15/12/2002
Matemática
PADRÃO DE RESPOSTAS
(valor de cada questão = 2,0 pontos)
Questão
Resposta
Valor do carro: v = 40.000 × ( 0,81)
t
2
Investimento de Pedro: I = 5.000 × (1,28 )
1
t
5.000 × (1,28) = 40.000 × (0,81)
2
t
t
2
 1,28 
⇒ 

 0,81
2
t
2
=8
t
6 log 2
× (7 log 2 − 4 log 3) = 3 log 2 ⇒ t =
2
7 log 2 − 4 log 3
⇒ t=
1,8
6 × 0,3
=
= 10 anos
7 × 0,3 − 4 × 0,48 0,18
R cos (α t − β) = R (cos αt × cos β + sen α t × sen β) = (R cos β) × cos α t + (R sen β) × sen α t
A cos α t + B sen α t = (R cos β) × cos α t + (R sen β) × sen α t ⇒ R cos β = A
R sen β = B
2
2
2
R = A +B
tan β =
2
2
⇒ R= A +B
2
B
B
⇒ β = arctan
A
A
a = medida do semi-eixo maior
b = medida do semi-eixo menor
c = metade da distância focal
e = excentricidade
e=
3
c
= 0,6
a
e 2b = 8
2
2
2
⇒b=4 e
2
Na elipse: a = b + c ⇒ a = 16 +
c 3
=
a 5
9 2
16 2
2
a ⇒
a = 16 ⇒ a = 25 ⇒ a = 5
25
25
Área da elipse = 20π. Como as circunferências maior e menor são tangentes, pela figura podemos
concluir que suas áreas são 25π e 16π.
Área da região definida pela cor cinza = 25π − 20π + 16π = 21π
15/12/2002
Matemática
Inicialmente as velocidades formam uma PA de razão 5, cujo primeiro termo é 70 e o último é 100.
Usando a fórmula do termo geral ⇒ 100 = 70 + (n − 1) × 5 ⇒ n = 7
Distância =
4
(35 + 50) × 7 = 297,5 km
2
Temos, então, a8 = 98 e uma nova PA de razão −2.
Usando a fórmula do termo geral, a17 = 98 + 9 × ( −2) = 80
Distância =
(24,5 + 20) × 10 = 222,5 km
2
Distância total percorrida = 520 km
A=
5
3F
2
⇒
3F
=9
2
área total = 6 ×
40
2
4
⇒ F = 6 faces triangulares
3
= 3×
40
2
3
2
≅ 4080 cm
2
área de cada folha de papel = 32 cm × 56 cm = 1792 cm
número mínimo de folhas = 4080 ÷ 1792 ≅ 2,3
2
⇒ 3 folhas
Táxis que não são de marca W: 0,60 × 0,25 = 0,15 = 15%
6
20 + m = 100 ⇒ m = 80%
15 + z = m
7
⇒ z = 65%
5x + 2y = z + 10

3x + 3y = z − 29


8y = z


em que:
x = valor de A
y = valor de B
z = o valor da quantia
x = 32
y = 25
z = 200
valor da quantia = R$ 200.000,00
15/12/2002
Matemática
Dimensões da casa: x e y
= 54
x× y

 (x + 6)(y + 4) = 156
8
x × y = 54

2x + 3y = 39
2
2x − 39x + 162 = 0
⇒ x=6 e y=9
ou x = 13,5 e y = 4
x=6m
y=9m
área não ocupada = área do lote − área da casa
2
2
área não ocupada = 156 m − 54 m = 102 m
2
2
2
área da lajota = 1.600 cm = 0,16 m
número de lajotas necessárias para revestir o piso da área não ocupada =
9
100%
637,5
110%
x
⇒ x = 11×
102
= 637,5 lajotas
0,16
637,5
lajotas ≅ 701,25 lajotas
10
701,25 lajotas ÷ 11 lajotas = 63,75 caixas
Número mínimo de caixas: 64 caixas
Por meio da análise do gráfico e da equação, verificamos que existem três raízes reais: 0 é raiz
simples e 3 é raiz dupla.
Então, e = t ×(t −3)
2
⇒
3
2
e = t − 6t + 9t
Para determinar os instantes dos encontros:
3
10
2
t − 6t + 9t = 4t ⇒
3
2
t − 6t + 5t = 0
2
t × (t − 6t + 5) = 0
t = 0 s, t = 1 s e t = 5 s
posições dos encontros: 0 m, 4 m e 20 m
posição mais afastada = 20 m