Continuidade Absoluta de Funções Convexas
Flavio Lima de Souza∗,
Luis Antônio F. de Oliveira,
Universidade Estadual Paulista - “Júlio de Mesquita Filho”
Depto de Matemática, FEIS, UNESP,
15385-000, Ilha Solteira, SP
E-mail: [email protected], flavio90 [email protected].
Palavras-chave: Análise e Aplicações, Condição de Lipschitz, Funções Absolutamente Contı́nuas,
Funções Convexas.
Resumo: Este trabalho de Iniciação Cientı́fica tem como objetivo apresentar o conceito de
funções convexas e algumas de suas propriedades, ganhando maior destaque a continuidade
absoluta.
1
Introdução
As funções convexas formam uma importante classe em Análise Real. Elas são utilizadas em
diversas áreas da Matemática Aplicada e em problemas de otimização. A seguir, serão estudadas
algumas das principais propriedades de funções convexas, dando maior enfoque na continuidade
absoluta dessas funções.
2
Resultados e Discussões
Definição 2.1 Uma função f : [a, b] → R é dita absolutamente contı́nua se dado > 0,
existe um número real δ > 0Ptal que para toda coleção
P finita de intervalos {(aj , bj )}j=1,2,...,n ⊂
[a, b], dois a dois disjuntos, nj=1 |bj − aj | < δ ⇒ nj=1 |f (bj ) − f (aj )| < .
Condição de Lipschitz: A função f : I → R satisfaz a condição de Lipschitz no intervalo I se
existe uma constante c > 0 tal que |f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|, ∀ x, y ∈ I.
Lema 2.2 Toda função f : I → R lipschitziana é absolutamente contı́nua.
PROVA. Como f é lipschitziana, temos que existe uma constante c > 0 tal que, |f (x) − f (y)| ≤
c|x − y|, ∀ x, y ∈ I. Assim dado > 0, tomando δ = c > 0 tal que:
n
X
|f (bj ) − f (aj )| < c ·
j=1
n
X
(bj − aj ) < c ·
j=1
|
{z
<δ= c
= ,
c
}
para quaisquer que sejam n os escalares a1 < b1 < a2 < b2 < ... < an < bn .
Definição 2.3 Uma função f definida no intervalo (a, b) é dita convexa se para cada x1 , x2 ∈
(a, b) e cada λ, 0 ≤ λ ≤ 1, temos f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ).
∗
Bolsista de Iniciação Cientı́fica - FAPESP
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0
0
0
0
0
Lema 2.4 Se f é convexa em (a, b) e se x, y, x , y ∈ (a, b) tais que x ≤ x < y e x < y ≤ y ,
então
f (y)−f (x)
y−x
0
≤
f (y )−f (x)
.
0
y −x
0
Do mesmo modo, vale
f (y )−f (x)
0
y −x
0
≤
0
f (y )−f (x )
.
0
0
y −x
A seguinte proposição trata de uma importante propriedade de continuidade de funções
convexas.
Proposição 2.5 Se f é convexa em (a, b), então f é absolutamente contı́nua para cada subin0
tervalo [c, d] ⊂ (a, b). As derivadas laterais (à direita, representada por f (x+ ) e à esquerda,
0
representada por f (x− )) de f existem para cada ponto de (a, b) e elas são iguais, exceto num
conjunto enumerável. Além disso, as derivadas laterais são funções monótonas crescentes, e
0
0
f (x− ) ≤ f (x+ ), x ∈ (a, b).
DEMONSTRAÇÃO. Seja [c, d] ⊂ (a, b) e x, y ∈ [c, d]. Como, a ≤ x < y e a < c ≤ y, do lema
(a)
(x)
(x)
(d)
(a)
2.4, segue que f (c)−f
≤ f (y)−f
. Analogamente, temos f (y)−f
≤ f (b)−f
, logo f (c)−f
≤
c−a
y−x
b−d
c−a
y−x
f (y)−f (x) f (b)−f (d)
f (b)−f (d)
f (y)−f (x)
≤ b−d . Seja C = b−d , segue que y−x ≤ C ⇒ |f (y) − f (x)| ≤ C · |y − x|,
y−x
∀ x, y ∈ [c, d]. Isso mostra que f é uma função lipschitziana em [c, d], e como toda função
lipschitziana é absolutamente contı́nua, logo f é absolutamente contı́nua.
(x0 )
Se x0 ∈ (a, b), a função ϕ definida em (a, b)\{x0 } por ϕ(x) = f (x)−f
é monótona crescente
x−x0
+
−
e consequentemente tem limites laterais finitos, e ϕ(x0 ) ≤ ϕ(x0 ).
Para provarmos que a função x 7→ ϕ(x) é monótona crescente, consideremos x, y ∈ (a, b)\{x0 },
(x0 )
(x0 )
(x0 )
(x0 )
≤ f (y)−f
, logo ϕ(x) ≤ ϕ(y). Assim, limx↓x0 f (x)−f
e limx↑x0 f (x)−f
então f (x)−f
x−x0
y−x0
x−x0
x−x0
0
0
+
existem e são finitos, ou seja, f é diferenciável em cada ponto x0 . Além disso, f (x−
0 ) ≤ f (x0 ).
Consideremos agora, x0 < y0 , x < y0 e x0 < y, pelo lema 2.4, segue que
f (y)−f (y0 )
,
y−y0
logo f
0
(x+
0)
≤ f
0
(y0+ )
e f
0
(x−
0)
≤ f
0
(y0− ),
ou seja, f
0
(x+
0)
e f
0
(x−
0)
f (x)−f (x0 )
x−x0
≤
são funções
0
monótonas e só tem o mesmo valor quando f for contı́nua em x0 , isto é, tem valor distinto
apenas nos pontos de descontinuidade. Sabemos no entanto, que uma função monótona tem
uma quantidade enumerável de pontos de descontinuidade, o que demonstra a proprosição.
3
Conclusão
Neste trabalho introduzimos o conceito básico de funções convexas, e algumas de suas importantes propriedades, dentre as quais, a continuidade. Nosso interesse é de utilizar esse importante
conceito no estudo de problemas de otimização convexa com a Desigualdade de Jensen no espaço
das Funções Lebesgue Integráveis L1 ([a, b], X), sendo X um espaço de Banach.
Referências
[1] E. L. LIMA, Curso de Análise,10a edição, 2a impressão, Associação Instituto Nacional de
Matemática Pura e Aplicada, RJ, (2002) 344.
[2] M. P. MATOS, Integral de Bochner e Espaços Lp (O, T ; X), Apostila de mestrado em
Equações Diferenciais Parciais, UFBA, 129, 84-94.
[3] H. L. ROYDEN, Real Analysis, 3a edição, Pientice - Hall, Inc. 468 (1988) 97-117.
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