, enquanto que exercícios requerem
aplicação direta de um algoritmo, artifício, modelo apresentado pelo professor na aula.
A seguir nos propusemos a desmitificar alguns pressupostos usuais sobre a questão
dos enunciados dos problemas e de exercícios em aulas de Matemática.
3
Apresentamos aos alunos problemas com enunciados curtos e longos (aqui entendidos
como situações matemáticas que, a priori, fariam com que os alunos tivessem que descobrir uma estratégia
coerente com a pergunta do problema) e exercícios (apresentados como algoritmos do tipo arme e efetue),
observando o planejamento desenvolvido pela professora para a série em questão.
4
O vocábulo heurístico deriva do grego heuritiko e significa que serve para descobrir. Esse
método é também chamado método da redescoberta, método interrogatório ou método socrático. Seus
precursores são: Pappus, de Alexandria, e Arquimedes, de Siracusa. A extensão “atividade heurística” está
relacionada à ação de resolver problemas por meio de descobertas, como afirma Puchkin, 1969: “A fim de
descobrir uma saída para a situação, deve o homem criar uma nova estratégia de ação, isto é, concretizar um
ato de criação. (...) ao auxiliar sua solução elabora uma nova estratégia que se mostra como algo inédito é
designado como pensamento criador ou, para usarmos terminologia que nos vem de Arquimedes, atividade
heurística.” (PUCHKIN, 1969, apud MEDEIROS, 2007, pág. 40)
156
Não obstante, observa-se que autores5 renomados de livros de Ensino Médio, por
fazerem análise de livros de matemática para o Ensino Médio (IMPA/SBM, 2001), citam, a
respeito da coleção Matemática 2º grau – volume 1 (Giovanni e Bonjorno), que a primeira
unidade, que trata da revisão de conjuntos, está dividida conforme segue:
“Parte A (Cálculo Numérico) e, principalmente, a Parte B (Cálculo Algébrico)
consistem num festival de carroções, de utilidade apenas para manipulação. Dos
90 exercícios de revisão, apenas 14 (parte C: números de 57 a 66 e parte D:
números 84, 85, 89 e 90) são problemas.” (IMPA/SBM, 2001, p. 166, grifo
nosso)
Basta uma rápida consulta ao volume examinado para notar que para os professores
analistas, José Paulo Q. Carneiro e Augusto César Morgado, problema é toda situação que
se configura com enunciado (curto ou longo) onde se faz necessária a interpretação desse
enunciado para a resolução do problema. Aqueles que não têm enunciados com várias
linhas (texto) e são do tipo: resolva, demonstre, prove, calcule, verifique, são, então,
exercícios, úteis “apenas para manipulação”.
Os mesmos autores classificam as atividades de revisão, de matemática “básica”
(básica para quem? Para o professor ou para os alunos?), presentes em muitos dos livros
didáticos do Ensino Médio (que de alguma maneira referem-se a conteúdos das séries
finais do Ensino Fundamental), como sendo “aquecimento” para os conteúdos a serem
destrinchados nos demais capítulos dos livros de Ensino Médio analisados.
Acredita-se poder identificar no enunciado de uma atividade proposta (atividade
esta que advém de um livro didático adotado ou de um vestibular) pelo professor a
intenção de ser identificada como problema ou exercício. A afirmação anterior e o
problema da pesquisa deram margem a algumas questões norteadoras do presente artigo:
™ O que é problema?
™ O que é exercício?
™ Qual o papel dos enunciados nos problemas e exercícios?
™ Nos problemas e exercícios: enunciados longos ou curtos?
™ Qual a importância das descobertas que os alunos e professores fazem quando
resolvem problemas em Matemática?
Diante dessas questões, delimitamos o âmbito da pesquisa no campo das relações
didáticas, pois entendemos que, antes do estudo da Resolução de Problemas em aulas de
5
Carvalho, Morgado, Lima, Pitombera (IMPA, 2001) disponível em:
www.impa/ensinomedio/analisedetextos.com.br
157
Matemática, existe uma boa intenção do professor ao elaborar problemas e exercícios,
pretendendo que os alunos os resolvam do modo que foram apresentados ou se disponham
a apresentar na resolução um bom senso lógico e solução válida.
Em linguagem ordinária, resolução de problemas está para solução de problemas,
porém, ao analisar o aspecto linguístico da resolução, percebe-se que, por exemplo, na
Filosofia (ABBAGNANO, 2007) a resolução está para regressão, ou seja, ao resolver um
problema em Matemática concebe-se que a solução do problema já é conhecida por
alguém, no caso o professor, que já é detentor da solução do problema proposto. Ao propor
o problema a intenção do professor é a de promover em seus alunos a regressão do
problema, buscando novas estratégias para a chegada da solução por ele anteriormente
encontrada. Note que, neste aspecto, a resolução de problemas perde o potencial heurístico
quando o professor oferece a sua solução como pronta e induz seus alunos a encontrá-la
ipis isliteres.
Nesse âmbito, provavelmente por estarem em um ambiente propício à
aprendizagem, destacam-se as relações didáticas estabelecidas entre o aluno, o professor e
o conhecimento matemático. Nesse ponto, focamos a Resolução de Problemas na ação
didática do professor, que, como veremos mais adiante, é manifestada pelo professor
quando elabora e apresenta aos seus alunos enunciados de problemas e exercícios, quando
seus alunos estabelecem a resolução (regressão) do problema e os procedimentos
heurísticos na solução dos problemas e exercícios.
O QUE PENSAM OS QUE PENSAM RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E
EXERCÍCIOS
Muitos autores apresentam definições de problemas em Matemática. Os estudos
comtemplam desde uma “prática tipologia” de problemas (Dante, 2000) até os estudos de
metacognição presentes nos trabalhos de Alan Schoenfeld (2001), Juan Pozo (1998) e
Frank Lester (1988).
Randall Charles & Frank Lester (1982) definem que “um problema é uma tarefa
para a qual”:
1. o indivíduo, que com ela se confronta, quer e precisa encontrar uma solução;
158
2. o indivíduo não tem procedimento prontamente disponível para achar a solução;
3. o indivíduo deve fazer uma tentativa para encontrar a solução.
Analisando cada ponto, percebemos que não há necessidade de resolver um
problema se este não causa no indivíduo algum tipo de provocação.
Dentre os apontamentos dos diferentes autores que versam sobre a Resolução de
Problemas, ressalta-se o que Saviani afirma: “a essência do problema é a necessidade, uma
questão em si não caracteriza um problema, nem mesmo aquele cuja resposta é
desconhecida, mas uma questão cuja resposta se desconhece e se necessita conhecer. Eis aí
um problema” (SAVIANI, 2002, p. 14.)
Ou seja, em uma perspectiva filosófica, um problema só é problema quando se
deseja encontrar uma solução. Mais ainda: um bom problema necessita estar em um
contexto (seja ele social, matemático ou utilitário); o importante é que o aluno deve estar
situado nesse contexto, não como mero receptor, mas como personagem da ação didática.
A linha teórica aqui adotada é a indicada enquanto atividade permanente do
Laboratório de Ensino e Aprendizagem de Matemática e Ciências Físicas e Biológicas da
Universidade Federal do Paraná, Departamento de Teoria e Prática do Ensino (DTPEN),
pelas professoras Ettiène Guérios e Tânia Zimer (1999), que servem de aporte teórico
primário para definirmos problema e exercício em Medeiros (2007).
Problema é problema se:
“... envolve uma situação com enunciado longo, além de o resolvedor
necessariamente haver de identificar as situações matemáticas que resolvem a
situação apresentada. Outra aproximação cabe também em situações com
enunciados curtos, de poucas linhas, mas que necessariamente provoque o
resolvedor a identificar as situações matemáticas que as resolva.” (MEDEIROS,
2007, p. 34.)
Nesse contexto, apontamos que os problemas que favorecem os processos
heurísticos (das descobertas pelos próprios meios, sem a inferência contínua do professor)
contribuem para uma melhora do potencial criativo dos alunos, além disso, podem
proporcionar a aprendizagem mais significativa de conceitos, algoritmos e determinados
formalismos em Matemática.
Exercícios podem se tornar problemas, a recíproca é verdadeira. Do mesmo modo
que concebemos a existência de um tipo de problema que é exercício, como
frequentemente aparecem nos livros didáticos.
Segundo Medeiros (2007):
159
“Problemas não são chamados de ‘problemas’ se o resolvedor não necessita
identificar situações matemáticas, ou seja, se ele pode resolver o “problema”
utilizando um simples modelo de resolução de outro já resolvido. Tais problemas
não passam de meros exercícios, já que podem ser numerosos, não necessitam da
interpretação do enunciado e envolvem um único conteúdo e uma única
metodologia. Esses proliferam em muitos livros didáticos.” (MEDEIROS, 2007, p.
34.)
Tal definição reforça a ideia de que problema tem enunciado e que necessariamente
provoca no resolvedor a necessidade de identificar que situações matemáticas, que
estratégias são adequadas à solução do problema. Essa definição está presente também em
Vila e Callejo (2006) quando definem problema:
“Reservaremos, pois, o termo problema para designar uma situação, proposta com
finalidade educativa, que propõe uma questão matemática cujo método de solução
não é imediatamente acessível ao aluno/resolvedor ou ao grupo de alunos que tenta
resolvê-la, porque não dispõe de um algoritmo que relaciona os dados e a
incógnita ou de um processo que identifique automaticamente os dados com a
conclusão e, portanto, deverá buscar, investigar, estabelecer relações e envolver
suas emoções para enfrentar uma situação nova”. (VILA & CALLEJO, 2006, p.
29.)
Corroboramos com Pozo (1998), pois entende que ensinar os alunos a resolver
problemas é:
“dotá-los da capacidade de aprender a aprender no sentido de habituá-los a
encontrar por si mesmos respostas às perguntas que os inquietam ou que precisam
responder, ao invés de esperar uma resposta já elaborada por outros e transmitida
pelo livro-texto ou pelo professor (...)” (POZO, 1998, p. 14.)
Pozo remete a um importante pesquisador em Resolução de Problemas: George
Polya.
As contribuições teóricas de Polya estão além da mera repetição ou rótulo. O
aspecto reducionista que por vezes é atribuído à sua produção teórica, limita-a a quatro
passos do seu trabalho A Arte de Resolver Problemas. Polya afirmava que fazer
matemática é resolver problemas, e isso só faz sentido se fizermos descobertas.
Para Polya (1995):
“Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada
de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto,
mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o
resolver, por seus próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da
descoberta.” (POLYA, 1995, p. 20.)
160
A ênfase dada por Polya às descobertas nos interessou, demasiadamente, tanto que,
ao aprofundar a pesquisa no campo teórico, foi fundamental um estudo minucioso do que
Polya já apontava como sendo Heuristic Strategies ou até mesmo “Heurística Moderna6”,
o que entendemos como sendo procedimentos heurísticos necessários à Resolução de
Problemas.
De acordo com as definições feitas em relação à atividade heurística, justifica-se a
possível inserção desta relacionada à Resolução de Problemas e às contribuições
favoráveis para o ensino da Matemática e da Didática, pois, como salienta Polya (1945):
“A Heurística moderna esforça-se por compreender o processo de resolução de
problemas, especialmente as operações mentais, tipicamente úteis nesse processo.
(...) deve levar em conta tanto as suas bases lógicas quanto as psicológicas, não
deveria negligenciar aquilo que autores antigos como Pappus, Descartes, Leibnitz
e Bolzano disseram sobre o assunto, (...). O estudo da heurística tem objetivos
“práticos”: uma melhor compreensão das operações mentais tipicamente úteis na
resolução de problemas poderia exercer uma influência benéfica sobre o ensino,
especialmente sobre o ensino da Matemática. (POLYA, 1945, pp. 129-130.)
Tomando por base os estudos de Polya, Alan Schoenfeld focou suas pesquisas na
meta-cognição presente na resolução de problemas. Para Schoenfeld (1991), os problemas
são “ponto de partida das discussões matemáticas”, assim o pensar matematicamente
problemas teria alto nível cognitivo e as rotinas algorítmicas baixo nível cognitivo.
Schoenfeld (1992) caracteriza “problema” como ferramenta para pensar
matematicamente. Ambos concebem a Matemática não como uma disciplina formal, mas
enfatizam a sua dependência com a intuição, a imaginação e a descoberta. Dessa maneira,
no plano meta-cognitivo, muitas vezes se erra e tem-se que descobrir outras saídas, o que
acaba contribuindo para melhorar nossa capacidade de imaginar soluções: “O resultado do
trabalho criativo do matemático é o raciocínio demonstrativo, a prova, mas a prova é
descoberta por raciocínio plausível, pela imaginação” (POLYA, apud SCHOENFELD,
1992, p. 341.)
A definição de problema também passa pela concepção e pela crença que o
professor traz em sua formação, sobre, por exemplo, o que é Resolução de Problemas.
Garnica (2008) resgata que:
6
Polya, em seus trabalhos, apresentou problemas matemáticos de forma intuitiva, fazendo
uso da Arte (técnica) com que os conceitos matemáticos eram formados, sendo responsável por organizar
didaticamente os princípios da Heurística. Para isso, elaborou um pequeno dicionário de Heurística, presente
na parte três do livro How to Solve It (traduzido para o português como A Arte de Resolver Problemas).
161
“De um modo geral, a abordagem a esse tema sofre de um malfadado círculo
vicioso: identificar ou promover mudanças nas concepções implica detectarmos, a
priori, as concepções anteriores à mudança. Há, nessa afirmação, inúmeros pontos
de fuga, mas ressaltamos, dentre eles, um elemento a ser considerado: são as
concepções estáveis de modo a se deixarem identificar tão facilmente e tão
mansamente serem sujeitáveis a alterações?” (GARNICA, 2008, p. 5)
E os exercícios? Lexicamente a palavra exercício está definida como sendo:
atividade de treino, preparação de uma atividade para um desporto. Cabe aqui explorar o
potencial dos exercícios como prelúdio de uma ação mais ampliada, que seria a enunciação
de problemas conforme concebemos no presente artigo. Ou ainda, conexão lógica,
linearidade e, em alguns casos, possibilidade de compartimentalizar a aula, torná-la mais
prática.
“Que atire a primeira pedra” aquele professor que nunca ouviu seus alunos
questionarem: “Professor, entendi esse exercício, mas para que serve isso?”.
Segundo Vianna (2002), apresentar ideias matemáticas com significado é uma
maneira de responder à pergunta: “Para que serve isso?”. Na verdade, com as novas ideias
sendo apresentadas “em ação”, dificilmente ocorrerá aos alunos essa pergunta; ou seja, os
problemas já são uma situação de “aplicação” do conteúdo matemático e mostram, de
forma a não deixar dúvidas, “para que ele serve”. (VIANNA, 2002 apud MEDEIROS,
2007, p. 35.)
Para Vianna (2002) “É problema tudo o que, de uma maneira ou de outra, implica
da parte do aluno a construção de uma resposta ou de uma ação que produza certo efeito. A
noção de problema não tem sentido se o aluno não puder aplicar um sistema de respostas
inteiramente constituído”. (VIANNA, 2002, apud MEDEIROS, 2007, p. 37.)
Desse modo, exercícios são exercícios se:
“Problemas não são chamados de “problemas” se o resolvedor não necessita
identificar situações matemáticas, ou seja, se ele pode resolver o “problema”
utilizando um simples modelo de resolução de outro já resolvido. Tais problemas
não passam de meros exercícios, já que podem ser numerosos, não necessitam da
interpretação do enunciado e envolvem um único conteúdo e uma única
metodologia.” (MEDEIROS, 2007, p. 34.)
Para fazer exercícios e resolver seus problemas de saúde, há de ser autodidata da
Educação Física ou, no caso daqueles mais “descolados”, contratar um personal training,
que é um profissional habilitado e estabelece um treinamento intenso e condicionado, que
deve ser realizado com acompanhamento do técnico na promoção de exercícios e
benefícios dessa prática.
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Senão, pode-se estabelecer uma “dose” de adrenalina esporádica, sem aquecimento,
estabelecendo exercícios a revelia, correndo o risco de uma contusão, dores em diversas
partes do corpo e consequente efeito inverso àquele desejado na prática de promover
exercícios.
Cabe didática em estabelecer uma rotina de exercícios para os interessados em
praticar esportes? E aqueles interessados em exercitar matemática? Quem é o personal
training da resolução de exercícios em Matemática?
Caberia ao professor de Matemática se especializar em didática de resolução de
exercícios? Neste artigo optamos por estudar o efeito didático que se tem ao resolver
exercícios e problemas com alunos de 5ª e 6ª série, além do ponto de vista teórico que, por
vezes, nos fez perguntar se era esse realmente o caminho para tentar explicitar os tipos de
relações didáticas entre alunos e professores quando resolvem problemas e exercícios.
A didática por vezes é atribuída somente ao professor, por muitos rotulado como
aquele que tem uma boa didática, razoável didática ou que não tem didática. No magistério
é ele quem planeja, elenca os conteúdos a serem ministrados, dirige, elabora os enunciados
e supervisiona a atuação dos seus alunos na resolução dos problemas. Não seria, portanto,
necessária à formação docente (inicial ou continuada) a disciplina de Didática dos
Procedimentos Heurísticos na Resolução de Problemas?
Quando organizamos as falas dos alunos e professores entrevistados em trechos
retirados dos protocolos de Medeiros (2007), percebemos que o aluno não só diz como
resolveu o problema; ele mostra os porquês de cada estratégia, se organiza didaticamente,
transparece os procedimentos heurísticos na resolução dos problemas. Para nós o aluno
tem didática própria e deve participar da elaboração dos enunciados dos problemas. É
competência do professor promover esse envolvimento e potencializar o movimento
didático da Resolução de Problemas.
Entendemos que desconsiderar a participação do aluno como personagem principal
da ação didática, ou mesmo anular a diversidade de soluções que ele apresenta quando está
frente a um problema, pode ocasionar uma série de distorções dos resultados esperados na
resolução de problemas. Afinal, enunciados de problemas (longos em especial) trazem
consigo uma série de crenças e, porque não, de concepções a cerca da necessidade de
resolvê-lo.
O professor deseja que seus alunos resolvam o seu problema, com aquele
enunciado criado por ele; a questão é satisfazer a necessidade do professor de verificação
163
de algum conhecimento matemático imediato. Ou seja, trata-se de um exercício de
paciência, por parte do professor, em esperar que seus alunos o resolvam, e de submissão
dos alunos, em responder à pergunta final do problema, resposta essa que dependerá da
aprovação do professor, detentor da resposta correta, conhecida a priori.
O problema é (não o exercício de) analisar os enunciados (textos) de problemas e
exercícios e as expectativas criadas pelos professores e alunos quando são questionados
sobre tais expectativas e estratégias de resolução. A didática tem a marca de análise das
relações na ação docente (elaboração dos enunciados dos problemas e exercícios), pela
atividade discente (resolução dos problemas e exercícios), partindo do pressuposto que
existe distinção entre problema e exercício por parte do professor.
Não estamos preocupados com a contextualização e o cotidiano dos enunciados dos
problemas e exercícios, mesmo porque, a medida que fomos aprofundando as análises dos
protocolos de Medeiros (2007), percebemos que mesmo os enunciados que continham o
“desenho” de contextualização foram ignorados pelos alunos ao resolverem, pois,
responderam os problemas como se fosse uma espécie de “caça-palavras” daquilo que
serve para estabelecer um algoritmo que resolvesse o problema.
Para esse artigo focamos o movimento do conhecimento matemático que o aluno
tem a priori ao resolver exercícios e problemas e o efeito didático produzido quando os
personagens da ação manifestam suas intenções, imperceptíveis se olhássemos apenas as
resoluções escritas dos problemas e exercícios.
Justificamos, portanto, como pano de fundo, fundamentar nosso artigo no campo da
Didática por tratar-se de um processo metodológico pautado em uma concepção de
conhecimento que tem a prática docente como elemento norteador, fazendo a mediação
entre a o modo como o aluno faz o problema, o modo pelo qual pensa o problema e o
pensamento decorrente dessa ação didático-prática.
TRANSCRIÇÕES E TEXTUALIZAÇÃO
Alguns achados são apontados a seguir como modo de fundamentar nossa definição
de problema e de exercício para o presente artigo. Trata-se de um relato breve de alguns
trechos da pesquisa, pois é decorrência de tudo que até aqui já foi citado: a necessidade de
164
bem definir e localizar a definição de problema e de exercício amarrada às falas dos alunos
e professores, personagens da ação didática descrita.
Tendo em vista que a pesquisa é uma atividade sempre em processo de descoberta,
caberiam outras aflições, outras constatações. Ainda assim, entendemos que o presente
artigo ajuda a desmitificar o que se “concebe” como problemas, exercícios e seus
respectivos enunciados.
Podemos dar às nossas definições de exercícios e de problema aguças parciais,
sempre sujeitos ao aceite de “novas concepções”, a outras, novas inserções e as mais
diversas interpretações. Parece-nos adequado que, ao apresentar um artigo que afirma
categoricamente o que são exercícios e problemas, tendo como base uma pesquisa feita em
sala de aula (MEDEIROS, 2007), com professores de Matemática de sala de aula, o leitor
questione: então aqui encontro a definição do que é problema (ou exercício) em aulas de
Matemática?
Não, não é isso! E é justamente a isso, a essa necessidade de encontrar em textos a
resposta, a definição tida como “a mais correta”, que pretendemos responder com um não!
Convidamos o leitor a construir uma definição sua, que satisfaça às suas concepções após a
leitura das transcrições que seguem.
Ao apresentar nossas definições resgatemos que aceitar, única e exclusivamente,
tais definições como tipologia de problemas não é nossa intenção. Concepções e crenças
estão vinculadas às práticas daqueles que as manifestam, são nossas as concepções e
crenças que emergiram de todo o emaranhado de falas coletadas durante a pesquisa,
entretanto, fornecem elementos teóricos para o processo de reflexão da prática docente e da
ação didática estabelecida.
Estabelecemos um diálogo entre os personagens que consideramos personagens da
ação didática, caricaturizados com a presença de três professores (e porque não
pesquisadores) que instigam seus alunos sobre o porquê, o como resolveram problemas e
exercícios e suas expectativas sobre a resolução de problemas e exercícios que lhes foram
oferecidos como atividades de Matemática.
A metodologia foi fazer inferências a cada trecho (achado, recortado por esses
pesquisadores da textualização das entrevistas semi-estruturadas) levantando, entre outras
questões, se a atividade discutida entre os personagens (aluno e professores) é um
problema ou é um exercício, e principalmente o no nosso entendimento, se é exercício e se
é problema cada recorte da pesquisa (MEDEIROS, 2007)
165
Usaremos as letras “P”, “PP” e “A” para personificar os professores; “D1” para
aluno da 5ª série; “D2” para aluno da 6ª série; “J1” para aluna da 5ª série; “J2” para aluno
da 6ª série; “L” para aluno da 5ª Série; “S” para aluno da 6ª Série; “R” para aluno da 6ª B;
e “P1” para aluna da 6ª B.
(...)
A – “E a atividade 1, por que deixou em branco?”
D1 – “O enunciado era muito grande. Aí resolvi os menores primeiro.”
P – “Qual foi a atividade que você mais gostou de resolver?”
D1 – “Aquela das continhas.” (atividade 3)
P – “Por quê?”
D1 – “Era a mais fácil.”
(...)
P – “L. Qual a atividade que você mais gostou?”
L – “Ah, a de fazer continhas, gosto de fazer continhas...” (atividade 3)
P – “Teve alguma atividade que você não gostou muito?”
L – “A primeira, muita coisa para ler.”
P – “Ok!”
(...)
A atividade 01 tinha o seguinte enunciado: “A direção do colégio quer participar
com mais entusiasmo da 'Campanha da Fraternidade', promovida pela CNBB (Comissão
Nacional dos Bispos do Brasil), cujo tema desse ano é a 'Fraternidade e pessoas com
deficiência'. Para isso resolveu comprar uma máquina de escrita em Braile (tipo de escrita
em relevo para cegos). O problema é que uma máquina nova é muito cara! Pagar à vista...
Nem pensar, uma opção é comprar a prazo. A loja onde a direção do colégio pretende
comprar a máquina calculou o preço a prazo com juros, o que fez o preço subir para R$
2.466,00 em 12 prestações iguais. A escola recebe uma média de R$ 960,00 como recurso
do Estado, só que o Colégio tem despesas fixas de aproximadamente R$ 800,00. Comprar
o aparelho em 12 vezes é viável ou não para o colégio? Por quê? Se não for, o que a
direção pode fazer para comprar a máquina?”
Bem observado por D1 e L “o enunciado era muito grande”, “muita coisa para ler”.
De fato nossa intenção era oferecer aos alunos um enunciado de várias linhas, definimos
como problema de enunciado longo. Além disso, estabelecemos como critério de escolha
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do texto a contextualização com alguma notícia da mídia da época. A escolha foi a
Campanha da Fraternidade (2007) e a compra de uma máquina de escrita em Braile.
Eureka! O enunciado era longo, o “problema” era contextualizado, a pergunta
dependia de uma interpretação do texto... Não, nada disso interferiu na solução apresentada
pelos alunos. O fato de o enunciado ser longo promoveu um efeito inverso àquele
pretendido nos moldes de um bom problema. Os alunos desconsideraram o enunciado e
focaram a busca de palavras-chave que de alguma maneira lhes economizasse o tempo
para a resolução e estabelecesse de imediato o algoritmo da solução do “problema”.
Garimpou-se o enunciado na busca da solução, um exercício de “catação”, pois a pergunta
final: “Se não for, o que a direção pode fazer para comprar a máquina?” ficou no
esquecimento. Algo como respostas de problemas matemáticos só envolvem cálculos
aritméticos e respostas numéricas.
Já a atividade 03 tinha o seguinte enunciado: “Efetue da maneira que preferir:
a) 32.452 ÷ 23 =
b) 423 x 13 =
c) 25 + 45 x 12 =
d) 235 + 423 =
e) 1.235 – 459 =
f) 45 –20 ÷ 10 =”
Exercícios assim, definidos a priori por nós como exercícios, por serem de
aplicação direta de um algoritmo, que, de certo, é de conhecimento geral dos alunos de 5ª e
6ª série, é preferível por não ter enunciado longo e “ser a mais fácil” de resolver.
Eureka! O exercício se transformou em problema. Problema mesmo foi os alunos
estabelecerem na estratégia de resolução que na letra “c)”, “25 + 45 x 12”, a multiplicação
é uma adição de parcela iguais, ou seja, poucos resolveram 12 x 45 = 45 + 45 + ... + 45,
doze vezes (ou mesmo quarenta e cinco vezes o doze) para depois somar com 25.
Nesse caso, o exercício virou problema e em uma tentativa de ser reformulado com
o que entendemos ser problema ficaria: Li que para resolver expressões numéricas (por
exemplo: 25 + 45 x 12, deve-se primeiro: resolver as multiplicações e divisões na ordem
em que aparecem e, segundo, resolver as adições e subtrações na ordem em que
aparecem. Essa é uma regra matemática. Crie outra situação parecida e procure explicar
o porquê dessa regra.
Nota-se, de imediato, que a aversão em resolver atividades matemáticas com
enunciados longos, não objetivos, que de alguma maneira não expressem qual a questão a
ser respondida “de cara” é um “problema”. Além do que, nos parece que um problema só é
problema se tem enunciado com várias linhas e informações que, de alguma maneira,
conduzem o resolvedor a um contexto, seja ele matemático, real e/ou cotidiano. O que de
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fato nos seduz em um “bom” problema é a possibilidade de inspirar no aluno a descoberta
por ele mesmo da regra, da convenção matemática.
Em contrapartida, pode-se pensar que ler um enunciado com muitas informações se
torna um exercício de concentração e habilidade em interpretar o texto, separando “o joio
do trigo” e que as informações necessárias à resolução do problema daquelas que, se
retiradas, não prejudicam o conteúdo definido como objetivo daquela atividade, ou seja, o
problema em questão. Se puderem ser retiradas àquelas informações que carregam o texto
com “muita coisa para ler”, prova-se que mesmo um dito problema com enunciado longo é
um exercício que tem como finalidade as operações básicas da aritmética.
Tal situação é observada no discurso do professor. Para o presente artigo optamos
por estabelecer um diálogo com alunos de 5ª e 6ª série e seus professores. Pensamos em
identificar qual era o entendimento que o professor tem sobre exercícios e problemas, se
este se aproximava do que entendíamos ser um “bom” problema. Nas entrevistas
percebemos que, no diálogo com o professor, esse também se mostra impaciente e
inseguro com a falta de dados no enunciado de um problema, elemento que, dadas as
limitações de número de páginas, não apresentaremos neste trabalho.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nessa trajetória de compreensões e interpretações das falas transcritas e
textualizadas dos professores e dos alunos, devemos registrar as referências que os
professores fazem acerca dos "problemas" que enfrentam durante a execução de suas
atividades docentes. Pudemos categorizar "problemas" em dois grandes grupos: os da
vertente técnica e aqueles de vertente educacional, uma categorização que afirmamos,
nesse artigo, é uma análise dos dados tal e qual foram textualizadas. E apenas operacional,
pois certamente caberiam diferentes interpretações em sua essência, visto que tais
vertentes, no universo dessa investigação, não são fim em si próprias.
Problemas são aqueles originados da intervenção dos professores nos enunciados
dos exercícios que já foram resolvidos, vistos resolvidos no livro didático, entre outros. A
reprodução de um “problema” já pode ser vista como exercício de resolução de problemas
retirados de livros didáticos, sites ou da própria prática docente. Já os exercícios tão pura e
simplesmente elaborados com o intuito de treinar a repetição de algoritmos conhecidos
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pelos professores, desde a sua composição, resolução e gabarito, tornam os exercícios um
enigma a ser desvendado em doses homeopáticas.
A boa intenção do professor ao elaborar problemas para seus alunos exala a
concepção que ele tem sobre o que é problema, e, consequentemente, o que é exercício.
Por vezes, identificamos que o efeito didático desejável pelo professor ao elaborar os
problemas de matemática se volta contra ele mesmo, tornando sua ação didática uma
reprodução inconsciente de problemas não-problemas.
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