5HYLVmRELEOLRJUiILFD
A análise dinâmica ou análise de vibrações é o estudo da relação entre
o movimento de um sistema físico e as forças que o causam. Geralmente a
prática usual se limita ao comportamento de estruturas submetidas a cargas
estáticas, admitindo-se que as cargas aplicadas lentamente às estruturas são
instantaneamente
equilibradas.
Contudo,
existem
estruturas
que
são
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freqüentemente submetidas a forças cujas amplitudes variam continuamente
com o tempo. Têm-se na natureza diversos exemplos desse fenômeno entre os
quais citam-se: forças causadas pela ação do vento, movimentos decorrentes de
abalos sísmicos, ondas sonoras, vibrações produzidas por máquinas rotativas e
até mesmo o caminhar de pessoas. Sob esses tipos de carregamento, os
elementos estruturais entram em vibração; portanto, a análise dinâmica das
estruturas é tão importante na garantia da estabilidade de uma estrutura quanto
na sua análise estática.
GHAVAMI et al (2002) apresenta um trabalho com pequenos
segmentos de bambu. Segmentos em balanço de seção transversal retangular
com dimensões de 3 x 12 milímetros e comprimento de aproximadamente 500
milímetros, tudo aproximadamente. Utilizam-se duas vigas da espécie
'HQGURFDODPXV JLJDQWHXV para esse experimento. As medições são tomadas
através de acelerômetros e os amortecimentos são obtidos com o método do
decremento logarítmico. Os resultados obtidos estão apresentados na Tabela
2.1.
Revisão bibliográfica
25
Tabela 2.1 – Valores experimentais do fator de amortecimento.
Espécime 1
Teste
ξ (%)
Espécime 2
Teste
ξ (%)
1
2
3
4
Média
1
2
3
4
Média
0.690
0.645
0.507
0.516
0.590
0.542
0.539
0.427
0.537
0.511
*UDXVGHOLEHUGDGH
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Em dinâmica estrutural o número de coordenadas necessárias para
especificar a configuração ou a posição de um sistema em qualquer instante é
chamado de número de graus de liberdade. Assim, estruturas contínuas têm um
número elevado de graus de liberdade. O processo de idealização ou seleção de
um modelo matemático apropriado permite a redução dos números de graus de
liberdade para um número reduzido e em alguns casos somente a um grau de
liberdade. Esses sistemas de um grau de liberdade podem ser descritos
convenientemente por um modelo como o mostrado na Figura 2.1 que tem os
seguintes elementos:
(1) O elemento massa, m, representa a massa e a sua inércia que são
características inerentes da estrutura;
(2) o elemento mola com constante de rigidez, k, representa a força elástica
restaurada e a capacidade de energia potencial da estrutura;
(3) o elemento amortecedor com coeficiente de amortecimento, c, representa a
característica de dissipação de energia da estrutura;
(4) e a força de excitação F(t) representa a ação das forças externas no sistema
estrutural. A força F(t) é escrita dessa forma para indicar que é uma função do
tempo.
Revisão bibliográfica
26
x(t)
k
F(t)
m
c
Figura 2.1. Modelo matemático de um sistema com um grau de liberdade.
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9LEUDomROLYUH
Um sistema estrutural está sujeito à vibração livre quando é atuado
somente pela energia potencial e pela energia cinética internas ao sistema.
6LVWHPDPDVVDPROD
O sistema massa-mola de um grau de liberdade, é mostrado na Figura
2.2, sendo m a massa e k a rigidez da mola.
x(t)
k
m
superfície
sem atrito
Figura 2.2 – Sistema massa-mola sem atrito.
A equação do movimento para este sistema é dada pela equação:
+ kx(t) = 0
mx(t)
Uma possível solução para a equação acima é da forma:
(2.1)
Revisão bibliográfica
27
x(t) = Aeλt
(2.2)
Logo, a equação do movimento é reescrita na forma:
mAλ 2 eλt + kAeλt = 0
(2.3)
Como Aeλt ≠ 0 , pode-se cancelar este termo, e resolver a equação de
segundo grau, chamada equação característica, obtendo-se:
mλ 2 + k = 0 ⇒ λ =
Como, λ = ±iωn onde ωn =
−k
k
= ±i
m
m
(2.4)
k
é definida como a freqüência natural
m
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do sistema e a solução fica conforme:
x(t) = A1eiωn t + A 2e −iωn t
(2.5)
Têm-se agora duas constantes arbitrárias, A1 e A2, para determiná-las,
são necessárias duas condições iniciais x(0) = x o e x(0)
= v o , sendo que a
primeira representa a posição inicial e a segunda a velocidade inicial.
Sabe-se que eiωn t é a forma exponencial para cos ωn t + isenωn t e assim,
a equação que descreve a dinâmica do sistema pode ser reescrita da seguinte
forma:
x(t) = C cos ωn t + Dsenωn t
(2.6)
Onde C e D, novamente, são constantes arbitrárias que podem ser
determinadas
anteriormente.
a
partir
das
condições
iniciais
do
problema,
expostas
Revisão bibliográfica
28
1
0.5
x(t)
0
-0.5
-1
0
5
10
15
20
t
Figura 2.3 – Exemplo de resposta de um sistema sem amortecimento.
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$PRUWHFLPHQWRYLVFRVR
O sistema massa-mola-amortecedor de um grau de liberdade mostrado
na Figura 2.4 é constituído de uma massa, m, conectada a uma referência fixa
por uma mola de rigidez, k, e um amortecedor com coeficiente de
amortecimento, c.
x(t)
k
m
c
superfície
sem atrito
Figura 2.4 – Sistema massa-mola-amortecedor sem atrito.
A equação do movimento para este sistema é dada segundo:
+ cx(t)
+ kx(t) = 0
mx(t)
(2.7)
ou
x(t) +
c
k
+ x(t) = 0
x(t)
m
m
(2.8)
Revisão bibliográfica
29
Sendo: ω2n =
k
c
e 2ξωn = , onde ξ é fator de amortecimento do
m
m
sistema.
O sistema está sujeito as seguintes condições iniciais x(0) = x o e
x(0)
= x o , sendo que a primeira representa a posição inicial e a segunda a
velocidade inicial.
Uma solução como já visto anteriormente é dada por:
x(t) = Aeλt
(2.9)
= Aλeλt
x(t)
(2.10)
x(t) = Aλ 2 eλt
(2.11)
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Assim temos:
Substituindo (2.10) e (2.11) em (2.7) temos:
(mλ 2 + cλ + k)Aeλt = 0
(2.12)
Já que Aeλt ≠ 0 , pode-se cancelar este termo e obter a equação:
mλ 2 + cλ + k = 0
(2.13)
As soluções para a equação anterior são de acordo como a seguir.
λ1,2 =
−c
1
±
c 2 − 4mk
2m 2m
(2.14)
A solução (2.14) pode ser reescrita da seguinte forma:
2
λ1,2
=−
c
c 2 − 4mk
c
k
 c 
=−
±
=−
± 
 − =
2
2m
4m
2m
 2m  m
c
±
2m
2
 k  c 2 
c
 c 
2
−
−
1
=
−
±
i
ω
−
(
)

n

 


2m
 2m 
 m  2m  
(2.15)
Revisão bibliográfica
30
2
 c 
 é chamada de freqüência circular
 2m 
Sendo que ωd = i ωn 2 − 
amortecida.
Assim, a solução do sistema, se as raízes forem distintas, tem a
seguinte forma:
x(t) = Aeλ1t + Beλ2 t
(2.16)
Substituindo (2.15) em (2.16), tem-se:
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x(t) = Ae
=e
−
2
 c
 c  
−
+ i ωn 2 −
 t
 2m
 2m 


c
t
2m
 i
 Ae


=e
−
+ Be
2
 c
 c  
−
−i ωn 2 −
 t
 2m
 2m 


2
 c 
ωn 2 − 
 t
 2m 
c
t
2m
2
+ Be
 c 
− i ωn 2 − 
 t
 2m 
(Aeiωd t + Be − iωd t )
=

=


(2.17)
Na forma geométrica, a solução anterior fica:
x(t) = e
−
c
t
2m
(C cos ωd t + Dsenωd t)
(2.18)
O valor de λ pode ser real ou complexo, dependendo do termo
c 2 − 4mk . Assim, tem-se 3 casos possíveis. O amortecimento crítico é definido
segundo a seguinte equação:
ccr = 2mωn = 2 mk
(2.19)
O fator de amortecimento do sistema é definido conforme a seguinte
equação:
ξ=
c
c
=
ccr 2mωn
(2.20)
Sendo assim, as raízes da equação podem ser escritas conforme
(2.21).
λ1,2 = ωn [−ξ ± ξ2 − 1]
(2.21)
Revisão bibliográfica
31
De acordo com o valor de c 2 − 4mk ou ξ, têm-se 3 casos a seguir:
ξ<1 – duas raízes complexas e conjugadas.
ξ=1 – duas raízes reais e iguais.
ξ>1 – duas raízes reais e diferentes.
A seguir são apresentados sucintamente os 3 casos de movimento
amortecido. É de interesse apenas o movimento sub-amortecido. Sendo este o
caso 1, onde: ξ<1 – duas raízes complexas e conjugadas.
0RYLPHQWRVXEDPRUWHFLGR[
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Este caso é o de maior interesse da engenharia devido à grande
freqüência com que ocorre, correspondendo a um baixo valor de amortecimento.
Então verifica-se que as raízes da equação podem ser escritas da forma a
seguir:
λ1,2 = ωn (−ξ ± i 1 − ξ2 ) = −ξωn ± iωd
(2.22)
A solução geral fica como em (2.23).
x(t) = e −ξωn t (A cos ωd t + Bsenωd t)
(2.23)
As constantes A e B da equação (2.23) são determinadas a partir das
condições iniciais do movimento em t=0.
Para x(0) = x o , substituindo na equação (2.23) tem-se:
A = xo
Para x(0)
= x o , substituindo na equação (2.23) tem-se:
x(0)
= −Aξωn + Bωd
∴
B=
x o
ξ
+
xo
ωd
1 − ξ2
A solução fica da forma:
x = e−ξωn t [x o cos(ωd t) + (
x o
ξ
+
x o )sen(ωd t)]
ωd
1 − ξ2
(2.24)
Revisão bibliográfica
32
Fazendo a composição dos harmônicos, tem-se:
x = e−ξωn t x o2 + (
ξ
x o
+
x o )2 cos(ωd t − θ)
2
ωd
1− ξ
(2.25)
1
0.5
x(t)
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0
-0.5
-1
0
5
10
15
20
t
Figura 2.5 – Exemplo de resposta de um sistema sub-amortecido.
0RYLPHQWRFULWLFDPHQWHDPRUWHFLGR[ É a transição entre o movimento sub-amortecido e superamortecido. As
raízes são reais e iguais e c=ccr, conforme visto na equação (2.20). Então, a raiz
fica conforme (2.26).
λ = −ωn
(2.26)
Pode-se escrever agora a solução geral da seguinte maneira:
x(t) = (A + Bt)e −ωn t
(2.27)
Aplicando-se as mesmas condições iniciais obtém-se a resposta do
sistema de acordo com:
x = e−ωn t [x o + (x o + ωn x o )t]
(2.28)
Revisão bibliográfica
33
Neste caso, não existe oscilação, a massa não passa pela sua posição
inicial com o mesmo sentido da sua velocidade inicial uma segunda vez.
1
0.5
x(t)
0
-0.5
-1
0
5
10
15
20
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t
Figura 2.6 – Exemplo de resposta de um sistema criticamente amortecido.
0RYLPHQWRVXSHUDPRUWHFLGR[!
As raízes são reais e diferentes. O movimento não é oscilatório. As
raízes são:
λ1,2 = ωn [−ξ ± ξ2 − 1]
(2.29)
A solução fica da forma:
x(t) = Aeωn [ −ξ+
ξ2 −1]t
+ Beωn [ −ξ−
ξ2 −1]t
(2.30)
Como eθ = cosh θ + senhθ e e −θ = cosh θ − senhθ , tem-se:
x = e−ξωn t A[cosh(ωn ξ2 − 1t) + senh(ωn ξ2 −1t)]
+ B[cosh(ωn ξ2 − 1t) − senh(ωn ξ2 − 1t]
Se A+B=C e A-B=D, logo:
x = e−ξωn t [C cosh(ωn ξ2 − 1t) + Dsenh(ωn ξ 2 − 1t)]
(2.31)
Revisão bibliográfica
34
Aplicando-se as mesmas condições iniciais obtém-se a seguinte
solução final:
x = e−ξωn t [x o cosh(ωn ξ 2 − 1t)
+(
x o
ωn ξ − 1
2
+
ξ
ξ −1
2
x o )senh(ωn ξ2 − 1t)]
(2.32)
1
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0.5
x(t)
0
-0.5
-1
0
5
10
15
20
t
Figura 2.7 - Exemplo de resposta de um sistema super amortecido.
3URSULHGDGHVGLQkPLFDV
A freqüência natural de vibração e o amortecimento são as duas mais
importantes propriedades dinâmicas de um sistema vibratório. Em um sistema
estrutural qualquer, é de grande importância a determinação das freqüências
naturais para avaliarem os níveis de vibrações que o sistema apresentará por
causa da ressonância. O conhecimento da propriedade de amortecimento do
sistema também conduz a informações valiosas sobre a estrutura interna e a
micromecânica do material, e é de grande importância no estudo da fadiga e da
fluência.
Revisão bibliográfica
35
)UHTrQFLDQDWXUDO
A determinação da freqüência natural é de fundamental importância em
qualquer sistema estrutural. Para cada sistema existem várias freqüências
naturais, variando também de sistema para sistema. Esta é a freqüência com
que o sistema oscila quando muda da posição estática para a vibratória. É
dependente da rigidez que o sistema apresenta e de sua massa.
$PRUWHFLPHQWR
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A propriedade de uma estrutura em dissipar energia é chamada
amortecimento e este pode ser gerado através de três mecanismos: arraste
fluido dinâmico (amortecimento fluido), dissipação de energia interna do material
(amortecimento material) e por atrito ou impacto entre as partes constituintes de
uma estrutura (amortecimento estrutural). O amortecimento fluido é o resultado
da energia dissipada por viscosidade e pressão de arraste aplicada em uma
estrutura, como, por exemplo, o fluxo de óleo entre o pistão e o cilindro
absorvedor de choque que provê a maior parte do amortecimento de um
automóvel. Alguns materiais, como borracha e chumbo, possuem alto
amortecimento material e são usados para absorver choque ou são laminados e
colocados
nos
elementos
estruturais
formando
compostos
altamente
amortecidos. Um exemplo de amortecimento estrutural pode ser visto na fricção
de duas superfícies parafusadas em uma articulação. Este mecanismo dissipa a
maior parte da energia em estruturas metálicas que vibram sob ação de vento. O
amortecimento total de uma estrutura é a soma das componentes de
amortecimento fluido, amortecimento material e amortecimento estrutural.
Geralmente em estruturas, o amortecimento é dominado por amortecimento
fluido ou amortecimento estrutural, a menos que a estrutura seja provida de
sistemas atenuadores especialmente projetados. (RESENDE, 2003)
Revisão bibliográfica
36
0HGLomRGRDPRUWHFLPHQWR
Uma maneira conveniente para medir o amortecimento é através do
fator de perda η , que é obtido pela relação entre a perda de energia em um ciclo
de oscilação, W, e o pico de energia potencial, V, armazenado neste sistema
durante o ciclo. O fator de perda é então definido como:
η=
W
2πV
(2.33)
Considerando que o fator de perda em estruturas é muito pequeno e a
influência do amortecimento na resposta da vibração pode ser notado somente
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próximo da ressonância então o fator de perda pode ser obtido pela equação a
seguir:
η = 2ξ
(2.34)
0pWRGRVGHDQiOLVH
Dois métodos confiáveis de determinação do amortecimento são os
métodos do decremento logarítmico e de meia potência.
0pWRGRGR'HFUHPHQWR/RJDUtWPLFR
A resposta de um sistema com um grau de liberdade em vibração livre
amortecida é uma oscilação harmônica, conforme mostrado na equação (2.25).
x(t) = e −ξωn t C cos(ωd t − θ)
(2.35)
Onde C e θ são constantes.
Para pequenos fatores de amortecimento ( ξ ≤ 0.10 ), ωn = ωd é aceito
como boa aproximação. A equação (2.35) é mostrada na Figura 2.8.
Revisão bibliográfica
x(t)
37
xn
xn+1
xn+k
t
kT
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Figura 2.8 - Reposta sub-amortecida de um sistema com um grau de liberdade.
Quando se faz a relação entre dois picos consecutivos da resposta subamortecida, chamados de xn e xn+1, obtém-se o seguinte resultado:
xn
x[ωd t − θ]
=
= e 2 πξωn / ωd
2
π
x n +1 x[ω (t + ) − θ]
d
ωd
Aplicando-se o logaritmo neperiano em
(2.36)
xn
e considerando que
x n +1
ωn = ωd , tem-se:
ln
xn
= δ = 2πξ
x n +1
(2.37)
A equação (2.37) é a definição de decremento logarítmico, δ . Logo, o
fator de amortecimento fica:
ξ=
δ
1
x
=
ln n
2π 2π x n +1
(2.38)
Quando o amortecimento é muito pequeno pode-se utilizar a relação
entre k picos positivos medidos no período natural kT. Tem-se então:
ln
xx
= kδ = 2πξ
x n +k
O fator de amortecimento fica como na equação (2.40).
(2.39)
Revisão bibliográfica
38
ξ=
δ
x
ln n
2πk x n + k
(2.40)
0pWRGRGD0HLD3RWrQFLD
A resposta permanente de um sistema com um grau de liberdade,
sujeito a um carregamento harmônico de freqüência Ω e amplitude po é
mostrado conforme a equação a seguir:
x(t) = ρsen(Ωt − θ)
(2.41)
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Onde ρ é a amplitude da resposta permanente dada por:
p=D
po
k
(2.42)
Na equação (2.40) D é o fator dinâmico amplificador e é definido como:
D = [(1 − β2 ) 2 + (2ξβ) 2 ]−1/ 2
(2.43)
Sendo o fator da freqüência:
β=
Ω
ωn
(2.44)
ρ
ρ max.
0,71
ρ max.
β1
Figura 2.9 – Método da meia potência.
β2
D
Revisão bibliográfica
39
O forte efeito do amortecimento no controle da amplitude da resposta
próximo da ressonância ( β = 1 ) é claramente mostrado no gráfico. O fator de
amortecimento é obtido por este método por dois valores de β em
1
ρmax ,
2
como mostrado na Figura 2.9. Considera-se que, para as equações (2.42) e
(2.43), ρmax =
1 po
a seguinte equação é formulada:
2ξ k
[(1 − β2 )2 + (2ξβ2 )]−1/ 2 =
1 1
2 2ξ
(2.45)
A solução desta equação leva a dois valores aproximadamente
simétricos, β1 e β2 , como mostrado na Figura 2.9. O fator de amortecimento é
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então obtido pela equação (2.46).
ξ=
β2 − β1
β2 + β1
(2.46)
A verificação experimental do fator de amortecimento pelo método da
meia potência consiste em executar um número suficiente de respostas
próximas da ressonância, plotar isso em um gráfico e traçar uma linha horizontal
na ordenada ρmax / 2 . Encontra-se então os valores de β1 e β2 e finalmente
calcula-se o fator de amortecimento pela equação (2.46).
$QiOLVHPRGDO
Existem dois procedimentos para determinação das características
dinâmicas,
denominados
de
Análise
Modal
Teórica
e
Análise
Modal
Experimental.
O primeiro procedimento consiste na formulação de um modelo
matemático da estrutura em estudo através de uma técnica de discretização. O
Método dos Elementos Finitos é muito utilizado para esse caso, obtêm-se as
matrizes físicas de massa e de rigidez da estrutura. Então, utilizam-se essas
matrizes na formulação de um problema de autovalores e autovetores, sendo
que a solução são as freqüências naturais e os modos de vibração da estrutura.
Revisão bibliográfica
40
Esses resultados constituem o chamado modelo modal teórico (LOFRANO,
2003).
O segundo procedimento através dos dados experimentais determina
as freqüências modais, fatores de amortecimento modais e modos de vibração.
Através de ensaios experimentais são obtidas as características da resposta do
sistema, que são geralmente dadas através de Função de Respostas em
Freqüência (FRF) ou resposta impulsiva (Maia et al, 1997 apud LOFRANO,
2003).
$QiOLVHPRGDOH[SHULPHQWDO
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Tipicamente, as características dinâmicas de um sistema estrutural são
definidas pela função de transferência. Seis tipos de funções de transferências
são empregados na análise de estruturas: Receptância (deslocamento/força),
Mobilidade (velocidade/força), Inertância (aceleração/força), Rigidez Dinâmica
(força/deslocamento),
Impedância
Mecânica
(força/velocidade)
e
Massa
Aparente (força/aceleração).
A análise modal experimental determina o modelo modal de uma
estrutura, ou seja, suas freqüências naturais, amortecimentos modais e formas
modais de vibração.
Na técnica de análise modal, a função resposta em freqüência da
estrutura pode ser medida em um ponto único, com a excitação impulsiva
aplicada em vários pontos da estrutura, ou a estrutura pode ser excitada em um
único ponto, usando-se sinais aleatórios de banda larga, com a função resposta
em freqüência medida em vários pontos da estrutura.
)XQomR5HVSRVWDHP)UHTrQFLD)5)
A Função Resposta em Freqüência (FRF) para S1GL é um caso
particular da Função de Transferência. A função de transferência apresenta a
seguinte forma:
H(ω) =
x(ω)
F(ω)
(2.47)
Revisão bibliográfica
41
Que é a função que relaciona a resposta do sistema a uma excitação a
ele aplicada.
Para determinar H(ω), é considerado um sistema segundo o da Figura
2.1, com condições iniciais homogêneas e excitação harmônica conforme:
F(t) = Fo eiωt
(2.48)
A equação do movimento resulta na seguinte forma:
+ cx(t)
+ kx(t) = Fo eiωt
mx(t)
(2.49)
A solução particular da equação é da forma:
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x(t) = Fo H(ω)eiωt
(2.50)
Que substituindo na equação do movimento obtem-se:
H(ω) =
1
−ω m + iωc + k
2
(2.51)
A equação (2.51) é a forma mais comum de se apresentar uma FRF. A
FRF expressa pela equação (2.51) é denominada receptância, geralmente
denotada por α(ω) ou α(iω). Esta quantidade complexa descreve a relação
entre a resposta em termos de deslocamento e da força de excitação aplicada à
um sistema, caracterizando completamente as suas propriedades. (AGUILERA,
2005).
Diversas estruturas não podem ser modeladas como um sistema de um
grau de liberdade, em virtude de que seu comportamento dinâmico, geralmente,
necessitar de mais do que uma coordenada para ser completamente descrito.
Portanto, um sistema com N graus de liberdade, consiste em um conjunto de
FRF´s diferentes, e é descrito por um modelo modal com N freqüências naturais
e N formas modais. Cada FRF pode ser escrita sob a forma de uma série de
termos, cada um dos quais diz respeito à contribuição de cada modo de vibração
à resposta total. Assim a receptância pode ser escrita como:
N
α ks (ω) = ∑
j=1
j
A ks
ω − ω + iη jωω j
2
j
2
(2.52)
Revisão bibliográfica
42
Onde η j é o fator de perda modal, j A ks é a constante modal e ω j é a
freqüência natural, relativas ao j-ésimo modo de vibração; ω é a freqüência do
carregamento; e α ks é a resposta modal do sistema, onde k é a posição do
deslocamento e s é a posição da força.
)XQomR5HVSRVWDHP)UHTrQFLD3RQWXDO
A FRF pontual, quando sua magnitude é representada em escala
logarítmica, apresenta uma anti-ressonância para cada par de ressonância,
Magnitude (db ref. 1 m/N)
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conforme mostra a Figura 2.10.
-60
-80
-100
-120
-140
-160
50
100
150
200
250
300
Frequência (rd/s)
Figura 2.10-Função Resposta em Freqüência (FRF) pontual.
A Figura 2.10 mostra picos invertidos entre picos de ressonância. Os
picos são referentes a cada freqüência natural do sistema. Os picos invertidos
representam a mudança de fase de 180o associada com as ressonâncias.
)XQomR5HVSRVWDHP)UHTrQFLDGH7UDQVIHUrQFLD
Neste caso não é certa a ocorrência da anti-ressonância para cada par
de ressonância, conforme mostrado na Figura 2.11.
Magnitude (db ref. 1 m/N)
Revisão bibliográfica
43
-50
-70
-90
-110
-130
-150
50
100
150
200
250
300
Frequência (rd/s)
Figura 2.11 – Função Resposta em Freqüência (FRF) de transferência.
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Apresentam picos bem menores e os ângulos de fase diferentes de 0o e
180o.
)XQomR5HVSRVWDHP)UHTrQFLD,PSXOVLYD
A Função Resposta Impulsiva corresponde a uma Função Resposta em
Freqüência, e envolve o cálculo da inversa da Transformada de Fourier, que é
uma característica padrão de um analisador espectral. (MAIA et al, 1997 apud
AGUILERA, 2005)
0pWRGRVGHLGHQWLILFDomRPRGDO
Os modelos no domínio do tempo, de um modo geral, tendem a
fornecer melhores resultados quando existe uma larga faixa de freqüência ou um
número grande de modos presentes, considerando que os modelos no domínio
da freqüência tendem a fornecer melhores resultados quando a faixa de
freqüência de interesse é limitada e o número de modos é relativamente
pequeno.
Os métodos no domínio do tempo e da freqüência podem ser divididos
em diretos e indiretos. Uma segunda classificação diz respeito ao número de
modos que podem ser analisados ligados aos S1GL e SVGL. No domínio do
tempo tem-se somente a análise de SVGL, enquanto que no domínio da
Revisão bibliográfica
44
freqüência podemos ter a análise S1GL e SVGL como método indireto e como
método direto apenas a análise SVGL.
Geralmente, quando se excita uma estrutura, um conjunto de FRF´s é
obtido, tendo por base a coleta de uma série de dados medidos. Estas FRF´s
são o resultado da excitação da estrutura em cada ponto selecionado e a
medição da resposta em várias posições ao longo da estrutura. Alguns métodos
de análise modal somente podem ser aplicados a uma única FRF de cada vez.
Estes métodos são denominados métodos de única entrada/ única saída (SISO).
Outros métodos permitem que várias FRF´s sejam analisadas simultaneamente,
com respostas tomadas em vários pontos sobre a estrutura, mas usando uma
excitação pontual. Esses são denominados de métodos globais ou métodos de
única entrada/ múltiplas saídas (SIMO). A filosofia por trás dessa categoria de
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métodos é que as freqüências naturais e os fatores de amortecimento não
variam (teoricamente) de uma FRF para outra (elas são propriedades globais da
estrutura) e, assim, deveria ser possível obter um conjunto único e consistente
daquelas
propriedades,
processando
várias
FRF´s
ao
mesmo
tempo.
Finalmente, existem métodos que podem processar simultaneamente todas as
FRF´s disponíveis obtidas de posições de várias respostas e excitações. Esses
métodos são denominados de polireferência ou múltiplas entradas/ múltiplas
saídas (MIMO). Situações de múltiplas entradas/ única saída (MISO) são
também possíveis, mas são pouco usadas. (SOEIRO, 2001)
A Figura 2.12 mostra o diagrama com várias categorias possíveis de
métodos.
Análise Modal
Métodos de Identificação
Domínio
do Tempo
Domínio
da Frequência
Métodos
Diretos
Métodos
Indiretos
Métodos
Diretos
SVGL
SVGL
S1GL
SVGL
SVGL
SISO
SIMO
MIMO
SISO
MIMO
SISO
MIMO
SISO
SIMO
MIMO
SISO
MIMO
Figura 2.12 – Classificação dos métodos de análise modal.
Métodos
Indiretos
Revisão bibliográfica
45
0pWRGRVQRGRPtQLRGRWHPSR
0pWRGRGD([SRQHQFLDO&RPSOH[D
O método da exponencial complexa é um método simples de
identificação modal, no domínio do tempo, que está na categoria dos métodos
indiretos de vários graus de liberdade e que é classificado na categoria SISO, ou
seja, é projetado para analisar uma única função impulsiva de cada vez.
No domínio da freqüência, para um sistema linear, amortecido e N
graus de liberdade, a FRF do tipo receptância α ji (deslocamento medido no
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ponto j para uma força aplicada no ponto i) pode ser dada pela equação (2.53).
r
2N
α ji (iω) = ∑
r =1
A ji
ωr ξr + i(ω − ωd )
Com ωd = ω r 1 − ξ 2 , ωd(r + N) = −ωd(r) e
r+N
(2.53)
A ji = r A*ji . O símbolo (*) usado
denota o complexo conjugado. O método da exponencial complexa, ao contrário
dos métodos de identificação modal no domínio da freqüência, trabalha a função
resposta impulsiva, obtida da equação (2.53) pela aplicação da transformada de
Fourier, conforme a seguir:
2N
2N
r =1
r =1
h ji (t) = ∑ r A ji esr t ou h(t) = ∑ A´ji esr t
(2.54)
Onde s r = −ωn (r) ξ r + iωd(r ) . A resposta temporal h(t) é avaliada em uma série de
intervalos igualmente espaçados ∆t , por:
2N
h o = h(o) = ∑ A´r
r =1
2N
h1 = h(∆t) = ∑ A´r esr ( ∆t )
r =1
→
(2.55)
Revisão bibliográfica
46
2N
h L = h(L∆t) = ∑ A´r esr (L∆t )
r =1
Ou fazendo Vr = esr t , simplesmente:
2N
h o = ∑ A´r
r =1
2N
h1 = ∑ A´r Vr
(2.56)
r =1
→
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2N
h L = ∑ A´r VrL
r =1
Onde tem-se que A´r é a constante modal e s r são os autovalores.
Deve ser notado que na equação (2.56) os valores de A´r e Vr não são
conhecidos. Então, para calcular esses valores é utilizada uma técnica
desenvolvida por Prony em 1975 e conhecida como Método de Prony (SOEIRO,
2001). Basea-se no fato de que os pólos s r , para um sistema sub-amortecido,
sempre ocorrem em pares complexos conjugados. Foi estabelecido que existe
um polinômio em Vr , de ordem L, com coeficientes reais β, denominados de
coeficientes auto-regressivos, tal que a seguinte relação matemática pode ser
escrita:
β0 + β1Vr + β2 Vr2 + ... + β VrL = 0
(2.57)
Assim, de modo a calcular os coeficientes β, para avaliar Vr , é
necessário apenas multiplicarem-se ambos os lados de cada uma das equações
(2.56) pelos valores correspondentes de β0 a βL e somar os resultados. Essa
operação fornece a equação a seguir:
L
L
2N
2N
L
∑ β h = ∑ (β ∑ A V ) = ∑ (A ∑ β V )
j= 0
j
j
j= 0
j
r =1
´
r
j
r
j= 0
´
r
j= 0
j
j
r
(2.58)
Revisão bibliográfica
47
A soma interna da equação (2.58) é exatamente o polinômio da equação
(2.57). Então, como o polinômio se anula para cada valor de Vr , segue que:
L
∑β h
j= 0
j
j
= 0 , para cada valor de Vr
(2.59)
Através da equação (2.59) é possível calcular os coeficientes β j que
permitirão a solução do polinômio da equação (2.57), determinando-se os
valores de Vr . Para calcular os β j procede-se como segue:
ƒ
Por conveniência L pode ser tomado como 2N;
ƒ
Então, existirão 2N conjuntos de pontos hj, cada um adiantado em
relação ao outro em intervalo de tempo ∆t;
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ƒ
Toma-se β2N igual à unidade.
Portanto, o resultado deste procedimento é a seguinte equação
matricial:
h1
 h0
 h
h2
 1
 
 h 2 N −1 h 2N
h2
h3
h 2 N +1
 β 
 h 2N 
h 2 N −1   0 
h

β1 
2 N +1 



h2N  



 β2  = − h 2 N + 2 


 
 


h 4 N−2  
β2N −1 
 h 4N −1 
(2.60)
Ou, simplesmente:
[h ]2Nx 2N {β}2Nx1 = {h´}2 Nx1
(2.61)
Determinados os coeficientes β j , um algoritmo de solução de polinômio
pode ser usado para determinar as raízes Vr . Posteriormente, usando a relação
Vr = esr t e seu valor complexo correspondente, podem-se determinar as
freqüências naturais e os fatores de amortecimento. Por outro lado, com os
valores de Vr , usa-se a equação (2.56) para calcular os resíduos e,
consequentemente, as constantes modais. Os resíduos são facilmente
calculados reescrevendo a equação (2.56) como:
Revisão bibliográfica
48
1
 1
 V
V2
 1
2
 V1
V22

 2N
−
1
2N
 V1
V2 −1
1   A1´   h 0 


V2 N   A´2   h1 

 

V22N   A´3  =  h 2 

   

 

−1 
V22N
N 
A 2N  h 2 N −1 
(2.62)
Onde, por conveniência, foram tomados os primeiros (2N-1) valores de
hj. Na realidade, é bastante tomar (N -1) valores, uma vez que A´r e
Vr aparecem em pares conjugados (SOEIRO,2001).
0pWRGRGD([SRQHQFLDO&RPSOH[D±0tQLPRV4XDGUDGRV/6&(
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Este método de identificação foi introduzido em 1979 e é a extensão do
método da exponencial complexa para um procedimento global de identificação
modal (SOEIRO, 2001). Portanto, este método é um método SIMO, ou seja, ele
processa simultaneamente várias Funções Respostas Impulsivas, referentes a
vários pontos de medição, que são obtidas a partir da aplicação de uma força em
um único ponto. Neste procedimento de análise, um conjunto consistente de
parâmetros globais (freqüências naturais e fatores de amortecimento modais) é
obtido eliminando-se a variação obtida para estes parâmetros quando se aplica o
método da exponencial complexa em diferentes Respostas Impulsivas.
0pWRGRGH,EUDKLP
Trata-se de um método global de ajustamento no domínio do tempo. A
formulação deste método inclui estados vetoriais, onde a resposta de
deslocamento e velocidade necessita de cálculos de integração da resposta de
aceleração livre. Usa resposta em vibração livre amortecida ao invés da Função
Resposta Impulsiva. Para um sistema de N graus de liberdade, a resposta da
estrutura para um ponto i e um instante t é expressa como a soma da resposta
individual de cada modo (MAIA et al, 1997 apud AGUILERA, 2005).
Revisão bibliográfica
49
0pWRGRVQRGRPtQLRGDIUHTrQFLD
0pWRGRGD$PSOLWXGHGH3LFR
Este é o método mais simples conhecido para identificar os parâmetros
modais de uma estrutura. As freqüências são tomadas simplesmente da
observação dos picos da curva de magnitude da resposta. Os fatores de
amortecimento são calculados da agudeza dos picos e as formas modais são
calculadas das razões das amplitudes dos picos em vários pontos sobre a
estrutura. De modo a levar em conta a amplitude da força de excitação, o uso da
receptância representa um melhoramento do método. Esse método considera
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que os modos são reais e, embora seja bastante simplório, ele pode fornecer
resultados razoáveis se os modos são bem separados e se o amortecimento não
é muito alto.
0pWRGR GD 5HVSRVWD GH 4XDGUDWXUD H GR &RPSRQHQWH 0i[LPR GH
4XDGUDWXUD
Este método difere do método da amplitude de pico pela forma de
determinar a posição das freqüências naturais da estrutura. O método da
resposta de quadratura localiza as freqüências naturais nos pontos onde a
componente em fase da resposta (a parte real) é nula. Isto corresponde a uma
diferença de fase de 90 graus entre a função força e a resposta. O método do
componente máximo de quadratura considera que as freqüências naturais
ocorrem nos pontos onde a componente de quadratura da resposta (parte
imaginária) tem um máximo (ou mínimo). Essa componente está 90 graus fora
de fase com a excitação (SOEIRO, 2001).
0pWRGRGH$MXVWHGR&tUFXOR
Como foi visto anteriormente, a Receptância de um sistema de N graus
de liberdade, com amortecimento histerético, é dada pela seguinte expressão:
N
α ks (ω) = ∑
r =1
r
A ks
ω − ω + iηr ωωr
2
r
2
(2.63)
Revisão bibliográfica
Onde ηr e
r
50
A ks são, respectivamente, o fator de perda e a constante modal
complexa r A ks = A r eiφr associados com r-ésimo modo.
Na prática, existe uma faixa limitada de freqüências para a qual os
dados experimentais são coletados. A contribuição à resposta total dos termos
situados fora da faixa experimental de freqüência pode ser levada em conta por
meio de resíduos. O método de ajustamento de círculo assume a hipótese que a
contribuição dos modos fora da faixa àquela particular sob estudo é uma
constante. Assim a equação (2.63) é aproximada por:
α ks (ω) =
r
A ks
+ r Bks
ω − ω + iηr ωωr
2
r
2
(2.64)
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Onde r Bks é uma constante complexa associada com o modo r. Por outro lado,
como já discutido, o diagrama de Nyquist de 1/( ω2r − ω2 + iηr ωωr ) é um círculo.
Olhando a equação (2.64), observa-se que a multiplicação pela constante
complexa
r
A ks significa uma ampliação ou redução do raio do círculo, tanto
quanto uma certa rotação, e que a adição de r Bks corresponde a uma simples
translação (SOEIRO, 2001). Como de fato é apresentado no diagrama de
Nyquist a equação (2.64), a curva completa não será exatamente um círculo,
mas apresentará seções de arco de círculo ao redor da freqüência natural, como
ilustrado na Figura 2.13.
Figura 2.13 – Diagrama de Nyquist mostrando o ajuste do círculo.
Revisão bibliográfica
51
Este método consiste basicamente no ajuste de um círculo à curva de
resposta em freqüência, próxima à freqüência natural. A curva complexa não
representará exatamente um círculo, mas apresentará seções de círculo ao
redor da freqüência natural.
Este método é frequentemente desconsiderado devido ao fato de se
dizer que ele somente trabalha bem quando os modos estão bem separados e
para valores de amortecimento não tão altos. Entretanto, na opinião de alguns
pesquisadores esse método trabalha muito bem para a maioria dos casos
mesmo quando se trata de estruturas altamente complexas (SOEIRO, 2001).
0pWRGRGRV0tQLPRV4XDGUDGRV
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Seja a função Receptância para o mecanismo de amortecimento
histerético, conforme mostrado a seguir:
α ks (iω) = ∑
j
j
A ks
s j − ω2
onde
s j = ω2j (1 + η j )
(2.65)
O somatório da equação (2.65) se estende pelo número de modos da
banda de freqüência considerada. Por simplicidade, faz-se A j = j A ks .
O erro em cada valor experimental da freqüência é:
Ek =
Aj
Ar
+∑
− H(iωk )
2
2
sr − ω
j≠ r s j − ω
(2.66)
Sendo H(iωk ) o valor experimental da função resposta em freqüência do tipo
Receptância e o somatório representa a contribuição dos modos afastados do résimo modo.
Por definição:
Bk = ∑
j≠ r
Aj
s j − ω2
− H(iωk )
(2.67)
onde os parâmetros Aj e sj são conhecidos previamente. Por exemplo, suponhase que esses parâmetros tenham sido determinados por ajustamento do círculo
por Nyquist ou pelo método inverso. Desta forma, os Bk podem ser calculados,
com k=1, 2,...,N, sendo N o número de pontos de freqüência em que H(iωk ) foi
medida. Portanto, pode-se reescrever a equação (2.66) como a seguir:
Revisão bibliográfica
Ek =
52
Ar
1
+ Bk ou E k =
[A r + Bk (s r − ω2k )]
2
2
s r − ωk
s r − ωk
(2.68)
O objetivo aqui é o de atualizar os valores das constantes modais e
autovalores pelo método do mínimo erro quadrático. Assim, definindo o fator de
peso Pk = 1/(s r − ω2k ) , que é computado com o valor prévio de sr, pode-se
escrever a seguinte expressão para o erro quadrático:
ERRO 2k = E k E*k
2
2
2
E k E*k = Pk  A r + (s r − ω2k )A*r Bk + (s*r − ω2k )A r B*k + (s r − ω2k )Bk  (2.69)


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Então, somando-se os erros referentes a cada ponto k de freqüência,
derivando em relação aos conjugados complexos das constantes modais e
autovalores, e igualando a zero, obtém-se a seguinte equação matricial:
 ∑ Pk 2
 k

2
*
 ∑ Pk Bk
 k
∑P
k
∑P
k
2
k
k
2
 ∑ Pk 2 Bk ω2k 
Bk 
 A r   k

=

2
2
2
2
Bk   s r  ∑ Pk Bk ωk 

k

(2.70)
A solução da equação (2.70) fornece os valores atualizados de Ar e sr,
computados em função dos valores previamente estabelecidos dentro da banda
de freqüência varrida por k.
A cada iteração, o valor do erro é calculado pela equação (2.69)
usando-se os valores atualizados. Então, um critério de convergência adequado
deve ser usado, tal como o apresentado na equação abaixo, de modo a sinalizar
quando o processo iterativo deve ser encerrado:
2
Erro 2atual − Erro anterior
2
Erro anterior
< 0, 01
(2.71)
O desenvolvimento matemático aqui apresentado permite que se
estabeleça a seguinte metodologia:
1. Tomar como dados de entrada inicial um conjunto de valores de Aj e sj,
correspondentes aos modos contidos na banda de freqüência de interesse,
obtidos por qualquer um dos métodos já apresentados.
Revisão bibliográfica
53
2. Montar a equação (2.70), resolvê-la e determinar o novo conjunto de Aj e sj.
Esse procedimento deve ser feito para a obtenção de valores atualizados de Aj e
sj para cada um dos modos contidos na banda de freqüência de interesse.
3. Verificar o critério de convergência. Se este critério for obedecido parar o
procedimento, caso contrário, repetir os passos anteriores até que a
convergência seja obtida.
É claro que a convergência é obtida com menor número de iterações se
os valores iniciais de Aj e sj forem bem escolhidos. Uma boa recomendação é a
de se obterem os valores iniciais de Aj e sj pelo ajustamento do circulo de
Nyquist (SOEIRO, 2001).
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&RQVLGHUDo}HVILQDLV
Como este é o primeiro trabalho sobre o estudo dinâmico com bambu,
houve a necessidade de se fazer uma revisão bibliográfica completa em análise
dinâmica que servirá de base para qualquer outra pesquisa desenvolvida nesta
área, já que não será necessária a utilização de todos os métodos nesta
dissertação.
Com a revisão bibliográfica realizada, já existe base para desenvolver
os
experimentos,
estudando
as
espécies
3K\OORVWDFK\VDXUHD e *XDGXDDQJXVWLIROLD.
'HQGURFDODPXV JLJDQWHXV,