GEOMETRIA ANALITICA PLANA
AULA 05: ELIPSE E HIPÉRBOLE
TÓPICO 01: ELIPSE
Sejam F1 e F2 dois pontos distintos pertencentes a um plano
e A um
número real maior que a metade da distância entre F1 e F2 O conjunto dos
pontos
tais que
chama-se elipse de focos F1 e F2.
VERSÃO TEXTUAL
A elipse é o conjunto dos pontos do plano cuja soma das
distâncias a dois pontos fixos, os focos, é igual a uma constante (2a).
A reta que passa nos focos chamaremos de eixo focal, e, os pontos de
interseção do eixo focal com a elipse serão chamados de vértices da elipse.
Observação.
Note que a distância entre os vértices é igual a 2A.
Chamaremos A de semi-eixo focal da elipse. Denominaremos por
centro da elipse o ponto médio do segmento de reta que une os focos; a
mediatriz do segmento de reta que une os focos será chamada de eixo normal
da elipse. Seja B a metade da distância entre os pontos de interseção da
elipse com o eixo normal. Chamaremos B de semi-eixo normal da elipse. Se
denotarmos por C metade da distância entre os focos, então, utilizando o
Teorema de Pitágoras, podemos concluir que
TEOREMA
Sejam
em que
satisfazem à equação
Então, o conjunto dos pontos (x,y) que
é a elipse centrada na origem, de semi-
eixo focal A, semi-eixo normal B de focos nos pontos F1 = (-c,0) e F2 =
(c,0), em que
.
Prova. A elipse centrada na origem, de semi-eixo focal a e de focos
nos pontos F1 = (-c,0) e F2 = (c,0) é, por definição, o conjunto dos pontos
. Manipulando-
(x,y) que satisfazem à equação
se convenientemente esta equação encontraremos que ela é equivalente a
EXEMPLO
EXEMPLO A equação
representa a elipse centrada na
origem, de semi-eixo focal 5, semi-eixo normal 4 e de focos nos pontos
Chamaremos de excentricidade da elipse a razão entre C e A Se
. Note que a excentricidade
denotarmos por E a excentricidade, então
da elipse é um número situado entre zero e 1. No exemplo anterior, a elipse
tem excentricidade igual a Os focos da elipse no teorema anterior também
podem ser dados por
e
As retas
e
serão
chamadas de diretrizes da elipse. Elas têm uma propriedade especial: a
distância de qualquer ponto X sobre a elipse ao foco
é igual à distância
de X à diretriz
multiplicada pela excentricidade, assim como a
distância de X ao foco
é igual a distância de X à diretriz
multiplicada pela excentricidade (tente demonstrar este fato).
PARADA OBRIGATÓRIA
O teorema acima nos auxilia a esboçar o gráfico da elipse
1. Veja a seguir.
A excentricidade de uma elipse mede o quanto ela é achatada ou
não. Quanto mais próxima de zero mais a elipse tende a ser redonda como
a circunferência, e, quanto mais próxima de 1 mais ela tende a ser
achatada. Esta conclusão pode ser obtida a partir da fórmula da
excentricidade:
Fixando-se A e fazendo B tender a a a elipse
tende a ser uma circunferência ao passo que e tende a zero, e, fazendo b
tender a zero a elipse tende a ser achatada na medida em que e tende a 1.
EXERCITANDOS
“ Um futuro brilhante depende de um presente consciente ”.
Prof. Ms. Ailton Feitosa
Exercitando 61
Esboce o gráfico de cada uma das elipses abaixo, destacando as
coordenadas dos focos e dos vértices:
a) x2 + 4y2 = 16
b) 49x2 + 40y2 = 1960
c) 36x2 + 9y2 = 4
d) x2 + 2y2 = 5
Exercitando 62
Encontre as coordenadas dos vértices e a área de um quadrado com
lados paralelos aos eixos coordenados e inscrito na elipse de equação 9x2
+16y2 = 100.
Exercitando 63
Os focos de uma elipse são (3,8) e (3,2) e o comprimento do seu
eixo menor é 8. Determine sua excentricidade.
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.adobe.com/go/getflashplayer
Responsável: Profº. José Ailton Forte Feitosa
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual