Métodos de Pontos Interiores Aplicados em Radioterapia
Daniela R. Cantane
Maelson N. Silva
Univ. Estadual Paulista - Instituto de Biociências - Depto. de Bioestatı́stica,
18618-970, Botucatu, SP
E-mail: [email protected], maelson [email protected],
Helenice F. O. Silva
Univ. Estadual Paulista - Instituto de Biociências - Depto. de Bioestatı́stica,
18618-970, Botucatu, SP
E-mail: [email protected].
RESUMO
A programação linear tem sido amplamente usada para auxı́lio na determinação de planos
otimizados de tratamento por radioterapia. A primeira formulação proposta como um modelo
de programação linear ocorreu em 1968. Existem atualmente aparelhos sofisticados que foram
projetados, associados a técnicas modernas, que permitem a emissão de radiação ao longo de
todo o corpo do paciente, ampliando as possibilidades de minimização de efeitos colaterais, mas
aumentando a complexidade de obtenção de planos de tratamento. Com a finalidade de garantir
uma dosagem de radiação no tumor suficiente para sua eliminação e simultaneamente minimizar
a radiação nas regiões vizinhas, a programação linear é uma técnica de otimização que possibilita estudar a distribuição de dose em planejamento de tratamento de câncer por radioterapia.
Soluções obtidas pelo método Simplex não corresponde ao tratamento mais adequado do ponto
de vista médico, pois, as variáveis não básicas estarão nos seus respectivos limites [3], ou seja,
parte do tumor pode receber dosagem mı́nima estabelecida para sua eliminação enquanto parte
do tecido saudável pode receber a dosagem máxima estabelecida. Este trabalho consiste no
estudo e implementação de métodos de pontos interiores especı́ficos [2, 3] buscando maximizar
ou minimizar a dose, dependendo do tipo de tecido, na busca da solução ótima a partir de um
ponto interior factı́vel. Este é um problema de grande porte que contém uma estrutura matricial particular em que o método de pontos interiores pode auxiliar na resolução. O modelo
matemático pode ser encontrado em [2] e é dado por
minf =
m X
m
X
Dij
i=1 j=1
s.a :
Dij =
n
X
wp Apij , ∀(i, j)
p=1
l ≤ Dij , ∀(i, j) ∈ Γ
w≥0
onde,
Dij - representa a dosagem total recebida pelo paciente na posição (i, j);
Apij - representa a dosagem nominal emitida pelo raio p na posição (i, j);
w - representa a ponderação da dosagem emitida pelos raios;
l - representa a dosagem mı́nima a ser recebida pelo tumor;
Γ - representa o subconjunto de posições onde se encontra o tumor;
n - representa o número de raios;
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(1)
m - representa o numero total de pixels.
É possı́vel definir os subconjuntos R que representa posições onde se encontra o tecido crı́tico
e N que representa as posições onde se encontram os demais tecidos saudáveis. Neste trabalho,
estuda-se também uma variação deste modelo de programação linear no qual são incorporadas
restrições elásticas para auxiliar a determinação de soluções factı́veis, conforme descrito em [2].
A metodologia se baseia no modelo de programação linear utilizado para auxiliar no plano
de radioterapia, proposto em [2], que incorpora restrições elásticas, responsáveis pelo controle
da deposição da dose prescrita para as regiões de interesse, possibilitando a obtenção de planejamentos favoráveis a partir do modelo (2, 9).
min wlT t + uTc c + uTg g
(2)
s.a : lt − Lt ≤ AT x ≤ ut
(3)
Ac x ≤ uc + UC c
(4)
Ag x ≤ ug + UG g
(5)
0 ≤ Lt ≤ lt
(6)
−uc ≤ Uc c
(7)
Ug ≥ 0
(8)
x≥0
(9)
onde,
w- escalar positivo;
x- dose do sub-raio que entra na imagem para alcançar o pixel p, (x ∈ Rn );
t- (t ∈ Rm T ), t ≥ 0;
c- (c ∈ Rn C);
g- (g ∈ Rm G), g ≥ 0.
Os vetores t, c e g associados às restrições (3), (4) e (5) do modelo caracterizam a sua
elasticidade a partir da variação dos seus limites. As matrizes L, U c e U g definem como medir
a elasticidade, e l, uc e ug controlam a penalização conforme à elasticidade. Valores fixos das
variáveis de controle e das matrizes definem um conjunto de funções elásticas.
Métodos de Pontos Interiores desenvolvidos para uma classe de problemas especı́ficos permite
a exploração da estrutura do modelo de forma eficiente e é bem sucedido em termos de robustez
[1, 2, 4]. Com a redução das dimensões dos sistemas lineares e resolvendo-os a cada iteração,
obtém-se um bom desempenho computacional, agiliza-se o planejamento e várias simulações são
realizadas antes da elaboração de um plano definitivo [1, 2, 3, 4].
Palavras-chave: Programação Linear, Pontos Interiores, Radioterapia.
Referências
[1] Cantane, D. R., Contartheze, E. G., Oliveira A. R. L., Método de Pontos Interiores Barreira
Logarı́tmica Preditor - Corretor Especializado para o Problema de Regressão pela Norma
Lp, 13(3), 2012.
[2] Cid, C. B. B., “Planejamento de tratamento por radioterapia através de métodos de pontos
interiores”, dissertação de mestrado ICMC-USP, São Carlos, 2003.
[3] Holder, A., Designing radiotherapy plans with elastic constraints and interior point
methods, Health Care and management, 6(1), 2003.
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[4] Martins, A. C. S.,“O Método de pontos interiores no planejamento da radioterapia”, dissertação de mestrado IB-UNESP, Botucatu 2011.
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