Prelúdio ao Maple
1. Objetivos para este Módulo
Este livro trata sobre o uso do Maple para aprofundar suas habilidades matemáticas. Cada capítulo
mostra como usar uma grande variedade de comandos do Maple, seguindo a temática de cada
capítulo. Antes de começar a usar o Maple nestes tópicos, é necessário compreender algo sobre seu
uso. Este é o objetivo desta introdução.
O Maple, como a matemática, é uma grande garantia. A melhor maneira de encarar um grande
projeto deste tipo é iniciá-lo pequeno e fazer um pouco mais a cada dia. Desta forma, avançará
gradualmente. O processo se iniciará dando aqui uma introdução ao Maple. Este não pretende ser,
definitivamente, um tutorial completo, mas sim uma iniciação. O livro inteiro é o tutorial! Quando
este for completado, o leitor estará capacitado a aplicar a matemática numa ampla área de tópicos
de trigonometria e terá a habilidade de verificar resultados de seus cálculos.
Os objetivos específicos desta sessão estão listados abaixo.
1. Aprenda o objetivo de um sistema algébrico de computador, como o Maple.
2. Saiba como usar comandos do Maple.
3. Saiba como eliminar alguns erros comuns no uso de comandos.
4. Confirme seu conhecimento realizando testes.
2. Como é o Maple?
O Maple é um tipo de super calculadora chamada de Sistema Algébrico de Computação. Caso esteja
usando um computador com o uso interface gráfica, como o Macintosh, Windows ou um Xterminal, estará usando a interface da área de trabalho do Maple. A área de trabalho proporciona
uma aproximação integrada ao ambiente, na qual é possível fazer operações matemáticas, utilizar
uma palavra simples como processador para explicar seus cálculos e incluir os gráfico do Maple,
como também, construir fórmulas, equações e outras estruturas matemáticas para usar mais tarde. É
claro que se pode fazer estritamente cálculos matemáticos também. Este pode apresentar-se um
pouco mais complicado que em sua calculadora de bolso, porém existem algumas vantagens. É
possível computar um número decimal grande que em sua calculadora de bolso não é possível, e
também salvar seus resultados em disquete ou até imprimi-los como parte de um trabalho escrito.
Esta habilidade para construir seus resultados e usá-los novamente depois, talvez com modificações,
é uma grande vantagem uma vez que se aprende como é feito. Mais importantes são as técnicas para
verificar se seus resultados estão corretos. Este passo indispenssável não é tão fácil em sua
calculadora quanto é no Maple.
Os sistemas de álgebra no computador são importantes ferramentas para fazer matemática. Estes
podem lhe ajudar a usar matemática com confiança. O passo mais importante em qualquer
problema é verificar a resposta. Sua resposta realmente satisfaz o problema que começou a
resolver? Usando o Maple, é fácil substituir a solução na equação original e verificar se tudo está
correto, em vez de fazer tudo à mão; mesmo usando uma calculadora, algumas vezes requer tanta
manipulação que a probabilidade de um deslize se torna muito alta. Existe uma tendência a se dizer,
"Ah, bem, eu devo ter conseguido a resposta correta, por isso vou continuar". Por outro lado, depois
de sair da escola, haverá várias pessoas lendo esta resposta. Você com certeza vai querer que sua
resposta esteja correta. Isto significa que vai querer usar ferramentas computacionais que lhe
permitam gravar seu trabalho e verificar suas conclusões.
A Matemática vem sendo continuamente desenvolvida há mais ou menos 2 500 anos. Mesmo
assim, pode-se usar o Maple efetivamente uma vez que se aprendeu apenas alguns comandos. Este
livro tende a mantê-lo em desenvolvimento. Alguns exemplos que seguiram neste livro e pode usar
a própria função de ajuda do Maple para proceder o sistema de capabilidade. Muitas pessoas
começam pela seção de gráficos, especialmente o gráfico tridimensional e pacotes de animação. O
melhor conselho é - vá em frente e aproveite!
3. Prelúdio: Antes de começar com o Maple
Você está familiarizado com a calculadora de bolso e também deve estar familiarizado com a
linguagem de programação como a do PASCAL, C ou C++. Todos estes utilizam aproximações
para números reais. Geralmente, o resultado destas máquinas numéricas é de 10 ou 12 figuras
significantes. Por exemplo, a diferença,
> 1234567890123456789-1234567890123456788
____zero em minha calculadora, mesmo que a resposta clara seja 1, como se pode ver por examinar
os dois números. Isto ocorre porque todas as computações nestas calculadoras são apenas
aproximadas. A maioria das calculadoras rejeitará números de 19 dígitos e outras, que tentam
simplificar ainda mais, eliminam tudo o que vier depois do 12º dígito ou similar.
Ao contrário, o Maple foi elaborado para tratar números como Exatos . Isto pode causar aos
iniciantes alguma confusão, aos quais pode parecer que o Maple não está elaborando uma resposta.
Tome, por exemplo, aparentemente fácil de solucionar, 1/3. Digitando-o no Maple como segue,
> 1/3;
1
3
verá que obterá o mesmo, apenas de forma mais agradável como uma fração, da maneira como seria
visto em um texto. Caso se ponha a pensar um pouco a respeito, verá que um terço é a resposta
exata, enquanto 0.33333333 é aproximado, pois, na verdade, na décima representação de um terço,
os 3s continuam infinitamente.
4. Algumas Perguntas Freqüentes
1. O Maple é maravilhoso na Álgebra, Mas como se trabalha com números decimais? Uma
pergunta que surge freqüentemente é "Como se consegue o equivalente decimal de um número que
o Maple especificou exatamente, como 1/3 ou sin(30)?" Há uma forma! De fato, existem várias
formas, e você as aprenderá neste livro. Isto significa que é possível usar o Maple como uma
calculadora mas também fazer manipulações simbólicas. Não interprete que o Maple tenta escrever
os resultados como fração ao invés de decimais. É fácil converter qualquer número do Maple para
uma forma decimal. Serão dados vários exemplos neste texto.
2. Como são usados os comandos do Maple? Maple é um pacote integrado. Pode usá-lo como um
simples processador de textos assim como uma calculadora. Para tanto, a próxima pergunta que
deve ser respondida é, "Como dizer ao Maple que compute algo?" Primeiro, certifique-se de que
está no modo input do Maple, ou seja, verá o símbolo (>) do Maple no inicio da linha, depois
digitará da forma que deseje, e se lembrará de inserir ponto e vírgula (;) ao final. O ponto e vírgula
informa ao Maple que deve trabalhar no que foi digitado. Caso não coloque o ponto e vírgula, o
Maple não fará nada! esperará até que seja digitado o ponto e vírgula antes de trabalhar sobre o que
foi digitado. Se já houve progresso nos cálculos e o Maple parece estar dando respostas erradas ou
não está fazendo nada, o melhor a ser feito é recomeçar. Saia do Maple e recomece. O Maple
tentará lembrar tudo o que foi feito para poupar tempo caso queira repetir um cálculo. Mas caso
tenha digitado algo que tenha confundido o Maple, ele lembrará disto também! Isto pode causar
todos os tipos de problemas para novos usuários. A melhor escolha é começar novamente em vez de
se atirar num buraco cada vez mais profundo.
3. Eu odeio digitar. Isto não me atrasará? O propósito deste livro é mostrar-lhe como conseguir
respostas_____.Uma importante parte do processo é permanecer digitando o mínimo possível. O
livro lhe mostrará como usar as funções de copiar e de pasta em vez de repetir a colocação
matemática. Isto elimina a chance de erro quando é necessário usar a mesma expressão em uma
nova linha de input.
4. A quinta e última colocação diz respeito a nomear objetos no Maple. Digamos que digitou uma
equação quadrática. Mais tarde, quer usar aquela equação novamente. Precisará digitá-la
novamente? Não, se lhe deu um nome na primeira vez. Uma vez que lhe foi dado um nome, tudo o
que deve fazer é usar este nome e o Maple irá recolocar o objeto deste ou daquele nome. Cultive o
hábito de nomear toda expressão que digite no Maple. Aqui está um exemplo de dar um nome a
2
alguma coisa. Daremos um nome à equação quadrática 6 x + 7 x − 20 = 0
chamando-a de Moe. Aqui está como:
> Moe:=6*x^2+7*x-20=0;
Nomeia-se um objeto usando o operador de assinalação dois pontos igual ( := ). Não deve existir
espaço entre o sinal de dois pontos ( : ) e o de igual ( = ). Pense neste operador como uma palavra.
Depois, perceba que por haver dado a uma equação um nome, esta contém um sinal de igual. O dois
pontos igual é um operador de assinalação, embora o sinal de igual tenha seu significado próprio
em matemática. O nome Moe está agora para esta equação; é possível verificar isto digitando este
nome em uma linha de input do Maple:
> Moe;
O Maple procura o nome Moe em sua memória e vê que o nome está para uma equação.
Ele imprime a equação como se fosse o "valor" do nome.
Caso faça um erro de digitação e escreva moe ao invés de Moe, o Maple responderá como segue
> moe;
pois o nome moe não foi definido. Tenha cuidado com todas as suas digitações, pois o Maple é
muito sensível. Nomeando claramente os objetos, facilita referir-se aos mesmos diversas vezes,
posteriormente, por isso acostume-se a dar um nome a qualquer expressão que possa vir a utilizar
novamente.
5. A Área de Trabalho
Provavelmente; o Maple iniciará o Maple por clicar duas vezes no ícone Maple. Quando iniciar o
Maple, a tela ficará como a figura A.1, se estiver usando Realese 4.
1. Poderá executar novamente uma linha de comando do Maple colocando o cursor em uma linha
previamente executada e editando-a. Em particular poderá "envolver" __________ outro comando
"ao redor" do outro comando. Digamos que seu comando foi
> 2*Pi*33.2;
Perceberá quando vir o output deste comando que precisará "envolver" um evalf ao redor do
comando. Coloque o cursor antes do 2 e digite evalf(. Depois mova até o fim do comando e feche
parênteses. Agora terá
> evalf(2*Pi*33.2);
Pressione voltar, e o novo comando substituirá o anterior. Poderá " construir"comandos desta
maneira; possibilita que verifique se os resultados intermediários são os desejados. ( A função evalf
é introduzida em detalhes mais à frente neste prelúdio.)
Caso esteja usando Releasa 3, a tela se parecerá à Figura A.2.
Não explicaremos a função de todos os botões aqui. Nos familiarizaremos com eles ao trabalhar
com o Maple. Se tiver o Release 4, existe um botão que deveria usar ao princípio. É o botão ____
da barra de contexto. Deve digitar estatutos matemáticos em apenas uma linha usando o teclado,
mas se clicar neste botão lhe será permitido ver o que digitou em forma matemática verdadeira.
Poderá ver o que digitou e ter certeza de que colocou a expressão correta olhando o resultado do
que foi digitado. O Release 3 não tem esta capacidade. Caso esteja usando o Release 3, é uma boa
idéia digitar a expressão com a qual trabalhará uma linha input (terminada por um ponto e vírgula)
antes de aplicar qualquer operação de Maple nele. Esta técnica lhe permite ver a forma do que foi
digitado assim podendo verificar para apuração. Apenas quando estiver convencido de que está
trabalhando com a expressão correta deverá continuar executando outras operações nele.
Afinal de contas, se começar errado........!
6. Seus primeiros comandos do Maple
O Maple é uma calculadora, que pode ser usada para aritmética. Digite esta expressão no Maple e
observe os resultados.
Adição
> 3+4;
7
> 7+11;
18
> 12345678901234567890+12345678901234567890;
24691357802469135780
Seja cuidadoso quando digitar este último comando. Veja que os números são simplesmente os
numerais de 1 a 10 digitados duas vezes. No Maple, o resultado computado é totalmente apurado.
Calculadoras de bolso não dão a apuração de 20 dígitos.
Vamos praticar. Use o Maple para adicionar os primeiros 10 números ímpares. Aqui está o
comando
> 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19;
Resposta:________________________________
Agora, encontre a soma dos primeiros 11 números ímpares. Não é necessário digitar tudo outra
vez! Copie os comandos anteriores e cole em uma nova linha. Insira entre o 19 e o ponto e vírgula
+21.
> 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21;
Resposta:_________________________________
Subtração
> 1234567890123456789-1234567890123456788;
Aqui, o número difere de 1 na coluna das unidades; por outro lado, os números são os mesmos. O
resultado de que ser 1, pois para cada dois números onde um é um mais que o outro, n+1-n=1.
Vamos praticar. Substraia estes números: 1-(2-3)-(4-5)-(6-7). Verifique seu resultado por aritmética
mental.
Resposta:_________________________________
Multiplicação
> 3*4;
> 25*34;
> 1.2*7.4;
Este último exemplo lhe mostra que, se colocar um ponto decimal nos números inseridos, o Maple
lhe dará ponto "real", ou "flutuante" ( resposta decimal). Mais exemplos serão mostrados sob
"subtração".
> 0.0000003*7;
Este é um exemplo de como o Maple escreve uma resposta de dez notações. O Maple geralmente
escreve números decimais grandes e pequenos como no exemplo, mas talvez use a noção flutuante
se o número ficar muito pequeno.
> 1234567890*1234567890;
Vamos praticar. Multiplique as primeiras seis integrais juntas. Lembre-se de colocar o sinal de
multiplicação (*).
Resposta: ________________________________________
Divisão
> 1/3;
> 1/3.;
Você vê a diferença entre os dois comandos acima? O primeiro utiliza todos os números e o
segundo utiliza um número "real". Há um ponto decimal depois do 3; assim o Maple interpreta este
número como sendo 3.0, um número decimal. Uma vez que há um número decimal na expressão, o
Maple muda para o formato de ponto flutuante em vez de tratar cada número como exato. Dá sua
resposta em forma decimal, usando dez dígitos como valor.
Por exemplo:
> 355/113;355./113;
A fração acima é uma aproximação para o número π , que é o raio da circunferência de um círculo
do seu diâmetro.
Vamos praticar. Faça este problema de divisão no Maple: 1/2/3/4. Caso esteja usando Realese 4,
clique no botão X na extrema esquerda da barra de contexto. Interprete o que vê.
Resposta: ___________________________________
Onde estão implícitos os parênteses? São eles (a) ((1/2)/3)/4, ou (b) 1/((2/3)/4)?
Resposta: ____________________________________
Exponenciação
Para elevar um número a um expoente, use o "up arrow" (SHIFT+6) no teclado (ou use**).
> 3^2;
> 5^2.2;
> 25^25;
Estes últimos dois exemplos mostram que é possível usar um número decimal como expoente, e
também elevar números a grandes potências se necessário.
Vamos praticar. Qual é maior, 22
25
24
ou 25 ?
Resposta:____________________________________
7. Usando evalf para converter uma resposta para a forma decimal
Sabe-se pelos exemplos mostrados acima que é possível trabalhar com o Maple em forma de ponto
flutuante , colocando um número decimal na expressão. Apenas um número decimal fará com que o
Maple mude para o formato decimal. Neste caso, a resposta será aproximada, mas será na notação
da família decimal. Outra maneira de converter números é usando a função evalf. Estará usando
notação funcional para muitas operações do Maple.
O chamado formato geral de uma função no Maple é mostrado pela função evalf. Como um
exemplo, pegue o número π .
Este famosos número é o raio entre a circunferência e o diâmetro de um círculo. Se colocamos este
número no Maple, obtemos como resposta:
> Pi;
O Maple entende esta colocação e escreve o símbolo standart para o Pi. Se digitamos
> pi;
poderá pensar qeu o Maple trata deste pi da mesma forma, mas isso não é verdade!É importante
notar que o Maple faz a distinção entre letras maiúsculas e minúsculas. Este último resultado é a
"letra grega pi", e não o raio!
Para encontrar a aproximação decimal para Pi, usamos a função evalf:
> evalf(Pi);evalf(pi);
Pi tem um valor de aproximadamente 3.14, enquanto a letra grega pi não possui valor decimal.
O fatorial
O Maple sabe como encontrar o fatorial de um número inteiro:
> 3!;
> 7!;
> 45!;
A função fatorial cresce rapidamente!
Fatorização Integral
O Maple contém muitas funções para nos ajudar no trabalho com números inteiros, entre as quais
está a função ifactor.
> ifactor(5670);
Ele dá todos os fatores primos de um número.
Vamos praticar. Qual o equivalente decimal de Pi/3? Pode-se obter a resposta digitando:
> Pi/3.0?
Resposta: _________________________________________
Restando
Isto não é algo fácil de ser feito em uma calculadora. Digamos que queira encontrar o resto quando
65537 é divisível por 13.
> irem(65537,13);
O resto é 4. Uma maneira de provar isto é tirando o quociente, usando a função iquo:
> iquo(65537,13);
Poderá verificar o resultado revertendo o processo:
> 5041*13+4;
Poderá tirar o resto de um número grande, coisa que não é fácil usando uma calculadora.
> irem(45!,53);
Exercício: Qual o resto quando se divide 45! por 11, por 17, por 44?
Ajuda facilitada do Maple. Existem muitas outras funções que você pode usar para investigar
números inteiros. Este é um bom momento de introduzir a Ajuda facilitada do Maple. A sintaxe é
mostrada abaixo. Digite um ponto de interrogação o nome daquilo em que precisa de ajuda. Não é
necessário o uso do ponto e vírgula neste caso. Aparecerá uma janela de ajuda separada. Caso não
consiga o tópico de ajuda desejado, procure em "See Also" na tela de ajuda. Este lhe dará uma boa
sugestão de onde procurar depois. Tente o comando ?integer para ver a janela de ajuda para uma
lista de funções inteiras (veja a tabela A.1).
> ?integer
Ajuda para: Integrais
Descrição:
Uma expressão é do tipo integral se for (opcionalmente assinalada)uma seqüência de um ou mais
dígitos de extensão arbitrária. A extensão limite de uma integral é dependente do sistema, mas
geralmente maiores que as que o utilitário encontrará - tipicamente maiores que 500,000 dígitos
decimais.
Em adição a operações aritméticas, outras funções básicas de integrais são
abs sing min max factorial
irem iquo modp mods mod
isqrt iroot isprime ifactor ifactors
igcd ilcm igcdex iratrecon rand
Existem também muitas funções especiais para integrais na teoria numérica e pacotes combinatórios
incluindo os coeficientes binomiais, números Fibonacci, números Stirling, Símbolo Jacobi, função
Euler's totient etc.
Veja também: tipo, numérico, constante, teoria numérica, combinatório.
9. Números Primos e Fatorando
Deverá reconhecer algumas destas funções, enquanto outras poderão lhe parecer um mistério.
Poderá encontrar sobre cada uma delas usando a função de ajuda novamente. Uma das funções
integrais é a de isprime. Se pedir ajuda neste tópico, verá que este dá uma resposta verdadeira e
outra falsa, dependendo de se o número que você deu é primo (não possui fator) ou não:
> ?isprime
> isprime(65537);
O fato de que 65537 é primo não é tão difícil para você verificar se tomar alguns minutos para isso;
mas, e se for um número realmente grande?
> isprime(65537^6+1);
Como mostramos que este número possui fatores? Deverá multiplicá-lo, adicionar 1, e então fatorálo:
> (65537^6+1);
> ifactor(65537^6+1);
Observando a expansão do número, vê-se que é par. Por isso, deve ter um fator de 2; seus dígitos
terminam em 10, assim também deve ser divisível por 5. Não faça do Maple um substituto de suas
próprias análises dos problemas. Use o Maple como uma assistência aos seus cálculos, mas
primeiro pense com atenção a respeito do problema e veja se consegue resolvê-lo sozinho ou ao
menos fazer algumas simplificações importantes.
2
3
4
5
6
7
8
Vamos praticar.Qual destes números é primo? 2 +1, 2 +1, 2 +1, 2 +1, 2 +1, 2 +1, 2 +1
Resposta: _________________________________________
10. Números Reais
Já se deparou com a linha de números reais antes. Porém inteiros e frações, a linha de números reais
contém os também chamados números "irracionais" assim como a raiz quadrada de 2. No Maple, é
possível obter a raiz quadrada usando a função sqrt. Vamos tirar a raiz quadrada de 65,536.
> sqrt(65536);
O número original 65,536 é uma quadrado perfeito, o quadrado de 256. E se tentamos a raiz
quadrada de 65,537?
> sqrt(65537);
O Maple simplesmente escreve o número outra vez, usando noções matemáticas de texto. Perceba a
diferença entre a função sqrt
e a função isqrt:
> isqrt(65537);
A função isqrt lhe dá o número inteiro mais próximo do quadrado. Mas, e se quisermos a
"resposta" da raiz quadrada de 65,537? Lembre-se da pergunta que está sendo feita! A raiz quadrada
de 65,537 é simplesmente o que o Maple lhe deu antes: 65,537 sob a raiz. Esta é a resposta
absolutamente precisa. Qualquer outra resposta é uma aproximação! Algumas vezes, uma
aproximação! Algumas vezes, porém, é a aproximação numérica que você deseja e, neste caso,
lembre-se de que existem duas maneiras de obtê-la: colocando o número como um número decimal,
> sqrt(65537.);
ou usando a função evalf:
> evalf(sqrt(65537));
Note que você pode "incluir" ( colocar uma função dentro de outra) funções no Maple. O resultado
de sqrt(65537) tem o valor que é dado a função evalf. Você sempre lê estas funções incluídas de
dentro para fora. O que não difere de outras "funções de funções" com as quais se deparou
anteriormente em matemática, tais como f(g(x)), o que significa que a função f é valorizada no
ponto g(x).
Vamos praticar. Encontre a aproximação decimal para
3 ,
5 ,
1+ 5
.
2
Resposta: _________________________________________
11. Designações: Exemplos de nomes no Maple
Para usar algo como a raiz quadrada de 65537 várias vezes, pode-se dar a ela um nome. O nome
que dará será geralmente curto, mas deve tentar não usar nome que o Maple já utiliza. Por exemplo,
é uma má idéia usar "sqrt" como um nome, pois o Maple o usa para a função de raiz quadrada. Ao
contrário, use as letras a, b, c, e assim em diante. Pode usar letras maiúsculas também, mas não use
D ou I. O Maple as usa como nomes. Verá como designar nomes a uma expressão na próxima
seção.
A circunferência de um círculo de raio R. A fórmula para a circunferência é C=Pi*D, onde C está
para a circunferência e D está para o diâmetro. Poderíamos escrever, em uma linha input do Maple,
> C=Pi*D;
mas quebramos a regra de não usar a maiúscula D em uma expressão. Também digitamos uma
equação, mas não nomeamos nada. Para nomear Pi*d (estamos usando uma variável legal para o
diâmetro) como a circunferência, digitaríamos
> C:=Pi*d;
Note a diferença com atenção. Usamos o sinal colon-equals para assinalar o valor Pi*d para o nome
C. Leia esta última sentença repetidamente até que seu significado esteja gravado firme em sua
mente. De agora em diante, C é exatamente igual a Pi*d. Para ver que isto é certo, digite C em uma
linha de input do Maple:
> C;
O Maple responde tirando Pi*d, pois isto é igual a C. Mais exatamente, C é o nome da expressão
Pi*d. Compare esta equação a uma linha reta,
> y=m*x+b;
> y;
Aqui, digitamos uma equação sem nomeá-la. Neste caso, y não mudou seu valor; continua sendo y,
e faz parte de uma equação, enquanto C é um nome. Foi assinalado um valor, Pi*d, usando o
colon-equals-------. Perceba que pode-se dar um nome a uma equação. Digamos que queremos dar a
uma equação de uma linha reta um nome:
> a:=y=m*x+b;
Usamos o colon-equal e o sinal de igual na mesma linha. Agora, se perguntamos ao Maple o que é
a, teremos:
> a;
A variável a é somente o nome da equação, y=mx+b. Para usar novamente a equação, podemos
digitá-la novamente ou simplesmente usar seu nome.
12. O Comando Substituto
Se um círculo é definido como visto anteriormente, como calculamos a circunferência dada a um
determinado perímetro? Usamos o comando subs (substituto). Em outras palavras, substituímos o
valor do perímetro dado na fórmula e calculamos. No Maple, usamos o comando subs.
Exercício: Calcule a circunferência do círculo sendo o diâmetro 6.
Solução:
> subs(d=6.,C);
Neste caso, colocar um valor decimal não foi suficiente para conseguir uma resposta numérica. Em
vez disso, temos que usar o evalf.
> evalf(subs(d=6,C));
A resposta é 18.85 unidades.
Você será induzido a pensar que o método de calcular para este problema seria muito mais simples,
e é claro que está correto. Mas o método aqui demonstrado é
importanteem situações mais
complexas, e você o usará para resolver muitos problemas que não são possíveis de se resolverem
na calculadora.
3
2
Vamos praticar. Dado o polinômio x + 3.6111 x − 13.30893 x + 1.153922 , encontre seu
valor quando x = 0 - 10.0,- 5.9, +0.889, +2.2,5,10. Defina a expressão, e use o comando subs.
Resposta: ____________________________________________
13. Álgebra
O Maple possui uma vasta quantidade de comandos para álgebra. Este livro se concentra nos
resultados e não na manipulação. Uma das razões para isso é que a maioria das pessoas precisam
trabalhar dentro de um determinado sistema matemático onde as fórmulas básicas já são dadas de
uma forma particular. O autor acredita ser mais importante ser capaz de usar uma dada expressão
(ou equação) para conseguir resultados. Estes resultados são geralmente (a) computados, (b)
salvando equações, (c) em forma de gráficos, ou a combinação dos três. O Maple dá assistência
ideal aqui.Existem outros pacotes de softwares, como Theorist, que lhe dá o controle sobre cada
passo algébrico em uma transformação. Tais pacotes são úteis se quer transformar uma expressão
em uma equivalente à mesma; porém o Maple pode ser capaz de fazer passo a passo os cálculos por
usuários experientes.
A computação pode ser simbólica ou numérica. Você poderá precisar encontrar a solução de uma
quadrática, pode querer ver o comportamento de uma função sob determinados valores. Isto
significa computar o valor de uma função em um ponto, ou, se for pedido um gráfico, vários pontos.
Pode vir a querer uma visão aérea da função, colocando-a em um gráfico e então computando o
valor da função em poucos pontos para uma resposta mais precisa. O gráfico é a melhor maneira de
apreciar o comportamento de uma função sobre alguns pontos.
Atenção aos parênteses quando digite sua fórmula. Note a diferença entre o que quer e o que recebe
como resposta nos exemplos seguintes.
Agrupando em parênteses. Em eletrônica , a qualidade chamada (magnitude da) capacidade de
reprocessamento é encontrada usando a fórmula,
1
. Entre com esta fórmula ao Maple.
2πfC
> 1/2*Pi*f*C;
Prestando a atenção necessária aos parênteses, digitará
> 1/(2*Pi*f*C);
A regra a lembrar é que o operador de divisão (/) aplica-se apenas ao termo seguinte e não ao resto
dos termos da multiplicação, apenas se colocados todos entre parênteses.
Outro momento onde se faz necessária a utilização de parênteses ocorre quando usada uma fração
potenciais. por exemplo, ache a raiz cúbica de 27.
> 27^1/3;
Esta é uma resposta apelativa, que o induzirá a aceitá-la! Porém, o que realmente queria era:
> 27^(1/3);
Agora percebe que havia digitado a expressão incorretamente, pois o Maple lhe mostra como
interpreta seus comandos. Infelizmente, ele o escreverá sem simplificá-lo. A solução é usar o
comando simplify.
> simplify(27^(1/3));
O Maple precisa de um certo encorajamento para conseguir esta resposta. Por que razão? Existem
três possíveis respostas para um problema envolvendo raiz cúbica; assim o Maple preferiu deixar a
expressão e sua forma original até que receba alguma informação em como proceder. A raiz
principal havia sido encontrada usando o comando simplify.
Espaços - Quando não colocá-los. Dê o nome eq1 à equação s = vt. Colocaremos um espaço entre
os dois pontos e o sinal de igual. Observe atentamente!
> s: =v*t;
O Maple lhe avisa que houve um erro de digitação. No Release 3, lhe é dada até mesmo uma idéia
de onde decididamente tem que haver um erro, colocando o sinal (^) abaixo do lugar onde foi
detectado o erro. No Release 4, é colocado o cursor piscando no erro de sintaxe. Então você sabe
que o erro está no ou antes de onde foi colocado. Por outro lado, pode inserir espaços desde que o
sentido não seja alterado. Apenas não deve pôr espaços no meio de uma palavra (dois pontos e
igual são palavras).
> sqrt(x+y/z);
Não existe multiplicação implícita no Maple. Muitas calculadoras lhe permitem omitir o sinal de
multiplicação em alguns casos, e é geralmente omitido em textos de matemática. Esta é uma
convenção que funciona somente se nomes variados são restritos a uma letra. O Maple permite
nomes variados a serem grandes; assim você deve colocar sempre o sinal de multilpicação. Caso
houvesse digitado ">s:=vt;" para a fórmula em (2), o Maple haveria aceito como uma expressão
legal.
> s:=vt;
Tudo parece bem, mas você pode estar prestes a ter uma surpresa desagradável. Existe apenas uma
variável na fórmula acima e seu nome é vt. Para ter certeza de que entendeu a diferença, examine os
dois comandos
> s1:=vt;s2:=v*t;
Existe uma singela diferença na retirada. Em s2, existe um pequeno espaço entre o v e o t, indicando
o sinal da multiplicação implícita. Deixe-nos tentar e substitua v=5 e t=3 na expressão acima.
> subs(v=5,t=3,s1);subs(v=5,t=3,s2);
Desde que não exista v (ou t) na primeira expressão (s1), o Maple encontra um v e um t na
expressão s2; daí , a substituição funciona e o Maple multiplica os dois para obter 15.
Observe a função Caps-Lock. O Maple é bastante sensitivo, de modo que não é possível digitar
SQRT quando se deseja tirar uma raiz quadrada. Perceba a diferença:
> SQRT(16),sqrt(16);
O segundo comando funciona, produzindo a resposta de 4, mas o primeiro comando é interrompido
pelo Maple como uma função não definida, SQRT. Desde que o Maple não saiba a definição
SQRT, ele não tenta calculá-lo, mas o comando não produz um erro de sintaxe. Depois de tudo,
deve-se definir SQRT mais tarde na área de trabalho.
Comandos Terminais com ponto e vírgula. Uma situação típica é apresentada aqui. Imagine que
digitou um comando e pressionou Retornar sem terminar o comando por ponto e vírgula. Release 4
irá lhe avisar para por o ponto e vírgula. Caso queira voltar e colocá-lo, poderá.
Em Release 3, nada acontecerá. Deverá olhar para o comando e perceber que esqueceu de colocar o
ponto e vírgula no final. Voltará para o comando, digitará o ponto e vírgula e pressionará Retornar.
O Maple indicará um erro de sintaxe. O usuário examinará o comando e não verá nada errado. A
tentação é de fazer mudanças no comando, o que fará as coisas irem de ruim a pior.
> 3+4
Depois disso, o usuário percebe que esqueceu do ponto e vírgula. Moverá o cursor de volta, coloca
o ponto e vírgula, e pressiona Retornar.
> 3+4;
Não há nada de errado com o comando ou com a sintaxe agora! O erro ocorre porque o Maple
lembrará do primeiro 3+4 que digitou. Quando voltou e agregou o ponto e vírgula, o comando
tornou-se 3+43+4; porque o Maple lê a linha por cima outra vez quando---------- o 4 e o 3. Esta não
é mais uma designação matemática legal. Para resolver o problema, quando notar que esqueceu um
ponto e vírgula, digite-o na próxima linha ( que de outra maneira ficaria em branco), desta maneira:
> 3+4;
14. Trigonometria
O mais importante a ser lembrado quando estiver usando o Maple para resolver problemas em
trigonometria é que o Maple usa como medida radianos e não graus. Você deve converter qualquer
ângulo em radianos antes de usá-lo em um cálculo no Maple. Para converter graus em radianos,
multiplique o ângulo em graus por Pi e divida por 180.
Exemplo: Converta 30 graus para radianos.
> evalf(30*Pi/180);
Trinta graus equivale a 0.5236 radianos.
Também pode procurar valores para seno, co-seno e tangente, e outras funções trigonométricas:
Exemplo: Encontre o seno de 30 graus.
> sin(30);
Você deve converter para radianos e usar evalf caso queira uma resposta decimal:
> evalf(sin(30*Pi/180));
Se quiser a resposta exata, simplesmente digite no fator de conversão entre radianos e graus: O
Maple reduzirá isto para sin(Pi/6) e fará o display do resultado exato.
> sin(30*Pi/180);
Usando números exatos como Pi/6, o Maple nos deu a resposta exata (1/2), correta para "infinitos"
lugares decimais. Quando o Maple lhe dá uma resposta como .500000000, não podemos ter certeza
de se os zeros continuaram para sempre ou se mais tarde apareceram outros dígitos na expansão. De
qualquer forma, quando o Maple dá a resposta 1/2, sabemos que é exatamente 1/2.
> plot(sin(x),x=-2*Pi..2*Pi);
Figura A.3 Resultado do Maple: O gráfico de uma onda de seno
15. Fazendo Gráficos
No Maple, usamos o comando plot. Primeiro digite "plot (", depois a expressão que será posta em
gráfico (não a equação, apenas o lado direito da equação!), depois uma vírgula, depois a variável
para o eixo x. Terminará o comando colocando um parêntese fechando e um ponto e vírgula.
Aqui temos um exemplo:
Para gráfico de sin(x) para a variável x de -2*Pi até 2*Pi, digite o que segue (ver também Figura
A.3)
> plot(sin(x),x=-2*Pi..2*Pi);
Note especialmente como especificou a variável para o eixo x. Digitou "x =", depois deu o lado
esquerdo (menor) o lugar de início para a variável, digitou dois pontos (pontos) e especificou o lado
direito (maior) final da variável.
Esta breve introdução ao Maple não lhe permitirá iniciar; deverá aprender mais comandos ao
trabalhar no decorrer do livro.
O que se deve e não se deve quando estiver usando no Maple
- Termine todo comando no Maple com ponto e vírgula.
- Inicie novamente o Maple quando os resultados ficarem confusos ou não obtiver qualquer
resultado. O Maple tende a lembrar de tudo, até mesmo de seus erros!
- Não utilize -------- para referir-se ao resultado anterior; em vez disso, sinalize ao Maple por
nomes, ou use novamente o comando copiando-o.
-Não use:
> a:=(1/x+1/y);normal(%);
Em vez disso, pode usar qualquer um dos dois comandos.
> normal(a),normal((1/x+1/y));
O segundo destes comandos em uma ilustração de envolver um comando ao redor de outro prévio.
Por outro lado, pode envolver um comando ao redor de uma designação.
> normal(a:=(1/x+1/y));
Use as funções copiar e pasta para editar comandos do Maple. Aqui, temos um exemplo de como
simplificar uma expressão e avaliar um resultado numérico. A expressão
1 − ex
1+e
( −x )
+
1 + ex
1−e
( −x )
deve ser simplificada e avaliada em x=0.5.
1. Digite a expressão no Maple. Use parênteses para manter os grupos da expressão oirginal:
> (1-exp(x))/(1+exp(-x))+(1+exp(x))/(1-exp(-x));
2. Verifique se o que foi colocado pelo Maple é igual ao problema original. Em Release 4, pode
usar o botão X na barra de contexto para ver o formado que digitou.
3. Agora que verificou se está tudo correto, copie o que digitou no Maple. Cole-o em uma nova
linha de input do Mapel.
> (1-exp(x))/(1+exp(-x))+(1+exp(x))/(1-exp(-x));
4. Edite a linha envolvendo o comando de simplificação ao redor da linha que acabou de copiar.
Use o comando simplify.
> simplify((1-exp(x))/(1+exp(-x))+(1+exp(x))/(1-exp(-x)));
5. Copie a linha de input. Vê-se pelo que fui colocado pelo Maple que ele não expandiu o
denominador. O Maple expandirá fatores no numerador; assim você pode forçar a expansão do
denominador tirando o recíproco, expandindo-o, e depois tirando o recíproco novamente. Edite a
linha para fazer estas mudanças e execute o comando mais uma vez.
> 1/(expand(1/(simplify((1-exp(x))/(1+exp(-x))+(1+exp(x))/(1-exp(x))))) );
6. Você deseja avaliar a expressão no valor específico de x. Pode usar o comando subs em qualquer
uma das linhas anteriores desde que sejam equivalentes. Copiaremos a primeira linha de input e
substituiremos x = 0.5.
> subs(x=0.5,(1-exp(x))/(1+exp(-x))+(1+exp(x))/(1-exp(-x)));
7. Finalmente, copiamos e colamos usando o comando evalf para finalizar o problema.
> evalf(subs(x=0.5,(1-exp(x))/(1+exp(-x))+(1+exp(x))/(1-exp(-x))));
8. Podemos verificar nosso trabalho avaliando a expressão simplificada em x=0.5. Apenas envolver
"evalf(subs(x=0.5 ...)" ao redor do comando no quinto passo. O resultado é o mesmo que no sétimo
passo.
Em todo este processo, você colocou a expressão matemática apenas uma vez, e verificou o formato
das respostas do Maple para ter certeza de que coincidia com o problema. Depois de ver que a
expressão com a qual está trabalhando está correta, você envolve comandos ao redor dela e observa
os resultados em um processo passo por passo.
Use o facilitador de ajuda do Maple. Digite "?", seguido do nome do tópico. Por exemplo, para
obter ajuda sobre o comando substituto, digite "?subs" depois do sinal do Maple.
Seja cuidadoso com o ponto decimal (ponto). O Maple usa o mesmo caráter para o ponto decimal e
o operador de concatenação. Por isso, deve ser muito cuidadoso com a sintaxe, como é mostrado no
exemplo que segue:
Especificando distância: Você deseja a distância que seja 0-.3, para tanto você digita 0...3
O Maple interpreta como sendo 0-3! Desde que não exista espaço entre o ponto duplo e o ponto
apenas, assume que você pretende dois pontos e um 3.
A variável x tem o valor de 3 e você quer usar 3.1, assim você escreve "x.1",
pensando que o Maple substituirá 3 para x e anexe o .1. Em vez disso, o Maple pensa que você quer
a variável x1.
Seja cuidadoso ao especificar distâncias (dois pontos, um depois do outro). Não deve haver espaço
entre os pontos neste caso.
Não escreva sin(x) como sin x, log(x) como log x, ou exp(x) como e^x. ( pior ainda, não escreva
sin*x para sin(x) ). O Maple usa notações "funcionais" consistentes. Uma função depende de sua
variável. Por exemplo, a função sin depende do ângulo no qual o seno é pedido. Se o ângulo é um
teta, você escreve sin(theta) para avaliar a função. A expressão e^x parece legal, e é. O único
problema é que o Maple trata "e" como sendo a letra e, não como base de um logaritmo natural;
assim, no Maple, e não tem um valor pré-definido.
Pratique envolver funções ao redor de outras funções. Isto se chama "fazendo ninho". Um uso
comum desta técnica é encontrar a aproximação decimal para determinada quantidade. Digamos
que queira encontrar o valor decimal da raiz quadrada de 2. Poderia utilizar dois comandos do
Maple: ">A:=sqrt(2);evalf(A);" ou poderia executar a mesma coisa em apenas um comando
digitando o comando: ">evalf(sqrt(2));". Uma vantagem desta técnica é que você vai adquirir o
hábito de pensar "um passo adiante".
Execute todas as linhas de input do Maple quando abrir uma área de trabalho. Quando usar a pasta ,
comando Abrir para usar uma área de trabalho construída anteriormente, o Maple não calcula
novamente os comandos na área de trabalho, a menos que você peça. A pasta pode apresentar as
respostas dadas pelo Maple, mas estas eram as respostas que foram construídas com a pasta. Não foi
computado recentemente. Assim, qualquer nome que aparecer nas linha de input do Maple não
serão sabidas na sessão atual do Maple. Você terá que executar novamente estes comandos para ter
estes nomes definidos. Existem duas maneiras para executar novamente comandos do Maple uma
vez que abre uma área de trabalho.
1. Em Release 4, use o mouse e selecione Editar, Executar, Seleção depois de selecionar o comando
que qeur executar. Em Release 3, use o comando Formatar, Executar área de trabalho. Isto faz com
que o Maple execute todos os comandos na área de trabalho. Esta é a maneira mais fácil de ter
certeza de que todos os nomes usados na área de trabalho são definidos. Também, as linhas de
resposta são computadas novamente e vão substituir tudo o que estava na pasta original. O único
problema com este método é que pode levar bastante tempo para computar novamente todos os
comandos caso a área de trabalho seja grande ou contenha comandos que precisem de muitos
computados.
2. Posicione o cursor na primeira linha de input do Maple e pressione Enter (Retorno). O Maple
executará o comando e posicione o cursor na próxima linha de comando do Maple. Poderá haver
texto ou possivelmente resultados de um gráfico ou outros gráficos entre as duas linhas de
comando. O Maple vai passar direto pelos textos ou gráficos e posicionará o cursor na próxima
linha de comando. Não se surpreenda quando isso acontecer. Pode haver mais de uma tela de textos;
assim, o primeiro comando e seu resultado não serão visíveis. Caso use a barra vertical para voltar
ao primeiro comando, você a verá e seu resultado. Pode não parecer nada diferente, mas foi
computada novamente. Agora para outra surpresa: se você pressionar retornar, a tela vai pular mais
uma vez! pois você usou a barra vertical, o cursor voltou para onde estava, na segunda linha de
comando do Maple. Pressionado Retornar faz com que o Maple execute o segundo comando escreve a resposta do comando e segue em frente - colocando o cursor na terceira linha de comando
na pasta. Uma complicação futura: O Maple permite "programar grupos"; assim, o que foi descrito
como único comando pode atualmente ser um grupo de comandos, dependendo de como a pasta foi
produzida na primeira parte. O ponto a lembrar é que você pode mover pela área de trabalho, uma
vez que coloque o cursor no primeiro comando, simplesmente pressionando Retornar várias vezes.
Pode ser seletivo em escolher qual comando usar. Posicione o cursor
em qualquer linha de
comando do Maple que você queira executar. Pressione retornar e o Maple computará novamente a
linha de comando ou grupo de linhas. Depois posiciona o cursor no próximo comando. Você poderá
executar tal comando se quiser, ou pode mover o cursor para qualquer outro comando. Desta forma,
você pode definir apenas aqueles nomes que você precisa para o seu propósito atual. Este último
método vai salvá-lo algumas vezes, mas lembre-se que deve executar as linhas de comando se
quiser usar os nomes de que foram mencionados na área de trabalho. Apenas porque você pode ver
os nomes na tela não quer dizer que o Maple saiba o que significam!
16. Usando o editor de texto e salvando suas áreas de trabalho
O Maple tem um editor de texto construído. Pode usá-lo descrevendo seus cálculos e na preparação
de relatórios. No Maple 4, você pode selecionar o modo de texto clicando no botão "T" na barra de
ferramentas. Quando terminar de digitar, você muda para uma nova região de input clicando no
botão "[>".
No Release 3, você usa o comando Formatar, na região de input. Você também pode usar o atalho
do teclado. Digite F5 para trocar entre o texto do input e o comando do input.
Resumindo, você pode preparar documentos contendo textos, linhas de input do Maple, respostas e
gráficos do Maple, e você pode salvar sua área de trabalho em um disquete. Para salvar em
disquete, pode-se usar o comando File, Save ou clicando no botão que mostra um disquete na barra
de ferramentas tanto no Release 4 quanto no Release 3.
Teste a si mesmo
Responda a estas perguntas sobre o Maple.
1. Quais os erros de sintaxe nestas linhas de input? O comentário das linhas dá o que o usuário do
Maple pretende.
(a)
> eq1=a*x^2+b*x*c=y;
Resposta:___________________________
(b)
> eq2:=a*x^2+b*x+c:=y;
Resposta:___________________________
(c)
> eq3:=ax^2+bx+c+Y;(Fórmula Quadrática)
Resposta:___________________________
(d)
> eq4:=y=1/1+x;(Recíproco de 1 mais x)
Resposta:___________________________
(e)
> eq5:=R*a,eq6:=P=V^2/R;
Resposta:___________________________
(f)
> eq7:=SQRT(16);(Função de Raíz Quadrada)
Resposta:___________________________
(g)
> eq8:=plot(x^2,x=0...5);(plot x^2 from 0 to 0.5)
Resposta:___________________________
2. Responda a estas perguntas sendo que cada grupo começa uma nova sessão no Maple. Em outras
palavras, sendo que o comando restart foi dado no começo de cada sessão. Prediga os resultados de
cada conjunto de comandos. Leia a linha de input cuidadosamente. Estas questões foram planejadas
para ilustrar diferenças sutis entre duas construções similares no Maple.
(a)
> a=3;a+3;
Resposta:___________________________
(b)
> y=m*x+b;subs(m=3,b=-2,y);
Resposta:___________________________
(c)
> y:=m*x+b;subs(m=3,b=-2,y);
Resposta:___________________________
(d)
> A:=Pi*r^2;subs(r=2,A);
Resposta:___________________________
(e)
> A:=Pi*R^2;subs(R=2,A);
Resposta:___________________________
(f)
> y:=1/3+1/4;z:=1./3+1/4;
Resposta:___________________________
3. Diga qual comando é usado para computar cada um dos seguintes:
(exemplo) Encontrar todos fatores de 1155.
(a) A raiz quadrada exata de 65.
Resposta:____________________________
(b) A aproximação decimal para a raiz quadrada de 65.
Resposta:____________________________
(c) A hipotenusa, base = 7, altura = 14.
Resposta:____________________________
(d) Salvar a equação 3+4x = 5+6x.
Resposta:____________________________
(e) Gráfico da linha y = 3x+4, para x de -2 a +1.
Resposta:____________________________
2
(f) Todos os fatores de 6 x + 5 x − 6
Resposta:____________________________
Resposta:
ifactor(1155)
2
(g) Reduza ( x -1)/(x+1) para uma forma mais simples.
Resposta:____________________________
(h) Gráfico do segmento de linha (2,3) a (3,5).
Resposta:____________________________
2
(i) Gráfico da curva y = x para x de -2 a 2.
Resposta:____________________________
Revisão de Aritmética
Objetivos para este Módulo
1. Revisar o sistema decimal e converter números para outras bases
2. Usar o Maple para conversão binária e números hexadecimais em decimais
3. Distinguir entre frações e números reais
4. Fatorar números inteiros em um produto de números primos
1. A Base de Nosso Sistema Numérico
Se seguirmos a passagem histórica, veremos que os primeiros números usados por humanos eram
números de contagem; estes números podem ser escritos, de forma moderna, como
{1, 2, 3, 4, 5,6...}
onde os pontos no final (chamados elipses) significam, "e assim por diante". A descoberta de que os
números de contagem seguem infinitamente foi feita tão cedo que não existem provas disso. Uma
descoberta mais recente foi a de que o número zero poderia ser agregado aos números de contagem,
como
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}
Pode-se entender que algumas pessoas resistam em chamar um número de "nada". Outros apontam
ser melhor pensar em zero como "o número de elefantes no telefone público da esquina" antes de
chamá-lo de nada. Pode imaginar que ter um dólar em sua conta bancária, (logo, por que não
dizer?), quando estiver temporariamente sem fundos, que "você tem zero dólares na sua conta
bancária", em vez de dizer, "Eu não tenho nada!". A discussão é pertinente, pois você agora pode
subtrair mais números que antes. Agora a diferença 3-3 tem uma resposta numérica:
3-3 = 0
A próxima vantagem na contagem foi o refinamento da idéia de que o inteiro pode ser dividido em
partes. Uma cesta inteira de grãos poderia ser dividida em algum número de jarras de grãos. Um
grande barril de azeite de oliva poderia ser despejado em vários containers menores. Assim, a noção
de que uma fração surge da idéia de retirar de alguma coisa que escolhemos para chamar de inteiro,
ou unidade (como um barril de óleo), e então partir o mesmo em quantidades menores. Esta
subdivisão pode surgir mentalmente sem que se faça de fato a separação. Pode imaginar a ação de
encher garrafas de vinho de um grande barril sem que realmente esteja fazendo isto.
Uma vantagem em admitir fração como sendo parte de nosso sistema numérico é que os problemas
de divisão agora têm uma resposta, não importando qual o número inteiro que entre no problema,
desde que o denominador não seja zero. Problemas de adição sempre têm uma resposta que é um
número inteiro, mas requer a incorporação de números negativos para certificar-se de que
problemas de subtração tenham uma resposta. Se insistir que o problema de subtração.
4-5 = ?
tem uma resposta, então você é forçado a admitir números negativos em seu sistema matemático.
Assim como, se você deseja o problema de divisão
33 =8 1/3
4
Você tem a resposta dada (i.e., 8 1/3), você deve admitir frações em sua matemática também. Os
anciãos perceberam que precisavam de frações, mas isto introduziu uma complicação pois fazer
aritmética com frações não é simples. Mesmo para nós, com o benefício do sistema decimal, vemos
que multiplicar e dividir números fracionais na mão pode ser bem cansativo. Por sorte, agora temos
calculadoras e o Maple para fazer os cálculos; estas ferramentas podem ser usadas na converssão
entre noções decimais e noções fracionais também.
2. Outras Bases
A maioria das culturas adotaram o sistema decimal para contagem.
Com a ampliação e
asofisticação da sociedade matemática, várias nações em todo o mundo inventaram símbolos para
os números de 1 a 9. Existem exceções a esta regra: os romanos algumas vezes usavam grupos de
12, os Babilônicos tinham um sistema misto que funcionava parte em grupos de 10 e parte em
grupos de 60,e os Mayas usavam grupos de 20. Os grupos de 12 sobreviveram na língua inglesa.
Por exemplo, os ingleses possuem diferentes nomes para os números de 1 a 12, e depois mudam
para os "teens" para nomear números de 13 à 19. O segundo sistema de pés - libra de peso e
mensuração tem 12 polegadas para o pé, outro lembrete do sistema de 12 números de base. A
língua francesa retém vestígios de contagem por 20. Por exemplo, a palavra francesa para 80 é
quatre-vingts, o que significa "quatro vintes".
Temos um sistema decimal altamente desenvolvido, outros grupos podem ser úteis para aplicações
especiais. Atualmente, a função digital dos computadores pela troca de milhares de planos
eletrônicos, chamados transistores, ligado e desligado. Qualquer controvérsia que possua dois
estados (ligado e desligado) é chamado de plano binário. Um sistema numérico de apenas dois
dígitos, 0 e 1, é uma escolha natural. Outra escolha útil une grupos de dois. O sistema octal é
baseado nos dígitos de 0 a 7 ( três grupos de dois) e o sistema hexadecimal, com os dígitos de 0 a
15 ( quatro grupos de dois), é muito comum atualmente matemática computadorizada. Outros
sistemas também são úteis para propósitos especiais. Todos estes sistemas têm um elemento
comum: o método de escrever números chamado o sistema posicional e a base de todos eles.
3. O Sistema Decimal
Considere o número 1986. Como interpretamos esta quantidade? Nossa notação posicional nos
permite dizer que o numeral 1 está para 1000, o numeral 9 está para 900, o numeral 8 está para 80, e
o numeral já está para ele mesmo: é apenas 6; mas todos os outros devem ser multiplicados por 10.
Poderíamos escrever o número desta forma:
1x1000+9x100+8x10+6 ou
1x 103 +9x 102 +8x 10 +6x 100
Agora estamos na posição para interpretar um número binário. Apenas os dígitos 0 e 1 devem ser
usados para escrever um número binário. Primeiro, pretendemos contar progressivamente em
binários. Começando em 0, agregamos 1 para obter 1. Agregando novamente 1, temos 10! Por quê?
Desde que possamos usar somente os dígitos 0 e 1, temos que nos fundamentar em determinada
posição para alcançar números maiores. O número binário 10 é interpretado como " um 2 e zero
1's". Assim como o número 3 ´´é escrito em binário como 11. Isto é interpretado como " um 2 e um
1", fazendo um total de 3. Podemos usar nossos algarismos familiares para adição, desde que
façamos uma tabela de adição para números binários. Como mostra a tabela 1.1, é muito simples.
Quando agregamos 1 a 3 no sistema de número binário, podemos usar a tabela para obter:
Tabela 1
Tabela de adição para números binários
0
1
0
1
0
1
1
10
1
11
+1
100
Adição é bem simples: toda vez que adicionamos 1 e 1, temos 0 e leva 1. Interpretando a resposta,
podemos ver que indica um 4, zero 2's, e zero 1's.
Problema: Converter o número binário 10101 em decimal. Solução: Escreva cada posição como
uma potência de dois.
16
8
4
2
1
1
0
1
0
1
Quando houver um 1 em determinada posição, adicione o peso binário correspondente. Existem 1's
na coluna 16, assim como na coluna 4 e 1. Para tanto, 10101 ( base 2) = 16 + 4 + 1 = 21.
Problema: Converter o número octal 17362 em decimal. Solução: Escreva cada dígito como seu
determinado múltiplo. Na base oito, os múltiplos são: unidades (0 a7), 8, 64, 512, 4096, etc.
4096
1
512
7
64
3
8
6
1
2
Vemos que 17362(base 8) = 1x4096 + 7x512 + 3x64 + 6x8 + 2 = 7,922.
O Maple tem um procedimento para converter números de uma base para outra; isto requer que
você faça algum trabalho preliminar.
Problema: Use o Maple para converter 17362 (base 8) em decimal.
Solução: Primeiro, faça uma lista dos dígitos octal em ordem inversa: [2,6,3,7,1], e então use o
comando convert.
> convert([2,6,3,7,1],base,8,10);
Depois, escreva o resultado dado pelo Maple em ordem inversa: 7922. Esta é sua resposta.
Problema: Use o Maple para converter 17632 (base 16) em decimal.
> convert([2,6,3,7,1],base,16,10);
Novamente escrevendo os dígitos em ordem inversa, 17632 (base 16) = 95,074. Como forma de
verificação, escreva as potências de 16 em sua determinada posição.
65536
1
4096
7
256
16
3
6
1
2
1x65536 + 7x4096 + 3x256 + 6x16 + 2 = 95074
Converter de uma base outra e então dez para decimal é bem fácil. Digamos que esteja tirando o
número octal 1234567 e quer usar o Maple para converter este número para decimal. O comando é
> convert(1234567,decimal,octal);
Note que você escreveu, no comando do Maple,"decimal, octal" como se estivesse dizendo,
"Converta o número 1234567 para decimal de octal." Se quiser converter de octal para decimal,
você escreveria
> convert(8,octal,decimal);
Números hexadecimais usam os dígitos de 0 a 15, escritos como 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E, e F.
Caso queira converter um número hexadecimal em decimal, deve incluir o número hex em citação
única como mostrado no exemplo que segue, que converte ABCD em decimal.
> convert('ABCD',decimal,hex);
Como forma de verificação, escreva as potências de 16 e converta A, B, C, e D para seus
equivalentes decimais.
4096
256
16
1
A
10
B
11
C
12
D
13
10x4096 + 11x256 + 12x16 + 13 = 43981.
Escrever números em uma base que não seja dez é útil em computadores científicos. Mesmo que
seus interesses estejam em outra tecnologia, você verá que, sendo capaz de converter números de
uma base para outra, aprofunda seu conhecimento do sistema numérico decimal e a importância da
noção posicional , que verdadeiramente uma das grandes vantagens na representação de
quantidades numéricas.
Exercícios do Maple 1 - Noções de potências de dez no Maple
1. Usando a noção "e" do Maple, expresse o número 3x 10
3
+ 5x 10
2
+ 7x10 + 4 e mostre que é
igual a 3574. Sugestão:No Maple, 2e2+3e1+4 é o número 234 em noção de potência de dez.
Resposta: _______________________________________________________________________
2. Digite o número 5e4+4e2+3e0 no Maple. Que número é este?
Resposta: Em noção de potências de dez ordinárias, o número é____________________________
3. Converta os seguintes números decimais em hexedecimais.
(a) 565656
Resposta:_____________________________________________________________________
(b) 65536
Resposta:_____________________________________________________________________
(c) 4294967295
Resposta:_____________________________________________________________________
(d) 256 x 257
Resposta:_____________________________________________________________________
4. Converta os seguintes números hexadecimais em decimais.
(a) 3FF
Resposta:______________________________________________________________________
(b) FEFEFE
Resposta:______________________________________________________________________
(c) ABCDEF
Resposta:______________________________________________________________________
5. Converta os seguintes números decimais em binários. Sugestão: Pode usar a forma
">convert(16,binary)."
(a) 32
Resposta:______________________________________________________________________
(b) 63
Resposta:______________________________________________________________________
(c) 123
Resposta:______________________________________________________________________
6. Quantos nomes são necessários para nomear cada número de 1 a 1000 na base 2, 8, 10, 16?
(Você precisa de um nome para cada dígito e para cada múltiplo)
Resposta: _______________________________________________________________________
7. Imagine que você é um visitante em uma sociedade que utiliza o sistema duodecimal, um sistema
que usa 12 como base. Estes ainda não aprenderam a usar a noção posicional; assim precisam de
você para ajudá-los. Primeiro, você gostaria de fazer algumas tabelas de adição e multiplicação.
Construa estas tabelas, usando os símbolos A para 10 e B para 11. Mostre como usar estas tabelas
para multiplicar A3(base 12) x 5B(base 12). Verifique seu trabalho convertendo estes números em
decimais, usando a rotina convert do Maple.
8. Converta 121212(base 13) em decimal.
Resposta:_______________________________________________________________________
9. Converta 123456(base 10) em hexadecimal.
Resposta: _______________________________________________________________________
10. Atualmente, um computador pessoal usa 32-bit. Isto é equivalente a dizer que você pode
qualquer número binário de 32 zeros e 32 uns. Qual o equivalente de "32 uns" em decimal? É
necessário o comando convert, ou existe outra maneira para conseguir esta resposta?
Resposta: _______________________________________________________________________
4. Frações
A fração é definida como o raio de dois inteiros. Os números assim formados são também
chamados de números racionais. Assim, um número racional, ou fração, é um número de forma p/q,
onde p e q são inteiros e q não é igual a zero. Esta última restrição é importante, pois divisão por
zero é uma operação não permitida na aritmética. Mais tarde estará trabalhando com expressões
racionais,
que são quocientes de polinômio sem algum x indeterminado. Operações com
expressões racionais são semelhantes às operações com frações; e aqui são revisadas.
A declaração "a dividido por b" pode ser escrita de maneiras equivalentes, onde a primeira é
preferida.
a
1
= a : b = a/b = a , a = 0
b
b
5. Adicionando Frações
O primeiro passo na adição de frações é converter cada fração na soma em um denominador
comum. Um denominador comum é facilmente simplificado, multiplicando todos os denominadores
juntos. Por exemplo:
3 9 1
+ +
5 10 15
Encontramos o denominador comum multiplicando 5x10x15. Não multiplique ainda os números
juntos. Observe o denominador da primeira das frações, 3/5. O denominador é 5. Para construir um
denominador comum, você deverá multiplicar 5 por 10 e 15. Mas se multiplicar o numerador por 10
e 15, estará fazendo isto:
3
 10 x l 5 
5

 10 x l 5 
De fato, está multiplicando 3/5 por um, sendo que (10x15)/(10x15) = 150/150 = 1; isto significa que
não mudou o valor da fração, apenas sua aparência. Tendo certeza de que tem o mesmo
denominador nas três frações, chegará a:
3
9
1
+
+
=
 10 x l 5 
 5 xl 5 
 10 x5 
5
 10 
 15 

 10 x l 5 
 5 xl 5 
 10 xl 5 
450 675 50
+
+
=
750 750 750
1175
750
Esta é a soma das três frações, mas um passo de simplificação falta. Ambos, numerador e
denominador desta fração têm um fator comum; sendo assim, a fração não está em seus menores
termos. Dividindo ambos por 25, o resultado é
1175 47 x 25 47
=
=
750 30 x 25 30
Assim, nossa resposta final é
3 9 1 47
+ + =
5 10 15 30
Agora que já viu como resolver o problema com papel a lápis, observe como o Maple simplifica o
problema.
> 3/5+9/10+1/15;
O Maple, automaticamente, resolve a adição e reduz a fração a seus menores termos. O Maple
também faz o trabalho menor para
15 3 20
113
+ + +
19 21 23 65537
> 15/19+3/21+20/23+113/65537;
O numerador e o denominador contêm números de nove dígitos. O que acontece se adicionamos a
esta fração 35570/65539? O Maple dá como resposta
> 15/19+3/21+20/23+113/65537+35570/65539;
30828950543639
13139106866137
O que excede a precisão da maioria das calculadoras científicas, desde que ambos, numerador e
denominador, contêm 14 dígitos. Caso entre com esta soma em uma calculadora de bolso,
provavelmente ela lhe dará a resposta como o número decimal, 2.346350544. Algumas calculadoras
dão mais dígitos, outras menos.
Sistemas de álgebra computadorizados como o Maple podem manter precisão completa em seus
cálculos. Conseqüentemente, a resposta dada acima é exata, melhor que a resposta aproximada dada
pela calculadora de bolso; é útil quando estiver fazendo álgebra para manter absoluta precisão em
seu trabalho, mas, no final, estará mais interessado em respostas na forma decimal. Para fazer com
que o Maple converta uma fração como a mostrada acima para a forma decimal, é usada a função
evalf.
Exemplo: Converta 355/113 para decimal.
Solução:
> evalf(355/113);
Existe outra maneira de fazer com que o Maple dê suas respostas em forma decimal.Simplesmente
adicione um ponto decimal depois de algum número da expressão.
> 355./113;
Este último método funciona desde que não exista uma constante, como π na expressão. usando
evalf funciona em todos os casos, assim é o método mais utilizado.
No método usual para adicionar frações, primeiro encontra o menor múltiplo comum do
denominador.( A abreviatura para o termo "menor múltiplo comum" é mmc. O mmc de 5, 10, e 15 é
30. Você encontra o mmc escrevendo os fatores de cada denominador. No problema presente, os
fatores de 5 são 5 e 1; 5 é um número primo. Os fatores de 10 são 5, 2, e 1. Os fatores de 15 são 5,
3, e 1. faça um número menor que contenha todos estes fatores escolhendo 2, 3, e 5. Este número,
2 x 3 x 5 = 30, contém o denominador de cada fração e é o menor número que contém todos eles.
Pode usar este número em vez de multiplicar todos os denominadores como fizemos na primeira
vez, o que torna o problema mais fácil se estiver fazendo o problema no papel e lápis. Você pode
usar o Maple para encontrar o mmc de um grupo de números. O comando é ilcm (para mmc
inteiro).
> ilcm(5,10,15);
Você pode usar o comando ifactor para encontrar os fatores de qualquer inteiro.
> ifactor(30);
Você pode usar o Maple para adicionar qualquer número de fração juntas. O Maple adicionará as
frações e expressará a resposta na menor forma. Ele remove todos os fatores comuns do numerador
e denominador.
Exercícios do Maple 2 - Frações
Os antepassados egípcios escolheram escrever suas frações com um 1 no denominador. Escreviam a
fração 3/4 como 1/2+1/4, e 6/7 era escrita como 1/2+1/4+1/14+1/28. Para nós isto para ser
desnecessariamente complicado. Mesmo assim, os gregos usaram este sistema por muito tempo
também. Aqui temos um exemplo de um antepassado escrevendo: Um talento de prata (um talento é
uma unidade de dinheiro) equivale a 6,000 "copper dracmas" (dracmas é outra unidade de dinheiro,
menor que um dólar). Qual a fração de um talento sendo 352 + 1/2 + 1/3 + 1/17 + 1/34 + 1/51
dracmas?
Resposta: _______________________________________________________________________
Isto interessa em frações com numeradores de um alcançando novas proporções quando os
matemáticos gregos mais tarde estudaram o que chamamos hoje de fração continuada. Um exemplo
de fração continuada é
1+
1
1+
1
1+
1
1+ 1
1+ 1
2
Expresse esta fração na forma mais simples possível. ( Sugestão: o comando do Maple é:
1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/2))));
Agora observe o problema inverso. Dada a fração 73/51, como encontraria a fração continuada
deste número? A forma geral de uma fração continuada é
a+
1
b+
1
c+
1
d+
1
e+ 1
f ...
E o problema é encontrar uma maneira de determinar os número a, b , c, d, e, f e assim por diante.
Um começo pode ser observando que 73 = 1x51 + 22. Assim, 73/51 = 1 + 22/51, que já está
começando a parecer com a resposta que queremos. Para levar o procedimento um passo adiante,
aplicamos um pequeno truque. Observe que 22/51 = 1/51/22, e 51/22 = 1/(2+ +7/22). Continuamos
a trabalhar com a fração, primeiro escrevendo-as na forma recíproca. Escreva 7/22 como 1/22/7 =
1/(3+1/7), e você chega a uma fração, da qual o numerador é unitário. Colocando todos os
resultados juntos, conseguimos
73 = 1 +
51
2+
3+
7
1
1
1
É interessante descobrir que o método que usamos para expandir 73/51 em uma fração continuada é
o mesmo usado para encontrar o maior divisor comum de dois números e é chamada de Algoritmo
Euclides. (Um algarismo é um método sistemático de computação.)Agora é sua vez. Encontre a
fração continuada para 355/113. Verifique seus cálculos de papel e lápis usando o comando do
Maple que computa os números a, b, c, d e assim por diante. O comando é convert(x/y, confrac).
> convert(73/51, confrac);
A função convert do Maple é usada para converter muitos tipos diferentes de expressões de uma
forma para outra. Aqui, foi usada para converter uma fração para a forma de fração continuada, mas
pode também ser usada para converter ângulos em graus para radianos, decimais para frações e,
como vimos anteriormente, números de uma base para outra.
5. Números Reais
Podemos supor que um sistema numérico que inclui os inteiros, ambos positivos e negativos, e
todas as frações possíveis seria suficiente para qualquer trabalho matemático. Afinal, tal sistema lhe
permite medir comprimentos para qualquer precisão razoável. Imagine que tenha medido um
comprimento e o colocou sendo entre 5/8'' e 3/4'', isto é, entre 5/8'' e 6/8''. Poderia tirar a média
destas duas frações para obter (5/8+6/8)/2 = 11/16''. Generalizando este resultado, observa que pode
tirar qualquer par de fração - mesmos duas que pareçam ser muito próximas uma da outra - e
encontrar outra fração no meio das duas. Pode continuar este processo, tirando a nova fração e uma
das velhas , e encontrar mais uma no meio. Uma maneira de descrever esta propriedade do conjunto
de frações é dizendo que são densas ao longo de toda a linha numérica - não existe nenhuma lacuna
de qualquer comprimento possível de ser medido na linha numérica que não possa ser preenchido
por alguma fração ou outra usando o processo de média descrito. Outra maneira de pensar nisto é
percebendo que, dada uma fração, não existe "próxima" fração à medida que existe um "próximo"
inteiro depois de qualquer inteiro. O elemento no conjunto de todas as frações estão juntos demais
para permitir que exista uma "próxima fração".
Dadas estas observações sobre frações, é estonteante a rapidez com que os matemáticos
descobriram que existiam números que não poderiam ser representados com total precisão.
(triângulo ..........hipo=raís quadrada, cat=1 cat=1)
Figura 1 - O comprimento
2 é a hipotenusa de um triângulo de ângulo reto
Um destes números, e o primeiro a ser descoberto, é
2 . Este número, mesmo não sendo
exatamente expresso pelo raio de dois números inteiros, é facilmente imaginado, pois é o
comprimento da hipotenusa de um triângulo de ângulo reto do qual seus lados, contendo o ângulo
reto, são de comprimento unitário.
Imediatamente após este incrível descobrimento, começaram as especulações sobre a possibilidade
de representação do número π como uma fração. Dentre os grandes matemáticos, muitos
suspeitaram que o π apareceria como sendo um número irracional. Esta é a questão, mas isto
demorou até o último século para ser provado. Ao mesmo tempo, matemáticos descobriram que
existem "mais" números irracionais na linha numérica que racionais; mesmo assim, existem
infinitos números de ambos os gêneros. Esta abundância de números em nosso sistema numérico é
ao mesmo tempo uma benção e uma maldição.
Decorreram muitos séculos até que estas descobertas sobre os números irracionais foram admitidos
como membros do clube, assim falando. Depois de todos estes anos, tais números que não são
possíveis de ser expressos como frações ainda são chamados de números irracionais. Ainda são de
uma lógica perfeita, e muito necessários, somam para nosso sistema numérico.Com a adição dos
número irracionais ao racionais, nosso sistema numérico está completo. O conjunto completo,
chamado de números reais, contém todos os número possíveis.
Definição: Os números reais são o conjunto dos decimais infinitos.
Imagine expressar qualquer número na forma decimal, com os dígitos continuando infinitamente. O
número um é ensinado como sendo 1.000000000000............, com os zeros continuando
infinitamente. A fração 22/7 é ensinada como sendo 3.142857......., com, imaginamos, os dígitos
142857 sendo repetidos numa seqüência sem fim. Esta é uma propriedade compartilhada por todas
as frações: sua representação decimal se repetirá sempre. Por outro lado, a representação decimal de
um número irracional nunca se repetirá. Isto dá aos irracionais uma característica própria: assim
como um grande convidado em um cocktail cuja conversação é sempre em francês, nunca se
repetem.
O Maple usa a função evalf para converter números reais, assim como frações ou irracionais, para
seu equivalente decimal. existe uma opção para a função evalf que lhe permite especificar o número
de dígitos que quer em sua resposta. Inicialmente, o Maple usa a precisão de dez dígitos. O número
de dígitos que o Maple usará para a computação é estabelecida na variável Digits. Você pode
verificar o número de dígitos digitando
> Digits;
A resposta do Maple lhe mostra que está trabalhando com a precisão de dez dígitos. Todos os
resultados decimais serão mostrados com esta quantidade de dígitos. Caso queira mudar a precisão
com que trabalha o Maple, digite:
> Digits:=20;
De agora em diante, ou até que você mude a variável Digits para qualquer outro número, o Maple
dará suas respostas em 20 lugares decimais. Aqui estão algumas utilidades da função evalf , com
Digits:=10.
> evalf(22/7);
> evalf(1345/6);
> evalf(Pi);evalf(Pi,50);
Note as diferentes utilidades do evelf no último exemplo. Quando é usado evalf(Pi,50) , o segundo
número no comando evalf especifica o número de dígitos. Neste caso, foram chamados 50 dígitos,
assim o Maple avaliou o valor de π em 50 espaços decimais. Você pode usar a precisão do Maple
para experimentar o equivalente decimal de uma fração. Pegue qualquer fração que queira, não
importa quão grande seja o denominador, e expresse-o como um decimal. Examinando o resultado
em um número maior de espaços decimais, você mostrar que a representação decimal de qualquer
fração dada se repetirá.
Exercício do Maple 3 - Números Reais
1. Avalie a raiz quadrada de três em 30 espaços decimais.
Resposta:
3 = _________________________________________________________________
2. O número
1+ 5
2
é chamado Raio Dourado. Avalie o mesmo como sendo dez espaços
decimais.
3. Sendo
1+ 5
2
= τ . Mostre, usando o Maple para multiplicar os números, que t - τ - 1 =
2
0.Sugestão: Use qualquer um dos comando simplify ou expand, depois de definir :
>tau:=(1+sqrt(5))/2; e t:=tau^2-tau-1;
Resposta: Depois de expandir τ , τ 2 - τ -1= ___________________________________________
4. Encontre a aproximação decimal para
2−
expressão sqrt dentro de outra; por exemplo,
3 + 7 + 5 . Você vai precisar agrupar uma
2 + 3 , no Maple, é sqrt(2+sqrt(3));
Resposta: _______________________________________________________________________
6. Fatorando
Você sabe que quaisquer dois números podem ser multiplicados para obter um terceiro número.
Este número é chamado produto. Agora considere o problema inverso: dado um número, encontre
dois números que multiplicados dêem esse número. Para número pequenos, é possível resolver o
problema mentalmente. Dado o número 15, você vê que os dois números são 3 e 5. Assim 3 e 5 são
chamados os fatores de 15. (Perceba que o número 1 é fator de qualquer número, assim 15 e 1 são
também fatores de 15. isto pode parecer obvio ou até mesmo bobo, mas o conceito tem seus por
quês, como você verá quando estivermos simplificando frações algébricas, mais tarde.) Outros
números, como 30, podem ser fatorados de duas maneiras: 10x3 ou 6x5. Examinando mais à frente
estes dois resultados, vê-se que alguns destes números podem ser expressos como fatores: 10 = 2x5
e 6 = 2x3. Nenhum destes números pode ser fatorado em números menores. Assim, os fatores de 30
são 2 x 3 x 5, não importa qual maneira que utilizou para calcular.
Este resultado é muito geral. É chamado Teorema Fundamental de Aritmética,e diz que um número
pode ser fatorado de apenas uma maneira. A função ifactor do ] Maple é usada para encontrar os
fatores de qualquer inteiro.
Exemplo: use o Maple para fatorar o inteiro 123456789.
> ifactor(123456789);
O Maple mostra os fatores do número. Note que o fator 3 é repetido duas vezes.
Esta propriedade de números é levada a polinômios em um indeterminado em x. Mesmo não sendo
realmente uma propriedade dos números reais, é usual introduzir fatoração de uma expressão
algébrica, que será feita na próxima seção.
Exercício do Maple 4 - Fatorando
1. Foi uma vez ensinado que a expressão 2
n
(2 )
+1 pode produzir apenas primos. Use a função
ifactor do Maple para mostrar que é fatorável. Quais são os fatores quando n = 5?
Resposta: _______________________________________________________________________
2
2. A expressão n − n + 41 também ------ primos. Para testar a conjectura, você pode fazer uma
expressão, "ex:=n^2-n+41;" e então use o comando substituto, "subs(n=42,ex)", para avaliar a
expressão para algum valor de n definido. Depois pode usar a função isprime para testar se a
resposta é prima. Agrupando estas funções, uma dentro da outra, pode usar o único comando:
> isprime(subs(n=16,n^2-n+41));
Resposta: Para n = ______________________, a expressão ------- um número que é fatorável.
2
3. A expressão n − 79 n + 1601 produz outra seqüência de primos. Qual o menor valor de n que
produz um não-primo?
Resposta: para n = ______________________, a expressão ------ um número que é fatorável.
Lápis e Papel
LP -1
Complete a tabela.
(fazer tabela)......
LP - 2
Imagine que você tenha uma tabela de dois tempos, que lhe permite multiplicar qualquer número
por dois. Você tem uma tabela completa de adição, assim pode adicionar quaisquer dois números.
Você pode multiplicar qualquer dois números usando apenas a tabela de multiplicação de dois
tempos com adição?
Aqui temos um exemplo: Multiplique 121 por 62.
1. Escreva os números lado a lado.
2. Usando a tabela de dois tempos, sucessivamente duplicando um número e dividindo o outro,
formando duas colunas. Descarte qualquer resto no processo de divisão, mas
3. Copie o número na primeira coluna quando houver um resto.
(fazer tabela).....
(a) Use sua calculadora para multiplicar 121 por 62.
Resposta: _______________________________________________________________________
(b) Adicione todos os números na terceira coluna correspondendo aos números ------- na segunda
coluna.
Resposta: _______________________________________________________________________
Você chega à resposta correta para o problema de multiplicação por adicionar juntos todos os
números da primeira coluna que correspondem aos números ------- na segunda coluna. Tente o
método nestes exemplos, completando com os valores que faltam.
(fazer tabela).......
A soma dos números na coluna 3 é igual ao produto dos dois números originais em todos os casos?
Resposta: _______________________________________________________________________
Note: Este método de multiplicação foi usado até os dias atuais em algumas culturas. Está
relacionado ao sistema de números binários.
LP - 3
(a) Converta 62 em binário.
Resposta:________________________________________________________________________
(b) Converta 33 em binário.
Resposta:________________________________________________________________________
(c) Converta 48 em binário.
Resposta:________________________________________________________________________
LP - 4
Um velho problema envolve a contagem. Uma versão mais moderna é a seguinte ----------------"As I was going to St. Ives
I met a man with seven wives.
Each wife had seven sacks,
Each sack had seven cats,
Each cat had seven kits,
kits, cats, sacks, wives,
How amny were going to St. Ives?"
(a) Complete a tabela, assumindo que o homem e suas esposas estão todos indo para St.Ives.
(fazer tabela) .....
(b) Converta a soma, expressa como uma base de sete números, em decimal. São os resultados os
mesmos?
Resposta: _______________________________________________________________________
LP - 5
Aproximações numéricas versus resultados exatos.
(a) Avaliar ( 33333 - 33332 )( 3333 − 33332 ) em sua calculadora.
Resposta: _______________________________________________________________________
(b) Ainda em sua calculadora, trabalhe ( 333333333 -)( 333333333 − 333333332 ).
Resposta: _______________________________________________________________________
(c) Para ver a precisão destas respostas, use o Maple e consiga respostas exatas; use expand.
Respostas: _________________________,_____________________________________________
(d) Use a função evalf do Maple para conseguir os resultados na forma decimal, precisão de 20
espaços decimais (use Digits:=20).
Respostas: ________________________,______________________________________________
Note que o uso de álgebra (usando o comando expand do Maple) lhe dá uma resposta mais precisa
que quando trabalhando com números decimais, a menos que busque muitas figuras significantes.
Laboratório Maple
LM -1: As Quatro Operações Básicas
O Maple é uma calculadora. Você pode usá-lo para adicionar, subtrair, multiplicar e dividir.
(a) Os antepassados egípcios se restringiram a frações com numeradores unitários, com a -----exceção da fração 2/3. Por exemplo, eles escreviam 3/4 como 1/2+1/4.
Como você escreveria a fração que eles escreviam como sendo 1/2+1/4+1/14+1/28?
Resposta:________________________________________________________________________
(b) Use o Maple para ajudar a converter estas frações egípcias para suas equivalentes atuais:
(i) 1/3+1/7+1/127
Resposta:________________________________________________________________________
(ii) 1/4+1/6+1/9+1/56
Resposta:________________________________________________________________________
(iii) (1/5+1/7+1/8)-(1/6+1/9+1/11+1/13)
Resposta:________________________________________________________________________
(c) Como escreveria a fração 23/47 na maneira egípcia?
Resposta:________________________________________________________________________
LM -2: Divisor de um Número Inteiro
(a) 16,000,001 tem algum divisor? Caso tenha, quais seriam eles?
Resposta: _______________________________________________________________________
(b) Quais os divisores de 160000001?
Resposta:________________________________________________________________________
(c) Quais os divisores de 1,600,000,001?
Resposta:________________________________________________________________________
(d) Quais os divisores de 16,000,000,039?
Resposta:________________________________________________________________________
LM -3: Divisibilidade
Numerologistas têm investigado "números perfeitos" ao longo dos séculos. Um número perfeito é
igual à soma de todos os seus fatores. O primeiro número perfeito é 6, desde que a soma de cada
possível fator de 6 (i.e., 1, 2, 3) é seis. O próximo número perfeito é 28, desde que 28 =
14+7+4+2+1. Todos os fatores possíveis são usados para formar a soma.
(a) O próximo número perfeito é 496. Usando ifactor, escreva todos os seus fatores e some-os.
Resposta: fatores: _______________________, soma de todos os fatores: ____________________
(b) 8128 é um número perfeito? Escreva todos os seus fatores e some-os______________________
(c) 33550336 é um número perfeito?
Resposta: Fatores:__________________________,soma:_________________________________
n
Sugestão: Para adicionar todos os fatores, use o comando sum. Todas as combinações de 2 , n =
n
0..12 são possíveis, com 2 *8191, n = 1..11. Assim, use o comando
> sum(2^n+2^n*8191,n=9..11)+2^12;
LM -4: Números Perfeitos ficam Rapidamente Grandes
Utilize a sugestão de ML1-3 para mostrar que p=8,589,869,056 é um número perfeito. Qual o
maior fator de p?
Resposta: _______________________________________________________________________
LM -5: Convertendo para Diferentes Bases Numéricas
Cientistas do computador usam freqüentemente números binários e hexadecimais. Para converter
um número como 45 de decimal para binário, use o comando
> convert(45,binary);
> convert(45,hex);
> covert(7,base,7);
> convert([0,1,1,1,1],base,7,10);
> sum(i,i=1..1000);
> Ic:=proc(n:integer)
> local r,i;
> r:=n;
> i:=1,print(r);
> if r=1 then RETURNO;fi;
> while not r=1 do
> if r mod 2=0 then r:=r/2;print(r);i:=i+1;else print(r);i:=i+1;fi;
> od;
> print(`Number of iterations:`,i);
> end;
> Ic(4);
> lc(-1);
> for jk=3500 to 4000 do lc(jk) od;