UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Impossibilidades em Construções Geométricas:
Aspectos Históricos e Matemáticos.
Autora: Vanessa Cristina Guerra (R.A. 300225)
Orientador: Prof. João C.V. Sampaio
Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso
Curso: Licenciatura em Matemática
Professores Responsáveis: Profa. Vera Lúcia Carbone
Prof. Tomas Edson Barros
Profa. Karina Schiabel Silva
São Carlos, 16 de janeiro de 2012.
Impossibilidades em Construções Geométricas:
Aspectos Históricos e Matemáticos.
Autora: Vanessa Cristina Guerra (R.A. 300225)
Orientador: Prof. João C.V. Sampaio
Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso
Curso: Licenciatura em Matemática
Professores Responsáveis: Profa. Vera Lúcia Carbone
Prof. Tomas Edson Barros
Profa. Karina Schiabel Silva
Instituição: Universidade Federal de São Carlos
Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia
Departamento de Matemática
São Carlos, 16 de janeiro de 2012.
Vanessa Cristina Guerra
João C. V. Sampaio
Agradecimentos
Ao meu Deus, por me ensinar que o princı́pio de toda a sabedoria é, antes de tudo,
o temor a Ele e por me proporcionar a conquista de mais um projeto.
Aos meus pais, Antônio e Inês, pelo incentivo, paciência, pelos caminhos
apontados ante os desaﬁos que surgiram ao longo destes anos e por muitas vezes
deixarem o aconchego de nosso lar e seus compromissos para viajarmos juntos até
a cidade de São Carlos.
A minha amiga, Fernanda Magalhães de Oliveira, por todos os momentos
compartilhados, pelas trocas de experiências, pelo ombro amigo, pelo incentivo e,
principalmente, por me ajudar a compreender o real valor de uma amizade.
Ao meu orientador, Prof.o Dr.o João Carlos V. Sampaio, pela amizade, dedicação e pela grande paciência. Professor, parabéns por sua sabedoria, conhecimento, experiência e compromisso com a carreira docente. O senhor contribuiu
expressivamente, não apenas para a concretização deste trabalho, mas principalmente, por proporcionar conhecimentos ricos e fundamentais durante todas as
disciplinas que ﬁcaram sob a sua responsabilidade.
De maneira geral a todos os amigos, professores e demais proﬁssionais ligados
ao Departamento de Matemática da UFSCar.
Resumo
Deﬁnitivamente, o quê os problemas da duplicação do cubo, da trissecção de um
ângulo arbitrário e da quadratura do cı́rculo representam no que tange ao desenvolvimento do conhecimento matemático? De fato, a incessante busca pelas soluções
dos problemas gregos propiciou a criação e o desenvolvimento de um amplo e soﬁsticado instrumental matemático que exigiu a aliança entre a geometria e a álgebra.
O objetivo deste trabalho é apresentar os fundamentos da álgebra moderna que
tornaram possı́veis a elucidação dos problemas gregos preditos, após 22 séculos
de registro histórico. A priori descrevemos os aspectos históricos da Matemática
Grega, dos instrumentos euclidianos e dos três problemas gregos descritos. Adiante, apresentamos a conexão entre as construções geométricas e as operações
algébricas e, por conseguinte, uma extensa análise de números algébricos, teoria
de polinômios e extensão de corpos serão abordados através da fusão dos conceitos
da estrutura da álgebra e da álgebra linear. Por último, da reunião destes conceitos, elucidamos a caracterização dos números construtı́veis e, enﬁm, veriﬁcamos
à luz da álgebra que, deﬁnitivamente, os problemas gregos focados são insolúveis
quando o requisito é a construção através da régua (não graduada) e do compasso.
Neste ı́nterim, demonstramos ainda para cada inteiro n, com n ≥ 3, se n não é
uma potência de 2 então existe um ângulo α que não é “n-sectável” com o uso de
régua e compasso. Em suma, a concepção fundamental que este trabalho tem a
proporcionar é que a magia da Matemática não se restringe apenas nas respostas
dos problemas, antigos ou atuais, mas nas novas descobertas, estratégias e métodos
empregados advindos dos caminhos que conduzem às resoluções.
2
Sumário
Introdução
4
1 Panorama Histórico
8
1.1
A Matemática Grega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Construções com Régua (não graduada) e Compasso . . . . . . . . 16
1.3
Os Problemas Clássicos da Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1
Duplicação do Cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2
Quadratura do Cı́rculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.3
Trissecção de um Ângulo Arbitrário . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Fundamentação Algébrica
2.1
9
35
Construções Geométricas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1
Construções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2
Números Construtı́veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3
Os Polinômios e os Números Algébricos . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4
Extensões Algébricas de Corpos e Números Construtı́veis . . . . . . 51
2.5
Uma Condição Necessária para Construtibilidade . . . . . . . . . . 56
3 Epı́logo dos problemas gregos antigos
3.1
64
A Duplicação do Cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3
4
3.2
O Problema da Trissecção de um Ângulo Arbitrário . . . . . . . . . 67
3.2.1
3.3
O Problema da Divisão de um Ângulo em n Partes . . . . . 69
A Quadratura do Cı́rculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Apêndice
75
Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Introdução
Das épocas mais primitivas até os nossos dias, a Matemática tem desaﬁado e
cativado estudiosos instigados pela busca de conhecimento, pela curiosidade, pela
necessidade de exploração e pela beleza desta ciência. Uma viagem pela história da
Matemática revela, nos fundamentos de geometria clássica, memoráveis exemplos
que conﬁrmam este fato. Qual estudante de Matemática nunca ouviu falar dos
famosos problemas de construções geométricas1 do perı́odo clássico da civilização
Grega? Uma vez que é irrefutável aﬁrmar que os problemas clássicos de geometria
exerceram expressiva inﬂuência na História da Matemática a partir da Grécia
Antiga.
Em nossos dias, os problemas de construção geométrica desaﬁam o raciocı́nio
por se revelarem em sua essência como um jogo, cujas regras básicas exigem um
amplo conhecimento dos teoremas de geometria e das diversas propriedades das
ﬁguras geométricas. Todavia, já na Grécia Antiga, local de registro das origens
da geometria enquanto ciência dedutiva, os sábios gregos se depararam com um
enigma que incidia na busca de resolução dos problemas de construção geométrica
através do uso exclusivo de dois instrumentos: a régua (não graduada) e o compasso.
Apesar da capacidade e habilidade dos matemáticos gregos, alguns problemas
se tornaram notórios por resistirem a todos os exaustos esforços dos sábios da
época. Dentre esses problemas se destacam: o problema da duplicação do cubo,
o problema da trissecção de um ângulo arbitrário e o problema da quadratura do
1
Neste texto, um problema de construção geométrica consiste na construção de figuras
geométricas planas obtidas pelo uso exclusivo do compasso e da régua não graduada, isto é,
sem escala.
5
6
cı́rculo.
Após os gregos, matemáticos e intelectuais se empenharam na busca pelas
desejáveis resoluções por um perı́odo que perdurou por mais de dois milênios.
Esta procura incessante resultou na construção de novas técnicas e teoremas que
possibilitaram o surgimento de grande parte das estruturas da álgebra e geometria
que conhecemos atualmente (YATES2 , apud CARVALHO, 2004, p.02).
Somente no século XIX a geometria conquistou êxito na elucidação desses
problemas. Em 1837, P.L. Wantzel resolveu (negativamente) o problema da duplicação do cubo e da trissecção de um ângulo arbitrário, posteriormente, em 1882
F. Lindemann solucionou (também negativamente) o problema da quadratura do
cı́rculo, ao provar a transcendência de π sobre o corpo dos números racionais.
Porque foi necessário transcorrer tantos séculos para que estes três problemas de geometria fossem solucionados? Existem duas razões que contribuem para
uma melhor compreensão do assunto: tais construções são impossı́veis de serem
realizadas somente pelo uso do compasso e da régua (sem escalas). Além disso, a
elucidação dos problemas foi possı́vel vir a termo, a partir do século XIX, através
do nascimento da álgebra moderna, especiﬁcamente, pela teoria dos números
algébricos, complemento da teoria de polinômios e extensão dos corpos.
Haja vista que a História da Matemática foi signiﬁcativamente inﬂuenciada
pela busca de solução destes três problemas clássicos, a justiﬁcativa deste trabalho
baseia-se na extrema necessidade de que o aluno em formação, futuro pesquisador
ou docente, carece em conhecer a criação e o desenvolvimento dos conceitos referente à estrutura da álgebra e da geometria, a ﬁm de favorecer a interpretação da
ciência Matemática atual.
Neste cenário, este trabalho tem por objetivo realizar um estudo do desenvolvimento dos fundamentos da álgebra que tornaram possı́veis a elucidação dos
problemas geométricos solucionados pelos matemáticos do século XIX. Logo, o
problema de investigação deste trabalho pode ser enunciado da seguinte forma:
de que maneira a álgebra moderna desvendou as célebres questões da geometria
2
Yates, Robert C. The Trisection Problem. Reston, Virginia: The National Council of Tea-
chers of Mathematics. Classics in mathematics education, v. 4, 1971.
7
clássica?
Inicialmente, para conhecimento do conteúdo, é imprescindı́vel apresentarmos os principais aspectos da História da Matemática Grega, os instrumentos empregados nas construções geométricas e os três memoráveis problemas que ﬂoresceram na época. Adiante, demonstraremos que são construtı́veis todos os números
que derivam das operações fundamentais da aritmética e de extrações de raı́zes
quadradas. Em seguida, abordaremos o conceito de número algébrico e extensões
de corpos, a partir da teoria dos polinômios e de objetos preliminares da álgebra
linear, respectivamente.
Da reunião deste conjunto de conhecimentos matemáticos elucidaremos os
critérios que decidem sobre a construtibilidade de números reais e, por conseguinte,
a impossibilidade de solucionar os problemas clássicos gregos. Nesta oportunidade,
ainda demonstraremos que só há um procedimento geral para a divisão de um
ângulo arbitrário em n partes iguais (congruentes) quando n é uma potência de 2.
Capı́tulo 1
Panorama Histórico
O amplo ﬂorescimento intelectual e cientiﬁco que abrangeu os campos da ﬁlosoﬁa, psicologia, matemática, medicina, entre outras ciências, durante o perı́odo da
antiga civilização Grega (aproximandamente de 600 a.C a 600 d. C.), contribuiu
expressivamente no sentido de alicerçar e inﬂuenciar o desenvolvimento do saber
humano ao longo dos séculos vindouros. No âmbito da Matemática, a criação dos
problemas da duplicação do cubo e da quadratura do cı́rculo, entre outros mais, e,
mais tarde, a impossibilidade de resolvê-los, através das ferramentas tradicionais
utilizadas pelos matemáticos gregos, foi uma semente cuja colheita resultou em
notáveis avanços da Matemática.
Mesmo o admirável conhecimento matemático disponı́vel à época dos gregos
revelou-se insuﬁciente para demonstrar que certos problemas de geometria não
são exequı́veis, exclusivamente, através das ferramentas tradicionais, ou seja, a
régua (não graduada) e o compasso. Ainda assim, revestidos de uma inﬂexı́vel
perseverança e capacidade, os matemáticos da era inventaram novos instrumentos
que possibilitaram responder as questões geométricas clássicas ou realizar aproximações expressivas.
Vistos como um exorbitante desaﬁo intelectual ou, simplesmente, como uma
tentação a estimular o nobre prazer de pensar, alguns problemas geométricos da
antiguidade, após os gregos, inquietaram um número signiﬁcativo de matemáticos
e simpatizantes da Matemática a criar e a desenvolver, por um longo perı́odo, um
8
9
instrumental matemático cujos fundamentos aliam os campos da geometria e da
álgebra.
Este capı́tulo, traz relatos históricos para realizar um retrospecto ao cenário
de origem e de desenvolvimento da geometria grega, a qual prevaleceu e delineou
as diretrizes do ensino de geometria nos currı́culos escolares até os nossos dias. Em
consequência do regresso à civilização grega, surge a necessidade de apresentarmos
as peculiaridades dos instrumentos intrı́nsecos às construções geométricas, ou seja,
a régua (não graduada) e o compasso, os quais proporcionaram solucionar belos e
engenhosos problemas.
Por ﬁm, relatamos quando e de que maneira foram concebidos os três famosos
problemas clássicos de geometria: a duplicação do cubo, a quadratura do cı́rculo e
a trissecção de um ângulo arbitrário. Além disso, almejamos elucidar as questões
que fundamentaram e impossibilitaram solucionar tais problemas clássicos, unicamente, por meio da régua (não graduada) e do compasso.
1.1
A Matemática Grega
Em busca por melhores condições de sobrevivência e adaptação ao meio externo,
o homem dos tempos remotos deu inı́cio à construção de um conhecimento matemático vital para o progresso de suas ações primitivas. Os primeiros vestı́gios de
conhecimento de natureza geométrica originaram-se no Oriente Antigo, entre 2.000
a.C. a 1.600 a.C., aproximadamente, originários predominantemente da civilização
babilônica e da civilização egı́pcia. Neste perı́odo matemático, conhecido como
pré-helênico, as fontes preservadas revelam o emprego das técnicas geométricas
restritas a sua mensuração prática, essencialmente ligada à agricultura e a engenharia.
De acordo com Garbi (2009b), em meados do século VII, os povos de fala
grega foram os primeiros europeus a se interessarem pelas técnicas geométricas e
reconhecerem a utilidade da geometria após realizarem contato com a civilização
egı́pcia, haja vista a necessidade de expansão comercial. De fato, segundo Wagner
(2011), o desenvolvimento acelerado da Matemática no mundo antigo é atribuı́do
10
aos gregos geniais, pensadores, ﬁlósofos e cientistas, os quais viram na lógica, no
raciocı́nio e na razão, ferramentas para novas descobertas e, consequentemente, a
explicação do mundo. Eves (2004) vai um pouco além ao aﬁrmar que sem sombra
de dúvidas, os maiores cientistas do mundo antigo viveram na Grécia.
É importante salientar que quando se fala em “Matemática Grega” a referência “Grega” faz alusão à lı́ngua comum de grande parte do mundo mediterrâneo, é evidente que nem todos os matemáticos gregos nasceram na Grécia, o
que partilhavam em comum era a tradição, o modo de pensar, a cultura e a lı́ngua
(BERLINGHOFF; GOUVÊA, 2008, p. 14-15).
É lamentável que os documentos antigos não perduraram ao longo do tempo
para trazer à luz, com genuı́na veracidade, o conhecimento sobre a vida e as descobertas matemáticas dos sábios antigos. Assim sendo, o pouco do que se sabe da
história grega faz referência à tradição, procedente de livros e menções de textos
de autores que viveram na época ou tempos após a produção dos escritos originais.
Devido a este fato, esboçamos datas e, inclusive, descobertas matemáticas que por
vezes são divergentes na atribuição aos seus criadores.
Formada por uma aﬂuência de cidades-Estado e de fazendas pequenas, a
Grécia está localizada sobre um arquipélago de ilhas rochosas e penı́nsulas no extremo leste do mar Mediterrâneo, próxima aos limites da civilização do Oriente
Médio (EVES, 2004, p. 90). Nesta região de isolamento, determinado pelas montanhas ı́ngremes, vales acentuados, e de tı́pica mitologia, cultura e polı́tica, a Grécia
do perı́odo Helênico (800 a.C.–336 a.C.), vivenciou progressos imensuráveis no que
concerne ao campo do saber cientı́ﬁco.
É claramente manifesto o interesse dos matemáticos da época em estudar e
conceber um corpo de estrutura axiomática-dedutiva para a geometria. Embora a
palavra geometria seja de origem grega e signiﬁque “medida da terra”, os gregos
foram os pioneiros a apreciar e estabelecer a geometria como ciência dedutiva.
Esta alteração na concepção do pensamento matemático é conferida a Tales
de Mileto (625 a.C.–547 a.C.), considerado o precursor dos sete sábios da antiguidade, o qual consagrou na Matemática a necessidade de demonstrar as verdades
(Garbi, 2009b, p. 15).
11
Tão famoso quanto Tales, foi Pitágoras de Samos (586 a.C.–500 a.C.) um
mı́stico matemático, ﬁlósofo, profeta, astrônomo, dentre outras atribuições, e ilustre fundador da Escola Pitagórica (ou Irmandade Pitagórica). Criada por volta
de 540 a.C., era constituı́da por uma sociedade secreta fundamentada em estudos
matemáticos e ﬁlosóﬁcos, e fortemente caracterizada pela difusão de ritos peculiares.
Apesar da inexistência de documentos antigos, a tradição é persistente em
outorgar a Tales e a Pitágoras descobertas matemáticas plausı́veis. Ligam-se a
Tales os célebres teoremas geométricos: um ângulo inscrito em um semi-cı́rculo
é reto; os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais; ângulos opostos
formados por duas retas que se cortam são iguais; qualquer diâmetro efetua a
bissecção do cı́rculo e dois triângulos são iguais se possuem dois ângulos e um lado
(adjacente aos ângulos) iguais em cada um deles.
Já a Pitágoras e/ou a Escola Pitagórica é atribuı́do o ﬂorescimento de propriedades dos números inteiros e o estudo das razões. No âmbito da geometria usufrui (em) de crédito pela demonstração do teorema de Pitágoras1 : num triângulo
retângulo a área do quadrado construı́do sobre a hipotenusa é igual à soma das
áreas dos quadrados construı́dos sobre os catetos, e pela provável descoberta dos
incomensuráveis2 (BERLINGHOFF; GOUVÊA, 2008, p. 16).
Figura 1.1: Bustos de Tales (à esquerda) e Pitágoras.
As descobertas geométricas na Grécia Antiga avançaram aceleradamente.
1
2
Provavelmente este teorema já era conhecido pelos babilônios (BOYER, 1974, p.37)
Foi demonstrada que a razão entre o lado e a diagonal de um quadrado não é a razão de
quaisquer dois números inteiros, a tais segmentos chamaram de incomensuráveis e denominaram
de irracional a razão entre estes segmentos (BERLINGHOFF; GOUVÊA, 2008, p. 18).
12
Segundo Boyer (1974) durante a segunda metade do século V a.C. até os dias de
Platão (427 a.C.–347 a.C.). Diversos matemáticos se preocupavam com problemas
que posteriormente construı́ram a base para grande parte do desenvolvimento da
geometria. Devido a isto tal perı́odo é chamado de “Idade Heróica da Matemática”.
Dentre os célebres matemáticos que contribuı́ram signiﬁcativamente para a
expansão do conhecimento grego, são conhecidos atualmente: Arquitas (nasceu
em 428 a.C., aproximadamente), Hipasus (viveu por volta de 400 a.C.), Demócrito
(nasceu em 460 a.C., aproximadamente), Hı́pias de Elis (nasceu em 460, aproximadamente), Hipócrates de Quios (viveu por vota de 430 a.C.), Anaxágoras (morreu
em 428 a.C.), Zeno de Eléia (viveu por vota de 450 a.C.), Platão (427 a.C.–347
a.C.), Eudóxio (408 a.C.–355 a.C.), Teúdio (?–350 a.C.), Arquimedes (287 a.C.–
212 a.C.)e Apolônio (nasceu por volta de 462 a.C.).
Consolidado nas signiﬁcativas descobertas dos sábios antigos, o esplendor da
Matemática Grega foi atingido com a publicação de Os Elementos, escrito por
Euclides3 de Alexandria (325 a.C.– 265 a.C.), no século III a.C. Em sua obra,
Euclides sintetizou e sistematizou, em treze livros, o conhecimento matemático
reunido até o momento sobre: geometria (plana e espacial), teoria dos números e
álgebra elementar (geométrica).
Seu trabalho notável tornou-se a mais inﬂuente obra de todos os tempos
não apenas para a Matemática Grega, mas também para a Matemática Ocidental,
uma vez que Os Elementos estabeleceu a geometria euclidiana como um campo
cientı́ﬁco a nortear o ensino da geometria nos currı́culos escolares por mais de dois
milênios. Para Eves (2004) o trabalho de Euclides se resume a:
Assim, é provável que os Elementos de Euclides seja, na sua maior parte,
uma compilação altamente bem sucedida e um arranjo sistemático de trabalhos anteriores. Não há dúvida de que Euclides teve de dar muitas demonstrações e aperfeiçoar outras tantas, mas o grande mérito de seu trabalho
reside na seleção feliz de proposições e no seu arranjo numa seqüência lógica,
3
Pouco se sabe sobre a vida de Euclides, segundo a história foi professor da famosa escola
matemática de Alexandria e sua formação provavelmente deu-se na escola platônica de Atenas
(EVES, 2004, p. 167).
13
presumivelmente a partir de umas poucas suposições iniciais (p. 168-169).
Figura 1.2: Capa da primeira edição em lı́ngua inglesa de “Os Elementos”de Euclides, feita por Billingsley em 1750.
Juntamente com a escola Pitagórica, sediada em Crotona na Itália, e a Academia de Platão, localizada em Atenas na Grécia, a escola de Alexandria4 se insere
na lista das três maiores escolas de Matemática da antiga civilização mediterrânea
(PATERLINI, 2003). Para Boyer (1974), a cidade de Alexandria foi o maior centro de produção de conhecimento matemático da época de Euclides aos dias da
matemática Hipácia (morte em 415 d.C.).
A Matemática originada neste centro era voltada a diferentes tipos de pesquisa. Por exemplo, de acordo com Paterlini (2003), daı́ destaca-se Diofanto (que
4
Localizada no Egito, a cidade de Alexandria foi conquistada por Alexandre o Grande, rei
da Macedônia, posteriormente, nos reinados dos três primeiros faraós da dinastia Ptolomaica,
foi construı́da a biblioteca de Alexandria, considerada um centro universal aberto ao saber
e à pesquisa sem fronteiras, sendo constituı́da por um museu contendo jardins, um parque
zoológico, salas de aula e um observatório astronômico (PATERLINI, 2003). Disponı́vel em:
http://www.dm.ufscar.br/hp/hp855/hp855001/hp855001.html.
14
viveu por volta de 200 a.C.), considerado um dos maiores matemáticos da civilização Grega. Sua obra, conhecida por Aritmética, exerceu grande inﬂuência na
História da Matemática, visto que Diofanto introduziu a notação simbólica e o
estudo de equações indeterminadas, conhecidas hoje por equações diofantinas em
sua homenagem.
Ainda que a geometria fosse considerada o foco central da Matemática Grega,
os gregos empreenderam seu notável conhecimento matemático em estudos de astronomia. Fato este que possibilitou acrescentar o conhecimento geométrico, visto
que, de acordo com Berlinghoﬀ e Gouvêa (2008), no intuito de elucidar os movimentos de astros e planetas, os astrônomos gregos foram instigados a desenvolver
uma elaborada geometria esférica, de igual modo, da necessidade de localizar os
planetas no céu, e aplicaram o conhecimento babilônico de associar números a
medidas de ângulos.
O maior astrônomo da antiguidade foi Cláudio Ptolomeu, que viveu por volta
de 120 d.C. Ptolomeu se dedicou à astronomia matemática, sua obra mais famosa é
a Sı́ntese Matemática, composta por treze livros, a qual mais tarde ﬁcou conhecida
por Almajesto (que em árabe signiﬁca A maior = Al magest), considerada a obra
mais importante de trigonometria da antiguidade.
Amplamente conhecidos no mundo antigo, Arquimedes e Apolônio são tidos,
juntamente com Euclides, como os maiores matemáticos de todos os tempos. Vemos na ﬁgura de Arquimedes um legı́timo defensor de sua cidade natural, Siracusa,
situada na ilha da Sicı́lia, em vista as tentativas de invasão pelos romanos. No
campo da Matemática, Eves (2004, p. 194) aﬁrma: “os trabalhos de Arquimedes
são obras-primas de exposição matemática e lembram, consideravelmente, artigos
de revistas especializadas modernas”. Seus trabalhos foram dedicados à geometria plana e espacial, aritmética e matemática aplicada. Dentre suas invenções
mecânicas mais conhecidas, nos deparamos com a bomba de extração de águas
para nı́veis elevados.
Da mesma época de Arquimedes, Apolônio, que nasceu em Perga, no sul da
Ásia Menor, embora fosse astrônomo, sua obra excepcional foi Secções Cônicas,
escrita para matemáticos que pretendiam obter a capacidade de resolver problemas
15
envolvendo curvas. Seis de suas obras se juntam a dois tratados avançados de
Euclides (hoje perdidos) para formar a coleção “Tesouro da análise”, por este fato
Apolônio recebeu de seus contemporâneos o tı́tulo “O Grande Geômetra”(BOYER,
1974, p. 104 - 405).
Figura 1.3: Bomba de água em parafuso criada por Arquimedes utilizada para
irrigar campos, retirar água de porões de navios, dentre outras utilidades.
Os estudos da geometria que se seguiram após Euclides, Arquimedes e Apolônio
não persistiram em sua vivacidade à época dos estudiosos. Desde então, os campos
de estudo limitaram-se a outros ramos da Matemática, especiﬁcamente, à astronomia, à algébra e à trigonometria.
O tı́tulo de último sucessor dos eruditos geômetras gregos é atribuı́do a Papus
(viveu por volta de 300 d.C., ou seja, cerca de V séculos após Apolônio), autor da
compilação intitulada Coleção Matemática5 . Nesta obra, Papus patenteou uma
reunião de trabalhos anteriores acompanhados de comentários, de uma grande
quantidade de proposições originais, aprimoramentos, extensões e notas históricas
(EVES, 2004, p. 210).
O perı́odo que se segue após Papus foi caracterizado por produções de edições
e comentários fundamentados em obras anteriores. O autor que exerceu maior
inﬂuência neste perı́odo foi o ﬁlósofo e matemático Proclus Diácono (412 d.C.–485
d.C.). O cognome Diácono, que signiﬁca sucessor, faz alusão ao possı́vel posto de
Proclus ao liderar a escola Platônica. Após Platão, enquanto escritor contribuiu
com a História da Matemática ao produzir o livro Comentário sobre o Livro I de
5
A obra era composta de oito livros, contudo foi perdido o primeiro livro e a metade do
segundo livro (BOYER, 1974, p. 135).
16
Os Elementos, no qual utilizou exemplares das obras História da geometria, de
Eudemus, hoje desaparecida, e Comentários sobre os Elementos, de Papus, hoje
perdido em grande parte (PATERLINI, 2003).
Nos séculos que se seguiram a escola de Alexandria gradualmente foi perdendo seu valor enquanto maior patrimônio cultural e cientı́ﬁco da época, juntamente com a sociedade antiga, haja vista a divisão do Império Romano em 330
d.C. A biblioteca foi alvo de várias tentativas de incêncio. Historiadores aﬁmam
que, em 641 d.C. a fantástica e signiﬁcativa coleção de saber foi aniquilada através
de um incêncio, após a tomada de Alexandria pelos árabes. Este fato porém é
contestado por historiadores modernos, que vêem nas civilizações árabes não a
destruição, mas a preservação de parte substancial da matemática grega. A perca
inestimável a biblioteca de Alexandria, de qualquer modo, registra o ﬁnal do esplendor da Matemática Grega Antiga.
A Matemática do Mundo Grego, que prevalesceu de pelo menos 600 a.C a
600 d.C., viajou por vários lugares, entre os quais: Jônia, Atenas e Alexandria, e
se revelou sem uniformidade no que concerne a intervalos de tempo e, mesmo em
certo tempo e local, foi marcada por diferenças de nı́vel de interesse e realização
matemática (BOYER, 1974). Foi neste ı́nterim, marcado por guerras polı́ticas
e o estabelecimento dos Impérios Macedônio e Romano, que surgiu um tipo de
civilização que contribuiu expressivamente no sentido de germinar e ﬂorescer o
conhecimento da humanidade, tanto no campo da estrutura da Matemática como
em outras ciências.
1.2
Construções com Régua (não graduada) e
Compasso
Uma particularidade dos matemáticos da Grécia Antiga é quanto ao evidente interesse pelo emprego da régua (não graduada) e do compasso em construções
geométricas. O autor Stillwell (1994, p. 15) declara: “A régua e o compasso
tem sido a marca registrada da geometria desde o aparecimento dos Elementos de
Euclides em torno de 300 a.C.”
17
Embora Euclides em Os Elementos não tenha mencionado o uso de quaisquer
instrumentos matemáticos, a limitação dos primeiros três postulados a construções
de retas e circunferências, contribuiu para consagrar a régua (não graduada) e o
compasso como instrumentos euclidianos. Em virtude de mudanças e acréscimos
procedentes de edições subsequentes, as aﬁrmações realizadas por Euclides não
são precisas, porém existem indı́cios de que os primeiros três postulados podem
ser anunciados da seguinte forma:
I) Fique postulado traçar uma linha reta a partir de todo ponto até todo
ponto.
II) Também prolongar uma linha reta limitada continuamente sobre uma
reta.
III) Também descrever um cı́rculo com todo centro e raio (BICUDO6 , apud
BARBOSA; NETO, 2010, p. 02).
Não obstante ao emprego por Euclides da reta e da circunferência, encontramos também duas respostas que recebem créditos ao serem apontadas diante da
questão do porquê do emprego de tais instrumentos, sendo elas: a atribuição pelos
gregos da idéia de perfeição a retas e circunferências e a descoberta da irraciona√
lidade de 2 (número que pode ser construı́do com régua e compasso).
Conforme já realçado, a régua não possui propriedades métricas7 e o compasso é de pontas “caı́das” (diferente do compasso tradicional cujas pontas são
ﬁxas), impossibilitando a transferência de distâncias8 . Entretanto, é curioso destacar que, apesar da diferença entre o compasso usual e o compasso euclidiano
ambos são equivalentes, ou seja, toda construção feita com o compasso usual pode
ser realizada com o compasso euclidiano (EVES, 2004, p. 134).
Construir com régua e compasso, signiﬁca efetuar as seguintes construções:
6
EUCLIDES. Os Elementos /Tradução e introdução de Irineu Bicudo. São Paulo: Editora
UNESP, 2009.
7
Escala não numerada conforme as réguas habituais.
8
Desta forma, dados dois pontos A e B é possı́vel traçar uma circunferência de centro em A
passando por B, entretanto, ao se levantar o compasso, este se desmonta, ou seja, não mantém
a abertura inicial, impossibilitando de usá-lo como um transferidor de medidas de segmentos, ao
mesmo tempo.
18
• Com a régua é possı́vel traçar uma reta de comprimento indeﬁnido conhecendo dois pontos distintos dessa reta.
• Com o compasso é possı́vel traçar uma circunferência com centro em um
ponto dado e passando por um segundo ponto determinado.
• Se certos pontos são dados inicialmente, pontos ulteriores podem ser construı́dos através de uma sequencia de operações de intersecções de retas com
retas, circunferências com circunferências e ainda reta com circunferência e,
consequentemente, novas retas e circunferências podem ser traçadas pelos
novos pontos obtidos e assim sucessivamente.
Da sequência de operações possı́veis com régua e compasso, ﬁca perceptı́vel
que determinadas construções não são permitidas como, por exemplo, valer dos
seguintes artifı́cios: empregar uma graduação previamente estabelecida da régua
ou do compasso, traçar uma circunferência de raio ou centro arbitrário, considerar
sobre uma reta um ponto arbitrário, deslizar a reta até uma posição determinada,
entre outras impossibilidades. Desta forma, ﬁca subentendido que no decorrer
deste trabalho ao nos reportarmos à régua e ao compasso, fazemos referência aos
instrumentos cujas caracterı́sticas foram expostas acima.
Ao aumentar o número de instrumentos permitidos é fácil conceber que a
variedade de construções se amplia, mas, por outro lado, será possı́vel obter construções euclidianas restritas ao uso de apenas uma ferramenta? Tal questão, surgiu
em algum momento da história e estimulou investigações a respeito.
Em 1797, o matemático italiano Lorenzo Mascheroni (1750-1800) no livro
Geometria Del Compasso, demonstrou que todas as construções geométricas (de
pontos no plano) efetuadas com régua e compasso podem ser executadas apenas
com o compasso. Isto é, a régua é um instrumento dispensável, na medida em que
o compasso permite localizar retas (não traçadas) por meio de pares de pontos que
as deﬁnem (GARBI, 2009a, p. 362).
Para a melhor elucidação do assunto, ainda segundo Garbi (2009a), uma vez
19
que toda construção euclidiana é um conjunto ﬁnito de operações restritas a:
(1)




(2)




e a intersecções de:
(3)






 (4)
traçados de retas e circunferências;
retas com retas;
circunferência com circunferência; e
reta com circunferência.
onde nestes processos as retas constituem etapas intermediárias a determinar certos pontos. O Teorema de Mascheroni estará demonstrado se for considerada a
expressão de retas através de dois de seus pontos e a certiﬁcação de que apenas
com o compasso é sempre possı́vel obter os cruzamentos (2) e (4).
Com o manuseio do compasso apenas, Garbi (2009a) e Araújo (2007) trazem
à luz as construções com procedimentos propostos por Mascheroni para a deﬁnição
dos pontos de cruzamentos descritos em (2) e (4). Sistematicamente, procuramos
elucidar os resultados e conceitos e as respectivas justiﬁcativas que consistem na
demonstração do teorema, que segue com aplicações diretas de geometria plana.
Caso (2) da “geometria de Mascheroni”:
i) Sem perda de generalidade considere as retas determinadas pelos pontos A e
B, e por C e D, onde C e D são pontos em semiplanos opostos em relação
à reta AB.
ii) Determine os pontos C ′ e D′ , simétricos de C e D, em relação à reta AB.
iii) Trace as circunferências C1 e C2 , a primeira com centro em D′ e raio CC ′ e a
segunda com centro C e raio CD.
iv) Construa os lados do quadrilátero CC ′ D′ E, onde o ponto E é a intersecção
de C1 e C2 .
v) Determine o segmento de comprimento9 f de modo que DE/DD′ = CD/f .
9
O leitor poderá consultar a construção do segmento f na página 37 de Araújo, I.D. de. Uma
abordagem para a prova com construções geométricas e Cabri-Géomètre. Mestrado em Educação
Matemática. PUC/São Paulo, 2007.
20
vi) Trace as circunferências C3 e C4 , a primeira com centro em D e raio f e a
segunda com centro D′ e raio f .
vii) Determine o Ponto F de intersecção de C3 com C4 , em que C e F estão no
mesmo semiplano determinado pelo segmento DD′ .
De fato, é perceptı́vel que o quadrilátero CC ′ D′ E é uma paralelogramo já
que D′ E = CC ′ e CE = CD = C ′ D′ , em vista da construção de C1 e C2 ,
respectivamente. Como os lados de um paralelogramo são paralelos, concluı́-se que
os pontos E, D′ e D são colineares (Teorema das Paralelas). Disto, veriﬁca-se que
os triângulos △DCE ∼ △DF D′ . Portanto, é válida a relação DE/DD′ = CD/f .
Como F ∈ CD ∩ C ′ D′ , tendo em vista a construção de C3 e C4 , aﬁrmamos que F
é o ponto de intersecção das retas AB e CD.
Figura 1.4: Intersecção de reta com reta.
Caso (4) da “geometria de Mascheroni” (admitimos por hipótese, que o centro
O da circunferência não esteja sobre a reta):
i) Designe por A e B os pontos da reta não traçada.
ii) Construa os arcos de raios AO e BO com centros em A e B, respectivamente.
iii) Veriﬁque que ambos os arcos se cruzam em dois pontos; sendo um o ponto O
e, o outro, nomeie de O′ , simétrico de O em relação a AB.
21
iv) Construa uma circunferência com centro em O′ e de mesmo raio da circunferência inicial.
v) Localize os pontos C e D na intersecção das circunferências.
Como o ponto O′ é simétrico de O, em relação a AB, podemos aﬁrmar que a
reta AB é a mediatriz do segmento OO′ . Ao mesmo tempo, por construção, temos
que OC = O′ C = OD = O′ D, o que nos leva a concluir que os pontos C e D
pertencem à reta AB. No entanto, C e D estão na intersecção das circunferências
(passo v) e, portanto, são os pontos procurados.
Figura 1.5: Intersecção de reta com circunferência.
Caso (4) da “geometria de Mascheroni” (admitimos por hipótese, que o centro
C da circunferência e os pontos que deﬁnem a reta são colineares):
i) Designe por A e B os pontos da reta não traçada.
ii) Denomine por S um ponto qualquer sobre a circunferência e por R o ponto
simétrico a S em relação à reta.
iii) Encontre os pontos E e F , ambos pontos médios dos arcos SR e RS.
Por construção temos que CS = CR e, por conseguinte, a reta AC é a
mediatriz do segmento SR, haja vista que ambos são simétricos em relação a AC.
Agora, uma vez que os pontos E e F são os pontos médios dos arcos SR e RS,
ambos pertencem a mediatriz de RS, ou seja, E e F estão na reta AB.
22
Figura 1.6: Intersecção de reta com circunferência cujo centro está na reta.
Embora Mascheroni tenha divulgado este teorema em 1797, há 125 anos
antes, o matemático dinamarquês Georg Mohr (1640-1697) publicou o livro Euclides Danicus (1672), com resultados semelhantes aos descobertos por Mascheroni.
Contudo, a pouca popularidade de Georg e a ausência de reconhecimentos pelos matemáticos de sua época, colaboraram para que seu teorema permanecesse
desconhecido por mais de século. Em nossos dias, em homenagem a ambos os
matemáticos o teorema ﬁcou conhecido por teorema de Mohr-Mascheroni.
Após a constatação feita por Mohr e Mascheroni, foi a vez do matemático
francês Jean Victor Poncelet (1788-1867) estudar as construções possı́veis a partir
da utilização da régua. Em 1822, Poncelet veriﬁcou que a recı́proca é válida, ou
seja, o emprego da régua em construções geométricas é equivalente ao emprego da
régua e do compasso, desde que, no plano de desenho exista uma circunferência
com centro e raio ﬁxos. Mais tarde, em 1833, este teorema foi demonstrado pelo
geômetra suı́ço-alemão Jacob Steiner (1795-1863) e, a partir de então, ﬁcou conhecido por teorema de Poncelet-Steiner.
Diferentemente do assegurado pelo teorema de Mohr-Mascheroni, onde a
régua é totalmente supérﬂua, Poncelet-Steiner constataram que o compasso se
tornará dispensável após ser usado para traçar uma circunferência e seu centro.
Já em 1904, o italiano Francesco Severi ampliou as fronteiras do assunto ao mostrar que é suﬁciente dispor de um arco de circunferência, por menor que seja, e
seu centro, de modo a realizar todas as construções com o uso da régua apenas
(ARAÚJO, 2007, p. 24-25)10 .
10
A demonstração deste teorema foge aos objetivos deste trabalho, esta se restringe a validar
23
De volta à antiguidade, um alegórico aspecto que diz respeito ao emprego
dos instrumentos euclidianos é o fato de que o traçado de construções com régua e
compasso era concebido como um jogo, limitado às regras usuais dos instrumentos,
aliás, considerado um dos jogos mais fascinantes e absorventes jamais inventados
(EVES, 2004, p. 134).
Com o uso de apenas da régua e do compasso, os matemáticos gregos realizaram um número extenso de construções geométricas. Nada obstante, belos e
engenhosos problemas da geometria foram solucionados, fundamentados em um
conjunto vasto de construções executáveis, como por exemplo: a construção de
retas paralelas a uma outra reta ou a um ponto dado, a bissecção de um ângulo ou
um segmento, a construção de uma reta perpendicular a uma reta dada passando
por um ponto, a construção de circunferências e arcos, entre outras.
Por ﬁm, uma vez que o conjunto de noções e relações primitivas da geometria
faz referência à régua e ao compasso, torna-se impossı́vel avaliar a importância destes instrumentos, inseridos na história das construções geométricas, e a inﬂuência
propı́cia à expansão do campo de conhecimentos geométricos, haja vista que alguns
problemas geométricos resistiram à limitação destas ferramentas.
1.3
Os Problemas Clássicos da Geometria
Há dois milênios antes que a natureza dos números algébricos fosse criada e desenvolvida, os gregos buscaram solucionar problemas equivalentes à solução de
equações cúbicas ou de maior grau. O empreendimento de novos conceitos e
técnicas tornou possı́vel elucidar as tarefas e prover respostas ou aproximações.
Os mais famosos destes problemas investigamos a seguir.
1.3.1
Duplicação do Cubo
Relacionado a duas lendas mitológicas e a Escola Pitagórica, o problema da duplicação do cubo consiste em construir com régua e compasso a aresta de um cubo
as intersecções de circunferência com circunferência e de reta com circunferência.
24
que tenha o dobro do volume de um cubo dado.
Segundo revelam os documentos antigos, a primeira alusão ao surgimento do
problema remete a cerca de 429 a.C., quando uma peste exterminou um quarto da
população de Atenas. No propósito de cessar a peste, os atenienses se dirigiram a
ilha de Delos a questionarem o oráculo de Apolo11 , sua resposta foi à exigência
da construção de um altar com o dobro do tamanho do existente para Apolo, de
imediato, os atenienses duplicaram a aresta do altar e, consequentemente, seu volume foi multiplicado por oito, logo a peste continuou a fazer vı́timas e o problema
ﬁcou conhecido como “problema de Delos” (CARNEIRO, 1998, p. 91).
Um segundo episódio registrado a cerca da origem do problema da duplicação
do cubo provavelmente tenha se dado quando o sábio Erastóstenes escreve ao
rei Ptolomeu III, por volta de 240 a.C. Erastóstenes faz menção a uma situação
ocorrida quando Minos12 declara os procedimentos para a construção do túmulo
de Glaucus, na intenção de duplicar e conservar a forma do túmulo cúbico, Minos
aﬁrma ser necessário duplicar cada aresta do cubo, ciente disso, Erastóstenes alega
que a aﬁrmação era incorreta, já que ao se duplicar o lado à área aumenta quatro
vezes e o volume oito vezes (JONES; MORRIS; PEARSON, 1991. p. 01).
Por ﬁm, emerge-se da Escola Pitagórica a terceira conjectura a respeito da
origem do problema. Segundo Cajori13 (1991), citado por Sousa (2001, p. 46),
provavelmente a duplicação do cubo tenha sido sugerida após os pitagóricos mostrarem que a diagonal de um quadrado é o lado de outro quadrado com o dobro
da área do primeiro. Em outras palavras, se um quadrado possui lado k é possı́vel
√
construir um quadrado de área 2k 2 considerando como aresta k 2, isto é, a diagonal do quadrado de lado k.
Apesar das duvidosas origens do problema, a duplicação do volume do cubo,
sem alterar a sua forma, tornou-se objeto de investigação entre os geômetras.
Observando o problema em si, partindo de um cubo arbitrário cuja aresta tenha
tamanho x, seu volume é dado por x3 . Logo, a duplicação de um cubo de aresta x
11
12
O rei sol.
Conta-se a lenda que Minos foi o Rei de Creta (Pai de Glauco), Filho de Zeus e de Europa.
Email
13
CAJORI. F. A History of Mathematics. Chelsea, New York. 1991.
25
Figura 1.7: Duplicação do Quadrado.
requer a construção de um novo cubo de aresta y, cujo volume é y 3 = 2x3 , assim
√
sendo, o problema se reduz a construir uma aresta y = x 3 2. Como sabido, a
solução se submete à teoria das equações cúbicas, no entanto, este conhecimento
emergiu apenas no século XVI, na Europa.
Figura 1.8: Duplicação do Cubo.
Neste cenário, Hipócrates de Quios, em 440 a.C. concebeu a primeira tentativa de resolução do problema da duplicação do cubo ao reduzir o problema à
construção de meios proporcionais (ou médias proporcionais) entre duas grandezas (Teoria das Proporções de Eudoxo). Apesar de persistir a impossibilidade de
solução usando apenas a régua e o compasso, a contribuição de Hipócrates possibilitou o desenvolvimento de novos mecanismos geométricos frutı́feros às resoluções
subseqüentes e, por conseguinte, a ampliação da Matemática.
De fato, segundo Sousa (2001), o que Hipócrates assegura é que se dado um
cubo de aresta a, encontrarmos segmentos x e y, chamados de meios proporcionais
a
x
y
entre os segmentos a e b, tais que = = , então o cubo de aresta x, possui o
x
y
b
26
b
volume ampliado na razão . Particularmente, a duplicação do cubo é considerada
a
a
x
y
quando b = 2a e existirem x e y que satisfazem = = .
x
y
2a
a
x
A dedução das proporcionalidades é elucidada a partir das relações:
=
x
y
2
x
y
x
e = , logo (1) x2 = ay e (2) y 2 = 2xa, de (1) temos que y = , substituindo
y
2a
a
( 2 )2
√
x
(1) em (2) encontramos
− 2xa ⇒ x4 − 2a3 x ⇒ x3 − 2a3 , e assim, x = a 3 2,
a
ou seja, x é a aresta de cubo cujo volume é o dobro do cubo de aresta a. A razão
1
dos volumes dos cubos de aresta a e x, respectivamente, é de , uma vez que
2
a3 ( x x x ) a x y
1
=
· ·
= · ·
= .
x3
a a a
x y 2a
2
É de grande relevância a questão que justiﬁque o porquê de Hipócrates reduzir o problema da duplicação do cubo à construção de dois meios proporcionais
entre a aresta do cubo inicial e o seu dobro, além disso, é questionável se o mesmo
teria construı́do tais meios proporcionais. Embora suscitem dúvidas, de acordo
com Sousa (2001), é possı́vel que Hipócrates tenha realizado um percurso análogo
ao raciocı́nio abaixo14 :
1. Considera-se um cubo de aresta a; une-se ao cubo de aresta a outro cubo de
aresta a, consequentemente, obtém-se um paralelepı́pedo de arestas 2a, a e
a, cujo volume é o dobro do volume do cubo inicial.
2. Transforma-se o paralelepı́pedo de arestas 2a, a e a em um outro paralelepı́pedo de mesmo volume e mesma altura a, contudo com arestas da base
x e y. Como o volume e a altura dos sólidos se conservaram, segue que
a
y
xy = 2a2 , de onde: = .
x
2a
14
A estratégia de construção dos meios proporcionais exposto por Sousa (2001) foi baseada
nas páginas 97 a 100 da obra de BUNT, L; JONES, P; BEDIENT, J. The Historical Roots Of
Elementary Mathematics. Dover. New York. 1976.
27
3. Por último, constrói-se o paralelepı́pedo de arestas a, x e y em um cubo de
mesmo volume de aresta x.
Logo, a face de arestas a e y transformou-se numa face quadrada de aresta
a
x
x de mesma área, donde ay = x2 e assim = .
x
y
4. Deduz-se dos passos (1) e (2) que
x
y
a
= = .
x
y
2a
Após a contribuição de Hipócrates, as tentativas subseqüentes de duplicação
do cubo basearam em achar duas médias proporcionais entre dois segmentos de
reta, as demonstrações15 que sobrevieram em ordem cronológica são atribuı́das
a: Arquitas (400 a.C.), Menaecmo (350 a.C.), Erastóstenes (230 a.C.), Nicomedes (230 a.C. ?), Apolônio (225 a.C.), Dioclés (180 a.C.),..., ressalta-se, além do
mais que os matemáticos da época sugeriram muitas soluções prestigiadas pelas
descobertas de curvas planas superiores (EVES, 2004, p. 135).
15
Diferentes demonstrações para o problema da duplicação do cubo podem ser obtidas em
CARVALHO, J. P. de. Os Três Problemas Clássicos da Matemática Grega. In: Bienal da
SBM, 2a , 2004, Bahia. Resumos · · · . Rio de Janeiro: PUC, 2004. p. 1 - 21. Disponı́vel em:
<http://www.bienasbm.ufba.br/M20.pdf> e em SOUSA, J. M. R. de. Trissecção do Ângulo e
Duplicação do Cubo: as Soluções na Antiga Grécia. 2001. 114 f. Dissertação (Mestrado em
Educação Matemática) - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, Portugual, 2001.
28
1.3.2
Quadratura do Cı́rculo
De grande relevância e fascı́nio para os matemáticos, o problema da quadratura
do cı́rculo consiste em construir um quadrado cuja área seja igual à de um cı́rculo
dado, utilizando apenas a régua e o compasso. Imaginamos que tal cı́rculo tenha
raio r, assim sendo, o cálculo de sua área é dada por πr2 . Suponhamos agora
que o quadrado a ser construı́do tenha lado igual a x, portanto, sua área é x2 .
Logo, quadrar o cı́rculo incide em construir um quadrado cuja área é x2 = πr2 ,
basicamente, tal pressuposto resume a questão principal do problema: a construção
√
de um segmento cuja medida seja π.
Figura 1.9: Quadratura do Cı́rculo.
São incertos os detalhes a responder quando e como o problema de quadrar
um cı́rculo tenha chegado aos gregos, possivelmente tenha se dado pelo interesse
em se quadrar polı́gonos. Um primeiro registro do problema faz menção ao Papiro
Rhind16 (ou Papiro de Ahmes). De fonte egı́pcia, o Papiro Rhind foi copiado
pelo escriba Ahmes, por volta de 1650 a.C., mais tarde, em 1858 foi adquirido pelo
escocês Alexander Henry Rhind e posteriormente, comprado pelo Museu Britânico.
Segundo revelam fontes históricas, o Papiro Rhind é cogitado por ser um dos mais
conhecidos e antigos papiros da Matemática Antiga, a considerar que o manuscrito
foi copiado por Ahmes de uma fonte ainda mais antiga.
O amplo desenvolvimento matemático dos egı́pcios possibilitou que fossem
considerados os pioneiros na resolução do problema da quadratura. Embora o
16
O Papiro que possui cerca de 0,30m de altura e 5 m de comprimento (Boyer, 1974, 09).
Aborda a resolução de 85 problemas matemáticos referentes à aritmética, frações, cálculo de
áreas, volumes, progressões, repartições proporcionais, regra de três simples, equações lineares e
trigonometria básica. Disponı́vel em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Papiro de Rhind
29
Figura 1.10: Papiro de Rhind, Museu de Londres.
Papiro de Rhind não apresente uma explicação, no problema 50, segundo o escriba
Ahmes, a área de um cı́rculo é dada pela área de um quadrado cujo lado é o
1
diâmetro diminuı́do de , isto é, se Ac representa a área do cı́rculo, então Ac =
9
( )2
8d
. A dedução da aproximação egı́pcia pode ser feita inscrevendo o cı́rculo
9
em um quadrado de lado d (Figura 1.11). Em seguida trissecciona-se cada lado do
quadrado em partes iguais e aproxima-se o cálculo da área do cı́rculo pela área do
octógono.
Figura 1.11: Área do cı́rculo egı́pcia.
d2
Porquanto, Ac = π r2 = π , obtemos a seguinte aproximação para π :
4
( )2
2
d
8d
∼
πr2 = π ⇒ π = 4
= 3,160493. Observa-se que a diferença para o valor
4
9
de π, calculado após o século XIV, foi de apenas 0,0189.
Em território grego alguns matemáticos se destacam por terem seu nome associado à quadratura do cı́rculo, entre os mais conhecidos se encontram Anaxágoras
30
(499 a.C.–427 a.C.), cuja contribuição permanece desconhecida, Hipócrates de
Quios e Hı́pias de Elis (460 a.C.–400 a.C.).
Com o intuito de localizar um caminho para a solução do problema, Hipócrates
obteve sucesso na quadratura de lúnulas17 ou também conhecidas por lunas especiais, como o exemplo da Figura 1.12:
Figura 1.12: Quadratura de Lúnulas.
Na ﬁgura acima, observamos um semicı́rculo de diâmetro AB circunscrito a
um triângulo △ABC e sobre os catetos AC e CB do triângulo são construı́dos
outros dois semicı́rculos, denominados de lúnulas I e II, cujos diâmetros são ambos
os catetos do △ABC. Sobre singular construção, Hipócrates demonstrou que área
I+ área II = área △ ABC.
Para se chegar a esta relação, Hipócrates redesenhou as ﬁguras geométricas de
maneira a obter a construção adiante, onde κ1 , κ2 e κ3 , são os semicı́rculos externos
ao triângulo △ ABC, construı́dos sobre os catetos CB, AC e AB, respectivamente:
Avante, baseado nos resultados conhecidos até o momento de que o triângulo
△ABC é retângulo (resultado atribuı́do a Tales), sobre o Teorema de Pitágoras e
17
Consistem em figuras que possuem a forma semelhante à de uma lua limitada por dois arcos
de circunferência (EVES, 2004, p. 140).
31
de que a razão entre as áreas de dois cı́rculos (ou semicı́rculos) são proporcionais
entre si, bem como a razão entre os quadrados de seus diâmetros18 , Hipócrates
estabeleceu novas relações:
CB 2 área κ2
AC 2
área κ1
e
.
=
=
área κ3
AB 2 área κ3
AB 2
I)
II)
área κ1 área κ2
área κ1 + área κ2
CB 2 AC 2
CB 2 + AC 2
AB 2
+
=
⇒
+
=
⇒
= 1.
área κ3 área κ3
área κ3
AB 2 AB 2
AB 2
AB 2
De I e II conclui-se que área κ1 + área κ2 = área κ3 . De posse deste resultado
resta apenas relacioná-lo com a Figura 1.12, da seguinte forma:
área I + área III + área II + área IV ⇒ área κ1 + área κ2 = área κ3
⇒ área III + área IV + △ABC.
Após a comparação dos termos da primeira linha e da última e o cancelamento
dos termos repetidos alcança-se o desejado: área I + área II = área △ ABC.
Já Hı́pias, inventou uma curva chamada quadratriz19 (Figura 1.13), também
conhecida por trissectriz, tal curva possibilita tanto a resolução do problema da
quadratura do cı́rculo quanto o problema da trissecção do ângulo.
Apesar da curva relacionar-se ao nome deste matemático, surgem dúvidas a
questionar se teria sido Hı́pias o primeiro a empregá-la no problema da quadratura
do cı́rculo ou foi descoberto por outro matemático posteriormente.
1.3.3
Trissecção de um Ângulo Arbitrário
“A partir de um ângulo arbitrário construir um ângulo igual à terça parte do
ângulo dado, utilizando apenas a régua e o compasso”, desta forma se consagrou
18
19
Resultado descoberto pelos Pitagóricos.
Pelo fato de trisseccionar um ângulo a curva recebeu o nome de trissectriz, por outro lado, é
também chamada de quadratriz por possibilitar quadrar um cı́rculo. A curva de Hı́pias é definida
da seguinte maneira: suponha o raio OP girando uniformemente até a posição OQ, simultaneamente, suponha a reta r se deslocando uniformemente até a posição OQ, após ambos os percursos,
o raio OP e o segmento A′ A estarão na posição OQ, desta forma, a quadratriz ou trissectriz é
o lugar geométrico definido pelo ponto A, intersecção dos segmentos OP e A′ A. Disponı́vel em:
http://www.ime.usp.br/ leo/imatica/historia //trissectriz.html, visitado em 22/02/11.
32
Figura 1.13: Quadratriz ou trissectriz.
o problema da trissecção do ângulo20 . Em outras palavras, dados pontos P0 , P1 e
P2 , os quais determinam um ângulo, desejamos a construção de um ponto Pi , tal
c0 P1 seja exatamente um terço do ângulo P2 P
c0 P1 .
que o ângulo Pi P
Figura 1.14: Trissecção de um Ângulo.
As origens do célebre problema são hipotéticas, segundo Eves (2004) é possı́vel
que os gregos se depararam com o problema da trissecção num esforço para solucionar a questão da multissecção de um ângulo ou, ainda, e mais aceito, no interesse
dos gregos na construção de polı́gonos regulares, em especial o de nove lados que
exige a trissecção do ângulo de 120o .
Além das origens obscuras, o problema da trissecção do ângulo difere dos
demais problemas clássicos de geometria, porquanto quadrar o cı́rculo e duplicar
20
Demonstrações para o problema abordado podem ser consultadas em SOUSA, J. M. R.
de. Trissecção do Ângulo e Duplicação do Cubo: as Soluções na Antiga Grécia. 2001. 114 f.
Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Faculdade de Ciências da Universidade do
Porto, Portugual, 2001.
33
o cubo via régua e compasso é uma missão impossı́vel, enquanto que trissectar
alguns ângulos são possı́veis usando os instrumentos euclidianos.
Segundo nos esclarece Garbi (2009a) “A divisão do ângulo em três partes
iguais, apenas com régua e compasso, só é exeqüı́vel em alguns casos particulares (por exemplo: 45o , 90o , 180o , 270o , etc.), sendo impossı́vel de uma maneira
geral”. Neste contexto, a questão chave do problema da trissecção se resume a:
quais ângulos podem ser trisseccionados atendendo à restrição dos instrumentos
tradicionais?
A questão sobre a construtibilidade de um ângulo está intrinsecamente relacionada aos conceitos advindos da trigonometria. Se um ângulo θ qualquer é
construtı́vel, consequentemente, seu seno e cosseno também o são, neste sentido, o
problema da trissecção do ângulo θ é naturalmente traduzido para a construção de
θ
θ
cos ou sen . Tal panorama culminou na admissão da seguinte relação originária
3
3
das identidades trigonométricas21 :
( ( ) ( ))
( )
( )
θ
θ
θ
θ
3
cos(θ) = cos 2
+
= 4 cos
− 3 cos
.
3
3
3
3
( )
θ
Equivalentemente, se tomarmos cos(θ) = m e cos
= p o problema passa então
3
a ser a encontrar as raı́zes da equação: 4p3 − 3p = m, ou ainda, 4p3 − 3p − m = 0.
Como já referimos, os gregos não possuı́am o instrumental matemático necessário para prover as soluções de determinada equação, entretanto no perı́odo
que se seguiu é aplausı́vel inferir que as tentativas de resolução do problema da tris21
A relação expressa é obtida através das fórmulas trigonométricas de adição de arcos e arco
(
)
duplo da função cosseno e da identidade trigonométrica fundamental sen2 x + cos2 x = 1 , conforme segue:
para a =
θ
, cos (2a + a) = cos 2a cos a − sen 2a sen a
3
(
)
= cos2 a − sen2 a cos a − 2 sen a cos a sen a
[
(
)
]
= cos2 a − 1 − cos2 a cos a − 2 sen2 a cos a
[
]
(
)
= 2 cos2 a − 1 cos a − 2 1 − cos2 a cos a
= 2 cos3 a − cos a − 2 cos a + 2 cos3 a
= 4 cos3 a − 3 cos a.
34
secção do ângulo foram favoráveis ao desenvolvimento da geometria. Eves (2004)
descreve a respeito das descobertas de curvas planas superiores, sendo que uma
das mais antigas foi a concóide, inventada por Nicodemos (240 a.C.), e curvas
transcendentes (não algébricas), as quais geralmente multisseccionam um ângulo
em quaisquer partes, neste conjunto inclui-se a quadratriz (ou trissetriz) e a espiral
de Arquimedes.
Capı́tulo 2
Fundamentação Algébrica
Indubitavelmente o percurso efetuado pela Matemática Grega incidiu na subordinação à geometria, cujo desenvolvimento sofreu a inﬂuência das investigações
realizadas na tentativa de solucionar matematicamente os três problemas clássicos
da geometria.
De fato, é sabido que a elucidação dos problemas clássicos emergiu somente
no século XIX. Quando em 1837 os trabalhos do francês Pierre Laurent Wantzel
(1814-1848) demonstraram que é impossı́vel obter a duplicação do cubo, bem como
a trissecção de um ângulo arbitrário utilizando apenas a régua e o compasso.
Mais tarde, em 1882 o alemão Ferdinand von Lindemann (1852-1939) solucionou deﬁnitivamente o problema da quadratura do cı́rculo, após demonstrar
a transcendência de π sobre o corpo do racionais. Em outras palavras, π não é
raiz de nenhuma equação algébrica de coeﬁcientes racionais. Consequentemente
√
π também é um número transcendente, logo veremos adiante que não é possı́vel
quadrar o cı́rculo via somente régua e compasso.
Mais de vinte séculos foram precisos para que a geometria provesse deﬁnitivamente de um universo matemático necessário para o desfecho dos enigmas das
construções com régua e compasso. O desenvolvimento da geometria analı́tica e da
teoria de polinômios (ou das equações algébricas) supriu ferramentas fundamentais
para solucionar este impasse e ampliar a estreita relação existente entre a álgebra
e a geometria.
35
36
Dentre os diversos matemáticos que contribuı́ram para a criação e o desenvolvimento da álgebra moderna estão os nomes do norueguês Niels H. Abel
(1802–1829), do italiano Paolo Ruﬃni (1765–1822) e do francês Évariste Galois
(1811–1832). Os dois primeiros dominaram expressivamente a álgebra clássica,
já Galois foi pioneiro na atual teoria dos corpos (BARBOSA; NETO, 2010, p.
03). A reunião dos trabalhos desses renomados matemáticos culminou na prova
da impossibilidade de solucionar equações de grau superior a quatro empregando
fórmulas envolvendo operações racionais e extração de raı́zes sobre os coeﬁcientes
das equações.
Nesta etapa, é natural que surja a questão: qual a relação existente entre
a geometria euclidiana e as teorias algébricas modernas? Na época de Euclides,
as grandezas passaram a ser associadas a segmentos de reta e a álgebra existente
era inteiramente geométrica, desta forma, um sinônimo para a palavra resolver
era construir (WAGNER, 1998, p. 01). Um segmento representava o seu próprio
comprimento, visto desta maneira, as construções geométricas possuı́am um signiﬁcado algébrico, vejamos, por exemplo, se a, b e c representam segmentos: ab terá
como resultado a área de um retângulo de lado a e b e abc será o volume de um
paralelepı́pedo.
Assim, resolver um problema de geometria em caráter algébrico se resume a
estabelecer uma relação (equação) entre as quantidades dadas e a(s) quantidade(s)
procurada(s). Esta conjectura aﬁrma que encontrar o valor x de ax = bc é buscar
a altura x de um retângulo de base a que possui mesma área do retângulo de lados
b e c. De acordo com Boyer (1974), a lei distributiva a(b + c + d) = ab + ac + ad,
a soma de quadrados (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 e a diferença de dois quadrados
a2 − b2 = (a + b)(a − b), eram sem dúvidas muito mais evidentes para um estudioso
grego que para um estudante que se inicia na álgebra de hoje.
Neste capı́tulo, nosso objetivo é apresentar um estudo dos fundamentos da
álgebra que permitem caracterizar todos os números construtı́veis e, portanto, delinear os critérios para as resoluções dos problemas construtı́veis de uma forma geral.
Nosso ponto de partida se baseia na conexão entre as construções geométricas e as
operações fundamentais da aritmética. Em seguida, serão construı́dos os conceitos
37
fundamentais de número algébrico e extensão quadrática de um corpo, sendo o
primeiro originário da teoria de polinômios e o segundo desenvolvido a partir de
deﬁnições preliminares da álgebra linear.
Figura 2.1: Ilustrações tı́picas de Geometria Algébrica.
2.1
Construções Geométricas Fundamentais
Dados dois segmentos construtı́veis de comprimentos a e b (segundo uma unidade
admitida) com a ≥ b é possı́vel construir, fazendo uso do compasso e da régua,
a √
segmentos de comprimentos a + b, a − b, c · a (c ∈ N), ab, e a.
b
2.1.1
Construções Elementares
Adição e Subtração: as operações de adição e subtração de segmentos são
intuitivas. Para construir a + b e a − b, traça-se um reta e sobre ela assinalamos
com o compasso os segmentos a e b. É possı́vel somar e subtrair o segmento b por
meio de uma circunferência de raio b de centro na extremidade de a (Figura 2.2).
A construção de a + b e a − b pode ainda ser realizada empregando o conceito
de segmentos paralelos, conforme os passos a seguir:
i) Sobre uma reta t construa os pontos A e B a partir de um ponto inicial O tal
que med(OB) = a e med(OA) = b (sendo med a função medida).
ii) Construa uma reta r paralela a t. Sobre r tome o ponto C e trace os segmentos
OC e CB.
38
iii) Por A trace um segmento paralelo a OC que intersecta a reta r num ponto
D. Por D construa um segmento paralelo a CB que intersecta a reta t no
ponto E.
Figura 2.2: Adição e Subtração de segmentos.
Figura 2.3: Adição e Subtração de segmentos, segunda versão.
Observamos que a med(OA) = med(CD) = med(BE) = b, logo med(OE) =
med(OB) + med(BE) = a + b, ou seja, o segmento OE é equivalente a a + b. De
forma trivial, podemos concluir pela sobreposição dos segmentos a e b, a partir do
ponto O, que o segmento AB corresponde a a − b.
Multiplicação e Divisão: a construção de ca, com c ∈ N, se submete ao
conceito de justaposição/transporte do segmento a, c vezes sobre uma reta.
Figura 2.4: Múltiplo de um segmento de comprimento a.
a
é possı́vel pelo traçado
b
de triângulos semelhantes, cuja razão entre os lados correspondentes determina os
De uma forma simpliﬁcada a construção de ab e
39
comprimentos requeridos. Para a construção do segmento ab, com a > 1 e b > 1,
procedemos da seguinte maneira:
i) Sobre uma reta s tome pontos O e B tais que med(OB) = 1. Tome um ponto
A, sobre a reta s, tal que med(OA) = a, com B entre O e A.
ii) Construa uma reta m, passando por O, a qual formará um ângulo agudo com
a reta s (que pode ser um ângulo de 30◦ ). Sobre a reta m tome o ponto C
sendo med(OC) = b.
iii) Trace o segmento BC e por A um segmento paralelo a BC que intersecta a
reta m num ponto D.
Figura 2.5: Multiplicação de segmentos.
Do conceito de semelhança de triângulos é sabido que os triângulos △ OBC
OB
OC
1
b
e △ OAD são semelhantes, disto temos que
=
, ou seja, =
.
a
OA
OD
med OD
Logo, med(OD) = ab.
De forma similar procedemos à construção de
a
, em que a > 1 e b > 1:
b
i) Sobre uma reta r tome pontos O e D tais que med(OD) = 1. Tome um ponto
B sobre a reta s tal que med(OB) = b.
ii) Pelo ponto O construa uma reta s, formando um ângulo agudo com a reta r.
iii) Sobre s tome o ponto A tal que med(OA) = a. Trace o segmento AB e por
D trace um segmento paralelo a AB o qual intersecta a reta s num ponto C
entre O e A.
40
Figura 2.6: Divisão de dois segmentos
Assim sendo, uma vez que △ OCD ∼ △, OAB, temos
OC
OD
=
, logo
OA
OB
med OC
1
a
= , por conseguinte med(OC) = .
a
b
b
Raiz quadrada: dado um segmento de comprimento a a construção de um
√
segmento de comprimento a pode ser feita utilizando-se a régua e o compasso,
de acordo com as etapas adiante:
i) Sobre uma reta t considere pontos O e A tais que med(OA) = a.
i) A partir de A tome na reta OA o ponto B tal que med(AB) = 1, com A entre O
e B. Em seguida, trace uma semicircunferência com centro no ponto médio
de OB.
iii) Por A construa um segmento de reta perpendicular a OB, o qual intersecta a
semicircunferência num ponto C.
Figura 2.7: Construção de
√
a a partir de segmentos de comprimentos 1 e a.
Considerando que o ângulo determinado pelo vértice C do triângulo △ OCB
é reto, pelas relações métricas no triângulo retângulo: (med(AC))2 = med(OA) ·
41
med(AB), ou seja, (med(AC))2 = a·1 = a, e portanto med(AC) =
√
a. Ao mesmo
tempo, a construção pode também ser explicada pelo fato de que os triângulos
retângulos △ OAC e △ CAB são semelhantes.
2.2
Números Construtı́veis
As construções da Seção 2.1 garantem que as operações algébricas racionais (adição,
subtração, multiplicação e divisão) são possı́veis de serem executadas através de
construções geométricas por meio dos instrumentos euclidianos. O mesmo ocorre
com a extração de raı́zes quadradas.
Partindo deste pressuposto, dizemos que um número α > 0 será construtı́vel,
convencionamos que 0 é um número construtı́vel, se for possı́vel obter um segmento
de comprimento α por um processo de aplicação repetida das operações de adição,
subtração, multiplicação, divisão e extração de raı́zes quadradas, a partir de um
segmento unitário (WAGNER, 1998, p. 98).
Geometricamente, construir um número b > 0 signiﬁca construir com régua
e compasso, a partir de um segmento representado pela unidade, um segmento de
cumprimento igual a b, usando apenas os instrumentos euclidianos em um número
ﬁnito de etapas (KAPLANSKY1 , apud VENDEMIATTI, 2009, p. 54).
A deﬁnição de número construtı́vel nos possibilita dar formas às ideias gerais. A implicação direta desta concepção revela que é possı́vel expressar todos os
r
elementos do conjunto dos números racionais, ou seja, todos os números onde r
s
e s, são inteiros, com s ̸= 0. Se α < 0, diremos que α é construtı́vel quando |α| é
construtı́vel.
Além destes, uma vez que a raiz quadrada de um número (não negativo)
√ √ √
construtı́vel também são construtı́veis os números irracionais 2, 3 e 5 também
√
podem ser construı́dos. Podemos ainda aﬁrmar que os números 25 + 2, 3 +
1
KAPLANSKY, I. Introdução à Teoria de Galois. Notas Redigidas por Elon Lages Lima.
Rio de Janeiro: 1958. 153p. Notas de Matemática n. 13. Coleção Publicada sob a direção
de L. Nachbin. Fascı́culo publicado pelo Instituto de Matemática Pura e Aplicada do Conselho
Nacional de Pesquisas.
42
√
2 √
+ 2 e 2+
5
√
3−
√
2
5
+
√
2, são obtidos pelos instrumentos euclidianos.
Com efeito, a concepção de números construtı́veis contribuiu para germinar na Matemática a conexão entre os ramos da álgebra e a geometria. Segundo
Courant e Robbins (2000), a compreensão profunda dos problemas geométricos
consiste em traduzi-los para a linguagem álgebrica. Especiﬁcamente no que concerne a álgebra e os números construtı́veis, Stillwell (1994) enfatiza:
Claro que, a pessoa é livre para estudar generalizações da noção de construtibilidade que envolve o uso de réguas e outros instrumentos. Porém, permanece o fato que a noção clássica de construtibilidade foi a mais frutı́fera
para o desenvolvimento da álgebra. A caracterização algébrica simples de
números construtı́veis tem muito a ver com isto (p. 04).
De fato, a concepção de números vinculados ou coordenados a objetos geométricos
e caracterizando-os faz alusão à idéia central da geometria analı́tica, especiﬁcamente, ao sistema de coordenadas, cujos primeiros passos em estabelecer a “aritmetização” da geometria originaram-se em 1629, por Pierre de Fermat (1601-1665),
e em 1637, por René Descartes (1596-1650) (GARBI, 2009a, p. 87).
A análise dos números construtı́veis faz referência ao sistema de coordenadas
(x, y), em que os elementos dados são representados por pontos ou segmentos no
plano de coordenadas cartesianas (ou espaço cartesiano ou, ainda, plano cartesiano). Neste sistema de coordenadas cartesianas é possı́vel expressar a construtibilidade de um ponto em termos das coordenadas racionais (a, b) de Q, em que a
e b constituem as distâncias de Q a um par ﬁxo de eixos perpendiculares OX e
OY . Portanto, um ponto Q(a, b) será construtı́vel se, e somente se, os números a
e b forem construtı́veis.
De maneira análoga aos diversos mecanismos existentes, o sistema de coordenadas exige, previamente, a adoção de uma unidade de comprimento, considerada
em relação a um par de números, digamos (x, y) e (x0 , y0 ), distantes 1 unidade
entre si. Assim sendo, num plano de coordenadas cartesianas, um número ou um
segmento d é construtı́vel se existem pontos distintos de coordenadas racionais
(a1 , b1 ) e (a2 , b2 ) cuja distância que os separa é igual a d.
43
Toda construção geométrica é realizada mediante um conjunto de retas e
circunferências, e através de cruzamentos de pares desses objetos geométricos novos pontos são obtidos, conforme página 18. No âmbito da geometria analı́tica, a
caracterização de retas e/ou circunferências possibilitou computar as coordenadas
dos pontos de cruzamento dos entes daquela natureza, a partir dos coeﬁcientes das
equações relacionadas a tais retas e/ou circunferências intersectados. Uma consequência imediata de tal representação foi a constatação de que a natureza do(s)
números(s) comum(s) viabiliza o cálculo desses pontos por meio das operações
racionais de adição, subtração, multiplicação, divisão e pela extração da raizes
quadradas, ou seja, são construtı́veis. A seguir elucidamos analiticamente os três
casos de interseção.
A priori, suponhamos que são dados pontos (x1 ,y1 ) e (x2 ,y2 ) ambos distintos
e com coordenadas racionais. É facil veriﬁcar que a reta que une estes pontos é
representada pela equação
(y1 − y2 )x + (x2 − x1 )y + (x1 y2 − x2 y1 ) = 0,
em outras palavras a equação é da forma
ax + by + c = 0,
em que a, b e c são números construtı́veis a considerar que procedem dos termos,
x1 , y1 , x2 , y2 através das operações de adição, subtração e multiplicação.
Suponhamos agora que são dados os pontos (ω, λ) e (x0 , y0 ), sendo que o
primeiro é o centro de uma circunferência que passa pelo segundo ponto, ambos de
coordenadas racionais, cuja distância que os separa é r, com r > 0. Analiticamente
a equação da circunferência é representada pela expressão
(x − ω)2 + (y − λ)2 = r2 ,
isto é,
x2 + y 2 − 2ωx − 2λy + ω 2 + λ2 − r2 = 0,
e mais usualmente,
x2 + y 2 + αx + βy + γ = 02 .
2
Onde α = −2ω, β = −2λ e γ = ω 2 + λ2 − r2 .
44
De fato, α, β e γ, são números construtı́veis pois são expressos a partir dos termos
ω, λ e r, por meio das operações de adição, subtração e multiplicação.
Após singulares observações, podemos aﬁrmar que o(s) ponto(s) comum(s) a
retas e/ou circunferências origina(m) da resolução de processos correspondentes a
solução de sistemas:
• A intersecção de duas retas equivale a resolver um sistema de duas equações
do primeiro grau:



 ax + by + c = 0


 a ′ x + b ′ y + c′ = 0
x=−
ac′ − a′ c
cb′ − c′ b
,
y
=
−
.
ab′ − a′ b
ab′ − a′ b
Neste caso, assumimos o denominador ab′ − a′ b ̸= 0, do contrário as duas linhas
são paralelas ou coincidentes. Como visto, as coordenadas x e y são obtidas dos
coeﬁcientes a, a′ , b, b′ , c, c′ das equações, a partir de operações de adição, subtração
e multiplicação.
• A intersecção de uma reta e de uma circunferência equivale à solução de um
sistema composto por uma equação do primeiro grau (reta) e a uma equação
do segundo grau (circunferência):



 x2 + y 2 + αx + βy + γ = 0


 ax + by + c = 0
No caso em questão, a solução se restringe a um ponto ou a dois, sujeita a posição
da reta em relação à circunferência, particularmente ambas as coordenadas do(s)
√
ponto(s) são da forma: p + q r, onde p, q e r são racionais, r > 0. Posto que ao
se isolar y na segunda equação, obtém-se:
c
a
y =− x− ,
b
b
e mediante a substituição na primeria equação, temos para a abscissa x uma
equação quadrática da forma: Ax2 + Bx + C = 0, onde A = a2 + b2 , B =
2ac + αb2 − βba e C = c2 − βbc + γ , cuja solução é dada pela fórmula:
45
x=
−B ±
√
B 2 − 4AC
.
2A
Analogamente, a ordenada y será obtida por uma fórmula semelhante. Salientase que ambas as coordenadas x e y são fornecidas exclusivamente por meio das
operações de soma, subtração, multiplicação, divisão e a extração de raı́zes quadradas aplicadas a termos formados pelos parâmetros que caracterizam aquelas
linhas, ou seja, a, b, c, α, β e γ.
• A intersecção de duas circunferências, em que ambas possuem centros e passam por pontos expressos por coordenadas racionais, se resume à solução de
um sistema constituı́do por duas equações do segundo grau:



 x2 + y 2 + αx + βy + γ = 0


 x2 + y 2 + α′ x + β ′ y + γ ′ = 0
Ou ainda, a um sistema formado por uma equação linear, obtida subtraindo-se,
termo a termo, a segunda equação da primeira, e por uma equação do segundo
grau:



 x2 + y 2 + αx + βy + γ = 0


 (α − α′ )x + (β − β ′ )y + (γ − γ ′ ) = 0
As soluções de ambos os sistema compreendem um ou dois pontos com ambas
√
as coordenadas da forma: p + q r, onde p, q e r são racionais, r ≥ 0. De
maneira análoga, a intersecção de duas circunferências se expressa por meio das
cinco operações efetuadas sobre os parâmetros das curvas.
Finalmente, após estas considerações é relevante ratiﬁcar que se inicialmente
partirmos de pontos do plano, cujas coordenadas são racionais, os novos pontos
obtidos pelos cruzamentos de retas e/ou circunferências continuam sendo racionais
√
ou da forma p + q r, onde p, q e r são racionais (WAGNER, 1998, p. 98).
Diante do estudo exposto, solucionar os problemas geométricos da duplicação
do cubo, quadratura do cı́rculo e da trissecção de um ângulo θ, com régua e com√ √
passo, é equivalente a expressarmos os números reais 3 2, π e cos(θ/3) utilizando
apenas as operações racionais e a extração de raizes quadradas. Na seção seguinte
46
veriﬁcaremos que o conjunto de todos os números construtı́veis é uma estrutura
algébrica.
2.3
Os Polinômios e os Números Algébricos
A teoria de polinômios é um campo de estudo antigo da Matemática. Neste trabalho estamos amplamente interessados na origem de determinadas raı́zes de modo
que seja possı́vel relacionar os conjuntos de números racionais, complexos e reais.
Seja F um subcorpo do corpo R dos números reais.
1) A coleção de todos os polinômios sobre F, na indeterminada x, é representada
por F[x], isto é,
F[x] =
{ n
∑
}
ai xi | ai ∈ F, n ≥ 0 .
i=0
2) Sendo f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 um polinômio não nulo, na
indeterminada x, com coeﬁcientes em F, se an ̸= 0 então dizemos que o grau
de f (x) é igual a n, e denotamos deg f (x) = n.
Com base nestas deﬁnições, dizemos que um número α, real ou complexo, é
algébrico sobre um corpo F ⊂ R se α é raiz de um polinômio não nulo f (x) ∈ F[x].
Um número real ou complexo α, é dito ser algébrico (sem menção a um corpo F)
se é algébrico sobre o corpo Q dos números racionais.
√ √ √
√ √
3
Por exemplo, os números 2, 2 + 2, 4 2 6 3 e i são algébricos, pois são
raı́zes, respectivamente, dos polinômios x2 − 2, x6 − 4x3 + 2, x12 − 72 e x2 + 1.
A ideia de número algébrico fundamenta a concepção de que todo número
a
racional é algébrico. Deﬁnitivamente, se ρ ∈ Q então ρ = (a, b ∈ Z, e b ̸= 0),
b
logo ρ é raiz da equação bx − a = 0. Ao mesmo tempo, existem inﬁnitos números
√
algébricos que não são racionais, um exemplo disso são os número irracionais 5
√
e 3 7, raı́zes de x2 − 5 e x3 − 7, respectivamente. Em âmbito geral, toda raiz
de um polinômio de grau qualquer, cujos coeﬁcientes são inteiros, sejam as raı́zes
expressas ou não por radicais, é um número algébrico.
47
Em 1844, o matemático francês Joseph Liouville (1809-1882) e, posteriormente, o matemático Georg Cantor (1845-1918) demonstraram3 que o conjunto
dos números algébricos é enumerável4 . Como o conjunto dos números reais é nãoenumerável, a totalidade de números algébricos é inferior à totalidade dos números
reais. Todavia, além dos números algébricos, os números reais estão inseridos em
outras categorias de classiﬁcação. Um número que não é solução de nenhuma
equação polinomial com coeﬁcientes inteiros, é chamado de transcendente, isto é,
se ρ é transcendente então é impossı́vel construir uma equação polinomial de coeﬁcientes inteiros da qual ρ seja raiz. Os famosos números e e π são transcendentes,
conforme revelam os resultados obtidos por Charles Hermite (1822-1905) e por
Ferdinand Lindermann (1852-1939).
Neste contexto, conclui-se que todo número transcendente é irracional, pois
todo número racional é algébrico. Contudo, sabemos que nem todo irracional é um
numero transcendente, ou seja, um número irracional pode ser algébrico, como por
√
exemplo, 2 que é raiz da equação x2 −2 = 0, como visto anteriormente. De acordo
com Vendemiatti (2009), pode-se esquematizar a categorização dos números reais
conforme a ilustração adiante:




RACIONAIS (todos os racionais são números algébricos)







Números reais
 ALGÉBRICOS


IRRACIONAIS


√





 TRANSCENDENTES (por ex: π, e, ln 2, 2 2 )
3
A demonstração de que o conjunto dos números algébricos é enumerável pode ser vista
em VENDEMIATTI, A. D. A Quadratura do Cı́rculo e a Gênese do Número π. 2009. 152
f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontificia Universidade Católica de São
Paulo, São Paulo, 2009, ou em COURANT, R.; ROBBINS, H. Construções Geométricas. A
álgebra dos corpos numéricos. In:
. O que é matemática? Uma abordagem elementar de
métodos e conceitos. Rio de Janeiro: Ciência moderna, 2000. p. 141-200.
4
Um conjunto X é denominado enumerável quando é finito ou quando existe uma bijeção
f : N −→ X, sendo N o conjuntos dos números naturais (VENDEMIATTI, 2009, p. 47).
48







 RACIONAIS



 ALGÉBRICOS


Números reais
 IRRACIONAIS






 TRANSCENDENTES (todos são números irracionais)
Uma consequência imediata da concepção de que todo número racional é
algébrico aponta para a conclusão de que todos os números racionais são algébricos.
No entanto, certiﬁcamos que a recı́proca não é verdadeira, um exemplo disto é o
√
número 5, ainda que seja construtı́vel não é racional.
Um número algébrico α é raiz de muitos polinômios (em Q[x]) diferentes.
Por exemplo, se α = −2, α é a raiz dos polinômios x − 2, x2 − x − 6 e x2 −
4, simultâneamente. Sobre este fato, veremos na sequência que dentre todos os
polinômios não nulos f (x) ∈ F[x] (F é um subcorpo de R) que possuem α como
raiz, existe um polinômio de menor grau possı́vel, do que deriva a idéia de grau
de um número algébrico. Antes de discutir estes conceitos, recordemos o que é um
polinômio mônico.
Dizemos que o polinômio p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 é mônico
se seu coeﬁciente an for igual a 1, ou seja, se p(x) = xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 .
A expressão irredutı́vel, no que concerce a Matemática, faz corresponder a
objetos matemáticos que não podem ser decompostos, neste caso, em especı́ﬁco,
fazemos alusão à teoria de polinômios. Formalmente, um polinômio f (x) = an xn +
an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ∈ F[x] é irredutı́vel sobre o corpo F ⊂ R, se deg f (x) ≥ 1
e, além disso, é impossivel expressar f (x) como um produto de dois polinômios
g(x), h(x) ∈ F[x], com deg g(x) ≥ 1 e deg h(x) ≥ 1.
O polinômio mônico em F[x], de menor grau, que tem α como raiz, é chamado de polinômio irredutı́vel de α sobre F, e é denotado por irr(α, F). O termo
irredutı́vel é aqui empregado sem um segundo sentido, porque um tal polinômio
é, de fato, irredutı́vel sobre F. Pois se f (x) é redutı́vel sobre F, então f (x) =
g(x)h(x) para certos polinômios não nulos g(x), h(x) ∈ F[x], com deg g(x) ≥ 1 e
deg h(x) ≥ 1. Se f (x) tem α como raiz, como f (x) = g(x)h(x), α será também
raiz de g(x) ou de h(x). Neste caso, f (x) deixa de ser o polinômio de menor grau
49
que tem α como raiz.
Ressaltamos que um polinômio pode ser irredutı́vel sobre F mas ser redutı́vel
sobre um subcorpo P ∈ R. Para exempliﬁcar este fato, consideramos o polinômio
f (x) = x2 − 3 ∈ Q. Se f (x) for redutı́vel sobre Q então f (x) = (ax + b)(cx + d) em
Q[x], a, c ̸= 0. Uma vez que, os polinômios ax + b e cx + d tem raizes em Q, toda
√
raiz de f (x) também é racional. No entanto, sabemos que ± 3 é irracional, logo
√
podemos concluir que f (x) é irredutı́vel sobre Q, e irr(± 3, Q) = x2 −3, por outro
√
√
lado, f (x) é redutı́vel sobre R, já que em R[x], f (x) = x2 − 3 = (x + 3) · (x − 3).
O conceito de polinômio irredutı́vel é a chave que proporciona elucidar a concepção de grau de um número algébrico. Tomamos, um número α ∈ R, algébrico
sobre F ⊂ R, e p(x) ∈ F[x], um polinômio não nulo e irredutı́vel sobre F[x], em
que p(α) = 0. Deﬁnimos o grau de α sobre F como sendo
deg(α, F) = min{deg(p(x)) | p(x) ∈ F[x], p(x) ̸= 0, p(α) = 0}
Com base nesta deﬁnição, podemos mostrar que o polinômio mônico p(x) ∈
F[x], que tem α como raiz, tal que deg(α, F) = deg p(x), é único.
Com efeito, suponhamos que existam polinômios (mônicos)
p1 (x) = xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
p2 (x) = xn + bn−1 xn−1 + . . . + b1 x + b0 ,
que tem α como raiz, sendo n = deg(α, F).
Se p1 (x) ̸= p2 (x), deﬁnamos f (x) = p1 (x) − p2 (x) ̸= 0. Como α é raiz de
p1 (x) e p2 (x), decorre que α é raiz de f (x). Disto é observado que deg f (x) ≤ n−1,
o que é uma contradição pois n é o menor grau dos graus dos polinômios não nulos
de F [x] que possuem α como raı́z. Logo, segue que p1 (x) = p2 (x).
Além disso, se um polinômio mônico p(x) ∈ F[x] é irredutı́vel sobre F, e
p(α) = 0, então α será algébrico sobre F (obviamente) e, além disso, teremos
p(x) = irr(α, F).
Para demonstrar isto, suponhamos que deg p(x) = n, e que m = deg(α, F) <
50
n. Existe então um polinômio mônico h(x) ∈ F[x], de grau m, tal que h(α) = 0,
sendo irr(α, F) = h(x).
Haja vista que n > m, é possivel efetuarmos a divisão de p(x) por h(x),
obtendo p(x) = h(x) · q(x) + r(x), de maneira que sendo r(x) o resto desta divisão,
necessariamente r(x) = 0 ou deg r(x) < deg h(x). Se r(x) = 0, decorre que
p(x) = h(x) · q(x), em outras palavras p(x) é um polinômio redutı́vel, e temos uma
contradição. Agora, se r(x) ̸= 0, segue da igualdade p(α) = h(α) · q(α) + r(α), que
r(α) = 0, consequentemente, r(α) = 0 e, ainda, deg r(x) < deg h(x) = m, o que é
uma contradição ao fato deg(α, F) = m.
A tı́tulo de exemplo da concepção acima, como x2 − 2 e x3 − 3 são polinômios
irredutı́veis sobre Q, numericamente temos
√
√
deg ( 2, Q) = 2, pois irr( 2, Q) = x2 − 2
e
√
√
3
3
deg ( 2, Q) = 3, haja vista que irr( 2, Q) = x3 − 2.
Em geral, saber se um polinômio não nulo p(x) ∈ F[x] é irredutı́vel não é
uma tarefa fácil. Dois critérios práticos são utilizados para caracterizar a irredutibilidade de polinômios sobre Q. Um destes é o teste das raı́zes racionais aplicado
a polinômios de graus 2 e 3, de modo a restringir os candidatos a raı́zes de um
polinômio a uns poucos elementos. Polinômios de graus 2 e 3, redutı́veis sobre Q,
terão necessariamente um fator do primeiro grau, e portanto uma raiz racional.
Um exemplo disto é o irr
(√
3
)
2, Q = x3 − 2, o mesmo pode ser observado pelo
teste das raı́zes racionais: as possibilidades de zeros de x3 − 2 são ±1, ±2, como
ambas não são raı́zes do polinômio, o mesmo é irredutı́vel sobre Q.
O segundo critério de irredutibilidade referido é o de Eisenstein, que diz em
termos gerais, para certo polinômio p(x) = an xn + . . . + a1 x + a0 sobre Z, se
existe um número primo p tal que as condições abaixo são satisfeitas, então p(x)
é irredutı́vel sobre Q:
• p ̸ |an
• p|ai (i = 0, . . . , n − 1)
51
• p2 ̸ |a0
Para exempliﬁcar, se t(x) = x4 + 4x − 2, tomando o número primo 2, tem-se que
as condições preditas são satisfeitas: 2 ̸ |a4 (a4 = 1), 2|ai quando 0 ≤ i ≤ 3,
(a3 = 0, a2 = 0, a1 = 4 e a0 = −2), no entanto, 22 ̸ |a0 = −2, portanto, pelo critério
de Eisenstein, temos que t(x) é irredutı́vel em Q.
2.4
Extensões Algébricas de Corpos e Números
Construtı́veis
Quando referimos ao conceito de corpos e, mais precisamente, de extensão de corpos, fazemos menção a um campo das Estruturas Algébricas desenvolvida após o
século XIX, a qual exprime um papel fundamental no tema que estamos a trabalhar. Efetivamente, vemos na história da formação do conhecimento matemático
que as diferentes áreas desta ciência foram se aliando e ramiﬁcando, possibilitando
a criação de novos signiﬁcados e a representação de um mesmo objeto matemático
de formas diferentes, haja vista a necessidade e o emprego.
Com efeito, uma constatação desse fato será exposta nesta seção, na qual
construiremos o conceito de extensão quadrática de corpos proveniente de um
conjunto de conceitos preliminares deﬁnidos no âmbito da álgebra linear5 , sendo
eles combinação linear, dependência linear, vetores, base e dimensão. Previamente,
√
veriﬁcamos que o conjunto da forma Q( 2) é um corpo extensão de Q (Q ⊂
√
Q( 2)) e, em seguida, através dos fundamentos da álgebra linear, será deﬁnido
o conceito de extensão de um corpo F por adjunção de um número algébrico k
(algébrico sobre F), representado por F(k).
Assim como o conjunto dos números reais e o conjunto dos números complexos, o conjunto dos números racionais é “fechado” no que se refere às operações
“racionais” de adição, subtração, multiplicação e divisão (excluindo a divisão por
zero). Um conjunto com tal propriedade é denominado de corpo6 numérico.
5
O leitor poderá verificar tais definições da álgebra linear em: Zani, S. L. álgebra linear.
Disponı́vel em: http://www.icmc.usp.br/ sma/suporte/sma304/sma304.pdf
6
Consultar Apêndice.
52
Iniciando pela unidade, pode-se contruir cada um dos elementos do corpo
dos números reais construtı́veis, já que, como vimos, se a e b são números reais construtı́veis, então também serão construtı́veis os números a ± b, ab e a/b.
Além disso, é sabido das operações geométricas fundamentais que é possı́vel obter
√
√
números irracionais construtı́veis, como por exemplo, 2 e 3 ∈
/ Q.
√
2 é possı́vel, pelas construções racionais, obter
√
todos os números da forma a + b 2, em que a e b são racionais e, portanto,
A partir da construção de
pertencem a Q. Com efeito, o conjunto dos números expressos da forma a +
√
b 2 constituem um novo corpo, conforme será visto abaixo, e é representado por
√
Q( 2).
Precisamente, as aplicações das operações de adição, subtração, multiplicação
√
e divisão aos elementos de Q( 2) tem como resultado números construtı́veis ex√
pressos na forma a + b 2. É evidente que a adição e a subtração de dois elementos
√
√
de Q( 2) pertencem ao corpo Q( 2), quanto à divisão e a multiplicação, tem-se
para os racionais arbitrários a, b, c e d ∈ Q:
√
√
√
a+b 2
a+b 2 c−d 2
√ =
√ ·
√
c+d 2
c+d 2 c−d 2
ac − 2bd
bc − ad √
= 2
+
· 2
c − 2d2
c2 − 2b2
√
= p + q 2,
em que p e q são racionais e c2 − 2d2 ̸= 0 (caso c2 − 2d2 = 0, então
√
contrariando o fato de que 2 é um número irracional).
√
2 =
c
,
d
√
√
√
De maneira equivalente, (a + b 2) · (c + d 2) = (ac + 2bd) + (bc + ad) · 2 =
√
r + s 2, sendo r e s números racionais.
√
Provado que Q( 2) é um corpo7 e visto que é exequı́vel a construção de cada
√
√
número do corpo Q( 2), é possı́vel ampliar o conjunto Q( 2) pela aplicação da
√
√
raiz quadrada aos elementos deste corpo, por exemplo, seja w = 5 + 2 ∈ Q( 2),
√
√
√
observa-se na ﬁgura abaixo que w = 5 + 2 é um número construtı́vel:
A construção acima é a base fundamental aplicada na concepção da caracterização do corpo dos números construtı́veis. Conjecturamos que seja possı́vel
√
√
Verifica-se que (0 + 0 2) e (1 + 0 2) são os Elementos Neutros da adição e da multiplicação,
√
respectivamente, enquanto que (a + b 2)−1 é o Inverso Multiplicativo.
7
53
Figura 2.8: Construção de
√
√
√
√
w = 5 + 2, em que w ∈ Q( 2).
generalizar tais métodos de construção para todos os elementos de um determinado corpo F de R, isto é, se aleatoriamente, tomarmos um número algébrico
√
√
qualquer k sobre F, tal que k ∈
/ F, se k for construtı́vel é possı́vel construir k
√
e, portanto, todos os elementos do corpo F( k), extensão de F, composto pelos
√
números da forma x0 + x1 k, sendo x0 e x1 ∈ F.
Sendo k um número algébrico sobre o corpo F, vamos deﬁnir F[k] como sendo
o conjunto das expressões polinomiais em k, com coeﬁcientes em F, ou seja,
F[k] = {p(k) | p(x) ∈ F[x]}
Posto de outro modo,
F[k] =
{ s
∑
}
ai k i | s ≥ 0; a0 , . . . , as ∈ F
i=0
Se tomarmos k conforme descrito acima, isto é, um número algébrico sobre
F ⊂ R, em que deg (k, F) = n, onde n ≥ 1, a extensão de F sobre k possui grau n,
ou seja, é um espaço vetorial sobre F de dimensão n.
Certamente, se γ ∈ F[k], então γ = g(k), para algum g(x) ∈ F[x]. Sendo
p(x) = irr(k, F), temos deg p(x) = n. Existem então polinômios q(x) e r(x),
ambos em F[x], de modo que g(x) = p(x) · q(x) + r(x). Imediatamente, deriva de
g(k) = p(k) · q(k) + r(k), o fato de g(k) = r(k) e, como sabido, deg r(x) ≤ n − 1.
Logo, sendo r(x) =
∑n−1
i=0
ai xi , temos γ =
∑n−1
i=0
ai k i .
Sumarizando, se k é um número algébrico sobre o corpo F ⊂ R, com deg(k, F) =
n, então o conjunto das expressões polinomiais em k, com coeﬁcientes em F, reduzse a combinações lineares de 1, k, k 2 , . . . , k n−1 , com coeﬁcientes em F, ou seja,
{ n−1
}
∑
F[k] =
ai k i | s ≥ 0; a0 , . . . , an−1 ∈ F
i=0
54
A indagação a ser respondida neste momento é: o novo conjunto F[k] é um
corpo para qualquer k algébrico sobre F?
√
Seguindo a idéia geral de construção apresentada a exemplo do corpo Q( 2),
para que o conjunto F[k] seja um corpo é suﬁciente mostrar que a aplicação das
operações de adição e multiplicação, a quaisquer dois elementos de F[k], tem como
resultado um elemento de F[k] e, além disso, inversos multiplicativos de elementos
de F[k] ainda encontram-se em F[k]. É obvio, que a primeira operação satisfaz
este critério, quanto à multiplicação, se for procedido o produto de dois elementos
quaisquer de F[k], tem-se uma combinação linear de potências de k e coeﬁcientes
em F, que é um elemento de F[k].
Para demonstrar que F[k] é um corpo, resta demonstrar que
cada γ ̸= 0, γ ∈ F[k].
1
∈ F[k] para
γ
Antes de iniciarmos esta demonstração, vamos primeiramente demonstrar
que F[k] é um espaço vetorial sobre F, de dimensão n. Como consequência desse
resultado, vamos concluir que F[k] é um corpo, como pretendı́amos. Uma vez
estabelecido que F[k] é um corpo, as notações F[k] e F(k) referir-se-ão a um mesmo
objeto, sendo a segunda notação reservada ao corpo extensão de F por adjunção
do número algébrico k, ou seja, a menor extensão de F que contém k.
A multiplicação de um elemento de F[k] por um escalar em F, produz como
resultado um elemento em F[k], o que torna F[k] um espaço vetorial sobre F.
Num primeiro momento, cabe elucidar que a forma como os espaços vetoriais
se relacionam a este trabalho é por meio de pares de corpos, um dos quais é
subcorpo de outro, um exemplo intuitivo é quanto aos corpos R e C, onde R é o
subcorpo de C, e este último é considerado um espaço vetorial sobre R.
O que nos permitirá aﬁrmar que, sendo k algébrico sobre F, de grau n, F[k]
é um espaço vetorial de dimensão n (sobre o corpo F) são os seguintes fatos:
1. F[k] é gerado pelos elementos k 0 , k, k 2 , · · · , k n−2 , k n−1 , sobre F;
2. {k 0 , k, k 2 , · · · , k n−2 , k n−1 } constitui uma base de F(k), ou seja,
i) {k 0 , k, k 2 , · · · , k n−2 , k n−1 } gera todo o F(k);
55
ii) k 0 , k, k 2 , · · · , k n−2 , k n−1 são linearmente independentes (l.i., abreviadamente).
Nos resta aqui veriﬁcar o item ii). Mas isto é imediato observando-se que se dois
polinomios distintos f (x) e g(x), em F[x], de grau n − 1, são tais que f (k) = g(k),
então haverá um polinomio h(x) = f (x) − g(x), não nulo, de grau ≤ n − 1, que
tem k como raiz, o que contradiz o fato deg(k, F) = n.
Se F[k] é a extensão de F, e o espaço vetorial F[k] sobre F tem dimensão n,
escrevemos [F[k] : F] = n, ou ainda, dimF F[k] = n. Em particular, o espaço vetorial
F[k] tem dimensão n, o grau de k sobre F.
√
A partir das conclusões preditas, aﬁrmamos que o espaço vetorial Q( 2),
√
sobre Q, possui o conjunto de vetores {1, 2} como base, logo sua dimensão é 2,
√
em outras palavras, dimQ Q( 2) = 2.
É válido advertir que se [F[k] : F] = m e se {ρ1 , ρ2 , · · · , ρm , ρm+1 } ∈ F(k),
então da álgebra linear advém que existem {c1 , c2 , · · · , cm−1 , cm } ∈ F, não todos
nulos, tal que c1 ρ1 + c2 ρ2 + · · · + cm ρm + cm+1 ρm+1 = 0 são linearmente dependentes (l.d., abreviadamente), ou seja, um dos elementos de {ρ1 , ρ2 , · · · , ρm , ρm+1 } é
combinação linear dos demais.
Ante estes pressupostos possuı́mos os instrumentos necessários a demonstrar
que F[k] é um corpo. Para tanto, o último critério a demonstrar é que se γ ∈
1
F[k], γ ̸= 0, γ é invertı́vel em F[k], isto é ∈ F(k).
γ
Assumindo que [F(k) : F] = n, consideremos os n+1 vetores γ 0 , γ 1 , · · · , γ n−1 , γ n
em F[k]. Como [F(k) : F] = n, esses vetores são l.d.. Existem portanto escalares
a0 , a1 , . . . , an−1 , an , não simultaneamente nulos, de forma que a0 γ 0 + a1 γ 1 + · · · +
an−1 γ n−1 + an γ n = 0.
Nesta combinação linear, procedemos à exclusão dos coeﬁcientes nulos, isto
quer dizer, que existem 0 ≤ i1 < i2 < · · · < is−1 < is ≤ n, com ai1 , ai2 , · · · , as−1 , as ,
todos não nulos, de forma que
ai1 γ i1 + ai2 γ i2 + · · · + ais−1 γ is−1 + ais γ is = 0.
Efetivamente, s ≥ 2, pois se s = 1, temos ai1 γ i1 = 0, mas ai1 ̸= 0 e γ i1 ̸= 0
56
(da hipótese), caracterizando uma impossibilidade. Algebricamente,
ai1 γ i1 = −ai2 γ i2 − · · · − ais−1 γ is−1 − ais γ is ,
da divisão de ambos os termos por ai1 γ i1 , resulta em:
1=−
ai2 i2 −i1 ai3 i3 −i1
ai
γ
−
γ
− · · · − s γ is −i1 ,
ai1
ai1
ai1
e i2 − i1 ≥ 1, i3 − i1 ≥ 1, · · · , is − i1 ≥ 1.
No lado direito da igualdade acima, fatoramos γ:
(
)
ais−1 is−1 −i1 −1 ais is −i1 −1
ai2 i2 −i1 −1 ai3 i3 −i1 −1
1=γ − γ
−
γ
− ··· −
γ
−
γ
,
ai1
ai1
ai1
ai1
e, ﬁnalmente, obtemos
γ −1 = −
ai
ai2 i2 −i1 −1 ai3 i3 −i1 −1
ai
γ
−
γ
− · · · − s−1 γ is−1 −i1 −1 − s γ is −i1 −1 .
ai1
ai1
ai1
ai1
Desta maneira, dado um corpo F, sendo k algébrico sobre F, dizemos que
F[k] é o corpo extensão de F por k. Neste caso, F passa a ser subcorpo de F[k].
Na literatura de extensão de corpos, se k é algébrico sobre F, o corpo F[k] é
muitas vezes denotado por F(k), e doravante adotaremos esta última notação.
√
√
Em relação a Q e Q( 2), tomados a princı́pio, concebe-se que Q( 2) é o
√
√
corpo extensão de Q por 2, sendo Q subcorpo de Q( 2).
2.5
Uma Condição Necessária para Construtibilidade
Vimos que um número real a > 0 é construtı́vel se, partindo de um segmento
de comprimento 1, é possı́vel construir, com régua e compasso, um segmento de
comprimento a. Convencionamos que 0 é um número construtı́vel e que −a é
também construtı́vel se a > 0 é construtı́vel. Conforme pudemos ver, o conjunto
dos números construtı́veis é um corpo E, que contém os números racionais, e tal
√
que se a ∈ E, e a ̸= 0, então a ∈ E. Para se chegar ao corpo dos números
construtı́veis por extensões iteradas de Q e por adjunção de números algébricos,
procedemos da seguinte maneira:
57
1. A obtenção de um número construtı́vel α, quando α não é racional, envolve
a construção de uma torre iterada de corpos, deﬁnida na sequência.
2. Partindo de um número racional α0 , elemento de F1 = Q, eventualmente
√
√
chegaremos à construção de um número α1 ∈ F1 ( k1 ) = Q( k1 ), sendo
√
k1 ∈ F1 , k1 > 0, com k1 ∈
/ F1 .
√
3. Consideramos o corpo, extensão de F1 , F2 = F1 ( k1 ), de números cons√
trutı́veis da forma a1 + b1 k1 , em que a1 e b1 são quaisquer números de
F1 . Em seguida, na sequência de etapas de uma construção por régua e
√
compasso, eventualmente nos deparamos com a construção de k2 , onde
√
√
/ F2 . Desse modo, uma nova exk2 ∈ F2 = F1 ( k1 ), k2 > 0, mas k2 ∈
√
tensão F2 ( k2 ) é deﬁnida, formada pelos números construtı́veis da forma
√
√
a2 + b2 k2 , com a2 e b2 números quaisquer de F2 = F1 ( k1 ).
4. Assim sucessivamente, ao ﬁnal uma enésima repetição deste procedimento
√
nos permite chegar ao número construtı́vel α = αn ∈ Fn ( kn ), sendo kn ∈
√
/ Fn−1 .
Fn−1 , kn > 0, kn ∈
Para ilustrar o conceito
√√da extensão de corpos, analisamos as etapas de cons√
√
√
√
√
trução do número 20+
1 + 2 + 5 + 10+8. Tomando F1 , o corpo dos
√
números racionais, seja k1 = 2 e, como sabido, 2 ∈
/ F1 , portanto, constituı́mos o
√
√
√
corpo extensão F1 ( k1 ) = F1 ( 2), que contém o número 1 + 2. Considerando
√
√
√
√
k2 = 1 + 2, teremos k2 ∈
/ F1 ( k1 ), e deﬁnimos o corpo F2 ( k2 ), extensão de
√
F2 = F1 ( k1 ).
√
√
√
√
√
Atentamos que F1 ( k1 ) ⊂ F2 ( k2 ). Denominando k3 = 1 + 2 + 5,
√
√
√
sendo F3 = F2 ( k2 ) o corpo F3 ( k3 ), extensão de F2 ( k2 ), é obtido pela adjunção
√
√ √
√
√
√
de k3 . Agora observamos que 10 = 2 · √
5 = (k2 − 1)(k3 − k2 ), logo 10
√
√
√
√
√
está em F3 ( k3 ) e, por conseguinte, o número
1 + 2 + 5 + 10. Fazendo
√√
√
√ √
√
√
k4 =
1 + 2 + 5+ 10 e mediante a adjunção de k4 ∈
/ F3 ( k3 ), formamos
√√
√
√
√
√
√
o corpo extensão F4 ( k4 ), que contém o número
1 + 2 + 5 + 10, do
√
subcorpo F3 ( k3 ).
58
√
√
Por ﬁm, como 20 ∈ F3 , o número 20 +
√
pertence ao corpo extensão F4 ( k4 ).
√√
√
1+
√
√
√
2 + 5 + 10 + 8
√
A reunião dos corpos Fn ( kn ), construı́dos como no exemplo acima, compõe
o corpo de todos os números construtı́veis, denotado por Cℜ .
Diante de tudo o que foi discutido até aqui, podemos aﬁrmar que um número
real α é construtı́vel se existe uma sequência de corpos,
F1 = Q
√
F2 = F1 ( k1 ),
√
F3 = F2 ( k2 ),
√
k1 ∈
/ F1
√
com k2 ∈ F2 , k2 > 0, k2 ∈
/ F2
com k1 ∈ F1 , k1 > 0,
..
.
√
Fn−1 = Fn−2 ( kn−2 ),
√
Fn = Fn−1 ( kn−1 ),
com kn−2 ∈ Fn−2 , kn−2 > 0,
com kn−1 ∈ Fn−1 , kn−1 > 0,
√
√
kn−2 ∈
/ Fn−2
kn−1 ∈
/ Fn−1
tal que α ∈ Fn .
Por outro lado, observamos que se F é um subcorpo de R, e k ∈ F, k > 0,
√
√
/ F, e
então teremos F( k) como extensão própria (maior) do corpo F se k ∈
√
√
F( k) = F, se k ∈ F. Na caracterização acima, de número real construtı́vel,
√
podemos suprimir a condição ki ∈
/ Fi para cada i.
√
Notemos ainda que, nas condições do parágrafo anterior, [F( k) : F] = 2 se
√
√
√
k∈
/ F, e [F( k) : F] = 1 se k ∈ F.
Tomando F1 , como o corpo dos números racionais, dispomos da ciência de
que todos os números do corpo F1 são algébricos, no entanto, serão algébricos os
√
√
√
√
números que compõem os corpos F1 ( k1 ), F2 ( k2 ), F3 ( k3 ), . . . , Fn−1 ( kn−1 ),
√
Fn ( kn ), extensões de F1 e, além disso, existe alguma relação entre os graus destes
números?
A resposta a esta questão é o último requisito essencial empregado na elucidação do porquê determinadas construções são impossı́veis de serem realizadas
através da régua e do compasso. Nosso objetivo é demonstrar uma caracterı́stica
fundamental do corpo de números construtı́veis, a qual segue:
59
• Todo número real construtı́vel é um número algébrico sobre os racionais e
seu grau é uma potência de 2.
A princı́pio, analisamos algébricamente os números pertencentes ao corpo
√
√
F1 ( k1 ), com k1 ∈ F1 = Q, k1 > 0, k1 ∈
/ F1 . É conhecido que um número
√
√
qualquer de F1 ( k1 ) é representado por a + b k1 , com a e b ∈ F1 , fazendo x =
√
a + b k1 , procedemos à soma de −a a ambos os membros da igualdade e, em
seguida, elevamos cada um dos membros ao quadrado, ambas as operações terão
como resultado: x2 − 2ax + a2 = b2 · k1 , ou ainda, x2 − 2ax + a2 − b2 · k1 = 0.
√
√
Com efeito, veriﬁcamos que todo número x = a + b k1 de F1 ( k1 ) é raiz de um
polinômio de grau 2 com coeﬁcientes em F1 = Q.
Por métodos algébricos elementares semelhantes aos empregados no parágrafo
anterior, podemos veriﬁcar que um número construtı́vel α que esteja no topo F3 ,
de uma pequena torre de corpos
F1 = Q
√
k1 ),
√
F3 = F2 ( k2 ),
F2 = F1 (
√
k1 ∈
/ F1
√
com k2 ∈ F2 , k2 > 0, k2 ∈
/ F2
com k1 ∈ F1 , k1 > 0,
será um número algébrico, raiz de um polinômio em Q[x] de grau 4. Mas já
começam a surgir diﬁculdades quando tentamos demonstrar que 4 é o menor dos
graus de polinômios não nulos em Q[x] que possuem α como raiz.
Suspeitamos que todo número construtı́vel possui grau que é uma potência
de 2, todavia o uso de equações polinomiais não nos provê um método prático para
demonstrar isto.
Visando demonstrar esta importante caracterı́stica de um número algébrico
qualquer, empregaremos o conceito de dimensão de espaço vetorial, visto anteriormente, aliado a resultados que advem da álgebra linear.
Preliminarmente, elucidamos relações entre as dimensões de corpos em uma
torre de corpos, conforme segue.
Se K ⊂ E são corpos, com [E : K] = n, então todo número a em E é algébrico
sobre K e deg(a, K) ≤ n. Já vimos que se tomarmos o conjunto de potências
60
a0 , a1 , · · · , an−1 , an , que possui n + 1 elementos em E, este é l.d. sobre K. Logo,
existem λ0 , λ1 , · · · , λn−1 , λn ∈ K, não todos nulos, tal que
λ0 a0 + λ1 a1 + · · · + λn−1 an−1 + λn an = 0.
Sendo p(x) = λ0 +λ1 x+· · ·+λn−1 xn−1 +λn xn ∈ K[x], teremos p(x) ̸= 0 e p(a) = 0.
Desta forma, a é algébrico sobre K e terá deg(a, K) ≤ n, pois deg p(x) ≤ n.
A consideração acima será empregada no resultado adiante, o qual proporciona obter a dimensão de subcorpos quando os espaços vetoriais em referência
constituem uma torre de corpos, para tanto, considere uma torre de subcorpos de
R: E ⊂ F ⊂ G. Se os espaços vetoriais F sobre E e G sobre F têm dimensão ﬁnita,
então
[G : E] = [G : F][F : E].
Ou, com outra notação,
dimE G = dimF G · dimE F.
Dada a importância do resultado predito para este trabalho, demonstramos
o caminho percorrido para elucidá-lo. A priori, veriﬁcaremos que a multiplicação
de quaisquer sequencias, tomadas conforme descrito abaixo, são l.i. em G.
Da hipótese, E ⊂ F ⊂ G (⊂ R), onde temos os espaços vetoriais F sobre E e
G sobre F, suponhamos que:



 u1 , u2 , . . . , un−1 , un ∈ F


 e são linearmente independentes sobre E
e que



 w1 , w2 , . . . , wm−1 , wm ∈ G


 e são linearmente independentes sobre F,
então,
















u1 w1 ,
u 1 w2 ,
...,
u1 wm−1 ,
u 1 wm
u2 w1 ,
u 2 w2 ,
...,
u2 wm−1 ,
u 2 wm
..
..
..
(que pertencem a G)
.
.
.







un−1 w1 , un−1 w2 , . . . , un−1 wm−1 , un−1 wm







 un w1 ,
un w2 , . . . , un wm−1 ,
un wm ,
61
são nm “vetores”de G e linearmente independentes sobre E
É incontestável admitir que esses nm “vetores”pertencem a G, efetivamente
nos resta veriﬁcar que são l.i. sobre G.
∑
Se
(
aij ui wj = 0, (aij ∈ E), então
i=1,··· ,n
j=i,··· ,m
n
∑
)
ai1 ui
(
w1 +
i=1
n
∑
)
ai2 ui
(
w2 + · · · +
i=1
n
∑
)
ai m−1 ui
(
n
∑
wm−1 +
i=1
)
aim ui
wm = 0.
i=1
Notamos que da hipótese advém:
n
∑
ai1 ui = 0,
i=1
n
∑
ai2 ui = 0, . . . ,
i=1
n
∑
ai m−1 ui = 0,
i=1
n
∑
aim ui = 0,
i=1
consequentemente, ai1 = 0, ∀i, ai2 = 0, ∀i, · · · , aim−1 = 0, ∀i, aim = 0, ∀i, em suma
aim = 0, ∀i, ∀j.
Portanto, ui wj , com i = 1, · · · , n e j = i, · · · , m são “vetores”linearmente
independentes sobre E.
Como implicação direta deste fato, constataremos que
Se {u1 , u2 , . . . , un−1 , un } é uma base de F sobre E, e {w1 , w2 , . . . , wm−1 , wm } é
uma base de G sobre F, então os vetores ui wj , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, constituem
uma base de G sobre E.
Tomamos x ∈ G, teremos x =
m
∑
αj wj , para certos α1 , . . . , αm ∈ F, todavia,
j=1
αj ∈ F, para cada i ≤ j ≤ m, e assim sendo, αj =
n
∑
aij ui , para certos aij ∈ E, i =
i=1
1, . . . , n, desta forma, por substituição:
x =
m
∑
αj wj
j=1
=
=
( n
m
∑
∑
)
aij ui
wj
j=1
i=1
m
n
∑∑
aij ui wj .
j=1 i=1
Assim, concluimos que os ui wj valores constituem geradores do espaço vetorial de G sobre E.
Um exemplo numérico deste teorema pode ser conferido aqui:
62
√
√ √
Dada a torre Q ⊂ Q( 2) ⊂ Q( 2)( 3), sendo, conforme estabelecido,
√
√
√
√ √
√
Q( 2) = {x1 + x2 2|x1 , x2 ∈ Q}, 2 ∈
/ Q e Q( 2)( 3) = {x3 + x4 3|x3 , x4 ∈
√
√
√
√
Q( 2)}, 3 ∈
/ Q( 2), temos que o espaço vetorial Q( 2) sobre Q tem uma base
√ √
√
{ √ }
{ √ }
1, 2 , enquanto que o espaço vetorial Q( 2)( 3) sobre Q( 2), tem 1, 3
√ √
como uma base. Segue das deﬁnições acima, que o espaço vetorial Q( 2)( 3),
sobre Q, tem dimensão 4, cuja base é
{ √ √ √ √ } { √ √ √ }
1, 2, 3, 2 3 = 1, 2, 3, 6 .
Da conclusão anterior é possı́vel extrair outro ilustre resultado:
Sejam K e E corpos quaisquer, onde K é um espaço vetorial sobre E (K ⊂ E), com
[K, E] = n e seja a ∈ E um número algébrico sobre K, com deg(a, K) = r, então r
é um divisor de n.
De fato, K ⊂ K(a) ⊂ E e [K(a) : K] = r, [E : K] = n. Assim sendo, posto
que [E : K(a)] tem dimensão ﬁnita (em virtude dos resultados sobre independência
linear estabelecidos à página 60) e de que
[E : K(a)] · [K(a) : K] = [E : K], ou seja, [E : K(a)] · r = n,
resulta que r é um divisor de n.
Da reunião de todas as concepções expostas, construiremos agora o último
resultado que nos possibilitará aﬁrmar que todo número algébrico tem grau igual a
uma potência de 2, ou seja, se um número real a é construtı́vel, então a é algébrico
sobre Q e deg(a, Q) = 2s para algum inteiro s ≥ 0.
Por hipótese a ∈ Cℜ e, como visto, a ∈ Fn , n = 1, 2, · · · , n, para uma certa
torre de corpos Q = F1 ⊂ F2 ⊂ · · · ⊂ Fn , tal como deﬁnido à página 58.
√
É sabido, que [Fi+1 : Fi ] = 1 ou 2 para 1 ≤ i ≤ n − 1, pois [F( k) : F] = 2
√
√
√
se k ∈
/ F, e [F( k) : F] = 1 se k ∈ F, (k > 0).
Aplicando o teorema da multiplicação das dimensões de espaços vetoriais
extensões de corpos, discutido anteriormente, à torre de corpos
Q = F1 ⊂ F2 ⊂ · · · ⊂ Fn
63
temos que
[Fn : Q] = [Fn : Fn−1 ] [Fn−1 : Fn−2 ] . . . [F2 : F1 ] = 2u
| {z } |
{z
} | {z }
2 ou 1
2 ou 1
2 ou 1
e como a ∈ Fn o grau de a sobre Q é um divisor de 2 e, portanto, uma potência
u
de 2.
Capı́tulo 3
Epı́logo dos problemas gregos
antigos
No capı́tulo 2 foi estudado sistematicamente os conceitos algébricos das construções
geométricas. Apesar de ser um tema extenso e de signiﬁcativa importância no que
concerne ao desenvolvimento da Matemática, procuramos salientar os aspectos
relevantes para os objetivos deste trabalho. No entanto, adverte Veloso (2011):
A longa história da descoberta da impossibilidade de resolução dos
três famosos problemas da antiguidade clássica – duplicação do cubo,
trissecção do ângulo e quadratura do cı́rculo –, constitui um tópico excelente para fazer compreender a natureza da Matemática e a riqueza
dos seus processos de investigação. Deveria fazer parte obrigatória de
todos os cursos de formação de professores, como ocasião privilegiada
para ilustrar a unidade da Matemática e tornar signiﬁcativas as aprendizagens de algumas estruturas algébricas. Não é infelizmente esse o
caso (p. 61).
Como demonstrar utilizando a estrutura lógica matemática que determinados problemas geométricos não são exequı́veis por régua e compasso? Singular
questionamento chegou ao ﬁm 22 séculos subsequentes à concepção dos problemas
da duplicação do cubo, da trissecção do ângulo e da quadratura do cı́rculo. Os recentes e insólitos resultados advindos no século XIX foram a chave que possibilitou
64
65
respondê-los e, em esfera ampla, as notáveis concepções emergidas deliberaram a
respeito dos critérios para a construtibilidade de quaisquer números.
A tradução das construções geométricas para a linguagem da álgebra fomentou a criação de uma ferramenta matemática soﬁsticada, iniciada na resolubilidade
de equações polinomiais através de radicais e culminando no conceito de extensão
de corpos. Todavia, sabemos que a descoberta ou a formação destes novos objetos
matemáticos, que nortearam o desenvolvimento da geometria futura, são resultados do imensurável desaﬁo acatado por muitos estudiosos.
O emergente fascı́nio causado pelos problemas gregos atingiu o extremo patamar de ser alvo de proibição e, até mesmo de refutações ante as justiﬁcativas
de impossibilidade de resolução exclusivamente pelos instrumentos euclidianos. A
exemplo destes fatos, os autores Jones, Morris e Pearson (1991) aﬁrmam que em
1775 a Academia de Paris optou por proibir seus funcionários de desperdiçar tempo
e energia na analise de supostas soluções dos problemas de trissecção e duplicação
do cubo apresentados por matemáticos amadores. Já, em notas mais recentes,
Sousa (2001) aborda o depoimento do professor John Conway, no qual o docente
aﬁrma que durante a sua carreira proﬁssional respondeu a cerca de 50 pessoas que
efetuaram tentativas de resolver o problema da trissecção. Inclusive em janeiro de
2000, o professor respondeu a uma questão cujo autor subestima a prova da impossibilidade de trissecção do ângulo, ao aﬁrmar que a estrutura da Matemática e
as tecnologias necessitam ser evoluı́das até que a trissecção do ângulo seja possı́vel.
Notadamente, segundo Araújo (2007) os esforços ininterruptos de gerações e
gerações de matemáticos e amadores com o objetivo de sanar as três questões da
antiguidade revelam o valor heurı́stico de problemas matemáticos atraentes não
solucionados. O caminho percorrido pelos pensadores matemáticos efetivamente
patenteou a ideia de que a magia da Matemática não se concentra exclusivamente
nas respostas, mas sim nas estratégias e métodos empregados.
A engenhosa capacidade humana propiciou a invenção de diversos instrumentos e objetos matemáticos que desvendaram os enigmas postos pelos famosos
problemas da Grécia Antiga. Fundamentados no extenso estudo exposto no corpo
deste trabalho, elucidamos que os problemas da duplicação do cubo, da trissecção
66
de um ângulo arbitrário e da quadratura do cı́rculo são impossiveis de serem solucionados quando a regra é: solucioná-los através da régua sem escala e do compasso.
3.1
A Duplicação do Cubo
Em oposição a simplicidade de seu enunciado, o problema deliano, mais conhecido
por “a duplicação do cubo”é, ao contrário dos demais problemas referidos durante
este trabalho, um problema de geometria espacial. A duplicação do cubo faz
alusão a idéia de construir um novo cubo com o dobro do volume do primeiro,
√
para tanto requer-se a construção de uma aresta cujo comprimento seja 3 2, a
partir de uma aresta de comprimento 1, e em todo este processo a pretensão é
utilizar exclusivamente a régua e o compasso.
A impossibilidade de duplicar o cubo é atribuı́da ao fato de que a solução
do problema está associada a um polinômio de grau 3. Basicamente, já vimos
que as possı́veis raı́zes racionais para a x3 − 2 são ±1 e ±2, haja vista que ambas
não satisfazem a referida equação, segue que este polinômio, sendo de grau 3, é
irredutı́vel sobre Q.
Ao mesmo tempo, é sabido que se um número é construtı́vel sobre Q então
tal número possui grau que seja um potência de 2. Entretando, é conhecido que
√
3
irr( 2, Q) = x3 − 2
e então,
√
3
deg( 2, Q) = 3,
que não é uma potência de 2.
Assim sendo, ﬁca evidênciado que é impossı́vel duplicar o cubo, uma vez que
√
3
2 não é um número construtı́vel.
67
3.2
O Problema da Trissecção de um Ângulo Arbitrário
O problema ora referido se distingue dos demais, pois como visto existem ângulos
que podem ser trissectados (um ângulo reto pode ser trissectado, já que existe um
procedimento de construção de um ângulo de 30◦ ), enquanto outros não. Veriﬁcar
se certo ângulo pode ser dividido em três partes iguais não é uma tarefa fácil,
quanto o enunciado do problema. Se convencer da inexistência de um método para
se efetuar a trissecção de quaisquer ângulos, conforme os requisitos euclidianos, ou
mesmo de um algortimo útil a ﬁm de veriﬁcar quais ângulos são trissectados, parece
inconcebı́vel para muitos matemáticos. Em Matemática, a expressão “todo ângulo
pode ser trissectado”se torna falsa se ao menos for detectado um ângulo que seja
impossı́vel de trissectar.
Com base neste argumento, consideramos um ângulo de 60o , o qual pode ser
construı́do com régua e compasso, vejamos:
Dado um segmento de reta OA, construir uma reta OB tal que o ângulo
b = 60o .
AOB
Método: Desenhar arcos com centros em O e em A, e raio OA, os quais se
b = 60o .
encontram num ponto B. Então o ângulo AOB
Figura 3.1: Construção de um ângulo de 60o
Já que um ângulo de 60o é construtı́vel, a indagação neste momento é: será
construtı́vel um ângulo de 20o ?
68
Conforme predito, um ângulo θ é construtı́vel se, e somente se, cos θ é construtı́vel.
θ
1
cos
θ
Da relação trigonométrica:
( ( ) ( ))
θ
θ
θ
θ
cos θ = cos 2
+
= 4 cos3 − 3 cos ,
3
3
3
3
o problema da trissecção do ângulo arbitrário se restringe a construir a raiz p cos
θ
3
do polinômio abaixo, sendo cos θ = m:
f (x) = 4x3 − 3x − m
1
, portanto,
2
após as devidas substituições f (x) = 8x3 − 6x − 1. Previamente, do teste das raı́zes
Estamos interessados no caso quando θ = 60o , daı́ cos 60o =
racionais, temos que as únicas possibilidades de raı́zes racionais para f (x) são:
1 1 1
±1, ± , ± , ± .
2 4 8
Notamos que nenhum desses números é uma raı́z de f (x). Por esta razão,
como f (x) é de grau 3 e não tem raı́zes racionais, teremos que f (x) é irredutı́vel
sobre Q e, se tomado o polinômio mônico de f (x), obtemos:
3
1
irr(cos 20o , Q) = x3 − x − ,
4
8
tem-se um polinômio de grau 3.
O simples fato de deg(cos 20o , Q) = 3, traz como consequência o ﬁm de um
enigma, isto é cos 20o não é construtı́vel, pois 3 não é potência de 2. Sobre este
69
fato, não é possı́vel construir um ângulo de 20o e é dada a impossibilidade de
trissectar o ângulo de 60o por meio de régua e compasso.
Devemos notar, no entanto, que o argumento apenas mostra que há um
ângulo, (de medida 60o ), que não pode ser trissectado.
Mas é fácil deduzir deste resultado que há muitos (inﬁnitos) ângulos que não
podem ser trissectados, pois se um ângulo α não é construtı́vel, seu triplo, 3α,
também não é trissectável. Ao mesmo tempo, se um ângulo não é construtı́vel,
sua metade também não o é, por exemplo, não são construtı́veis os ângulos de
medidas 20o , 10o , 5o , 2,5o , 1,25o .
Como subproduto da inconstrutibilidade do ângulo de 20◦ , temos a impossibilidade da construção do eneágono regular, o polı́gono regular de 9 lados. Pois,
se tal construção for possı́vel, será possı́vel a divisão de uma circunferência em 9
arcos congruentes, e portanto a construção do ângulo central correspondente, que
mede 40◦ . Por bissecção deste último, chegarı́amos ao ângulo de 20◦ .
Também é possı́vel estabelecer que o ângulo de 3◦ é construtı́vel mas não o
de 2◦ ! Pois 3◦ = (72◦ − 60◦ )/4, sendo 72◦ e 60◦ dois ângulos construtı́veis (72◦
pode ser obtido pela construção geométrica de um pentágono regular, o que nos
permite construir um ângulo de 360◦ /5 = 72◦ . Todavia, se fosse possı́vel construir
um ângulo de 2◦ , seu décuplo, que é um ângulo de 20◦ , seria construtı́vel.
3.2.1
O Problema da Divisão de um Ângulo em n Partes
Vimos que determinados ângulos não são divisı́veis em três partes. Como generalização deste pressuposto, demonstraremos agora que para todo número primo
ı́mpar n ≥ 3, existe um ângulo α o qual é impossı́vel dividir em n partes de mesma
amplitude.
O caminho a ser percorrido nesta demonstração segue primeiramente a seguinte idéia: para cada inteiro primo n ≥ 3, existe um ângulo α construtı́vel (cos α
α
é construtı́vel) tal que sendo θ = , deg(cos θ, Q) = n, sendo cos θ e, portanto, θ
n
não construtı́veis.
70
Nosso primeiro passo será elucidar a fórmula de cos(nθ), conforme segue:
Para todo número primo n ≥ 3, e para qualquer θ ∈ R, há inteiros a1 , a3 , . . . , an−2 , an
tais que
cos(nθ) = a1 cos θ + a3 cos3 θ + . . . + an−2 cosn−2 θ + an cosn θ,
onde an = 2n−1 e os demais coeficientes a1 , a3 , . . . , an−2 são todos divisı́veis por n.
Demonstração: Por De Moivre, tomando z = cos θ + i sen θ, teremos, z n =
cos(nθ) + i sen(nθ) e pelo teorema Binomial:
z n = (cos θ + i sen θ)n
n ( )
∑
n k
=
i cosn−k θ senk θ
k
k=0
( )
( )
n
n
n
n−1
= cos θ +
i cos
θ sen θ +
(−1) cosn−2 θ sen2 θ
1
2
( )
( )
n
n
n−3
3
+
(−i) cos
θ sen θ +
cosn−4 θ sen4 θ + · · · .
3
4
(
)
( )
Logo, cos(nθ)+i sen(nθ) = cosn θ+ n1 i cosn−1 θ sen θ+ n2 (−1) cosn−2 θ sen2 θ+· · · .
Como queremos cos(nθ), basta tomarmos as partes reais desta equação, isto
é,
( )
( )
cos(nθ) = cosn θ + n2 (−1) cosn−2 θ sen2 θ + n4 cosn−4 θ sen4 θ + . . . +
( n )
(±1) cos θ senn−1 θ, (pois n é ı́mpar).
n−1
Além disso, como sen2 θ = 1 − cos2 θ, colocando c = cos θ, temos:
( )
( )
n
n
n−2
2
n
(−1)c (1 − c ) +
(1 − c2 )2 cn−4 + . . .
cos(nθ) = c +
2
4
( )
( )
n n−2 2
n
n
=c +
c (c − 1) +
(c2 − 1)2 cn−4 + . . . .
2
4
Podemos então organizar esta identidade e obter cos(nθ) como um polinômio
em c = cos θ. Vejamos,
( )
( )
( )
n n−2 2
n n−4 2
n n−6 2
n
2
cos(nθ) = c +
c (c − 1) +
c (c − 1) +
c (c − 1)3 + . . .
2
4
6
( )
( )
n
n
n
n
n−2
=c +
(c − c ) +
(cn − 2cn−2 + cn−4 ) + . . .
2
4
[
( ) ( )
]
[( )
( )
]
n
n
n
n
n
n−2
=c 1+
+
+ ... − c
+2
+ ... + ...
2
4
2
4
71
Olhando esta equação como um polinômio, podemos expressar os coeﬁcientes
da seguinte forma:
)
( ) ( ) ( ) ( )
(
n
n
n
n
n
an = 1 +
+
+
+
+ ... +
2
4
6
8
n−1
( )
( )
( )
( )
(
)
n
n
n
n
n
an−2 =
+2
+3
+4
+ ... +
2
4
6
8
n−1
( )
( )
( )
( )
(
)
n
n
n
n
n
an−4 =
+3
+6
+ 10
+ ... +
4
6
8
10
n−1
..
.
Por ﬁm, conforme pretendı́amos, é possı́vel escrevermos: cos(nθ) = a1 cos θ +
a3 cos3 θ + . . . + an−2 cosn−2 θ + an cosn θ.
Disto feito, provemos agora que an = 2n−1 . Do teorema binomial, advém:
( )
( )
( n ) n−1
(a + b)n = an + n1 an−1 b + n2 an−2 b2 + . . . + n−1
ab
+ bn . Assim sendo, para
n ı́mpar tomamos:
( ) ( ) ( )
(
)
n
n
n
n
2 = (1 + 1) = 1 +
+
+
+ ... +
+1
1
2
3
n−1
n
n
( ) ( ) ( )
(
)
n
n
n
n
0 = (1 − 1) = 1 −
+
−
+ ... +
− 1.
1
2
3
n−1
n
Adiante, somando ambas as igualdades membro a membro dispomos de:
( )
( )
(
)
n
n
n
n
2 =2+2
+2
+ ... + 2
,
2
4
n−1
e mais precisamente,
n−1
2
(
)
( ) ( )
n
n
n
,
+ ... +
+
=1+
n−1
4
2
ou seja, an = 2n−1 .
Neste momento, veriﬁcaremos que pelo fato de n ser primo e 1 ≤ k ≤ n − 1,
( )
( )
( )
então nk é divisı́vel por n. De fato, nk é um inteiro positivo da forma nk =
n!
(n − 1)!
= n·
, observemos que k < n e disto segue também que
k!(n − k)!
k!(n − k)!
n − k < n, isto quer dizer que estes termos não possuem um fator primo n, logo o
número n não será cancelado na expressão acima. Desta forma, é possı́vel aﬁrmar
( )
que nk = n · a, para um certo inteiro positivo a. E, como consequência imediata,
72
segue que
(n)
k
é divisı́vel por n. Tal constatação nos permite concluir que cada um
dos coeﬁcientes a1 , a3 , . . . , an−2 é divisı́vel por n.
Após singulares considerações, demonstraremos que para cada inteiro n, conα
forme considerado acima, existe um ângulo α, construtı́vel, tal que
= θ não é
n
construtı́vel.
A priori, construiremos o ângulo α:
a) Sobre uma reta demarcamos o segmento AB de tamanho n.
b) Por B traçamos uma perpendicular a AB.
c) Com centro em A traçamos uma circunferência de raio n + 1, a qual interceptará a perpendicular ao segmento AB em um ponto C.
Figura 3.2: cos α
Conforme a ﬁgura acima, o triângulo construı́do será um triângulo retângulo,
b = α, sendo α, portanto, um ângulo construtı́vel. Notemos que
e o ângulo B AC
n
cos α =
.
n+1
Diante do exposto consideramos:
n
= cos α = cos(nθ) = a1 cos θ + a3 cos3 θ + . . . + an−2 cosn−2 θ + an cosn θ,
n+1
algebricamente, (n + 1)a1 cos θ + (n + 1)a3 cos3 θ + . . . + (n + 1)an−2 cosn−2 θ +
an cosn θ − n = 0.
Tomamos agora a p(x) = (n + 1)an xn + (n + 1)an−2 xn−2 + . . . + (n + 1)a3 x3 +
(n + 1)a1 x + a0 , sendo a0 = −n.
73
É verdadeiro que p(cos θ) = 0 e, das considerações anteriores, que n|a0 , n|(n+
1)a1 , · · · , n|(n + 1)an−2 , por outro lado n ̸ |(n + 1)an , pois se n|(n + 1)a1 , então
n|n + 1, o que é falso (já que n é primo) ou n|an , mas an = 2n−1 não pode ser
divisı́vel por um primo ı́mpar e, além disso, n2 ̸ |a0 , pois a0 = −n.
Lembremos que como n é primo, pelo critério de Eisenstein, já visto anteriormente, temos que p(x) é irredutı́vel sobre Q. Portanto, deg (cos θ, Q) = n e,
por n não ser uma potência de 2, o ângulo θ não é construtı́vel, apesar de α ser
construtı́vel.
Fica deste modo provado que para qualquer inteiro n ≥ 3, primo e ı́mpar,
existe um ângulo α que é impossı́vel dividi-lo em n partes.
Finalmente, se n é um inteiro n ≥ 3, e n não é uma potência de 2, existe um
ângulo β que não é n-sectável. Pois neste caso n possuirá um fator primo ı́mpar,
β
digamos p, ou seja n = p · m. Se podemos construir para algum ângulo β, então
n
β
β
podemos construir m · , e portanto podemos construir . Mas como vimos, para
n
p
p primo e ı́mpar sempre haverá um ângulo β que não é p-sectável, e tampouco será
n-sectável.
3.3
A Quadratura do Cı́rculo
Análogo aos outros dois problemas gregos, o problema que tem por pretensão a
construção de um quadrado cuja área seja igual à de um cı́rculo dado, utilizando
apenas a régua e o compasso, foi solucionado somente no século XIX.
Em sı́ntese, o quadrado procurado deve possuir lados de comprimento
√
π.
Conjecturamos que seja possı́vel quadrar um cı́rculo através da régua e do com√
√
passo, segue que π é construtı́vel. Isto implicaria π ∈ Cℜ é algébrico sobre
√ √
Fn (kn ) e, portanto, que π = π · π é construtı́vel pelas operação de multiplicação
e, consequentemente, π é algébrico sobre Fn (kn ). Mas isto é uma contradição, a
lembrar que π é um número transcendente.
Embora existam aproximações consideráveis, é impossı́vel quadrar o cı́rculo
com os instrumentos euclidianos. Como já discutido neste trabalho, o número
74
π é transcendente, em outras palavras, não existe um polinômio, de coeﬁcientes
inteiros, do qual π seja raiz, isto quer dizer, de acordo com a teoria já estudada,
√
que o número π não é construtı́vel, e obviamente π.
Em, 1882 o alemão Ferdinand von Lindemann (1852-1939) demonstrou formalmente que π é um número transcendente sobre o corpo do racionais. Todavia,
este resultado não é inerente aos objetivos deste trabalho. Em suma, a transcendência de π torna impossı́vel obter um quadrado que tenha a mesma área do
um cı́rculo, somente com uma régua e um compasso.
Apêndice
Um corpo é uma estrutura algébrica (A,+,·), isto é, um conjunto não vazio A,
munido de duas operações + e · em A, satisfazendo às seguintes propriedades
(chamadas de axiomas do corpo):
A) Axiomas da adição:
a1 ) Associatividade: ∀a, b e c ∈ A, (a + b) + c = a + (b + c)
a2 ) Comutatividade: ∀a, b e c ∈ A, a + b = b + c
a3 ) Elemento Neutro: ∃0A ∈ A, ∀a ∈ A, a + 0A = 0A + a = a
a4 ) Para cada a ∈ A, ∃(−a) ∈ A, a + (−a) = (−a) + a = 0A
B) Axiomas da multiplicação:
b1 ) Associatividade: ∀a, b e c ∈ A, (a · b) · c = a · (b · c)
b2 ) Comutatividade: ∀a, b e c ∈ A, a · b = b · a
b3 ) Elemento Neutro: ∃1A ∈ A, ∀a ∈ A, a · 1A = 1A · a = a
b4 ) Inverso Multiplicativo: ∀a ∈ A, ∃a−1 ∈ A, a · a−1 = a−1 · a = 1A
C) Axioma da Distributidade:
c1 ) ∀ a, b e c ∈ A, a · (b + c) = (a · b) + (a · c), e pela comutatividade, (b + c) · a =
(b · a) + (c · a).
Disponı́vel em: http://www.dm.ufscar.br/ sampaio/Ea2cap1 02.pdf. Acesso em:
20 de junho de 2011.
75
Referências Bibliográficas
ARAUJO. I. B. de. Uma Abordagem para a Prova com Construções Geométricas e
Cabri-Géomètre. 2007. 291 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática),
Pontiﬁca Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2008.
BARBOSA. J. P. C; NETO. F. R. Investigação Histórica Referente à Base
Algébrica das Construções Geométricas com Régua e Compasso. In: EBRAPEM
Educação Matemática: diversidades e particularidades no cenário nacional, XIV,
2010. Campo Grande. Resumos · · · . Campo Grande: UFMS, 2010. P. 1 8. Disponı́vel em:<http://ebrapem.mat.br/inscricoes/trabalhos/gt04 barbosa
ta1.pdf>. Acesso em: 19 de agosto de 2011.
BERLINGHOFF, W. P.; GOUVÊA, F. Q. A Matemática Através dos Tempos: Um guia fácil e prático para professores e entusiastas. Tradução de Elza
Gomide e Helena Castro; São Paulo: Edgard Blücher, 2008. 269 p.
BOYER, C. B. História da Matemática. Tradução de Elza Gomide. São Paulo:
Edgard Blücher Ltda, 1974. 488 p.
CARNEIRO, J. P. Q. Apêndice A. Construções Possı́veis usando Régua e
Compasso.. In: WAGNER, E. Construções Geométricas. 2a ed. Rio de Janeiro.
Coleção do Professor de Matemática Sociedade Brasileira de Matemática, 1998, p.
91-108.
CARVALHO, J. P. de. Os Três Problemas Clássicos da Matemática Grega.
76
77
In: Bienal da SBM, 2a , 2004, Bahia. Resumos · · · . Rio de Janeiro: PUC, 2004.
p. 1 - 21. Disponı́vel em: <http://www.bienasbm.ufba.br/M20.pdf>. Acesso em:
19 de maio de 2011.
COURANT, R.; ROBBINS, H. Construções Geométricas. A álgebra dos corpos numéricos. In:
. O que é matemática? Uma abordagem elementar de
métodos e conceitos. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2000. p. 141- 200.
EVES, H. Introdução à História da Matemática. Tradução de Higino H. Domingues. Campinas, São Paulo: Unicamp, 2004. 844p.
GARBI. G. G. A Rainha das Ciências. Um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. 3. ed. São Paulo: Livraria da Fı́sica. 2009a. 462 p.
. O Romance das Equações Algébricas. 3. ed. São Paulo: Livraria
da Fı́sica. 2009b. 241 p.
JONES. A.; MORRIS. S. A.; PEARSON. K.R. Abstract Algebra and Famous
Impossibilities. New York: Springer-Verlag, 1991. 183 p.
MARIOTTO, R. Impossibilidades em Construções Geométricas com régua e
compasso. São Carlos: UFSCar/Departamento de Matemática, 2005. 35 p. Trabalho de Conclusão de Curso A.
PATERLINI, R. R. Hipertexto Pitágoras: Bibliotheca Alexandrina. Disponı́vel em:<http://www.dm.ufscar.br/hp/hp855/hp855001/hp855001.html>.
Acesso em: 30 de junho de 2011.
PEDROSO, H. A.; PEREIRA, J. C. P. Números construtı́veis e problemas
clássicos da geometria. Disponı́vel em: <http://www.mat.ibilce.unesp.br/semat
78
2010/pdfs/resumos/MN2.pdf>.Acesso em: 25 de outubro de 2011.
SAMPAIO, J. C. V. Três Problemas Históricos de Geometria e Trigonometria. Disponı́vel em: <http://www.dm.ufscar.br/ sampaio/geotrighist.PDF>.
Acesso em: 15 de outubro de 2011.
SOUSA, J. M. R. de. Trissecção do Ângulo e Duplicação do Cubo: as
Soluções na Antiga Grécia. 2001. 114 f. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática) - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, Portugual, 2001.
STILLWELL, J. Elements of Algebra. Geometry, Numbers, Equations. New
York: Springer-Verlag, 1994, 181 p.
VELOSO, E. Construções geométricas, prazer dos deuses · · · . Disponı́vel em:
<http://geom-gsp.eduardoveloso.com/02textos de apoio/T01/04prazer dos deus
es.pdf>. Acesso em: 18 de outubro de 2011.
.O triunfo da álgebra. Disponı́vel em:<http://geom-gsp.eduardoveloso
.com/02textos de apoio/T01/05triunfo algebra.pdf>. Acesso em: 04 de outubro
de 2011.
VENDEMIATTI, A. D. A Quadratura do Cı́rculo e a Gênese do Número π.
2009. 152 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) - Pontiﬁca Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2009.
WAGNER, E. Uma Introdução às Construções Geométricas. Disponı́vel
em:<http://www.mtm.ufsc.br/ensinomedio/jul-09/const-geometricas.pdf>. Acesso
em: 20 de maio de 2011.
. Construções Geométricas. 2a ed. Rio de Janeiro. Coleção do Professor
de Matemática Sociedade Brasileira de Matemática, 1998, 109 p.