Capítulo 2
DISTRIBUIÇÃO DE
FREQUENCIA
Representação tabular dos
dados estatísticos
•
Denomina-se tabela a disposição escrita dos dados
estatísticos segundo um ou mais critérios de
classificação. A seguir, um exemplo de tabela.
• Tabela. Classe sócio-econômica das famílias do
Município X
CLASSE
A.............
B.............
C.............
D.............
ANOS
1998
721
1 379
3 656
5 865
1999(1)
783
1 406
3 585
5 634
FONTE: Prefeitura do Município X
NOTA: Dados referentes ao mês de junho de cada ano
(1) Previsão realizada em novembro de 1998
Elementos de uma tabela
• ELEMENTOS ESSENCIAIS:
– Título: é uma informação concisa colocada no topo da tabela
que indica a natureza do fato observado, o local e a época em
que procedeu-se a observação.
– Corpo: é o conjunto de linhas e colunas que contém uma série
de informações em disposição horizontal e vertical,
respectivamente.
– Casa ou célula: é o cruzamento de uma linha com uma coluna.
Uma casa pode conter somente uma informação.
– Cabeçalho: é a parte superior do corpo da tabela que especifica
o conteúdo das colunas.
– Coluna indicadora: é a parte do corpo da tabela que especifica
o conteúdo das linhas
Elementos de uma tabela
•
ELEMENTOS COMPLEMENTARES:
– Fonte: é a informação colocada no rodapé da tabela destinada
a indicar a procedência dos dados.
– Notas: são informações destinadas a esclarecer todo o
conteúdo da tabela. No caso de haver duas ou mais notas,
estas devem ser numeradas por algarismos romanos.
– Chamadas: são informações destinadas a esclarecer o
conteúdo de uma casa, linha ou coluna da tabela. As chamadas
são indicadas no corpo da tabela por algarismos arábicos entre
parênteses e a numeração deve crescer da esquerda para a
direita e de cima para baixo. No corpo da tabela, os números
das chamadas devem estar esquerda nas casas e à direita no
cabeçalho e na coluna indicadora.
Distribuição de frequência
• É uma tabela constituída de uma coluna
indicadora que contem intervalos de
dados e outra coluna que contém o
número de dados em cada intervalo.
• Os intervalos são denominados classes e
o número de dados em cada classe é
denominado freqüência absoluta
simples ou simplesmente freqüência,
geralmente denotada por f.
Tabela- Nota final em Estatística dos alunos
da turma X, segundo período de 2008
NOTAS
10| 28....................
28 | 46....................
46 | 64....................
64 | 82....................
82 | 100....................
N.º de alunos
12
15
10
8
5
Construção de uma tabela de
distribuição de frequências
Um número adequado de classes pode também ser dado pela fórmula de Sturges que é a seguinte:
número de classes  1  3,3log n
número de classes  1  3,3 log N
(amostra)
ou
(população)
onde n é o número de dados observados e logn é o logaritmo decimal do número de dados.
O resultado encontrado pela fórmula acima deve ser arredondado para o inteiro mais próximo.
A amplitude das classes é :
c = maior valo r observado - menor valo r observado
numero de classes
• OBS: O limite da primeira classe deve ser igual ou menor ao menor dado
observado
– Limite superior da última classe é igual ao limite inferior da primeira
somado ao produto do número de classes pela amplitude das mesmas
e deve ser superior ao maior dado observado.
•
Exemplo. A quantidade de vendas de determinado
produto observada em 50 cidades, em julho de 2008
apresentou os seguintes dados:
110 110 112 121 125 128 128 131 131 132 136 141
142 142 145 145 147 147 147 150 150 150 151
153 155 157 159 159 159 163 163 165 165 165
165 165 165 168 171 173 175 175 176 179 184
185 189 193 195 197.
Elabore uma distribuição de freqüências para estes dados.
Distribuição de frequências
relativas
• Comparar duas ou mais distribuições de
freqüências
f
f%=  100
n
(amostra)
f
f%=  100
N
(população)
Distribuição de frequências
acumuladas
• Número de dados até uma determinada
classe, incluindo todas as anteriores.
• Para comparar duas ou mais distribuições
de freqüências acumuladas, empregam-se
as freqüências acumuladas relativas.
F%= F  100
n
(amostra)
F%= F 100
N
(população)
Análise de uma distribuição de
frequências
•
•
Tendência central: os dados se agrupam
em torno de um valor intermediário que
tende a se localizar no centro da
distribuição.
Dispersão: variação apresentada pelos
dados. Quanto maior for a variação,
mais heterogêneos são os dados;
quanto menor a dispersão, mais
homogêneos sãos os dados.
Análise de uma distribuição de
frequências
•
•
•
Simetria: numa distribuição simétrica os dados
estão igualmente distribuído em torno de um
valor central.
Conglomerados: são grupos de dados que
tendem a se concentrarem em torno de certos
valores formando agrupamentos dentro da
distribuição denominados conglomerados.
Valores discrepantes: são dados que se
afastam dos valores típicos.
Capítulo 3
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
GRÁFICO DE COLUNAS OU DE
BARRAS
•
•
•
•
É a representação de uma série estatística através de retângulos em
posição vertical (gráfico de colunas) ou horizontal (gráfico de barras).
Mais adequados para a representação de séries geográficas e
especificativas.
Os retângulos devem ter a mesma base e as variações são representadas
pelas alturas.
Quando as legendas são muito extensas, usa-se gráfico de barras, com os
retângulo em ordem decrescente.
Tabela 3.1. População brasileira segundo a região, 2000
Região
Habitantes
%
Norte................................
10 030 556
6,8
Nordeste...........................
42 497 540
28,9
Sudeste.............................
62 740 401
42,7
Sul....................................
22 129 377
15,1
Centro-Oeste....................
9 427 601
6,4
BRASIL...........................
146 825 475
100,0
FONTE: IBGE, Censo demográfico de 1991
Gráfico de colunas
Figura 3.1. População brasileira segundo a região, 1991
70
Habitantes (milhões)
60
50
40
30
20
10
0
N
NE
SE
Regiões
S
CO
Gráfico de barras
Figura 3.2. População brasileira segundo a região, 1991
Sudeste
Regiões
Nordeste
Sul
Norte
Centro-Oeste
0
10
20
30
40
Habitantes (milhões)
50
60
70
Colunas Justapostas e Colunas
Superpostas
• Se houver mais de um item por categoria a ser
representada, as colunas (ou barras) podem ser
justapostas ou superpostas.
Tabela 3.2. População brasileira segundo a região e a
situação do domicílio (urbana ou rural), 1991
Habitantes
Regiões
Urbana
Rural
Norte........................
5 922 574
4 107 982
Nordeste...................
25 776 279
16 721 261
Sudeste.....................
55 225 983
7 514 418
Sul............................
16 403 032
5 726 345
Centro-Oeste............
7 663 122
1 764 479
BRASIL...................
110 990 990
35 834 485
FONTE: IBGE, censo demográfico de 1991
Gráfico de colunas justapostas
Habitantes (milhões)
60
Figura 3.3. População brasileira segundo a região e a situação
do domicílio (urbana ou rural), 1991
Urbana
50
Rural
40
30
20
10
0
N
NE
SE
Regiões
S
CO
Gráfico de colunas superpostas
Habitantes (milhões)
70
Figura 3.4. População brasileira segundo a região e a
situação do domicílio (urbana ou rural), 1991
60
Rural
50
Urbana
40
30
20
10
0
N
NE
SE
Regiões
S
CO
Colunas compostas
• Neste caso, as colunas têm a mesma altura e são
dividas em áreas proporcionais aos itens de cada
categoria. Assim sendo, tem-se que:
• 1.º) Região Norte: população urbana (59,0%); população
rural (41%)
• 2.º) Região Nordeste: população urbana (60,7%);
população rural (39,3%)
• 3.º) Região Sudeste: população urbana (88,0%);
população rural (12,0%)
• 4.º) Região Sul: população urbana (81,3%); população
rural (18,7%)
• 5.º) Região Centro-Oeste: população urbana (75,6%);
população rural (24,4%)
Colunas compostas
Figura 3.5. População brasileira segundo a região e a situação do
domicílio (urbana ou rural), 1991
100
Habitantes (milhões)
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Rural
Urbana
N
NE
SE
Regiões
S
CO
GRÁFICO DE SETORES
• É a representação de
uma série estatística
através de um círculo
dividido em setores
cujas áreas os
proporcionais aos
valores representados.
• Tem o objetivo de
comparar os valores
observados numa série
geográfica ou
especificativa com o
total dos mesmos.
Figura 3.6. População brasileira segundo a região, 1991
6%
7%
15%
43%
Centro-Oeste
Norte
Sul
Nordeste
Sudeste
29%
GRÁFICO DE CURVAS OU DE
LINHAS
• Utilizado quando uma das variáveis o tempo, sendo este
representado sempre no eixo das abscissas.
• Havendo mais de uma variável a ser representada,
utiliza-se tracejados diferentes devidamente
identificados por meio de legendas.
Tabela 3.3. Precipitação e temperatura médias anuais em Juiz de Fora, 1991-2000
Ano
Precipitação (mm)
Temperatura(ºC)
Ano
Precipitação (mm)
Temperatura (ºC)
1991
1 544
18,7
1996
1 563
18,5
1992
1 648
19,8
1997
1 405
19,3
1993
1 221
19,4
1998
1 300
19,4
1994
1 730
19,1
1999
1 381
18,6
1995
1 565
19,4
2000
1 366
18,9
Gráfico de Linhas
Figura 3.7. Precipitação anual em Juiz de Fora, 1991-2000
1800
Precipitação (mm)
1700
1600
1500
1400
1300
1200
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
Anos
FONTE: Estação Climatológica de Juiz de Fora
Gráfico de Linhas
Populações dos municípios A e B, 1930-1990
Habitantes
Município A
Município B
1934...........
50 362
631 842
1950...........
112 549
1 374 509
1960...........
158 694
2 102 999
1970...........
222 172
3 091 408
1980...........
304 075
4 266 144
1990...........
420 038
5 631 310
2000...........
562 851
7 264 389
Figura 3.8. Populações dos Municípios A e B, 1930-1990
10000000
Habitantes
Anos
1000000
100000
Município A
Município B
10000
1930
1940
1950
1960
Anos
1970
1980
1990
GRÁFICO DE PONTOS
• Utilizado para representar a distribuição dos
dados de uma variável quantitativa quando o
número de observações não é muito grande.
– Exemplo 3.5. Os dados abaixo referem-se às
medidas da temperatura média (ºC) em 20 postos de
observação de determinada localidade em julho de
2001: 19, 22, 18, 24, 16, 25, 18, 21, 20, 25, 19, 25,
18, 21, 20, 16, 19, 21, 14, 23. Represente estes
dados por um gráfico de pontos.
Gráfico de Pontos
Figura 3.8. Temperatura média em 20 postos de observação na
localidade X, julho de 2001
18
19
20
21
Temperatura (ºC)
22
23
HISTOGRAMA
• Utilizado para representar uma distribuição de freqüências simples.
• É um conjunto de retângulos justapostos de mesma base que
representam as classes sendo que as alturas dos referidos
retângulos correspondem às freqüências (absolutas ou relativas)
das respectivas classes e os centros das bases representam os
pontos médios das respectivas classes.
Tabela 3.3. Velocidade média do vento em 50 postos
de observação instalados na localidade X, 2000
Velocidade (km/h)
N.º de postos
8
29 | 43................
12
43 | 57...............
15
57 | 71...............
11
71 | 85................
4
85 | 99................
FONTE: Serviço de meteorologia da localidade X
Histograma
16
Velocidade média do vento observada em 50 postos de
observação instalados na localidade X, 2000
Número de postos
14
12
10
8
6
4
2
0
36
50
64
78
Velocidade (km/h)
82
POLÍGONO DE FREQUENCIA
Velocidade média do vento observada em 50 postos de
observação instalados na localidade X, 2000
16
14
Número de postos
• Também utilizado para
representar um distribuição
de freqüência simples.
• Representando-se os
pontos médios das classes
nas abscissas e as
respectivas freqüências no
eixo das ordenadas.
12
10
8
6
4
2
0
22
36
50
64
78
Velocidade (km/h)
82
96
OGIVA DE GALTON
• Utilizada para representar uma distribuição de freqüências
acumuladas.
• Representando-se os limites das classes nas abscissas e as
respectivas freqüências acumuladas no eixo das ordenadas
Tabela 3.3. Velocidade média do vento em 50 postos
de observação instalados na localidade X, 2000
Velocidade (km/h)
N.º de postos
Abaixo de 29.................
0
Abaixo de 43.................
8
Abaixo de 57.................
20
Abaixo de 71.................
35
Abaixo de 85.................
46
Abaixo de 99.................
50
FONTE: Serviço de meteorologia
Ogiva de Galton
Velocidade média do vento observada em 50 postos de
observação instalados na localidade X, 2000
50
Número de postos
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
29
43
57
71
Velocidade (km/h)
85
99
RAMOS E FOLHAS
• O gráfico de ramos e folhas é utilizado para representar
a distribuição dos dados de uma variável quantitativa.
– Exemplo 3.7. Os dados a seguir representam os valores da
vazão (em m3/s) de 26 rios na localidade X em julho de 2001:
56, 85, 42, 63, 97, 59, 72, 91, 95, 104, 68, 79, 88, 88, 101, 76,
100, 118, 86, 94, 93. Represente a distribuição destes dados por
um gráfico de ramos e folhas.
– Solução
– Ordenando-se os dados acima, tem-se : 42, 56, 59, 63, 68, 72,
76, 79, 85, 86, 88, 88, 91, 93, 94, 95, 97, 100, 101, 104, 118.
– Adotando-se uma escala de 10, os ramos são 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
e 11, enquanto que as folhas são 2 (para o ramo 4), 6 e 9 (para
o ramo 5), 3 e 8 (para o ramo 6), 2, 6 e 9 (para o ramo 7), 5, 6, 8
e 8 (para o ramo 8), 1, 3, 4, 5 e 7 (para o ramo 9), 0, 1 e 4 (para
o ramo 10) e 18 (para o ramo 11). Com estas considerações,
tem-se o gráfico a seguir.
Ramos e Folhas
4
5
6
7
8
9
10
11
2
6
3
2
5
1
0
18
9
8
6
6
3
1
9
8
4
4
8
5
7
ANÁLISE DE UM GRÁFICO
•
•
•
•
•
•
•
GRÁFICOS DE COLUNAS (BARRAS) SIMPLES E GRÁFICO DE
SETORES
Nestes gráficos deve-se observar os valores máximo (s) e mínimo (s).
Nos gráficos de colunas justapostas, superpostas e compostas deve-se
comparar as variá eis envolvidas.
GRÁFICO DE CURVAS
Nestes gráficos deve-se observar os valores máximo (s) e mínimo (s),
o (s) período (s) onde ocorre (em) a(s) maior (es) e menor(es) variação
(variações) e a tendência das variáveis analisadas.
No caso de duas ou mais variáveis, deve-se comparar as variações
das mesmas.
HISTOGRAMA, POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA, OGIVA DE GALTON,
GRÁFICO DE PONTOS E RAMOS-E-FOLHAS
Nestes gráficos procura obter as seguintes informações: tendência
central, dispersão e assimetria, conglomerados e valores discrepantes.