ALGORITMO DE APONTAMENTO PARA INJEÇÃO DE SATÉLITE EM ÓRBITA
Hilton Cleber Pietrobom1 and Waldemar de Castro Leite Filho2
2
1
Instituto de Aeronáutica e Espaço - IAE, São José dos Campos, Brasil, [email protected]
Instituto de Aeronáutica e Espaço - IAE, São José dos Campos, Brasil, [email protected]
Resumo: Esse artigo apresenta um algoritmo denominado
de APONTAMENTO, que calcula o ângulo de arfagem e guinada em que o último estágio de um veículo lançador de satélites deve ser apontado, bem como o seu instante de ignição,
de forma que a altitude de injeção do satélite corresponda ao
perigeu da órbita final, evitando desta forma a reentrada do
satélite na atmosfera terrestre.
Palavras-chave: Veículo Lançador de Satélites, VLS, Algoritmo de Apontamento.
1. INTRODUÇÃO
O objetivo fundamental de um veículo lançador de satélites é a injeção do satélite em órbita. Para que o veículo cumpra sua missão de satelização, o voo deve obedecer a uma
sequência de eventos que caracteriza as diversas fases pelas
quais o veículo deve passar. A figura 1 ilustra a sequência
de eventos do voo do VLS (Veículo Lançador de Satélites
Brasileiro).
O VLS possui quatro estágios, cujos motores utilizam
propelente sólido. Somente os três primeiros estágios possuem controle do vetor de empuxo, utilizando para isso atuadores do tipo tubeira móvel para deslocar o vetor e criar
forças e torques laterais. Desta forma, como o último estágio não possui tal controle, o mesmo deve ser orientado antes
de sua ignição, ou seja, durante a fase balística que se inicia
logo após a separação do terceiro estágio. Após a ignição do
último estágio, ele é estabilizado por rotação, restando apenas a propulsão do último estágio para o ganho de velocidade
necessário para a injeção da carga útil em órbita.
A atitude de referência, que compreende um conjunto de
ângulos em relação à um referencial inercial, utilizada pelo
algoritmo de controle durante o voo do veículo, é definida
durante a execução do projeto. Essa atitude definida antes
do voo servirá para controlar a trajetória do veículo. Caso
não houvesse nenhum tipo de perturbação durante o voo, e
o veículo seguisse o mesmo perfil de atitude pré-definido, a
missão seria realizada sem problema. No entanto, durante
o voo, o veículo está sujeito a perturbações, tais como dis-
persões propulsivas, arrasto aerodinâmico, perturbações de
vento, que o conduzem a uma condição de voo diferente da
nominal. Desta forma, se faz necessário um algoritmo que,
baseado nos dados da trajetória real, corrija o instante de ignição e a atitude de referência para o último estágio, pois os
respectivos dados pré-definidos já não condizem mais com a
realidade.
O algoritmo responsável por calcular o ângulo de arfagem e guinada em que o último estágio deve ser apontado, e
o instante ótimo de ignição do mesmo, para colocar o satélite
na órbita desejada, é chamado de APONTAMENTO. Tal algoritmo constitui-se de um conjunto de equações algébricas,
cujo objetivo é, em função das condições em que o veículo
se encontra e a energia propulsiva embarcada no último estágio, procurar uma órbita com parâmetros pré-estabelecidos.
As informações fornecidas pelo APONTAMENTO serão utilizadas como referência pelo algoritmo de basculamento (ver
[1] para maiores detalhes).
Esse artigo, diferentemente da estratégia proposta em [2],
que procura obter uma órbita circular com uma inclinação e
altitude pré-estabelecidas, descreve uma estratégia de apontamento que não se preocupa com a excentricidade da órbita,
mas em garantir que após a queima do último estágio, não
ocorra a reentrada do satélite na atmosfera terrestre, fato que
pode acontecer com a estratégia descrita em [2], principalmente para órbitas com baixas altitudes. Esse resultado é
obtido fazendo com que a altitude de injeção do satélite seja
igual ao perigeu da órbita final a ser alcançada.
Foram realizadas simulações para avaliar o desempenho
desta estratégia considerando dispersões no motor do último
estágio.
2. ALGORITMO DE APONTAMENTO
Dada a curta duração da fase de voo do último estágio que
representa o tempo de queima do motor, pode-se aproximá-la
por uma transferência impulsiva entre órbitas Keplerianas.
O ganho de velocidade produzido pela queima do último
Figura 1 – Sequência de eventos do voo do VLS.
estágio, definido como ∆v4 , é dado por:
Z tq4
Fe4 (t)
dt
∆v4 =
m4 (t)
0
(1)
sendo af o semi-eixo maior da órbita final.
A figura 3 mostra o diagrama da condição do veículo imediatamente antes e após a aplicação do impulso, sendo o ângulo δi responsável por mudar a inclinação da órbita.
sendo Fe4 , m4 e tq4 a força de empuxo, a massa e o tempo de
queima do último estágio, respectivamente. O valor de ∆v4
é calculado antes do voo.
Da mesma forma, o ganho de posição é dado por:
Z tq4
∆v4 (ξ) dξ.
(2)
∆r4 =
0
Tem-se que entre a separação do terceiro estágio e a ignição do último, o veículo está fora da atmosfera e não está
sendo propulsado. A figura 2 ilustra essa fase (coast phase).
Durante este período, pela conservação de energia e do momento angular, a órbita Kepleriana produz:
v2 −
2.µ
µ
=−
r
a
(3)
e
v3 .r3 . cos(γ3 ) = v.r. cos(γ) = v4 .r4 . cos(γ4 ).
(4)
sendo a o semi-eixo maior da elipse, µ o produto da massa
da Terra pela constante gravitacional, e v, r e γ a velocidade,
o raio e o ângulo de trajetória, respectivamente.
Figura 3 – Diagrama vetorial no momento da impulsão do último estágio.
Para obter uma órbita elíptica com semi-eixo maior af ,
é necessário que se satisfaça a equação 5, e que ~vsat esteja
perpendicular a ~r. Com essas condições e pela observação
da figura 3, determina-se as seguintes relações:
v. sin(γ) + ∆v4 . cos(δi ). sin(θ) = 0
(6)
e
[v. cos(γ)
+
2
∆v4 . cos(δi ). cos(θ)] +
2.µ
µ
(∆v4 . sin(δi ))2 =
.
−
r
af
(7)
Fazendo com que o semi-eixo maior af seja igual a:
Figura 2 – Condições do veículo na separação do terceiro estágio
e ignição do último.
Da equação 3, tem-se que a velocidade final de satelização vsat para uma órbita elíptica é igual a:
s
µ
2.µ
(5)
−
vsat =
r
af
af = Kr .r,
(8)
sendo a constante Kr > 1, pois desta forma tem-se que a altitude de injeção seja igual ao perigeu da órbita final, e através de manipulações algébricas das equações 3, 4, 6 e 7, o
resultado será uma equação polinomial do tipo
r3 + A1 .r2 + A2 .r + A3 = 0
(9)
sendo
A1
A2
A3
=
−2.
=
=
−
4−
1
a0
4−
1
a0
+
+
1
Kr
∆v42
µ
2
1
Kr
∆v42
µ
(10)
2 +
2
∆v42 . sin2 (δi ). 2.v0 .r0 µ. cos(γ0 )
(11)
2
∆v42
1
+
a0
µ
(2.Kr − 1).(2.v0 .r0 . cos(γ0 ))2
2
∆v 2
Kr .µ. a10 + µ 4
(12)
cujos valores de v0 , r0 , γ0 correspondem ao módulo da velocidade inercial, da posição inercial, e ao ângulo de trajetória no instante de tempo T0 , tomado logo após a separação
do terceiro estágio, instante em que se inicia a execução do
algoritmo de APONTAMENTO. O valor de a0 é calculado
utilizando a equação 3, e
~r0 .~v0
,
(13)
γ0 = arcsin
r0 .v0
sendo ~r0 = [x0 ; y0 ; z0 ] e ~v0 = [vx0 ; vy0 ; vz0 ].
Caso se considere Kr = 1, o algoritmo de APONTAMENTO irá buscar uma órbita circular, conforme é apresentado em [2], pois resultará em af = r.
A equação 9 é um polinômio de terceira ordem para a variável r. Esta equação, teoricamente, possui três soluções.
Entretanto, apenas uma tem significado físico. Para os valores dos dados simulados de v0 , r0 , γ0 , a solução analítica
para r é:
√
λ 2π
A1
ri = 2. −p. cos
−
+
(14)
3
3
3
tal que
λ = arccos
sendo
p=
−A21 + 3.A2
9
e
q=
−q
p
−p3
!
(15)
−2.A31 + 9.A1 .A2 − 27.A3
.
54
A equação 14 apresenta a expressão que possibilita o cálculo do valor do raio da órbita que o veículo estará após a
queima do motor do último estágio, caso seja impulsionado
com os ângulos θ e δi , conforme mostrado na figura 3.
Com o valor de ri , é possível determinar o tempo de ignição do último estágio (tig ), bem como os ângulos de arfagem
e guinada, representados no sistema de navegação inercial,
em que ele deve ser apontado nesse instante (θr e ψr ).
Conforme descrito em [2], o tempo tig é dado por:
s
a30
. [(Ei − E0 ) − e0 .(sin(Ei )−
tig = T0 +
µ
sin(E0 ))] +
∆r4
− tq4 ,
∆v4
(16)
sendo que e e E são excentricidade e anomalia excêntrica,
respectivamente. O cálculo dessas variáveis é feito da seguinte forma:
s
2
r.v 2
e =
− 1 . cos2 (γ) + sin2 (γ) (17)
µ
a−r
.
(18)
E = arccos
a.e
O ângulo de arfagem no triedro de voo, definido pelos
versores ~r0 , ~v0 × ~r0 e ~r0 × (~v0 × ~r0 ) que formam a matriz
M, é dado por:
π
a0 .(1 − e20 ) − ri
θv = − − arccos
+
2
e0 .ri
a0 .(1 − e20 ) − r0
−
arccos
e0 .r0
r
q

r
e20 −(1− a i )2
2µ
µ
0
−
.
ri 2
a0
1−(1− a ) 
 ri
0
 . (19)
arcsin 


∆v4 . cos(δi )
A atitude inercial ψr e θr para o apontamento do quarto
estágio é dada por:
ψr = arcsin(T(2)) e
sendo:
θr = arctan(−T(3)/T(1)) − π,


cos(δi ). cos(θv )
.
sin(δi )
T = M. 
− cos(δi ). sin(θv )
3. RESULTADOS
O algoritmo de APONTAMENTO foi testado para duas
missões deferentes do VLS, representadas por VLS-v1 and
VLS-v2, que possuem diferentes trajetórias, parâmetros órbitais desejados, motores, massa estrutural, satélites, etc. As
simulações foram realizadas utilizando os arquivos de propulsão nominal, superior e inferior, que especificam os limites máximo e mínimo que cada curva pode atingir. Como
ilustração, as figuras 4 e 5 mostram o perfil de empuxo e
massa de propelente para o motor do último estágio da missão VLS-v2, respectivamente.
Os dados de entrada do algoritmo são apresentados na Tabela 1.
Sendo considerado adequado para todos os casos testados, utilizou-se kr = 1.01. Os resultados obtidos podem ser
vistos nas Tabelas 2, 3 e 4, sendo hi a altitude de ignição do
motor do último estágio, iorb a inclinação da órbita obtida,
eorb a excentricidade, Aporb o apogeu, P erorb o perigeu, e
hf a altitude de injeção em órbita.
4. CONCLUSÃO
O voo ideal ocorre quando as condições são nominais.
No entanto, essa situação é muito difícil de acontecer. Com
respeito a injeção de satélites em órbita, um dos problemas
que pode ocorrer devido às perturbações é a reentrada do satélite na atmosfera terrestre, principalmente quando a órbita
4
6
x 10
Tabela 1 – Dados de entrada do algoritmo de APONTAMENTO.
5
Empuxo [N]
4
3
2
1
Empuxo Nominal
Empuxo Superior
Empuxo Inferior
0
0
10
20
30
40
Tempo [s]
50
60
70
80
Figura 4 – Perfil de empuxo nominal, superior e inferior para o
motor do último estágio.
VLS-v1 VLS-v2
∆v4 [km/s] 3.375856 3.613275
∆r4 [km]
92.281 97.76946
T0 [s]
192.625 191.375
x0 [km]
6609.126 6649.014
y0 [km]
-40.083
22.679
z0 [km]
388.068 336.135
vx0 [km/s]
2.264
1.961
vy0 [km/s]
0.271
0.125
vz0 [km/s]
4.661
4.340
900
Tabela 2 – Resultados de simulação para o caso nominal.
Massa Nominal
Massa Superior
Massa Inferior
800
700
Massa [Kg]
600
500
400
300
200
100
0
0
10
20
30
40
Tempo [s]
50
60
70
80
VLS-v1 VLS-v2
tig [s]
494.075 405.323
hi [km]
745.580 605.654
θr [graus] -116.245 -111.872
ψr [graus]
9.477
-1.457
iorb [graus] 16.222
15.981
eorb
0.009899 0.009771
Aporb [km] 919.304 776.640
P erorb [km] 776.242 638.173
hf [km]
776.259 638.196
Figura 5 – Perfil de massa de propelente nominal, superior e
inferior para o motor do último estágio.
Tabela 3 – Resultados de simulação para o caso superior.
possui baixa altitude. O algoritmo de apontamento apresentado nesse trabalho apresenta meios de evitar tal problema,
fazendo com que a injeção do satélite aconteça no perigeu da
órbita final. Desta forma, a altitude mínima da órbita elíptica
obtida será igual à altitude de injeção hf . Os resultados obtidos indicaram que o algoritmo se mostrou satisfatório em
todos os três casos estudados (nominal, superior e inferior),
pois hf ∼
= P erorb , como pode ser visto nas Tabelas 2, 3 e 4.
O algoritmo descrito nesse trabalho foi utilizado no caso
específico do VLS, mas é suficientemente geral para ser aplicado em casos similares, onde o último estágio possui motor
a propelente sólido.
Referências
[1] Waldemar C. Leite Filho and Laís M. R. Mallaco. Strategy for pitch-over maneuver control. AIAA Guidance,
Navigation and Control Conference, 1999. Portland USA.
[2] Waldemar de Castro Leite Filho. Pointing algorithm
- a strategy for orbit injection with uncontrolled last
stage. In Proceedings of the 2nd ESA International Conference on Guidance, Navigation and Control Systems,
The Netherlands, April 1994.
VLS-v1 VLS-v2
tig [s]
494.074 405.323
hi [km]
745.580 605.654
θr [graus] -116.245 -111.872
ψr [graus]
9.477
-1.457
iorb [graus] 16.237
15.988
eorb
0.018780 0.019201
Aporb [km] 1049.518 912.280
P erorb [km] 775.677 637.588
hf [km]
775.677 637.589
Tabela 4 – Resultados de simulação para o caso inferior.
VLS-v1 VLS-v2
tig [s]
494.074 405.323
hi [km]
745.580 605.654
θr [graus] -116.245 -111.872
ψr [graus]
9.477
-1.457
iorb [graus] 16.208
15.974
eorb
0.001123 0.000550
Aporb [km] 792.403 645.298
P erorb [km] 776.320 637.573
hf [km]
776.838 638.799