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Geometria Analítica: Cônicas
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1. Parábola
Definição: Considere em um plano uma reta d e um ponto F não pertencente à d.
Parábola é o lugar geométrico formado pelo conjunto de todos os pontos do plano que são
equidistantes do ponto F e a reta d.
1.1 Elementos
Foco: é o ponto F.
Diretriz: é a reta d.
Eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz.
Vértice: é o ponto V de intersecção da parábola com o seu eixo.
Parâmetro: é o módulo da distância entre o foco e a diretriz, ou duas vezes a distância entre o
foco e o vértice.
1.2 Equação da Parábola de Vértice na Origem
1º caso: quando o eixo da parábola é o eixo dos y
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No caso de uma parábola em que o seu eixo é o eixo dos y, e com a concavidade
voltada para cima, a sua equação reduzida é dada na forma
, mas quando a parábola
possui a concavidade voltada para baixo, sua equação reduzida é dada na forma
.
Demonstração:
2º caso: quando o eixo da parábola é o eixo dos x
No caso de uma parábola em que o seu eixo é o eixo dos x e que a concavidade é
voltada para a direita, sua equação reduzida é dada por
concavidade é voltada para a esquerda, sua equação é dada por
, e quando a concavidade
.
Demonstração:
Matemática
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Exemplo 1: Determinar o foco e a equação das parábolas
e
Construir
também seus gráficos.
Exemplo 2: Determinar a equação de cada uma das parábolas, sabendo que:
a – vértice V(0,0) e foco F(1,0).
b - vértice V(0,0) e diretriz y = 3.
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c – vértice V(0,0), passa pelo ponto P(-2,5) e concavidade voltada para cima.
2. Elipse
Definição: Sejam dois pontos
, e que,
e
tais que
e dois pontos
Matemática
tais que
. É chamada elipse o lugar geométrico que representa o
conjunto de pontos P, tais que, a soma da distância de P ao ponto
mesmo ponto P com o ponto
e
é constante e vale
coma distância entre o
.
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2.1 Elementos
Focos: são os pontos
e
.
Distância Focal: é a distância 2c entre os focos.
Centro: é o ponto médio C do segmento
Eixo Maior: é o segmento
.
de comprimento 2a (o segmento
contém os focos e os
seus extremos pertencem à elipse).
Eixo Menor: é o segmento
Vértices: são os pontos
,
de comprimento 2b.
,
e
.
Quando o eixo maior da elipse encontra-se no eixo x, sua equação reduzida é dada por
, analogamente, quando o eixo maior da elipse encontra-se no eixo y, sua equação
reduzida é dada por
. Vale ressaltar que a relação pitagórica
verdadeira, e a abertura da elipse é determinada pela excentricidade,
, onde, 0 < e < 1,
pois a > c.
OBS.: Sabendo-se que
representa o semi-eixo maior e o de
,
. Portanto, o valor de
o semi-eixo menor.
Demonstração:
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é
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Exemplo 3: Nos problemas abaixo, determinar: a) a medida dos semi-eixos; b) um esboço do
gráfico; c) os focos e d) a excentricidade das elipses descritas pelas equações:
1)
2)
3)
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Exemplo 4: Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto (3,0) e a medida do eixo
maior é 8. Determinar sua Equação.
3. Hipérbole
Definição: Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P(x, y) de um plano tal que a
diferença (em módulo) de suas distâncias a dois pontos fixos
com
e
é constante (2a < 2c),
= 2c.
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3.1 Elementos
Focos: são os pontos
e
.
Distância Focal: é a distância 2c entre os focos.
Centro: é o ponto médio C do segmento
Vértices: são os pontos
e
.
.
Eixo Real ou Transverso: é o segmento
de comprimento 2a.
Eixo Imaginário ou Conjugado: é o segmento
de comprimento 2b.
O processo de dedução da equação reduzida da hipérbole é análogo ao processo de
dedução da elipse, sendo na hipérbole, segundo a definição tem-se
, onde, realizado-se as simplificações, conclui-se que quando o eixo focal fica sobre o eixo
x, a equação reduzida da hipérbole é dada por
, analogamente, quando o eixo focal
está sobre o eixo y, a equação reduzida da hipérbole é dada por
que, em uma hipérbole, a relação pitagórica
assim como na elipse, é dada por
Matemática
. Cabe ressaltar
é verdadeira e a excentricidade,
.
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As assíntotas são retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que
os pontos se afastam dos focos. Esta aproximação é “contínua” e “lenta” de forma que a
tendência da hipérbole é tangenciar suas assíntotas no infinito.
Demonstração:
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Exemplo 5: Nos exemplos abaixo, determinar para cada uma das hipérboles a) a medida dos
semi-eixos; b) um esboço do gráfico; c) os vértices; d) os focos; e) a excentricidade e f) as
equações as assíntotas:
1.
2.
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3.
Lista de Exercícios
1 – Estabeleça as equações reduzidas das parábolas abaixo:
a ) foco F(2, 0) e diretriz d: x + 2 = 0
b ) vértice V(0, 0) e foco F(-3, 0)
2 – Em cada uma das parábolas, determinar o vértice, o foco e a equação da geratriz das
parábolas:
a ) x² = - 12y
b ) y² - x = 0
3 – Determinar os vértices, os focos e a excentricidade das elipses dadas:
a)
b ) 9x² + 5y² - 45 = 0
4 – Determine as equações das elipses abaixo:
a ) eixo maior mede 10 e focos ( 4, 0)
b ) centro C(0, 0), um foco F( , 0) e um vértice A (1,0)
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5 – Determinar os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles abaixo:
a)
b ) x² - 2y² - 8 = 0
6 – Determinar a equação das hipérboles abaixo:
a ) focos F( 5, 0) e vértices V( 3, 0)
b ) focos F(0,
3), e vértices V(0,
2)
Referências
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: volume único. 1ª Ed. – São Paulo: Ática, 2005.
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. Makron Books, São
Paulo, 1987.
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