GEOMETRIA EM
QUESTÃO
Geometria em questão
Janete Bolite Frant*
A série Geometria em questão será apresentada de 7 a 11 de maio no
programa Salto para o Futuro, e tem como principal objetivo discutir e entender um
pouco mais sobre o ensino da Geometria na sala de aula. Os temas que serão enfocados
podem ser trabalhados no Ensino Fundamental e Médio, dependendo da abordagem.
Durante muito tempo, houve uma divisão entre Geometria e Matemática.
Depois, a Geometria passou a ser ensinada dentro dos conteúdos da área/disciplina
de Matemática, mas era sempre relegada ao último bimestre ou mês, aparecendo,
geralmente, no capítulo final dos livros didáticos. Com isso, muitos de nós, professores, tivemos uma formação deficitária nesta área.
Hoje, com o avanço das pesquisas em Educação Matemática no mundo e em
nosso país, a Geometria está presente não só nos livros didáticos, como em revistas
e vídeos educativos. Já existe uma bibliografia específica, bem como diversos livros
– os chamados paradidáticos – que auxiliam o professor a trabalhar a Geometria nos
diversos ciclos, trazendo um pouco da história e propondo atividades interessantes e
criativas.
Se olharmos brevemente a História, vamos encontrar em Heródoto, historiador do século V a.C., relatos que explicam como eram divididas as terras para tributação no Antigo Egito. As civilizações de beira-rio (as do Nilo e também as dos rios
Tigre, Eufrates, Ganges, Indo em outras regiões) desenvolveram uma habilidade em
engenharia na drenagem de pântanos, na irrigação, na defesa contra inundação, na
construção de templos e edifícios. Era uma Geometria prática, em que o conhecimento matemático tinha uma função meramente utilitária. De acordo com essa função, a
Geometria, que significa “medida de terra”, associa-se à prática de medição das terras, como por exemplo: a demarcação dos lados de um terreno; a idéia de área para a
tributação e para a divisão entre herdeiros; a idéia de volume na irrigação; a construção de templos etc.
A partir destas observações, percebemos que a Matemática era vista pelos
gregos, dos anos 500 a.C. até 300 d.C., através da Geometria.
Os números eram medidas de comprimento e, quando eles encontraram comprimentos diferentes dos números naturais (por exemplo, a medida da diagonal de um
quadrado de lado 1 unidade), uma conseqüência imediata foi desacelerar o estudo
dos números.
* CEDERJ-SECT-RJ; PhD em Educação Matemática NYU. Consultora da série Geometria em questão.
PROPOSTA PEDAGÓGICA
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GEOMETRIA EM
QUESTÃO
Na atualidade, a Matemática ainda é vista, de modo geral, como a disciplina
da “resposta certa”. Esta visão, entretanto, pode interferir no processo de aprendizagem e evitar que os estudantes expressem seus pensamentos matemáticos, que aprendam com seus erros, que testem suas hipóteses e as reformulem ou as defendam.
Seria interessante se pudéssemos ajudar a transformar a tradicional pergunta dos
estudantes: “Isso está certo?” para “Como eu posso desenvolver minha autoconfiança
e julgar se estou no caminho certo quando resolvo um problema?” Esta é sem dúvida
uma tarefa bastante difícil, mas muito gratificante. Este é o objetivo da série Geometria em questão:
questão discutir a possibilidade de promover esta transformação nas
aulas envolvendo a Geometria.
Para possibilitar esta mudança, é importante pensar sobre o que promove a
aprendizagem e o que promove o acúmulo de informação. O estabelecimento de relações, a leitura e escrita de textos, o confronto entre suposições e dados obtidos durante a investigação e o diálogo são procedimentos fundamentais para a aprendizagem, em contraposição ao ensino de algoritmos e “decorebas”.
Adotamos a visão de que conhecimento e informação pertencem a classes
distintas. Podemos dar informação (oral ou escrita) a outra pessoa e, com o uso de
tecnologias, podemos até transferir informação de um local a outro, via Internet, ou
utilizando fitas cassete de áudio ou vídeo, mas não podemos fazer o mesmo com o
conhecimento. E o que é conhecimento? Certamente não é mais o simples “recitar”
sobre um determinado tema. Ao perguntarmos qual é o teorema de Pitágoras, um
aluno pode recitar “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos
catetos”. Mas, na maioria das vezes, ele nem sabe o que é um cateto. Deste modo,
“recitar” o teorema não mostra que o aluno conhece o que ele está “recitando” . Entendemos que para haver conhecimento é preciso não só uma afirmação, ou uma definição, mas também uma justificação, uma explicação. Por exemplo, se pedirmos para
dois alunos desenharem um triângulo, os dois podem até desenhar a mesma figura.
Mas, ao pedir que eles expliquem “o que é um triângulo”, um deles pode dizer: “É uma
figura pontuda” e o outro: “É uma figura de três lados e três pontas”. Dessa forma,
pela justificação, ou seja, pela maneira como são dadas as explicações, podemos observar que os dois têm conhecimentos diferentes sobre triângulo.
Além de pensar na diferença entre conhecimento e informação, é importante
refletir sobre a filosofia que está por trás de alguns mitos do ensino de Matemática.
Somente a partir destas reflexões é que o professor pode escolher como será planejada e desenvolvida a sua aula.
É muito comum ouvirmos “a Geometria está em toda parte” ou “precisamos
descobrir as formas geométricas”, ou outras frases parecidas. Isto nos leva a aceitar
que existe uma Geometria que não foi construída pelo ser humano. Falando assim, de
maneira apressada, pode parecer óbvio que as únicas idéias matemáticas que um ser
humano pode ter são as que seu cérebro permita. Portanto, a Matemática que conhecemos e ensinamos é criada e conceitualizada por nós, humanos. Por isso a ciência
evolui, são criados novos teoremas, novas formas e novos modos de investigação.
Na Física, por exemplo, o estudo da Física Quântica permitiu um avanço tão
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QUESTÃO
grande neste campo da ciência quanto o conhecimento dos genomas, nos estudos de
Biologia, vai permitir neste século. O que nós professores temos que ensinar aos
alunos é o prazer da investigação do novo, para que eles possam ir além da reprodução de um punhado de teoremas.
A Geometria pode ser vista como o estudo das formas e do espaço, de suas
medidas e de suas propriedades. Os alunos descobrem relações e desenvolvem o senso espacial construindo, desenhando, medindo, visualizando, comparando, transformando e classificando figuras. A discussão de idéias, o levantamento de conjeturas e a
experimentação das hipóteses precedem as definições e o desenvolvimento de afirmações formais. A exploração informal da Geometria pode ser motivadora e matematicamente produtiva, nos primeiros ciclos do Ensino Fundamental. Nesta etapa, o ensino de
Geometria deve recair sobre a investigação, o uso de idéias geométricas e relações, ao
invés de se ocupar com definições a serem memorizadas e fórmulas a serem decoradas.
A Geometria constitui parte importante do currículo, pois a partir dela o aluno desenvolve o pensamento espacial. A ação é de mão dupla: ao mesmo tempo que
o aluno desenvolve este tipo de pensamento, descrevendo a sua própria ocupação e
movimentação do espaço, é também através desse raciocínio que ele descreve e representa o mundo em que vive. É um processo dinâmico.
Trabalhando o pensamento geométrico estaremos contribuindo para a aprendizagem de números e medidas. As atividades geométricas, como outras em Matemática, permitem também ao aluno identificar regularidades, buscar semelhanças e
diferenças, argumentar a favor ou contra, fazer conjeturas.
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN, é importante
que dois caminhos impulsionem o trabalho com a Matemática em sala de aula: as
aplicações no cotidiano e as aplicações e avanços na própria ciência Matemática. A
Geometria ajuda a falar da inserção do homem no espaço Terra, da utilização deste
espaço, da sua divisão, e da construção de estratégias para resolver problemas relacionados à forma e ao espaço.
O desenho da planta de uma casa ou de um terreno requer habilidades e competências que envolvem semelhança de figuras, proporcionalidade e métodos qualitativos e quantitativos, para verificar se um determinado lado da casa pode realmente
ser daquele tamanho ou se deveria ser menor.
Este tipo de atividade tem um papel de forte relevância social, pois os impostos sobre apartamentos (IPTU) ou terrenos dependem, fundamentalmente, da área
dos mesmos.
O avanço tecnológico nos coloca em uma nova era. E a sala de aula onde
fica? Com o desenvolvimento de programas de computador interativos e dinâmicos,
podemos entender alguns problemas da Geometria mas, sobretudo, podemos formular novos problemas.
Enfatizamos a diferença entre educar e ensinar. O modelo pedagógico cujo
sentido é ensinar valoriza os conteúdos como chave do processo: trata-se de passar
informações e de verificar a assimilação das mesmas via avaliações. Esperamos com
PROPOSTA PEDAGÓGICA
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QUESTÃO
essa série trazer opções para o professor que escolhe educar e, portanto, que não se
preocupe apenas em trazer para a sala de aula informações gerais, muitas vezes
descontextualizadas, mas sim em oferecer a seus alunos uma informação pedagogicamente mediada.
Programas
PGM 1 - GEOMETRIA
E CULTURA
Este programa procura mostrar que além dos conhecimentos de Geometria
que nos foram legados pelos gregos, na Antigüidade, existiram também diversos outros povos e culturas que utilizavam a Geometria nas suas atividades cotidianas: na
confecção de cestos, ornamentos, no trabalho com a terra, na irrigação etc. Será analisada, ainda, a contribuição da nossa cultura no “fazer geometria”, explorando a diversidade cultural do país.
PGM 2 - GEOMETRIA
E CARTOGRAFIA
Este programa enfoca a criação de mapas – desde os mapas em relevo criados pelos polinésios até aqueles elaborados por satélites – enfatizando a importância
das noções de Matemática nessa produção, principalmente as idéias de escala, semelhança, plano cartesiano, números negativos.
O programa vai discutir a relação da Geometria com a Geografia, em especial com a cartografia, e apresentar atividades práticas que podem ser utilizadas na
sala de aula.
PGM 3 - ÂNGULOS
Este tema é tão abrangente que merece um programa para sua discussão.
Da navegação à construção, ele está presente, quer seja no plano, quer no espaço.
Como medida, como giro, como espaço entre semi-retas. O programa propõe-se a
analisar que o conceito de ângulo está associado a uma diversidade de idéias distintas, porém inter-relacionadas, como inclinação, rotação, região, abertura, orientação,
direção, entre outras.
PGM 4 - ÁREA,
PERÍMETRO E VOLUME
No programa, pretende-se ampliar as noções de área, perímetro e volume, que
nos livros didáticos, de maneira geral, são abordadas de modo superficial, restringindose ao ensino de fórmulas. Veremos que estas noções estão ligadas a práticas cotidianas
desde o tempo das enchentes do Nilo e das construções de Pirâmides, no Antigo Egito,
até o cálculo de impostos sobre terrenos ou prédios, muito utilizado na atualidade.
PGM 5 - GEOMETRIA
E
TECNOLOGIA
A tecnologia está cada vez mais presente na sala de aula. Além de apresentar
algumas sugestões de atividades que envolvem a utilização de novas tecnologias, o
PROPOSTA PEDAGÓGICA
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QUESTÃO
programa tem por objetivo discutir a implementação dessas novas tecnologias no
ensino da Geometria e as contribuições trazidas pela utilização de computadores e
calculadoras gráficas para alunos e professores. Além dos aplicativos de Geometria,
existem outros, como o Logo, que podem ser utilizados na sala de aula, oportunizando
um trabalho mais dinâmico.
Bibliografia comentada:
ASCHER, M. Etnomatemática: Um panorama multicultural de idéias matemáticas. Ca: Brooks/Cole Publish Co., 1991.
Discussões do número, dos gráficos, da topologia, dos jogos, da probabilidade, da simetria geométrica e da
álgebra dos grupos inseridos em culturas freqüentemente omitidas das discussões matemáticas. Cada prática matemática é relacionada à Matemática da cultura ocidental e similaridades e diferenças são exploradas. Dirigido especialmente para professores, da Educação Infantil à universidade.
ASCHER, M. & ASCHER R. O código do Quipu: Um estudo sobre a matemática e a cultura inca. Ann Arbor, Mi:
Michigan University Press, 1981.
Estudo sobre o quipu, um sistema de nós atados, usado pelos incas para armazenar as informações importantes sobre sua cultura. Inclui muita informação sobre a cultura dos incas, assim como uma análise sobre
como os dados são armazenados e lidos através do sistema de nós.
BAIRRAL, M.A; KINDEL, D. S. & OLIVEIRA, R. Uma Propor-Ação entre Matemática e PCN. Rio de Janeiro, GEPEM,
2000.
Apresenta propostas de atividades em consonância com o PCN, relato de atividades realizadas com alunos,
além de esclarecer sobre alguns pontos teóricos do PCN.
BORBA, M. Um estudo de Etnomatemática: sua incorporação na elaboração da proposta pedagógica para o Núcleo-Escola da Favela da Vila Nogueira – São Quirino. Rio Claro, UNESP, 1987.
Dissertação de mestrado em Educação Matemática, na qual o trabalho de campo foi realizado numa escola
inserida na Favela da Vila Nogueira, localizada em São Quirino.
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (1º e 2º ciclos). Brasília, MEC/
SEF, 1997.
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (3º e 4º ciclos). Brasília, MEC/
SEF, 1998.
Os PCN, como se tornou conhecido, é um documento de qualidade, apontando para as mais recentes pesquisas na área de Educação Matemática, com destaque especial para as Orientações Didáticas, nas quais o
professor pode encontrar sugestões de atividades.
D’AMBROSIO, U. Transdisciplinaridade. São Paulo, Palas Athena, 1997.
Preocupado com o tratamento holístico do homem, o autor estende esta preocupação para a educação,
mostrando sua transdisciplinaridade.
GERDES, P. A numeração em Moçambique. Contribuição para uma reflexão sobre cultura, língua e educação matemática. Maputo, Moçambique, Instituto Superior Pedagógico, 1993.
Respostas às perguntas: Como se conta nas diversas línguas faladas em Moçambique? Como se desenvolveram os sistemas de numeração? Quais são os principais sistemas de numeração da África? Como fazem os
falantes das diversas línguas seus cálculos mentais? Como se pode melhorar o processo de ensino-aprendizagem da Aritmética nas escolas moçambicanas?
GERDES, P. Pitágoras Africano: Um estudo em cultura e Educação Matemática. Maputo, Moçambique, Instituto
Superior Pedagógico, 1992.
PROPOSTA PEDAGÓGICA
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QUESTÃO
O título deve-se à hipótese de que Pitágoras, grego de nascimento, tenha passado 22 anos no Egito, localizado no Continente Africano. O objetivo do livro é mostrar diversos ornamentos e artefatos africanos que
podem ser usados para criar um contexto para a descoberta e demonstração do “Teorema de Pitágoras” e de
idéias e proposições com ele relacionadas.
GERDES, P. Geometria Sona, volumes 1, 2 e 3: Reflexões sobre uma tradição de desenho em povos da África ao sul
do Equador. Maputo, Moçambique, Instituto Superior Pedagógico, 1994.
Análise e reconstrução de elementos matemáticos na tradição de desenhos na areia do Tchokwe e povos
aparentados.
KALEFF, A. M.M.R.; REI, D.M. & GARCIA, S. S. Quebra-cabeças geométricos e formas planas. Niterói, EDUFF, 1997.
Apresenta uma boa diversidade de quebra-cabeças geométricos planos, são variações do Tangram. Traz
exemplos de figuras e modelos de quebra-cabeças.
KNIJNIK, G. Exclusão e resistência: Educação matemática e legitimidade cultural. Porto Alegre, Artes Médicas, 1996.
Baseado na tese de doutoramento da autora, trata da interface dos saberes populares e dos saberes acadêmicos, especificamente na área da Matemática, e das relações de poder associadas ao saber. O trabalho de
campo foi realizado junto ao MST, num assentamento em Braga, RS. A lógica interna do conhecimento de
origem popular é analisada e os porquês de sua organização intelectual.
LÉVY, P. As tecnologias da inteligência: o futuro do pensamento na era da informática. Rio de Janeiro, Ed. 34, 1993.
Através de comparações entre o computador e o pensamento humano, o autor aponta semelhanças entre
algumas de suas estruturas.
LINDQUIST, M. M. & SHULE P. A. (orgs.). Aprendendo e Ensinando Geometria. Trad.: Hygino H. Domingues. São
Paulo, Atual Editora, 1994.
Apresenta uma coletânea de artigos sobre o ensino e aprendizagem de Geometria. Alguns artigos abordam
as dificuldades apresentadas por alunos no processo de aprendizagem.
MARTINS, M. L. A Lição da Samaúma, formação de professores da floresta. Didática e educação matemática: do
saber à construção do conhecimento. Rio Branco, AC, Poronga Editoração e Comunicação Ltda., 1994.
Narra o processo do Projeto Seringueiro, através do relato de um pedagogo que constrói conhecimento com
trabalhadores da floresta, monitores de saúde, em escolas não seriadas e diferenciadas quanto às suas
necessidades pedagógicas especiais.
NUNES, T. & BRYANT, P. Crianças fazendo Matemática. Porto Alegre, Artes Médicas, 1997.
Apresenta um arcabouço para organizarmos e entendermos o crescimento do conhecimento matemático das
crianças e seu desenvolvimento, subdividindo-se em três temas gerais. O primeiro é que a compreensão que
a criança tem da Matemática muda constantemente nos primeiros anos da infância, de forma generativa. O
segundo é que o desenvolvimento do conhecimento e da compreensão matemática envolve três aspectos. E
o terceiro é que a Matemática é uma atividade socialmente definida.
SEBASTIANI, E. F. Etnomatemática, uma proposta metodológica. Rio de Janeiro, MEM/USU, 1997.
A Etnomatemática é abordada como um método educacional para ser trabalhado em Educação Matemática,
apresentando relatórios sobre pesquisas de campo e artigos do autor.
SMOOTHEY, M. Atividades e jogos com área e volume. Trad.: Sérgio Quadros. São Paulo, Editora Scipione, 1997.
Apresenta propostas de atividade com área no mesmo espírito das apresentadas.
VERGANI, T. Educação Etnomatemática. O que é? Lisboa, Portugal, Pandora Edições, 2000.
Apanhado de idéias sobre este ramo do conhecimento, a Educação Etnomatemática, dirigido a todos que por
ele manifestarem interesse pedagógico, científico, social e humano: trata-se de romper uma ordem do conhecimento instituída à margem da harmonia/alegria/bem-estar sociocultural, cujas normas violentamente
cegas e impositivas tendem a esmagar simultaneamente comunicação/solidariedade, esperança humana.
PROPOSTA PEDAGÓGICA
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GEOMETRIA EM
QUESTÃO
ZASLAVSKY, C. Jogos e Atividades Matemáticas do mundo inteiro – diversão multicultural para idades de 8 a 12
anos. Porto Alegre, Artes Médicas, 2000.
Os jogos, quebra-cabeças e projetos deste livro procedem de todas as partes do mundo. Os povos que
praticaram os jogos, resolveram as charadas e criaram a arte são apresentados aos leitores através das
atividades.
ZASLAVSKY, C. Contagens da África: Número e padronagens na cultura africana. Brooklyn, NY: Mount Lawrence
Press, 1973.
Descrições de sistemas de numeração, de Geometria na arte, de arquitetura, e de Matemática nos jogos.
Revela uma Matemática altamente desenvolvida que existe sobre todo o Continente Africano. Inclui estudos
regionais da Nigéria e do Kenya. Muitas das idéias podem ser adaptadas para atividades em sala de aula.
PROPOSTA PEDAGÓGICA
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GEOMETRIA EM
QUESTÃO
GEOMETRIA
E CULTURA
Um passeio na história
As primeiras considerações humanas a
respeito da Geometria originaram-se da necessidade de “medir a terra”. As atividades
incluíam observações, comparações e relações entre formas e tamanhos. Quando o homem sai das cavernas e começa a ter que
construir sua morada, os conceitos de verticalidade, horizontalidade e paralelismo, entre
outros, estão presentes.
As antigas civilizações de beira-rio (Nilo,
Tigre, Eufrates, Ganges, Indo) desenvolveram
uma habilidade em engenharia na drenagem de
pântanos, na irrigação, na defesa contra inundação, na construção de templos e edifícios.
Utilizavam uma Geometria prática.
Observamos, também, diversos outros
momentos em que a Geometria foi empregada
pelos povos considerados primitivos: na construção de objetos de decoração, de utensílios,
de enfeites e na criação de desenhos para a
pintura corporal. Formas geométricas, com
grande riqueza e variedade, aparecem em cerâmicas, cestarias, e pinturas de diversas culturas. Nestas manifestações artísticas já apareciam formas como triângulos, quadrados e
círculos, além de outras mais complexas.
Tanto as “tábulas” de argila dos babilô-
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Rosa M. Mazo Reis*
nios, quanto os papiros registram atividades
do homem no campo da Geometria. Acredita-se datarem do ano 3000 a. C., época dos
sumérios, as “tábulas” mais antigas descobertas. E os papiros de 1850 a. C. contêm textos
matemáticos com problemas, vinte e seis deles de Geometria.
Isso sem falar na pirâmide de Giseh, que
demonstra que os egípcios em 2900 a. C. possuíam conhecimentos geométricos para construí-la. A precisão do alinhamento, da medição e dos ângulos retos é impressionante,
qualquer que sejam os critérios aplicados.
Se já se fazia Geometria há tanto tempo,
por que só ouvimos falar do conhecimento
geométrico a partir dos gregos? Porque coube aos gregos o estabelecimento de um sistema de regras organizado não apenas por
procedimentos empíricos.
Depois de mais de um milênio do provável início da Geometria na Grécia, Proclus relata o desenvolvimento desta Geometria grega desde Tales de Mileto. Tales morou no Egito e trouxe a Geometria para a Grécia. Ele
aplicou os argumentos dedutivos da Filosofia
à Geometria.
Proclus escreveu o Sumário eudemiano.
Depois de Tales, ele fala de Pitágoras, que
* Mestre em Educação Matemática.
BOLETIM – PGM 1
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GEOMETRIA EM
parece ter feito percurso semelhante a Tales,
e talvez tenha mesmo sido seu discípulo.
Pitágoras, entre outros estudos, enunciou um
dos teoremas mais importantes.
“O quadrado sobre a hipotenusa é igual à
soma dos quadrados sobre os catetos.”
Como dissemos antes, nas pirâmides e
em outras construções já se podia observar
essa relação, mas foi com os gregos que ela
foi formalizada da maneira que é ensinada hoje.
Os babilônios, mais de mil anos antes de
Pitágoras, estudaram e descobriram a relação da diagonal de um quadrado com a medida do lado do mesmo. Prova suficiente que
conheciam o teorema associado a Pitágoras.
A tábula de argila Plimpton 322 contém
colunas de algarismos relacionados com os
ternos pitagóricos (o quadrado do maior dos
três números é igual à soma dos quadrados
dos outros dois).
Os egípcios, já em 2000 a. C., conheciam
a relação 42 + 32 = 52, mas não podemos afirmar que demonstrassem a propriedade do
ângulo reto da figura envolvida nesta relação.
Os Sulvasutras (500 a. C.) fornecem regras da Matemática hindu a serem seguidas
para obedecer a certas proporções em altares. Tais regras são aplicações do teorema de
Pitágoras e demonstram um conhecimento do
mesmo.
Padrões que apresentam uma simetria
rotacional de 90 graus ocorrem freqüentemente
na decoração africana, como relata Paulus
Gerdes na sua obra, Pitágoras africano.
Hoje, também a cultura influi no fazer Geometria.
Percorrendo a história da Humanidade,
temos contato com diferentes culturas. De
certa maneira, a agricultura, a pecuária e o
artesanato caracterizam esta diversidade cultural. A forma encontra-se presente nas criações do homem para aproveitar ou conviver
BOLETIM – PGM 1
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QUESTÃO
com as peculiaridades de cada região, e manifesta-se na maneira de trabalhar com a terra, de produzir utensílios e ornamentos. Se
entendermos Geometria como estudo da forma, cada região tem um vasto campo a ser
estudado. Este estudo resgataria as raízes
étnicas e culturais. O aprendiz envolvido neste processo sente-se enraizado e aumenta sua
auto-estima.
Esta metodologia, chamada por uns de
Modelagem Matemática e por outros de
Etnomatemática, permite uma livre interpretação, uma aprendizagem através do erro, uma
observação de padrões e posterior generalização e, ainda, um resgate da cultura na qual
o aprendiz encontra-se inserido.
Ubiratan D’Ambrósio foi o fundador do
Grupo de Estudos Internacional sobre
Etnomatemática (ISGEm) em 1985, ocasião
em que foi publicado seu primeiro boletim.
Sala de Aula, PCN e Contextos
Explorar a diversidade cultural de nosso
país pode ser útil não apenas nas aulas de
Matemática. Podemos levar para a sala de aula objetos que estimulem a observação de
padrões e regularidades, a discussão de
similitudes e diferenças, a elaboração de regras que descrevam o que se vê.
Os cestos e os peixes
As cidades que possuem mar ou rio de
modo geral desenvolveram “artefatos” para
a pesca: redes, puçás, cestos e outros.
Ao levar esses objetos para a sala de
aula, podemos desenvolver um projeto que
envolverá Geometria, Geografia e Ética.
Como será que foi pensado a feitura de um
cesto? Como determinar sua capacidade, se
partimos de um pedaço de cipó, palha ou outro material? Quantas tiras são necessárias?
Qual a melhor forma, de boca larga ou estreita? Comprido ou curto? Várias perguntas sur10
GEOMETRIA EM
gem a partir dos próprios estudantes. É interessante que o professor de Matemática entre
em contato com o de Arte e o de Geografia,
para que possam levar o cesto ou desenhos de
cestos variados, e principalmente de locais
variados. Hoje, com o auxílio da Internet, fica
mais fácil de encontrar diferentes exemplos.
Sabemos que os cestos servem também
para guardar outros tipos de mantimentos.
Quais? Verificar diferenças por região.
Estabelecer uma regra para a construção do cesto vai “obrigar” o aluno a falar sobre área e volume. Esta atividade pode ser
feita em aula com tiras de 1,5 cm de largura e
40 cm de comprimento, que serão trançadas
para formar o cesto.
Aqui podemos ver que povos moram
perto das águas e ver na história de que modo
este fato afetou a vida desses povos. Onde
existe a pesca, que outras atividades são desenvolvidas? Sempre procurando saber o
“porquê”.
A árvore e a corda
Numa região de florestas podemos introduzir o seguinte problema:
Vocês sabem como é que se faz para, depois de serrar uma árvore, colocar uma corda
para sustentar a sua queda, de modo que ela
não caia na cabeça de quem está no trator?
A pessoa fica de costas para a árvore e
sai caminhando, pára, abre as pernas, se curva
e olha, por debaixo das pernas, para a árvore.
E, quando a vê inteira, sabe que a corda terá
que ter o mesmo tamanho daquela distância.
Por que isto dá certo?
Aqui já estaremos falando de triângulos
semelhantes, trigonometria e outros.
A construção de hortas, quadras de esportes, objetos de artes etc. são outros pontos a ser explorados na aula de Geometria. Por
exemplo, artistas como Escher e Volpi usaBOLETIM – PGM 1
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QUESTÃO
ram e abusaram da geometria e seus trabalhos são muito interessantes de serem usados nas aulas, não em detrimento de nossa
própria arte, mas como um complemento e
para que a partir daí se discuta a Geometria
na Arte. Dessa forma, estimulamos a diversidade.
Como se vê, a cultura e a Geometria se
relacionam. Podemos usar a Geometria para
calcular a quantidade de material para um cesto, para uma casa e, ao mesmo tempo, se desejamos fazer um móvel diferente ou um cesto diferente, certamente teremos que pensar
numa Geometria para tal.
Deste modo, estamos continuamente
produzindo novos saberes a partir e em consonância com outros.
Bibliografia comentada
comentada:
ASCHER, M. Etnomatemática: Um panorama multicultural de idéias matemáticas. Ca: Brooks/Cole
Publish Co., 1991.
Discussões do número, dos gráficos, da topologia,
dos jogos, da probabilidade, da simetria geométrica e da álgebra dos grupos inseridos em culturas freqüentemente omitidas das discussões
matemáticas. Cada prática matemática é relacionada à Matemática da cultura ocidental e similaridades e diferenças são exploradas. Dirigido especialmente para professores, da Educação Infantil à universidade.
ASCHER, M. & ASCHER R. O código do Quipu: Um
estudo sobre a matemática e a cultura inca. Ann
Arbor, Michigan, Michigan University Press, 1981.
Estudo sobre o quipu, um sistema de nós atados usado pelos incas para armazenar as informações importantes sobre sua cultura. Inclui
muita informação sobre a cultura dos incas, assim como uma análise sobre como os dados são
armazenados e lidos através do sistema de nós.
BORBA, M. Um estudo de Etnomatemática: Sua incorporação na elaboração da proposta pedagógica
para o Núcleo-Escola da Favela da Vila Nogueira
– São Quirino. Rio Claro, UNESP, 1987.
Dissertação de mestrado em Educação Mate-
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GEOMETRIA EM
mática, na qual o trabalho de campo foi realizado numa escola inserida na Favela da Vila Nogueira, localizada em São Quirino.
D’AMBROSIO, U. Transdisciplinaridade. São Paulo,
Palas Athena, 1997.
Preocupado com o tratamento holístico do homem, o autor estende esta preocupação para a
educação, mostrando sua transdisciplinaridade.
GERDES, P. A numeração em Moçambique. Contribuição para uma reflexão sobre cultura, língua e
educação matemática. Maputo, Moçambique,
Instituto Superior Pedagógico, 1993.
Respostas às perguntas: Como se conta nas diversas línguas faladas em Moçambique? Como
se desenvolveram os sistemas de numeração?
Quais são os principais sistemas de numeração
da África? Como fazem os falantes das diversas
línguas seus cálculos mentais? Como se pode
melhorar o processo de ensino-aprendizagem da
Aritmética nas escolas moçambicanas?
GERDES, P. Pitágoras Africano: Um estudo em cultura e
educação Matemática. Maputo/ Moçambique,
Instituto Superior Pedagógico, 1992.
O título deve-se à hipótese de Pitágoras, grego
de nascimento, ter passado 22 anos no Egito,
localizado no Continente Africano. O objetivo
do livro é mostrar diversos ornamentos e artefatos africanos que podem ser usados para criar
um contexto para a descoberta e demonstração
do “Teorema de Pitágoras” e de idéias e proposições com ele relacionadas.
GERDES, P. Geometria Sona: Reflexões sobre uma tradição de desenho em povos da África ao sul do
Equador. Volumes 1, 2 e 3. Maputo/ Moçambique, Instituto Superior Pedagógico, 1994.
Análise e reconstrução de elementos matemáticos na tradição de desenhos na areia do Tchokwe
e povos aparentados.
KNIJNIK, G. Exclusão e resistência: Educação matemática e legitimidade cultural. Porto Alegre, Artes Médicas, 1996.
Baseado na tese de doutoramento da autora, trata da interface dos saberes populares e dos saberes acadêmicos, especificamente na área da Matemática, e das relações de poder associadas ao saber. O trabalho de campo foi realizado junto ao MST,
num assentamento em Braga, RS. A lógica interna
BOLETIM – PGM 1
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
QUESTÃO
do conhecimento de origem popular é analisada e
os porquês de sua organização intelectual.
LÉVY, P. As tecnologias da inteligência: o futuro do
pensamento na era da informática. Rio de Janeiro, Ed. 34, 1993.
Através de comparações entre o computador e
o pensamento humano, o autor aponta semelhanças entre algumas de suas estruturas
MARTINS, M. L. A Lição da Samaúma, formação de
professores da floresta. Didática e educação
matemática: do saber à construção do conhecimento. Rio Branco, AC, Poronga Editoração e
Comunicação Ltda, 1994.
Narra o processo do Projeto Seringueiro, através do relato de um pedagogo que constrói conhecimento com trabalhadores da floresta,
monitores de saúde, em escolas não seriadas e
diferenciadas quanto às suas necessidades pedagógicas especiais.
NUNES, T. & BRYANT, P. Crianças fazendo Matemática. Porto Alegre, Artes Médicas, 1997.
Apresenta um arcabouço para organizarmos e
entendermos o crescimento do conhecimento
matemático das crianças e seu desenvolvimento, subdividindo-se em três temas gerais. O primeiro é que a compreensão que a criança tem
da Matemática muda constantemente nos primeiros anos da infância, de forma generativa. O
segundo é que o desenvolvimento do conhecimento e da compreensão matemática envolve
três aspectos. E o terceiro é que a Matemática
é uma atividade socialmente definida.
SEBASTIANI, E. F. Etnomatemática – uma proposta
metodológica. Rio de Janeiro, MEM/USU, 1997.
A Etnomatemática é abordada como um método educacional para ser trabalhado em Educação Matemática, apresentando relatórios sobre
pesquisas de campo e artigos do autor.
VERGANI, T. Educação Etnomatemática, O que é? Lisboa, Portugal, Pandora Edições, 2000.
Apanhado de idéias sobre este ramo do conhecimento, a Educação Etnomatemática, dando a
conhecer a todos que por ele manifestarem interesse pedagógico, científico, social e humano.
Trata-se de romper uma ordem do conhecimento instituída à margem da harmonia/alegria/
bem-estar sociocultural, cujas normas violenta-
12
GEOMETRIA EM
mente cegas e impositivas, tendem a esmagar
simultaneamente comunicação/solidariedade,
esperança humana.
ZASLAVSKY, C. Jogos e Atividades Matemáticas do
mundo inteiro – diversão multicultural para idades
de 8 a 12 anos. Porto Alegre, Artes Médicas, 2000.
Os jogos, quebra-cabeças e projetos deste livro
procedem de todas as partes do mundo. Os povos
que praticaram os jogos, resolveram as charadas e
criaram a arte são apresentados aos leitores através das atividades.
BOLETIM – PGM 1
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
QUESTÃO
ZASLAVSKY, C. Contagens da África: Número e
padronagens na cultura africana. Brooklyn, NY,
Mount Lawrence Press, 1973.
Descrições de sistemas de numeração, de Geometria na Arte, de Arquitetura, e de Matemática nos jogos. Revela uma Matemática altamente desenvolvida que existe sobre todo
o continente africano. Inclui estudos regionais da Nigéria e do Kenya. Muitas idéias
podem ser adaptadas para atividades em sala
de aula.
13
GEOMETRIA EM
QUESTÃO
GEOMETRIA
E CARTOGRAFIA
Os homens utilizam mapas desde a mais
remota Antigüidade, e provavelmente já o faziam em épocas pré-históricas. É possível que
alguns desenhos encontrados em cavernas e
com um significado desconhecido até agora
sejam croquis dos territórios onde eles viviam e caçavam. Uma grande variedade de materiais era utilizada para a confecção desses
mapas: madeira, pedra, peles de animal, ou
pequenas tábuas de argila cozida.
Vejamos o desenho abaixo de uma carta
náutica Polinésia:
Estas cartas eram construídas com gravetos atados por fibras de palmeira e conchas,
que representavam as ilhas. E os gravetos curvos representavam as correntes marinhas.
Apesar de ser um instrumento rústico, era muito
utilizado pelos navegadores para se orientarem
em suas navegações pelo Pacífico.
Os Incas, no Peru, faziam mapas em rele-
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
Janete Bolite Frant*
vo. Os astecas faziam mapas com aspecto
muito decorativo, que eram vistos mais pelo
seu valor histórico do que pelos próprios detalhes topográficos. A habilidade cartográfica
dos esquimós é bastante conhecida. Em seus
mapas se podia apreciar grandes deformações,
que eram resultado do conceito primitivo que
tinham de distância, que era cronométrico e não
geométrico. Isto é, a distância não era medida
pelo comprimento entre as duas cidades, mas
sim pelo tempo que se gastava para sair de uma
e chegar na outra.
O mapa, em qualquer cultura, tem como
objetivo representar pontos e acidentes da terra e a relação que se estabelece entre esses
pontos e acidentes e os homens. Hoje, os mapas são muitas vezes confeccionados por computadores, que captam as imagens de satélites.
E o que isto tem a ver com Geometria?
A Geometria não estuda o espaço e as
formas? As medidas, grandezas e propriedades? Pode, portanto, colaborar na confecção
de mapas. Afinal latitude e longitude, bem
como os fusos horários, são maneiras de representar o espaço que habitamos.
Sala de Aula e Contexto
Fazer o mapa da sala de aula parece ta-
* Consultora da série Geometria em questão.
BOLETIM – PGM 2
14
GEOMETRIA EM
refa simples, mas se quisermos utilizar esse
mapa para pintarmos as filas horizontais de
amarelo e as verticais de azul vamos ter que
desenhar este mapa com uma certa precisão.
É claro que não temos e nem queremos
um mapa do tamanho exato da sala, queremos
algo menor, mais portátil,. Quem sabe numa
folha de cartolina ou numa folha de papel A4.
Como fazer?
Vejamos os conteúdos envolvidos neste
projeto:
Primeiro passo: é preciso medir a sala.
Como fazer? Vamos usar a fita métrica? Vamos usar barbante de 20 cm?
Vamos usar o apagador? Palitos de fósforos?
Seja qual for o método escolhido, temos
que ter uma unidade padrão que pode ser o
metro, o barbante, o apagador, palitos de fósforo, pés, mãos etc. E aí podemos ter 2,5 m, o
que significa 2 fitas e mais uma metade desta
fita; ou 12 barbantes e mais a metade do barbante... E por aí vamos. É bem provável que a
medida não seja assim certinha, podemos ter
algo como 2,37 m. Vamos precisar criar e
entender os múltiplos e submúltiplos de uma
medida padrão.
Segundo passo, dar um jeito de representar essa medida maior no papel.
A proporcionalidade vai entrar em ação.
Terceiro passo: lembrar que agora todas as outras medidas da sala deverão
estar na mesma escala.
Até aqui temos 5 conteúdos que rapidamente geram outros tantos e que geram outros tantos...
BOLETIM – PGM 2
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QUESTÃO
A confecção de mapa é de fato uma atividade geométrica, que envolve outros contextos matemáticos, como números múltiplos, razão e proporção, divisão etc.
Vamos supor que, ao invés de confeccionar um mapa, a atividade seja achar coisas
num mapa, entender um mapa, calcular a distância entre cidades via mapa.
Aí começamos a entrar na Geografia,
pois veremos cidades, estados etc., ou seja,
a divisão política da Terra, e ao pensarmos em
política, isto vai nos levar a pensar também
na História, na Ética, e muito mais. E, como o
aluno deve escrever um relatório sobre a maneira utilizada para confeccionar o mapa, ou
como ler um mapa, ele vai trabalhar as diferenças da linguagem escrita e oral.
É dessa forma que vemos que a Geometria e a Cartografia devem ter um lugar de
destaque na aula de Matemática.
Entendemos que é importante que na escola se aprenda uma Geometria que ajude a
resolver os problemas do cotidiano, mas queremos muito que o professor proponha atividades que façam o aluno se interessar pela
Matemática como ciência e goste de fazer
“exercícios geométricos”. Assim, podemos ter
ao mesmo tempo uma atividade para trabalhar
as relações de área e de perímetro de um mapa,
e uma outra atividade com o Tangram.
A atividade com o Tangram estimulará
descobertas matemáticas que possivelmente são interessantes em si mesmas, e a atividade com mapas estimulará descobertas que
possivelmente terão aplicações imediatas. Os
dois tipos de atividade são extremamente
importantes e desejáveis.
15
GEOMETRIA EM
QUESTÃO
ÂNGULOS
UM ÂNGULO É MAIS DO QUE DUAS SEMI-RETAS DE MESMA ORIGEM
Ângulos: importância e contextos de uso
Dentre os vários conceitos geométricos,
o conceito de ângulo é um dos mais importantes e complexos. Sua importância, inconteste,
se dá pelo alto grau de conexões internas e externas. Você é capaz de imaginar um currículo
de Matemática sem o ensino de ângulos ?
Nem pensar. Poucos conceitos têm tantas
conexões internas ou externas como têm os ângulos. Considerando apenas suas conexões internas, ou seja, aquelas que relacionam tópicos
de um currículo da Matemática, ângulo se constitui num conceito chave para o estudo de figuras semelhantes, casos de congruência de triângulos, construção de polígonos regulares, relações métricas num triângulo, trigonometria,
geometria analítica, números complexos, geometria espacial e outros tópicos.
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
Antonio José Lopes*
Mesmo em temas de natureza aritmética
ou algébrica, como proporcionalidade e funções, os ângulos intervêm. A inclinação de uma
reta dá informações sobre a posição relativa
de duas retas, que pode ser decidida pela comparação de seus respectivos coeficientes angulares; a velocidade ou aceleração de um
objeto em movimento também pode ser determinada através da inclinação de uma reta,
ou de seu coeficiente angular. Usamos ângulos para a construção de representações relacionadas à estatística, à porcentagem e às
probabilidades, como mostra a figura ao lado.
Quanto às conexões externas, os ângulos
são alicerces fundamentais de áreas como
Astronomia, Geografia, Cartografia, Náutica,
Física, Biologia, Química e de outras menos
esperadas como Ergonomia, Arqueologia,
Arquitetura ou Artes.
Centenas de atividades profissionais utilizam ângulos para resolver problemas, como
no caso do marceneiro, do pedreiro e até daquele mecânico que faz o alinhamento das rodas dos carro.
Sistemas de alta tecnologia utilizam idéias angulares, dos controles remotos de aparatos eletrônicos caseiros aos radares em
aeroportos.
* Professor do Centro de Educação Matemática - CEM.
BOLETIM – PGM 3
16
GEOMETRIA EM
O conceito de ângulo: sua história e
idéias associadas
Não há registros confiáveis sobre o desenvolvimento do “conceito de ângulo”, entretanto, é possível fazer um ensaio a respeito das idéias primitivas associadas à noção
de ângulo.
O homem primitivo, que vagava à procura de alimento, se deu conta de que certos
caminhos pelas montanhas causavam mais
fadiga do que outros; assim a idéia de inclinação deve ter sido uma das primeiras a ser
intuídas. Caminhos ótimos acompanhando as
curvas de nível ainda hoje são utilizados na
moderna engenharia de construção de estradas. Não é necessário discorrer sobre o fato
de que há uma inclinação limite nas rampas,
ruas e estradas.
Outra idéia bem antiga é a do ângulo agudo. Sabemos isto analisando como são as
pontas das flechas de povos da idade da pedra, passando pela idade dos metais e chegando até nossos dias. A ponta aguda dá mais
direção, pela aerodinâmica, e penetra com
mais facilidade no animal a ser caçado.
Antropólogos que estudam sociedades
indígenas e tribais nos trazem outros indícios.
Quando a pesca é feita com uma flecha, a refração na água é considerada pelo pescador.
Para produzir fogo com eficácia, esfregando
dois gravetos, a posição ortogonal é a mais
eficaz.
BOLETIM – PGM 3
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QUESTÃO
Vemos, assim, que idéias como inclinação, ângulo agudo, refração, ortogonalidade
estão na origem do desenvolvimento da noção de ângulo.
Porém, as primeiras idéias sistematizadas a respeito de ângulos são bem mais recentes e são encontradas nos gregos, a partir
de Tales (séc. VI a.C.) e em Euclides (séc. III
a.C.).
Para Euclides “Ângulo plano é a inclinação de duas linhas, que se tocam em uma superfície plana. Quando as linhas são retas, o
ângulo é denominado de retilíneo.”
Modo complicado este de dar “vida” a
um conceito. Podemos observar que Euclides
está considerando duas classes de ângulos,
os retilíneos e os curvilíneos. O curioso disto
tudo é que os livros atuais não ignoram os
ângulos curvilíneos de Euclides, mas as crianças pequenas, de um modo geral, crêem que
formas, como a de um espinho, estão relacionadas a ângulos.
As primeiras concepções das crianças a
respeito de idéias geométricas são diferentes dos discursos formais dos livros de Matemática. Para as crianças “ângulos” estão
relacionados a coisas que picam, que têm ponta como um espinho.
Idéias associadas a ângulos
O conceito de ângulo está associado a
uma diversidade de idéias distintas, porém
solidárias, como inclinação, rotação, região,
abertura, orientação, direção, entre outras.
As práticas curriculares das últimas décadas privilegiaram um ensino centrado em
definições, uma classificação restrita e algumas fórmulas seguidas de exercícios modelo
e exercícios de aplicação. Tal abordagem esconde a riqueza do conceito, sua complexidade e a engenhosidade de seus usos.
Os vários aspectos do conceito de ân17
GEOMETRIA EM
gulo não podem ser engessados numa determinada definição. Veja-se, por exemplo, a idéia
de campo visual.
Tanto o ser humano como os animais dispõem de um campo visual. A noção de campo
visual está associada à idéia de ângulo como
região, contínua.
Uma definição clássica como, por exemplo, “ângulo é a reunião de duas semi-retas,
não colineares, de mesma origem”, que se
encontra em muitos livros, não dá conta da
idéia de ângulo como região. Uma definição
mais apropriada para conter esta idéia seria
“ângulo é a região comum de dois semiplanos
que se interceptam”. Alguns autores cercam
este problema, fazendo distinção entre ângulo e região angular.
Bem, mas que dizer de outra idéia associada a ângulo, a rotação ? Inúmeras são as
situações angulares relacionadas à idéia de
rotação. Qual seria a definição mais apropriada para cobrir estas situações ?
Eis aqui uma: “ Ângulo é a figura formada
por duas semi-retas com origem comum; pode
ser formada pela rotação que leva uma semireta sobre a outra. A medida desta rotação
dá a grandeza do ângulo”. (Herder Lexikon)
O que se pode aproveitar disto é que um
ensino significativo do conceito de ângulo não
pode ficar preso a uma definição particular, sob
pena de sonegar idéias e contextos importantes. Para se ter uma idéia da riqueza, da complexidade e da diversidade do conceito, o dicionário Aurélio apresenta 48 verbetes da palavra ângulo, relacionados a diversas situações,
contextos e áreas do conhecimento.
Atividades significativas e curiosidades
O trabalho em torno do conceito de ângulos deve privilegiar atividades e problemas
significativos:
Faça um levantamento de situações práBOLETIM – PGM 3
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
QUESTÃO
ticas que envolvam o conceito de ângulo.
Descreva algum objeto ou mecanismo em
que alguma das idéias de ângulo intervém.
Identifique as profissões que fazem uso
do conceito de ângulo.
Problematize:
Quantos seguranças são necessários
para controlar visualmente uma galeria em L?
Qual é o ângulo adequado para a produção de bandejas que se encaixam numa mesa
redonda?
Uma bandeja com o formato acima daria
conta do recado ?
Investigue:
Qual é o ângulo de visão de uma pessoa?
E de um coelho ?
Qual é a medida do ângulo cônico em que
um controle remoto pode funcionar ?
Qual é a inclinação ideal da mesa de trabalho de um desenhista ?
18
GEOMETRIA EM
Qual é o ângulo de rotação da maçaneta
de uma porta ?
Qual é a medida do giro que um automóvel faz quando tem que mudar da direção Norte
para a direção Nordeste ?
Há muitas possibilidades de trabalho com
os ângulos e suas idéias, sem ter que ficar
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
QUESTÃO
preso a atividades estanques e que mobilizam,
em geral, apenas habilidades algébricas ou
aritméticas, como no exemplo abaixo.
O que propomos é resgatar a riqueza estritamente geométrica do conceito de ângulo e
reservar-lhe o lugar que merece. Contribuindo,
assim, para despertar a curiosidade e o olhar
dos alunos, com o objetivo de desenvolver suas
capacidades de pôr as coisas em relação, fazer
conexões, problematizar e argumentar.
Ângulos famosos
BOLETIM – PGM 3
19
GEOMETRIA EM
Referências bibliográficas
bibliográficas:
Lopes, Antonio José. Matemática hoje é feita assim.
São Paulo, Editora FTD, 2000.
Lange, Jan de (e outros). Considerando todos los
ángulos. In: Las matemáticas en contexto - un
currículo coherente para los grados 5-8.
Universidad de Wisconsin-Madison. Encyclo-
BOLETIM – PGM 3
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
QUESTÃO
paedia Britannica Educational Corporation.
1993.
Lindquist, Mary Montgomery & Shulte, Albert P. (orgs.)
Aprendendo e Ensinando GEOMETRIA. Atual
Editora. 1994.
Gerdes, Paulus. Sobre o despertar do pensamento geométrico. Eduart/ UFPR, 1992.
20
GEOMETRIA EM
QUESTÃO
ÁREA,
PERÍMETRO E VOLUME
Como já foi comentado na Apresentação,
a palavra Geometria significa “medida de terra”; associa-se à prática de medição das terras, seja para partilha entre herdeiros, seja
para demarcar terras antes e depois das enchentes do Nilo, seja para outras atividades
deste tipo.
Heródoto, historiador do século V a.C.,
relata como foram divididas as terras para
tributação no Antigo Egito.
As antigas civilizações de beira-rio (Nilo,
Tigre, Eufrates, Ganges, Indo) desenvolveram
uma habilidade em engenharia na drenagem de
pântanos, na irrigação, na defesa contra inundação, na construção de templos e edifícios:
uma Geometria prática.
Vemos nessas atividades a necessidade
de descrever os contornos, para a demarcação dos lados de um terreno; a idéia de área,
para a tributação e para a divisão entre herdeiros; a idéia de volume, utilizada na irrigação e, ainda, a inter-relação de todos esses
conceitos, quando se trata da construção de
templos.
Hoje, continua sendo necessário “medir
a terra”, por motivos semelhantes aos dos
povos da Antigüidade: tributação, demarcação de terrenos, construções de galinheiros e
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
Rosana de Oliveira*
currais etc. E, além destas atividades do cotidiano, existem problemas matemáticos considerados passatempos, ou desafios, envolvendo a divisão de uma determinada figura em
outras menores que possuam a mesma área,
que envolvem o conhecimento de volumes e/
ou perímetros.
PCN e Sala de Aula
Os conceitos de área e perímetro são
tratados na escola superficialmente. Geralmente são trabalhados simultaneamente, o
que pode gerar confusão se forem abordados mecanicamente. Alguns livros didáticos
atuais apresentam atividades envolvendo
estes conceitos. Uma abordagem em consonância com os PCN explora essas noções
desde as séries iniciais. Caso isso não aconteça, o professor de 3o e 4o ciclos deve fazer
esse resgate. Adolescentes, assim como as
crianças, gostam de atividades lúdicas, nas
quais podemos usar barbantes, dobraduras,
colagens, palitos e canudos.
Explorar os conceitos de área e perímetro significa trabalhar com o conceito de medida. E medir é comparar. Se uma criança brinca de bola de gude, como medir a distância
entre o triângulo traçado no chão e a linha onde
se inicia o jogo? Essa distância pode ser medi-
* Professora de Matemática da Prefeitura do Rio de Janeiro, Prefeitura de Angra dos Reis, Presidente do GEPEM
(Grupo de Estudos e Pesquisas do Rio de Janeiro) e Mestre em Educação Matemática – USU/RJ.
BOLETIM – PGM 4
21
GEOMETRIA EM
da com passos. Uma costureira, ao medir o
tamanho que vai ser necessário para aumentar
ou diminuir uma saia, usa seu palmo. Na Antigüidade, o homem usava partes do corpo como
padrões de medida. Em muitas situações são
realizadas medidas nas quais não é utilizada
uma medida padrão. O que as pessoas estão
fazendo é comparar seu passo, ou seu palmo,
ao objeto ou distância que se deseja medir.
Na discussão dos conceitos de área e
perímetro, a escolha da unidade de medida é
fundamental, e também a distinção entre uma
medida linear (perímetro) e uma medida de
superfície (área). Ao medir o contorno da sala
de aula, usamos o metro; para medir a superfície (o chão) da sala, usamos o metro quadrado. O uso dessas unidades não pode reduzir-se a colocar ao lado do número que expressa a medida o sinal de m (metro) ou m2 (metro
ao quadrado).
Grande parte dos professores que atuam
em sala de aula define perímetro como “soma
da medida dos lados”. A partir desta definição,
qual seria o perímetro de uma circunferência
ou de uma curva qualquer? Perímetro é a medida do contorno de determinada figura, ou a
medida do contorno de um lago, de um pote,
de uma sala ou de um terreno. É necessário trabalhar com os alunos diferentes estratégias
para encontrar o perímetro de figuras diversas.
A definição usada por muitos professores se
refere ao perímetro de um polígono (uma linha
fechada formada por segmentos de retas) e se
restringe ao cálculo (soma) de valores.
Quanto ao conceito de área, ele se restringe
ao cálculo da área de um retângulo, em que mais
uma vez é dito que se deve “multiplicar a medida
dos lados”; no 4o ciclo, o ensino da área se estende para outros polígonos, mas o enfoque permanece em “como calcular”, ou seja, o uso de fórmulas é priorizado. Com essas definições, como
calcular a área do fundo de uma piscina circular?
Para construir com o aluno a diferença entre os conceitos de área e perímetro, uma atiBOLETIM – PGM 4
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QUESTÃO
vidade interessante é fazer uso de uma fita
métrica, jornal e cola. Propor aos alunos que
construam o metro quadrado, ou seja, um quadrado com um metro de lado. Utilizando esse
quadrado, eles poderão comparar com o chão
da sala, verificando quantos “daquele” metro
quadrado construído por eles cabem na sala.
Antes de fazerem a atividade, o professor deve
solicitar que digam quantos quadrados eles
“acham” que cabem. Esta é uma boa tarefa para
desenvolver a habilidade do aluno em estimar.
Esta atividade difere, em qualidade, de simplesmente tomarmos comprimento e largura e
multiplicarmos. No desenvolvimento desta atividade, outras questões importantes de serem
exploradas podem surgir, como o fato de não
ser possível caber um número inteiro de quadrados. O professor deve estimular o aluno a
criar estratégias para expressar a medida, de
forma mais próxima do real. Uma ação possível é “cortar o metro quadrado”; podem surgir
registros em forma de número decimal, de fração, de desenhos ou com palavras. O professor deverá discutir com seu aluno as diferentes respostas e negociar com eles qual (ou
quais) é (são) mais apropriada(as).
De posse de palitos ou canudos de mesmo tamanho, o professor pode propor aos seus
alunos que com 12 palitos construam figuras
fechadas. Ao fixar o número de palitos, todas
as figuras construídas terão o mesmo perímetro, porém não terão a mesma área. Imagine
que as figuras criadas sejam dois retângulos:
um que tenha como lados 4 palitos e 2 palitos,
e outro que tenha como lados 5 palitos e 1 palito. Teremos dois retângulos de perímetro 12
palitos, mas com áreas distintas.
22
GEOMETRIA EM
Deve-se incentivar o registro das diferentes
respostas em papel quadriculado, pois isso permitirá a visualização da área das figuras encontradas.
Um desdobramento dessa atividade é pedir
aos alunos que meçam um pedaço de barbante
de tamanho igual a 12 palitos alinhados. Com esse
pedaço de barbante, novos desafios e propostas
de investigações podem ser lançados. O barbante permite a construção de figuras não poligonais.
Mesmo nesses casos o perímetro é mantido,
modificando o valor das áreas das figuras. Devese estimular a busca por estratégias de determinação da área dessas novas figuras.
O Tangram é um quebra-cabeça chinês, formado por sete peças. O mais tradicional tem
como base um quadrado (2 triângulos grandes –
TG; 2 triângulos pequenos – TP; um triângulo
médio – TM; um quadrado- Q; um paralelogramo
- P) que permite formar dezenas de figuras com
todas as suas peças, sem sobreposição das mesmas. Com as sete peças formam-se animais,
objetos, figuras humanas e polígonos. Neste caso,
todas as figuras possuem a mesma área, mas perímetros diferentes. Além disso, existe uma relação de proporcionalidade entre as peças. Esse
quebra-cabeça permite trabalhar com diferentes
unidades de medidas. Se tomarmos o triângulo
pequeno como unidade de medida de área, teremos que o quadrado, o paralelogramo e o triângulo médio possuem área igual a dois triângulos
pequenos, portanto possuem a mesma área. O
triângulo grande possui área igual a quatro triângulos pequenos e o quadrado maior possui área
igual a 16 triângulos pequenos, a mesma área de
todas as figuras formadas pelas sete peças.
BOLETIM – PGM 4
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QUESTÃO
Uma inter-relação entre diversos conceitos estimula a criatividade e faz com que o
aluno se aproprie de diferentes formas de resolver determinada situação problema. O trabalho com área pode ser relacionado com os
conceitos de múltiplos e divisores. Tomandose 12 quadrados de mesmo tamanho e solicitando que construam todos os diferentes retângulos, teremos:
Observe que 1, 2, 3, 4, 6,12 são todos os
divisores de 12. Se o total de quadrado for
um número primo, será possível construir apenas um retângulo, pois os números primos
possuem apenas dois divisores.
Essas são algumas das atividades que
nos permitem explorar os conceitos de área e
perímetro com um caráter mais investigativo,
estimulando a habilidade de estimar, de criar
novos registros e de perceber as diferenças
entre eles. A escolha das atividades é um ponto importante no trabalho de sala de aula, mas
não se sustenta se o professor não proporcionar um espaço de respeito e troca efetiva entre ele e seus alunos.
Agora, temos uma atividade que despertará a discussão sobre volume.
O problema dos cilindros
Atividade 1:
Os alunos vão construir cilindros e descobrir a relação entre as dimensões do retângulo gerador e o par de cilindros gerados. Eles
vão ordenar os cilindros A e B pelo volume,
pela quantidade que podem armazenar, e tirar
23
GEOMETRIA EM
conclusões sobre a relação entre as dimensões do cilindro e sua capacidade de armazenamento. Material necessário: Folhas de papel A4, fita durex, régua, feijões.
Depois de registrar as respostas dos alunos, o professor deve pedir que coloquem o
cilindro B numa caixa com o cilindro A dentro
do B. Pedir que encham o cilindro A com feijões. A seguir, perguntar se alguém quer modificar sua resposta e explicação. Com cuidado, levantar o cilindro A para que os feijões
caiam no cilindro B. Agora, é possível ver que
B pode armazenar mais feijões que A. Perguntar para a turma: Será que podemos explicar
porque B armazena mais feijões que A?
Atividade 2:
Pegar uma folha de papel e juntar a parte
de cima com a parte de baixo para formar um
cilindro oco e sem tampas. As bordas devem
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QUESTÃO
estar bem juntas, sem buracos e sem passar
por cima uma da outra. Usar a fita durex para
fechá-las. Com uma outra folha do mesmo
tamanho, juntar a borda esquerda com a direita para construir um outro cilindro.
Colocar os dois cilindros de pé sobre a
mesa. Um vai ser mais alto que o outro – chamar de A o mais alto e de B o outro. Escrever
a letra em cada um para evitar confusões.
Perguntar para os alunos: Vocês acham
que cabe a mesma quantidade nos dois cilindros? Ou num vai caber mais que o outro?
Nesse caso, em qual cabe mais?
Olhando a folha de papel, qual sua forma?
(retângulo) E suas dimensões? (Usar a régua.)
Quais as dimensões do cilindro? A altura
é o comprimento do lado que vocês juntaram,
e a circunferência é o comprimento do outro
lado.
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GEOMETRIA EM
QUESTÃO
GEOMETRIA
E TECNOLOGIA
A Geometria teve em seu início o caráter
puramente utilitário. Seu nome mostra isso
pois “geo-metria” significa medição da Terra.
E com certeza esta atividade era realizada por
vários povos e não somente pelos gregos. Por
exemplo, o triângulo retângulo que, segundo
alguns historiadores, parece ter surgido com
Pitágoras, já era utilizado pelo menos no Egito, na África e na Babilônia.
Euclides, em 300 a.C, sistematiza a Geometria dedutiva iniciada por Tales em 600 a.C.
Isto quer dizer que a Geometria perde seu caráter unicamente utilitário e se transforma em
ciência. Tem uma teoria que a sustenta. E, como
qualquer teoria, pode ser apresentada como um
esquema axiomático (afirmações), no qual conseqüências são deduzidas de forma sistemática e lógica, a partir dessas afirmações. Desta
forma, as teorias estão sempre em movimento, isto é, criam-se variações diferentes para
as afirmações e portanto novas conseqüências
aparecem. Na escola, é a Geometria Euclidiana
que ensinamos, embora outras geometrias tenham surgido.
Este jogo de demonstrações, quando figurava no currículo escolar, era apresentado
ao aluno como mais uma coisa a ser decorada
e não uma forma de explicar a teoria. Desta
1
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Janete Bolite Frant 1
forma, as demonstrações sumiram das salas
e dos livros didáticos.
A Educação Matemática, no Brasil a partir dos anos 80, trouxe uma forte crítica à ausência de Geometria nas aulas de Matemática em todos os níveis e à formação do círculo
vicioso, no qual os estudantes não estudam
Geometria no ensino básico, depois não vêem
o suficiente nos cursos que formam professores de Matemática e portanto não se interessam por ensinar Geometria depois. No bojo
desse movimento têm sido feitas diversas
propostas para o ensino de Geometria, com
ênfase na manipulação de materiais concretos, construção de “poliedros” e na pavimentação de novos caminhos para o ensino de
formas de demonstrar.
A partir dos anos 90, os microcomputadores ajudam os pesquisadores a pensar nesses novos caminhos. Hoje, o computador já
está na escola. Parece uma afirmativa apressada, mas seja por influência de programas
governamentais, seja pela iniciativa de algum
professor ou mesmo pela curiosidade dos alunos, os computadores já estão sendo utilizados em muitas salas de aula.
O computador trouxe para a sala de aula
de Geometria a oportunidade de manusear
CEDERJ-SECT / FAFIC. Consultora da série Geometria em questão.
BOLETIM – PGM 5
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GEOMETRIA EM
objetos geométricos. Não se trata de jogar
fora lápis, papel, régua e compasso, mas de
ter um outro ambiente de aprendizagem, que
favorece o desenvolvimento de outros raciocínios.
PCN e Sala de Aula
Os PCN apontam que dois blocos devem ser privilegiados no ensino da Geometria escolar: Espaço e Forma, e Grandezas e
Medidas. Apontam, ainda, a introdução da
tecnologia na sala de aula.
Acreditamos que a utilização de computadores e calculadoras gráficas oferece a alunos e professores a oportunidade de trabalhar de uma forma dinâmica a Geometria, tão
dinâmica que permite que novos problemas
sejam formulados. Veremos que além dos
aplicativos de Geometria existem outros
como o Logo, que podem ser utilizados na
sala de aula.
O que faz o tal programa de Geometria
dinâmica? Existem alguns software no mercado, o mais famoso talvez seja o Cabri2 , mas
existe ainda em português o Sketchpad e o
Geometriks3 . Eles permitem a manipulação de
objetos geométricos. Esta manipulação trouxe os verbos “mexer” e “arrastar” para o ensino de Geometria.
Um exemplo é o da circunferência. A figura 1a, mostra uma circunferência que foi
gerada a partir de dois pontos. Na figura 1b,
é mostrada a mesma circunferência, após ter
sido “arrastada” de uma das inúmeras formas
possíveis, (no caso “arrastou-se” o ponto B,
distanciando-o do ponto A, fazendo com que
o raio da circunferência aumentasse).
2
Encontrado na PUC-SP, PROEM.
3
Encontrado na UNESP - Rio Claro.
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QUESTÃO
O arrastamento trouxe novas demandas,
sugerindo que a introdução das mídias informáticas transformam o ensino de Geometria, ao invés de simplesmente melhorá-lo ou
piorá-lo (Borba, 1999, Penteado & Borba,
2000). Construções que tinham um certo formato no papel assumem nova dimensão
quando uma nova mídia é trazida para o ensino, assim como abrem novas possibilidades de que, ao experimentar, os alunos criem
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GEOMETRIA EM
novas conjeturas sobre propriedades geométricas.
Existe ainda, o Logo, que pode ser encontrado gratuitamente na página do NIEDUnicamp com o nome de Slogo.
O Logo que permite que alunos programem é um outro ambiente favorável à aprendizagem da Matemática. O aluno – ao programar o computador para fazer, por exemplo, um quadrado – deve pensar nas propriedades intrínsecas dessa figura.
Aprenda Quadrado
Frente 40
Direita 90
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QUESTÃO
Frente 40
Direita 90
Frente 40
Direita 90
Frente 40
Fim
A partir daí, pode-se verificar o que se
repete, por que se repete, e estudar as propriedades dessa figura.
Pode-se ainda, utilizar uma variável para
exprimir o tamanho do lado.
E ao usar uma variável para exprimir o
ângulo de giro do cursor utilizado na programação (tartaruga) algumas surpresas acontecem. Experimente você também.
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Presidente da República
Fernando Henrique Cardoso
Ministro da Educação
Paulo Renato Souza
Secretário de Educação a Distância
Pedro Paulo Poppovic
MEC
Secretaria de Educação a Distância
Programa TV Escola – Salto para o Futuro
Diretora de Planejamento e
Desenvolvimento de Projetos
Carmen Moreira de Castro Neves
Coordenadora-Geral de
Planejamento e Desenvolvimento de
Educação a Distância
Tânia Maria Magalhães Castro
Diretor de Produção e Divulgação
de Programas Educativos
Antonio Augusto Silva
Coordenadora-Geral de Material
Didático-Pedagógico
Vera Maria Arantes
Associação de Comunicação Educativa Roquette-Pinto - ACERP
Supervisora Pedagógica
Rosa Helena Mendonça
Consultoria Pedagógica
Janete Bolite Frant
Coordenadoras de Utilização
e Avaliação
Mônica Mufarrej e
Leila Atta Abrahão
Copidesque e Revisão
Magda Frediani Martins
Programadora Visual
Norma Massa
e.mail: [email protected]
Maio de 2001
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