Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
01
a) Área =
6⋅4
= 12 cm2
2
b) Área =
9⋅6
= 24 cm2
2
c) Área =
5⋅4
= 10 cm2
2
d) Pelo teorema de Pitágoras: AC2 + 82 = 102 ∴ AC = 6 cm
8⋅6
Área =
= 24 cm2
2
e) Área =
2 ⋅4
= 2 2 cm2
2
AB
3 2 3
∴
=
∴ BC = 6 cm
BC
3
BC
2 3 ⋅6
Área =
= 6 3 cm2
2
f) tg 30º =
Respostas:
a) 12 cm2
b) 24 cm2
c) 10 cm2
d) 24 cm2
e) 2 2 cm2
f) 6 3 cm2
1
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
02
Podemos esboçar a seguinte figura:
Pela área, temos:
2x
x⋅
3 = 12 ∴ x = 6 dm
2
Pelo teorema de Pitágoras, vem:
62 + 42 = y 2 ∴ y = 2 13 dm
Resposta: 2 13 dm
2
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
03
Como G é baricentro, temos:
ÁreaBGM = ÁreaMGC = ÁreaCGN = ÁreaNGA = ÁreaAGP = ÁreaPGB
Isto é, cada um deles tem área igual a um sexto do total. Logo:
ÁreaBGM =
1
⋅ 36 = 6 cm2
6
e
ÁreaBGC = 12 cm2
Respostas:
a) ÁreaBGC = 12 cm2
b) ÁreaBGM = 6 cm2
3
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
04
Do enunciado:
AB ⋅ (BM + MN + NC) = 54 cm2
AB ⋅ 3 • NC = 54 cm2
AB ⋅ NC = 18 cm2
A área do triângulo AMN é:
AB ⋅ MN 18 cm2
A AMN =
=
= 9 cm2
2
2
Resposta: C
4
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
05
número de habitantes
área
6
20 ⋅ 10 habitantes
Densidade demográfica =
= 25 hab/km2
3
2
800 ⋅ 10 km
Densidade demográfica =
Resposta: B
5
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
06
Área perdida = Área total – Área após lavado
Área perdida = 3 ⋅ 5 – (5 – x) • (3 – y)
Área perdida = 5y + 3x – xy
Resposta: E
6
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
07
Pela forma como fora dobrado, temos:
AM = AB = 20 cm e DM = 10 cm.
Pelo teorema de Pitágoras no triângulo ADM, temos:
AM2 = AD2 + DM2
202 = AD2 + 102
AD = 10 3 cm
Área da folha = AB ⋅ AD = 20 ⋅ 10 3 = 200 3 cm2
Resposta: D
7
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
08
Se a área de AEFG for igual à área da região sombreada, a área do
retângulo AEFG é metade da área ABCD. Assim:
8⋅6
2
2
48 – 14x + x = 24
x2 – 14x + 24 = 0
x = 12 cm (não convém porque o lado maior mede 8 cm)
ou
x = 2 cm
(8 − x) ⋅ (6 − x) =
Resposta: 2 cm
8
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
09
a) Pelo teorema de Pitágoras:
BC2 = BH2 + HC2
( 7 )2 = ( 3 )2 + HC2
HC = 2
Área = AB ⋅ HC = 24
b) Área = AD ⋅ AH = 6
Respostas:
a) 24
b) 6
9
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
10
Como o quadrado tem lado que mede 1 cm, a diagonal mede
2 cm.
Assim:
AB = BC = CD = DE = 2 cm
Logo:
AE = 4 2 cm
2
FG =
cm
2
Área =
4 2⋅
2
2
2 = 2 cm2
Resposta: A
10
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
11
Considere a seguinte figura:
1⋅ 3 3
= km2
2
2
• Área II = 6 ⋅ 3 = 18 km2
3⋅3 9
• Área III =
= km2
2
2
7⋅2
• Área IV =
= 7 km2
2
• Área I =
Área total =
3
9
+ 18 + + 7 = 31 km2
2
2
Resposta: D
11
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
12
a) Área =
(3 + 5) ⋅ 4
= 16
2
b) Considere esta figura.
Área =
(2 + 6) ⋅ 3
= 12
2
Respostas:
a) 16
b) 12
12
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
13
Como MN é base média, temos:
AB + DC
= MN
2
AB + DC
= 7 cm
2
Note que a altura do trapézio é 6 cm. Assim, a área desse trapézio é:
A ABCD =
(AB + DC) ⋅ 6
= 7 ⋅ 6 = 42 cm2
2
Resposta: E
13
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
14
Área ABD = ÁreaCBD =
1
⋅ 136 = 68 m2
2
Como P é ponto médio de AD, temos:
Área APB = ÁreaDPB =
1
Área ABD = 34 m2
2
Ou seja, a área do triângulo APB é 34 m2.
Resposta: 34 m2
14
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
15
Pela construção, AP = PB = AB. Assim, a área do triângulo equilátero
APB de lado 10 cm é:
A APB = 25 3 cm2
Área da bandeirinha = AABCD – AAPB =
= 150 − 25 3 = 25 ⋅ (6 − 3 ) cm2
Resposta: B
15
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
16
Sejam x a medida do lado do triângulo e y a medida do lado do
hexágono.
Como a área do hexágono é seis vezes a do triângulo, temos x = y.
Dado que 3x + 6y = 63, vem:
x=y=7
Resposta: B
16
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
17
Como GE = 6 cm e GF = 3 cm, temos, pelo teorema de Pitágoras:
EF2 = 62 + 32 ⇒ EF = 3 5 cm
Mas o triângulo FHD é semelhante ao triângulo FGE, então:
HD FD
=
GE FE
⇒
HD 5 5
=
6
3 5
Área total = AAFEB + ABEDC =
= 111 cm2
⇒ HD = 10 cm
(15 + 12) ⋅ 6 (12 + 3) ⋅ (10 − 6)
+
=
2
2
Como 1 cm na figura equivale a 2 km na região da APP, 1 cm2 na figura
equivale a 4 km2 na região real.
Logo, a área da APP é:
AAPP = 4 ⋅ 111 = 444 km2
Resposta: E
17
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
18
Observe esta figura:
Sabemos que r ⋅ t ⋅ s ⋅ u = s ⋅ t ⋅ u ⋅ r; assim:
(r ⋅ t) ⋅ (s ⋅ u) = (s ⋅ t) ⋅ (u ⋅ r)
a ⋅ 2a = 8 ⋅ 9
2a2 = 72
a2 = 36
a=6
Resposta: B
18
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
19
Considere esta figura.
Pelo teorema de Pitágoras:
h2 + 62 = 122 ∴ h = 6 3 cm
A altura do triângulo é equivalente à diagonal do quadrado de lado ℓ
temos.
Pelo teorema de Pitágoras, vem:
ℓ2 + ℓ 2 = (6 3 )2
2ℓ2 = 108
ℓ2 = 54 cm2
Ou seja, a área do quadrado é 54 cm2.
Resposta: 54 cm2
19
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
20
Considere esta figura.
Do triângulo ADT, temos:
DT
1 DT
∴
=
∴ DT = k cm
AD
2 2k
AT
3 AT
cos 30º =
∴
=
∴ AT = k 3 cm
AD
2
2k
sen 30º =
Assim:
CD = k cm + k 3 cm = k(1 + 3 ) cm
Então:
2+ 3 
[k + k(1 + 3)] ⋅ k [k(2 + 3)] ⋅ k
=
= k2 ⋅ 
 2 
2
2


Resposta: B
ÁreaABCD =
20
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
21
Observe a figura.
Temos:
• CD // AB
ˆ = med(PAB)
ˆ
• med(APD)
ˆ = 150º (podemos verificar, também, que med(ADP)
ˆ = 150º
• med(ADP)
ˆ
porque é o suplementar de DAB)
a) Do triângulo APD, pelo teorema dos cossenos, temos:
ˆ
AP2 = AD2 + DP2 − 2 ⋅ AD ⋅ DP ⋅ cos ADP
⇒

3
⇒ AP2 = 32 + 32 − 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅  −
 2 


⇒
AP = 3 2 + 3
b) Do triângulo CBT, temos:
CT
1 CT
3
sen 30º =
⇒
=
⇒ CT =
CB
2
3
2
Pela área do trapézio ABCP, temos:
3
(AB + AB − 3) ⋅
(AB + PC) ⋅ CT
2 = 21 ⇒
= 21 ⇒
2
2
31
⇒ AB =
2
Respostas:
a) AP = 3 2 + 3
31
b) AB =
2
21
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
22
ℓ⋅x
2
ℓ⋅y
=
2
ℓ⋅z
=
2
a) • Área APB =
• ÁreaBPC
• ÁreaCPA
b) Área ABC =
ℓ ⋅h
2
c) Área APB + ÁreaBPC + ÁreaCPA = Área ABC
ℓ ⋅ x ℓ ⋅ y ℓ ⋅ z ℓ ⋅h
+
+
=
2
2
2
2
ℓ
ℓ ⋅h
⋅ (x + y + z) =
2
2
∴x+y+z=h
(Q.E.D.*)
*Quod erat demonstrandum (“como se queria demonstrar”)
22
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
23
a) Área =
1
⋅ 2 ⋅ 2 3 ⋅ sen 60º = 3
2
b) Área =
1
⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ sen 150º = 6
2
Respostas:
a) 3
b) 6
23
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
24
Como AB = AC, temos:
ˆ = 15º
ˆ = med(ACB)
med(ABC)
ˆ = 150º
Logo: med( BAC)
1
ˆ
⋅ AB ⋅ AC ⋅ sen BAC
2
1
1
Área = ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅
2
2
Área = 16
Área =
Resposta: C
24
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
25
1
⋅ 3 ⋅ 8 ⋅ sen α
2
1
6 3 = ⋅ 3 ⋅ 8 ⋅ sen α
2
3
sen α =
2
α = 60º ou α = 120º
Área =
Resposta: D
25
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
26
Considere esta figura.
ÁreaLote I
ÁreaLote II
=
1
⋅ 20 ⋅ x ⋅ sen
2
α
 
2
1
⋅ 30 ⋅ x ⋅ sen
2
 α 
 
 2 
=
2
3
Resposta: B
26
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
27
1
⋅ 2 ⋅ 2 2 ⋅ sen 45º = 2
2
Assim: ÁreaBADC = 2 ⋅ ÁreaBAD = 4
a) ÁreaBAD =
b) ÁreaDPA =
1
3
⋅ 3 ⋅ 1⋅ sen 30º =
2
4
e
1
3
⋅ 3 ⋅ 1⋅ sen 150º =
2
4
Assim: Área ABCD = 2 ⋅ ( ÁreaDPA + ÁreaCPD ) = 3
ÁreaCPD =
Respostas:
a) 4
b) 3
27
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
28
Seja ℓ o lado do triângulo equilátero. Assim:
1
⋅ ℓ ⋅ ℓ ⋅ sen 60º
2
1
3
3 = ⋅ ℓ2 ⋅
2
2
ℓ=2
Área =
Resposta: B
28
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
29
Seja ℓ o lado hexágono regular. Podemos calcular a área multiplicando
por 6 a área de um triângulo equilátero de lado ℓ. Isto é:
1
Áreahexágono = 6 ⋅ ⋅ ℓ ⋅ ℓ ⋅ sen 60º
2
1
3
12 3 = 6 ⋅ ⋅ ℓ ⋅ ℓ ⋅
2
2
ℓ=2 2
Resposta: C
29
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
30
ÁreaABCD = (AB)2
1
ˆ
Área AEB = ⋅ AB ⋅ AE ⋅ sen EAB
2
1
Área AEB = ⋅ AB ⋅ AB ⋅ sen 60º
2
AB2 ⋅ 3
Área AEB =
4
Assim:
AB2 3
= 4+ 3
4
4AB2 + AB2 3 = 4(4 + 3 )
AB2 +
AB2 ⋅ (4 + 3 ) = 4 ⋅ (4 + 3)
AB = 2
Logo:
1
ˆ
⋅ AD ⋅ AE ⋅ sen DAE
2
1
= ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ sen (90º +60º)
2
1
1
= ⋅ 2⋅ 2⋅
2
2
=1
Área AED =
Área AED
Área AED
Área AED
Resposta: A
30
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
31
Os triângulos AOB, BOC, COD, DOE, EOF são equiláteros de mesmo
1
lado. Logo, têm a mesma área de ⋅ A.
6
Como M é ponto de encontro de OF e AE, os triângulos FME e OME têm
a mesma área, assim como FMA e OMA.
Analogamente, prova-se que N é ponto médio de OC e de BD. Assim,
DON, NOB, NBC e CND são triângulos de mesma área.
Podemos esboçar a seguinte figura.
Então:
A
6
A
b) A FME =
12
A A
A
A
c) A ABNM = +
+
=
6 12 12 3
A A A
A A A
2A
d) A ABDE =
+ +
+
+ +
=
12 6 12 12 6 12
3
a) A AOB =
Respostas:
A
a)
6
A
b)
12
A
c)
3
2A
d)
3
31
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
32
Considere esta figura.
Note que há 12 triângulos equiláteros de mesmas dimensões.
Seja A a área de cada um deles. Assim:
k
6A = k ∴ A =
6
Cada triângulo equilátero inicial (maior) tem 9A de área. Assim, dois deles
k
têm área 18A, isto é, 18 ⋅ = 3k.
6
Resposta: C
32
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
33
ˆ = θ.
ˆ = med(ACB)
Como AB = AC, temos med(ABC)
ˆ = 180º −2θ
Logo: med(BAC)
1
⋅ a ⋅ a ⋅ sen (180 − 2θ)
2
1
= ⋅ a ⋅ a sen (2θ)
2
Área ABC =
Área ABC
Área ABC =
a2 ⋅ sen (2θ)
2
Resposta: C
33
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
34
a) Área AOB =
4 3=
1
⋅ AO ⋅ OB ⋅ sen(180º −θ)
2
1
⋅ 4 ⋅ 4 sen (180º −θ)
2
3
= sen (180 − θ)
2
∴ θ = 60º ou θ = 120º
1
⋅ AO ⋅ OB ⋅ sen (180 − θ)
2
1
Área AOB = ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ sen θ
2
Área AOB = 8 ⋅ sen θ
b) Área AOB =
A área será máxima quando o sen θ for máximo, isto é,
sen θ = 1 ∴ θ = 90º
Respostas:
a) 60º ou 120º
b) 90º
34
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
35
1
ˆ = 1 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ sen θ = 6 sen θ
⋅ BE ⋅ EC ⋅ sen BEC
2
2
1
ˆ = 1 ⋅ 1⋅ 4 ⋅ sen(180 − θ) = 2 sen θ
• Área AEB = ⋅ AE ⋅ EB ⋅ sen AEB
2
2
1
ˆ = 1 ⋅ 2 ⋅ 1⋅ sen θ = sen θ
• ÁreaDEA = ⋅ DE ⋅ EA ⋅ sen DEA
2
2
1
ˆ = 1 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ sen(180 − θ) = 3 sen θ
• ÁreaCED = ⋅ CE ⋅ ED ⋅ sen CED
2
2
• ÁreaBEC =
Portanto:
Área ABCD = ÁreaBEC + Área AEB + ÁreaDEA + ÁreaCED = 12 sen θ
Resposta: A
35
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
36
Observe esta figura.
1
⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ sen (180 − 2α)
2
25
⋅ sen 2α
Área =
2
Área =
A área máxima ocorre quando sen 2α é máximo, isto é, sen 2α = 1.
Assim:
2α = 90º ⇒ α = 45º
Resposta: D
36
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
37
1
⋅ ℓ ⋅ ℓ ⋅ sen θ
2
1
• Área T2 = ⋅ ℓ ⋅ ℓ ⋅ sen 2θ
2
• Área T1 =
Do enunciado, vem:
Área T1 = 3 ⋅ Área T2
Assim:
1
1
⋅ ℓ ⋅ ℓ ⋅ sen θ = 3 ⋅ ⋅ ℓ ⋅ ℓ ⋅ sen 2θ
2
2
⇒
sen θ = 3 ⋅ 2 ⋅ sen θ ⋅ cos θ
⇒
⇒ sen θ = 3 ⋅ sen 2θ ⇒
1
= cos θ
6
Resposta: A
37
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
38
Considere esta figura.
1
⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ sen α
Área ADE
3
2
=
=
10
Área ABC
1
⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ sen α
2
Resposta: D
38
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
39
a) Área =
π ⋅ 32
= 3π cm2
3
b) Áreasombreada = Asetor – Atriângulo =
1
1
⋅ π ⋅ 62 − ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ sen 60º =
6
2
= 6π − 9 3 cm2
c) Considere esta figura.
cos 30º =
3
R
⇒
3
3
=
2
R
⇒
⇒ R = 2 3 cm
Áreasombreada = Acircunferência – Atriângulo =
1
= π ⋅ (2 3 )2 − ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ sen 60º =
2
= 12π − 9 3 cm2
d) Considere esta figura.
R
⇒
3
⇒ R = 3 cm
tg 30º =
3 R
=
3
3
⇒
Áreasombreada = Atriângulo – Acírculo =
1
= ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ sen 60º −π ⋅ ( 3)2 =
2
= 9 3 − 3π cm2
Respostas: a) 3π cm2 ; b) 6π − 9 3 cm2 ; c) 2 3 cm ; d) 9 3 − 3π cm2
Observação: Desconsidere o gabarito dado para o item b desta questão,
no Caderno de Exercícios, e considere a resposta acima.
40
39
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
a) Observe esta figura.
Áreasombreada = Área
quadrado
−
1
⋅ Área
4
círculo
1
Áreasombreada = 4 − ⋅ π ⋅ 22 = 4 − π cm2
4
Ainda:
Áreapedida = 2 ⋅ Áreasombreada = 8 – 2π cm2 = 2(4 – π) cm2
b) Áreapedida = Áreaquadrado – Áreaobtida no item a =
= 4 – (8 – 2π) = 2π – 4 cm2 = 2(π – 2) cm2
Respostas:
a) 2(4 – π) cm2
b) 2(π – 2) cm2
40
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
41
Considere esta figura.
Pelo teorema de Pitágoras:
BA 2 = BO2 + OA 2 ⇒ BA = 2 cm
Áreasombreada = Acírculo – AABCD
Áreasombreada = π ⋅ 12 − ( 2)2
Áreasombreada = π – 2 cm2
Resposta: π – 2 cm2
41
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
42
Considere esta figura.
Área do círculo = π ⋅ R2
16π = πR2
R=4
Assim:
• Lado de quadrado = 8
• Perímetro = 32
Resposta: A
42
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
43
Considere esta figura.
• Áreasombreada = Asetor – Atriângulo =
=
π
− 2 cm2
2
1
1
⋅ π ⋅ R2 − ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ sen 45º =
8
2
π

• Área sombreada = 2 ⋅  − 2  cm2 = π − 2 2 cm2
 2

Resposta: B
43
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
44
A área da figura dada é equivalente à área da seguinte figura (uma vez
que o raio e o ângulo central, em ambas, são congruentes).
Assim, a área sombreada é:
A=
6⋅3
=9
2
Resposta: C
44
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
45
ˆ = CB
tg CAB
BA
ˆ = 3 ∴ med(CAB)
ˆ = 60º
⇒ tg CAB
Áreasombreada = AABC – Asetor
1⋅ 3 1
− ⋅ π ⋅ 12
Áreasombreada =
2
6
3 π
Áreasombreada =
−
2
6
Resposta: E
45
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
46
Considere a seguinte figura.
Áreasombreada = Áreatriângulo + Áreasetor =
=
2⋅ 2 1
+ π ⋅ 22 =
2
4
=2+π
Resposta: B
46
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
47
Áreacoroa = Áreacírculo maior – Áreacírculo menor
π ⋅ 12 = π ⋅ R2 – π ⋅ 12
2π = πR2
R= 2
Resposta: D
47
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
48
Em vez de trabalharmos com a figura da maneira que foi dada,
invertamos o hemisfério sul, desta forma:
Área da região = π ⋅ (2r)2 – π ⋅ r2
108π = 4πr2 – πr2
r = 6 cm
Então: AO = 3r = 18 cm
Resposta: D
48
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
49
Considere esta figura.
Área sombreada = AAOC + Asetor =
1
1
⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ sen 150º + ⋅ π ⋅ 22 =
2
2

π
= 1+  cm2

3

π
Resposta: 1+  cm2

3
49
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
50
Considere esta figura.
1
⋅ 2π ⋅ 6 = 6π cm
2
1
Áreadiâmetro AC = ⋅ π ⋅ 62 = 18π cm2
2
1
i m(CDE) = ⋅ 2π ⋅ 3 = 3π cm
2
1
9π
Áreadiâmetro EC = ⋅ π ⋅ 32 =
cm2
2
2
1
3 3π
i m(EFG) = ⋅ 2π ⋅ =
cm
2
2
2
2
1  3 
9π
Áreadiâmetro EG = ⋅ π   =
cm2
2  2 
8
3π
i m(AHG) = m(EFG) =
cm
2
9π
Áreadiâmetro AG = Áreadiâmetro EG =
cm2
8
i m(ABC) =
Assim:
3π 3 π
+
= 12π cm
2
2
9π 9π 9π
Área da figura = 18π +
+
−
= 22,5π cm2
2
8
8
Perímetro da figura = 6π + 3π +
Resposta: B
50
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
51
Considere esta figura.
Pelo teorema de Pitágoras:
h2 + 52 = 132
h = 12
Área sombreada = Acírculo – AABC =
1
= π ⋅ 132 − ⋅ 25 ⋅ 10 = 169π – 125 cm2
2
Resposta: A
51
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
52
Considere esta figura.
Note que:
• AB = R + 1
• BC = R – 1
• AC = R
Pelo teorema da Pitágoras:
(R + 1)2 = (R – 1)2 + R2
R=4
Assim, o lado do quadrado é 8, ou seja, a área é 64.
Resposta: D
52
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
53
Como a área sombreada é igual à área clara, ambas valem metade da
área do retângulo. Isto é:
1
1
⋅ π ⋅ a2 = ⋅ a ⋅ b
4
2
π ⋅ a = 2b
Resposta: D
53
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
54
Área clara = Área escura

Área clara + área escura = Área total
Assim:
1
⋅ Área total
2
1
1
4 ⋅ ⋅ πR2 = ⋅ 102
4
2
100
πR2 =
2
100
R2 =
2π
100
R=
2π
Foi dado que 2π = 2,5 ; então:
Área clara =
100
2,5
10
R=
2,5
R = 4 cm
R=
Resposta: E
54
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
55
Considere esta figura.
DB2 = 22 + 22
DB = 2 2 cm
DO = 2 cm
Raio = ( 2 − 1) cm
Assim:
A círculo = π ⋅ ( 2 − 1)2 cm2
Resposta: B
55
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
56
Seja r o raio da circunferência menor.
Do enunciado R, o raio da circunferência maior, é obtido por:
2R = 2πr
R = πr
Ainda:
A menor
π ⋅ r2
1
=
= 2
2
A maior
π ⋅ ( πr)
π
Resposta: C
56
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
57
Se ℓ é o lado do quadrado, ℓ2 é a área dele. Assim:
Área do setor =
1
π⋅r2
4
48 2 1 2
⋅ ℓ = πr
100
4
48 2 3 2
⋅ℓ = r
100
4
48
⋅
4
r2 =
⋅ ℓ2
100 ⋅ 3
16 ⋅ 4 ⋅ ℓ 2
2
r =
100
4⋅ 2⋅ ℓ
r=
10
4ℓ
r=
= 0,80 ou 80% de ℓ
5
Resposta: E
57
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
58
Observe esta figura.
• Área C1 = π ⋅ (2R)2 = 4πR2
• Área C2 = π ⋅ R2
Área sombreada = 4πR2 – πR2 = 3πR2
Área sombreada = 75% Área C1
Resposta: A
58
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
59
Observe a figura.
Como AB = AE e DE = DC, o triângulo AED é equilátero de lado 1.
Assim:
ˆ = med(ADE)
ˆ = 60º
med(DAE)
e
ˆ = med(EDC)
ˆ = 30
med(EAB)
Área sombreada = A ADCB − ( A ADE + A setor CDE + A setor EAB )
1

1
1
Áreasombreada = 1−  ⋅ 1⋅ 1⋅ sen 60º + π ⋅ 12 + ⋅ π ⋅ 12 
 2

12
12
 3 π 
+ 
Áreasombreada = 1− 
 4
6 
Áreasombreada = 1−
3 π
−
4
6
Resposta: C
59
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
60
Observe a figura.
• AB = 6 cm + 2 cm = 8 cm
• AE = 6 cm ⋅ 2 cm ⋅ 4 cm
Ainda:
ˆ = AE
cos EAB
AB
ˆ =4=1
⇒ cos EAB
8 2
ˆ = 60º
Então: med(EAB)
Portanto:
Áreasombreada =
ˆ = 30º
e med(ABE)
60º
120º
22π
π ⋅ 62 +
⋅ π ⋅ 22 =
cm2
360º
360º
3
Resposta: C
60
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
61
Considere esta figura.
Do triângulo ABC temos, pelo teorema de Pitágoras:
AC2 = AB2 + BC2
(2R)2 = x2 + x2
4R2 = 2x2
x = R 2 cm
Note que R + x + x + R = lado do quadrado; assim:
2R + 2x = 2 + 1
2R + 2R 2 = 2 + 1
2R(1+ 2) = 2 + 1
1
R = cm
2
Portanto:
2
 1
π
Área do círculo = π ⋅   = cm2
 2 
4
Resposta:
π
cm2
4
61
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
62
Observe a figura.
• ÁreaA = π ⋅ rA2 ∴ 9π = π ⋅ rA2 ∴ rA = 3 cm
• ÁreaB = π ⋅ rB2 ∴ 4π = π ⋅ rB2 ∴ rB = 2 cm
• ÁreaC = π ⋅ rC2 ∴ π = π ⋅ rC2 ∴ rC = 1 cm
Assim:
AC = 4 cm, BC = 3 cm e AB = 5 cm
Como AB2 = AC2 + BC2, o triângulo é retângulo em C. Logo:
AC ⋅ CB 4 ⋅ 3
A ABC =
=
= 6 cm2
2
2
Resposta: D
62
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
63
Considere esta figura:
ˆ ; isto é:
ˆ = med(NOD)
Note que DN = NO, portanto med(NDO)
α = 45º
Áreasombreada = A MON + A setor 45º + A setor 45º
2⋅ 2 1
1
Áreasombreada =
+ ⋅ π ⋅ 22 + ⋅ π ⋅ 22
2
8
8
Áreasombreada = 2 + π
Resposta: E
63
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
64
Considere esta figura.
Note que ADOF é um quadrado; logo: AD = AF = R.
Assim:
BD = FC = 2 – R
BE = CE = 2 – R
BC = 4 – 2R
Ainda:
BC2 = 22 + 22
BC = 2 2
Então:
4 − 2R = 2 2 ⇒ R = 2 − 2
Portanto:
2⋅ 2
− π ⋅ (2 − 2)2
2
= 2 − π(4 − 4 2 + 2)
= (2 − 6π + 4π 2) cm2
Áreasombreada =
Áreasombreada
Áreasombreada
Resposta: A
64
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
65
a) Por potência de ponto:
CD2 = CB2 ⋅ CA 2 ⇒ CD2 = 2 3 ⋅ 8 3 ⇒ CD = 4 3
b) Do triângulo ADC:
AC2 = AD2 + DC2 ⇒ (8 3 )2 = (2r)2 + (4 3 )2 ⇒ r = 6
ˆ = CD ⇒ tg CAD
ˆ = 4 3 ⇒ tg CAD
ˆ = 3
c) tg CAD
AD
2⋅ 6
3
ˆ = 30º
∴ med(CAD)
ˆ = 120º
ˆ = med(ABO)
ˆ = 30º ∴ med(AOB)
Como AO = OB, med(CAD)
Então: A AOB =
1
⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ sen 120º = 9 3
2
d) Áreasombreada = Asetor – AAOB =
120
⋅ π ⋅ 62 − 9 3 = 12π − 9 3
360
Respostas:
a) 4 3
b) 6
c) 9 3
d) 12π − 9 3
65
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
66
Seja ℓ a medida do lado do triângulo. Assim:
2
ℓ
ℓ =   + ( 3 )2
 2 
2
ℓ=2
1
2⋅ 3
⋅ π ⋅ ( 3 )2 −
2
2
3π
Área sombreada =
− 3
2
Área
sombreada
=
66
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
67
Seja k a razão de semelhança. Assim:
k2 =
4
25
⇒ k=
2
5
Ainda:
6
2
=
L
5
⇒ L = 15
Isto é, o lado do heptágono maior é 15 cm.
Resposta: C
67
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
68
2
Área do menor  3 
= 
Área do maior  4 
Área do menor
9
=
64
16
Área do menor = 36 cm2
Resposta: D
68
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
69
2
S1  MB 
=

S2  AB 
2
S1  1 
= 
S2  2 
S1
1
=
S2 4
Resposta: D
69
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
70
2
Área do ADE  AD 
=
 AB 
Área ABC
2
1  AD 
=

2  8 
2 AD
=
2
8
AD = 4 2
Resposta: A
70
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
71
2
Área ABC  AB 
=
i

Área ADE  AD 
Área ABC 16
=
Área ADE 81
Área ABC =
16
⋅ Área ADE
81
Ainda:
i Área BCED = Área ADE − Área ABC
Área BCED =
65
⋅ Área ADE
81
Portanto:
16
Área ABC
16
= 81 =
65
Área BCED
65
91
71
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
72
A1 (2r1 )2
=
A 2 (2r2 )2
2
A1  r1 
= 
A 2  r2 
Resposta: B
72
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
73
2
MADE
A ADE  AD 
=
=

MABC
A ABC  AB 
2
MADE  AD 
=

MABC  AB 
2
 AD 
550
= 

1250  AB 
2
11  AD 
=

25  AB 
3,32 AD
=
5
AB
AD = 0,664 • AB
Portanto: AD = 66,4% AB
Resposta: D
73
Matemática • Unidade IV • Geometria plana • Série 13 - Áreas
74
Considere esta figura.
Seja ℓ o lado de H1. Do triângulo APM, temos:
ˆ
PM2 = PA 2 + AM2 − 2 ⋅ PA ⋅ AM ⋅ cos PAM
2
2
ℓ ℓ
ℓ ℓ
PM =   +   ⋅ 2 ⋅   ⋅   ⋅ cos 120º
 2   2 
 2   2 
2
ℓ 3
2
Portanto:
PM =
2
2
Área H1  AF 
=

Área H2  PM 



 2 2 4
 ℓ 


=
=   =
 3 
3
 3 

 ℓ

 2 
Resposta: A
74