FP: CUATERNAS
FP_2
Prof. José Juan Aliaga Maraver
Universidad Politécnica de Madrid
Cuaternas ordenadas de elementos
• Cuatro elementos pertenecientes a una forma de
primera categoría determinan una cuaterna.
– puntos: (ABCD)
– rectas: (abcd)
– planos: (abgd)
• La cuaterna tiene un valor numérico o
característica asociado a la ordenación de los
términos
– (ABC) = AB/AC = u.
– (abc) = sen(ab)/sen(ac) = u.
– (abg) = sen(ab)/sen(ag) = u.
Cuaternas de elementos
V
(ABCD) =(ACD)/(BCD)
(abcd) = (acd)/ (bcd)
a
b
A
B
d
c
C
D
(ACD) = (acd) * VC/VD
(BCD) = (bcd) * VC/VD
(ABCD) = (abcd)
Razón doble es el cociente de dos razones simples
La razón doble de cuatro rectas con vértice común, es la de los
cuatro puntos en que las secciona cualquier recta que no pase por
dicho vértice.
Conservación de la razón doble
(ABCD) = (abcd)=(A’B’C’D’)
(abcd) = (ABCD) = (a’b’c’d’)
V
a
A
b
B
d
c
C
V
a
A
D
r
a’
A’
C
B
b’
B’
C’
D’
r’
V’
d
c
b
D
c’
d’
e
Construcción de cuaternas
(ABCD)=(A’B’C’D’)=(B’D’C’)
(ABCD)=4/3
B
C
V
r
D
r’
D’
C’
r’
4
D’
A B=B’
C
r
D
C’
3
a
C
B=B’
D
r
A’
b
c
d
Proyecciones cónicas:
Conservación de la razón doble
(ABCD) = (A’B’C’D’)
V
V
r
(MAB)=-1
a
b
r
A
c
(MAB)≠(M’A’B’)
B
M
B
C
=r’
A’
d
B’
D
C’
r’
A
B’
D’
L
I=I’
A’
M’
La proyección M’ del punto medio M de un segmento AB desde un centro de
proyección V, no es el punto medio de la proyección A’B’ del segmento. Se
corresponde con el conjugado armónico del punto límite L respecto de los
extremos A’ y B’ proyección de A y B
Cuaternas:Características
(ABCD) = 1/(BACD)
(ABCD) = (ACD)/(BCD)=
AC * BD / AD * BC = (BADC)
(ABCD) = (ACD)/(BCD)= (-CA)*(-DB)/(-DA)*(-CB)= (CDAB) = (DCBA)
FP_2P_01
Cuaternas de elementos
1-.Se cumple:
V
F
(ABCD) = (BADC)
V
F
(BCD) = (BDC)
V
F
(ABCD) =1/(BACD)
A
2-.En la figura adjunta se cumple:
V
F
(ABCD) = (PQRS)
V
F
(BCAD) = (QRPS)
B
C
D
V
P
Q R
S
FP_2P_02
Cuaternas de elementos
V
3-. En la figura adjunta se cumple:
V
F
(ABCD) = (A’B’C’D’)
V
F
(ABCD) = (B’D’C’)
V
F
(CDAB) = (B’D’C’)
r’
D’
C’
A B=B’
4-.En la figura adjunta se cumple:
V
F
(ABCD) > 0
V
F
(BCAD) < 0
V
F
(BDAC) < 0
C
r
D
a
A’
b
c
d
Cuaternas
FP_2P_03
Determinar los puntos que cumplen:
a) (ABCD) = -3/4
A
B
C
FP_2P_04
Cuaternas
Determinar los puntos que cumplen:
b) (ABCD) = 2
A
C
D
FP_2P_05
Cuaternas
Determinar los puntos que cumplen:
b) (ABCD) = -1
A
C
D