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UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
INSTITUTO DE PESQUISAS SÓCIO -PEDAGÓGICAS
PÓS-GRADUAÇÃO "LATO SENSU"
A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
NO APRENDIZADO
Por: Norma Sueli Soares da Costa Bragança
Tutor ou orientador
Prof. Ms. Marco A . Lorosa
Rio de Janeiro
2001
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UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
INSTITUTO DE PESQUISAS SÓCIO-PEDAGÓGICAS
PÓS-GRADUAÇÃO "LATO SENSU"
A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
NO APRENDIZADO
Apresentação de monografia ao Conjunto
Universitário Candido Mendes
condição prévia para conclusão
como
do
Curso de Pós-Graduação"Lato Sensu" em
Docência do Ensino Superior.
Por: Norma Sueli Soares da Costa Bragança
II
10
AGRADECIMENTOS
A Universidade Candido Mendes, a todo o corpo
docente e, em especial ao Ms. Marco
A .
Larosa. Agradeço também, aos professores
Eduardo e Lúcia Helena por seu grande apoio e
amizade e a professora e amiga Elizabeth por
sua ajuda e dedicação.
III
11
DEDICATÓRIA
Dedico esta monografia as minhas filhas,
Lorena e Thamires e ao meu marido Irlan, por
toda dedicação, apoio e carinho.
Dedico também ao meu grande amigo Marcos
Otávio, pela presença marcante e pelo grande
incentivo.
IV
12
RESUMO
Os números surgiram na Antigüidade por necessidades da vida
cotidiana e converteu-se em um imenso sistema de variadas e extensas
disciplinas.
Os números são conceitos abstratos e para demonstrá-los houve
a necessidade de se utilizar símbolos para
representá-los. Diversas
populações criaram símbolos ou gestos utilizando a relação corporal para
demonstrar à idéia de quantidade.
A matemática desempenha papel decisivo, pois permite resolver
problemas da vida cotidiana, tem muitas aplicações no mundo do trabalho e
funciona como instrumento essencial para a construção de conhecimentos em
outras áreas. De mesmo modo interfere fortemente na formação e na
agilização do raciocínio dedutivo do aluno.
Os números são de grande importância na construção da
cidadania na medida em que a sociedade se utiliza, cada vez mais, de
conhecimentos científicos e recursos tecnológicos, dos quais os cidadãos
devem se aprimorar.
O indivíduo deve ser levado a "falar"e a "escrever"sobre os
números para que chegue ao entendimento de seu verdadeiro significado,
compreendendo que a matemática e um conhecimento historicamente
construído e em permanente evolução.
V
13
METODOLOGIA
A metodologia empregada nesta monografia, foi feita através de
pesquisas em livros de matemática,
mais precisamente livros de História da
matemática, que na verdade, não possuem muitos cálculos, mas
apenas
narram como aconteceu, quem foi o responsável por aquele ou por outro
cálculo e principalmente, demonstram que todos os cálculos que apareceram
há muitos e muitos anos atrás, continuam novos, ou seja, na matemática
conceitos e valores, não se tornam ultrapassados.
VI
14
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
08
CAPÍTULO I
Os Números na História da Civilização.
11
CAPÍTULO II
Origens
28
CAPÍTULO III
Personagens que fizeram a História da Matemática
43
CAPÍTULO IV
Diferentes Abordagens do ensino da matemática para crianças. 61
CONCLUSÃO
70
BIBLIOGRAFIA
72
ÍNDICE
73
VII
15
INTRODUÇÃO
A matemática é um aspecto único do pensamento humano, e sua
história difere na essência de todas as outras histórias, e com o passar do
tempo, quase todo campo de esforço humano é marcado por mudanças que
podem ser consideradas como correção e/ ou extensão. Assim as mudanças
na história de acontecimentos políticos e militares são sempre caóticos ; não há
como prever o surgimento de um Genghis Khan, por exemplo, ou as
conseqüências do pouco duradouro Império Mongol. Outras mudanças são
questão de moda e opinião subjetiva. As pinturas das cavernas de há 25.000
anos são geralmente consideradas como grande arte, e embora a arte tenha
mudado continuamente, até caoticamente.
Nos milênios subseqüentes, há elementos de grandeza em todas
as modas. Semelhantemente, cada sociedade considera seus próprios
costumes naturais e racionais, e acha os de outras sociedades estranhos,
ridículos ou repulsivos, mas isso não acontece entre as ciências, pois somente
entre elas existe o verdadeiro progresso, só aí existe o registro de contínuos
avanços a alturas sempre maiores.
E no entanto em quase todos os ramos da ciência o progresso de
avanço é tento de correção quanto de extensão. Aristóteles, uma das maiores
mentes que jamais contemplaram leis físicas, estava completamente errado em
16
suas idéias sobre corpos em queda e teve que ser corrigido por Galileu por
volta de 1590.Galeno, o maior dos médicos da antigüidade, não foi autorizado
a estudar cadáveres humanos e estava completamente errado em suas
conclusões anatômicas e fisiológicas. Teve que ser corrigido por Vesalius em
1543 e por Harvey em 1628. Até Newton, o maior de todos os cientistas,
estava errado em sua visão sobre a natureza da luz, a acromaticidade das
lentes e não percebeu a existência de linhas espectrais. Sua obra máxima, as
Leis de moviemento e teoria da gradatividade universal, tiveram que ser
modificadas por Eintein em 1916.
Agora vemos o que torna a matemática única.Só na matemática
não há correção significativa, só extensão. Uma vez que os gregos
desenvolveram o método dedutivo, o que fizeram estava correto para todo o
sempre. Euclides foi incompleto e sua obra foi enormemente estendida, mas
não teve que ser corrigida. Seus teoremas, todos eles, são válidos até hoje.
Ptolomeu pode ter desenvolvido uma representação errônica do sistema
planetário, mas o sistema de trigonometria que ele criou para ajudá-lo em seus
cálculos permanece correto para sempre.
Cada grande matemático acrescenta algo ao que veio antes, mas
nada tem que ser removido. Por tudo isso, podemos dizer que a matemática
desempenha papel decisivo, pois permite resolver problemas da vida cotidiana,
tem muitas aplicações no mundo do trabalho e funciona como instrumento
essencial para a construção de conhecimentos em outras áreas. De mesmo
modo interfere fortemente na formação e na agilidade do raciocínio dedutivo do
aluno.
Assim, esse trabalho tem como objetivos,estudar as relações
entre quantidades,magnitudes e propriedades ,e das operações lógicas
utilizadas para
deduzir
quantidades,
magnitudes e
propriedades
17
desconhecidas. Mostrar que no passado, a matemática era considerada a
ciência da quantidade, aplicada
às magnitudes ( como na Geometria), aos
números ( como na Aritmética) ou à generalização de ambos ( como na
Álgebra).
Outro objetivo e conhecer a história dos números de vários povos,
enfatizar a situação _ problema no aprendizado da matemática; repensar a
concepção da matemática, situando-a como elemento indispensável para o
exercício da cidadania.
18
CAPÍTULO I
OS NÚMEROS NA HISTÓRIA DA
CIVILIZAÇÃO
UM MUNDO REPLETO DE NÚMEROS
19
Os números estão presentes o tempo todo à nossa volta, embora
nem sempre a gente os perceba. Eles fazem parte das nossas vidas. entre
ontem e hoje, quantas vezes você já se envolveu com eles? Faça um
levantamento de todos os momentos e situações em que ele pode ser usado.
Será que sempre foi assim? com certeza não! No passado, as
pessoas não tinham telefone em suas casas nem havia automóveis nas ruas.
Em poucos lugares as casas tinham número, e o comércio não tinha a
intensidade de hoje.No Brasil havia poucas indústrias e as cidades eram muito
menores do que as de agora.
Podemos concluir então que, hoje, nossa dependência dos
números é bem maior do que em tempos atrás. Quanto mais voltamos no
tempo, podemos observar que menor era a presença dos números na vida das
pessoas.
1.1- Desvendando o passado
Desde quando os números existem? Quando e como eles foram
criados?
A origem dos números perde-se no tempo, numa época em que
ainda não existia a linguagem escrita. Então, em que os historiadores se
apóiam para contar a história dos números?
Na verdade, a história dos números é apenas uma parte da
história da humanidade. Investigar a sua origem é investigar a pré-história
20
humana. Neste trabalho os historiadores são auxiliados por cientistas de várias
áreas.
Fazendo escavações, o arqueólogo estuda as ruínas de antigas
civilizações e, através dos objetos encontrados, procura desvendar o passado,
já os antropólogos e os sociólogos, ao estudar certos grupos humanos, como
os índios brasileiros ou os aborígenes australianos, podem avaliar como teria
sido a vida do homem de milhares de anos atrás .
1.1.1 - No tempo em que as casas eram buracos nas pedras.
Há 50 mil anos, o modo de vida era muito diferente do de hoje. As
pessoas viviam em grupos pouco numerosos e alimentavam -se da caça e da
coleta de frutos e raízes. Habitando cavernas, abrigavam -se do tempo e
protegiam -se dos inimigos.
Em 1940, na França, foi descoberta uma dessas cavernas, cujo
estudo trouxe muitas informações sobre a vida de seus antigos habitantes. É
curioso que essa descoberta tenha se dado por acaso.
Alguns garotos passeavam pelo campo, quando um cãozinho caiu
num buraco. Alargando a abertura, os meninos descobriram uma gruta enorme.
Nas suas paredes havia pinturas coloridas de cavalos, veados, bisões e até
rinocerontes.
21
Investigando-a, os cientistas determinaram a idade aproximada
daquelas pinturas: 25 mil anos e os objetos e ossos ali encontrados, permitiram
conhecer um pouco mais a respeito do homem que a habitou.
Supõe-se que o seu tipo fósico tenha sido bastante semelhante
ao nosso e que, se fosse possível vestir um deles com as roupas que usamos
hoje e cortar-lhe o cabelo e a barba, ele não seria notado ao passear por
nossas ruas.
A descoberta
de algumas sepulturas mostrou que eles
dedicavam atenção aos mortos, o que sugere que eles deveriam ter alguma
preocupação com a vida espiritual.
Alguns estudiosos acham que, se fosse possível trazer um bebê
daquela época para os dias de hoje e educá-lo
à nossa maneira, ele
aprenderia tudo que nossas crianças aprendem. Essa opinião é interessante
porque combate uma crença, muito comum entre as pessoas, de que o homem
das cavernas erra "burro", "tacanho", enquanto nós somos "inteligentes". Isto
não é verdade. Não é aí que está a diferença entre os nossos antepassados e
os homens de hoje. A diferença, que é profunda, está nas maneiras de viver.
Eles não comerciavam: não compravam ou vendiam e não
usavam dinheiro. Não plantavam, não criavam animais e nem construíam suas
casas. Compreendendo o seu modo de vida podemos entender por que eles
não conheciam os números. Em suas vidas, nada havia que levasse à
necessidade de contar. Não contavam, simplesmente, porque não precisavam.
Mas as coisas foram mudando!
22
1.1.2 - Novas maneiras de viver
Do habitante das
cavernas
até
nossos
dias,
passaram-se
milhares de anos e o modo de vida foi mudando lentamente. À medida que se
aperfeiçoavam na caça e aprendiam a se proteger melhor de seus predadores,
os pequenos grupos humanos, aos poucos, tornaram-se mais numerosos. A
natureza também sofreu mudanças: algumas regiões ficaram frias, cobertas de
gelo; outras viraram desertos; muitas espécies de animais e plantas
desapareceram. Todas essas modificações trouxeram como conseqüência
uma mudança na forma de vida de nossos antepassados: eles passaram a
cultivar a terra e criar animais.
O homem foi deixando de ser apenas caçador e coletor de
alimento e, como agricultor, fixou-se no solo. Deixou gradativamente a vida
nômade e tornou-se, aos poucos, cada vez mais sedentário. Aprendeu a
construir moradias em pedra, barro, madeira ou tijolo, agrupadas em núcleos
cada vez maiores, que vieram a formar as primeiras aldeias.
Capturando animais selvagens para tê-los como reserva de
alimento, o homem aprendeu a domesticá-los e a aproveitar-se do que eles
ofereciam, como a lã e o leite. Há 6 mil anos já estavam domesticados o
cachorro, o carneiro, a cabra, o porco, o boi e o cavalo, entre outros animais.
Desse modo, além de agricultor, o homem tornou-se criador, desenvolvendo o
pastoreio.
A agricultura e o pastoreio provocaram profundas modificações na
vida humana.Originaram uma existência mais organizada; estimularam a
cooperação entre grupos e a divisão do trabalho entre homens e mulheres,
velhos e moços. Os grupos humanos passaram a contar com reservas
de
23
alimento para entender à população que crescia. Iniciou-se um tipo primitivo de
comércio baseado em trocas. Surgiu então no homem e desenvolveu-se o
sentimento de propriedade sobre os animais, a terra e os produtos dela
extraídos.
A criação de animais, a agricultura, a construção das casas e o
comércio rudimentar trouxeram consigo a necessidade da contagem. A
agricultura, por exemplo,
passou a exigir o conhecimento do tempo, das
estações do ano, das fases da Lua. Foi preciso contar a sucessão dos dias e
das noites para que surgissem os primeiros calendários. Além disso, quem
possui bens preocupa-se em controlar o que tem. O sentimento de
propriedade, e também as novas formas de vida, trouxeram consigo a
necessidade de contar. É daí que vêm os números.
1.1.3 - A capacidade de perceber pequenas quantidades
Um dos recursos usados para desvendar o nosso passado
consiste em estudar os grupos humanos que,
ainda hoje, apresentam um
modo de vida semelhante ao dos homens de milhares de anos atrás. Este
estudo, realizado por antropólogos, revelou que todo ser humano possui um
sentido numérico, isto é, possui a capacidade de distinguir pequenas
quantidades.
Para entender o que é sentido numérico,
podemos fazer a
seguinte experiência: dê quatro bolas iguais a uma criança de uns dois anos de
idade. Depois de deixá-la brincar por algum tempo, retire duas bolas, sem que
ela perceba.Você verá que ela sente falta dos brinquedos.
24
Será que ela contou para saber que faltam duas bolas? É claro
que não! Ela apenas usou o seu sentido numérico. Certamente, se lhe
déssemos quinze bolas iguais e retirássemos duas, ela não notaria.
Essa capacidade de distinguir pequenas quantidades não é
exclusiva do ser humano. Experiências realizadas com animais demonstraram
que alguns deles também têm esta capacidade.
1.1.4 - O pastoreio : ovelhas e pedrinhas
Um pastor precisa controlar seu rebanho. Precisa saber se
nenhuma ovelha se perdeu ou se nasceram novos animais. Quando o rebanho
é pequeno, é possível conhecer um a um todos os bichinhos. Mas, e quando o
rebanho é grande?
Ao que parece, as primeiras contagens foram realizadas pelos
pastores, usando pedrinhas.
De manhãzinha, quando as ovelhas saíam para o pasto, o pastor
separava uma pedrinha para cada animal, formando assim um montinho, ao
final do dia, o pastor retirava do monte uma pedrinha para cada ovelha que
retornava ao pasto.
Se sobrassem pedrinhas no monte, era porque alguns animais
haviam ficado para trás. Assim, ele tratava de procurá-los , assim como, se
faltassem pedrinhas no monte, era porque o rebanho havia aumentado, ou
talvez algum animal de outro rebanho tivesse se juntado ao seu.
25
Uma das evidências que os historiadores apontam para a versão
da origem da contagem por meio de pedrinhas está, mais uma vez, na
linguagem. A palavra cálculo originou-se da palavra latina calculus, que
significa "pedrinha" Essa deve ser a origem da palavra calcular: contar com
pedrinhas, por isso, ainda hoje dizemos que se um fulano está com cálculo
renal, ele na verdade está com pedra no rim.
1.1.5- Marcas e dedos
Além das pedrinhas, o homem usou outros recursos para auxiliálo nas contagens, inclusive nosso corpo teve papel importante ao longo dos
milhares de anos que se levou para criar os números.
Na língua falada por algumas tribos, para referir-se à quantidade
cinco, eles dizem mão. Para referir-se ao dez, dizem duas mãos. Em alguns
casos ainda, para dizer vinte, dizem um homem completo, indicando que,
depois de contar com os dedos das mãos, passaram a usar os dedos dos pés.
A associação entre dedos e números até hoje está presente na
palavra dígito. De fato, esta palavra, sinônimo de "algarismo", provém de
digitus,que em latim significa "dedo".
1.2- As grandes civilizações do passado
Já
foi dito que a agricultura e o pastoreio modificaram
profundamente a vida dos homens, dando origem às primeiras aldeias que,
lentamente, transformaram-se nas primeiras cidades. Algumas destas cidades
cresceram e abrigaram as primeiras grandes civilizações.
26
Apesar das diferenças, há características comuns a estas
civilizações. Muitas desenvolveram -se em vales de rios, que sempre tiveram
grande importância na vida dos homens. Os rios são fontes de vida, pois
fornecem água e alimento, é, além disso, são estradas naturais, e em todas as
grandes civilizações, a agricultura teve um papel importante.
O desenvolvimento da agricultura trouxe consigo a necessidade
de calendários precisos. Para organizá-los foi necessário desenvolver os
conhecimentos de astronomia e matemática.
O comércio também desempenhou um papel importante na
organização daquelas civilizações e estimulou o contato entre elas. Por volta
do ano 2600 a . C., barcos de comércio egípcios, carregados com lentilhas,
tecidos e papiros ( uma espécie de papel), navegavam pelo Mar Vermelho e
pelo Mar Mediterrâneo, vendendo seus produtos. Outros comerciantes
viajavam por terra.
As antigas civilizações atingiram um elevado grau de organização.
Isto trouxe uma série de problemas, cuja solução exigia o conhecimento e o
domínio dos números. Nas construções de casas, templos, estradas e
aquedutos, nas atividades comerciais, na navegação, na elaboração do
calendário e no estudo dos astros há problemas que exigem contagens e
cálculos. Assim como cada uma destas grandes civilizações criou a sua própria
linguagem escrita, elas também desenvolveram diferentes maneiras de
representar quantidades.
27
1.2.1 - A Numeração Egípcia
Os egípcios escreviam os números usando esses sinais:
um traço vertical representava a unidade;
um sinal em forma de alça indicava a dezena;
um sinal, parecido com um pedaço de corda enrolada, valia cem;
esta flor de lótus com seu talo representava mil ( lótus era uma
planta sagrada no Egito Antigo);
este desenho, representando um dedo quebrado indicava dez
mil
com um girino eles representavam cem mil;
esta figura ajoelhada, com as mãos para o alto, representava
um
milhão.
Eles contavam formando grupos de dez, como nós fazemos hoje,
no nosso sistema de numeração: dez unidades formam a dezena; dez dezenas
formam a centena; dez centenas formam o milhar, também o sistema egípcio é
decimal ou, com outras palavras, dizemos que ele tem base dez.
28
1.2.2 -O sistema de numeração da Mesopotâmia
Nas escavações arqueológicas realizadas nas cidades da
Mesopotâmia foram encontrados milhares de placas de barro, contendo
numerosas inscrições. Em algumas delas, os registros referiam-se a números.
Usando um bastonete, os escribas da Mesopotâmia escreviam
sobre placas de barro, com o barro ainda mole. Depois eles eram cozidas no
fogo ou apenas secas ao sol.
No
sistema
representada por este sinal
numérico
da
Mesopotâmia,
a
unidade
era
∇, parecido com uma cunha. Vejamos como
eram escrito os números de um a nove.
Para escrever dez, eles usavam o mesmo símbolo, porém em
posição horizontal.
Por exemplo, os números 13 e 23 eram escritos respectivamente,
assim:
( 13 )
(23)
29
A numeração dos
mesopotâmicos é de
base sessenta. Na
numeração egípcia,
significa um grupo de dez mais dois. Na numeração
mesopotâmica,
significa um grupo de sessenta mais três. O símbolo
da esquerda, separado dos outros três, vale sessenta.
1.2.3 - A numeração na Grécia antiga
Os gregos usavam as vinte e quatro letras de seu alfabeto
acrescido de três outros sinais para representar os números.
Letra
µ
Nome da letra
Valor
α
alfa
1
β
beta
2
γ
gama
3
δ
delta
4
ε
epsílon
5
ς
digama
6
dzeta
7
eta
8
teta
9
iota
10
capa
20
lambda
30
mi
40
ni
50
csi
60
ômicron
70
pi
80
copa
90
ro
100
sigma
200
30
tau
300
ípsilon
400
fi
500
qui
600
psi
700
omega
800
sã
900
Para representar os múltiplos de mil, até nove mil, eles usavam
novamente as primeiras letras do alfabeto, acompanhadas de um pequeno
risco.
,
( 5000).
1.2.4- O sistema numérico romano
Na antigüidade, os romanos escreviam os números usando estes
sinais:
Símbolos I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1000
Valor
Estes são os atuais números romanos, que sofreram algumas
modificações com o passar dos tempos .
EX:
O número
4 era representado
representado por IV.
desta maneira por
IIII
e agora é
31
Em vários aspectos, o sistema romano de numeração se parece
com o sistema egípcio. Trata-se de um sistema de base dez, em que
comparecem novos símbolos para o cinco, o cinqüenta e o quinhentos.Isso
facilita a escrita de alguns números. É mais fácil escrever setenta e sete assim
LXXVII do que assim XXXXXXXIIIIIII.
O sistema de numeração romano, criado na Antigüidade, foi
usado na Europa durante muitos séculos. Nesta época não havia imprensa e
os livros eram copiados manualmente. É natural então que, com o passar do
tempo, os símbolos sofressem modificações. O quinhentos, que era
representado assim I ⊃,
passou a ter esta representação : D. Além disso, o mil passou de C I ⊃ para
M. Foi também introduzida uma nova regra: o quatro passou a ser escrito
assim IV, significando que o um deverá ser subtraído do cinco.
Nove
IX
quarenta
XL
noventa
XC
Quatrocentos
CD
novecentos
CM
32
1.2.5- O sistema de numeração dos Maias
Os diversos sistemas de numeração apresentados aqui foram
criados por povos que habitavam a Europa, o Oriente e o Oriente Médio. o
sistema que será apresentado agora foi desenvolvido pelos maias, que viveram
mais próximos de nós. Durante mais de mil anos eles habitaram a região onde
hoje se localiza o sul do México e a América Central.
Vejam como eram os números maias de um a dez.
1-
7-
.
2-
..
8-
..
3-
...
9-
...
....
4-
10-
....
5-
___
6-
.
----
1.2.6- A origem da numeração indo-arábica
A origem do nosso sistema de numeração é bastante antiga. Ele
surgiu na Ásia, há muitos séculos, no vale do rio Indo, onde hoje é o
Paquistão.Existem algumas informações importantes para que possamos
compreender melhor essa história.
No vale do rio Indo, há mais de quatro mil anos, desenvolveu-se
uma das primeiras civilizações indianas, que chegou a implantar uma rede de
cerca de cem povoados, incluindo algumas cidades.
As ruínas de uma dessas cidades, hoje conhecida como Mohenjo
Daro, revelam a existência de ruas calçadas, casas com tijolos de barro,
piscinas para banhos públicos e até sistemas de fornecimento de
canalização de esgoto.
água e
33
Nessas ruínas descobriram-se também alguns registros escritos,
embora até o momento este sistema de escrita não tenha sido decifrado Por
todas essas indicações permitem entrever que essa civilização tenha atingido
um alto grau de organização.
No entanto por volta de 1.500 ªC., esta cultura desapareceu,
possivelmente devido às invasões dos povos arianos e as civilizações que
floresceram posteriormente nesta região também desenvolveram sua própria
escrita, além de um sistema que foi a base para o nosso.
Numeração Indiana não -posicional ( segundo um registro do século I)
_ =
=
12
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
100
200
Neste sistema, não existia o símbolo zero.
Até que fosse desenvolvida a numeração decimal posicional,
ainda se passariam alguns
séculos, parece que o sistema de numeração
indiano se configurou apenas por volta do século v.
Numeração indiana decimal posicional ( segundo um registro do
século IX)
1
10
2
20
3
4
5
6
7
8
9
34
Devemos conhecer
a História dos números, considerando como
essência para um bom caminhar no ensino da matemática, porque apresentar
apenas cálculos soltos no espaço e no tempo, passam a não ter forma para o
educando que muito dificulta o processo ensino-aprendizagem .
35
CAPÍTULO II
ORIGENS
36
ORIGENS
Os matemáticos do século xx desempenham uma atividade
intelectual altamente sofisticada, o que não é fácil de definir, mas boa parte do
que se chama matemática deriva de idéias que originalmente estavam
centradas nos conceitos de número, grandeza e forma. Definições antiquadas
da matemática como uma "ciência do número e grandeza" já não são válidas;
mas sugerem as origens dos diversos ramos da matemática. Noções primitivas
relacionadas com os conceitos dos números, grandeza e forma podem ser
encontradas nos primeiros tempos da raça humana, e vislumbres de noções
matemáticas se encontram em forma de vida que podem datar de milhões de
anos antes da humanidade. Darvin no Descent of Man (1871) observou que
alguns animais possuem capacidades como memória e imaginação, e hoje é
ainda mais claro que as capacidades de distinguir número, tamanho, ordem e
forma - rudimentos de um sentimento matemático -não são propriedades
exclusivas da humanidade. Experiências com corvos, por exemplo, mostraram
que pelo menos alguns pássaros podem distinguir conjuntos contendo até
quatro elementos. Uma percepção de diferenças de padrões em seus
ambientes claramente existe em muitas formas inferiores de vida, e isso tem
parentesco com a preocupação dos matemáticos com forma e relação.
Em certa época pensou-se que a matemática se ocupava do
mundo que nossos sentidos percebem e foi somente no século dezenove que a
matemática pura se libertou das limitações sugeridas por observações da
natureza. ë claro que a matemática originalmente surgiu como parte da vida
diária do homem, e se há validade no princípio biológico da "sobrevivência do
mais apto"a persistência da raça humana provavelmente tem relação com o
desenvolvimento de conceitos matemáticos. A princípio as noções primitivas de
37
número, grandeza e forma podiam estar relacionadas com contrastes mais do
que semelhantes -- a diferença entre um lobo e muitos, a desigualdade de
tamanho entre uma sardinha e uma baleia, a dessemelhança entre a forma
redonda da lua e a retilínea de um pinheiro. Gradualmente deve ter surgido, da
massa de experiências caóticas, a realização de que há analogias: e dessa
percepção de semelhanças em número e forma nasceram a ciência e a
matemática. As próprias diferenças parecem indicar semelhanças, pois o
contraste entre um lobo e muitos, entre um carneiro e um rebanho, entre uma
árvore e uma floresta, sugerem que um lobo, um carneiro e uma árvore têm
algo em comum -- sua unicidade . Do mesmo modo se observaria que certos
grupos, como os pares, podem ser postos em correspondência um a um. As
mãos podem ser relacionadas com os pés, os olhos e as orelhas ou as narinas.
Essa percepção de uma propriedade abstrata que certos grupos têm em
comum e que nós chamamos número, representa um grande passo no
caminho para a matemática moderna. É improvável que isso tenha sido a
descoberta de um indivíduo ou de uma tribo; é mais provável que a percepção
tenha sido gradual, desenvolvido tão cedo no desenvolvimento cultural do
homem quanto o uso do fogo talvez há 300.000 anos. Que o desenvolvimento
do conceito de número foi um processo longo e gradual é sugerido pelo fato de
que certas línguas, o grego inclusive,
conservaram na sua gramática uma
distinção tripartite entre um e dois e mais de dois, ao passo que a maior parte
das línguas atuais só faz a distinção em " número"entre singular e plural.
2.1 - Zero: uma conquista difícil.
Estamos tão habituados com o nosso sistema de numeração, que
ele nos parece muito simples e natural. No entanto, desde os tempos em que
38
foram realizadas as primeiras contagens até o aparecimento de nosso sistema
numérico, decorreram milhares de anos.
Provavelmente a razão dessa demora tenha sido a dificuldade
para se inventar o zero, pois o zero nos é tão familiar que não sentimos a
menor estranheza em raciocinar com ele. Entretanto, nem sempre foi assim,
pois passou muito tempo para que o zero fosse inventado e, mesmo depois,
esse símbolo não foi aceito com facilidade.
Os números foram criados a partir de necessidades concretas,
nas diversas contagens que se apresentavam no dia - a dia. Os números
surgiram como resposta à pergunta: "Quantos?". Ora, quem não tem coisa
alguma, que necessidade pode ter de contar o que não tem?
Por outro lado, num sistema de numeração que procura retratar o
que se passa, é imprescindível que haja um símbolo para representar as casas
vazias. Neste sentido podemos dizer
que o zero viabilizou, isto é, tornou
possível o sistema de numeração posicional que usamos hoje.
2.2- A origem da geometria
Afirmações sobre a origem da matemática, seja da aritmética,
seja da geometria, são necessariamente arriscadas, pois os primórdios do
assunto são mais antigos que a arte de escrever. Foi somente nos últimos seis
milênios, numa carreira que pode ter coberto milhares de milênios, que o
homem se mostrou capaz de pôr seus registros e pensamentos em forma
escrita. Para informações sobre a pré-história dependemos de interpretações
baseadas nos poucos artefatos que restaram, de evidência fornecida pela
moderna antropologia, e de extrapolação retroativa, conjetural, a partir dos
documentos que sobreviveram.
39
Heródoto e Aristóteles não quiseram se arriscar a propor origens
mais antigas que a civilização egípcia, mas é claro que a geometria que tinham
em mente possuía raízes mais antigas. Heródoto mantinha que a geometria se
originava no Egito., pois acreditava que tinha surgido da necessidade prática
de fazer novas medidas de terras após cada inundação anual no vale do rio.
Aristóteles achava que a existência no Egito de uma classe sacerdotal com
lazeres é que tinha conduzido ao estudo da geometria. Podemos considerar as
idéias de Heródoto e Aristóteles como representando duas teorias opostas
quanto às
origens da matemática, um acreditando que a origem fosse a
necessidade prática, outro que a origem estivesse no lazer sacerdotal e ritual.
O fato dos geômetras egípcios serem às vezes chamados de "estiradores de
corda"( ou agrimesores) pode ser tomado como apoio de qualquer das duas
teorias, pois cordas eram indubitavelmente usadas tanto para traçar as bases
de templos como para realinhar demarcações apagadas de terras. Não
podemos contradizer com segurança nem Heródoto nem Aristóteles quanto à
motivação que produziu a matemática, mas é claro que ambos subestimaram a
idade do assunto. O homem neolítico pode ter tido pouco lazer e pouca
necessidade de medir a terras, porém seus desenhos e figuras sugerem uma
preocupação com relações espaciais que abriu caminho para a geometria.
Seus potes, tecidos e cestas mostram exemplos de congruência e simetria, que
em essência são partes da geometria elementar. Além disso, seqüências
simples em desenhos, segurem uma espécie de teoria dos grupos aplicada,
bem como proposições geometrias e aritméticas. O esquema torna evidente
que as áreas dos triângulos estão entre si como os quadrados sobre um lado,
ou por contagem, que a soma dos números ímpares consecutivos, começados
com a unidade, são quadrados perfeitos. Para o período pré histórico, não há
40
documentos, portanto é impossível acompanhar a evolução da matemática
desde um desenho específico até um teorema familiar. Mas idéias são como
sementes resistentes, e às vezes presumida de um conceito pode ser apenas a
reaparição de uma idéia muito mais antiga que ficara esquecida.
A preocupação do homem pré-histórico com configurações e
relações pode ter origem no seu sentimento estético e no prazer que lhe dava a
beleza das formas, motIvos que muitas vezes propelem a matemática de hoje.
Gostaríamos de pensar que ao menos alguns dos antigos geômetras
trabalharam pela pura satisfação de fazer matemática, não como auxílio prático
à mensuração; mas há outras alternativas. Uma é que a geometria, como a
contagem, tivesse origem em rituais primitivos. Os mais antigos resultados
geométricos encontrados na Índia formam o que se chamou
Sulvasutras, ou
"regras da corda". Tratava-se de relações simples, que aparentemente se
aplicavam à construção de templos e altares. Pensa-se usualmente que a
motivação geométrica dos "estiradores de corda"no Egito era mais prática que
a dos seus colegas na Índia mas sugeriu-se que tanto a geometria da Índia
como a egípcia podem provir de uma fonte comum, uma protogeometria
relacionada com ritos mais ou menos do modo como a ciência se desenvolveu
a partir da mitologia e a filosofia da teologia. Devemos ter em mente que a
teoria da origem da geometria numa secularização de práticas rituais não está
de modo nenhum provada. O desenvolvimento da geometria pode também ter
sido estimulado por necessidades práticas de construção e demarcação de
terras, ou por sentimentos estéticos em relação a configuração e ordem.
Podemos fazer conjeturas sobre o que levou os homens da Idade da Pedra a
contar, medir, e desenhar. Que os começos da matemática são mais antigos
que as mais antigas civilizações é claro. Ir além e identificar categoricamente
41
uma origem determinada no espaço e no tempo, no entanto, é confundir
conjetura com história. É melhor suspender o julgamento nessa questão e ir
adiante, ao terreno mais firme da história da matemática encontrada em
documentos escritos que chegaram até nós.
2.2.1- A Geometria Plana: breve introdução
histórica
A Geometria( que significa medida da terra) sempre preocupou e
interessou os homens de ciências, entretanto, os primeiros estudos de
geometria partiram deu ma hipótese falsa: a Terra era uma superfície plana,
imaginava-se. Mas esse fato não impediu o desenvolvimento da geometria, até
porque,
muito freqüentemente, as aplicações dessa ciência se fazem em
regiões limitadas, quase planas.
A geometria nasceu entre os séculos IV e II a. C., durante o
reinado de Ptolomeu I, em plena cultura clássica grega, pelas mãos de
Euclides, mestre da Escola de Alexandria. Euclides trabalhou
exaustiva e
extensivamente, a ponto de alguns historiadores duvidarem de que a autoria de
uma obra de tal porte tenha sido de um único homem. As controvérsias, no
entanto, não tiraram o mérito de quem propôs uma primeira sistematização dos
estudos matemáticos. Em Euclides, ela recebeu o nome de método axiomático,
que se desenvolve a partir de poucos conceitos básicos ( ponto, reta e plano) e
de algumas premissas simples, aceitas como verdadeiras pelo senso comum
ou admitidas como tal quando não muito evidentes.
42
Aos principiantes, vale a pena repetir que as teorias da geometria
se baseiam em noções simples e intuitivas e em princípios aceitos como
verdadeiros pelo senso comum. Por noções simples e intuitivas entendam-se
conceitos básicos não definidos, oriundos de outros quaisquer; os princípios
chamados de Postulados ou Axiomas, compreendem aqueles conceitos
básicos, aceitos e conhecidos pela intuição ou pela experiência dos indivíduos.
A geometria plana ou elementar trabalha com postulados
expressos pelas seguintes proposições:
I- Dois pontos determinam uma reta.
II- Por um ponto passam infinitas retas.
III- Três pontos não-colineares determinam um plano.
IV- Se uma reta tem dois pontos comuns com o plano, então ela está contida
nesse plano.
O desenvolvimento da geometria, bem como o de toda
matemática, baseia-se em dois métodos: o indutivo e o dedutivo. No método
indutivo, o conhecimento ocorre a partir do estudo de sucessivos exemplos e
casos particulares bem-sucedidos, em relação aos quais se pode concluir uma
regra geral para casos semelhantes; é o caminho que conduz ao conhecimento
partindo do particular para o geral.
No método dedutivo, o conhecimento ocorre em caminho inverso
ao indutivo, ou seja, do geral para o particular. De princípios gerais, como
axiomas ou postulados, por exemplo, aplicáveis a entes fundamentais como
pontos, retas e planos, obtêm-se conclusões particulares, aplicáveis a figuras
geométricas quaisquer, como triângulos e polígonos.
43
2.3- A origem da álgebra
O primeiro século do Império mulçumano fora destituído de
realizações científicas. Esse período ( de cerca de 650 a 750) foi na verdade, o
nadir do desenvolvimento da matemática, pois os árabes ainda não tinham
entusiasmo intelectual, e o interesse pela cultura, tinha quase desaparecido no
resto do mundo.Não fosse o súbito despertar cultural do Islam na segunda
metade do oitavo século, certamente muito mais se teria perdido da ciência e
da matemática antigas.
A Bagdá, nesse tempo, foram chamados estudiosos da Síria e
Mesopotâmia, inclusive judeus e cristãos, estes estudiosos estabeleceram
várias novidades em relação à matemática, inclusive
Sabedoria" ( Bait al-hikma) comparável ao antigo Museu
uma "Casa da
de Alexandria,
Mohaammed ibu-Musa al-Khowarizmi , escreveu vários livros sobre aritmética
e álgebra, que tiveram papéis muito importantes na história da matemática.
Através de sua aritmética, o nome de al-khowarizmi tornou-se
uma palavra vernácula, através do título do seu livro mais importante Al-jabr
Wa'l muqabalah, ele nos deu uma palavra mais familiar. Desse título veio o
termo álgebra pois foi por esse livro que mais tarde a Europa aprendeu o ramo
da matemática que tem esse nome.
Al-jabr chegou a nós em duas versões, latina e árabe, mas a
tradução latina, Líber algebrae et almucabiola falta uma parte considerável do
texto árabe. Na tradução latina, por exemplo, não há prefácio, talvez porque o
prefácio de autor em árabe elogiasse profundamente o profeta Maomé e alMamum,
"o Comendador dos Crentes ". Al-khowarizmi escreve que esse
último o tinha encorajado a
44
"Compor uma breve obra sobre cálculos por ( regras de)
complementação e redução, restringindo-a ao que é mais fácil e
útil essa aritmética, tal como os homens constantemente
necessitam em casos de herança, legados, partições, processos
legais e comércios, e em todas as sua transações uns com os
outros, ou onde se trata de medir terras, escavar canais,
computação geométrica e de outras coisas vários tipos e
espécies".[ Karpinski, 1915. p. 96]
Não se sabe bem o que significam os termos al-jabr e muqabalah,
mas a interpretação usual é semelhante à que a tradução acima implica. A
palavra
al-jabr
presumidamente
significa
algo
como
"restauração"ou
"completação" e parece referir-se à transposição de termos subtraídos para o
outro lado da equação, a palavra muqabalah, ao que se diz, refere-se a
"redução"ou "equilíbrio", isto é, ao cancelamento de termos semelhantes, em
lados opostos da equação.
2.3.1- Álgebra
A álgebra caracteriza-se pelo conjunto de conceitos, propriedades
de procedimentos que empregam letras e expressões literais para estabelecer
relações e. realizar operações.
Nas
expressões algébricas, as letras podem cumprir funções
muito diferentes, podem representar um número qualquer, um número
desconhecido, uma relação entre conjuntos de números ou símbolos arbitrários
45
de uma estrutura estabelecida por certas propriedades. Essas várias funções
das expressões algébricas estão relacionadas com as várias interpretações
que temos da álgebra:
- Álgebra como generalização da Aritmética;
- Álgebra como estudo de procedimentos para resolver certos problemas;
- Álgebra como estudo de relações entre quantidades;
- Álgebra como estudo das estruturas.
Na concepção da álgebra como generalização da aritmética, as
letras formam partes de modelos que permitem generalizar propriedades. Elas
são generalizadoras de modelos aritméticos, onde o uso das letras facilita
pensar em i déias matemáticas e permite representar,para qualquer número,
idéias ou relações que valem para números específicos. Por exemplo,
sabemos que se 10 + 6 = 16, então 16 - 6 = 10 ou 16 - 10 = 6. Se usarmos a,
b, e c para representar quaisquer números,podemos dizer que se a + b = c,
então c - b = a ou c - a = b.
Na concepção que temos da álgebra como
estudo de
procedimentos para resolver certos problemas, o tema central é a resolução de
equações. Neste caso, as letras são incógnitas específicas..
Na concepção da álgebra como estudo de relações entre
quantidades, as letras não são incógnitas. Elas descrevem certos aspectos de
um objeto ou um fenômeno, para compreender seu funcionamento e mesmo
deduzir novas propriedades. Nesta interpretação, as letras assumem o sentido
completo de variável, isto é, as variáveis variam. Existem as noções de variável
independente e variável dependente e a relação é uma função.
Por exemplo:
46
- A fórmula da área de um retângulo é uma relação entre as variáveis
comprimento e largura;
- Na função representada pela expressão y = 5x - 3, o valor de y depende de x.
Na concepção da álgebra como estudo das estruturas, as letras
são consideradas símbolos arbitrários de de uma estrutura estabelecida por
certas propriedades. Ou seja, as letras constituem elementos pretencentes a
estruturas algébricas, tais como grupos, anéis ou corpos, que fundamentam a
teoria da álgebra.
Uma característica desta interpretação consiste em ter em mente
referenciais ( geralmente números reais), quando utilizamos as letras, e operar
com elas sem ter de voltar a esses referenciais.
Por exemplo: simplifique a expressão ( x- 2 ) 2 - x2, para resolver esta questão,
calcula-se ( x - 2) 2, considerando ( x - 2 ) um número e, portanto:
( x - 2 ) 2 = ( x - 2) . ( x- 2).
2.4 - Aritmética
Aritmética, literalmente, arte de contar. A palavra do grego
arithmetike, que combina arithmos, que significa"número", e techne, que se
refere a uma arte ou habilidade.
2.4.1- Definições fundamentais
A aritmética estuda a modo com que os números podem ser
combinados da adição, subtração, multiplicação e divisão. Aqui a palavra
número refere-se também aos negativos, irracionais, algébricos e às frações.
47
As propriedades aritméticas da soma e da multiplicação são as mesmas da
álgebra. A operação aritmética da adição ( soma) é indicada com o sinal
(
+
mais
) e é uma maneira de contar usando incrementos maiores que 1. A
subtração ( diferença) é representada pelo sinal menos ( - ) e é a operação
oposta, ou inversa, da adição. O cálculo da subtração aritmética não é difícil,
desde que o subtraendo seja maior do que o minuendo. No entanto, se a
relação por inversa,
a única maneira de encontrar um resultado para a
subtração é a introdução do conceito de números negativos. A reta numérica
que se mostra em seguida, representa os números negativos.
Direção negativa
-5
Direção positiva
-4 -3 -2 -1
0 1 2 3 4
5
A multiplicação é indicada pelo sinal ( X) , que se lê como "por".
Algumas vezes, utiliza-se um ponto para indicar a multiplicação de dois ou mais
números, outras vezes usa-se
parênteses. A multiplicação é simplesmente
uma soma repetida. A divisão é a operação recíproca ou inversa da
multiplicação.
2.5 - Origem do termo cálculo
A palavra cálculo vem do latim calculus, que significa pedrinhas
ou pequenas pedras. Acredita-se que a muitos milhares de anos, quando o
homem não dominava nenhum sistema de contagem os pastores para
controlar a quantidade de ovelhas de seus rebanhos utilizavam essas
pequenas pedras.
48
Pela manhã o procedimento era o seguinte: para cada ovelha que
saia do cercado guardava-se uma pedra num saquinho. No fim do dia cada
pedrinha guardada no saquinho pela manhã era retirada assim cada ovelha
retornava ao aprisco, dessa forma eles podiam saber se todas as ovelhas
tinham retornado. Essa prática desenvolvida pelos pastores para fazer contas
utilizando pedras, deu origem a palavra calcular, que é tanto utilizada na
matemática e que significa, contar.
2.6- Origem do termo grau
Em qualquer livro de matemática encontra-se afirmações que o
ângulo reto mede 900 e que o ângulo raso mede 1800. Mas qual a razão para
os valores serem justamente 900 e 1800.
Para entendermos isso, retornaremos ao ano 4.000 a . C. quando
egípcios e árabes, estavam tentando elaborar um calendário. Nessa época,
acreditava-se que o sol girava em torno da terra numa órbita que levava 360
dias para completar uma volta. Desse modo, a cada dia o sol percorria uma
parcela dessa órbita. A esse arco fez-se corresponder um ângulo cujo vértice
era o Centro da terra e cujos os lados passavam pela extremidade de tal arco.
Assim esse ângulo passou a ser uma unidade de medida e foi
chamado grau ou ângulo de um grau. Assim, pode-se concluir, que para os
antigos egípcios e árabes o grau era medida do arco que o sol percorria em
torno da terra durante o dia.
49
2.7 - Origem do termo "Frações Decimais".
Todos os anos nomes de julho, as águas do rio Nilo inundavam
uma vasta região ao longo de suas margens. Fertilizavam os campos,
beneficiando a agricultura do Egito.Cada pedaço de terra às margens desse
rio, era precioso e tinha que ser bem cuidado. Por isso, por volta do ano 3.000
a .C. o Faraó Sesóstris repartiu essas terras entre uns poucos agricultores
privilegiados.
Só que todos os anos em setembro quando as águas baixavam,
funcionários do governo faziam a marcação do terreno de cada agricultor.
Esses funcionários eram chamados de agrimensores ou estivadores de corda.
Isso se explica pelo fato de que usavam cordas com uma unidade de medida
assinalada, essa corda era esticada para que se verificasse quantas vezes
aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno.Mas na maioria
das vezes acontecia da unidade de medida escolhida não caber um número
inteiro de vezes no lado do terreno.Para solucionar o problema de medição de
terras, os egípcios criaram um novo número, o número fracionário.
Este
capítulo,
apresentou
algumas
origens
dos
termos
matemáticos, e também das divisões da matemática, pois sem este
conhecimento, fica difícil o entendimento da origem da matemática, ou seja, da
história da matemática.
50
CAPÍTULO III
PERSONAGENS QUE FIZERAM A HISTÓRIA
DA MATEMÁTICA
51
29 de maio de 1832. Angustiado, nervoso, um jovem de apenas
vinte anos escrevia apressadamente uma carta a um amigo, pedindo-lhe que
publicasse as descobertas que havia feito na Matemática, pois havia se
envolvido com uma mulher e por causa dela, como era o costume daquela
época, não pudera evitar um duelo com pistolas que iria acontecer no dia
seguinte e durante aquela mesma noite, provavelmente teria refletido
amargamente nos duros obstáculos que a vida sempre colocava no seu
caminho.
Nascido na Aldeia de Bourg-la-Raine, nas proximidades de Paris,
o seu desinteresse pelos trabalhos escolares de rotina impediu que seus
professores vissem que ali estava, na verdade, o mais jovem gênio que a
Matemática havia produzido.
Aos dezesseis anos, sonhava entrar para a Escola Politécnica,
que tivera tantos matemáticos célebres como alunos. Mas as muitas horas de
estudo que dedicava às descobertas matemáticas que fazia impediram-no de
se preparar mais eficientemente e, por duas vezes, teve recusado o seu
ingresso nessa escola.
Aos dezessete anos, entregou um artigo com as descobertas que
fizera a um matemático chamado Cauchy, para que este o apresentasse à
Academia de Ciências de Paris, Cauchy simplesmente perdeu o artigo !
Aproximadamente dois anos mais tarde, tentou apresentar dois
novos artigos à Academia. Um foi entregue ao próprio secretário da Academia,
Fourier; o outro foi apresentado a
Poisson.
outro célebre
matemático chamado
52
Fourier morreu logo depois, e este artigo se perdeu. Poisson
devolveu o outro dizendo que era "incompreensível". As descobertas relatadas
nesse artigo"incompreensível" influenciam a Matemática até hoje.
O interesse apaixonado que dedicava à Matemática não o
impediu de participar ativamente das lutas políticas do seu tempo. Assim, a
revolução burguesa de 1830 foi encontra-lo lutando nas barricadas de Paris,
junto com milhares de cidadãos franceses, contra o absolutismo de Carlos X.
As suas idéias e atividades políticas levaram-no várias vezes à
prisão. As mesmas idéias que provocaram a sua expulsão da Escola Normal
de Paris, na qual havia ingressado depois das tentativas frustradas na Escola
Politécnica.
Na manhã de 30 de maio de 1832, um camponês encontrou-o
caído nas cercanias de Paris com uma bala no corpo. Levou-o a um hospital,
onde morreu no dia seguinte.
Todo estudante tem uma dívida de gratidão para com esse jovem matemático.
As suas idéias influenciaram toda uma geração de matemáticos.
Seu nome?
Évariste Galois ( 1811- 1832)
3.1- Tales de Mileto
Tales, matemático grego da Antigüidade
clássica, nasceu em
Mileto, região bastante rica, e viveu de 640 a 550 a . C. Consta que, depois de
enriquecer como comerciante, retirou-se dos negócios para se dedicar aos
53
estudos, especialmente à matemática.Ainda em vida, Tales foi reconhecido
o"pai da astronomia, da geometria e da aritmética" e considerado o primeiro
dos sete sábios da Grécia.
Tales viajou muito, oportunidade em que conheceu os progressos
matemáticos dos pensadores egípcios. Cabe a ele o mérito de ter contribuído
para a base de desenvolvimento científico da geometria, seja fazendo
demonstração originais para algumas propriedades, seja utilizando o processo
dedutivo.
No entanto, ele é sempre lembrado pelo fato histórico de ter
medido a altura da pirâmide de Quéops mediante a semelhança de dois
triângulos.No plano que se assenta a pirâmide, Tales fincou uma estaca em
posição vertical e observou simultaneamente a sombra da estaca e a sombra
da pirâmide projetadas pela luz do sol.
54
Deste modo, pôde medir a altura da estaca, a sombra projetada
por ela e a sombra projetada pela pirâmide. Com esses elementos, calculou a
altura da pirâmide. uma vez que os triângulos eram semelhantes.
A opinião antiga é unânime em considerar Tales como um homem
de rara inteligência e como o primeiro filósofo, por acordo geral o primeiro dos
Sete Sábios. Era considerado um "discípulo dos egípcios e caldeus", hipótese
que parece plausível. a proposição agora conhecida como Teorema de Tales,
que um ângulo inscrito num semicírculo é um ângulo reto -- pode ter sido
aprendida por Tales durante suas viagens à Babilônia. No entanto, a tradição
vai mais longe e lhe atribui uma espécie de demonstração do Teorema. Por
isso Tales foi freqüentemente saudado como o primeiro matemático
verdadeiro-- originador da organização dedutiva da geometria. esse fato, ou
lenda, foi ornamentado acrescentando-se a esse teorema quatro outros, que se
dizia provados por Tales.
1- Um círculo é bissectado por um diâmetro.
2- Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais.
3- Os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se cruzam são
iguais.
4-Se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado são iguais
respectivamente a dois ângulos e um lado de outro, então os triângulos são
congruentes.
Não há documento antigo que possa ser apontado como prova
desse feito, no entanto, a tradição é persistente. O mais perto que se pode
chegar de evidência digna de confiança nesse ponto é por uma menção
datando de 1.000 anos depois do tempo de Tales. Um discípulo de Aristóteles
55
chamado Eudemo de Rodes ( viveu por volta de 320 a . C.) escreveu uma
história da matemática.Essa perdeu-se, mas antes de desaparecer alguém
resumiu ao menos parte dela. O original desse resumo também se perdeu,
mas, durante o quinto século de nossa era, informação extraída do sumário foi
incorporada pelo filósofo neoplatônicco Proclus ( 410-485) nas páginas iniciais
de seu comentário sobre o primeiro livro de Os elementos de Euclides.
Após observações introdutórias sobre a origem da geometria no Egito, o
centário de Proclus diz que Tales.
... primeiro foi ao Egito e de lá introduziu esse estudo na Grécia.
Descobriu
muitas proposições ele próprio, e instruiu seus
sucessores nos princípios que regem muitas outras, seu método
de ataque sendo em certos casos mais geral, em outros mais
empírico. [ Hearth 1981, Vol. 1. p. 128.]
3.2- Pitágoras de Samos
Pitágoras nasceu na ilha de Samos, na Grécia, por volta do ano
500 a . C. O interesse pela matemática aproximou-o de Tales, a conselho de
quem viajou para o Egito em busca de novos conhecimentos. Do Egito foi
levado como escravo para a Babilônia, onde viveu muitos anos.
Diferentemente de Tales, que interessou apenas pelas idéias de
matemática, da astronomia e particularmente da geometria, Pitágoras voltou
para a Grécia, dotado de um conhecimento místico-religioso adquirido no Egito
e na Babilônia, o que lhe trouxe dificuldades para conviver com os gregos.
56
Aos 50 anos mudou-se para Crotona, uma colônia grega no sul da
Itália, onde fundou uma escola filosífico-matemática. Foi uma escola conhecida
como Ordem dos Pitagóricos e chegou a ter cerca de 300 jovens estudantes,
cujos resultados se propagaram por toda a Grécia. O conhecimento científicoreligioso adquirido nela era privativo de seus membros e a divulgação
dele,
sempre atribuída ao próprio Pitágoras. Os pitagóricos acreditavam na
reencarnação dos humanos em outros humanos, ou mesmo em animais. Há
uma história bastante conhecida de Pitágoras, que diante de um homem
maltratando um cão protestou:
- Pare de maltratar esse pobre cão ! É a alma de um amigo que eu reconheço
pelos lamentos.
Por outro lado, o conhecimento científico
teve grandes
progressos na escola dos pitagóricos. Consta que, graças à observação da
sombra da Terra projetada na Lua, eles tinham convicção de que a terra era
redonda, assim como descobriram a relação entre o comprimento de uma
corda de um instrumento e a altura da nota musical emitida. Essa descoberta
entusiasmou tanto Pitágoras, que ele passou a atribuir aos números a essência
de todas as coisas.
A principal conquista dos pitagóricos no campo da matemática foi
o desenvolvimento do raciocínio dedutivo na geometria, iniciado e estimulado
por Tales. Certamente coube a Euclides o aperfeiçoamento definitivo desse
recurso. O pitagóricos deixaram para a geometria elementar algumas
propriedades, como o Teorema de Pitágoras, bem como o fracasso no campo
da teoria dos números ou da medida de grandezas. Elas atribuíram uma
dimensão e uma unidade de medida chamada mônada para que eles
consideram ser o menor segmento. A partir dela, todo e qualquer segmento
57
seria sempre mensurável por um número inteiro de mônadas. Zenão de Elea,
filósofo e matemático grego ( 495 a 435 a . C. ), propôs alguns paradoxos que
derrubaram definitivamente a teoria das mônadas. A Ordem Pitagórica entrou
em declínio, mas deixou incontáveis progressos na Antigüidade clássica, dos
quais a humanidade se serve até hoje.
3.2.1- Os números Pitagóricos
Chama-se Pitagóricos os três números inteiros que servem de
medidas para os lados de um triângulo retângulo. e somente os números
pitagóricos formam triângulos retângulos. Como encontrá-los?
b
a
Onde:
c
a= hipotenusa ( Maior lado do triângulo retângulo)
b= cateto
c= cateto
Como c e b são catetos do triângulo e a é
a hipotenusa, esse
resultado se enuncia: Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é
igual a soma dos quadrados dos catetos. Por exemplo:
58
5
4
a2 = b2 +c2
3
52= 42 + 32
25= 16 + 9
25 = 25 ( verdadeiro)
10
8
6
6
a2 = b2 + c2
102 = 82 + 62
100= 64 + 36
100 = 100 ( verdadeiro)
3.3- Euclides de Alexandria
A morte de Alexandre, o Grande, levou a disputas entre os
generais do exército grego; mas em 306 a . C. o controle da parte egípcia do
Império estava firmemente nas mãos de Ptolomeu I, e esse governante pode
59
voltar a atenção para esforços construtivos. Entre seus primeiros atos está a
criação em Alexandria de uma escola ou instituto conhecido como Museu,
insuperado em seu tempo. Como professores ele chamou um grupo de sábios
de primeira linha, entre eles Euclides, o autor do texto de matemática mais bem
sucedido de todos os tempos - Os elementos ( Sttoichia). Considerando a fama
do autor e de seu best seller, sabe-se notavelmente, pouco sobre a vida de
Euclides. Tão obscura ficou sua vida que nenhum lugar de nascimento é
associado a seu nome. Embora edições de Os elementos freqüentemente
identificassem o autor como Euclides de Megara, e um retrato de Euclides em
Megara freqüentemente apareça em histórias da matemática, trata-se de um
erro de identidade. O verdadeiro Euclides de Megara era um discípulo de
Sócrates, embora se preocupasse com lógica, não se sentia mais atraído pela
matemática de seu mestre. Nosso Euclides, em contraste, é conhecido como
Euclides de Alexandria, porque foi chamado para lá ensinar matemática. Da
natureza de seu trabalho, podemos presumir que tivesse estudado com
discípulos de Platão, se não na própria Academia. Lendas associadas com
Euclides o pintam como um bondoso velho. A estória contada acima em
relação a Alexandre , o Grande, que desejava uma introdução fácil à geometria
é repetida no caso de Ptolomeu, a quem se diz que Euclides garantiu que "não
há uma estrada real para a geometria". Evidentemente Euclides não dava
ênfase aos aspectos práticos do assunto, pois há uma estória contada sobre
ele que diz que quando um estudante perguntou para que servia o estudo da
geometria. Euclides disse a seu escravo que desse três moedas ao estudante,
"pois ele precisa ter lucro com o que aprende".
Euclides e Os
elementos são freqüentemente considerados
sinônimos; na realidade o homem escreveu cerca de uma dúzia de tratados,
cobrindo tópicos vaiados, desde óptica, astronomia, música e mecânica até um
60
livro sobre cônicas. Com exceção de A esfera de Autólico, os livros de
Euclides que sobreviveram são os mais antigos tratados gregos existentes; e
no entanto, do que Euclides escreveu mais da metade se perdeu, inclusive
algumas das obras mais importantes, como o tratado sobre as cônicas.
3.4 - Arquimedes de Siracusa
Durante toda a Idade Helenística o centro da atividade
matemática permaneceu em Alexandria, mas o maior matemático desse tempo
e de toda Antigüidade, não nasceu nessa cidade. Arquimedes
pode
ter
estudado por algum tempo em Alexandria com os estudantes de Euclides, e
manteve a comunicação com os matemáticos de lá, mas viveu e morreu em
Siracusa. Conhecem-se poucos fatos de sua vida, mas tem-se algumas
informações tiradas na narração de Plutarco da vida de Marcelo, o general
romano. Durante a segunda guerra Púnica a cidade de Siracusa se viu
envolvidas entre Roma e Cartago; tendo-se associado a essa última, a cidade
foi sitiada pelos romanos durante aos anos de 214 a 212 a . C. Lemos que
durante o cerco Arquimedes inventou engenhosas máquinas de guerra para
conservar o inimigo à distância - catapultas para lançar pedras; cordas, polias e
ganchos para levantar e espatifar os navios romanos; invenções para queimar
os navios. Por fim, no entanto, Siracusa caiu devido a uma "quinta coluna",
durante o saque da cidade Arquimedes foi morto por um soldado romano,
apesar das ordens de Marcelo para que o geômetra fosse poupado. Como se
diz que Arquimeses tinha então setenta e cinco anos,provavelmente nasceu
em 287 a . C. Seu pai era um astrônomo, e Arquimedes também adquiriu uma
reputação em astronomia. Diz-se que Marcelo reservou para si, como parte do
saque, engenhosos planetários que Arquimeses tinha construído para retratar
61
os movimentos dos corpos celestes. Todas as narrações da vida de
Arquimedes, no entanto, concordam que ele dava pouco valor a seus
engenhos mecânicos, em comparação com o produto de seus pensamentos.
Mesmo quando lidava com alavancas e outras máquinas simples, ele estava
muito mais interessado em princípios gerais que em aplicações práticas.
A obra de Arquimedes sobre a lei da alavanca é parte de seu
tratado, em dois livros, sobre o equilíbrio de planos. Não é o mais antigo livro
existente sobre o que se pode chamar de ciência física, pois, cerca de um
século antes, Aristóletes tinha publicado uma obra em oito volumes, chamada
Física, que foi muito influente; mas ao passo que a obra de Aristóteles era
especulativa e não-matemática,
o
desenvolvimento
de Arquimedes se
assemelhava à geometria de Euclides. De um conjunto de postulados simples
Arquimedes extraia algumas conclusões bastante abstrusas, estabelecendo a
relação estreita entre a matemática e a mecânica que deveria vir a ser tão
significativa, tanto para a física quanto para a matemática. O primeiro livro no
Equilíbrio de planos trata de figuras retilíneas e termina com os centros de
gravidade do triângulo e do trapezóide. O livro II concreta a atenção no centro
de gravidade de um segmento parabólico e contém o fato de que esse
centro
jaz sobre o diâmetro do segmento e divide esse diâmetro em segmentos, na
razão de 3 para 2.
3.4.1-O princípio hidrostático
Arquimedes pode bem ser chamado de pai da física matemática,
não só por seu Sobre o equilíbrio de planos como também por outro tratado,
em dois livros, Sobre corpos flutuantes. De novo, começamos com um simples
62
postulado sobre a natureza da pressão dos fluídos, ele obtém resultados muito
profundos. Entre as primeiras proposições estão duas que exprimem o bem
conhecido princípio de Arquimedes.
"Todo sólido mais leve que um fluido, se colocado nele, ficará
imerso o suficiente para que o peso do sólido seja igual ao do
fluido deslocado. Um sólido mais pesado que um fluido, se
colocado nele, descerá até o fundo do fluido, e o sólido, se pesado
dentro do fluido, pesará menos que seu peso real de um tanto
igual ao peso do fluido deslocado".
3.4.2- Arquimedes e o cálculo do número
Em Alexandria, cidade situada no Egito, fundada por Alexandre
Magno, floresceu o melhor da cultura grega e do vizinho Oriente. Lá viveu
Euclides, de 330 a cerca de 275 a . C., que escreveu Elementos, um tratado
em 13 livros sobre geometria e teoria dos números.
Não muito tempo depois de Euclides, chegava a Alexandria, para
estudar e aperfeiçoar-se, o jovem Arquimedes ( 287 a 212 a . C. ), nascido em
Siracusa, na Sicília. Ele tornou-se um gênio e grande construtor de máquinas e
aparatos bélicos. Mas Arquimedes trabalhou muito com um cálculo bem
aproximado do número . Ele sabia que a razão entre o comprimento de uma
circunferência e o seu diâmetro é um número constante, razão essa que é
sempre a mesma, seja qual for o tamanho da circunferência.
63
Para calcular o valor de
, Arquimedes usou o método da
exaustão, que consistia em calcular o comprimento da circunferência por
aproximação,
servindo-se
de
polígonos
inscritos
e
circunscritos
à
circunferência.
C= comprimento da circunferência
2p = perímetro do polígono inscrito
2P= perímetro do polígono circunscrito
C
2P
2p
2p
2P
C
Arquimedes usou o seguintes método para o cálculo da razão C.
2r
Num círculo de raio r, vamos inscrever e circunscrever um quadrado:
r=½
l= r
l=½
2
2
Se o quadrado circunscrito tiver lado unitário ( 1 cm), o seu perímetro 1P será
4cm e o perímetro do quadrado inscrito 2p será 2,8 cm.
2P= 4 . 1 = 4cm
2p= 4.½
2 = 2,8 cm
64
Sendo C o comprimento da circunferência, temos:
2P < C < 2p ou 2,8 < C < 4
1
2r
1
2r
Arquimedes foi duplicando o número de lados dos polígonos
inscritos e circunscritos até obter uma figura de 96 lados. Nesse ponto, ele
chegou às seguintes razões para os perímetros dos polígonos e o diâmetro da
circunferência:
2P = 220 = 3,14286
2r
70
e
2p = 223 = 3,14085
2r
71
Ou seja: 3,14085 < C < 3,14286. Logo, C = 2 r
2r
Hoje, a aproximação usual do número
é 3,1416, valor bastante
próximo a que Arquimedes chegou. Há aproximadamente 100 anos o
matemático William Sharks calculou
com 707 cifras decimais. Consta que ele
trabalhou 15 anos nesse projeto, mas enganou-se nas 100 últimas cifras...Hoje,
pelo computador, calcula-se alguns minutos o
com 10.000 decimais.
3.5 - René Descartes
René Descartes, nasceu na França , de família nobre, recebeu
suas primeiras instruções no Colégio Jesuíta de La Fleche, graduando em
Direito, em Poitier. Durante o período em que Descartes permaneceu com o
65
exército bávaro em 1619, descobriu a fórmula do poliedro que usualmente leva
o nome de Euler V + F a + 2, onde v, F, e a são respectivamente o número de
vértices, faces e arestas de um poliedro simples.
Em 1628, já estava de posse de Geometria Cartesiana que hoje
se confunde com a Analítica, embora os objetivos do autor fossem diferentes
tanto que em seu "Discurso" se mostra imparcial quando discute os méritos da
Geometria e da Álgebra. Logo depois, em 1649, foi convidado pela Rainha
Cristina da Suécia, estabeleceu uma Academia de ciência em Estolcomo e
como nunca gozou de uma boa saúde, não suportou o inverno escandinavo,
morrendo prematuramente em 1650.
3.6- Blaise Pascal
Matemático, físico, escritor e filósofo francês.Desde muito jovem,
contando apenas 16 anos, demonstrou notável vocação para a ciência. com 17
anos incompletos, escreveu Ensaios sobre as cônicas. Aos 20 anos de
idade, inventou uma máquina de aritmética para ajudar o pai. Em Paris, Pascal,
publicou a descrição de suas primeiras experiências sobre o vácuo. Na
oportunidade escreveu seu importante Prefácio para um tratado de vácuo.
Nasceu em Clermont-Ferrand. 1623. Faleceu em Paris, 1662.
3.7 - Isaac Newton
Físico e matemático inglês. Filho de agricultor, começou sua
carreira científica aos dezoito anos de idade, quando ingressou no Trinity
College de Cambridge.
Presenteou
a
humanidade
com
três grandes
66
descobertas.A primeira delas, foi a do cálculo infinitesimal, descoberta que
obrigou Newton, já no fim de sua vida, a entrar em controvérsia com Leibniz,
pois este se considerava o inventor do mesmo. Mas, nem por isso Newton
deixou de ter méritos pois foi o primeiro que, sintetizou todas estas raízes,
ampliando o cálculo diferencial e integral, enunciou as regras do novo cálculo.
A segunda e grandiosa descoberta de Newton foi a Lei da
gravitação universal. Finalmente, o terceiro descobrimento a teoria corpuscular
da luz, que prevaleceu durante todo o século XVIII, cedendo até a teoria
ondulatória, de Huygens, em meados do século XIX.
Além de astrônomo,matemático, filósofo e físico. Newton foi
professor, funcionário da Casa da Moeda, representante da Universidade
perante o Parlamento e presidente da Sociedade Real, desde 1703, sendo em
1705, honrado com o título de Sir. E, além das três valiosas invenções acima
citadas, Newton construiu telescópios de refração e reflexão; formulou o
teorema do binômio, que leva seu nome; fundou o verdadeiro sistema científico
da óptica, com sua nova teoria sobre a luz e a cor,
fundamentada nos
resultados obtidos das medidas de anéis coloridos, mais tarde denominados
anéis de Newton; formulou o Princípio da Massa, elaborando um sistema de
navegação aérea, enfim, fundou boa parte da física moderna. Escreveu vários
livros, sendo que os mais importantes: Óptica e os Princípios Matemáticos da
Filosofia Natural. Nasceu em 1642, morrendo 85 anos depois, em 1727.
3.8- Leibniz
Matemático, e filósofo alemão. Estudou Matemática em Viena, e
Jurisprudência em Aldorf. Em 1672, em missão diplomática, foi enviado a Paris,
67
onde permaneceu até 1675; nesse período, manteve contato com os grandes
cientistas da época; aí aprofundou seus estudos de matemática, descobrindo,
independentemente de Newton, os princípios de cálculo diferencial. Suas
principais obras são: Diacurso de Metafísica, DePrimo, De Ipsa Natura, entre
outras. Sua mais importante obra matemática é Teoria do Movimento Abstrato
e do Movimento Concreto. Nasceu em Leipzig, em 1646; morreu em 1716.
68
CAPÍTULO IV
DIFERENTES ABORDAGENS DO ENSINO
DA MATEMÁTICA PARA CRIANÇAS
69
A avaliação é algo mais do que buscar um resultado. É um
processo de observação e verificação de como os alunos aprendem os
conhecimentos matemáticos e
o que pensam sobre a matemática.É parte
integrante do próprio processo de ensino-aprendizagem e tem como objetivo
aprimorar a qualidade dessa aprendizagem. A avaliação deve ser contínua,
dinâmica e, com freqüência, informal, para que através de uma série de
observações sistemáticas possamos emitir um juízo valorizado sobre a
evolução do aluno no aprendizado da matemática.
A avaliação do desempenho dos alunos tem as seguintes
finalidades:
a) em relação ao estudante:
- verificar e medir seu conhecimento matemático;
- acompanhar o desenvolvimento de seus procedimentos matemáticos;
- observar sua postura frente à Matemática;
- possibilitar reflexão sobre seus êxitos e dificuldades.
b) em relação ao professor:
- colher informações para orientação e para tomada de decisões em relação à
atuação docente;
- identificar as áreas que apresentam dificuldades para alguns alunos.
A avaliação centrada basicamente em provas, nas quais os
alunos devem mostrar suas destrezas nas técnicas e a capacidade de
memorizar regras, fatos e definições, tem função seletiva e promocional e não
oferece informações sobre a aprendizagem efetiva do aluno.
70
Avaliar não é só construir um instrumento de verificação, mas
transformá-lo em registro adequado para poder acompanhar e comprovar o
grau
de aquisição da aprendizagem, tornando-se, também uma referência
para a reflexão e conscientização dos alunos e dos professores.
4.1- A criança e a matemática
As noções matemáticas são constituídas pelas crianças a partir
das experiências proporcionadas pelas interações com o meio, pelo
intercâmbio com outras pessoas que possuem interesses, conhecimentos e
necessidades que podem ser compartilhados. As crianças têm e podem ter
várias experiências com o universo matemático e outros que lhes permitem
fazer descobertas, tecer relações, organizar o pensamento, o raciocínio lógico,
situar-se e localizar-se espacialmente. Configura-se desse modo um quadro
inicial de referências lógicos-matemáticos que requerem outras, que podem ser
ampliadas. são manifestações de competências, de aprendizagem advindas de
processos informais, da relação individual e cooperativa da criança em diversos
ambientes e situações de diferentes naturezas. entretanto, a continuidade da
aprendizagem matemática não dispensa a intencionalidade e o planejamento.
Reconhecer a potencialidade e a adequação de uma dada situação para a
aprendizagem, tecer comentários, formular perguntas, solucionar desafios,
incentivar a verbalização pela criança, etc., são atitudes indispensáveis do
adulto. Representa, vias a partir das quais as crianças elaboram o
conhecimento em geral e o conhecimento matemático particular.
Deve-se considerar o rápido e intenso processo de mudança
vivido pelas crianças. elas apresentam, possibilidades de estabelecer vários
tipos de relação (comparação, expressão de quantidade), representações
mentais gestuais e indagações, deslocamentos no espaço.
71
Diversas ações intervêm na construção dos conhecimentos
matemáticos, como recitar
a seu modo a seqüência numérica, fazer
comparações entre quantidades e entre notações numéricas e localizar-se
espacialmente. Essas ações ocorrem fundamentalmente no convívio social e
no contato das crianças com histórias, contos, músicas, jogos, brincadeiras,
etc.
As respostas de crianças pequenas à perguntas de adultos que
contenham a palavra "quantos"? podem ser aleatoriamente "três", "cinco", para
se referir a uma suposta quantidade. O mesmo ocorre as perguntas que
contenham "quanto"?. Nesse caso,
respostas como "terça-feira" são para
indicar um dia qualquer ou "amanhã " no lugar de "ontem"são freqüentes.
Esses exemplos de respostas são muito precisas mas que já revelam algum
discernimento sobre o sentido do tempo e quantidade. São indicadores da
permanente busca da criança em construir significados, em aprender e
compreender o mundo.
À medida que crescem, as crianças conquistam maior autonomia
e conseguem levar adiante, por um tempo maior, ações que tenham uma
finalidade, como atividades e jogos. As crianças conseguem formular questões
mais elaboradas, aprendem a trabalhar diante de um problema, desenvolvem
estratégias, criam ou mudam regras de jogos, revisam o que fizeram e
discutem entre pares as diferentes propostas.
4.2- A importância da vivência
Assim como os povos não evoluíram com a mesma velocidade,
também as crianças não amadurecem do mesmo modo, e os conceitos não
72
são interiorizados simultaneamente. Depende, de diversos fatores. A
experiência de vida, na idade apropriada, é fator decisivo; em casa, no clube,
na escola, na rua, em todo lugar. E há sempre uma idade mais fecunda para
cada experiência.
Na idade certa,é preciso regar plantas com uma mangueira para
ter o visual da parábola de água e a sensação da reação da mangueira ao
jato; da transformação do esguicho contínuo em gotas; do arco-íris na bruma
que orla o jato; das variações do chuveiro provocadas pelo dedo na saída da
água .
Na idade certa, é preciso serrar madeiras para sentir a textura, as
fibras que não podem ser cortadas com faca, as variações de dureza e
resistência. É preciso cavar buracos no solo, sentir a terra, a variação de
umidade com a profundidade, observar raízes, minhocas, formigas.
Na idade certa, é preciso cozinhar, lidar com fogo, sentir o calor e
a luz. Notar a mudança que a cozedura provoca nos alimentos, a evaporação,
a condensação. Encostar a mão no cabo da colher de madeira e de metal
dentro da panela, para adquirir noção de condutibilidade. É preciso costurar,
tecer, pregar botões. Dissolver, misturar, saturar. Usar detergentes, solventes,
óleos, cera. É preciso praticar esportes, artes.
São milhares de experiências que desenvolvem os sentidos,
possibilitando, logo depois, o
aprendizado de artes, ciências e técnicas.
Brincar e fazer experiências é construir a base concreta para todas as
disciplinas.
73
Esta é a fase pré-histórica do desenvolvimento da inteligência
sensório-motora. É a fase necessária para as posteriores operações concretas,
acumulando conhecimentos que serão organizados na etapa das operações
formais. Os brinquedos pedagógicos podem, em parte, substituir a riqueza
dessas experiências. E muito brinquedos pedagógicos podem ser elaborados
na escola, com materiais disponíveis.
4.3- Repetição, memorização e associação
Há uma idéia de que as crianças aprendem não só a matemática,
mas todos os outros conteúdos, por repetição e memorização por meio de uma
seqüência linear de conteúdos do mais fácil para o mais difícil. São comuns as
situações de memorização de algarismos, por exemplo,. ensinam-se 1, depois
2 e assim sucessivamente. Propõe-se exercícios de escrita dos algarismos
em situações como:passar lápis sobre os numerais pontilhados, colagem de
bolinhas de papel crepom sobre
numerais, escrita repetida da sucessão
numérica, cópias repetidas de um mesmo número. Também é comum enfeitar
os algarismos, grifando-os com figuras de bichos ou dando-lhes um aspecto
humano com olhos, bocas e cabelos ou promovendo associação entre os
algarismos e desenhos. Acredita-se que, dessa forma a criança está
construindo o conceito de número.
A ampliação dos estudos sobre o desenvolvimento infantil e
pesquisas, realizadas no campo da educação matemática,
questionar essa concepção de aprendizagem.
permitem
74
4.3.1- Do concreto ao abstrato
Outra idéia bastante presente é que a partir da manipulação de
objetos a criança chega a desenvolver um raciocínio abstrato. A função do
professor se restringe a auxiliar o
desenvolvimento infantil por meio de
organização de situação de aprendizagem onde os materiais pedagógicos
cumprem um papel de auto - instrução. Essa concepção resulta da idéia de
que primeiro trabalha o seu conceito no concreto para depois trabalhar no
abstrato.
O concreto e o abstrato se caracterizam como duas realidades
dissociadas, em que o concreto é o identificado com o manipulado e o abstrato
com as definições e sistematizações. Essa concepção porém dissocia ação
física da ação intelectual, dissociação que não existe no ponto de vista do
sujeito.Na realidade toda ação física supõe a ação intelectual. A manipulação
observada de fora do sujeito está dirigida por uma finalidade e tem um sentido
do ponto de vista da criança. Como aprender e construir significados e atribuir
sentidos, as ações representam momentos importantes na aprendizagem na
medida em que a criança realiza uma intenção.
4.3.2-Atividades pré- numéricas
Algumas interpretações das pesquisas psicogenéticas concluíram
que o ensino da matemática seria beneficiado por um trabalho que incidisse no
desenvolvimento de estruturas do pensamento lógico-matemático. Assim,
consideram -se experiências -chave para o processo de desenvolvimento do
raciocínio lógico e para a aquisição da noção de número as ações de
classificar, ordenar, seriar, e comparar objetos em função de diferentes
critérios.
75
A classificação e a seriação têm papel fundamental na construção
de conhecimento em qualquer área, não só em matemática. Quando o sujeito
constrói conhecimento sobre conteúdos matemáticos, as operações de
classificação e seriação necessariamente são exercidas e se desenvolvem sem
que haja um esforço didático para isso.
4.4- Jogos matemáticos
O jogo tornou-se o objeto de interesse de psicólogos, educadores
e pesquisadores como decorrência de sua importância para a criança e da
idéia de que é uma prática que auxilia o desenvolvimento infantil, a construção
ou potenciação de conhecimentos. A educação infantil, historicamente,
configurou-se com o espaço natural do jogo e da brincadeira, o que favoreceu
a idéia de que a aprendizagem de conteúdos matemáticos se da
principalmente por meio destas atividades. A participação ativa da criança e a
natureza lúdica e prazerosa inerente a diferentes tipos de jogos tem servido de
argumento para fortalecer essa concepção, segundo a qual aprende-se
matemática brincando.
Vários tipos de brincadeiras e jogos que possam interessar à
criança pequena constituem-se rico contexto em que
idéias matemáticas
podem ser evidenciadas pelo adulto por meio de perguntas, observações e
formulações de propostas.
76
Os jogos numéricos permitem às crianças utilizarem números e
suas representações, ampliarem a contagem, estabelecem correspondências e
trabalhar com as operações. Cartões, dados, dominós, baralhos, permitem às
crianças se familiarizarem com pequenos números, como
a contagem,
comparação e adição. Os jogos com pistas ou tabuleiros numéricos, em que
se faz deslocamento de um objeto, permitem fazer correspondências, contar de
um em um, de dois em dois, etc. Jogos de cartas permitem a distribuição,
comparação de quantidades, a
reunião de coleções e de familiares com
resultados aditivos. Os jogos espaciais permitem às crianças observarem as
figuras e suas formas, identificar propriedades geométricas dos objetos, fazer
representações, modelando, compondo , decompondo ou desenhando.
Por seu caráter coletivo, os jogos e as brincadeiras, permitem que
o grupo se estruture, que as crianças estabeleçam relações de troca,
aprendam a esperar sua vez, se acostumem a lidar com regras,
conscientizando-se que podem ganhar ou perder.
77
CONCLUSÃO
Desde a antiguidade que a utilização dos números se faz
presente em nosso cotidiano, tendo sua representação, tanto através de
símbolos, como através de gestos, para demonstrara idéia de quantidade.
Em algum momento da história, o homem aprendeu o contar, e foi
a contagem que produziu extraordinários efeitos na evolução do conhecimento
científico e não- científico acumulado em sua história, e os números constituem
ferramentas fundamentais nessa evolução.
Que alguns cálculos matemáticos de a . C. são trabalhados até os
nossos dias, como a geometria, que inicialmente era tratada como o
conhecimento imediato da nossa relação com o espaço, mas com o passar dos
tempos descobriu-se também que ela possibilita a integração e a aplicação em
outros campos de conhecimento,instigando idéias propondo aplicações
práticas para que possamos enfrentar problemas reais, que são em geral de
natureza interdisciplinar.
Com o passar do tempo muitos foram os personagens que
fizeram a história dos números. Podemos citar como exemplo, Pitágoras, Tales
de Mileto, Euclides de Alexandria, René Descartes entre outros. Assim, através
de vários matemáticos e de vários estudos, foi se aprimorando o conhecimento
da mesma, e novas técnicas no ensino da matemática continuam sendo
apresentadas e demonstradas até os dias de hoje.
78
Devemos sempre mostrar ao aluno de onde surgiram os cálculos
matemáticos, pois se eles perceberem como se formaram os conceitos
matemáticos, o meio social e a época em que se deu essa formação e a vida e
a obra dos matemáticos responsáveis por essa criação, com certeza, a
matemática ficaria muito mais interessante e tornaria mais fácil o aprendizado.
Estamos rumo ao um novo século, e é cada vez mais assustador
o avanço tecnológico, tendo em vista que a cada amanhecer novos métodos
informatizados são jogados ao nosso mundo. Mesmo assim, nota-se que as
nossas crianças estão, cada vez mais cedo, desenvolvendo suas atividades
intelectuais com o uso de aplicações matemáticas.
Na maioria das escolas, o aluno começa logo cedo a desenvolver
a prática da matemática, através de jogos didáticos e outras aplicações. Dessa
forma os alunos poderão tomar decisões, agindo como produtoras de
conhecimento e não apenas como executoras instruções. Estimulando assim, a
vontade de solucionar problemas e achar saídas para as diversas situações em
que se encontrar.
Além do mais, a criança aprendendo logo cedo a ter noções de
soma, subtração. divisão e multiplicação, conseguem também raciocinar em
situações
adversas.
Exercitar
a
mente
utilizando
meios
matemáticos
proporciona não só a criança, mas também a todas as pessoas, a capacidade
de atingir índices elevados de raciocínio lógico, que podem ser aplicados em
outras áreas.
Em virtude do que foi mencionado, percebe-se que apesar de
todo avanço tecnológico, a matemática pura, ainda é uma grande ferramenta
que pode ser usada em benefício do aprendizado atual.
79
BIBLIOGRAFIA
CENTURIÓN, Marilia. Conteúdo eMetodologia da Matemática . Série DidáticaClasses de Magistério 2a edição. São Paulo. Scipione, 1995.
DANTE, Luiz Robert. Didática da Resolução de Problemas de Matemática 3a
edição. São Paulo . Ática, 1991.
FONSECA, Solange. Metodologia do Ensino da Matemática .
Belo Horizonte.
Editora Lê. Fundação Helena Antipoff., 1997.
IFRAH, Georges. Os números:
História de uma grande invenção. Rio de
Janeiro. Editora Globo, 1989.
KAMIL, A criança e o número . Tradução Regina A. de Assis . 17a edição.
Campinas. Papirus, 1993.
RAMOS, Luzia Faraco.O Segredo os Números. Editora Ática, 1991.
IMENES, Luiz Marcio. A Numeração Indo-arábica. - Editora Scipione . 1998.
GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática. 3a edição. Editora Ática
2000.
80
ÍNDICE
AGRADECIMENTOS
III
DEDICATÓRIA
IV
RESUMO
V
METODOLOGIA
VI
SUMÁRIO
VII
INTRODUÇÃO
08
CAPÍTULO I
Os Números na História da Civilização
11
1.1- Desvendando o Passado
12
1.1.1- No tempo em que as casas eram buracos
nas pedras.
1.1.2-Novas maneiras de viver
15
1.1.3- A capacidade de perceber pequenas
quantidades.
16
1.1.4- O Pastoreiro:Ovelhas e Pedrinhas.
17
1.1.5- Marcas e dedos.
18
1.2- As Grandes civilizações do passado
18
1.2.1- A numeração Egípcia
20
1.2.2- O Sistema de Numeração da
Mesopotâmia
21
1.2.3- A Numeração na Grécia Antiga
22
1.2.4- O Sistema Numérico Romano
23
1.2.5-O Sistema de Numeração dos Maias
25
1.2.6- A Origem da Numeração Indo-arábica
25
81
CAPÍTULO II
Origens
28
2.1- Zero: Uma conquista difícil
30
2.2- A Origem da Geometria
31
2.2.1- A Geometria Plana: breve introdução
histórica.
2.3- A origem da Álgebra
2.3.1- Álgebra
34
36
37
62.4- Aritmética
39
2.5- Origem do Termo Cálculo
40
2.6- Origem do Termo Grau
41
2.7- Origem do termo "Frações Decimais"
42
CAPÍTULO III
Personagens que fizeram a História da Matemática
43
3.1- Tales de Mileto
45
3.2- Pitágoras de Samos
48
3.2.1- Os números Pitagóricos
50
3.3- Euclides de Alexandria
51
3.4- Arquimedes de Siracusa
53
3.4.1- O Princípio Hidrostático
54
3.4.2-Arquimedes e o cálculo do π
55
3.5- René Descartes
57
3.6- Blaise Pascal
58
3.7- Isaac Newton
58
3.8- Leibniz
59
CAPÍTULO IV
Diferentes abordagens do ensino de matemática para crianças
61
82
4.1- A Criança e a Matemática
63
4.2- A importância da vivência
64
4.3- Repetição, memorização e associação
66
4.3.1- Do concreto ao abstrato
67
4.3.2- Atividades pré-numéricas
67
4.4- Jogos Matemáticos
68
CONCLUSÃO
70
BIBLIOGRAFIA
72
ANEXOS
77
83
FOLHA DE AVALIAÇÃO
EX: UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
Instituto de Pesquisa Sócio-Pedagógicas
Pós-Graduação “Latu Sensu”
Título da Monografia:
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________
Data da Entrega:______________________________________
Avaliado
por:__________________________________Grau_____________
_.
Rio de Janeiro_____de_______________de 20___
____________________________________________
Coordenador do Curso
84
ANEXOS