Prof. Abel Mangabeira - Lista 01 - Trigonometria
1) Prove que , para todo x onde tg x está definida , ocorre a relação :
2) Prove a identidade
senx 2 sen 3 x
2 cos ³ x cos x
cos x senx
cos x senx
1 tgx
.
1 tgx
tgx , válida para todo x onde a expressão do lado esquerdo
está definida.
3) Verificar a igualdade
m 1
m 1
arcsen
4) Simplifique a expressão
1
1 sen ² a
arccos
1
1 cos ² a
2 m
.
m 1
1
1 sec ² a
1
.
1 cos sec ² a
5) Expresse , unicamente em função de sen a , a expressão
sen ² a
1
cos ² a
cos sec ² a
1
tg ² a
tg ² a
.
1 tg ² a
6) Mostre que : 4cos 36º . cos 72º = 1.
7) Expresse , unicamente em função de cos a , a expressão
cot ga tga cos ² a sen² a
.
cot ga tga sen ² a. cos ² a
cot g ² a 2 .
8) Demonstre que sen (x + y).sen (x
9) Demonstre que
senx cos x
cos x senx
y) = (sen x +- sen y).(sen x sen y).
tg x
10) Simplifique a expressão (sec x
4
.
cos x)(tg x + cotg x).sen x .
11) [IME-1998] Determine a solução da equação trigonométrica senx
3 cos x 1 .
n 1
12) Simplifique o produto P
cos a. cos 2a. cos 4a..... cos 2 a .
tga tgb tga tgb cot ga tgb tga cot gb
13) Simplifique a expressão
.
cot gb cot ga cot ga cot gb tga cot gb tgb cot ga
14) [IME -1972] Determinar os valores do arco x que satisfazem a equação :
senx
3 sec x cos x .
15) Na hipótese a + b + c = 180º , demonstrar que tga + tgb + tgc = tga.tgb.tgc .
16) Verificar a identidade sen3a = 4sena.sen(a+60º).sen(a + 120º).
17) [IME 2004 MIL] Em um triângulo ABC , Â e B são ângulos complementares. Calcule o valor da
expressão (cosA cosB)² + (senA + senB)².
18) [IME 2006 MIL]
a) Determine os ângulos de um triângulo (em radianos) , sabendo-se que um deles é solução da equação
trigonométrica
3
senx cos x
3
2 3
, e o outro é solução da equação séc x cos x = sen x.
3
b) Sabendo-se que este triângulo está inscrito em uma circunferência de 5 cm de raio , determine os seus
lados.
19) [IME 1994] Demonstrar que se a + b + c = = 180º , então
a
b
c
4 cos cos cos .
2
2
2
1
20) [IME 1980] Determine x na equação arctgx
2
sena senb senc
6
21) Demonstrar a identidade sen x
22) Resolver a equação 2 sen17 x
arctg
1 x
.
1 x
3
sen 2 2 x .
4
3 cos 5 x sen5 x 0 .
cos 6 x 1
& Abel Mangabeira
23) [IME
1988] Demonstre a identidade tg ² x
cot g ² x
2
3 cos 4 x
.
1 cos 4 x
24) a) Calcular a soma dos senos de n arcos em progressão aritmética de primeiro termo a e razão r.
b) Calcular a soma dos cossenos de n arcos em progressão aritmética de primeiro termo a e razão r.
sen2a sen4a sen6a ... sen2006a
cos 2a cos 4a cos 6a ... cos 2006a
2
8
2
14
8
14
3
26) Prove que : cos
. cos
cos
cos
cos
cos
9
9
9
9
9
9
4
3
3
sen x cos x
27) Determine o menor valor que pode assumir a expressão
, x
cos x
senx
0, e n natural , | sen nx | nsenx .
28) Mostre que para todo x
25) Simplifique a expressão
29) [IMO
30) [IMO
n
1961/ IME 1996] Resolva a equação cos x sen
1962] Resolva a equação cos²x + cos²2x + cos²3x = 1.
31) [Armênia 1999] Resolva a equação
1
x2
1
4
3x
2
n
0,
2
.
x 1 , onde n é um número natural.
1.
& Abel Mangabeira