Estruturas algébricas
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LEIS DE MORGAN
Sejam A e B partes de U ( A
⊂U e B ⊂U )
1 – A ∩ B = A ∪ B ( o complementar da intersecção é igual a união dos complementares)
2 - A ∪ B = A ∩ B (o complementar da união é igual a intersecção dos complementares)
DIFERENÇA SIMÉTRICA
Def.: A diferença simétrica dos conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos que
pertencem a um, e somente um dos conjuntos A e B.
Notação: A ∆ B ( lê-se : diferença simétrica de A e B)
Exemplo: Sejam A = {1,2,3,4} e B = { 3,4,5,6}, então A ∆ B = {1,2,5,6}
EXERCÍCIOS
1 – Sabendo que A
⊂U e B ⊂U
, verifique as igualdades abaixo, utilizando um diagrama:
a) A ∩ B = A ∪ B
b) A ∪ B = A ∩ B
c) B - A = B ∩ A
2 – Sabendo que A = { 1,2,3,4,5,6} , B = {2,4,5,6,7} e C { 3, 4,5,8}, determine:
a) A ∆ B
b) A ∆ C
c) B ∆ C
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
Introdução
Em matemática elementar consideremos os números reais como conceito que satisfazem um certo
número de propriedades chamadas axiomas1.
Vejamos agora alguns axiomas.
Axiomas
A1) Propriedade comutativa da adição
a+b=b+a
A2) Propriedade associativa da adição
(a + b ) + c = a + ( b + c )
A3) Propriedade comutativa da multiplicação
a.b = b.a
A4) Propriedade associativa da multiplicação
(a.b) .c = a. ( b.c)
A5) Existência do elemento neutro para a adição
0+a=a+0=a
A6) Existência do elemento neutro para a multiplicação
1.a=a.1=a
A7) Existência do oposto ( ou inverso aditivo), que representaremos por –a
a+ ( -a ) = ( -a ) + a = 0
A8) Existência do recíproco ( ou inverso multiplicativo)
Para a ≠ 0 temos:
1
1
a . = . a= 1
a
a
A9) Propriedade distributiva
a.( b+ c ) = a.b + a.c
Propriedade do fechamento
Um conjunto se diz fechado em relação a determinada operação ( * ), quando a operação ( * )
efetuada entre os elementos desse conjunto resulta num elemento do próprio conjunto.
1
Axioma – É a proposição que é aceita sem demonstração. É evidente por ela mesma.
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Conjunto dos Números Naturais (N)
N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14;...}
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
Z = {...;−5;−4;−3;−2;−1; 0; 1; 2; 3; 4;...}
Conjunto dos Números Racionais (Q)
a


Q = q = | a ∈ Z e b ∈ Z * 
b


Conjunto dos Números Irracionais ( Q )
Um número cuja representação decimal infinita não é periódica é chamado número irracional.
Ex: 0,01001000100001...; 1,23456789101112...; 5,30300300030000...
Conjunto dos Números Reais ®
R = Q∪Q
IR
Q
Q
Z
IN
Conjunto dos números complexos ( C )
C
IR
Definição:
Um número complexo na forma algébrica , é todo número escrito na forma a + b.i , onde
a ∈ IR,b ∈ IR e i é a unidade imaginária.
Exemplo:
2 + 3i , -3i , -5 + i , 6
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EXERCÍCIOS
1 – Complete, segundo o exemplo abaixo:
Exemplo: Ζ*+ = {x ∈ Z x > 0} = números inteiros positivos
a) Z*
b) Z+
c) Z −*
d) Q−
e) Q+*
f) IR*
*
g) Q −
h) IR+
2 – Dizer se é verdadeiro (V) ou falso (F) :
a) 7 ∈ Q*
b) −
c)
8
∈Z
4
1
∈Q
5
d) π ∈ Q+
g) -0,131313... ∈ Q
e) 0,666 ∈ Q
h) 2,717273... ∈ Q
f) - 3 ∈ Q
i)
− 25 ∈ IR
3 – Coloque (V) ou (F) :
a) IN ⊂ Z
g) -2 ∈ ( Z – IN )
b) IN = Z+
h) 0,171717... ∈ ( IR – Q
c) Q ⊂ IN
d) Q ⊃ Z
i)
2 ∈ ( IR – Q )
e) Q ⊃ Q
j)
− 1 ∈ ( C – IR )
f) Z ⊃ IN
l) 0,75 ∈ Q
)
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Intervalos ( subconjuntos notáveis de IR)
Podemos representar o conjunto dos números reais associando cada número x є IR a
um ponto de uma reta r. assim, se convencionamos uma origem O, associamos a ela o zero, e
adotamos um sentido positivo para esta reta, teremos aquela que denominamos reta real.
− 5
-2
3
−
2
-1
1
−
2
O
0
0,8 1
2
2
Chamamos intervalo qualquer subconjunto contínuo de IR. Dados p e q reais (p < q),
podemos definir intervalos:
Intervalo fechado
Números reais maiores ou iguais a p e menores ou iguais a q.
Representações :
Gráfica
p
q
Intervalo: [p,q]
Compreensão: { x є IR / p≤ x ≤ q }
Intervalo aberto
Números reais maiores que p e menores que q.
Representações :
Gráfica
p
q
Intervalo: ]p,q[
Compreensão: { x є IR / p < x < q }
Intervalo fechado a esquerda
Números reais maiores ou iguais a p e menores que q.
Representações:
Gráfica:
p
Intervalo: [p,q[
Compreensão: { x є IR / p ≤ x < q }
q
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Intervalo fechado a direita
Números reais maiores que p e menores ou iguais a q.
Representações:
Gráfica:
p
Intervalo: ]p,q]
Compreensão: { x є IR / p < x ≤ q }
Intervalos infinitos
Números reais maiores ou iguais a q
Representações:
Gráfica:
q
Intervalo: [q; + ∞ [
Compreensão: { x є IR /x ≥q}
Números reais maiores que q
Representações:
Gráfica:
q
Intervalo: ]q; + ∞ [
Compreensão: { x є IR /x >q}
Números reais menores ou iguais a p
Representações:
Gráfica:
p
Intervalo: ] − ∞ ,p]
Compreensão: { x є IR /x ≤p}
q
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Números reais menores que p
Representações:
Gráfica:
p
Intervalo: ] − ∞ ,p[
Conjunto: { x є IR /x < p}
EXERCÍCIOS
1- Faça a representação gráfica dos seguintes intervalos:
a) [2,5[
b) [-5,7]
c) (3,4]
d) ]-∞,-2]
e) [-4,+∞[
2 - Faça a representação dos intervalos abaixo na forma de conjunto (compreensão):
a) [-5,-1]
b) ]-∞,3[
c) [8,+∞[
d) ]-6,0[
3 - Simplifique a expressão, sabendo que 1<x<5:
a)
b)
c)
5−x
5−x
x −1
x −1
1− x
2 − 2x
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4 - Dados os conjuntos A = ]-2,3] e B = ]0,4] , efetuar:
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A – B
d) B – A
e)
CBA
5 - Dados os conjuntos A = { x∈IR
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A – B
d) B – A
e)
CBA
2 < x < 3 } e B = {x∈ IR
3≤ x ≤ π } , determinar: