Gaudi
....La base de todo raciocínio es la regla de tres, la proporción matemática, el silogismo. El hombre debe recurrir a estos medios; primero supone el
conocimiento de una cosa para encontrar otra que le sirva de base firme. Primero avanza un pie y luego el otro. Un problema de muchas incógnitas debe
resolverse por partes. El hombre se vale de dos cosas conocidas, comparadas
entre sí, para deducir la relación desconocida entre otras dos; es la proporción
<<a es a b como c es a d>>.” (Conversaciones con Gaudi - Cesar Martinell
Brunet - Ed. Punto Fijo, 1969).
O Mecanismo Estrutural
É comum a representação de vigas, lajes e pilares por linhas sem espessura, sujeitas a momentos e deformações elásticas quando estes efeitos somente podem agir em elementos tridimensionais, e a apresentação de soluções
matemáticas bastante abstratas e complexas para mentalidades mais visuais
como a dos arquitetos e designers.
É mais razoável para o entendimento das estruturas sua representação
com espessura e volume possibilitando
o entendimento de que sempre haverá
uma parte resistindo à compressão
enquanto outra à tração.
Através de desenhos mais condizentes com os mecanismos que são
acionados para que os elementos estruturais resistam às forças e utilizando
uma parte da matemática mais visual
que é a geometria, vamos caminhar
para a solução dos nossos problemas
estruturais, com mais tranqüilidade.
O desenho ao lado mostra um
bloco de um material qualquer, ou seja
um pilar, apoiado no chão carregando
uma carga.
Seu peso e qualquer outra carga
Vitor Amaral Lotufo
1
que estiver carregando estão sendo entregues ao apoio no chão, que reage com
uma força igual e contrária.
O peso da carga mais seu próprio peso comprimem o pilar, fazendo com
que este diminua de tamanho, é a maneira que os materiais resistem à forças
de compressão, como conseqüência o chão também é amassado pelo peso do
pilar.
Essa diminuição de comprimento, entre certos valores, é proporcional
à força total de compressão, à seção da área comprimida e ao tipo de material
de que é feito o pilar. Se as forças forem de tração haverá aumento no comprimento da peça tracionada e também entre certos valores será proporcional à
área da seção e ao tipo de material.
Os materiais que usamos para construção tem características variadas,
por exemplo a pedra, o vidro e os tijolos são quebradiços, resistentes à compressão, mas frágeis à tração, possuem pequenas fissuras causadas pelo processo de endurecimento que praticamente os fazem explodir, quando tracionados.
Já a fibra de vidro feita com fiapos muito finos do próprio vidro não
apresenta esse inconveniente, a escala portanto pode alterar essa característica.
Metais como o ferro, o alumínio, são dúcteis, podem se deformar bastante antes da ruptura, a madeira não é dúctil mas também não é quebradiça.
Cada material tem então várias características e talvez as mais importantes para a construção sejam suas resistências típicas à compressão e à tração
em determinadas condições normais de trabalho e seu módulo de elasticidade
(E), que é definido como a tensão de compressão ou tração, ( força dividido
pela seção) multiplicado pelo inverso da porcentagem do aumento ou diminuição de comprimento (comprimento inicial dividido pelo aumento), como este
último item sempre dará um número grande o módulo de elasticidade será
sempre representado por um número grande.
Material
Madeira
Concreto
Tijolo Comum
Aço CA-50
Compressão
100 kgf/cm²
50 a 300 kgf/cm²
50 kgf/cm²
5000 kgf/cm²
Tração
E
100 kgf/cm²
140000kgf/cm²
15 a 30 kgf/cm²
240000kgf/cm²
----70000kgf/cm²
5000 kgf/cm² 2100000kgf/cm²
A fórmula de Hooke relaciona o aumento ou diminuição do comprimento,
com a força que é aplicada.
DL = (FHL) / (EHS)
Por exemplo:
Uma carga de 10000kgf
comprime um pilar de madeira
com 250cm de altura e com
seção de 10 H 10 cm.
A diminuição será de:
L = (F H L) / (E H S)
DL = (10000kgf H 250cm) /
(140000kgf/cm² H 100cm²)
DL = 0,18cm ou 1,8mm
O desenho seguinte mostra
o pilar apoiado em dois pontos,
o chão e a parede.
A parede é lisa, só oferece
reação horizontal, o apoio no chão reage verticalmente igual e contrario ao
peso e, através de atrito reage à força horizontal, ele precisa do atrito com o
chão para não escorregar.
O pilar agora pode ser chamado de viga pois vence um vão, inclusive
podendo carregar algum outro peso alem de seu próprio, mas como depende
do atrito com o chão
para resistir à força
horizontal, não é auto
portante, sem o atrito
perde sua função de
viga.
Espelhando essa
figura e colocando
um tirante ligando as
partes inferiores para
que a força horizontal
de um lado equilibre
o outro, temos uma
viga da maneira que
Vitor Amaral Lotufo
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estamos acostumados a ver, algo parecido com uma tesoura de telhado.
Na parte de cima os dois pilares-viga se comprimem um se escora no
outro enquanto que na parte de baixo o tirante é tracionado, completando uma
estrutura auto portante, pois agora não é necessário a ajuda externa do atrito.
As cargas vão para os apoios, gerando forças horizontais que vão se contrapor no tirante.
Temos compressão na parte de cima (a cabeça de um pilar-viga contra o
outro) e tração na parte de baixo (no tirante).
Vamos chamar de “altura estrutural” a distância entre as forças de compressão na parte de cima às de tração na parte de baixo.
Quanto maior a altura estrutural em relação ao vão menores serão as forças horizontais.
Esquematicamente é assim que funciona toda e qualquer viga.
Os triângulos formados pelas forças são semelhantes aos geométricos do
desenho da estrutura e se conhecemos uma das forças, por exemplo o peso,
podemos conhecer as outras.
Exemplo: Nesta estrutura temos dois telhados apoiados em vigas, de
cumeeira e de base.
As cumeeiras descarregam metade do
peso de cada telhado
na estrutura (tesoura)
e a outra metade nas
vigas da base que descarregam diretamente
nos pilares.
No desenho só
estão representadas
as forças externas
que descarregam nas
vigas cumeeiras.
Pelas pernas da
tesoura correm as
resultantes inclinadas
das cargas verticais da
cumeeira e das forças
horizontais do topo (a
cabeça de uma perna
contra a outra) até a
base onde se decompõe em horizontais e verticais.
As horizontais vão se contrapor pelo tirante e as verticais carregam os
apoios.
Como neste exemplo o ângulo das pernas com o tirante é de 45°, as horizontais vão ter a mesma intensidade que as verticais. Se o ângulo for menor,
a altura estrutural será menor e as forças horizontais maiores, se for maior, a
altura estrutural será maior e as forças horizontais menores.
Neste caso (ângulo de 45°), as horizontais esticam o tirante com força de
intensidade igual ao peso de cada um dos telhados e comprimem as pernas
com a intensidade igual ao do peso de um dos telhados, multiplicado pelo seno
de 45° que é e2.
Este é um exemplo do mecanismo estrutural, que permite a construção
de um vão livre, um abrigo, uma ponte...enfim uma estrutura auto portante, e
que aplicado repetidamente nos permite criar estruturas mais complexas.
Vitor Amaral Lotufo
3
E é o princípio de funcionamento de toda e qualquer estrutura, é um
jogo de tração e compressão atuando sempre em triângulos de forças e para
dimensiona-las utilizaremos a ferramenta básica, a regra de três, comparando
o triângulo geométrico da estrutura com o triângulo formado pelas forças.
Mudança da forma geométrica após a aplicação das forças
Devemos lembrar que as peças comprimidas da tesoura diminuirão de
tamanho e as tracionadas aumentarão de tamanho e isso pode alterar os ângulos entre as peças, alterando o vão e a altura estrutural e consequentemente
alterando a intensidade das forças.
Lei de Hooke: Robert Hooke foi quem descobriu a relação entre força e a
forma com que os materiais resistem à essas forças, aumentando ou diminuindo seu comprimento.
DL = (FHL) / (E H S)
O triângulo formado pelas duas pernas da tesoura mais o tirante terá sua
forma modificada, pois as pernas sujeitas a compressão diminuirão de comprimento e o tirante devido à tração aumentará de comprimento.
Se as cargas devidas ao telhado forem de 1500kgf sobre cada uma das
vigas no topo da tesoura, sendo seu vão livre de 3m e a altura do triângulo de
1,50m, teremos uma força de 1500kgf tracionando o tirante e de 1500kgf H
e2 comprimindo cada perna da tesoura= 2121,32kgf..
Usando peças de madeira no perfil de 6 x 16cm com E= 140000kgf/cm²,
teremos para as peças comprimidas:
DL = (L H F)/(S H E)
DL = (212,132cm H 2121kgf) / (96cm² H 140000kgf/cm²)
DL = 0,03348cm
E o tirante:
DL = (300cm H 1500kgf) / (96cm² H 140000kgf/cm²)
DL = 0,0335cm
Se a simetria se mantém a metade do triângulo continuará com ângulo de
90° (retângulo), mas o Ângulo formado entre perna e tirante não será mais de
45°, pois o cateto e a hipotenusa se modificaram: de 212.132 para 212,09855 e
de 150 para 149,98cm, o ângulo será então de 44,997°.
É uma diferença muito pequena para ser levada em conta, mas em estruturas maiores e cargas maiores, as diferenças poderão ser importantes.
Vitor Amaral Lotufo
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go de seu percurso, ou seja quando formado por
infinitos blocos assume a forma de uma curva
catenária.
Para que o desenho se aproxime mais de uma
Arcos
Os arcos são vários triângulos (mecanismo estrutural) superpostos.
Para entendermos essa idéia, vamos retirar o tirante da tesoura e apoiá-la
em outros blocos, ou pilares-viga, inclinados, de tal forma que estes queiram
“cair” para dentro com a mesma intensidade que os que estão acima querem
“cair, abrir” para fora.
O tirante agora deve ser colocado na parte de baixo dos novos blocos.
A inclinação dos blocos de baixo será determinada pela direção da resultante entre a força horizontal provocada pelos blocos de cima e a vertical,
soma do peso dos dois blocos (o de cima mais o de baixo), pois o bloco de
baixo além do próprio peso, suporta também o peso do de cima, como mostrado no desenho.
É uma aplicação repetida do mecanismo estrutural do exemplo anterior.
Esse é o perfil que um arco deve ter para resistir à cargas iguais ao lon-
curva catenária, devemos trabalhar com
pedaços pequenos,
principalmente na parte
superior da curva, porém é interessante notar que os arcos podem
estar equilibrados, um
contra o outro, tendo
aquela ponta típica dos
arcos góticos.
Ao lado, desenho
de Franz Josef Ritter
von Gerstner de um
polígono funicular
invertido. (Karl-Eugen Kurrer “Theory of Structures), onde
mostra a construção de um arco de catenária invertido e abaixo
indica que as forças horizontais tem o mesmo tamanho e a inclinação dos elos varia com a resultante desta força horizontal
com os tamanhos das verticais.
No exemplo seguinte a catenária é construida a partir do
elemento inferior, mantendo-se fixo o valor da força horizontal,
diminuindo-se o valor da força vertical, à medida que caminhamos para o topo da curva.
Estes arcos que são chamados funiculares tem sua forma
definida pela maneira com que é distribuida a carga assim e
estarão em equilíbrio sempre que as forças horizontais da
parte acima seja de mesmo tamanho da de baixo com direções
opostas.
Dessa maneira os blocos trabalharão somente à compressão, haverá tração na interrupção da curva, para isso o tirante.
As forças horizontais são sempre iguais e vão se contrapondo ao longo do arco.
O arco entrega em cada apoio na fundação, o peso total de
cada metade do arco, através de uma força com a direção da
inclinação do bloco que chega ao apoio ou seja a tangente da
curva do arco no ponto do apoio. A intensidade da força horizontal será proporcional à inclinação com que chega o arco
no apoio e ao peso descarregado, lembrando que essa tangente
será determinada pelo vão, pela altura estrutural e pela distribuição do carregamento, pois são as determinantes da proporção da curva catenária.
Não vamos nos importar com o que acontece internamente
em cada bloco, pois iremos depois subdividi-los em inúmeros
pedaços, sempre nos importando apenas com as forças que
cada um entrega para seus vizinhos, ou seja seus apoios.
No desenho seguinte, optamos por construir com oito blocos ou pedaços de mesmo tamanho e peso, somente o oitavo
foi subdividido pela metade e a metade seguinte também pela
metade e finalmente mais uma subdivisão para que a curva
ficasse visualmente mais arredondada no topo (sempre com
Vitor Amaral Lotufo
5
o peso proporcional ao comprimento, caso contrario não teremos mais uma
catenária).
Começamos então o desenho considerando oito unidades de peso para a
força vertical. A horizontal foi fixada como uma constante. Apenas nos pedaços do topo o peso foi considerado proporcional à metade do bloco e assim
sucessivamente.
Estes arcos podem ser chamados de arcos com curvatura natural, pois sua
curvatura é definida para que sempre as forças horizontais sejam iguais ao
longo de todo o seu desenvolvimento respeitando seu carregamento.
Se houverem cargas extras externas, estas deverão ser acrescidas ao peso
de cada bloco. Se essas cargas externas forem iguais em todos os blocos cons-
Vitor Amaral Lotufo
6
tituintes do arco, a sua forma ideal não se modificará, porém se não houver
regularidade é possível que uma outra forma de arco seja a resultante natural.
O arco resultante natural é chamado de funicular, pois se pendurarmos
pesos em um cordão (funiculum em latim), este adotará a forma do arco resultante e que consistiu a maneira de Gaudi projetar os arcos da Cripta Guell.
A cada passo, a força horizontal é sempre de mesma intensidade, porém
a força vertical que é nula no centro do arco vai aumentando passo a passo, a
tangente que na verdade é a resultante da horizontal com a vertical consequentemente aumenta conforme se aproxima dos apoios.
O arco que trabalha à tração, trabalha igual ao de compressão, porém com
inversão de sinal nas forças, as forças horizontais se dirigem para o interior do
arco e as verticais ficam dependuradas no arco.
Na parte superior, travando o arco de tração, podemos colocar uma
Vitor Amaral Lotufo
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barra horizontal para compensar as forças de compressão horizontais. Podemos também ao invés da barra de compressão, colocarmos outro arco invertido com as mesmas cargas, eles se compensarão.
Como são operações repetitivas para se obter os pontos dessa catenária,
podemos programa-la numa tabela de EXCEL para melhor observar suas
variações:
Abóboda em pedra maciça - Residência Gardel - arq. Cecília Lenzi
400
500
200
400
y
600
800
1000
1200
y
Onde “ângulo” é o ângulo formado pelo primeiro bloco superior, vizinho
ao eixo da catenária com a horizontal e os seguintes, obtidos pela fórmula
=ATAN(C2/B2) ou arco cuja tangente é Kgf / H, dados atribuídos para o primeiro bloco, seu peso e a força horizontal “H” = 2 /TAN(PI()/90) que é descarregado no topo do segundo bloco, esta força horizontal pela característica
da catenária será sempre a mesma em todos os blocos.
E obteremos os primeiros valores para “x” e “y” =6*COS(A2) e
=6*SEN(A2) respectivamente e para os seguintes =6*COS(A3)+D2 e
=6*SEN(A3)+E2 O valor 6 atribuído é 6cm ou a espessura de um tijolo mais a
argamassa.
Quando o carregamento de um arco tiver uma regularidade linear (cargas
iguais à distâncias horizontais iguais), sua forma ideal será de uma parábola.
Este é o tipo de carregamento mais usual e frequente.
As tangentes da
parábola nos pontos de
apoio, são linhas que
passam por um ponto do
dobro de sua altura.
Os arcos são ideais
para resistir somente
forças de compressão
e da mesma forma que
os arcos suspensos, são
instáveis, qualquer força
eventual pode desequilibrá-los. Se não estiverem inseridos por exemplo à uma parede que os estabilize, será sempre necessário construí-los de forma a resistirem também à flexão.
300
E
y
0,104714439
0,314047698
0,627808976
1,045713159
1,567382104
2,192346343
2,920047167
3,74983909
4,680992645
5,712697511
6,844065917
8,074136302
9,401877199
10,8261913
12,34591969
13,95984616
15,66670165
17,46516868
19,3538859
200
D
x
5,999086171
11,99543336
17,9872239
23,97265254
29,94993132
35,91729419
41,87300167
47,81534509
53,74265081
59,65328403
65,54565244
71,41820954
77,26945762
83,09795051
88,90229591
94,68115751
100,4332566
106,1573737
111,8523493
100
B
C
H
kgf
114,5799233 2
114,5799233 4
114,5799233 6
114,5799233 8
114,5799233 10
114,5799233 12
114,5799233 14
114,5799233 16
114,5799233 18
114,5799233 20
114,5799233 22
114,5799233 24
114,5799233 26
114,5799233 28
114,5799233 30
114,5799233 32
114,5799233 34
114,5799233 36
114,5799233 38
0
A
ângulo
0,017453293
0,034895958
0,05231741
0,069707136
0,08705474
0,10434998
0,121582797
0,138743354
0,155822067
0,172809635
0,189697063
0,206475693
0,22313722
0,239673718
0,256077651
0,272341886
0,288459711
0,304424835
0,320231397
0
Catenária
Vitor Amaral Lotufo
8
Parábola
A parábola é a funicular da maioria dos carregamentos típicos de nossas
construções, pois é o resultado de um carregamento uniformemente distribuido ao longo
de uma reta
ou plano e seu
desenho mostra
que as tangentes nos apoios
são linhas que
partem de um
ponto do dobro
da altura da sua
flexa, definindo
um triângulo geométrico com a
metade do vão e
o dobro da flexa
que é semelhante ao de forças.
Vitor Amaral Lotufo
9
Arcos com curvatura não natural
Os arcos de circunferência normalmente não consistem em curva funicular
de um carregamento, pois este teria de ser muito atípico.
Isso quer dizer que as forças horizontais não se compensam, existindo ao
longo da curva forças horizontais excedentes, maiores ou menores.
Vamos ver como as forças caminham em um arco de semi circunferência
tendo de resistir somente ao seu próprio peso.
Da mesma maneira que o pilar inclinado, o bloco de cima descarrega no
bloco de baixo uma força inclinada decomposta em duas, o seu peso e uma
horizontal dirigida para fora.
O bloco de baixo também inclinado, apoia-se no de cima provocando uma
força horizontal para dentro, em sentido oposto, se esta horizontal for igual a
do bloco de cima, haverá compensação, mas se não forem iguais haverá um
excedente de força horizontal dirigido para dentro ou para fora.
Neste arco de circunferência, o excedente é para fora, inclusive nos outros
encontros de blocos.
Os arcos em semicírculo trabalham à flexão, isto é haverá tração e com^Residência Eduardo Manzano - Arq. Vitor Lotufo
pressão ao longo do arco, pois não há nenhum mecanismo para compensação
desse excesso de força horizontal que provocará o aparecimento de forças de
tração na face externa do arco.
É necessário a criação de elementos que resistam à flexão.
A maior parte das vezes construímos portais em forma de arco incrustados
em paredes, dessa maneira as paredes acabam fornecendo a escora para esses
excedentes de forças horizontais.
Quando dividimos em muitas partes um arco de semi circunferência, vemos que a força horizontal na base tende a zero, mas ao longo do arco existirão forças horizontais excedentes.
As forças horizontais excedentes terão dois apoios um no topo que é o
único que pode resistir à forças horizontais e outro na base, mas que não tem
condições de resistir à forças horizontais. Então soma-se as forças horizontais
excedentes no arco e verifica-se se o material construtivo do arco é capaz de
Vitor Amaral Lotufo
10
resistir à essa força que será de tração.
Por exemplo se o arco for construido em tijolos de meia vez, teremos à
disposição metade de sua seção para resistir tração, a outra trabalha à compressão. Dessa metade, a face externa resiste à um máximo de tração, que para
a alvenaria seria aproximadamente 5kgf/cm², mas na transição entre tração e
compressão esse valor é nulo, então adotaremos a média de sua capacidade de
resistência à tração, portanto 2,5kgf/cm², então um arco com profundidade de
100cm pode resistir a 100cm x 5cm x 2,5kgf ou 1250kgf/metro linear.
Caso não seja suficiente o próprio material, podemos reforçar com barras
de aço na superfície externa do arco, chumbadas aos apoios.
Forças excedentes em arcos de circunferência:
“A” é o número de divisões da metade da circunferência e vai determinar o número de partes do arco.
“B” é o ângulo interno das divisões em radianos.
“C” é o ângulo definido pela horizontal e pela direção da força que cada
parte traz para seu apoio em radianos.
“D” é o raio do arco em metros.
“E” é a altura de cada parte em metros.
“F” é a área de cada parte, ou a altura multiplicado pela largura do arco,
que no caso de ser uma abóboda fixamos em 1 metro, então teremos um total
de força horizontal por metro de seção da abóboda.
“G” é o peso de cada parte acumulado com os pesos das partes superiores (forças verticais).
“H” é a força horizontal provocada pelas partes imediatamente acima.
“I” é o valor da força excedente em cada apoio.
A soma é o valor total das forças excedentes. Este total tende à pequena
diminuição conforme dividimos o arco em mais partes.
O sinal de negativo mostra que as forças excedentes neste caso tem dire-
A
B
C
D
E
F
G
H
nº div ang da div
âng parte
Raio m altura parte
área da parte peso partes
H
acumulado
32
0,09817477
0,049087385 3
0,588102842 0,588102842 205,8359947 4189,887926
32
0,09817477
0,147262156 3
0,588102842 0,588102842 411,6719894 2775,267123
32
0,09817477
0,245436926 3
0,588102842 0,588102842 617,5079841 2465,230061
32
0,09817477
0,343611696 3
0,588102842 0,588102842 823,3439788 2301,092268
32
0,09817477
0,441786467 3
0,588102842 0,588102842 1029,179973 2176,018228
32
0,09817477
0,539961237 3
0,588102842 0,588102842 1235,015968 2060,49966
32
0,09817477
0,638136008 3
0,588102842 0,588102842 1440,851963 1942,763974
32
0,09817477
0,736310778 3
0,588102842 0,588102842 1646,687958 1816,840184
32
0,09817477
0,834485549 3
0,588102842 0,588102842 1852,523952 1679,02984
32
0,09817477
0,932660319 3
0,588102842 0,588102842 2058,359947 1526,583779
32
0,09817477
1,030835089 3
0,588102842 0,588102842 2264,195942 1357,106821
32
0,09817477
1,12900986
3
0,588102842 0,588102842 2470,031936 1168,238101
32
0,09817477
1,22718463
3
0,588102842 0,588102842 2675,867931 957,4408552
32
0,09817477
1,325359401 3
0,588102842 0,588102842 2881,703926 721,8292565
32
0,09817477
1,423534171 3
0,588102842 0,588102842 3087,53992
457,9932832
32
0,09817477
1,521708942 3
0,588102842 0,588102842 3293,375915 161,7931838
PI()(An)
Bn+Cn-1
2*Dn*SEN(PI()/An))
Fn*Peso/m²+Gn-1
En*largura
Gn/TAN(Cn)
I
Hn-Hn-1
excedente
-1414,620803
-310,0370624
-164,1377927
-125,0740402
-115,5185677
-117,7356858
-125,9237901
-137,8103446
-152,4460606
-169,4769583
-188,8687195
-210,797246
-235,6115987
-263,8359734
-296,2000993
-161,7931838
soma
-4189,887926
ção do interior para o exterior do arco.
Podemos fazer simulação da passagem de forças acidentais sobre a
abóbada e verificaremos que esta melhora as condições das forças excedentes
passando a existir excedentes em direção contraria.
A força horizontal no apoio inferior tende a zero, quando o número de
divisões aumenta.
A maior força horizontal fica na parte superior, porém as excedentes
decrescem até a faixa dos 60° para voltar a crescer a medida que o ângulo com
a horizontal diminue.
Cúpulas
Vitor Amaral Lotufo
11
As cúpulas funcionam da mesma maneira. Calculamos um arco que gira
em torno de uma circunferência.
Este arco agora será composto por dois setores opostos da cúpula, não
tendo uma seção constante, pois no topo os dois setores se tocam em apenas
um ponto e sua seção é crescente até atingir a metade da calota.
Dividimos cada setor em partes de mesma altura, cada parte do setor terá
um peso diferente, o superior triangular, os subsequentes trapezoidais e com
áreas crescentes e pesos crescentes.
Caso a cúpula exceda a meia esfera seus setores inferiores terão área decrescente.
Cúpulas com curvatura natural trabalham somente à compressão, mas
quando a curvatura não é
natural como por exemplo
a esférica, as forças horizontais não serão constantes existindo em cada
paralelo forças horizontais
excedentes.
Se quisermos construir cúpulas com curvaturas não naturais, deveremos prever elementos
estruturais que absorvam
essas forças horizontais
tais como cintas ou anéis.
Giovanni Poleni em
1748 publicou seu parecer
sobre trincas existentes na
Cúpula do Vaticano para
o Papa Benedetto XIV.
Ao lado vemos um dos
desenhos de Poleni (Tavola D) mostrando na figura
XI o percurso das forças
num arco e na figura XIII
a diferença entre um arco
Cúpula Hemisférica
Vitor Amaral Lotufo
12
A curvatura de um arco ou de uma cúpula com a forma de uma meia esfera apresenta desequilíbrios entre as forças horizontais em cada paralelo.
Este desenho mostra um corte vertical de uma cúpula hemisférica dividida em dezesseis setores e cada setor dividido em quatro partes, por paralelos
A,B,C e D. Formando quatro trapézios com áreas diferentes e portanto com
pesos diferentes. A primeira é um trapézio onde um dos lados é nulo, portanto
é um triângulo.
A área de cada trapézio é a média da soma dos dois lados paralelos multiplicado pela altura. Cada lado dos trapézios é a circunferência do respectivo
paralelo, dividido pelo número de setores, no caso 16 e a altura de cada parte é
a circunferência da esfera dividida por 16 também.
Considerado o raio R unitário, temos que:
R° = cos 90° ou 0,
R¹ = cos 67,5° ou 0,3827,
R² = cos 45° ou 0,707,
R³ = cos 22,5° ou 0,92388
R = cos 0° ou 1.
(à esquerda) e um setor da cúpula (à direita).
Na Tavola E, Poleni demonstra que a curva funicular da cúpula passa por
dentro da cúpula, demostrando assim que mesmo com as trincas a cúpula tinha
sido bem projetada, não incorrendo em risco de ruina.
Comprimentos dos segmentos:
O = 0,
A = (0,3827 H 2p / 16) ou 0,15029,
B = (0,707 H 2p / 16) ou 0,2777,
C = (0,92388 H 2p / 16) ou 0,3628,
D = (1 H 2p / 16) ou 0,3927 que é também a altura de cada trapézio.
Área da parte A = ((0 + 0,15029) / 2) H 0,3927 = 0,0295
parte B = ((0,15029 + 0,277) / 2) H 0,3927 = 0,084
parte C = ((0,2777 + 0,3628)/2) H 0,3927 = 0,1258
parte D = ((0,3628 + 0,3927)/2) H 0,3927 = 0,1483, todas expressas em R²
Vamos adotar essas áreas como um fator de peso e vamos calcular as forças que agem na esfera adotando-se as áreas como forças peso.
A força horizontal que a parte “A” descarrega na parte “B”, se compensa
pela horizontal contraria proveniente da parte”B”.
A força horizontal descarregada pela parte “B” na parte “C” é um pouco
maior que a proveniente da “C”, resultando um excedente dirigido para fora.
A força horizontal descarregada pela parte “C” na parte “D” é um pouco
maior que a proveniente da “D”, resultando um excedente dirigido para fora.
A parte “D” descarrega no apoio uma força inclinada que decomposta tem
uma componente horizontal para fora e uma vertical igual a soma de todas as
partes do setor.
Como o excedente de forças se dirige para fora as forças são de tração nos
anéis. Se forem dirigidas para dentro, as forças comprimirão o anel.
O desenho da vista superior da cúpula mostra os excedentes das forças
horizontais decompostos em forças que tracionam as cintas ou anéis entre as
partes em que foram divididos os setores.
As forças horizontais na base, também tem componentes que tracionam o
anel da base da cúpula.
Quanto maior for a divisão em setores e partes melhor será a precisão.
Essas operações também podem ser calculadas com a ferramenta estrutural, em operações sucessivas.
Exemplo
Cúpula hemisférica feita em tijolos comuns 1/2 vez, com 5m de raio, peso
próprio da alvenaria 280kgf/m² e carga acidental de 50kgf/m², total de 330kgf/
m².
Dividimos a cúpula da mesma forma que a anterior em por exemplo 16
setores e em 4 partes cada setor. Poderemos então utilizar as proporções de
peso de cada parte do setor:
Lembrar que os índices de área estão expressos em raio elevado ao quadrado.
Peso da parte A: 0,0295 H 25m² H 330 kgf/m² = 243,375 kgf
Peso da parte B: 0,084 H 25 m² H 330 kgf/m² = 693 kgf
Peso da parte C: 0,1258 H 25 m² H 330 kgf/m² = 1037,85 kgf
Peso da parte D: 0,14833 H 25 m² H 330 kgf/m² = 1223,72 kgf/m²
A parte A esta apoiada no topo, horizontalmente na outra parte A do setor
oposto por contraposição e abaixo no topo da parte B, formando um ângulo de
11,25° com a horizontal, provocando uma força horizontal de 243,375 kgf /
Vitor Amaral Lotufo
13
tg11,25° = 1223,53 kgf
direcionada para fora.
A parte B está apoiada na parte C, descarregando seu peso de 693 kgf
mais o de A de 243,375 kgf, totalizando 936,375 kgf com o ângulo de 11,25°
mais 22,5° ou 33,75°, provocando uma força horizontal de 936,375 kgf / tg
33,75° = 1401,38 kgf.
Uma força igual com sentido contrário agirá na outra extremidade empurrando a força horizontal proveniente da parte A para dentro, resultando uma
força excedente de 1401,38kgf - 1223,53kgf = 177,85kgf,
esta força dirigida para dentro portanto comprimindo o anel desse paralelo.
A parte C, está apoiada na parte D, descarregando seu peso de 1037,85kgf
mais o de A e B, de 936,375 kgf, totalizando 1974,225 kgf com o ângulo de
33,75° mais 22,5° ou 56,25°, provocando uma força horizontal de 1974,225
kgf / tg 56,25° = 1319,135kgf.
Uma força igual com sentido contrário agirá na outra extremidade empurrando a força horizontal proveniente da parte B para dentro, resultando
uma força excedente de 1319,135kgf 1401,38 kgf = - 82,25 kgf,
esta força dirigida para fora, portanto
tracionando o anel desse paralelo.
A parte D, está apoiada na fundação, descarregando seu peso de
1223,72 kgf mais o de A, B e C, de
1974,225kgf, totalizando 3197,945 kgf
com o ângulo de 56,25° mais 22,5° ou
78,75°, provocando uma força horizontal de 3197,945kgf / tg 78,75° =
636,11kgf, que deve ser resistida por
uma cinta.
Uma força igual com sentido contrário agirá na outra extremidade empurrando a força horizontal proveniente da parte C para dentro, resultando uma
força excedente de 626,71kgf - 1303,15kgf = - 676,44kgf,
esta força dirigida para fora, portanto tracionando o anel desse paralelo.
A força horizontal na base da parte D provocará tração no anel final.
A força excedente horizontal entre as partes A e B provoca compressão e
tem a intensidade de 177,85kgf . Decomposta em duas, nas direções dos setores adjacentes que formam um ângulo entre si de 157,5° valerão:
F compressão = F excedente / (2 H cos78,75°) ou 177,85kgf / 0,39 =
456kgf
Os tijolos aguentam 50kgf/cm² à compressão, portanto são necessários
10cm² de seção de tijolo no anel.
A força excedente horizontal entre as partes B e C provoca tração e tem
a intensidade de 98,23kgf . Decomposta em duas, nas direções dos setores
adjacentes que formam ângulo entre si de 157,5° valerão: 98,23kgf / 0,39
= 251,87 kgf de tração, multiplicado por 1,4 coeficiente de segurança = 353
kgf, será necessário reforçar com uma barra de aço que suporte essa força ou
353kgf/ (50kgf/mm² H 0,85 coef. seg.) = 8,2mm².
A força excedente horizontal entre as partes C e D provoca tração e tem
a intensidade de 676,44kgf . Decomposta em duas, nas direções dos setores
adjacentes que formam ângulo entre si de 157,5° valerão: 676,44kgf / 0,39 =
Vitor Amaral Lotufo
14
1735kgf de tração, multiplicado por 1,4 coeficiente de segurança = 2429kgf,
será necessário reforçar com uma barra de aço que suporte essa força ou
2429kgf / (50kgf/mm² H 0,85 coef. seg.) = 57,2mm² (uma barra de 10mm de
diâmetro ou duas de 6,2mm).
A força horizontal na base de D é de 626,71kgf, decomposta em duas
626,71kgf / 0,39 = 1607 kgf H 1,4 = 2250kgf / (50kgf/ mm² x 0,85) = 53mm²
Programa cúpula em Excel
Como as operações são repetitivas e sequenciais, podemos construir
tabela com EXCEL .
A- Raio da cúpula (r), em metros.
B- Número de setores em que dividimos a esfera.
C- Número de
partes em que
cada setor foi
dividido, consideramos aqui
uma metade de
setor.
D- Ângulo
horizontal que
define cada
setor em radianos, fórmula
=2*PI()/B.
E- Ângulos
verticais em
radianos, fórmula =PI()/C.
F- Raios
horizontais
de cada paralelo, fórmula
=A*cos(E).
G- Comprimento de cada
circunferência
de cada paralelo fórmula
=2*PI()*F.
H- Comprimento de cada
segmento
horizontal de
Sala de estar residência Victor Rebouças. Arq. Vitor Lotufo
Vitor Amaral Lotufo
15
cada parte, fórmula =G/B.
I- Comprimento do segmento vertical das partes, fórmula =2*PI()*A/B.
J- Designativo de cada parte.
K- Área de cada parte em m², fórmula =((H¹+H²)/2)*I,.
L- Peso de cada parte, considerando 330 kgf/m², fórmula =K*330.
M- Peso acumulado das partes a partir da superior, com a fórmula
SOMA(L²+M¹).
N- Ângulo que cada parte faz com a seguinte inferior em radianos, fórmula
=(PI()/C)+N.
O- Ângulo N medido em graus com a fórmula =(180*N)/PI().
P- Força horizontal sob cada parte em kgf, fórmula =M/TAN(N).
Q- Força excedente sob cada parte em kgf, fórmula =P²-P¹.
R- Forças multiplicadas pelo coeficiente de segurança 1,4.
Vitor Amaral Lotufo
16
A B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
r nºsets nºpart âng H
âng V
Raios H
Circ. H
Segm H
Segm V
parte área pte
peso pt
p acum
âng pte
âng graus Força H exced
exced*1,4
âng horiz
Força anel
5 32
16 0,196349541 1,570796327 0
0
0
0,981747704 A 0,094016812 31,02554782 31,02554782 0,09817477 5,625 315,0076733 90,17195611 126,2407386 1,472621556 643,9727691
5 32
16 0,196349541 1,374446786 0,97545161
6,12894322 0,191529476 0,981747704 B 0,278437421 91,88434904 122,9098969 0,294524311 16,875 405,1796294 103,9247929 145,4947101 1,472621556 742,1901395
5 32
16 0,196349541 1,178097245 1,913417162 12,0223546 0,375698581 0,981747704 C 0,452157837 149,2120863 272,1219831 0,490873852 28,125 509,1044224 37,79475208 52,91265291 1,472621556 269,9153063
5 32
16 0,196349541 0,981747704 2,777851165 17,45375363 0,545429801 0,981747704 D 0,535474455 176,7065701 448,8285532 0,687223393 39,375 546,8991745 -33,53576587 -46,95007221 1,472621556 -239,499296
5 32
16 0,196349541 0,981747704 2,777851165 17,45375363 0,545429801 0,981747704 E
0,535474455 176,7065701 625,5351233 0,883572934 50,625 513,3634086 -84,55628977 -118,3788057 1,472621556 -603,8678811
5 32
16 0,196349541 0,981747704 2,777851165 17,45375363 0,545429801 0,981747704 F
0,535474455 176,7065701 802,2416934 1,079922475 61,875 428,8071188 -131,8464097 -184,5849736 1,472621556 -941,5953829
5 32
16 0,196349541 0,981747704 2,777851165 17,45375363 0,545429801 0,981747704 G 0,535474455 176,7065701 978,9482634 1,276272016 73,125 296,9607091 -191,8406818 -268,5769545 1,472621556 -1370,050961
5 32
16 0,196349541 0,981747704 2,777851165 17,45375363 0,545429801 0,981747704 H 0,267737227 88,35328504 1067,301548 1,472621556 84,375 105,1200273 -105,1200273 -147,1680382 1,472621556 -750,726035
S- Ângulo entre setores, fórmula =(PI()-D)/2.
T- Força que comprime (em positivo) ou que traciona (em negativo) cada anel
entre partes em kgf, fórmula =R/(2*COS(S)).
Quanto mais setores e partes dividirmos mais preciso vai se tornando o
resultado.
A divisão em partes também deve estar relacionada ao vão que a alvenaria de tijolos consegue vencer sem precisar de reforços, isto é cada anel entre
as partes funciona como apoios para as partes.
Para aplicar este esquema em geodésicas, devemos fazer coincidir aproximadamente os paralelos com os da geodésica e dividir a soma das forças de
todas as partes de mesma posição e dividi-las pelo número de barras de mesma
posição.
Cúpula Natural
Uma cúpula natural é o equivalente a um arco ou uma abóboda natural,
isto é em qualquer lugar da curva a força horizontal será exatamente igual, não
existirão excedentes de forças horizontais, no caso do arco essa curva é chamada de catenária.
A curva desenhada por uma corrente representa a curva ideal de um arco
construido com um mesmo material, com espessura constante, mas quando
queremos construir uma cúpula de um mesmo material e espessura constante
não poderemos utilizar a catenária, pois a largura de um setor de cúpula não
tem largura constante.
Para que as partes de um setor de uma cúpula natural apresentem pesos
iguais ao longo de sua curvatura é preciso que a área da superfície de cada
pedaço seja equivalente e a inclinação de cada parte siga o gráfico de resultantes, provocando
sempre forças
horizontais
iguais.
A curvatura de uma
cúpula natural
é uma curva
semelhante à
da catenária, da
parábola e do
círculo, pois a
curvatura tem
um desenho
único, sua variação é somente de escala.
Fixamos
alguns valores:
O número
de setores “n”
em que vamos
dividir a cúpula, mais setores,
maior precisão.
A proporção entre a força “P”, peso
de cada parte do setor e a força horizontal,
este será um fator de escala pois determina as inclinações das partes, quanto mais
inclinada a primeira parte, maior precisão
nos dados obtidos. E o raio do primeiro
paralelo, onde se situa o lado “a” da primeira parte, é um fator de escala da curva
também.
Com esses dados, construiremos uma
tabela no “Excel” para obtermos dados que
permitam o desenho dessa curva e a partir
daí podemos alterar os dados de escala para
obtermos um resultado mais condizentes
com nossa proposta.
Observando-se os triângulos do desenho,
podemos relacionar alguns parâmetros:
A largura da parte = tangente de metade do
ângulo do setor multiplicado por 2 e pelo
raio do círculo paralelo.
a = tg (p / n) H 2 H R1
b = tg (p / n) H 2 H R2
A altura de cada parte = raio do paralelo diminuído do raio do paralelo superior dividido pelo coseno do ângulo de cada parte com o raio paralelo.
h1 = (R1 - R0) / cos a1
h2 = (R2 - R1) / cos a2
As superfícies das partes devem ser sempre iguais e são sua altura multiplicado pela média da soma de suas larguras.
S1 = h1 H (0 + a) / 2
S2 = h2 H (a + b) / 2
S1 = S2
S1 = h2 H (a + b) / 2
S1 H 2 = a H h2 + b Hh2
Vitor Amaral Lotufo
17
H
larg p
I
alt p
0,289949494
0,37466629
0,425462298
0,460938431
0,487856057
0,509377666
2*B*TAN(E)
0,455597898 0,06605019
0,35
0,198762026 0,06605019
0,452262219
0,165098938 0,06605019
0,513578425
0,149030089 0,06605019
0,556401906
0,139229708 0,06605019
0,588894354
0,13246682
0,06605019
0,614873235
(Rn-Rn-1)/G
(Hn+Hn-1)*I/2 B
S1 H 2 = a H ((R2 - R1) / cos a2) + b H ((R2 - R1) / cos a2)
S1 H 2 = ((R2 - R1) H a + (R2 - R1) H b) / cos a2
S1H2Hcos a2 = tg (p / n)H2HR1HR2 - tg (p / n)H2HR1² + tg (p / n)H2HR2² - tg (p / n)
H2HR2HR1
S1Hcos a2 = - tg (p / n)HR1² + tg (p / n)HR2²
S1Hcos a2 / tg (p / n) = - R1² + R2²
R2² = (S1Hcos a2 / tg (p / n))+R1²
0,8
K
x
L
y
0,291666667
0,462103698
0,615394213
0,75813915
0,893524351
1,023418754
SEN(F)*I+L
0
0,2
Devemos agora fixar valores para "n" número de setores que é um fator de
precisão dos resultados, o raio do primeiro paralelo “R1" e a relação P/H, peso
de cada parte dividido pela força horizontal, que são fatores de escala e que
deixam mais precisa a curva.
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Série1
Vamos construir uma tabela no "Excel", para determinarmos a curva.
“n” é o número de setores em que vamos dividir a cúpula.
R paralelos são os raios das divisões em partes dos setores, o primeiro raio
será por nós definido, os seguintes obedecerão à fórmula para
R2² = (S1Hcos a2 / tg (p / n))+R1².
J
área p
0,6
G
cos âng p
0
0,76822128
0,514495755
0,371390676
0,287347886
0,233372952
0,196116135
0,4
E
F
âng Setor
âng partes
0
0
0,392699082 0,694738276
0,392699082 1,030376827
0,392699082 1,19028995
0,392699082 1,279339532
0,392699082 1,335251346
0,392699082 1,373400767
ATAN(H/2*R1) ACOS(C/D)
0,2
8
8
8
8
8
8
B
C
D
R paralelos
P
H
0 0,35
1
1,2
0,452262219
2
1,2
0,513578425
3
1,2
0,556401906
4
1,2
0,588894354
5
1,2
0,614873235
6
1,2
RAIZ(B*B+(J*G/TAN(E)))
0
A
n
Vitor Amaral Lotufo
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Triângulos
Vitor Amaral Lotufo
19
A composição e decomposição de forças é
chamada de paralelogramo de forças sendo a força
diagonal a resultante ou a força a ser decomposta .
O paralelogramo é formado por dois triângulos
simétricos. Podemos dizer que as forças se compõe
e se decompõe sempre em triângulos.
Mesmo formando polígonos como nos arcos,
entendemos que se trata de uma aplicação seriada
de triângulos de forças.
O triângulo é também a estabilidade, não se deforma, já os outros polígonos perdem sua forma por
modificação dos ângulos formados entre suas arestas.
Muitas construções apresentam elementos retilíneos e aparentemente não
enxergamos triângulos, mas obrigatoriamente estão presentes em encontros de
vigas, pilares e lajes. Sem triângulos, qualquer força pode colocar a estabilidade
de tais construções em risco.
Treliças
As treliças representam um tipo estrutural onde os triângulos aparecem explícitos, assim podemos enxergar com mais clareza seu funcionamento.
As cargas devem ser colocadas somente nos nós, os encontros de barras, para
que as barras trabalhem unicamente à compressão ou à tração. Dessa maneira
não haverá flexão (compressão e tração na mesma barra).
As figuras acima mostram exemplos de treliças simples (os próprios mecanismos estruturais). O primeiro é um arco de compressão suportando uma carga
no nó central, esta é decomposta em duas forças nas direções das pernas do arco
que por compressão, transporta as duas forças para os apoios e então um tirante
absorve a força horizontal, o segundo (em baixo) é um arco de tração que recebe
a carga em seu ponto central, esta se decompõe em duas, nas direções dos tirantes
e são transportadas pelos tirantes para os apoios superiores. Uma barra horizontal
absorve as componentes horizontais por compressão.
Essas treliças são simples, elas podem ficar mais complexas à medida em
que apoiamos por exemplo um arco de compressão simples em um arco de tração, ou um arco de tração simples num arco de compressão e assim por diante.
As treliças podem ser formadas por vários arcos de tração e compressão,
cada um servindo de apoio para o outro.
Podemos relacionar a forma dos arcos de compressão com o símbolo de uma
cara triste e a forma dos arcos de tração com o símbolo da cara feliz.
Vitor Amaral Lotufo
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Funcionamento das treliças
Bem no meio desta treliça, vemos um arco de tração dependurado como se
fosse uma rede pendurada
num arco de compressão. A força que esta dependurada no nó “1”, se
decompõe em duas que
percorrem tirantes inclinados até os nós “2”, onde
novamente são decompostas em duas forças,
as horizontais vão se contrapor na barra superior,
enquanto as outras vão
percorrer as pernas do arco
de compressão, até descarregarem nos nós “3”, onde
se decompõe novamente em
horizontais (que se contrapõe
no tirante inferior) e verticais
(que vão para os apoios).
O próximo desenho mostra outra treliça de mesmo
tamanho mas onde o centro
é ocupado por um arco de
compressão apoiado num de tração, que vai descarregar as componentes verticais
nos apoios.
Existem muitas possibilidades para a configuração de uma treliça, mas a
regra básica é, quando o vazio do arco está para cima (contente), o arco trabalha
à tração, arco com o vazio para baixo trabalha à compressão (triste),.
Quando a treliça é formada pela sucessão de vários triângulos a parte central
é mais solicitada que as laterais pois na parte central passam mais arcos comprimidos e tracionados.
As forças horizontais são maiores na parte central diminuindo em direção
aos apoios.
O limite da inclinação das pernas de um arco, quer seja de compressão ou
de tração é a vertical.
Para calcular as forças que atuam nas barras da treliça devemos proceder
da mesma maneira como fizemos com o mecanismo estrutural, começando pelo
meio da estrutura.
O triângulo central da treliça carrega seu próprio peso e mais cargas exteriores
e descarrega tudo em dois pontos de apoio, que estarão no próximo arco, este
também carrega seu próprio peso e mais eventualmente outras cargas externas,
descarregando a soma das cargas destes dois arcos para os apoios ou para um
próximo arco e assim por diante.
Podemos também calcular as forças que atuam nas treliças, calculando as
forças que a treliça descarrega nos apoios.
Se a treliça for simétrica, a força vertical que ela descarrega nos apoios é
igual à metade da soma das forças verticais que atuam sobre a treliça mais seu
próprio peso.
Quem transportou essa força da treliça para o apoio, foi a força inclinada
trazida pela barra inclinada e essa inclinação é também responsável pelo tamanho
da força horizontal que deverá ser resistida pelo tirante ou pela barra horizontal
de compressão, quanto menor a inclinação da barra, maior será a força horizontal.
Conhecendo o valor da força vertical nos apoios, podemos determinar as
outras forças que atuam nas barras que chegam aos apoios.
Colocando números:
Vitor Amaral Lotufo
21
Vamos estimar em 1000kgf o valor de cada força nos
três nós superiores da treliça acima e a distância entre cada
nó de 1m e ângulos de 60° entre barras.
Começamos pelo vão central, nó “1”, o centro é o apoio
entre duas vigas, temos então duas cargas de 500kgf nesse
ponto cada uma apoiada de um lado da estrutura. Essas
forças se dividem em duas, uma no sentido da barra inclinada da treliça valendo
500kgf / cos 30° = 577kgf e outra horizontal
comprimindo a barra superior 500kgf H tg
30° = 289kgf.
As forças de 577kgf caminharão comprimindo as barras centrais inclinadas, até
se apoiarem nos nós “2”, onde se dividirão
novamente em duas e em razão do ângulo
ser de 60°, terão o mesmo valor ou seja
577kgf que esticam o tirante central e outras
que vão se dependurar no tirante inclinado
que vai ao nó 3+4.
No nó 3+4 se divide em duas novamente com o mesmo valor, comprimindo
a barra superior e as barras que conduzem ao nó de apoio, mas conjuntamente
com novas cargas de 900kgf que estão carregando estes nós e que se dividem
em duas forças de 577kgf
comprimindo também a
barra superior, o total de
forças comprimindo o centro da barra superior será de
577kgf + 577kgf + 289kgf
= 1444kgf e comprimindo a barra inclinada com
1000kgf / cos 30° = 1155kgf
que somado a 577kgf , comprime a barra inclinada com
1732kgf.
Esta, no apoio, no nó 5
se divide em duas, uma vertical valendo 1500kgf ou a metade das cargas que a
estrutura carrega e horizontais de 1732kgf H sen 30° = 886kgf sendo que no vão
central é somada a 577kgf resultando em aproximadamente 1444kgf
As forças horizontais devem ser sempre iguais para a viga estar em equilíbrio.
Estruturas que trabalham à flexão
As peças das treliças, arcos e cúpulas, normalmente trabalham somente
à compressão ou à tração, toda sua seção esta sendo somente comprimida ou
tracionada, mas quando uma peça estrutural sofre flexão, compressão e tração
coexistem, ou seja um lado de sua seção esta sendo comprimido enquanto o
outro esta sendo tracionado.
Quando ocorre flexão um dos lados da peça esta com um máximo de
compressão enquanto o outro lado com um máximo de tração, entre esses dois
máximos haverá uma nuance de forças, a compressão diminui até passar a
tração, como mostra a figura acima de uma viga fletida.
Quando uma peça estrutural esta sendo simplesmente comprimida ou
tracionada, as resultantes das forças de compressão ou de tração passam pelo
centro da seção, porém na flexão a posição das resultantes varia conforme o
tipo de seção da peça e a forma como as forças se distribuem na peça.
Para calcularmos as forças que comprimem e tracionam uma viga que
trabalha à flexão, vamos substituir essa viga por uma estrutura mais simples
que já dominamos, por exemplo um arco.
As forças serão as mesmas, desde que posicionemos o arco e o tirante
de tal maneira que o arco passe pela resultante de compressão e o tirante pela
resultante de tração, ou seja a altura estrutural de ambos será a mesma e as
Vitor Amaral Lotufo
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seções do arco e tirante sejam compatíveis com a quantidade de forças que as
partes das seções comprimidas e tracionadas da viga podem suportar.
Sabemos que no meio do vão em uma viga bi apoiada, com perfil retangular essa variação apresenta um gráfico com a forma de triângulos opostos,
sendo que as forças resultantes de compressão e a de tração passam pelos
centros de gravidade dos referidos triângulos.
O arco para poder substituir a viga, deve passar por onde passam as
resultantes e ter sua forma relacionada com as forças que carregam a viga. Por
exemplo, se a carga for concentrada o arco será um triângulo, com altura igual
a altura estrutural da viga, ou seja igual à distância entre as duas resultantes,
na direção do ponto de aplicação da carga concentrada. Neste exemplo, o arco
tem a forma de uma parábola, pois é o arco natural para carregamentos distribuídos ao longo da viga.
Vemos no desenho que o arco descarrega em cada ponto de apoio
uma força “T” tangente à sua direção que decomposta resulta na força
vertical“V”(metade da carga total do arco), e também na força horizontal “H”.
Esse triângulo de forças é semelhante ao triângulo geométrico formado pela
metade do vão e pelo dobro da altura estrutural do arco (tangente de uma pa-
rábola), pois como foi considerada a carga uniformemente distribuída na viga,
a curva natural do arco será uma parábola e a tangente num ponto qualquer da
parábola é a linha que une esse ponto ao dobro de sua altura.
Utilizamos um arco de compressão para descobrir as forças semelhantes
que agem na viga, mas podemos utilizar um arco de tração ou mesmo dois
arcos um de tração e um de compressão cada um com metade da altura estrutural, dividindo a carga entre os dois arcos, pois são estruturas equivalentes.
Vitor Amaral Lotufo
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Também ao invés de um arco podemos utilizar uma treliça, sempre tendo o cuidado de considerar alturas estruturais compatíveis.
Estes exemplos são válidos para vigas de um mesmo material, como são
as de madeira, porém para as vigas em concreto armado temos de considerar
que a resultante das forças de tração esta onde se concentram as barras de aço.
A localização da posição das resultantes de compressão e tração no centro da viga varia conforme o perfil da seção.
Para determinarmos essa posição, ´primeiro localizamos a posição da
linha neutra LN, pois quando o perfil da seção não é simétrico a LN não estará
no centro.
Dividimos em áreas o perfil da viga, por exemplo de 1cm² e em camadas, somamos a área total, que no exemplo é de 80cm².
Calculamos a distância D de cada camada ao eixo x que poderá estar por
exemplo passando na base da seção. Multiplicamos as distâncias pela área de
cada camada respectiva, somamos os resultados e dividimos pelo total da área
e obteremos a distância da linha neutra LN ao eixo x, neste caso é de 5cm.
Agora, para situar a posição das resultantes, multiplicamos a área de
cada camada pela sua distância à LN e obtemos o potencial de resistência de
cada camada.
Esses valores obtidos significam que somente as camadas mais externas
tem a possibilidade de atuar plenamente na tensão máxima de compressão ou
tração, conforme se aproximam da LN essa capacidade vai diminuindo até
zero na LN. Somando-se esses resultados teremos a máxima capacidade de
atuação dessa viga à compressão e à tração.
Multiplicamos cada resultado novamente pela distância à LN (S H d H d),
a somatória desses valores dividida pela soma do potencial de cada camada,
nos dará a que distância da linha neutra LN ficam as resultantes de compressão
e de tração, neste caso a 2,95cm da LN.Esses valores obtidos significam que
somente as camadas mais externas tem a possibilidade de atuar plenamente
na tensão máxima de compressão ou tração, conforme se aproximam da LN
essa capacidade vai diminuindo até zero na LN. Somando-se esses resultados
teremos a máxima capacidade de atuação dessa viga à compressão e à tração.
Multiplicamos cada resultado novamente pela distância à LN (S H d H d),
a somatória desses valores dividida pela soma do potencial de cada camada,
nos dará a que distância da linha neutra LN ficam as resultantes de compressão
e de tração, neste caso a 2,95cm da LN.
Cálculo de uma viga em madeira
Vitor Amaral Lotufo
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Na figura abaixo está representada uma viga de madeira com de 6 H 16
cm de seção, percorrendo um vão de 2,50m, recebendo uma carga distribuída
total de 500kg (200kgf/m).
Como o perfil da viga é retangular, as resultantes de compressão e de tração passam em sua parte central, a 1/6 de suas faces superior e inferior, consequentemente a altura estrutural é de 2/3 da altura total da viga.
Se carregarmos um cabo flexível ou uma corrente com a mesma carga
distribuída, com o mesmo vão e com altura estrutural igual à da viga, este
assume a forma de uma parábola.
A parábola,deve ser traçada então tendo como limites os eixos das resultantes de compressão e de tração. As tangentes à parábola junto aos apoios, são
linhas que partem de um ponto central distando de duas vezes a altura estrutural
Para isso dobramos a altura estrutural (distância entre as resultantes de compressão e de tração) no centro da viga e unimos aos eixos dos apoios da viga. Essas
linhas servem para desenharmos a parábola e ao mesmo tempo são as tangentes
à parábola junto aos apoios.
1- Desenhamos o triângulo geométrico: metade do vão, dobro da altura
estrutural e tangente à parábola.
2- O arco de tração em forma de parábola descarrega nos apoios forças
“T” com a direção da tangente.
3- Estas forças “T” podem ser decompostas em duas outras, uma vertical que será igual à metade da carga que age sobre a viga, 300kgf ou “V/2 e a
outra é a força horizontal que comprime a parte superior da viga.
4- Comparamos o triângulo das forças com o triângulo formado pela
metade do vão e dobro da altura estrutural e como são semelhantes descobrimos o valor de “H”.
H / 125cm = 250kgf / 21,33cm
H = 375kgf H cm/ 21,33cm
H = 1465kgf
Para suportar essa força horizontal (de compressão e de tração), temos
metade da seção da viga ou 6cm H 8cm = 48cm².
Cada cm² de seção de viga esta apto a suportar 100kg/cm² resistência à
compressão e à tração da madeira, mas como vimos, metade da área superior
da viga resiste à compressão, nesse caso 48cm² e metade à tração, os outros
48cm² e relembrando que somente as faces mais externas da viga estão aptas
a resistir ao máximo de sua capacidade, o centro da viga não tem capacidade
de resistência e teremos de considerar que a viga prismática à flexão só pode
suportar a metade dos 100 kg/cm² ou seja 50 kg /cm².
Vitor Amaral Lotufo
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Multiplicamos 50kgf/cm² por 48cm² temos que a viga pode suportar
2400kgf à tração ou compressão, que é a mais que o necessário pois pelo nosso cálculo, as forças horizontais são de 1465kgf.
Vamos verificar agora a viga tendo de suportar ainda uma carga concentrada de 200kgf a 50cm do apoio.
Vamos substituir a viga de madeira pelo mesmo cabo flexível e sem considerarmos a carga distribuída.
O cabo fica com a forma de um triângulo, preso aos apoios e não devendo ultrapassar os limites das resultantes de tração e compressão.
Como a carga de 200kgf não esta centrada, cada apoio receberá uma parcela da carga inversamente proporcional à distância da carga aos apoios:
Va / Vb = b / a
P¹ será igual a 160kgf e P² = 40kgf
Os triângulos de forças sendo semelhantes aos geométricos formados
pelo cabo, teremos:
H / 50cm = 160kgf / 10,66cm
H = 750,5kgf
Essa força “H” deve ser somada à força “H” provocada pela carga distribuída, 1465kgf + 750,5kgf = 2216kgf, que deve ser resistida tanto à compressão na parte de cima da viga como à tração na parte de baixo.
Dispondo a viga de seção 6 H 16cm da metade dos 96cm² ou 48cm² para
resistir a essa força de 2216kgf, mas apesar de nominalmente a viga resistir à
100kgf/cm², somente a parte mais externa resistirá esses 100kgf, a parte central não contribuirá em nada, então consideraremos que a viga resiste somente
a 50kgf/cm² ou seja 50kgf H 48cm² = 2400kgf , mas superior à 2216kgf, portanto a viga resiste à soma das cargas distribuídas e concentradas.
Na prática é comum o abuso na resistência das vigas de madeira pois a
carga admissível por medida de segurança é cerca de 1/5 da encontrada em
laboratório.
Quando colocamos a corrente para suportar a mesma carga e vão que a
viga de madeira, devemos observar que somente no centro a corrente está na
horizontal e para os dois lados ela vai cada vez mais assumindo uma inclinação,
fruto da composição da força horizontal com as verticais que vão se apoiando na
corrente.
Já verificamos a capacidade da viga de resistência às forças horizontais
Se nossa viga fosse de aço, não haveria problemas pois o aço tem resistência igual em qualquer direção, porém a madeira não, a madeira é um material
como uma somatória de tubinhos aglomerados que são as suas fibras, apresentando maior resistência longitudinal do que transversal tanto à tração como à
compressão; sua resistência transversal à compressão é algo próximo a 30% da
longitudinal.
Vitor Amaral Lotufo
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Quando a carga é distribuída, a força vertical varia de zero no centro para
um máximo nos apoios, quando é concentrada, a força vertical é a mesma ao
longo de toda a viga. A metade da carga distribuída total é a que chega em cada
apoio, chega através da força “T” tangente à curva da corrente no apoio, supondo
que a corrente esteja presa no apoio, num pedaço da viga de madeira, esta então
descarregaria a força tangente num plano da viga perpendicular à sua chegada.
Se decompusermos esta força “T” em horizontal e vertical e decompormos
também o plano de chegada, teremos que a força horizontal descarrega no apoio
da forma que já vimos e a vertical
Somando-se a carga concentrada teremos:
250kgf + 160kgf = 410kgf
A viga então precisa resistir ao máximo da força vertical à compressão ou à
tração junto ao apoio.
A força que chega ao apoio com a inclinação da tangente à curva da corrente deve ser resistida por uma seção igual ao plano perpendicular à essa força.
Sendo que as forças em que ela é decomposta pelos planos catetos desse
plano inclinado hipotenusa.
A seção que resiste à horizontal é a seção do cateto altura da viga e a vertical por uma seção definida pelo outro cateto pela largura da viga.
No caso, por semelhança de triângulos:
c = (16cm H 250kgf) / 1465kgf
c = 2,73cm
Sc = 2,73cm H 6cm
Sc = 16,38cm² que multiplicado por 30kgf/cm² (30% de 100kgf/cm²),
C = 491,4kgf
Como “V/2” = 250kgf que é menor que 491,4kgf, a viga resiste à força
vertical.
Considerando também a carga concentrada, precisamos somar as forças
horizontais e verticais, teremos então:
H = 1645kgf + 750,5kgf
H = 2395,5kgf e
V = 250kgf + 160kgf
V = 410kgf
c = (16cm H 410kgf) / 2395,5kgf
c = 2,74cm
Sc = 2,74cm H 6cm
Sc = 16,4cm²
C = Sc x 30kgf
C = 493kgf que também é maior que a força vertical total.
Essa área deverá ser também a mínima área de apoio da viga.
Cálculo de uma viga em concreto armado
O concreto armado é um material composto por concreto e aço.
O concreto conforme seu traço, resiste à cerca de 200kgf/cm² à compressão e próximo a 30kgf/cm² à tração.
Devido à sua baixa resistência à tração ele é reforçado com aços próprios para uso com concreto armado, são os CA-25, CA-50 ou CA-60, que
resistem respectivamente 25kgf/mm² ou 2500kgf/cm², 50 kgf/mm² ou 5000
kgf/cm² ou 60 kgf/mm² ou 6000 kgf/cm², tanto à compressão como à tração.
Para que as barras de aço colaborem com o concreto, é preciso que haja
uma aderência ótima entre os dois materiais, preferindo-se usar varias barras
finas no lugar de uma única mais grossa, pois quanto maior a superfície de
contato, melhor a aderência.
É importante também sempre fazer um gancho nas pontas das barras
de ferro submetidas à tração para aumentar a aderência.
Para o cálculo, devemos proceder exatamente igual fizemos para a viga
de madeira, com uma diferença, o eixo da resultante das forças de tração fica
no eixo da posição das barras de aço. Por exemplo, se estimamos usar barras
de 1 cm de diâmetro e prevermos uma cobertura de 2cm de concreto, o eixo
da resultante de tração ficará a 2,5cm da face da viga (2cm + 1/2cm) e não a 1/6 da
altura total da viga.
Roteiro:
Cálculo de uma viga em concreto armado, vencendo um vão de 4m,
carregando uma parede de tijolos pesando 280kgf/m² e duas lajes armadas
em uma única direção em concreto armado com espessura de 7cm com carga
acidental prevista de 150kgf/m² e revestimentos pesando 50kgf/m².
1- Estima-se as dimensões da viga: altura entre 8 a 10% do vão, largura
maior que 1/5 da altura e no mínimo 10cm ou seja 36cm de altura e 12cm de
largura.
2- Estima-se a carga total que a viga deve suportar:
Metade da carga da laje (metade carrega uma viga, metade a outra):
carga acidental: 3m H 4m = 12m²
Vitor Amaral Lotufo
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12 m² H 150kgf/m² = 1800kgf
carga devida ao peso próprio: 12m² H 0,07m H
2500kgf/m³ = 2100kgf
carga permanente: 12 m² H 50 kgf/m² = 600kgf
total = 4500kgf / 2 = 2250kgf de carga da laje
para cada viga
peso próprio da viga
0,36m H 0,12m x 4m H 2500kgf/m³ = 432kgf
mais o peso da parede
2,21m H 4m H 280kgf/m² = 2475,2 kgf.
totalizando 5157,2kgf que multiplicado pelo
coeficiente de segurança 1,4 dará 7220kgf pesando sobre a viga e se dividindo para cada um
dos apoios ou seja a carga vertical “V” em cada
apoio será de 3610kgf
3- A viga tem seção retangular portanto
sua altura estrutural, a distância entre a resultante das forças de compressão à resultante das
forças de tração será de 36cm - (1/6 H 32cm +
2,5cm) = 27,5cm.
6- O triângulo geométrico será formado
pela metade do vão e pelo dobro da altura estrutural da viga (pois a carga é distribuida) e o de
forças pela metade da carga total da viga ou 3610kgf.
7- Portanto a força horizontal H = metade da carga total x metade do vão
/ dobro da altura estrutural.
H = 3610kgf H 200cm) / 55cm
H = 13127kgf
7- O aço usado em concreto armado é o CA-50 que quer dizer que
aguenta 50kg/mm² ou 5000Kg/cm², a norma pede para dividirmos esse valor
por 1,15, que é um coeficiente de segurança, então usaremos a resistência
de 4347Kg/cm². Se nosso cálculo resultou numa força horizontal “H” de
13127kgf dividimos por 4347Kg/cm² e saberemos que precisamos de uma
seção de aço de 3,02cm² ou duas barras de aço de 12,5mm de diâmetro, pois
cada uma tem 1,27cm² de seção, totalizando 2,53cm², mais uma de 10mm de
diâmetro que tem 0,71cm² de seção que somadas totalizam 3,24cm² de seção
de aço.
8-1 A área de concreto que trabalha à compressão precisa ser suficiente
também para suportar a força horizontal. A resistência do concreto pode variar
conforme seu traço, consideramos que ele aguenta 200Kg/cm² que dividimos
por segurança também por 1,4, teremos então 142,86Kg/cm² como resistência
do concreto.
8-2 Mas como a metade da viga que trabalha à compressão não trabalha
toda na taxa máxima da resistência do concreto, somente a borda superior trabalha no máximo, essa taxa vai decrescendo até chegar ao meio quando a taxa
se anula, então temos que trabalhar pela média ou 71,43Kg/cm².
8-3 Agora multiplicamos 71,43Kg/cm² pela metade da seção da viga 18
H 12cm = 216 cm², que é a parte de concreto que deve resistir à compressão (a
metade de baixo da viga não ajuda nem na tração nem na compressão.
8-4 Se esse valor for maior que a força H, significa que a viga resistirá
se for menor, precisamos rever as dimensões da viga. Vamos agora multiplicar
a área comprimida de 216cm² x 71,43Kg/cm² = 15428Kgf, que é superior aos
13127Kgf da força horizontal, portanto aguenta.
9- O concreto resiste muito pouco à tração e a força que realmente transporta as cargas para os apoios é a força inclinada que é decomposta em vertical e horizontal e neste caso de cargas uniformemente distribuídas, será maior
junto aos apoios, onde temos uma força vertical de 3610kgf usaremos estribos
de aço, capazes de resistir à essa força vertical que somada vetorialmente às
horizontais equivalem à força “T” inclinada. Dividindo-se 3610kgf / 4347kgf/
cm² que é quanto cada cm² de aço resiste à tração temos 0,83cm²
Cada estribo tem de resistir à soma das forças verticais que carregam
a viga entre o espaço entre um estribo e outro , a norma pede para que essa
distância seja no mínimo igual à largura da viga então, experimentaremos a
distância entre estribos de 12 cm . A carga que temos na viga é de 8000kgf
descarregados num comprimento de 125cm e por regra de três temos que
8000/125 = 64kgf por centímetro que multiplicado por 12cm temos 768kgf.
Precisamos então de 768kgf / 4350kgf/cm² ou 0,17cm² ou com 1 estribo de
4,3mm teremos quase o dobro da seção necessária. Os estribos são necessários
também para a construção da viga, isto é manter a forma e a posição das várias
barras de aço da viga.
Lajes
Vitor Amaral Lotufo
28
As lajes são vigas com pouca altura e grande largura.
Como o cálculo é sempre por tentativa e erro, primeiramente pré dimensionamos sua espessura.
Para lajes maciças pré dimensionamos com 2,5% do menor vão, se for
nervurada com 4% do menor vão, para facilitar as contas calculamos trechos
com 1m de largura.
Por exemplo, vamos calcular uma laje maciça, piso residencial com 4m
de vão.
A espessura será de 2,5% H 400cm = 10cm.
A altura estrutural será de 10cm menos 1/6 da altura (centro de gravidade das forças de compressão) e menos 2cm (distância do eixo das barras de
aço ao fundo da laje, resultando em 6,44cm a altura estrutural, que é multiplicada por 2 por ser carga distribuída = 12,88cm.
A carga acidental sobre a laje será de 150kgf/m² e o peso próprio da laje
de 0,10m H 1m H 1m H 2500kgf/m³ = 250kgf, somando-se os dois valores teremos a carga de 400kg/m².
O peso total da faixa de 1m de largura será de 400kgf/m² H 4m =
1600kgf. Metade desse peso vai para cada apoio, ou seja 800kgf.
Comparamos o triângulo geométrico com o de cargas: H (força horizontal) / 800kgf = 200cm / 12,88cm, resultando H = 12422,4 kgf
A NB pede que consideremos 40% a mais como fator de segurança H =
17391,3kgf.
O aço CA-50 aguenta 5000kgf/cm², a NB pede que consideremos menos
15% como fator de segurança, então aguentará 4250kgf/cm²
Dividindo-se 19687,5kgf por 4250kgf/cm² teremos quantos cm² de aço
precisaremos para resistir a força de tração numa faixa de 1m de largura, ou
seja 4,092cm².
A barra de aço de 6,3mm tem 0,32cm² de seção, dividindo-se 4,092cm²
por 0,32cm, veremos que precisaremos de 13 barras de aço 6,3mm em cada
faixa de 1m de largura da laje. A armação da laje será feita com uma barra de
6,3mm a cada 7,7cm aproximadamente.
Precisamos verificar se a parte comprimida resiste à força horizontal de
17391,3kgf.
A área de concreto considerada será a metade da altura total da laje, ou
5cm, multiplicada pela largura de 100cm = 500cm².
A resistência do concreto é variável conforme seu traço, vamos considerar um concreto que resista a 200kgf/cm², a NB pede que reduzamos sua
capacidade em 40%, teremos então 120kgf/cm² e como na flexão somente os
centímetros mais externos, na face superior da laje é que vão resistir realmente
os 120kgf/cm², pois na linha neutra (o divisor entre compressão e tração) a
compressão é zero, então devemos considerar a resistência média de 60kgf/
cm².
Multiplicando-se 60kgf/cm² pela área comprimida de 500cm² temos que
ela resiste a 3000kgf, que é muito superior aos 17391,3kgf.
Concluímos que a laje pode ser construída nessa espessura e com a armação indicada, inclusive poderemos reduzir a espessura da laje, diminuindo a
área comprimida, mas logicamente teremos uma armação mais pesada, lembrando que a NB recomenda 7cm como espessura mínima para lajes de piso.
As lajes normalmente
não são armadas com estribos.
Vigas em Balanço - Vigas Contínuas
As vigas auto portantes descarregam nos apoios
somente cargas verticais, mas
quando são contínuas, por
exemplo um balanço, chegam aos apoios ainda forças
horizontais precisando então de contra balanços, para ficarem auto portantes.
Esse contrabalanço que é uma continuidade da viga, pode estar na sua mesma
direção ou não, a continuidade pode estar por exemplo no pilar.
O pilar pode também dar continuidade à este binário de forças horizontais de tração e de compressão e transportar também a força vertical para a
fundação.
Vitor Amaral Lotufo
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Sempre é interessante
que quando houver continuidade entre duas partes da estrutura seja mantida a mesma
altura estrutural, pois assim
as forças agem em cada parte
terão a mesma amplitude.
A continuidade do
balanço em função do contrabalanço proporciona uma
diminuição virtual do vão contínuo.
O contrabalanço representa um apoio para o vão contíguo, portanto o
vão fica menor.
Para localizarmos para onde foi transferido o apoio do vão central, precisamos usar um pouco do conhecimento das equações do segundo grau e as
noções de momento de força.
Imaginemos que estamos substituindo uma viga contínua com balanço,
por uma corrente para suportar as cargas verticais e uma barra para suportar as
forças horizontais.
A curva desenhada pela corrente na verdade representa o gráfico do mo-
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nuição virtual do vão principal
Considerando a carga como uniformemente distribuída horizontalmente
na corrente ela seguirá a forma de parábola e será fácil então descobrirmos
qual o ponto em que cruza a horizontal de compressão para daí determinarmos
as forças que agem no sistema.
y1 = a H x1² é a equação geral da parábola, o valor “a” define a escala da
curva que terá o mesmo valor na equação da parábola do balanço pois a carga
por metro linear é a mesma.
y2 = a H bal²
y3 = a H x2²
y3 = |y1| + |y2|
a H x1² + a H bal² = a H x2²
x1² + bal² = x2²
mas x2 = x1 + k
x1² + bal² = ( x1 + k )²
x1² + bal² = x1² + 2 H x1 H k + k²
mas k = vão - 2 H x1
x1² + bal² = x1² + 2 H x1 H (vão - 2 H x1 ) + (vão - 2 H x1 )²
bal² = 2 H x1 H ( vão - 2 H x1 ) + ( vão - 2 H x1 )²
bal² = 2 H x1 H vão - 4 H x1² + vão² - 4 H x1 H vão + 4 H x1²
bal² = - 2 H x1 H vão + vão²
x1 = ( vão² - bal² ) / 2 H vão
Dessa forma localizamos o ponto onde o contrabalanço apoia o vão
central.
mento fletor numa determinada escala, lembrando que o momento fletor é uma
medida, uma distância, o vão, multiplicado por uma força, quando a carga é
uniformemente distribuída a corrente percorrerá a forma de uma parábola, se
for concentrada, a corrente percorrerá a forma de um triângulo.
Qualquer outro tipo de distribuição das cargas, fará com que a corrente assuma a forma da funicular desse carregamento, a parábola e o triângulo
representam a maioria dos casos e as curvas podem ser somadas.
É preciso que a corrente desenhe tanto o balanço como o vão central
numa mesma escala vertical e horizontal, para isso ela deve se restringir a
percorrer os vãos, limitando-se à altura estrutural da viga.
É importante notar que a existência do balanço proporciona uma dimi-
Melhor “performance” balanço / vão:
Se y1 for igual a y2 estaremos usando integralmente a altura estrutural da
viga, tanto do balanço como do vão.
a H x1² = a H bal²
x1² = bal²
mas x1² + bal² = x2² (da sequência anterior)
bal² = x2² - x1²
2 H x1² = x2²
w2 H x1 = x2 mas x1 = bal e x2 = vão - x1
bal H w2 = vão - bal
Vitor Amaral Lotufo
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ou bal = vão / w8
então a melhor proporção entre balanços e vão central será 1 : 2,828 : 1
ou aproximadamente 1 : 3 : 1
Quando a viga é contínua com vãos iguais e cargas iguais e regu-
larmente distribuídas, consideramos que o vão central comporta-se como vão
entre dois balanços (caso anterior) e os vãos das pontas como se fossem vãos
com balanço ideal com y1 = y2, ou bal = vão / 2,414
bal + bal H w2 = vão
ou bal = vão / ( 1 + w2 ) ou
bal = vão / 2,414
Quando temos dois balanços:
A melhor proporção é quando temos y1 = y2 pois as alturas estruturais
serão iguais, com melhor aproveitamento da altura útil da viga.
vão = 2 H x2
x2 = vão / 2
y1 = a H x1²
y2 = a H bal²
|y1| + |y2| = a H x2²
a H x1² + a H bal² = a H x2²
x1² + bal² = x2²
x1² + bal² = (vão/2)²
x1² = vão²/4 - bal²
mas x1 = bal
2 H bal² = vão² / 4
ou 8 H bal² = vão²
Exemplo: Uma viga em concreto armado com um vão central de 6m e
dois balanços de 2m suporta uma laje que descarrega 2000kgf em cada metro
linear da viga, mais parede que descarrega mais 700kgf por metro linear da
viga, mais 150kgf por metro linear de peso próprio da viga, resultando uma
carga total de 2850kgf por metro linear.
Vamos experimentar as medidas de 20 H 48 cm para seção da viga.
A altura estrutural da viga será de 36cm pois estamos descontando 8cm
no topo, (1/6 da altura ) na parte comprimida e 4cm (distância entre o eixo da
armadura e a face da viga na parte tracionada.
Para dimensionarmos o vão central virtual calculamos
x1 = (vão² - bal²) / 2 H vão
x1 = (6m² - 2m²) / 2 H 6m
x1 = 32m² / 12m
x1 = 2,666m
k = 6m - 5,333 = 0,666m
Como são dois balanços dobramos k
k = 1,333m
O vão virtual é de 4,666m
A carga é distribuída ao longo da viga, sua curva de distribuição é de
uma parábola. O vão central virtual descarrega nos contra balanços 4,666m H
2850kgf/ml = 13300kgf / 2 = 6650kgf em cada apoio.
Essas forças verticais são trazidas para os apoios por forças com a inclinação da tangente à parábola nos pontos de apoio.
Dobramos a flecha da parábola e ligamos aos apoios para desenharmos
as tangentes, temos então o triângulo geométrico formado pela metade do vão,
2,333m e pelo dobro da flecha da parábola 36cm H 2 = 72cm, que é semelhante
ao das forças, ou seja:
A força vertical de 6650kgf está para 72cm, assim como a força horizontal está para 233,3cm ela vale então 30710kgf.
A força horizontal deve ser resistida tanto pela parte comprimida como
pela tracionada.
A parte comprimida é a parte superior da viga 20cm H 24cm ou 480cm²,
cada cm² de concreto resiste conforme o traço usado, 150kgf/cm², mas como
vimos anteriormente, devemos considerar a média entre esse valor que é máximo na face comprimida e é zero no centro na linha neutra.
Portanto a viga é capaz de suportar 480cm² H 75kgf/cm² = 36000kgf, que
é superior a 30710kgf de compressão.
A parte tracionada, ou seja a armação também precisa resistir aos
30710kgf, que dividido por quanto aguenta o aço estrutural 5000kgf/cm² H
0,85 = 4250kgf/cm² = 7,23cm² de seção de aço ou 6 barras de 12,5mm, que
deverão percorrer a parte de baixo no vão central virtual e a parte de cima dos
balanços e contra balanços.
O ideal seria que as barras de aço percorressem o caminho das parábolas, mas é mais difícil conseguir isso numa construção. Até alguns anos atrás,
as barras de ferro eram dobradas a 45°, mas atualmente recomenda-se colocar
estribos suficientes para em combinação com as barras retas tal resistência seja
atingida.
A força inclinada que chega no ponto de apoio é a hipotenusa do triângulo de forças, maior portanto que a força vertical e que a força horizontal, neste
caso ela vale 31422kgf, sendo que as componentes horizontais são resistidas
pelo concreto e pelas barras de aço, a componente vertical, precisa ser resistida por uma seção tal que seu comprimento esteja para a altura da viga, assim
como a componente vertical está para a componente horizontal, ou seja d =
48cm H 6650kgf / 30710kgf = 10,4cm.
Cada 10,4cm do comprimento da viga deve suportar a carga vertical de
6650kgf à tração com uma seção de aço de 6650kgf / 4250kgf ou 1,56cm² de
aço ou cada 5cm, 3197kgf / 4250kgf/cm² = 0,75cm² de seção de aço ou duas
barras de 5mm² ou um estribo (duas barras) de 5mm2, logicamente essa proporção de aço pode ser diminuída em direção ao centro da viga.
A seção de concreto de 10,4cm H 20cm = 208cm² que resiste a 150kgf/
cm² também deve resistir aos 6650kgf.
Verificação de arcos à flexão
Vitor Amaral Lotufo
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