DESCOBRINDO O TEOREMA DE PITÁGORAS: UMA
INVESTIGAÇÃO COM ALUNOS DO ENSINO FUNDAMENTAL
Renata Urruth Rosa, PUCRS e Helena Noronha Cury, PUCRS
Neste trabalho, é apresentado um relato de parte de uma investigação sobre a aprendizagem de
conceitos geométricos por alunos de Ensino Fundamental, a partir de suas produções em ambiente
de Geometria Dinâmica, com uso do software Cabri-GéomètreII. A atividade proposta envolveu o
teorema de Pitágoras e os estudantes realizaram todos os passos da construção de quadrados
sobre os lados de um triângulo retângulo. Por meio dos questionamentos feitos pelas
pesquisadoras, foi possível acompanhar as conclusões dos estudantes, que chegaram, no final, à
fórmula que traduz o teorema. Consideramos que a apresentação de roteiros, em que os alunos não
apenas utilizem uma seqüência de comandos do programa, mas que se envolvam na construção e
consigam deduzir as conclusões, é uma maneira de levá-los a compreender o teorema e,
posteriormente, empregá-lo em problemas de Geometria ou de outras áreas.
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO DE GEOMETRIA
O ensino de Geometria, no Brasil, vem sendo criticado há muitos anos, argumentando-se que os
conteúdos são apresentados somente no final do ano letivo, que são indicadas apenas fórmulas para
cálculos de perímetros e áreas, que os teoremas são simplesmente utilizados como ferramentas para
solução de problemas. Pavanello (1993), ao abordar o abandono do ensino de Geometria no Brasil,
faz um levantamento detalhado das suas condições no século XX e refere-se à reforma Francisco
Campos, na década de 30, que estabeleceu programas para as diversas disciplinas e procurou-se
unificar as matemáticas, de forma a ter um único professor responsável. Para o ensino de
Geometria, havia a recomendação de que fosse iniciado com idéias intuitivas e só depois se fizesse
a formalização
No II Congresso Nacional de Ensino de Matemática, realizado em 1957, o professor Ubiratan
D´Ambrósio criticava os programas de Matemática então vigentes, propondo uma redistribuição de
conteúdos de forma que a Geometria não fosse trabalhada de forma isolada e que fossem feitos
apelos à história da Matemática. (D´Ambrósio, 1959).
Com a introdução da Matemática Moderna, os professores, tomados de surpresa e despreparados
para as mudanças, não conseguiam trabalhar a Geometria sob o enfoque das transformações. Assim,
aos poucos essa área da Matemática foi sendo abandonada ou apenas ensinada no antigo curso
secundário.
Neste panorama, diluída a influência da Matemática Moderna, novas diretrizes foram apresentadas
aos professores, novamente sem que houvesse uma preparação para a implantação das mudanças, a
saber, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), para o Ensino Fundamental e Médio. Nos
PCNs do Ensino Fundamental (Ministério da Educação, 1998), encontramos os conteúdos
organizados em blocos e, naqueles relacionados com espaço e forma e com grandezas e medidas,
são apontadas a importância de fazer construções com régua e compasso, de localizar figuras e
deslocamentos no plano, de estudar sistemas de coordenadas, de trabalhar as transformações
geométricas e de explorar as noções de grandezas e medidas que auxiliem a compreensão dos
conceitos relativos ao espaço e às formas. Ao apresentar as orientações didáticas para o terceiro e
quarto ciclos do Ensino Fundamental, nos PCNs é considerada indispensável a capacidade de
pensar geometricamente, mas há um alerta: “No entanto, a Geometria tem tido pouco destaque nas
aulas de Matemática e, muitas vezes, confunde-se seu ensino com o das medidas. Em que pese seu
abandono, ela desempenha um papel fundamental no currículo [...]”. (p. 122).
As experiências das autoras, uma como professora da Educação Básica e a outra, como professora
de cursos de formação inicial e continuada, têm mostrado que muitos professores procuram,
efetivamente, deixar o ensino de Geometria para o final do ano letivo, como se tal conteúdo fosse
menos importante, ou como se a falta de tempo para esse trabalho não viesse a ser um grande
problema.
Segundo Câmara dos Santos (2001), o ensino da Geometria apresenta dificuldades particulares,
especialmente pelo fato de que se localiza na fronteira entre o sensível e o inteligível. A separação
entre o que é abstrato e o que é concreto muitas vezes traz sutilezas que, por muitos motivos, o
aluno não consegue perceber, como por exemplo, a falta de maturidade para trabalhar no campo das
abstrações; o fato de que há conceitos básicos de Geometria ainda não compreendidos; dificuldade
para destacar, nos desenhos, elementos importantes para a resolução de um determinado exercício,
entre outros. Nesses momentos, o professor coloca-se como um elo de ligação na fronteira entre o
sensível e o inteligível, auxiliando os educandos a compreenderem o mundo em que vivem. Para
isso, pode dispor de recursos que enriqueçam esse processo de construção de conhecimentos e de
compreensão desses mundos, como por exemplo, o uso de tecnologia computacional.
Ao trabalharmos com Geometria em um ambiente computacional, podemos empregar softwares de
Geometria Dinâmica, tais como Cinderella, Tabulae, Geometer's Sketchpad, Régua e Compasso,
Cabri-Géométre II. Programas desse tipo permitem a construção de objetos a partir das
propriedades geométricas que os definem: “Através de deslocamentos aplicados aos elementos que
compõem o desenho, este se transforma, mantendo as relações geométricas que caracterizam a
situação.” (Gravina, 1996, p. 6). Uma das contribuições desses softwares é que “Eles podem
oferecer novas representações de objetos geométricos que, de alguma forma, ‘concretizam’ a figura
formal.” (Guimarães, Belfort e Bellemain, 2003, p. 6). Isso permite ao aluno explorar e validar as
propriedades geométricas de uma figura, a partir uma multiplicidade de representações.
RELATO DE UMA PESQUISA COM ALUNOS DE 8ª SÉRIE
Com o objetivo de avaliar a aprendizagem de conceitos geométricos de alunos das séries finais do
Ensino Fundamental, a partir de suas produções, em atividades desenvolvidas em ambiente de
Geometria Dinâmica, foi desenvolvida uma pesquisa que envolveu estudantes de 7ª e 8ª séries de
uma escola particular da cidade de Porto Alegre, RS. Foram propostas atividades a serem
desenvolvidas no laboratório de informática e os estudantes, ao seguir o roteiro, deviam responder a
uma seqüência de questionamentos. Suas produções, salvas em arquivos, e as folhas de respostas
aos questionamentos foram os elementos que permitiram identificar as estratégias utilizadas. Além
disso, ainda foram entrevistadas as professoras das turmas, para investigar sua opinião sobre a
contribuição do trabalho em ambientes de geometria dinâmica na aprendizagem de conceitos de
geometria.
Neste trabalho, apresentamos apenas um recorte da investigação, relatando uma das atividades
propostas para 63 alunos da 8ª série, intitulada “Descobrindo o teorema de Pitágoras”. O roteiro da
tarefa constava de uma introdução e 22 itens, alguns sendo apenas orientações para as construções e
outros, questionamentos que os estudantes deviam responder por escrito. Os alunos, que já haviam
realizado várias atividades com o Cabri, foram solicitados a abrir um arquivo em branco, traçar uma
reta r, marcar sobre ela um ponto O, em seguida um ponto A, que não estivesse sobre os outros já
existentes.
A seguir, deviam construir uma circunferência com centro em O, passando pelo ponto A. Após,
deviam chamar de B o ponto de intersecção da circunferência com a reta r. Realizada a primeira
parte da tarefa, os alunos deviam criar um arco sobre a circunferência, para isso selecionando a
opção arco e marcando, sobre a circunferência, o ponto C um pouco acima do ponto B. Em
seguida, deviam marcar o ponto D, também sobre a circunferência, em qualquer lugar entre os
pontos A e B e, por fim, o ponto E, sobre a circunferência, um pouco acima do ponto A.
Muitos alunos encontraram dificuldade para construir os arcos, porque insistiam em marcar apenas
dois pontos, inicial e final, para determinar o objeto, esquecendo-se do ponto que deveria ser
marcado entre os outros dois citados.
Vários estudantes, após marcarem o ponto C, disseram que não estavam conseguindo construir o
arco e recomeçaram repetidas vezes o procedimento. Isso ocorreu porque, ao criarem o ponto inicial
do arco sobre a circunferência e arrastarem o mouse para construírem o ponto D, a linha que definia
o arco não se mantinha sobre a circunferência. Quando os alunos solicitavam auxílio para resolver o
problema, eram orientados a marcar o ponto D, mesmo que o arco não se mantivesse sobre a
circunferência e, em seguida, determinar o ponto E, observando o que ocorria. Logo eles percebiam
que, ao marcarem o ponto D e em seguida o E, automaticamente, o arco se ajustava sobre a
circunferência.
A seguir, os alunos foram solicitados a marcar o vértice F, que seria um ponto sobre o arco em
qualquer lugar entre os pontos B e A desde que não fosse sobre algum dos pontos marcados
anteriormente, criando então o triângulo BFA.
Neste momento da construção, alguns alunos, em vez de marcarem o vértice F sobre o arco,
conforme solicitado, marcaram-no sobre a circunferência, mas este fato não os impediu de
encontrar, ao final, os valores que confirmavam a fórmula do teorema de Pitágoras.
Explicávamos, então, no roteiro, que um triângulo inscrito em uma semi-circunferência é retângulo
e nomeávamos os seus lados, apresentando a figura a seguir:
Figura 1 – Triângulo retângulo
Em seguida, solicitávamos aos alunos que construíssem um quadrado sobre cada um dos três lados
do triângulo retângulo BFA, escondendo objetos que não precisávamos para a construção e
explicando, detalhadamente, os passos para obter os quadrados.
Após, deviam construir duas retas perpendiculares ao cateto BF, uma passando por B (reta s) e
outra passando por F (reta t).
Escolhendo o botão distância e comprimento e clicando sobre os vértices B e F, os alunos
descobriam a distância entre eles e, conseqüentemente, a medida do lado do quadrado, podendo
transferi-la, a partir de B até atingir um ponto P.
O próximo passo indicava a construção de uma circunferência com centro em B, passando por P.
Em seguida, os alunos deviam marcar o ponto H na intersecção da circunferência com a reta s,
construir uma reta u perpendicular à reta s, passando pelo ponto H e marcar o ponto J na
intersecção das retas u e t. Ao observar o quadrado BHJF já determinado na tela, os estudantes
deveriam esconder alguns objetos e finalizar a construção do quadrado, selecionando a opção
polígono e clicando sobre os pontos B, H, J, F e B nessa ordem.
Repetindo os procedimentos, os alunos deviam obter novos quadrados, FLMA, sobre o cateto FA e
BANQ, sobre a hipotenusa BA.
O próximo passo solicitava a movimentação dos vértices F e A e a conclusão sobre o que viam. As
soluções apresentadas pelos alunos participantes foram agrupadas em categorias, por semelhança.
Onze estudantes escreveram sobre o movimento sofrido pela construção de uma maneira geral, ou
seja, não especificaram, conforme solicitado, o que acontecia com os objetos ao se movimentar os
vértices A e F. As respostas ressaltam o fato de os quadrados aumentarem ou diminuírem de
tamanho conforme a movimentação imposta à construção.
Cinco participantes escreveram sobre as modificações ocorridas com a construção em função da
movimentação do vértice A ou do vértice F, como, por exemplo: “Movimentando o ponto A a
estrutura diminui/aumenta”.
Outros dez alunos citaram as modificações ocorridas com a construção durante a movimentação de
ambos os vértices, como, por exemplo, “Quando mexe o F os quadrados JHBF e FLMA se
movimentam e quando movimenta a vértice A os quadrados e o triângulo aumentam ou diminuem
de tamanho”.
Dezessete estudantes não especificaram o tipo de movimento sofrido pela construção quando
movimentavam um ou outro vértice, mas enfatizaram o fato de os quadrados não perderem suas
características geométricas durante o movimento. Um exemplo de resposta para esse caso é:
“Quando movimentamos, os quadrados continuam iguais, apenas modificam os tamanhos e não se
deformam”.
Um dos participantes escreveu que a construção sofria modificações, mudando a forma original dos
quadrados. Por fim, temos 19 estudantes que não responderam as questões do roteiro por não
concluírem a construção no tempo previsto para realização da atividade.
No próximo passo, era solicitada a determinação da área de cada quadrado e, em seguida, a seleção
da opção calculadora, de modo que os alunos pudessem somar os valores encontrados para as áreas
dos quadrados construídos sobre os catetos e comparar a soma com a área do quadrado construído
sobre a hipotenusa.
As respostas dadas para este item também foram agrupadas por semelhança. Na primeira categoria,
estão as respostas de quatro alunos que, além de apresentarem o valor obtido, disseram que ele
representava a soma das áreas dos quadrados FLMA e BHJF. De certa forma, essas respostas foram
redundantes, visto que o procedimento solicitado foi justamente o de somar as áreas dos dois
quadrados dos catetos.
Já na segunda categoria estão 28 respostas expressando que o valor obtido com a soma das áreas
dos quadrados FLMA e BHJF representava a medida da área do quadrado BANQ, como por
exemplo: “41,00 cm2. A soma da área dos dois quadrados dá a área do quadrado da hipotenusa (que
está ligada a hipotenusa)”.
Dois estudantes argumentaram incorretamente, ao explicar o que representava a soma das áreas dos
quadrados, como por exemplo: “Obtive 14,92 cm2 que é a medida do triângulo maior” e “69,00 cm2
representa a área total de todos os quadrados”.
Quatro alunos não responderam, além daqueles que não concluíram a atividade por falta de tempo.
A seguir, solicitávamos que o aluno movimentasse o vértice F para outra posição da tela, limpasse a
calculadora e repetisse os cálculos e a comparação. Neste item, 32 estudantes afirmaram que o
resultado se mantinha, ou seja, que a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos
continuava resultando na medida da área do quadrado BANQ.
As respostas de nove estudantes não expressaram o que aconteceu ao somarem novamente as áreas
dos quadrados FLMA e BHJF, após a movimentação do vértice F, como por exemplo: “48,05. Um
quadrado aumenta enquanto o outro diminui proporcionalmente”. Três alunos não responderam ao
item.
No próximo passo, solicitávamos a movimentação do vértice A e a repetição das medidas e
cálculos, questionando o aluno sobre o que acontecia. Em uma primeira categoria, foram agrupadas
as 23 respostas que expressavam que o triângulo ABF e os três quadrados tiveram suas medidas
alteradas após a movimentação do vértice A, causando modificações nos valores das áreas das
respectivas figuras. Como exemplo, temos: “Desta vez os quadrados não iam para o lado eles
apenas aumentavam e diminuíam”.
Já 15 estudantes expressaram que, apesar de os valores das áreas dos quadrados construídos sobre
os catetos sofrerem modificações, aumentando ou diminuindo, a soma permanece representando a
área do quadrado construído sobre a hipotenusa.
Um dos 63 participantes restringiu-se a comentar sobre o movimento sofrido pela construção, sem
fazer referência quanto aos valores das áreas dos quadrados: “Os quadrados apenas modificaram de
lugar”.
Propusemos, então o seguinte questionamento: “Após realizares sucessivos movimentos e repetir os
procedimentos para somar os valores das áreas dos quadrados que estão sobre os catetos do
triângulo retângulo BFA, o que tu pudeste concluir?”
Neste momento da atividade, os alunos já demonstravam terem compreendido as idéias subjacentes
ao teorema de Pitágoras. Mesmo aqueles que não conseguiram escrever, por falta de tempo,
expressaram verbalmente a conclusão. Continuando ainda no mesmo item, concluíamos o texto,
chamando de “a” a medida da hipotenusa do triângulo retângulo e perguntando qual era a área do
quadrado construído sobre ela. Finalmente, chamando de “b” e “c” as medidas dos catetos,
perguntávamos quais eram as áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
Trinta e dois estudantes escreveram “a2” e “b2 e c2”, respectivamente, como respostas. Sendo a
atividade bastante longa, alguns alunos não conseguiram concluir a parte escrita, mas a observação
das telas dos computadores nos quais eles trabalhavam, a análise dos arquivos salvos e as respostas
orais mostraram que a maior parte da turma conseguiu compreender o teorema de Pitágoras. Além
disso, as respostas dadas posteriormente, em sala de aula, aos exercícios de aplicação, evidenciaram
que os alunos tinham, efetivamente, chegado à fórmula que caracteriza, algebricamente, o teorema.
CONCLUSÕES
Ao trabalhar no laboratório de informática com os alunos de 8ª série participantes desta pesquisa,
constatamos algumas das vantagens do uso de softwares de Geometria Dinâmica, se compararmos
com as aulas tradicionais. Além da descoberta do teorema, os estudantes puderam revisar vários
conceitos geométricos, tais como paralelismo, perpendicularismo e ponto de intersecção, na medida
em que necessitavam desses elementos para as suas construções. Também puderam modificar,
tantas vezes quanto necessário, o tamanho das figuras e comprovaram, imediatamente, que o
teorema de Pitágoras continuava válido.
Buquet et al. (1997) comentam o fato de que o trabalho com Geometria em salas de aula
tradicionais exige muito mais tempo para que os alunos consigam chegar aos mesmos resultados
que são obtidos em uma hora no laboratório de informática, com o software Cabri.
Bastian e Ag Almouloud (2003) também aplicaram seqüências de atividades a alunos de 8ª série,
com uso de materiais manipulativos, para descobrir o teorema de Pitágoras. Mesmo não
empregando recursos computacionais, os autores concluíram que os alunos conseguiram entender o
teorema, não apenas “como uma simples fórmula a memorizar, mas sim como ferramenta utilizável
na resolução de inúmeros problemas de Geometria.” (p. 45).
Assim, acreditamos que é necessário buscar novas maneiras de dar significado à Geometria, haja
vista sua importância para a aprendizagem de Matemática, em qualquer nível de ensino.
Concordamos com Borba e Penteado (2002), que consideram ser o uso de recursos tecnológicos
“um caminho novo para a grande maioria dos professores e, como outras inovações educacionais,
requer mudanças [...]” (p. 247).
Já mencionamos as sugestões dos PCNs para o ensino de Geometria e julgamos que atividades
como a relatada neste texto podem auxiliar os professores a retomar a Geometria como um dos
pilares fundamentais do ensino de Matemática.
Referências
Bastian, I. V., Ag Almouloud, S. (2003). O teorema de Pitágoras: uma abordagem enfatizando o
caráter necessário/suficiente. Educação Matemática em Revista, 14 (10), 45-53.
Borba, M. C., Penteado, M. G. (2002). Pesquisas em informática e educação matemática. Educação
em Revista, 36, 239-253.
Buquet, A. et al. (1997). The Cabri-Geometre in different levels. In: M. C. Borba et al., The role of
technology in the mathematics classroom, 61-65. Rio Claro, UNESP.
Câmara dos Santos, M. (2001). O Cabri-Géomètre e o desenvolvimento do pensamento geométrico:
o caso dos quadriláteros. In: Anais do 7º Encontro Nacional de Educação Matemática. Rio de
Janeiro, SBEM.
D´Ambrósio, U. (1959). Considerações sobre o ensino atual da Matemática. In: Anais do 2º
Congresso Nacional de Ensino da Matemática, 373-378. Porto Alegre, UFRGS.
Gravina, M. A. (1996). Geometria dinâmica uma nova abordagem para o aprendizado da geometria.
In: Anais do 7º Simpósio Brasileiro de Informática na Educação. Belo Horizonte, SBC.
Guimarães, L. C., Belfort, E., & Bellemain, F. (2003). Geometria: Uma volta ao futuro via
tecnologia? In: Anais do 2º Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática. São
Paulo, SBEM.
Ministério da Educação (1998). Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares
nacionais: matemática. Brasília, MEC.
Pavanello, R. M. (1993). O abandono do ensino da geometria no Brasil: causa e conseqüências.
Zetetiké, 1 (1), 7-17.