PÓS-GRADUAÇÃO
PROJETO “AVEZ DO MESTRE”
Um Estudo Sobre a Evolução da Matemática como uma
Ciência Intuitiva
Por
Mauro Lúcio Feital
Orientador
Prof. Marco Antônio Chaves
Rio de janeiro, RJ, agosto de 2001
PÓS-GRADUAÇÃO
PROJETO “A VEZ DO MESTRE”
Um Estudo Sobre a Evolução da Matemática como uma
Ciência Intuitiva
Por
Mauro Lúcio Feital
Trabalho Monográfico apresentado
como requisito parcial para a
obtenção do Grau de Especialista em
Docência do Ensino Fundamental e
do Grau Médio.
Rio de Janeiro,RJ, agosto de 2001
II
Genealogia de nossos digitos segundo Karl Menninger, Zahlwort
Göttingen, RFA:Vanderhoeck & Ruprecht, 1957-1958, 2 vols) II,233.
III
und
Ziffer (
DEDICATÓRIAS.
Quero dedicar este trabalho, ao qual me
entreguei com a vontade de todos os
grandes projetos de minha vida:
A meus saudosos pais, Seu Jovito e D. Zilpa,
que sempre acreditaram em mim.
Às mulheres da minha vida, Maria de Lourdes,
.
que enquanto viva, sempre me tolerou e a
Idelícia F. Feital que sempre me incentivou
A meu filho Marcus Thadeu, e a meus
enteados Carlos Antônio e João Ricardo que
sempre fizeram a minha vida o mais colorida e
agitada possível.
IV
AGRADECIMENTOS.
Quero agradecer á todos aqueles que tornaram
possível a execução deste trabalho:
Aos mestres que me orientaram na sua elaboração, e
especialmente, a minha esposa Idelícia, que se
permitiu privar de minha presença durante
todas
as horas necessárias a sua execução.
V
“A educação esteve, portanto, nos alicerces das nações modernas
desde as primeiras revoluções antifeudais do século XVI. Na Inglaterra
a energia que lançaria na História seu imenso império - alem da Revolução
Industrial – veio desses impulsos remotos, que exorcizaram a fatalidade
como explicação para os infortúnios da vida, fizeram o domínio da natureza
parecer possível e desejável, transformaram a ampla cidadania numa fonte
de vitalidade nacional.
Nisso não foi exceção. Foi regra histórica. Um século e meio depois dos
Ingleses, as revoluções francesas e prussianas retomariam a universalização
da educação como chave do igualitarismo e também para multiplicar
cidadãos formados em ofícios mais práticos do que a cultura de nobres
letrados.
Todas estas revoluções, não por acaso, produziram impérios políticos
e econômicos.”
Sérgio Costa Ribeiro
-VEJA- 25 ANOS – Reflexões para o Futuro
VI
SUMÁRIO
RESUMO…………………………………………………………………………6
INTRODUÇÃO:
………………………………………………………………….7
CAPÍTULO I – A Grafia, O Simbolismo, e o Pensamento Lógico.....……..…10
CAPÍTULO II- A Matemática grega: Ascenção e Decadência...............……...15
CAPÍTULO III- A China e a Índia, novas ideias e novos símbolos.............…...17
CAPÍTULO IV- A contribuição Árabe ………………..……………….…….…22
CAPÍTULO V- O papel da Idade Média…………….……………………….….23
CAPÍTULO VI- O Renascimento…………….. …………………………….…...25
CAPÍTULO VII- Do Renascimento ao Mundo Moderno………………….…...28
CONCLUSÕES- …………………………………………………………………..31
BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………..…34
ANEXOS
VII
RESUMO
O objetivo deste trabalho monográfico é
apresentar um estudo sobre a
evolução da ciência da matemática, desde, aproximadamente, 2500 anos AC até a era
moderna, como de caracter espontâneo/intuitivo/evolutivo, em que os conhecimentos
produzidos nas diversas culturas em épocas anteriores, serão sempre utilizados por
seus estudiosos ou seguidores, mesmo que de outras culturas, em novos avanços, em
um caracter sempre cumulativo e muito significativo. A tese abordada por este
trabalho procura estudar, analisar e demonstrar que, da teoria dos números ao
conhecimento de métodos matemáticos, póde ser abservado que nenhum povo ou
cultura desenvolveu seu conhecimento de maneira isolada e estanque. A conclusão
observada, seria de que todas as culturas, de alguma forma, aproveitaram algum
desenvolvimento oriundo de alguma cultura anterior ou vizinha, mesmo que para
corrigir deficiências próprias. Algumas enfatizando mais um aspecto peculiar, devido
às suas necessidades ou interesses, outras
esta
enfatizando outros aspectos. Contudo,
evolução sempre foi contínua, com alguns saltos mais significativos em
determinadas oportunidades, quando por força do surgimento de algum estudioso
mais bem dotado intelectual e intuitivamente, se conseguia suprir alguma lacuna de
conhecimento muito significativa. Pode ser observado ainda nas conclusões que, nos
períodos de grande estagnação cultural, esta certamente foi provocada pela
descontinuidade de conhecimento da cultura anterior ou vizinha, o que foi
demonstrado muito significativamente no Período Medieval e até no Renascimento.
VIII
INTRODUÇÃO
Elza F. Gomide, na Apresentação, pg 18, da sua tradução da “ A História da
Matemática” ( BOYER,Carl B. A História da Matemática. 2 Ed.São Paulo,Edgard
Blücher,1996), cita “ ...A história das dificuldades , esforços, tempos envolvidos em
toda a evolução da matemática dá a medida da grandeza desta realização humana.
Não deixa persistir a impressão, que o ensino pode dar, de algo que caiu do céu
pronto e perfeito. Tudo, inclusive o que já nos parece trivial, agora que sabemos
alguma coisa, tudo nos custou erros, tentativas, até que um resultado fosse
construido...”
Durante toda a vida acadêmica, foi sempre persistente aquela leve impressão
de que poderia faltar alguma coisa. De onde teria surgido tal gama de conhecimentos
que foi sendo apresentada, desde os tempos de alfabetização? Conhecimentos que
davam sempre aquela impressão de origem mágica, quase divina, sem que nunca se
apresentassem ou fossem claras sequer, maiores informações sobre a forma e o custo
da aquisição de tal saber?
Exceto a origem arábica da grafia dos números, raramente era informado ou
conhecido algo mais que o pretenso autor intelectual deste ou daquele teorema, desta
ou daquela equação, deste ou daquele método.
A luta pela aquisição do conhecimento profissional, e a sua implantação nas
atividades afins de realização, relegou, se não ao esquecimento, pelo menos ao
segundo plano todas estas
indagações.
Contudo, sempre
se
aguardou uma
oportunidade para esclarecer estas dúvidas e se aprofundar no caminho trilhado por
outros para que se pudesse chegar ao estágio atual deste saber.
Esta oportunidade surgiu com a realização deste trabalho, com o qual se
pretende, se não tirar todas as dúvidas, o que seria de muita pretensão para uma
pequena monografia, mas pelo menos esclarecer algumas e ainda balizar um caminho
e apontar uma direção em um possível trabalho futuro de maior vulto.
Em todo o desenvolvimento deste trabalho sempre houve a preocupação e
uma premissa básica em apontar as idéias dos vários autores pesquisados sobre o “
IX
COMO ? “ e principalmente o “ PORQUE ? ”, as quais sempre foram as dúvidas
presentes todos estes anos.
Sempre foi tambem uma grande dúvida, o método pelo qual se poderiam
esclarecer as razões do desenvolvimento desta ciência, que foi sempre pré-julgada,
durante a vida profissional, ser essencialmente intuitiva. Mas nesta possibilidade, por
que só alguns “ iluminados “ conseguem ter esta divina intuição que os leva a
conseguir respostas inesperadas à dúvidas inexplicáveis ?
KUHN, Thomas S. na sua obra A Estrutura das Revoluções Científicas. 5
Ed.São Paulo. Perspectiva,2000, pg 23, relata que pretendia desenvolver uma
determinada dissertação para Mestrado em Física, contudo, diz ele, “... um afortunado
e inesperado envolvimento em
um curso de História da Ciência
em que se
apresentavam teorias e práticas cientificas antiquadas veio a minar radicalmente
algumas das minhas concepções básicas a respeito da ciencia e das razões do
sucesso desta...” e concluiu por enfluenciar e mudar drasticamente seus planos de
pesquisa e profissionais.
Esta conclusão, de imediato, possibilitou tambem balizar este trabalho logo
direcionado para a pesquisa histórica, na procura das respostas almejadas.
Assim, uma dificuldade inicial às respostas
a
primeira pergunta
( o
COMO?), logo foi encontrada ao pesquisar a bibliografia sobre o assunto. Poucas e
dificeis de encontrar são as obras sobre o assunto. E, se no dizer de Elza Gomide
“...São muitas as Histórias (sobre a matemática), não muitas as que são boas...”,
nota-se, ao pesquisar a sua tradução da obra de BOYER, algumas referências às obras
de origem alemã ou francesa, poucas às de lingua inglesa e, pode-se constatar
durante
toda esta
pesquisa,
quase inexistentes, às de origem ou
vertida ao
português.
Esta dificuldade, que sempre se constituiu em um obstáculo muito grande
aos fins pretendidos e limitou imensamente o campo de pesquisa, porem não
impediu de concluir o objetivo proposto inicialmente.
A resposta a segunda pergunta ( o POR QUE?), certamente estaria embutida
no contexto cultural dos povos pesquisados, nas suas necessidades e, eventualmente,
X
como se pode ver neste estudo e nos clássicos gregos, na profunda inquietação da
alma humana.
Esta pesquisa foi desenvolvida segundo uma metodologia
Descritiva,
Qualitativa, Bibliográfica, utilizando os pensamento e as informações dos vários
autores
relacionados na bibliografia apresentada.
XI
CAPÍTULO I
A Grafia, O Simbolismo, e o Pensamento Lógico
BOYER,Carl B. A História da Matemática. 2 Ed.São Paulo,Edgard
Blücher,1996, tambem não apresenta respostas às questões iniciais levantadas. Pelo
contrário, deixa mais dúvidas, quando aponta que, nas palavras de Aristóteles ( 380324 aC), a geometria teria surgido no vale do Nilo porque lá os sacerdotes egpícios
tinham o lazer necessário para desenvolver o conhecimento teórico (pg 34).
Contudo, os registros mais antigos da existência alguma matemática egípcia,
apontam segundo BOYER, para
calendários com origem em 2773 aC, outros
registros encontrados, como o Papiro de Ahmes, porem apresentam a existência de
algum exercício matemático, já bastante sedimentado, por volta de 2000 aC.
Por outro lado, este autor esclarece que, a necessidade de medições periódicas
de áreas de cultivo, devido ao apagamento das áreas demarcadas anteriormente pelas
cheias anuais do Nilo, seria a
causa do
surgimento dos
agrimessores
ou “
estiradores de corda ”, no dizer irónico dos gregos contemporâneos à Aristóteles.
Já KAPLAN, Robert. O Nada que Existe. Uma História Natural do Zero. Rio,
Rocco, 2001, situa o início desta historia em, aproximadamente, 5000 aC com os
sumérios, uma civilização mesopotâmica bastante avançada tanto nos conceitos como
na maneira de grafar, conservar e difundir as informações
sobre a ciencia dos
números. Este autor baseia no comércio e nas religiões os fatores principais para o
desenvolvimento desta ciência nesta antiga cultura. Segundo ele, como religião, se
entende a necessidade de controlar o número de cada espécie de oferendas aos
deuses em seus templos.
De qualquer modo, na sua obra, HOWARD, Eves, Unicamp, 1995, com base
nos registros mais antigos reportados do Egito, se por um lado justifica o surgimento
da teoria dos números como uma necessidade prática imediata no trabalho dos
agrimessores, por outro lado procura razões para justificar o primitivo manuseio
matemático sem uma aplicação maior, somente como exercício de uma habilidade
intelectual.
XII
Nota-se aí portanto, o surgimento de dois conceitos distintos, segundo suas
palavras. O primeiro deles consistiria na utilização de uma matemática prática,
aplicativa, de base decimal e de uso cotidiano, em que é grande a utilização de
frações unitarias do tipo 1/ N para representar os mais variados números. Este
método seria para utilização imediata e corriqueira, como por exemplo, definir a
quantidade de material a ser utilizada em construçòes, as próprias dimensões destas
construções, assim como a quantidade de alimento que se fazia necessária para suprir
os trabalhadores ou como esta deveria ser dividida e, principalmente, para exercer a
atividade de contagem de tempo ou o estabelecimento de calendários.
Mas havia tambem uma outra matemática, sem utilização prática imediata, que
pareceria ser mais adequada a um usofruto do pensamento abstrato ou um recurso de
lazer cultural, a qual contudo utiliza ainda assim, os mesmos conceitos numéricos de
fração unitária utilizados na “outra” matemática.
Aí parece ficar evidente, segundo BOYER, nas palavras de Aristóteles, na
grafia hierática ou “sagrada” dos números, utilizada em ambientes restritos, em
contraposição ao uso mais corrente e pouco flexivel do hieróglifo, que deveria ser
mesmo reservado um papel místico ou sacerdotal aos manipuladores destes recursos.
BOYER aponta ainda que, em um papiro existente no British Museum, datado
provavelmente de 1650 aC, o escriba AHMES que o copiou nesta grafia hierática ou
“sagrada”, promete no que parece ser um tom místico “... fornecer um estudo
completo e minucioso de todas as coisas... e o conhecimento de todos os segredos...”.
Este papiro, de fato, permitiu uma visão, se não completa, pelo menos muito
apurada dos métodos matemáticos e da grafia dos números utilizada no antigo Egito.
Se na civilização egípcia, os indícios parecem apontar que o manuseio mais
complexo dos números era efetuada de uma forma restrita e em um âmbito mais
místico e sacerdotal, BOYER tambem utiliza este fato como justificativa para uma
estagnação por
quase 2000 anos, após um período de brilhante avanço na
manipulação dos números.
Contudo, outra civilização, que BOYER, HOWARD
ou KAPLAN não
esclarecem, se de uma forma autônoma ou de alguma outra forma influenciada pelos
egípcios, no vale
mesopotâmico, desenvolve brilhantes conceitos matemáticos e
XIII
tambem uma grafia dos números, chamada numeração cuneiforme, que lhes permite
rapidamente superar os métodos, conhecimentos e dificuldades egípcias.
Ambos os autores apontam que as civilizações babilônicas desenvolvem e
utilizam um sistema tambem de fração unitária, porem de base sexagesimal, ao
contrário do sistema de base decimal egípcio, e com isto parecem querer contornar as
dificuldades imediatas
daqueles e nos legam até os dias atuais, influência nos
sistemas de medidas angulares e influnciam tambem a matemática utilizada na
astronomia pelos gregos, romano e Europa, de uma maneira que persiste até o
Renascimento.
Sua escrita cuneiforme e seus métodos de preservação e transporte do seu
conhecimento atraves de tabletas de barro cozido nos permite ter uma visão farta e
detalhada de seus métodos de manuseio matemático ao contrário de seus
contemporâneos egípcios com seus papiros de dificil conservação e mesmo das
civilizações helênicas das quais pouco se conservou como registro dos métodos e
manuseio. E o pouco que se tem registrado são de relatos posteriores as épocas
pesquisadas.
As civilizações babilônicas, até 600 aC, nos deixaram fartos registros de uma
cultura matemática muito rica, com um desenvolvimento abstrato muito mais
profundo que o egípcio, com surpreendentes conceitos lógicos de abstração
matemáticas e geométricos cujos similares só vieram a serem encontrados nos dias
atuais
Assim, tanto BOYER quanto HOWARD, relatam que, embora métodos de
tratamento da geometria dedutiva sejam creditados a Tales de Mileto (624/548 aC) e
Pitágoras de Samos (600/580 aC), muito se pode encontrar de registros de métodos e
tratamentos equivalentes nas civilizações egípcias e babilônias de muitos séculos
anteriores. Relata ainda a existência, em muitos registros históricos posteriores, das
viagens destes dois personagens históricos, às civilizações babilônicas e egípcias.
De qualquer forma BOYER aponta como a contribuição decisiva no
desenvolvimento matemático da civilização grega, a grafia mais racional dos
números, com a numeração JÓNIA, em que foi utilizado parcialmente o princípio
posicional, tornando mais flexível o manuseio e manipulação complexa dos números,
e muito mais fácil o raciocínio abstrato no uso da lógica matemática. Deixa ainda sem
XIV
sombra de dúvida, que os conceitos de abstração matemática, de utilização restrita ao
meio sacerdotal do antigo Egito, já abandonados pelas civilizações babilônicas, passa
agora na civilização grega a ser encarado como uma filosofia de pensamento,
principalmente com a escola pitagórica e seus seguidores.
Porem KAPLAN aponta que, de forma alguma, uma grafia como a utilizada
por sumérios, gregos
ou egípcios poderia se um obstaculo maior a um
desenvolvimento de uma matemática dedutiva mais avançada, “ pois ainda hoje
usamos constantemente
alguns artificios
na grafia dos números ”, baseados
principalmente no contexto em que tal grafia seria utilizada. E, se haveria uma
carencia de um zero e de uma vírgula para possibilitar um conceito posicional
apurado nestas civilizações, de forma alguma isto significaria uma dificuldade maior
quando se tem, nas questões comerciais, um conceito sobre
o valor de uma
mercadoria.
Sendo assim, não seria de forma alguma compatível, como ainda hoje, utilizar
valores numéricos inadequados ao contexto que se quer retratar, como por exemplo
cotar o preço de um produto (comum nas épocas em questão) em valores ou muito
acima ou muito abaixo de seu valor comum.
KAPLAN aponta ainda que, se estas antigas civilizações utilizavam um
mesmo símbolo para representar coisas ou valores diferentes, hoje ainda se faz o
mesmo quando por exemplo se emprega o mesmo símbolo para representar aspas e
para representar polegadas e sempre se sabe quando utilizar tais sinais pelo contexto
envolvido.
Porem, segundo BOYER, se a carência de uma grafia numérica mais flexível
causou alguns tropeços e atrasos no desenvolvimento da matemática grega, contudo
causou um extraordinário desenvolvimento de uma geometria intuitiva que substituiu
os conceitos da álgebra moderna quase totalmente.
Alguns conceitos matemáticos intuidos atravéz da geometria grega ainda
causam assombro até hoje. Pensadores matemáticos como Aristóteles, Anaxágoras,
Hípias, Filolau, Arquitas, Zeno, Demócrito, Teodoro, Eudoxo, Euclides, Menaecmus,
Dinostratos e o mais famoso deles, Arquimedes, ainda hoje são estudados como
homens que conseguiram resultados tão assombrosos com ferramental matemático
exclusivamente geométrico intuitivo.
XV
O mais fantástico é que todo o resultado obtido provem unicamente de um
pensamento de matemática abstrata, que só circulava nos meios eruditos. Apesar dos
célebres desafios a que se submetiam voluntariamente, a maior parte dos conceitos
emitidos só teriam valor neste meio erudito.
E estes desafios eram muitos e cada vez mais complexo. Quadratura do
círculo, trisseção de um ângulo, duplicação de um cubo, quadraturas das lunas, eram
conceitos de quase ou nenhum uso prático, que só tinham valor como
desenvolvimento de um pensamento cada vez mais geométrico e abstrato e no meio
matemático-erudito.
E foi devido a todo este desenvolvimento matemático de seus pensadores, que
o período em torno de 600 aC até 200 aC , BOYER chamou de a Idade do Ouro do
pensamento intuitivo matemático grego.
Contudo não se pode deixar de admirar que os avanços conseguidos por estes
pensadores, foram obtidos com tão pouco ferramental. Equações de primeiro grau,
de segundo grau, tabelas de quadraturas, de cúbicas, equações cúbicas, áreas
poligonais, os poliedros, as curvas, os sólidos, princípios de trigonometria,
proporções, o desenvolvimento do estudo dos números, os princípios de uma
matemática infenitesimal com os paradóxos de Zeno e de uma geometria analítica
com Papus, todos são conceitos dificeis de se aceitar como poderiam ter sido
desenvolvidos naquele ambiente, e não obstante o foram.
Deve-se ainda a Ptolomeu
de Alexandria (150 dC) a divisão da
círcunferência em 360º , as subdivisões em sessenta partes minutae primae
e
sessenta partes minutae secundae e os princípios gerais de alguma coisa que mais
tarde seria a trigonometria. Nota-se aí segundo BOYER, a herança do sistema
sexagesimal mesopotâmico. Seu Almagesto, em que são apresentadas estas ideias, foi
utilizado para a ciência da astronomia por mais de 1400 anos.
XVI
CAPÍTULO II
A Matemática grega: Ascenção e Decadência
Se a época de ouro da matemática Grega decorreu segundo BOYER (Carl B.
A História da Matemática. 2 Ed.São Paulo,Edgard Blücher,1996) de em tôrno de 600
aC até perto de 200 dC, desta época até 600 dC aproximadamente , ocorreu uma
progressiva decadência do pensamento lógico abstrato grego, sem que se houvesse
apresentado um herdeiro à altura desta tradição.
A civilização romana não apresentou nenhuma figura de peso que desse
prosseguimento ao pensamento grego, e até pelo contrário, BOYER aponta como as
contribuições da civilização romana à ciencia da matemática, alem da morte de
Arquimedes por mãos de um soldado romano, comandado por Marcelo, durante o
cerco de Siracusa , a recuperação do túmulo de Arquimedes por Cícero, grande
orador romano durante o período em que foi Questor na Cicília.
Segundo BOYER (pg 98) “ ...durante toda sua longa história, a Roma antiga
pouco contribuiu para a ciência e a filosofia e menos ainda para a matemática. Tanto
durante
a republica com durante o império, os romanos mnostraram pouca
inclinação para a investigação especulativa ou lógica. As artes práticas como a
medicina e a agricultura eram cultivadas com algum interesse, e a geometria
descritiva era olhada favoravelmente. Projetos notáveis de engenharia e monumentos
arquitetônicos se relacionavam com os aspectos mais simples da ciência, mas os
construtores romanos se satisfaziam com as técnicas práticas elementares que
requeriam muito pouco conhecimento da grande massa do pensamento grego...”.
Contudo mesmo um pequeno renascimento da cultura matemática grega entre
período de 200 dC a 600 dC foi o suficiente para fazer surgir e projetar nomes como
Diofante, Nicômaco, Papus e Hipátia, filha de Teon , cujo assassinato em 415, na
cidade de Alexandria, por uma turba enfurecida representou o marco do fim do
brilhantismo grego na matemática intuitiva.
Porem, mesmo este pequeno recrudescimento, foi suficiente para continuar a
projetar conceitos que influenciaram e atrairam o pensamento de estudiosos árabes e
hindus, e permitiram que, atravez de traduções nestes ediomas, se preservassem
muitas obras da cultura grega, que de outra forma se perderiam.
XVII
Estes conhecimentos matemáticos influenciaram o pensamento ocidental e
nortearam o estudo e o aprendizado desta ciência por toda a Idade Média e por parte
do Renascimento.
Há que se notar ainda assim as principais contribuições destes pensadores
gregos neste período final do seu brilhante desenvolvimento matemático, e
principalmente, reconhecer o papel importante da Universidade de Alexandria com
centro aglutinador e impulsionador de todo este desenvolvimento cultural, pois foi
atravez de Diofante que se implementou o surgimento de uma nova filosofia
matemática, com o desenvolvimento dos princípios de um pensamento que mais tarde
daria a origem a álgebra, assim como tambem dos
princípios elementares da
geometria analítica atravez de Papus, quando esta só foi se desenvolver plenamente já
no século XVII, com Descartes.
Com o fim de mais este brilhante período do pensamento grego, foi tambem
determinado o fim de uma era denominada por BOYER de Período Alexandrino, ou
da influência dos pensadores originados por Alexandria na matemática lógica
abstrata.
Porém, se este marco significou uma interrupção do pensamento lógico
matemático ocidental por alguns séculos e que, quando ressurgiu, o fez em outras
terras europeias mais ao norte,
nos paises
desenvolvia de maneira independente,
orientais
este ainda era forte,
se
com muitos conceitos novos e outros
semelhantes ainda que desenvolvidos indepententemente.
XVIII
CAPÍTULO III
A China e a Índia, novas ideias e novos símbolos
BOYER,na sua
A História da Matemática faz questão de apontar de uma
maneira muito decisiva, que algumas descobertas atribuidas à gregos ou babilônios
já eram do conhecimento de matemáticos chinese
até em séculos anteriores, e
enfatiza, “se em alguma oportunidade, algum conhecimento entrou ( na China ), em
muito maior quantidade, saiu... “, com isto queria explicitar que a contribuição
chinesa foi muito anterior aos conhecimentos gregos e que portanto mais certo seria
considerar estes como sendo influenciados por aqueles.
Em toda a sua obra, contudo aponta sempre para semelhanças, mais que meras
coincidências, nos diversos trabalhos conhecidos destes períodos, embora a origem do
documento possa ser egípcia, babilônica, grega, chinesa ou hindu.
E mais talvez que mera coincidência, aponta
as similaridades com
proposições e problemas encontrados na cultura grega. Algumas das proposições de
problemas e soluções são posteriores às gregas, outras contemporâneas, e outras ainda
definitivamente anteriores.
De qualquer modo, parece ter sempre havido, em epocas distintas, algumas
influências de parte a parte, embora as formas de grafia numéricas sejam sempre
distintas e características de cada cultura.
Muito interessante seria enfatizar a anotação deste autor à pag135, quando
relata que por volta de 213 aC o imperador chinês mandou destruir todo vestígio de
cultura queimando livros ou outros meios de preservação do pensamento. Isto
prejudicou muito seriamente a cultura matemática chinesa e destruiu certamente
muitas fontes que poderiam desfazer dúvidas sobre
a
primazia de algumas
proposições.
Contudo, apesar deste percalço, a cultura matemática chinesa, não pôde ser
desta forma, completamente estancada, devido as grandes necessidades deste
conhecimento no comércio e no calendário.
Curiosamente, apesar de outras muitas similaridades nas proposições, chama
mais a atenção o conceito de macho e femea (yin e yang), encontrado tambem no
XIX
pensamento grego quanto aos números, agora aqui é encontrado no conceito das
frações, entre numerador e denominador.
Enquanto o conceito de números negativos, devido talvez ao pensamento
lógico geométrico, não era aceito por qualquer das civilizações mediterrâneas, aos
chineses não acarretava contrariedade e
até da mesma forma que aos gregos,
utilizavam um sistema de base decimal.
Outra similaridade de difícil confrontação de primazia consistia nos ábacos e
tábuas de contar. Conhecidas dos chineses já por volta de 300 aC, seria no entender
de BOYER, muito dificil precisar a época em que cada cultura absorveu este método.
Contudo algumas diferenças sempre podem ser anotadas, como por exemplo: o ábaco
árabe possuia 10 bolas em cada arame sem barra central, ao passo que o chines
possuia cinco fichas superiores e cinco inferiores separadas por uma barra, o que
talvez explique a fácil aceitação do conceito de números negativos nesta cultura .
A contribuição hindu parece ter sido
sempre peculiar, se menos rica no
entender de BOYER. Seus matemáticos, talvez por falta de relatos registrados,
aparecem de forma esparça e sua contribuição original, embora exista, parece ser
menos significativa que de outras culturas mediterrâneas.
Contudo, este autor aponta que, se o pensamento lógico matemático hindu era
menos severo que a lógica geométrica grega, era talvez por isto mesmo, muito rico
no conceito intuitivo, e até de uma certa forma resultado de uma inocência lógica, por
não estar tão preso aos severos conceitos numéricos gregos.
Já KAPLAN esclarece que, mais que qualquer aspecto, foi essencialmente o
aspecto místico da alma hindu, o fator maior que permitiu a este povo desenvolver
algumas caracteristicas peculiares no trato da matematica intuitiva.
Conceitos e aspectos religiosos e místicos associados ao caracter divino no
trato com os números, permitiu e possibilitou aos hindus se desvincular do severo
preciosismo grego e assumir novas e revolucionárias proposições matemáticas.
Ou como esclarece o Mahavira em sua Ganita Sara Sagraha escrita em 830
dC “Que a regra daquele amo soberano de Jina prospere, ele que destruiu a
posição das conclusões simples e propôs a logica do syadvada”. KAPLAN esclarece
que, o tradudor inglês, neste caso pretendia explicar que syadvada é argumento de
XX
que o mundo das aparências pode ser ou não real, ou ambas as coisas podem ou não
ser reais.
Com este aspecto mística, nada mais natural que uma
abordagem
descompromissada para com a severidade da lógica grega na procura de novos
conceitos.
Assim, uma das contribuição decisivas da cultura lógica matemática hindu,
foi o aperfeiçoamento do conceito do manuseio da trigonometria moderna, cujos
primeiros princípios foram apresentados por Ptolomeu, e BOYER aponta até como
sendo a palavra seno uma tradução ocidental do termo hindu jiva .
Muitas outras influências da cultura grega são anotadas, e se parece ser
pouco representativo o desenvolvimento de
uma
cultura matemática lógica
independente hindu, foi de fato da maior importância, a sua contribuição para a
matemática moderna.
Desta forma, um outro ponto a apresentar muito interesse seria a notação
numeral ou a grafia dos números nas culturas estudadas. A grafia chinesa, em um
sistema de numerais em barras, de alguma forma lembra a cuneirforme
mesopotâmica e também apresenta um princípio para a numeração posicional, porém,
segundo BOYER, somente em 1247 é anotado o uso de um símbolo, cuja grafia
parece ser assemelhada com o zero, ou posição vazia de quantidade, um conceito
muito abstrato até para a cultura grego Aristotélica.
Este princípio de notação posicional era muito conveniente para a aplicação de
tábuas de calcular, e mesmo o conceito de
zero ou posição vazia poderia ser
simuladas nestas com muita facilidade.
Na Índia, por longo tempo esteve em uso uma notação particular, a qual teria
sido precedida por uma notação de traços verticais e posteriormente substituida
(século 3 AC), por outra muito semelhante ao sistema herodiânico grego e mais tarde,
de uma forma muito sintomática, segundo BOYER, substituida por uma outra notação
denominada brahmi, algum tempo depois que os herodiânicos foram substituidos
pelos jônicos na Grécia.
Esta notação brahmi, possuia nove símbolos posicionais primeiros, seguidos
de outros especiais e, era um passo inicial para a notação posicional moderna, porem
XXI
a contribuição hindu estacionou neste ponto, e BOYER vem a apontar uma possível
influência grega neste conceito, ao provocar mais tarde em uma redução aos nove
símbolos primeiros.
Aí aparece mais fortemente a possível influência grega ( talvez Alexandria)
na criação de um símbolo para o zero, como representação para a posição vazia,
dentro de um conceito de notação posicional, sendo transmitido posteriormente à
Índia.
Curiosamente, BOYER aponta também um desenvolvimento do conceito do
zero posicional na civilização Maya pré- colombiana, e desta forma, independente
mesmo de qualquer possível influência maditerrânea, onde,
nas aplicações
destinadas a contar os dias, aparecia um símbolo representado por um olho aberto,
significando uma posição vazia.
A numeração hindu, que já contribuira com os nove símbolos primários, logo
introduziu um décimo símbolo, representado como um ovo de ganso, para a posição
vazia e estava completo no entender de BOYER, a notação moderna que se compõe
essencialmente de :
1) base decimal,
2) notação posicional,
3) uma forma cifrada para cada um dos dez numerais.
E embora aponte BOYER, que a grafia dos numerais seja bem diferente dos
utilizados atualmente, e que nenhum dos requisitos se deveu originalmente aos
hindus, foi muito provavelmente esta a cultura que primeiro os uniu para formar o
nosso moderno sistema de numeração.
A simbologia hindu para o zero, o ovo de ganso, que por algum tempo
pareceu ser de influência grega e originada da letra grega ômicron, que é a letra
inicial da palavra grega ouden ou vazio, porem estudos posteriores indicam não ser de
fato esta a origem e sim o ovo de ganso hindu, utilizado por nós até os dias atuais.
O pensamento matemático lógico hindu, distanciado das severas restrições
lógicas da geometria grega, pode se desenvolver de uma maneira própria, intuitiva e,
se apresentou deficiências, por não estar preso a lógica das ideias gregas, pode
XXII
desenvolver métodos aritméticos próprios e influenciar o pensamento árabe e por
meio deles, ao europeu.
O conceito de operações com
o zero , ou o vazio, inadmissivel para o
pensamento grego, recebeu deles uma atenção especial, e ao conceito de números
irracionais e de equações indeterminadas, trataram sem as restrições gregas.
KAPLAN porem, desenvolve toda uma análise sobre o aspecto místico
religioso da civilização hindu, assegurando ser esta, a única
a possibilitar
a
existência de uma figura com tal grau de polemização quanto o ZERO e aponta que
esta figura matemática, como auxiliar de uma notação posicional restrita, já estava
presente desde os sumérios na antiga mesopotamia e tambem mesmo na civilização
grega, embora seu aspecto se resumisse meramente a delimitar ou indicar grandezas
especiais.
Neste caso, este autor aponta como indiscutível o papel da civilização hindu
ser a única possível de imaginar e admitir a existência, e assim criar uma grafia, de
um símbolo para representar o vazio, ou a ausência de tudo, conceito normalmente
associado a coisas mágicas ou de caracter malígno, que perdurou até a Idade Média .
XXIII
CAPÍTULO IV
A contribuição Árabe
Por volta do século VIII, aproximadamente um século após a invasão árabe e
conquista do Ímperio Muçulmano, BOYER aponta que um grande desenvolvimente
dos conceitos matemáticos, ocorreu por influência muçulmana, principalmente em
Bagda, que passou, tal como Alexandria alguns séculos anteriores, a ostentar o título
de capital cultural do mundo conhecido.
Por influência de alguns califas (al-Mansur, Harum al-Rachid e al-Mamum,
principalmente este último), foi incentivada a tradução para o árabe, de muitas obras
gregas e hindus,
e, desta forma , foi grande a influência destas culturas
no
pensamento árabe e na difusão destas obras na Europa.
Grandes pensadores matemáticos árabes surgiram e
acrescentaram
ao
pensamento lógico geométrico grego e ao lógico intuitivo hindu, a organização
sistemática árabe.
Dentre os pensadores, Mohammed ibu-Musa al-Khowarizmi, com as suas
obras De Número Hindorum e Al-jabr Wa’l muqabalah, se destaca de tal maneira
que o
seu nome
dá origem ao têrmo algarismo,
significando o sistema de
numeração posicional, proveniente da Índia, e erradamente a partir dai confundido
como de origem arábica.
BOYER aponta ainda que o Al-jabr dá origem, nome e fundamento aos
conceitos da Álgebra, em complementação ao grego Diofante, de uma forma clara e
sistemática, como não tinha sido alcançado anteriormente por este e outros autores
gregos e hindus, principalmente por serem os árabes os primeiros a ter disponíveis
simultaneamente o pensamento lógico grego, a numeração posicional e os conceitos
intuitivos pré algébricos hindus.
Há que se notar contudo que, influências provenientes de varias regiões
distintas afetaram a grafia original do sistema numeral hindu, embora como ressalte
BOYER, o mais importante seria o conceito de numeração posicional emitido e não a
simples grafia utilizada.
XXIV
CAPÍTULO V
O papel da Idade Média
HOWARD, Eves, Unicamp, 1995,pg 156, aponta que o colápso cultural e fim
provável da expansão e domínio árabe no desenvolvimento da lógica matemática
ocorreu em 1436, com a morte de Al-Kashi, o último dos grande matemáticos árabes.
Porem,
de uma maneira muito feliz,
já estava a cultura europeia
apropriadamente madura para absorver e desenvolver, por caminhos próprios, todo o
conhecimento acumulado nas todas as etapas anteriores. Enfatiza ainda este autor, que
se os árabes não contribuiram ocom o grande desenvolvimento proporcionado pelos
gregos ou com criação de um sistema numeral apropriado como os hindus, nem por
isto legaram aos novos povos matemáticos europeus, uma cultura lógica menos rica
que a encontrada inicialmente 600 anos atrás.
À cinco grandes civilizações, em cinco línguas diferentes, em épocas distintas,
devemos os primórdios do desenvolvimento da cultura lógica matemática nos séculos
anteriores ao século X, e deste período até aproximadamente o século XV, tambem a
europa medieval pode apresentar sua contribuição, principalmente, tal como os
árabes, na tradução e preservação das idéias dos clássicos gregos.
De alguma forma, se o pensamento lógico não apresentou evolução de maior
monta, pelo menos não estacionou e preservou o que já havia sido conquistado, com
alguma
sedimentação das idéias, como que preparando o terreno fertil para o
Renascimento.
BOYER chama o período da Idade Média no século XII, de Século das
Traduções. A expansão dos numerais posicionais de origem hindu e assimilado pelos
árabes, expandiu-se a partir do século doze, e sua utilização permitiu um melhor
entendimento e aplicação dos conceitos e métodos aritméticos desenvolvidos pela
civilização hindu.
Mas foram nas traduções desta época a que se atribui a origem de alguns
termos preservados pelo uso até os dias atuais. Aos hindus é atribuida a origem do
nome
jiva
para designar a metade da corda do arco trigonométrico, função
XXV
matemática cujos principío são por sua vez atribuidas a Ptolomeu e aperfeiçoada
muito posteriormente pelos hindus.
Segundo BOYER, porem tal palavra hindu foi erradamente assimilada pelos
árabes como jiba, mais tarde transformada pelos matemáticos contemporâneos em
jaib cujo significado seria baia ou enseada , traduzido por Robert de Chester no
século doze como sinus , expressão latina de mesmo significado, estando aí a origem
para a palavra seno de uso atual corrente.
Outra provável e curiosa origem de termo utilizado hoje, seria aquela
provocada por Leonardo de Pisa mais conhecido como o Fibonacci , ou “o filho de
Bonaccio”, um comerciante italiano. Leonardo, teria viajado com o pai pelo norte da
África e conhecia Egito, Síria e Grécia, e haveria até estudado com um professor
muçulmano, conhecendo assim os métodos algébricos árabes e hindus, assim como a
metodologia de grafar os números pelo processo posicional hindu.
Durante o Seculo das Traduções, o Fibonacci escreveu uma obra chamada O
Liber Abaci no qual descreve o método de numeração posicional e o símbolo
denominado zephirum . Posteriormente, deste termo teriam derivadas as palavras
cifras e zero da matemática atual.
XXVI
CAPÍTULO VI
O Renascimento
Segundo HOWARD, Eves.Unicamp 1995, pg 255, por volta do século XV, a
invenção da imprensa e dos seus tipos móveis, possibilitou uma maior e mais fácil
difusão do
pensamento grego e de suas obras, agora sendo redescobertas
e
influenciando profundamente o pensamento europeu contemporâneo.
A matemática clássica grega, apesar de dificil compreensão para a maior parte
dos estudiosos europeus da época, sempre pode ter uma difusão mais facilitada,
juntamente com a filosofia dos grandes pensadores gregos.
Vários autores da Alemanha e Itália neste século
apresentaram grande
contribuição na interpretação dos pensadores gregos, na sua difusão e na introdução
de novos conceitos, porem só em 1484 pode ser identificada uma obra em que,
efetivamente, BOYER aponta um avanço considerável.
Nicolas Chuquet, um médico inexpressivo de Lyon, do qual pouco se sabe,
apresentou uma obra intitulada Triparty en la Science des Nombres na qual inclui o
conceito da numeração posicional hindu, o conceito do “décimo numeral” e seu
significado, e ainda das quatro operações fundamentais denominadas plus, moins,
multiplier par e partyr par.
Introduz ainda o conceito da “regra da incógnita “nas expressões algébricas,
anteriormente identificadas como res (em latim), chose (em francês), cosa (em
italiano) ou coss (em alemão). Apresenta um conceito de notação exponencial
incluindo expoente negativo e, pela primeira vez, apresenta um conceito de igualdade
a um número negativo em uma equação.
Se na maneira medieval o plus e o moins de Chuquet era rotineiramente
utilizado na abreviação p e m, com a influência germânica, estas abreviaturas foram
substituidas por símbolos iguais aos utilizados para indicar excesso ou deficiências
em medidas de quantidade em armazens, e
operações aritméticas de soma e subtração.
XXVII
tornaram-se os símbolos para as
Estes símbolos (+) e (-) apareceram pela primeira vez em 1489, em uma
aritmética comercial denominada “ Rechnung
auff
allen Kauffmanschaffen”
publicados por um professor de Leipzig chamado Johann Widman.
Dentre uma profusão de obras e contribuições de autores germânicos neste
período (1487/1567), BOYER pode identificar uma primeira utilização da notação
atual para raizes, uma figura gráfica semelhante ao triângulo de Pascal, cem anos
antes deste nascer, uma admissão, ainda que constrangida, aos números negativo e
aos irracionais, a proposição de utilização de uma letra apenas para identificar uma
incógnita em uma equação e a vulgarização do uso dos símbolos (+) e (-) para a soma
e a subtração.
Outro grande impacto no desenvolvimento da lógica matemática consistiu na
solução das equações cúbicas e tambem das quárticas ( através da Ars Magna de
Gerônimo Cardano -1545), enigma por longo tempo e infrutiferamente pesquisado
por todos os pensadores, desde os clássicos gregos, os quais só lhes conseguiram
visualizar soluções (para as cúbicas) nas seções cônicas.
Em um novo avanço, o sinal de igualdade, surgiu de uma maneira muito
discreta em 1557 na Inglaterra no Whetstone of Witte de Robert Record, porem
ainda não eram grafados de modo semelhantes aos atuais, pois eram bem mais
longos. Por esta época ainda, Georg Joachim Rheticus, discipulo de Copérnico e de
Regiomontanus (grande matemático prussiano), somou suas ideias ás dos mestres e,
com Opus Palatinum de Triangulis deu forma definitiva à trigonometria ptolomaica
utilizando todas as seis funções em suas tabelas.
Século muito rico em novas idéias, o Renascimento presenciou ainda com
François Viète, em sua obra Canon Mathematicus de 1579, um forte apelo ao uso das
formas de frações decimais, em detrimento as formas sexagesimais, ainda com
grandes defensores, como uma herança dos tempos mesopotâmicos. A carência de
uma forma de grafar valores fracionários era tal, que os grandes autores de formas
tabulares trigonométricas utilizavam raios (hipotenusas) para as funções da ordem de
10.000.000, de maneira a não ser necessário utilizar frações, contudo Viète ainda
utilizava uma barra vertical para separar parte inteira de fracionária, pois a vírgula só
veio a ser grafada com este objetivo com o De Planis Triangulis de 1592 de G. A.
Maginis, embora tambem se atribua tal primazia a Christoph Clavius em 1593, em
XXVIII
uma tabela de senos. Contudo, este conceito só se tornaria popular com Napier vinte
anos depois e na forma do ponto decimal.
Se Viète introduziu ainda o conceito de utilização de vogais e consoantes para
representar quantidades em equações algébricas, Girard em 1629 no Invention
Nouvelle en l’Algebra introduziu o conceito de correspondência entre o número de
raizes de uma equação e o grau desta, e ainda mais, indicou uma coerência nos
números negativos, até então sempre encarados com perplexidade por todos os
pensadores matemáticos, e abordou até o conceito de raizes imaginárias.
Outro pensador contemporâneo, Thomas Harriot, matemático inglês,
introduziu os símbolos de menor que (<) e maior que ( > ) e difundiu o sinal de
igualdade apresentado por Recorde.
Por volta de 1614, John Napier provocou uma verdadeira convulsão com
Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio em que descrevia os principios gerais
dos logarítmos, palavra criada por ele para designar a sua criação. Henry Briggs,
admirador de Napier, com a concordância deste, extendeu suas ideias e criou os
logarítmos de base dez, muito mais praticos que os neperianos e logo publicou tabelas
abrangendo de 1 até 100.000, popularizando e disseminando o conceito. A Briggs são
atribuidas as expressões “mantissa” e “característica” relativas aos logarítmos.
Esta fase entre os século XVI e XVII foi caracterizado por grandes idéias e
inovações desenvolvidas por grandes pensadores da lógica matemática. Nomes como
Galileu, Kepler, Cavaliere e outros mais, abriram caminho em outras áreas e
principalmente em uma área até então inexplorada e muito desconcertante para
antigos pensadores, qual seria a matemática do infinitésimo. Por serem estudiosos da
astronomia, estes pensadores, observaram aplicabilidade imediata nestas ideias de
infinitésimo, tema complexo, que afastou muitos outros pensadores, por sua extrema
abstração e pouca aplicabilidade imediata na engenharia ou no comércio.
XXIX
CAPÍTULO VII
Do Renascimento aos tempos modernos
Se o século XVII presenciou a perda de Cavaliere ( 1647)
e
de
Torriceli(1647), ambos profundamente interessados na teoria dos infinitesimais,
contudo assistiu tambem o surgimento de Fermat e de Descartes, os quais juntamente
com Roberval, Girard Desargues e Blaise Pascal, desenvolveram e acrescentaram
conceitos revolucionários à matemática até então conhecida.
Tanto Descartes quanto Fermat, por volta de 1620, caminhando por direções
distintas chegaram as mesmas conclusões e fundaram os pilares da
Geometria
Analítica moderna, embora, tanto um quanto outro, ainda se utilizavam de uma de
grafia das expressões bastante diversa da atual, contudo,
tanto BOYER quanto
HOWARD, apontam para a grafia de Descartes como a mais próxima dos dias atuais,
utilizando os sinais de germânicos para a adição e subtração (+ e -) apesar de
utilizar ainda o
(∞) como símbolo para a igualdade.
Da mesma forma com que o fim do século XVI e princípio do XVII
presenciou o domínio da matemática germânica e italiana, e que o início do século
XVII presenciara o dominio da lógica francesa, agora o centro do desenvolvimento se
desloca para a Inglaterra e Paises Baixos, quando varios nomes se destacaram como
expoentes do pensamento lógico, principalmente levando mais em frente muito do
que foi desenvolvido agora por Descartes, Fermat e Pascal.
Em 1642 nascia Isac Newton e por volta de 1665 /1666 apresentou as bases
da teoria do cálculo infinitesimal, o qual veio novamente a revirar a lógica
matemática, principalmente porque já
eram de uso corrente muitos conceitos e
notações simbólicas desenvolvidos progressivamente nos períodos anteriores.
Se Newton foi o expoente máximo do pensamento lógico matemático inglês,
Gottfried Wilhelm Leibnitz foi o seu equivalente germânico, e desenvolveu (1676)
um método para cálculo infinitesimal quase simultaneamente a Newton, introduziu a
grafia do termos dx e dy para representar um incremento de valor e mais tarde criou
a símbolo
∫ dx
para representar uma soma infinitesimal. Seus conceitos de achar a
tangente a uma curva exigiam o uso do calculus differentialis e para se achar a
XXX
quadratura se exigia o uso do calculus summatorius ou calculus integralis, dando
origem assim às expressões utilizadas até os dias de hoje.
Os princípios de limites utilizados por Leibnitz
nestes estudos de
infinitésimos já tinham sido estudados por Fermat, Descartes e Pascal no inicio do
século. Outros símbolos tambem passaram a ser de uso corriqueiro depois de Leibnitz
como os de igual, consolidando o seu uso anterior, e também os sinais para
semelhante, congruente e os dois pontos para indicar uma divisão. A Leibnitz tambem
é dada um brilhante contribuição no uso de alguma forma parecida com a teoria dos
determinantes 50 anos antes de sua data considerada de desenvolvimento.
BOYER aponta também que, se Newton conservou, talvez involuntariamente,
os resultados de suas descobertas muito restritos ao ambiente britânico, Leibnitz, por
outro lado encontrou brilhantes discípulos, nos irmãos Bernoulle, na disseminação
de suas ideias. Estes irmàos, brilhantes matemáticos, desenvolveram de modo
independente conceitos e
teorias próprias, sendo responsáveis
por brilhantes
descobertas em consonância com Leibnitz.
O fim do século XVIII foi extremamente prolífico em grandes nomes, tanto
nas ilhas inglesas como no continente. Uma série de grandes matemáticos e grandes
descobertas praticamente delineou o contorno final da matemamtica que hoje
conhecemos e sua notação grafica. Abraham Moivre implementou a teoria das
probabilidades, trabalhou com imaginários e funções circulares.
Gabriel Cramer é responsável pelo processo de soluções de equações
simultaneas que tem o seu nome. Embora também descoberto por Colin Maclaurin
alguns anos antes, o processo foi melhor desenvolvido e apresentado por Cramer,
onde sua regra de Cramer deu origem a teoria dos determinantes.
Giramolo Sacheri, o mais brilhante matemático italiano do século XVIII,
apresentou um estudo que implicaria na geometria não euclidiana. Seu discipulo
Guido Grande
estudou as Séries Divergentes e teve o grande merito de ser o
professor de Euler.
Leonhard Euler (1707/1783) definiu e introduziu a maioria dos conceitos de
notações de uso corrente nos dias de hoje. Autor de brilhante e profusa produção
acadêmica ( mais de 800 trabalhos em toda a sua vida), por suas contribuições
XXXI
introduziu o conceito de e como base dos logaritmos naturais, quando chamou em
1731 de e como “aquele número cujo logarítmo hiperbólico é igual a um ” (
BOYER. Edgard Blücher 1999,pg 305), tornou definitivo o uso da letra grega π
para representar a razão da circunferência para o diâmetro de um círculo, utilizou i =
− 1 , empregou e πi +1=0, utilizou de lx para representar log de x, utilizou f(x) para
representar a função de x e dentre outras mais, utilizou Σ para indicar um somatório.
Depois de Euler no século XVIII surgiram muitos outros matemáticos
brilhantes e que contribuiram muito para esta ciência com o estabelecimento de
muitos outros conceitos, contudo todos utilizavam as grafias de notações de Euler.
BOYER considera Euler é o responsável direto pela notação matemática tal
como a conhecem hoje os estudantes modernos, quando diz ele pg 305 “ Alem disso
em quase tudo,
Euler escrevia na linguagem e notação que usamos hoje, pois
nenhum outro indivíduo foi tão grandemente responsável pela forma da matemática
de nível universitário… nossas notações são hoje assim mais por causa de Euler que
de qualquer outro matemático. “ completa.
XXXII
CONCLUSÃO
KAPLAN nos permite uma avaliação muito clara da evolução da grafia de
alguns símbolos matemáticos, de suas associação com as operações aritméticas, e,
principalmente do desenvolvimento da noção intuitiva do ZERO com suas graves
implicações gerais, inclusive quanto ao grau místico, mágico e religioso de que
estaria carregado o seu conceito de vazio e ausência de tudo e portanto contendo um
aspecto maligno. Porém
BOYER, HOWARD, BAUMGART e KENNEDY, por
outro lado, nos possibilitam uma visão geral da evolução e do desenvolvimento do
pensamento da lógica matemática intuitiva atravez dos tempos e civilizações.
Se aos sumérios e egípcios é dada uma primazia de
desenvolvimento de um pensamento lógico inconteste,
embora por razões que os autores citados não conseguem
apontar claramente, exceto pelos mesmo motivos
apresentados por Aristóteles a 2600 anos atrás “ porque lá os
sacerdotes egpícios tinham o lazer necessário para desenvolver
o conhecimento teórico”, a Platão tambem se poderia dar a
mesma justificativa, quando BOYER aponta a pg 61 “
…alguns o consideram um pensador excepcionalmente
profundo e incisivo, outros o representam como um flautista
de Hamerlin da matemática, que seduzia os homens a
abandonar os problemas do trabalho para se perderem em
especulações vadias… “
Mas qual conclusão poderia ser tirada destes fatos
apresentados? Não se pode de forma alguma ignorar que,
se os pensadores Pitagóricos, levaram tão ao pé da letra o
pensamento contemplativo para resolver seus problemas
geométricos, que chegaram a fundar uma escola chamada
Pitagórica, como uma sociedade secreta, quase como uma
religião, que BOYER chama de culto órfico.
XXXIII
Estes fatos apontados, da mesma forma que levaram
alguns seguidores de Pitágoras na Grécia clássica, a uma
filosofia de culto aos números com um tal grau de
exacerbação, a ponto de condenar à morte Hipasus de
Metapontum, um de seus próprios seguidores, por este ter
descoberto a irracionalidade de alguns números, ou como
no dizer de BOYER,
a existência das grandezas
incomensuraveis, no entanto produziram ou provocaram a
intuição de conceitos inacreditáveis para a época, como a
secção áurea ou os paradoxos de Zeno, isto para só citar
dois casos exemplares.
No entanto esta brilhante produção do pensamento
geométrico intuitivo grego, de quase mil anos, permaneceu
praticamente ignorada por quase outros mil anos na
Europa ocidental, devido ao completo despreparo desta
civilização para compreende-la e aceita-la.
Por outro lado porém, da mesma forma associavam à
esta ciência, tão exata, conceitos ingênuos, típicos de uma
cultura que engatinhava neste conhecimento. Assim, aos
números, os gregos clássicos associavam uma classificação
de sexo, como seres masculinos ou femininos. E Platão
associou
aos seus sólidos
geométricos os chamados
elementos naturais : ar, fogo, água, terra .
Contudo, todos estas considerações não diminuem o
valor de descobertas, tão ou mais grandiosas que, muitas, se
esquecidas por séculos, foram novamente redescobertas na
Idade Média ou na Renascença e, com assombro, mais tarde
reconhecidas como tendo uma primazia de autoria milenar
nos gregos clássicos.
Estas descobertas foram, vimos no decorrer deste
estudo, efetuadas com recursos matemáticos escassos,
utilizando uma linguagem geométrica
de tão dificil
visualização para um não iniciado que Menaecmus disse a
seu imperador, do qual era mestre, “ não haver estrada real
para a geometria ” .
XXXIV
Contudo muitos conceitos e teoremas emitidos por
grandes pensadores como Diofante, Zeno, Apolônio,
Euclides, Arquimedes etc só conseguiram ser apreciados e
entendidos, séculos mais tarde e com uso de um ferramental
matemático muito mais poderoso.
Pergunta-se como homens como estes, e mais tarde,
chineses, hindus e arábes conseguiram obter tais resultados,
somente com uma intuição e uma percepção introspectiva e
especulativa?
Um fato curioso pode ser constatado nas obras dos
autores citados. Já
no fim do período da antiguidade
clássica grega, a cidade de Alexandria representou o
centro aglutinador do desenvolvimento do saber grego.
Mais tarde, com o domínio árabe, este papel foi
desempenhado por Bagdá. E estes polos do conhecimento
foram responsáveis por projetar grandes pensadores e
grandes trabalhos.
Posteriormente, na Idade Média e na Renascensa, com
o desenvolvimento desta ciência dita exata,
muito
significativamente, seus maiores pensadores, responsáveis
por brilhantes descobertas, quase sempre eram médicos
reais ou eram professores, indicando não mais apenas
aquele caracter introspectivo e especulativo da Grécia
Alexandrina, mas um acentuado caracter de treinamento
ou de
transmissão do conhecimento em ambientes
adequados, como as escolas reais, onde se concentravam
aqueles que mais se destacavam nas ciências.
Contudo, se aos mais aptos era possibilitado neste
centros de cultura um bom treinamento nesta área do
conhecimento, cabia exclusivamente ao aspecto intuitivo de
cada um, o desenvolvimento adicional nesta ciência. E a
alguns expoentes
luminares excepcionais era possível
desenvolver e apresentar descobertas nestas áreas do
conhecimento.
Se a lista de pensadores era grande, a relação de
descobertas e o acréscimo de conceitos não eram menores. E
XXXV
este acréscimo de conhecimento era feito lentamente, as
vezes com retrocessos, mas logo em seguida novo avanço.
E os países e culturas de origem eram variadas. Se aos
sumérios, egípcios, depois gregos, mais tarde ou talves,
simultaneamente, estes autores não esclarecem, foi dada a
primazia das primeiras idéias, logo chineses e hindus
tambem não ficaram sem apresentar uma brilhante
contribuição.
Os árabes, se tambem assimilaram esta cultura, já
milenar para eles,
puderam apresentar sua própria
contribuição em novas idéias. Mais tarde coube aos paises
da bota italiana dar prosseguimento, depois os povos
germânicos, depois ingleses ( com Newtom) e novamente os
germânicos com Leibnitz e depois Euler, apresentaram
conceitos e símbolos de uso corrente até os dias atuais.
Mais que apenas um treinamento pode-se constatar
uma forte parcela intuitiva no desenvolvimento destas
ideias, quando vemos que muitos dos principais matemáticos
dos séculos X IV, XV e XVI, responsáveis por grandes
avanços posuiam uma formação completamente estranha a
esta ciência, como médicos, tais como Nicolas Chuquet, ou
advogados como Leibnitz. Raros eram matemáticos na
formação como Newton, porem todos apresentaram
trabalhos e contribuições espetaculares.
XXXVI
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XXXVIII