MATEMÁTICA
Prof. Adilson
1. (Cefet-CE) Queremos encostar uma escada de 8 m de comprimento numa parede, de modo que ela
forme um ângulo de 60° com o solo. A que distância da parede devemos apoiar a escada no solo?
2. (UFPE) A rampa de acesso à garagem de um edifício sobre um terreno plano tem forma retangular e
determina um ângulo de 60° com o solo. Sabendo-se que ao meio-dia a sombra da rampa tem área
2
igual a 36 m , calcule a área da rampa.
3. (UFRRJ) Milena, diante da configuração representada abaixo, pede ajuda aos vestibulandos para
calcular o comprimento da sombra x do poste, mas, para isso, ela informa que o sen α = 0,6. Calcule o
comprimento da sombra x.
4. (Cesgranrio-RJ) Uma escada de 2 m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical.
Se a escada faz 30° com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de:
a) 0,5 m.
c) 1,5 m.
e) 2 m.
b) 1 m.
d) 1,7 m.
5. (Faap-SP) A seguir está representado um esquema de uma
sala de cinema, com o piso horizontal.
De quanto deve ser a medida de AT para que um
espectador sentado a 15 metros da tela, com os olhos 1,2
metros acima do piso, veja o ponto mais alto da tela, que é
T, a 30° da horizontal?
Dados:
sen 30° = 0,5
sen 60° = 0,866
cos 30° = 0,866
cos 60° = 0,5
a) 15,0 m
b) 8,66 m
2 = 1,41
3 = 1,73
tg 30° = 0,577
tg 60° = 3
c) 12,36 m
d) 9,86 m
e) 4,58 m
6. O ângulo de elevação do pé de uma árvore ao topo de uma
encosta é de 60°. Sabendo-se que a árvore está distante 100 m
da base da encosta, que medida deve ter um cabo de aço para
ligar a base da árvore ao topo da encosta?
a) 100 m
b) 50 m
c) 300 m
d) 200 m
e) 400 m
1
7. O cosseno do ângulo x, assinalado na figura a seguir, é:
a)
b)
c)
d)
e)
1
2
2
3
3
2
3
3
2
3
8. (Cefet-MG) Um menino com altura de 1,50 m empina um
papagaio, em local apropriado, com um carretel de 150 m
de linha, conforme a figura abaixo. A altura do papagaio,
em relação ao solo, quando ele der toda a linha do
carretel é:
a) 106,5 m.
b) 114,7 m.
c) 117,0 m.
d) 120,0 m.
9. (Cefet-MG) Duas pessoas A e B, numa rua plana,
avistam o topo de um prédio sob ângulos de 60° e 30°,
respectivamente, com a horizontal, conforme mostra a
figura. Se a distância entre os observadores é de 40 m,
então, a altura do prédio, em metros, é
aproximadamente igual a:
a)
b)
c)
d)
34.
32.
30.
28.
10. (PUCC-SP) Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio, conforme mostra
a figura a seguir.
Se ela caminhar 90 metros em linha reta, chegará a um ponto B,
de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo de 60°.
Quantos metros ela deverá se afastar do ponto A, andando em
linha reta no sentido de A para B, para que possa enxergar o
topo do prédio sob um ângulo de 30°?
a) 150
b) 180
c) 270
d) 300
e) 310
2
11. (PUCC-SP) Em uma rua plana, uma torre AT é vista por dois observadores X e Y sob ângulos de 30° e
60° com a horizontal, como mostra a figura a seguir.
Se a distância entre os observadores é de 40 m, qual é aproximadamente a altura da torre? (Se necessário,
utilize 2 = 1,4 e 3 = 1,7). 3
a) 30 m
b) 32 m
c) 34 m
d) 36 m
e) 38 m
12. O cosseno do ângulo x, assinalado na figura a seguir, é:
a)
b)
c)
d)
e)
1
2
2
3
3
2
3
3
2
3
13. (PUC-MG) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30°. Então, depois que tiver percorrido 500 m,
conforme indicado na figura, sua altura h em relação ao solo, em metros, será igual a: (Considere sen
30° = 0,50 ou cos 30° = 0,87.)
a)
b)
c)
d)
250.
300.
400.
435.
14. (PUC-RS) Uma bola foi chutada do ponto M, subiu a rampa e foi até o ponto N, conforme a figura
a seguir.
A distância entre M e N é, aproximadamente,
a) 4,2 m.
b) 4,5 m.
c) 5,9 m.
d) 6,5 m.
e) 8,5 m.
3
15. (UEL-PR) Trafegando num trecho plano e reto de uma estrada, um ciclista observa uma torre. No
instante em que o ângulo entre a estrada e a linha de visão do ciclista é 60°, o marcador de
quilometragem da bicicleta acusa 103,50 km. Quando o ângulo descrito passa a ser 90°, o marcador de
quilometragem acusa 104,03 km.
Qual é, aproximadamente, a distância da torre à estrada? (Se necessitar, use
2 = 1,41;
3
= 1,73;
6
= 2,45.)
a) 463,4 m
b) 535,8 m
c) 755,4 m
d) 916,9 m
e) 1071,6 m
16. (UEL-PR) Com respeito aos pontos A, B, C, D e E, representados na
figura abaixo, sabe-se que
CD = 2 ⋅ BC e que a distância de D a
E é 12 m. Então, a distância de A a C, em metros, é:
a) 6
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
17. (UEL-PR) Um engenheiro fez um projeto para a construção de um prédio (andar térreo e mais 6
andares), no qual a diferença de altura entre o piso de um andar e o piso do andar imediatamente
superior é de 3,5 m. Durante a construção, foi necessária a utilização de rampas para transporte de
material do chão do andar térreo até os andares superiores. Uma rampa lisa de 21 m de comprimento,
fazendo ângulo de 30º com o plano horizontal, foi utilizada. Uma pessoa que subir essa rampa inteira
transportará material, no máximo, até o piso do:
a) 2º andar.
b) 3º andar.
c) 4º andar.
d) 5º andar.
e) 6º andar.
18. (UFC-CE) Na figura ao lado, o triângulo ABC é retângulo em B. O cosseno do ângulo BÂC é:
a)
12
.
13
b)
11
.
13
c)
10
.
13
d)
6
.
13
e)
1
.
13
4
19. (UFJF-MG) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um
teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 200 metros do edifício e mediu um ângulo de 30°,
como indicado na figura a seguir.
Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metro do solo, pode-se concluir que, dentre os valores a
seguir, o que melhor aproxima a altura do edifício, em metros, é: (Use os valores: sen 30° = 0,5; cos 30° =
0,866; tg 30° = 0,577.)
a) 112.
b) 115.
c) 117.
d) 120.
e) 124.
20. (Ufla-MG) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio distantes 60 3 = m uma
da outra. Uma terceira pessoa C, na outra margem
do rio, está situada de tal modo que AB seja
perpendicular a AC e a medida do ângulo ACB
seja 60°. A largura do rio é
a) 30 3 m
b) 180 m’
c) 60 3 m
d) 20 3 m
e) 60 m
21. (UFPE) Considere os triângulos retângulos PQR e PQS da figura a seguir.
Se RS = 100, quanto vale PQ?
a) 100 3
b) 50 3
c) 50
50 3
d)
3
e) 25
3
5
22. (UFRGS) Um barco parte de A para atravessar o rio. A direção de seu deslocamento forma um ângulo
de 120° com a margem do rio. Sendo a largura do rio 60 m, a distância, em metros, percorrida pelo
barco foi de:
a) 40
2.
b) 40
3.
c) 45
3.
d) 50
3.
e) 60
2.
23. (Vunesp) A figura adiante representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma
extensão, além de mesma altura.
Se AB = 2 m e BCA mede 30°, então a medida da extensão de cada degrau é:
a)
b)
c)
d)
e)
2 3
m.
3
2
m.
3
3
m.
6
3
m.
2
3
m.
3
24. (Vunesp) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um ângulo de 45°. Um posto de gasolina
se encontra na rodovia A, a 4 km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C,
perpendicular à rodovia B. A distância do posto de gasolina à rodovia B, indo através de C, em
quilômetros, é
a)
b)
c)
2
.
8
2
.
4
3
.
2
d)
2.
e) 2 2 .
6
25. (Vunesp) Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte, distante 60
quilômetros de A. Por um problema de orientação, o piloto seguiu erradamente rumo ao oeste. Ao
perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120° à direita em um ponto C, de modo que o
seu trajeto, juntamente com o trajeto que deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um
triângulo retângulo ABC, como mostra a figura.
Com base na figura, a distância em quilômetros que o avião voou partindo de A até chegar a B é
a) 30
b) 40
3.
3.
d) 80
3.
3.
e) 90
3.
c) 60
26. (Vunesp) Três cidades, A, B e C, são interligadas por estradas, conforme mostra a figura.
As estradas AC e AB são asfaltadas. A estrada CB é de terra e
será asfaltada. Sabendo-se que AC tem 30 km, que o ângulo
entre AC e AB é de 30°, e que o triângulo ABC é retângulo em C,
a quantidade de quilômetros da estrada que será asfaltada é
a) 30
3.
b) 10
3.
c)
10 3
.
3
d) 8
e)
3.
3 3
.
3
27. (Vunesp) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinação de 3 graus a uma velocidade
constante de 4 metros por segundo. A altura do topo da rampa em relação ao ponto de partida é 30 m.
Use a aproximação sen 3° = 0,05 e responda: o
tempo, em minutos, que o ciclista levou para
percorrer completamente a rampa é
a) 2,5.
b) 7,5.
c) 10.
d) 15.
e) 30.
7
28. O triângulo ABC tem altura h e base b (ver figura). Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é o
dobro da altura. Nessas condições, a altura do retângulo, em função de h e b, é dada pela fórmula:
bh
a)
h+b
2bh
b)
h+b
bh
c)
h + 2b
bh
d)
2h + b
bh
e)
2(h + b)
29. Na figura, ADB é reto, BAC é , CAD é , AC = 4dm e BC = 1dm.
Sabendo que cos (α + β) =
a)
b)
c)
d)
e)
4
, o valor de sen α é:
5
2
3
3
5
2
5
1
5
1
6
30. Se os lados de um triângulo medem x, x + 1 e x + 2, então, para qualquer x real e maior que 1, o
cosseno do maior ângulo interno desse triângulo é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
x
x +1
x
x+2
x +1
x+2
x−2
3x
x−3
2x
8
GABARITO
1. 4 metros
2. 72
50
metros
3. x =
3
4. b
5. d
6. d
7. c
8. a
9. a
10. c
11. c
12. b
13. a
14. c
15. d
16. c
17. b
18. a
19. c
20. e
21. b
22. b
23. e
24. e
25. c
26. b
27. a
28. d
29. d
30. e
9