UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA - UDESC
CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS - CCT
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
QUADRATURA DA PARÁBOLA: DE
ARQUIMEDES À INTEGRAL DEFINIDA
NÁTHALY BEATRIZ REIS
JOINVILLE, 2015
NÁTHALY BEATRIZ REIS
QUADRATURA DA PARÁBOLA: DE ARQUIMEDES À
INTEGRAL DEFINIDA
Trabalho de Graduação apresentado ao
Curso de Licenciatura em Matemática
do Centro de Ciências Tecnológicas,
da Universidade do Estado de Santa
Catarina, como requisito parcial para
a obtenção do grau de Licenciatura em
Matemática.
Orientador(a):
Prof.
dra Bar de Figueiredo.
JOINVILLE, SC
2015
Dra.
Elisan-
NÁTHALY BEATRIZ REIS
QUADRATURA DA PARÁBOLA: DE ARQUIMEDES À
INTEGRAL DEFINIDA
Trabalho de Graduação apresentado ao Curso de Licenciatura em Matemática do Centro de Ciências Tecnológicas, da Universidade do Estado
de Santa Catarina, como requisito parcial para a obtenção do grau de
Licenciatura em Matemática.
Banca Examinadora
Orientadora:
Prof. Dra. Elisandra Bar de Figueiredo
Universidade do Estado de Santa Catarina
Coorientadora:
Prof. Dra. Ivanete Zuchi Siple
Universidade do Estado de Santa Catarina
Membro:
Prof. Ma. Eliane Bihuna de Azevedo
Universidade do Estado de Santa Catarina
Membro:
Prof. Me. Marnei Luis Mandler
Universidade do Estado de Santa Catarina
Joinville, 26/06/2015.
A Deus.
Agradecimentos
A Deus, pela minha vida e pela inteligência e capacidade que
me concede.
À Universidade do Estado de Santa Catarina, pelo incentivo à
busca de experiências e aos diversos conhecimentos.
À Professora Orientadora Elisandra Bär de Figueiredo, por
compartilhar seus conhecimentos e pela dedicação na orientação.
À professora Coorientadora Ivanete Zuchi Siple, por estar sempre presente e me auxiliar nas atividades referentes ao trabalho.
À família e amigos pelo acompanhamento e apoio nos mais diversos momentos durante todo o período do curso.
“Nossa maior riqueza como seres
humanos é sermos capazes de criar
projetos que acrescentem valor à
vida dos outros.”
Felipe Gonzáles
Resumo
REIS, Náthaly Beatriz. Quadratura da Parábola: de Arquimedes à integral definida. 2015. 105 páginas. Trabalho de Conclusão de Curso de Licenciatura em Matemática - Universidade
do Estado de Santa Catarina, Joinville, 2015.
Neste trabalho apresentamos um estudo sobre a evolução do método da quadratura da parábola, de Arquimedes à integral definida. Abordamos a quadratura pelo método da alavanca, dos
triângulos inscritos, das somas de Riemann e da integral definida.
Também exploramos as potencialidades dos recursos tecnológicos da geometria dinâmica, especificamente o GeoGebra, para
discutir tanto o problema clássico quanto o contemporâneo, com
o intuito de ilustrar e verificar, de maneira dinâmica, as ideias
utilizadas na demonstração da quadratura da parábola. A metodologia utilizada foi de caráter teórico e investigativo, tendo
como objetivos principais estruturar sistemas e modelos teóricos,
e relacionar e confrontar hipóteses. O estudo realizado a respeito
das demonstrações de Arquimedes apresentou várias propriedades da parábola que não conhecíamos, pelo menos não na linguagem que ele propôs, e também mostrou como Arquimedes tinha
uma visão brilhante para determinar tais resultados. Além disso,
foi possível notar como o GeoGebra pode ser útil na verificação
de tais propriedades como também dos resultados do cálculo.
Palavras-chave: Arquimedes. Quadratura da parábola. Somas
de Riemann. Integral definida. GeoGebra.
Abstract
REIS, Náthaly Beatriz. Squaring of the Parabola: from Archimedes to the definite integral. 2015. 105 páginas. Trabalho de
Conclusão de Curso de Licenciatura em Matemática - Universidade do Estado de Santa Catarina, Joinville, 2015.
In this work we present a study on the evolution of the squaring
of the parabola, from Archimedes to the definite integral. We
view the squaring using the lever of inscribed triangles method,
Riemann Sums and the definite integral. We also explore the
potential of technological resources of dynamic geometry, specifically GeoGebra, to discuss both the classic and the contemporary problems, aiming at illustrating and verifying, dynamically, the ideas behind the squaring of the parabola. The applied
methodology was of a theoretical and investigatory kind, having as its main goals the structuring of theoretical systems and
models, and the relation and confrontation of hypothesis. The
study performed on Archimedes’s demonstrations presented several properties of the parabola that we did not know, at least
not in the language he proposed, and also showed how brilliant
Archimedes’s vision was to determine such results. Furthermore,
it was possible to notice how GeoGebra can be useful for verifying such properties, as well as results from Calculus.
Key-words: Archimedes. Squaring of the parabola. Riemann
Sums. Definite integral. GeoGebra.
Lista de ilustrações
Figura 1 – Método de exaustão para aproximar a área do círculo. 34
Figura 2 – Método de exaustão para aproximar a área do segmento parabólico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Figura 3 – Segmento parabólico. . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Figura 4 – Segmento parabólico e triângulo inscrito. . . . . . .
35
Figura 5 – Seções do cone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Figura 6 – Seções do cone - imagem da janela interativa do GeoGebra 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Figura 7 – Parábola - imagem da janela interativa do GeoGebra
3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Figura 8 – Fotografia seções do cone: parábola. . . . . . . . . .
38
Figura 9 – Fotografia seções do cone: elipse. . . . . . . . . . . .
38
Figura 10 – Fotografia seções do cone: circunferência. . . . . . .
39
Figura 11 – Fotografia seções do cone: hipérbole. . . . . . . . . .
39
Figura 12 – Segmento parabólico e suas propriedades. . . . . . .
40
Figura 13 – Segmento parabólico - Proposição 1.1. . . . . . . . .
41
Figura 14 – Segmento parabólico - Proposição 1.2. . . . . . . . .
42
Figura 15 – Segmento parabólico - Proposição 1.3. . . . . . . . .
43
Figura 16 – Segmento parabólico - Proposição 1.4. . . . . . . . .
43
Figura 17 – Propriedade da Parábola. . . . . . . . . . . . . . . .
44
Figura 18 – Arquimedes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Figura 19 – Construção do triângulo Δ𝐴𝐵𝐹 . . . . . . . . . . . .
48
Figura 20 – Construção do baricentro do triângulo Δ𝐴𝐵𝐹 . . . .
49
Figura 21 – Propriedade da parábola e Teorema de Tales. . . . .
50
Figura 22 – Método da alavanca de Arquimedes. . . . . . . . . .
51
Figura 23 – Relação entre os triângulos Δ𝐴𝐵𝐶 e Δ𝐴𝐵𝐹. . . . .
52
Figura 24 – Verificação da Lei da Alavanca. . . . . . . . . . . . .
54
Figura 25 – Proposição 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Figura 26 – Caso particular da Proposição 1.7. . . . . . . . . . .
56
Figura 27 – Proposição 1.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Figura 28 – Demonstração da Proposição 1.8. . . . . . . . . . . .
58
Figura 29 – Proposição de Euclides sobre áreas de triângulos. . .
59
Figura 30 – Proposição 1.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Figura 31 – Decomposição do triângulo Δ𝐴𝐵𝐶. . . . . . . . . .
60
Figura 32 – Inscrição de 3 triângulos no segmento parabólico. . .
61
Figura 33 – Inscrição de 7 triângulos no segmento parabólico. . .
62
Figura 34 – Áreas dos triângulos inscritos no segmento parabólico. 66
Figura 35 – Referencial cartesiano para a parábola. . . . . . . .
70
Figura 36 – Modelo de segmento parabólico adotado. . . . . . .
70
Figura 37 – Aproximação da área sob o arco da parábola. . . . .
71
′
Figura 38 – Aproximação da área do triângulo Δ𝐴𝐵𝐵 . . . . . .
71
Figura 39 – Aproximação da área do segmento parabólico 𝑆. . .
72
Figura 40 – Aproximando áreas com retângulos - soma superior.
73
Figura 41 – 𝑓 (𝑐𝑖 ) > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Figura 42 – 𝑓 (𝑐𝑖 ) < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Figura 43 – Diferença de áreas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Figura 44 – Aproximando áreas com retângulos - soma inferior. .
75
Figura 45 – Soma inferior na parábola. . . . . . . . . . . . . . .
76
Figura 46 – Soma inferior na parábola com bases diferentes. . . .
77
Figura 47 – Soma superior na reta. . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
Figura 48 – Soma superior na reta com bases diferentes. . . . . .
80
Figura 49 – Soma inferior no segmento parabólico - com 𝑛 = 1. .
82
Figura 50 – Soma inferior no segmento parabólico - conferência
do desenvolvimento algébrico. . . . . . . . . . . . . .
83
Figura 51 – Soma inferior no segmento parabólico. . . . . . . . .
84
Figura 52 – Soma superior no segmento parabólico. . . . . . . .
84
Figura 53 – Soma à esquerda no segmento parabólico. . . . . . .
85
Figura 54 – Soma inferior - Exemplo 2.2. . . . . . . . . . . . . .
90
Figura 55 – Integral definida da função 𝑓 no intervalo [−2, 0]. . .
93
Figura 56 – Integral definida da função 𝑔 no intervalo [−2, 0]. . .
94
Figura 57 – Área do segmento parabólico do Exemplo 2.3. . . . .
95
Figura 58 – Área do segmento parabólico - Exemplo 2.4. . . . .
97
Lista de abreviaturas e siglas
ABNT
Associação Brasileira de Normas Técnicas
MEC
Ministério da Educação
NCTM
Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar
PMEB
Plano de Matemática do Ensino Básico
Lista de símbolos
𝐴𝑆
Área do segmento de parábola
𝐴Δ𝐴𝐵𝐶
Área do triângulo Δ𝐴𝐵𝐶
R
Conjunto dos números reais
𝑆
Segmento de parábola
𝑆(𝑓, 𝑃 )
Soma inferior da função f na partição 𝑃
𝑆(𝑓, 𝑃 )
Soma superior da função f na partição 𝑃
Δ𝐴𝐵𝐶
Triângulo de vértices A, B e C
Sumário
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1 OS MÉTODOS DE ARQUIMEDES . . . . . . . . . . . . . 33
1.1
ARQUIMEDES: O MATEMÁTICO . . . . . . . . . . .
44
1.2
O MÉTODO DA ALAVANCA . . . . . . . . . . . . . .
47
1.3
O MÉTODO DE TRIÂNGULOS INSCRITOS . . . . .
53
2 A RESOLUÇÃO PELO CÁLCULO . . . . . . . . . . . . . . 69
2.1
SOMAS DE RIEMANN . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
2.2
INTEGRAL DE RIEMANN . . . . . . . . . . . . . . . .
91
CONCLUSÃO
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
25
INTRODUÇÃO
Na matemática grega a determinação de áreas e volumes era
feita por meio de comparações com áreas que até então já se tinha
conhecimento, como, por exemplo, a área de um quadrado. Quadratura
ou quadrar uma figura significava fazer essa determinação de áreas. A
quadratura de uma figura plana, como um círculo ou um polígono, é
um problema proposto pelos antigos geômetras gregos consistindo em
construir, com régua e compasso, um quadrado com a mesma área de da
figura original. Segundo Caglayan (2014), a investigação do problema
da quadratura do círculo, por exemplo, influenciou muito a matemática
antiga, as ciências gregas e levou a muitas invenções, tais como seções
cônicas e curvas cúbicas-quárticas.
Arquimedes encontrou o área da região delimitada por uma parábola e um segmento de
reta. Enquanto esse é um problema fácil para
o estudante de cálculo, hoje, sua solução em
300 a.C. necessitava de uma habilidade matemática considerável. O método de Arquimedes
era preencher a região com um número infinito
de triângulos cada um cuja área ele pode calcular, e, em seguida, avaliar essa soma infinita.
Na sua solução, ele afirmou, sem provas, três
proposições preliminares sobre parábolas que
eram conhecidos no seu tempo, mas não são
amplamente conhecidos hoje. (OSLER, 2005,
p.24, tradução nossa).
Isso nos leva a alguns questionamentos: o infinito já estava
presente na antiguidade? Como ele calculava essa soma de infinitas
áreas de triângulos? Ele usava os infinitesimais de uma maneira que é
semelhante ao que usamos, atualmente, no cálculo integral? Quais são
as proposições que ele afirmou, sem provar?
26
Introdução
Uma constatação frequente no ambiente acadêmico é que os
questionamentos provocam mais transformações do que as respostas.
Uma forma de buscar estas respostas é olhar o que, há muito tempo,
já vem sendo construído na Matemática. Nesse sentido, a História da
Matemática tem seu ponto relevante.
A História da Matemática mostra que ela foi
construída como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos, motivadas por problemas de ordem prática (divisão de terras, cálculo de créditos), por problemas vinculados a outras ciências (Física,
Astronomia), bem como por problemas relacionados a investigações internas à própria Matemática. (BRASIL, 1997, p. 32).
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1997) mencionam que
a História da Matemática pode ser vista como uma forma de resgate
da cultura, uma vez que conceitos abordados em conexão com a sua
origem são disseminadores de informações culturais, sociológicas e antropológicas. Assim, o recurso à História da Matemática pode responder
algumas dúvidas do aluno e contribuir significativamente no processo
de ensino e aprendizagem e na formação de uma visão mais crítica sobre
os objetos de conhecimento.
Além disso, de acordo com Silva (2013), associando a história
ao uso de novas tecnologias essas atividades são mais atrativas para os
alunos e mais fáceis de serem construídas e interpretadas. Nesta cultura
da informática está emergindo um conhecimento por simulação que
torna o computador um recurso didático indispensável e os professores
precisam se atualizar no que diz respeito às tecnologias:
Embora os computadores ainda não estejam
amplamente disponíveis para a maioria das escolas, eles já começam a integrar muitas experiências educacionais, prevendo-se sua utilização em maior escala a curto prazo. Isso
traz como necessidade a incorporação de estudos nessa área, tanto na formação inicial
como na formação continuada do professor do
27
ensino fundamental, seja para poder usar amplamente suas possibilidades ou para conhecer
e analisar softwares educacionais. (BRASIL,
1997, p. 35).
De acordo com as Diretrizes Curriculares da Licenciatura em
Matemática (BRASIL, 2001), dentre as competências e habilidades exigidas do estudante destacamos:
∙ capacidade de compreender, criticar e utilizar novas ideias e
tecnologias para a resolução de problemas.
∙ habilidade de identificar, formular e resolver problemas na
sua área de aplicação, utilizando rigor lógico-científico na análise da
situação-problema. Ainda deseja-se que
Desde o início do curso o licenciando deve adquirir familiaridade com o uso do computador
como instrumento de trabalho, incentivandose sua utilização para o ensino de matemática, em especial para a formulação e solução
de problemas. É importante também a familiarização do licenciando, ao longo do curso,
com outras tecnologias que possam contribuir
para o ensino de Matemática. (BRASIL, 2001,
p. 6).
Porém, o que deve ser feito muitas das vezes não ocorre. No ensino superior o processo de ensino utiliza uma metodologia comumente
tradicional, sem muitas aplicações ou trabalhos práticos. Além disso,
quando existe a teoria e a prática, são vistas de forma disjunta.
Segundo Fiorentini e Oliveira (2013), com o intuito de romper
a tradicional formação do professor de matemática, na qual separa a
formação matemática da formação didático-pedagógica e da prática
profissional surgem algumas mudanças em relação à prática e à pesquisa
sobre formação de professores tais como:
A formação do professor de matemática deve
orientar-se pelas diferentes práticas sociais do
28
Introdução
educador matemático; adotar, na formação inicial, práticas e projetos nos quais os licenciandos possam integrar, fazendo contrastes, problematizações e investigações sobre as relações
entre sua formação matemática na licenciatura, sua formação didático-pedagógica relacionada ao conteúdo, e a complexidade das práticas escolares (FIORENTINI e OLIVEIRA,
2013, p. 918).
Uma boa forma de fazer essas conexões é optar pela integração das tecnologia nos processos de ensino e aprendizagem. O mundo
no qual vivemos está inevitavelmente inserido nesse espaço chamado
tecnologia, o qual a cada segundo que passa se modifica, se atualiza,
fazendo com que nosso mundo se torne cada vez mais dinâmico, exigente e interativo. Isso faz com que cada um de nós necessite de um
bom domínio das tecnologias para garantir um bom espaço no mercado
de trabalho e um bom desenvolvimento pessoal. Deste modo, a escola
possui uma grande responsabilidade de colaborar no desenvolvimento e
na formação da criança, desde o começo da infância até a vida adulta,
deixando-os aptos para se deparar com o mercado de trabalho como
também para possuírem uma vida ativa na sociedade.
É de suma importância que cada um de nós possua um olhar
crítico e inovador, e também que esteja preparado para passar por
novas situações, e diante disso, as escolas não devem enxergar seus
alunos como sujeitos portadores das mesmas características, mas sim
como um conjunto de singularidades, em que cada um aprende de um
jeito e num certo período que implica que um mesmo problema pode
ser resolvido de diferentes formas. Assim, a opção de trabalhar com
a tecnologia no ensino colabora para o desenvolvimento do aluno sem
deixar de lado suas particularidades.
Ribeiro (2012) menciona que as Normas para o Currículo e a
Avaliação em Matemática Escolar (NCTM), apontam como é importante a utilização da tecnologia no ensino e aprendizagem da matemática, ainda mais quando verificamos que a Matemática serve de base
29
para muitas outras disciplinas.
Por um lado, compete, também, à disciplina
de matemática inserir as tecnologias em sala
de aula e, por outro lado, as tecnologias são
uma mais-valia para o professor desenvolver
um bom trabalho em sala de aula. (RIBEIRO,
2012, p.14)
O computador, em muitos casos, permite a exploração de diversos exemplos matemáticos que podem ser considerados difíceis de
serem feitos manualmente, devido ao tempo e a precisão dos cálculos,
além disso ele facilita a visualização das ideias matemáticas. O uso da
tecnologia também faz com que os alunos se mostrem mais motivados
e dispostos a realizarem as atividades, uma vez que o ritual monótono
de papel e lápis é deixado de lado. Como aluna do curso de licenciatura
em matemática e professora em formação, acredito que as aulas de matemática ficam muito mais produtivas quando o tradicional método de
copiar do quadro e resolver operações no caderno é substituído por um
método dinâmico de visualizar de resolver as operações. Deste modo, a
inserção da tecnologia no ensino faz com que o foco da aprendizagem
seja o aluno e também auxilia na relação entre ele e o professor.
Umas das maneiras de se utilizar a tecnologia no ensino da
matemática é por meio do uso de programas de Geometria Dinâmica.
Segundo o Plano de Matemática do Ensino Básico (PMEB):
Os programas computacionais de Geometria
Dinâmica e os applets favorecem igualmente a
compreensão dos conceitos e relações geométricas, pelo que devem ser também utilizados.
(PONTE et al, 2008 apud RIBEIRO, 2012, p.
15).
Existem diversos exemplos de tais programas, como o Cabri
Geométre, o Geogebra e o Cinderella, mas em particular, neste trabalho
iremos utilizar como meio de construções e verificação de propriedades
e cálculos o programa de Geometria Dinâmica GeoGebra. Este software
30
Introdução
além de ser livre e portanto de fácil acesso, é de fácil utilização, possui
construções de curvas já pré-definidas, os comandos são em português,
possui site oficial de consulta e também um manual oficial de utilização.
O GeoGebra proporciona uma boa visualização dos objetos matemáticos como também permite trabalhar diretamente sobre eles e visualizar
as mudanças imediatamente. “O GeoGebra é um software de matemática dinâmica que junta geometria, álgebra e cálculo e é desenvolvido
para aprender e ensinar matemática nas escolas.” (HOHENWARTER;
HOHENWARTER, 2009, p. 6).
Mesmo que o uso da tecnologia no ensino de matemática possa
trazer benefícios à aprendizagem do aluno, é preciso que haja um certo
cuidado pois, todo método de ensino como também a tecnologia pode
ser bem ou mal utilizada. Apenas o uso da tecnologia, sem nenhum embasamento teórico, não implica um ensino eficaz, é necessário repensar
as práticas pedagógicas, no sentido de responder de que forma o uso
dessa ferramenta possa ser um diferencial no aprendizado.
Dentro da comunidade da educação matemática, uma das poucas questões em que há consenso a respeito da discussão sobre tecnologia
é que os computadores por si só não são capazes de trazer qualquer mudança, e que uma intensa discussão pedagógica deve ser realizada.
Em outras palavras, se a decisão é usar a tecnologia em sala de aula, o debate ainda está
aberto sobre como usá-las, a partir da perspectiva do professor e dos alunos, bem como
do ponto de vista de outros atores no cenário
da educação matemática(BORBA; VILLARREAL, 2005 apud OLIVEIRA, 2014, p. 27).
Deste modo, cabe aos professores verificarem a melhor maneira
de trabalhar com recursos computacionais em sala de aula, criar atividades e tarefas matemáticas que utilizem os programas como ferramenta, com o objetivo de auxiliar na aprendizagem dos alunos.
É natural que se pense que o aluno seja um especialista no domínio técnico da ferramenta, porém não é necessário um conhecimento
31
nesse nível. O aluno pode explorar exemplos como também obter um
breve conhecimento sobre os comandos necessários a serem utilizados
nas atividades com a ajuda do professor que deve estar apto a trabalhar com tal programa, ou seja, deve conhecer o que está utilizando. É
importante que o aluno entenda realmente com o que está trabalhando,
pois caso realize as atividades por repetições de casos apresentados pelo
professor, com certeza sua aprendizagem não será significativa.
Para Borba e Penteado (2001 apud OLIVEIRA, 2014, p.28)
mesmo que um professor opte por utilizar a tecnologia como ferramenta para suas aulas, acaba, na maioria dos ambientes escolares, se
deparando com dificuldades oriundas do próprio corpo pedagógico. Tal
resistência pode partir dos outros professores quando se trata de um
trabalho em grupo, pois preferem conduzir suas atividades em uma
“zona de conforto”, onde tais atividades possuem pouco movimento e
não conduzem à incertezas e fatos imprevisíveis ao invés de optar por
uma “zona de risco” onde tais imprevistos entram em cena, ou então
por parte da direção da escola, que não se dispõe na busca existência/permanência de boas condições e materiais para o uso da tecnologia
na escola.
Os computadores na educação matemática têm
ajudado a estabelecer novos cenários para investigação (embora alguns programas fechados tentem eliminar incertezas, ajustando as
atividades ao paradigma do exercício). O computador desafiará a autoridade do professor
(tradicional) de matemática. Alunos trabalhando com, por exemplo, geometria dinâmica facilmente encontram possíveis situações e experiências que os professores não previram ao
planejarem a aula. (SKOVSMOSE, 2000 apud
OLIVEIRA, 2014, p. 29-30).
Nesse cenário, o objetivo deste trabalho é investigar a quadratura da parábola feita por Arquimedes e analisar como o recurso
tecnológico pode auxiliar na compreensão tanto do problema clássico
quanto do moderno, buscando responder como Arquimedes provou a
32
Introdução
quadratura da parábola, como os recursos tecnológicos podem ajudar
na visualização da ideia usada por Arquimedes e como fazer a quadratura da parábola usando as somas de Riemann e a integral definida.
A metodologia utilizada será uma pesquisa teórica eE investigativa, a
qual tem como objetivo principal estruturar sistemas e modelos teóricos, relacionar e confrontar hipóteses, em que adotar-se-ão as etapas
de: estudo do referencial teórico pertinente ao histórico da quadratura
da parábola; estudo a respeito da teoria sobre a evolução do conceito de
quadratura da parábola; exploração dos recursos dinâmicos do software
Geogebra que auxiliam a compreensão do problema.
Este trabalho está inserido nos projetos de pesquisa “Integral
definida - uma abordagem de Arquimedes à Lebesgue” coordenado pela
professora Ivanete Zuchi Siple e “Desmistificação dos épsilons e deltas
no limite pela definição” coordenado pela professora Elisandra Bar de
Figueiredo, visto que a quadratura da parábola é um dos percussores
da integral definida e o método de exaustão é um importante ponto
para evolução do conceito de limite.
Este trabalho está divido da seguinte forma: no Capítulo 1
será apresentado um estudo sobre os métodos da quadratura da parábola feita por Arquimedes e a representação (gráfica e analítica) desses
métodos utilizando os recursos do software de geometria dinâmica GeoGebra. No Capítulo 2 será apresentada a quadratura da parábola por
meio do Cálculo, usando as somas de Riemann e a integral definida,
também explorando algumas das funções do GeoGebra nessa linha e,
finalmente serão apresentadas às conclusões deste trabalho e sugestões
para trabalhos futuros.
33
1 OS MÉTODOS DE ARQUIMEDES
De acordo com Sarvestani (2011) no que diz respeito ao desenvolvimento do Cálculo, Arquimedes é considerado o maior expoente
matemático da antiguidade. Ele provou diversos resultados sobre áreas
e volumes que hoje usamos no cálculo integral. O que o fez distinto,
foi a sua abordagem diferente para dar uma demonstração geométrica
dedutiva. Ele encontrou os resultados por métodos mecânicos com antecedência. Por exemplo, ele determinava a área de uma região usando
o Método da Alavanca e depois aplicava o Método de Exaustão para
demonstrar tal resultado.
Para achar áreas e volumes, o versátil Arquimedes usou sua própria versão primitiva do
cálculo integral, que, de alguma maneira, é
muito semelhante, quanto ao espírito, ao cálculo atual. Numa carta a Eratóstenes, Arquimedes expôs seu “método da alavanca” para
descobrir fórmulas de áreas e volumes. Mas,
quando publicava provas para essas fórmulas,
ele utilizava o método de exaustão para se
ajustar aos padrões de rigor da época. (BOYER,
1993, p.57).
Para determinar a área de uma figura curva, por exemplo, um
círculo, usava o método de exaustão. Tal método, na maioria dos casos,
consistia em inscrever e circunscrever um polígono regular com uma
área conhecida à curva dada e, em seguida, aumentando-se a quantidade de lados dos polígonos inscritos e circunscritos, suas áreas convergiam para um número específico que representava a área desejada.
Como o valor numérico encontrado por esse método é baseado em um
número finito de polígonos, tem-se uma aproximação para a área desejada. (Figura 1).
34
Capítulo 1. OS MÉTODOS DE ARQUIMEDES
Figura 1 – Método de exaustão para aproximar a área do círculo.
Fonte: Produção do próprio autor (adaptado de SARVESTANI (2011), p. 19).
Para encontrar a área de um segmento parabólico, Arquimedes
utilizou o mesmo método da exaustão, porém ele só inscreveu um polígono específico (um triângulo) no interior do segmento parabólico e
aumentando o número de triângulos provou o resultado obtido primeiramente pelo Método da Alavanca, onde Arquimedes equilibrou segmentos de reta e segmentos de parábola entre si (Figura 2).
Figura 2 – Método de exaustão para aproximar a área do segmento parabólico.
C
C
B
B
A
C
A
B
A
Fonte: Produção do próprio autor (adaptado de SARVESTANI (2011), p. 20).
Quando fala-se em quadratura da parábola refere-se em determinar uma relação entre a área de um segmento parabólico, que é
definido pela região delimitada por uma parábola 𝑝 e uma reta 𝑟 que
passa pelos pontos 𝐴 e 𝐵 pertencentes a essa parábola, conforme Figura
3, e um triângulo inscrito nesse segmento.
Arquimedes provou de duas maneiras diferentes, que a área de
um segmento parabólico é 4/3 da área do triângulo Δ𝐴𝐵𝐶 cuja base é
o segmento 𝐴𝐵 e a altura é a maior distância de um ponto da parábola
até o segmento 𝐴𝐵, como representado na Figura 4. Conforme Edwards
(1979), o ponto 𝐶, em que é atingida essa maior distância, é chamado
35
Figura 3 – Segmento parabólico.
Fonte: Produção do próprio autor.
de vértice do segmento parabólico e quando 𝐴𝐵 é perpendicular ao eixo
da parábola 𝐶 coincide com o vértice da parábola (conforme Proposição
1.1 a seguir).
Figura 4 – Segmento parabólico e triângulo inscrito.
Fonte: Produção do próprio autor.
36
Capítulo 1. OS MÉTODOS DE ARQUIMEDES
Para entender as demonstrações de Arquimedes precisamos saber como na época era definida uma parábola e quais as suas propriedades. De acordo em Edwards (1979) a parábola foi definida originalmente
pelos gregos como uma seção cônica, isto é, dado um cone circular duplo
(cone com duas folhas) a parábola é a curva de interseção do cone com
um plano que é paralelo a geratriz do cone. Outras posições do plano
geram elipses, hipérboles e circunferências, como pode ser observado
na Figura 5. A parábola era/é uma curva plana simétrica com relação
a uma linha, chamada de eixo da parábola.
Figura 5 – Seções do cone.
Fonte: Produção do próprio autor.
O software de geometria dinâmica GeoGebra, agora na versão
5, implementou a versão 3D, na qual podemos trabalhar com superfícies. Trabalhando com interseções de superfícies é possível explorar
com o aluno, principalmente os de nível médio e superior, as seções do
cone de maneira dinâmica1 . Nas Figuras 6 e 7 temos imagens da janela
interativa do GeoGebra 3D em que é possível habilitar cada uma das
seções e mudar a sua posição alterando o valor das variáveis.
1
http://tube.geogebra.org/m/Wpe2hRJ4
37
Figura 6 – Seções do cone - imagem da janela interativa do GeoGebra 3D.
Fonte: Produção do próprio autor, adaptado de
http://tube.geogebra.org/material/show/id/1086603.
Figura 7 – Parábola - imagem da janela interativa do GeoGebra 3D.
Fonte: Produção do próprio autor, adaptado de
http://tube.geogebra.org/material/show/id/1086603.
Em paralelo às tecnologias da geometria dinâmica, o uso de
artefatos físicos pode contribuir muito para o processo de ensino e
aprendizagem tanto da Geometria Plana e Espacial como também da
Geometria Analítica. Na nossa experiência como professor e aluno podemos observar que a percepção das representações espaciais é difícil
38
Capítulo 1. OS MÉTODOS DE ARQUIMEDES
para a maioria dos alunos. Neste contexto, professores e pesquisadores
dos grupos de pesquisa do PEMSA (Grupo de Pesquisa em Educação
Matemática e Sistemas Aplicados ao Ensino) da Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC, têm investigado o desenvolvimento
de novas práticas, criação de novos recursos didáticos, utilização da
tecnologia e outras alternativas para professores e alunos nos processos
de ensino e aprendizagem de matemática. No projeto de pesquisa “Integral definida - uma abordagem de Arquimedes à Lebesgue” estão-se
explorando as potencialidades da impressora 3D e como aplicação a esse
trabalho foram modeladas e impressas as seções do cone para facilitar
a visualização e compreensão dos alunos das interseções do cone com
os planos (Figuras 8, 9, 10 e 11).
Figura 8 – Fotografia seções do cone: parábola.
Fonte: Produção do próprio autor.
Figura 9 – Fotografia seções do cone: elipse.
Fonte: Produção do próprio autor.
Edwards (1979) afirma que no tempo de Arquimedes eram conhecidos vários fatos sobre qualquer segmento parabólico os quais Ar-
39
Figura 10 – Fotografia seções do cone: circunferência.
Fonte: Produção do próprio autor.
Figura 11 – Fotografia seções do cone: hipérbole.
Fonte: Produção do próprio autor.
quimedes apenas citou sem prová-los, referindo-se a tratados anteriores
sobre cônicas de Euclides e Aristeu. Atualmente, com o uso das potencialidades do software GeoGebra, podemos verificar facilmente essas propriedades, porém temos a restrição de considerar um segmento
parabólico específico. Sabemos que a menos de rotações e translações
podemos considerar sempre, no plano cartesiano usual, uma parábola
com vértice sobre o eixo 𝑦 com concavidade para baixo, optamos por
essa orientação por ser bem clássica em diversas referências. Assim,
construímos um segmento parabólico a partir da equação de uma parábola, delimitando o domínio usando o comando: Função[ <Função>,
<Valor de x Inicial>, <Valor de x Final> ], para fechar o segmento
usamos o comando de segmento e selecionamos os pontos 𝐴 e 𝐵, como
40
Capítulo 1. OS MÉTODOS DE ARQUIMEDES
na Figura 3.
A seguir enunciaremos, com base da Figura 12, quatro proposições conhecidas na época de Aquimedes (na Seção 1.3 falaremos um
pouco mais desses resultados). Nessas proposições, o ponto 𝐶 é o vértice e 𝐴𝐵 é a base do segmento parabólico delimitado pela parábola 𝑝
e a reta 𝑟.
Figura 12 – Segmento parabólico e suas propriedades.
Fonte: Produção do próprio autor (adaptado de EDWARDS (1979), p. 37).
Proposição 1.1. A linha tangente à parábola em 𝐶 é paralela a base
𝐴𝐵
Proposição 1.2. A linha por 𝐶, paralela ao eixo 𝑒 da parábola, intercepta a base 𝐴𝐵 no seu ponto médio 𝐷.
Proposição 1.3. Toda corda 𝑄𝑄′ paralela a base 𝐴𝐵 é bissectada por
𝐶𝐷, isto é, 𝑄𝑋 = 𝑄′ 𝑋, sendo 𝑋 o ponto de interseção de 𝑄𝑄′ com
𝐶𝐷.
Proposição 1.4. É válido que2
2
𝑄𝑋 2
𝐶𝑋
=
.
𝐶𝐷
𝐵𝐷2
𝑄𝑋 2 é a notação usual que significa (𝑄𝑋)2 .
41
A seguir descrevemos a construção dessas propriedades, apresentamos figuras que ilustram a situação e, para possibilitar ao leitor
explorar esses experimentos de maneira dinâmica, disponibilizamos o
link das implementações no GeoGebra tube.
Para a Proposição 1.1 criamos um ponto 𝑌 sobre o segmento
𝐴𝐵, por ele traçamos a reta perpendicular a 𝐴𝐵 e marcamos o ponto
de interseção dessa reta com a parábola, definindo o ponto 𝑍. Em 𝑍
traçamos a reta tangente à parábola, como na Figura 13. Usando o
comando de mover3 o ponto 𝑌 pode-se observar que, quando o ponto
𝑍 coincide com o ponto 𝐶, ocorre a maior distância entre a reta 𝐴𝐵 e
o segmento parabólico e a tangente em 𝑍 coincide com a reta paralela
a 𝐴𝐵 passando por 𝐶.
Figura 13 – Segmento parabólico - Proposição 1.1.
Fonte: Produção do próprio autor.
Para Proposição 1.2 traçamos pelo ponto 𝐶 uma reta paralela
ao eixo 𝑒 da parábola (uma vez conhecida a equação da parábola, também é conhecido como o seu eixo e podemos traçá-lo) e marcamos a sua
interseção com o segmento 𝐴𝐵 como sendo o ponto 𝐷. Construindo os
segmentos 𝐴𝐷 e 𝐵𝐷 o GeoGebra confirma que 𝐷 é o ponto médio de
3
http://tube.geogebra.org/student/mcegQmwIQ
42
Capítulo 1. OS MÉTODOS DE ARQUIMEDES
𝐴𝐵, pois 𝐴𝐷 = 𝐵𝐷. Figura 14. Além disso, movendo4 o ponto 𝐴 ou o
ponto 𝐵 nota-se que esta relação se mantém.
Figura 14 – Segmento parabólico - Proposição 1.2.
Fonte: Produção do próprio autor.
Para a Proposição 1.3 marcamos um ponto 𝑋 sobre o segmento 𝐶𝐷 e por ele traçamos uma reta paralela a 𝐴𝐵, que intercepta
a parábola nos pontos 𝑄 e 𝑄′ . Construindo os segmentos 𝑄𝑋 e 𝑄′ 𝑋 o
GeoGebra novamente confirma que 𝑋 é ponto médio do segmento 𝑄𝑄′ ,
como pode ser observado na Figura 15. Movendo5 o ponto 𝑋 é possível
ver que essa relação se mantém.
Por fim, para Proposição 1.4, podemos comparar os valores
apresentados na relação e observar que é válida a igualdade (Figura 16)
e novamente movendo6 o ponto 𝑋 nota-se que a relação se mantém.
Além desses fatos precisamos ainda de outro resultado, que
também remonta aos resultados de Euclides, usado por Arquimedes no
Método da Alavanca que estabelece uma relação entre a parábola e
segmentos tangentes a ela.
4
5
6
http://tube.geogebra.org/student/mN9pK9pEh
http://tube.geogebra.org/student/mc0kt5SNo
https://tube.geogebra.org/student/mBWaS3wp9
43
Figura 15 – Segmento parabólico - Proposição 1.3.
Fonte: Produção do próprio autor.
Figura 16 – Segmento parabólico - Proposição 1.4.
Fonte: Produção do próprio autor.
Proposição 1.5. Considere o segmento parabólico com base 𝐴𝐵 e vértice em 𝐶. Sejam 𝐵𝐹 a tangente à parábola em 𝐵, 𝑀 um ponto qualquer
da base 𝐴𝐵, 𝑀 𝑁 paralela ao eixo 𝑒 da parábola passando por 𝑀 e interceptando 𝐵𝐹 em 𝑁 e 𝐿 o ponto de interseção da parábola com 𝑀 𝑁,
como na Figura 17. Então,
𝑀𝑁
𝐴𝐵
=
.
𝐿𝑀
𝐴𝑀
44
Capítulo 1. OS MÉTODOS DE ARQUIMEDES
Como Arquimedes, assumiremos esse resultado como verdadeiro, como verificação pode-se mover7 o ponto 𝑀 e observar que a
relação se mantém.
Figura 17 – Propriedade da Parábola.
Fonte: Produção do próprio autor.
Apresentaremos na sequência um pouco sobre a vida de Arquimedes e as duas demonstrações da quadratura da parábola dadas por
ele.
1.1 ARQUIMEDES: O MATEMÁTICO
Arquimedes (287-212 a.C) (Figura 18) nasceu em Siracusa na
Grécia, porém segundo historiadores passou boa parte de sua vida em
Alexandria, cidade do Egito. Ele possuía um vasto conhecimento não
só no campo da matemática, mas também na invenção de engenhosas
7
http://tube.geogebra.org/m/qmFeaLf3
1.1. ARQUIMEDES: O MATEMÁTICO
45
máquinas de guerra, como catapultas que lançavam pedras entre outros
equipamentos de proteção.
Segundo Eves (2011),
Os trabalhos de Arquimedes são obras-primas
de exposição matemática e lembram, consideravelmente, artigos de revistas especializadas
modernas. Alem de exibirem grande originalidade, habilidade computacional e rigor nas
demonstrações, são escritos numa linguagem
altamente acabada e objetiva. Cerca de dez
tratados de Arquimedes se preservaram até
nossos dias e há vestígios de outros extraviados. Talvez a mais notável das contribuições
feitas à matemática por esses tratados se traduzam no desenvolvimento inicial de alguns
dos métodos do cálculo integral.
Devido a seu pai, Arquimedes também tinha conhecimento a
respeito do campo da astronomia. Segundo Contador (2014), Arquimedes estando com 75 anos de idade estava a desenhar sobre a areia ou até
mesmo sobre um tabuleiro de areia, uma figura ou alguma descoberta
quando foi surpreendido por um soldado romano, o qual o golpeou com
uma espada levando o matemático à morte.
Em uma carta enviada a Eratóstenes, Arquimedes descreve um
“certo método” que viria servir como ferramenta para investigar alguns
problemas matemáticos por meio da mecânica, o qual consistia num
esquema para equilibrar entre si os “elementos” das figuras geométricas
(ÁVILA, 1986, p.31).
Um segmento de reta, por exemplo, deve ser
considerado como formado de pontos; uma área
de superfície plana é imaginada como sendo
constituída de uma quantidade indefinidamente
grande de segmentos de reta paralelos; e uma
figura sólida é considerada como uma totalidade de elementos planos paralelos. (BOYER,
1993, p.5)
46
Capítulo 1. OS MÉTODOS DE ARQUIMEDES
Figura 18 – Arquimedes.
Fonte: EVES, 2011, p.192.
Com base em sua contribuição, acreditamos que Arquimedes
teria muito mais influência no desenvolvimento do cálculo se estivesse
vivido em épocas mais atuais, uma vez que foram realizadas poucas
cópias do seu método, limitando o conhecimento da existência de tal
método. Esse método mecânico originou teoremas referentes a áreas,
volumes e centros de gravidade, os quais Arquimedes provou rigorosamente pelo Método da Exaustão de Eudóxio.
Durante sua vida, o matemático provou diversas propriedades
que envolviam diferentes tipos de figuras planas. Suas descobertas sobre a medida do círculo, trissecção do ângulo, são exemplos de obras
que tiveram um grande impacto na época. As seções cônicas eram conhecidas havia mais de um século quando Arquimedes escreveu sobre
elas, porém nenhum progresso foi realizado a respeito das áreas dessas
figuras. Daí então, conforme Boyer (1996), ele não se limitou a pesquisar a respeito de círculos, coroas circulares ou cilindros, campo no
qual possuía um amplo conhecimento, mas sim se colocou perante o
problema de determinar a área de um segmento parabólico.
1.2. O MÉTODO DA ALAVANCA
47
Arquimedes desenvolveu duas provas distintas da quadratura
da parábola. Na primeira demonstração Arquimedes usou o seu Método da Alavanca, com o qual chegava a resolução da quadratura de
um segmento de parábola, equilibrando retas como fazia com pesos em
mecânica. Já na segunda maneira, o matemático demonstra a propriedade por meio do Método de Exaustão de Eudóxio.
No segundo trabalho, constituído de 24 proposições, mostra-se que a área de um segmento
parabólico é quatro terços da área do triangulo inscrito de mesma base e de vértice no
ponto onde a tangente é paralela a base. A
dedução envolve a soma de uma série geométrica convergente (EVES, 2011, p. 194).
1.2 O MÉTODO DA ALAVANCA
De acordo com Contador (2014),a Quadratura da Parábola foi
o primeiro trabalho desenvolvido por Arquimedes utilizando seu Método da Alavanca. Nessa demonstração o matemático equilibrou entre
si segmentos que formam o triângulo com os segmentos que formam o
segmento parabólico.
Esse método diz que para determinar uma
área ou um volume, corte a região correspondente num número muito grande de tiras planas ou de fatias paralelas finas e (mentalmente)
pendure esses pedaços numa das extremidades
de uma alavanca dada, de tal maneira a estabelecer o equilíbrio com uma figura de área ou
volume e centroide (centro de massa) conhecidos. Arquimedes não se satisfazia com esse
procedimento, daí porque ele recorria ao método de exaustão para fornecer uma demonstração mais rigorosa em casos como o que acabamos de focalizar. Pelo Método de Equilíbrio
pode-se ver a fertilidade da ideia que consiste
em considerar toda grandeza como sendo formada de um número muito grande de porções
atômicas, embora essa ideia não tenha uma
fundamentação precisa. (EVES, 2011, p.422)
48
Capítulo 1. OS MÉTODOS DE ARQUIMEDES
Na sequência apresentamos a demonstração com os mesmo elementos e conhecimentos de Arquimedes na época, porém com notações
atuais. Seja 𝑆 o segmento parabólico delimitado pela parábola 𝑝 e o
segmento 𝐴𝐵, como na Figura 3. Começamos como ilustrado na Figura 19 sendo 𝐷 o ponto médio de 𝐴𝐵. Na sequência traçamos por
𝐵 uma reta tangente à parábola e em 𝐴 uma reta paralela ao eixo 𝑒
da parábola. A interseção dessas duas retas será o ponto 𝐹 e assim
obtemos o triângulo Δ𝐴𝐵𝐹. Ainda por 𝐷 traçando a paralela ao eixo
que intercepta a parábola em 𝐶 e o segmento 𝐵𝐹 em 𝐸. Pelas Proposições 1.1 e 1.2, o ponto 𝐶 é o ponto da parábola de maior distância do
segmento 𝐴𝐵, ou seja, é o vértice do segmento parabólico.
Figura 19 – Construção do triângulo Δ𝐴𝐵𝐹 .
Fonte: Produção do próprio autor.
Como os segmentos 𝐷𝐸 e 𝐴𝐹 são paralelos e 𝐷 é ponto médio
de 𝐴𝐵 segue, da semelhança dos triângulos △𝐴𝐵𝐹 e △𝐷𝐵𝐸, que 𝐸 é
ponto médio do segmento 𝐵𝐹.
1.2. O MÉTODO DA ALAVANCA
49
Seja 𝐾 o ponto médio do segmento 𝐴𝐹 e traçando as medianas
𝐵𝐾, 𝐴𝐸 e 𝐷𝐹 do triângulo Δ𝐴𝐵𝐹, temos que seu ponto de interseção será o ponto 𝐺 chamado de baricentro ou centro de gravidade do
triângulo Δ𝐴𝐵𝐹 (Figura 20).
Figura 20 – Construção do baricentro do triângulo Δ𝐴𝐵𝐹 .
Fonte: Produção do próprio autor.
Como na Figura 21 estendemos 𝐵𝐾 até 𝐻, de modo que 𝐵𝐾 =
1
𝐾𝐻 e pela propriedade do baricentro 𝐾𝐺 = 𝐻𝐾. Por fim traçamos
3
num ponto qualquer 𝑀 de 𝐴𝐵 o segmento 𝑀 𝑁 paralelo ao eixo da
parábola, cortando a base em 𝑀 , a curva em 𝐿, a tangente 𝐵𝐹 em 𝑁
e a mediana 𝐵𝐻 em 𝑂.
Da Proposição 1.5 (Figura 17) tem-se que
𝑀𝑁
𝐴𝐵
=
.
𝐿𝑀
𝐴𝑀
(1.1)
Pelo Teorema de Tales, segundo Contador (2014, p.212), “Quando
um feixe de retas paralelas é seccionado por duas transversais determinam segmentos proporcionais”, nesse caso aplicando às paralelas 𝑀 𝑁
e 𝐴𝐹 sobre os segmentos de reta 𝐵𝐾 e 𝐴𝐵, fazendo o segmento 𝐴𝐵
ser proporcional a 𝐵𝐾 na mesma proporção que 𝐴𝑀 é proporcional a
50
Capítulo 1. OS MÉTODOS DE ARQUIMEDES
Figura 21 – Propriedade da parábola e Teorema de Tales.
Fonte: Produção do próprio autor.
𝑂𝐾, ou seja,
𝐴𝐵
𝐵𝐾
=
.
𝐴𝑀
𝑂𝐾
(1.2)
Considere, agora, o segmento 𝐼𝐽 paralelo ao eixo da parábola
tal que 𝐼𝐽 = 𝑀 𝐿 e tem 𝐻 como ponto médio (Figura 22).
Como 𝐼𝐽 = 𝐿𝑀 e 𝐵𝐾 = 𝐾𝐻, de (1.1) e (1.2), Arquimedes
montou a proporção
𝑀𝑁
𝐵𝐾
𝐾𝐻
=
=
⇒ 𝐼𝐽 · 𝐾𝐻 = 𝑀 𝑁 · 𝑂𝐾
𝐼𝐽
𝑂𝐾
𝑂𝐾
(1.3)
conhecida como Lei da Alavanca.
Arquimedes considerou que se 𝐵𝐻 fosse a barra de uma balança de dois pratos, e 𝐾 o ponto de apoio (fulcro), e se colocasse em
𝐻 um segmento 𝐼𝐽 igual a 𝑀 𝐿, suspenso pelo seu ponto médio em 𝐻,
este ficará em equilíbrio com o segmento 𝑀 𝑁 suspenso por seu ponto
médio em 𝑂, ou seja, peso 𝐼𝐽 colocado a uma distância 𝐾𝐻 do fulcro,
equilibra o peso 𝑀 𝑁 a uma distância 𝑂𝐾 do fulcro.
1.2. O MÉTODO DA ALAVANCA
51
Figura 22 – Método da alavanca de Arquimedes.
Fonte: Produção do próprio autor (adaptado de CONTADOR (2014), p. 306).
Variando 𝑀 sobre o segmento 𝐴𝐵 obtemos o triângulo Δ𝐴𝐵𝐹
como a união de todos segmentos 𝑀 𝑁 e o segmento de parábola como a
união de todos os 𝐿𝑀. Segundo Ávila (1986), agora vem a parte heurística do método, considerando o triângulo Δ𝐴𝐵𝐹 e o segmento de parábola como união dos infinitos 𝑀 𝑁 e 𝐿𝑀, respectivamente, presume-se
que o segmento parabólico se colocado com centro de gravidade em
𝐻, se equilibrará com o triângulo Δ𝐴𝐵𝐹 , com o centro de gravidade
em 𝐺. Nesse ponto temos a ideia dos infinitesimais que não são usados
formalmente por Arquimedes. Assim, de 1.3 temos:
𝐴𝑆 × 𝐾𝐻 = 𝐴△𝐴𝐵𝐹 × 𝐾𝐺,
(1.4)
sendo 𝐴𝑆 a área do segmento parabólico 𝑆 e 𝐴△𝐴𝐵𝐹 a área do triângulo
1
Δ𝐴𝐵𝐹. Como 𝐾𝐺 = 𝐾𝐻, então de (1.4):
3
1
𝐴𝑆 × 𝐾𝐻 = 𝐴△𝐴𝐵𝐹 × 𝐾𝐻.
(1.5)
3
Logo, de (1.5):
𝐴𝑆 =
1
𝐴△𝐴𝐵𝐹 .
3
(1.6)
52
Capítulo 1. OS MÉTODOS DE ARQUIMEDES
Além disso, afirmamos que:
𝐴△𝐴𝐵𝐹 = 4𝐴△𝐴𝐵𝐶 .
(1.7)
Vamos mostrar esta relação. De fato, como 𝐶𝐷 é paralelo a
𝐴𝐾 temos que os triângulos △𝐴𝐵𝐾 e △𝐷𝐵𝐶 são semelhantes (Figura 22). Assim, 𝐴𝐾 = 2𝐶𝐷, pois 𝐷 é ponto médio de 𝐴𝐵. Ainda 𝐾
é ponto médio de 𝐴𝐹, logo 𝐴𝐹 = 4𝐶𝐷. Traçando as alturas 𝐶𝑋 e 𝐹 𝑌
dos triângulos Δ𝐴𝐵𝐶 e Δ𝐴𝐵𝐹 com relação a base 𝐴𝐵, respectivamente, como na Figura 23, temos que os triângulos Δ𝐴𝐹 𝑌 e Δ𝐷𝐶𝑋
são semelhantes, pois 𝐴𝐹 é paralelo a 𝐷𝐶 e 𝐹 𝑌 é paralelo a 𝐶𝑋. Logo,
𝐴𝐹
𝐹𝑌
=
= 4.
𝐶𝑋
𝐷𝐶
Donde, a altura relativa à base 𝐴𝐵 do triângulo Δ𝐴𝐵𝐹 é quatro vezes
a altura do triângulo Δ𝐴𝐵𝐶. Disso segue (1.7).
Figura 23 – Relação entre os triângulos Δ𝐴𝐵𝐶 e Δ𝐴𝐵𝐹.
Fonte: Produção do próprio autor.
Portanto, de (1.6) e (1.7):
𝐴𝑆 =
4
𝐴△𝐴𝐵𝐶
3
(1.8)
1.3. O MÉTODO DE TRIÂNGULOS INSCRITOS
53
concluindo a demonstração da quadratura da parábola pelo Método da
Alavanca.
O software Geogebra, além de ser uma ferramenta prática que
auxilia na construção dos segmentos, possibilita também verificar as
diversas propriedades como exemplificamos durante a demonstração e,
para concluir, podemos ver na Figura 24 as relações finais que precisamos para concluir a demonstração. Na situação dinâmica movendo8 os
pontos 𝐴, 𝐵 ou 𝑀 pode-se notar que as relações 1.1,1.2,1.3 e 1.7 são
mantidas.
O professor tendo em mãos este tipo de ferramenta pode trazer
a sala de aula uma nova forma de explicar conceitos matemáticos aos
alunos, os quais podem aprender de melhor forma uma vez que eles
próprios podem explorar conceitos e exemplos com o auxílio do sofware.
neste caso, o Geogebra pode ser utilizado como um simulador dinâmico,
na qual o aluno pode fazer conjecturas e validá-las ou refutá-las.
1.3 O MÉTODO DE TRIÂNGULOS INSCRITOS
Depois de obter o resultado pelo método da alavanca, Arquimedes provou o resultado com argumentos geométricos, como ele diz
numa carta a Dositeo:
(...) um certo teorema geométrico que não tinha sido investigado antes mas que foi agora
investigado por mim, e que eu descobri primeiro por métodos mecânicos e exibi por meios
geométricos. (ÁVILA, 1986, p.38).
Nessa demonstração, Arquimedes, usa o método de exaustão
de Eudoxo inscrevendo triângulos no segmento parabólico (Figura 2)
e argumentos da dupla redução ao absurdo (reductio ad absurdum):
para demonstrar que 𝑋 = 𝑌, mostra-se que não se pode ter 𝑋 < 𝑌 ou
𝑌 < 𝑋, o que implica em 𝑋 = 𝑌.
8
http://tube.geogebra.org/m/EJjqbf6q
54
Capítulo 1. OS MÉTODOS DE ARQUIMEDES
Figura 24 – Verificação da Lei da Alavanca.
Fonte: Produção do próprio autor.
A seguir enunciaremos algumas das 24 proposições que Arquimedes usou nessa demonstração da quadratura que ele diz estarem no
livro sobre cônicas de Euclides. Provaremos algumas dessas proposições
como consequências das outras (usando apenas argumentos geométricos) e outras apenas construiremos as situações de maneira dinâmica no
GeoGebra para a verificação dos resultados, para tal compartilharemos,
em forma de link, a situação dessas proposições. O desenvolvimento que
apresentaremos segue as argumentações de Arquimedes, com algumas
notações usuais, usamos aqui como referência a vídeo aula: “Tópico de
História da Matemática: Arquimedes”, ministrada pela professora Tatiana Marins Roque, da biblioteca virtual do Mestrado Profissional em
Matemática em Rede Nacional - PROFMAT (ARQUIMEDES, 2013).
Na Figura 25 pode-se observar a situação descrita. Essa proposição relaciona as Proposições 1.1 e 1.2, em que já partimos do fato de
𝐶 ser o ponto sobre a parábola mais distante do segmento 𝐴𝐵. Assim,
1.3. O MÉTODO DE TRIÂNGULOS INSCRITOS
55
aqui obtemos uma maneira como determinar esse ponto 𝐶, mas sem
provar que de fato ele é o ponto mais distante.
Proposição 1.6. [Proposição 1 de Arquimedes] Se por um ponto 𝐶 de
uma parábola traçarmos uma reta 𝐶𝑉 que é o próprio eixo da parábola
ou é paralela a esse eixo, e se 𝐴𝐵 é uma corda paralela à tangente à parábola por 𝐶 e que corta 𝐶𝑉 em 𝑉, então9 𝐴𝑉 = 𝑉 𝐵. Reciprocamente,
se 𝐴𝑉 = 𝑉 𝐵, a corda 𝐴𝐵 será paralela à tangente10 em 𝐶.
Figura 25 – Proposição 1.6
Fonte: Produção do próprio autor
Note que esse é o enunciado completo da Proposição 1.4 (Figura
16). Na situação dinâmica movendo11 𝐵, 𝑄 ou 𝐶 pode-se ver que a
relação é mantida.
Proposição 1.7. [Proposição 3 de Arquimedes] Se por um ponto 𝐶
da parábola traçarmos uma reta 𝐶𝐷 que é paralela ao eixo da parábola
(ou o próprio eixo), e se por dois outros pontos da parábola 𝐵 e 𝑄
9
10
11
http://tube.geogebra.org/student/mLVm8OQRk
http://tube.geogebra.org/student/mO17eozdu
http://tube.geogebra.org/student/mYFoUo8fF
56
Capítulo 1. OS MÉTODOS DE ARQUIMEDES
traçarmos duas retas paralelas à tangente à parábola por 𝐶 e que cortam
𝐶𝐷 respectivamente em 𝐷 e 𝑋, então
𝐶𝐷
𝐵𝐷2
=
.
𝐶𝑋
𝑄𝑋 2
(1.9)
Considerando o caso particular em que 𝐶 é o vértice da parábola, temos que a reta por 𝐶𝐷 será o eixo e assim 𝐶𝐷 será perpendicular a 𝐵𝐷 e 𝑄𝑋 (Figura 26).
Figura 26 – Caso particular da Proposição 1.7.
Fonte: Produção do próprio autor.
Fazendo 𝐶𝐷 = 𝑦, 𝐶𝑋 = 𝑦 ′ , 𝐵𝐷 = 𝑥 e 𝑄𝑋 = 𝑥′ teremos de
(1.9)
𝑦
𝑥2
=
⇒𝑦=
𝑦′
𝑥′2
(︂
𝑦′
𝑥′2
)︂
𝑥2 ⇒ 𝑦 = 𝑘𝑥2 .
Essa relação, que na época de Arquimedes demostrava somente um
conteúdo geométrico, pode ser interpretada, em linguagem atual, como
uma das formas da equação da parábola. No tempo de Arquimedes
não se tinha a noção algébrica que temos hoje, pois tais quantidades
expressas na equação (1.9) nada mais eram que segmentos.
Proposição 1.8. [Proposição 19 de Arquimedes] Sejam 𝐴, 𝐵 e 𝐶 pontos de uma parábola, tal que 𝐴𝐵 é paralelo a reta tangente a parábola em
𝐶. Seja 𝑅 o ponto no segmento parabólico no qual a sua tangente é paralela a 𝐵𝐶. Sejam 𝑀 e 𝑉 os pontos em que as paralelas ao eixo da pará4
bola por 𝑅 e por 𝐶, respectivamente, cortam 𝐴𝐵. Então, 𝐶𝑉 = 𝑅𝑀 .
3
1.3. O MÉTODO DE TRIÂNGULOS INSCRITOS
57
Na Figura 27 está representada a situação descrita no enunciado e movendo12 o ponto 𝐴 ou o ponto 𝐵 pode-se observar que esta
relação é mantida.
Figura 27 – Proposição 1.8.
Fonte: Produção do próprio autor.
Demonstração: Seja 𝑌 o ponto de interseção de 𝐵𝐶 com 𝑅𝑀. Pela
Proposição 1.6 (com 𝑅 = 𝐶, 𝑀 = 𝑉, 𝐶 = 𝐴 e 𝐵 = 𝐵) temos que
𝑌 é ponto médio de 𝐵𝐶. Além disso, temos que o triângulo Δ𝐶𝑉 𝐵 é
semelhante ao triângulo Δ𝑌 𝑀 𝐵. Assim, como 𝑌 divide 𝐵𝐶 ao meio,
então 𝑀 divide 𝐵𝑉 ao meio. Logo, 𝑀 é o ponto médio do segmento
𝐵𝑉.
Seja 𝑅𝑊 paralela a 𝐴𝐵 passando por 𝑅 que intercepta 𝐶𝑉 em
𝑊 (Figura 28). Então, pela Proposição 1.7, temos que
𝐵𝑉 2
𝐶𝑉
=
.
(1.10)
𝐶𝑊
𝑅𝑊 2
Como 𝑅𝑊 𝑉 𝑀 é um paralelogramo temos que 𝐶𝑉 = 𝐶𝑊 + 𝑊 𝑉 =
𝐶𝑊 + 𝑅𝑀 e 𝑅𝑊 = 𝑀 𝑉 assim em (1.10) obtemos
𝐶𝑊 + 𝑅𝑀
(2𝑀 𝑉 )2
=
.
𝐶𝑊
𝑀𝑉 2
Simplificando a equação (1.11) obtemos
1+
12
𝑅𝑀
= 4 ⇒ 𝑅𝑀 = 3𝐶𝑊.
𝐶𝑊
http://tube.geogebra.org/student/mRm2qTdzg
(1.11)
(1.12)
58
Capítulo 1. OS MÉTODOS DE ARQUIMEDES
Figura 28 – Demonstração da Proposição 1.8.
Fonte: Produção do próprio autor.
Ainda de (1.10) temos
𝐶𝑉
(2𝑀 𝑉 )2
1
=
= 4 ⇒ 𝐶𝑉 = 4𝐶𝑊 ⇒ 𝐶𝑊 = 𝐶𝑉.
2
𝐶𝑊
𝑀𝑉
4
(1.13)
Agora de (1.12) e (1.13) obtemos que
𝑅𝑀 =
3
4
𝐶𝑉 ⇒ 𝐶𝑉 = 𝑅𝑀.
4
3
(1.14)
O lema a seguir é uma das proposições de Euclides sobre área
de triângulos que está no livro Os Elementos de Euclides (2009, p. 125)
e será utilizado na demonstração da Proposição 1.9.
Lema 1.1. [Proposição de Euclides] Os triângulos que estão sobre a
mesma base e nas mesmas paralelas são iguais entre si, ou seja, possuem mesma área (Figura 29).
Essa proposição, na contemporaneidade, pode ser interpretada
como a fórmula para se calcular a área de um triângulo, pois quando o
vértice do triângulo percorre uma reta paralela a base, a altura não se
altera e, portanto, a área do triângulo se mantém.
1.3. O MÉTODO DE TRIÂNGULOS INSCRITOS
59
Figura 29 – Proposição de Euclides sobre áreas de triângulos.
Fonte: Produção do próprio autor.
Proposição 1.9. [Proposição 21 de Arquimedes] Seja 𝐴𝐵 a base e 𝐶
o vértice de um segmento parabólico 𝐴𝐵𝐶. Seja 𝑅 o ponto no segmento
parabólico no qual a sua tangente é paralela a 𝐵𝐶. Então, a área do
triângulo Δ𝐴𝐵𝐶 é igual a oito vezes a área do triângulo Δ𝐵𝐶𝑅, ou
seja,
Δ𝐴𝐵𝐶 = 8Δ𝐵𝐶𝑅.
Figura 30 – Proposição 1.9.
Fonte: Produção do próprio autor.
Demonstração:
Sejam 𝐶𝑉 e 𝑅𝑀 como na Proposição 1.8. Provaremos que
os triângulos Δ𝐴𝐶𝑉 e Δ𝐵𝐶𝑉 possuem a mesma área, assim como
60
Capítulo 1. OS MÉTODOS DE ARQUIMEDES
Δ𝐴𝑉 𝑀 e Δ𝐶𝑀 𝐵.
Na Figura 31, considerando a base desses triângulos sobre a
reta 𝐴𝐵, então o vértice está sobre uma paralela, a qual passa por 𝐶.
Pela Proposição 1.6, 𝑉 é o ponto médio de 𝐴𝐵 e na demonstração da
Proposição 1.8 provamos que 𝑀 é ponto médio de 𝐵𝑉. Então, pelo
Lema 1.1, Δ𝐴𝐶𝑉 = Δ𝐵𝐶𝑉 e Δ𝐶𝑀 𝑉 = Δ𝐵𝐶𝑀. Donde,
Δ𝐴𝐵𝐶 = 4Δ𝐵𝐶𝑀.
(1.15)
Figura 31 – Decomposição do triângulo Δ𝐴𝐵𝐶.
Y
Fonte: Produção do próprio autor.
Se provarmos que Δ𝐵𝐶𝑀 = 2Δ𝐵𝐶𝑅, seguirá de (1.15) o resultado desejado.
Seja 𝑌 o ponto de interseção de 𝑅𝑀 e 𝐵𝐶, pela Proposição
4
1.8 temos que 𝐶𝑉 = 𝑅𝑀 e, pela semelhança dos triângulos Δ𝐶𝑉 𝐵
3
e Δ𝑌 𝑀 𝐵, segue que 𝐶𝑉 = 2𝑌 𝑀. Logo,
2𝑌 𝑀 = 𝐶𝑉 =
4
4
𝑅𝑀 = (𝑅𝑌 + 𝑌 𝑀 ) ⇒ 𝑌 𝑀 = 2𝑅𝑌.
3
3
(1.16)
1.3. O MÉTODO DE TRIÂNGULOS INSCRITOS
61
Considerando os triângulos Δ𝐵𝑀 𝑌 e Δ𝐵𝑅𝑌 com bases, respectivamente, 𝑌 𝑀 e 𝑅𝑌 e seu vértice em 𝐵, segue de (1.16) que
Δ𝐵𝑀 𝑌 = 2Δ𝐵𝑅𝑌. De maneira análoga obtemos que Δ𝐶𝑀 𝑌 =
2Δ𝐶𝑅𝑌. Assim,
Δ𝐵𝐶𝑀 = Δ𝐵𝑀 𝑌 + Δ𝐶𝑀 𝑌 = 2Δ𝐵𝑅𝑌 + 2Δ𝐶𝑅𝑌 = 2𝐵𝐶𝑅.
Com as proposições acima podemos então dar continuidade a
demonstração da quadratura da parábola. Vamos mostrar que 𝐴𝑆 =
4
𝑇, em que 𝐴𝑆 é a área do segmento parabólico 𝑆 e 𝑇 é a área do
3
triângulo Δ𝐴𝐵𝐶 como na Figura 4.
Já temos o triângulo Δ𝐴𝐵𝐶 inscrito no segmento de parábola
𝑆, agora inscreveremos, na região que restou entre o triângulo Δ𝐴𝐵𝐶
e 𝑆, os triângulos Δ𝐵𝐶𝐹 e Δ𝐴𝐶𝐺, sendo 𝐹 e 𝐺 os pontos em que as
tangentes a parábola são paralelas, respectivamente, a 𝐵𝐶 e 𝐴𝐶, como
na Figura 32.
Figura 32 – Inscrição de 3 triângulos no segmento parabólico.
Fonte: Produção do próprio autor
62
Capítulo 1. OS MÉTODOS DE ARQUIMEDES
Sendo 𝑇1𝑎 e 𝑇1𝑏 , respectivamente a área dos triângulos Δ𝐵𝐶𝐹
𝑇
e Δ𝐴𝐶𝐺. Sabemos, pela Proposição 1.9 que 𝑇1𝑎 = 𝑇1𝑏 = . Logo,
8
𝑇1 = 𝑇1𝑎 + 𝑇1𝑏 =
𝑇
.
4
(1.17)
Traçando novos triângulos na área que restou entre os últimos
triângulos traçados e o segmento parabólico (Figura 33), mantendo a
mesma regra de construção anterior: a base está sobre os triângulos já
existentes e o vértice no ponto em que a tangente à parábola é paralela
à base.
Figura 33 – Inscrição de 7 triângulos no segmento parabólico.
Fonte: Produção do próprio autor.
Desse modo surgirão mais quatro triângulos nos quais também
vale o resultado da Proposição 1.9, assim,
𝑇2𝑎 = 𝑇2𝑏 = 𝑇2𝑐 = 𝑇2𝑑 =
1 𝑇
𝑇
· = 2.
8 8
8
Logo,
𝑇2 = 𝑇2𝑎 + 𝑇2𝑏 + 𝑇2𝑐 + 𝑇2𝑑 =
𝑇
.
42
(1.18)
1.3. O MÉTODO DE TRIÂNGULOS INSCRITOS
63
Fazendo o mesmo raciocínio concluímos que, construindo sucessivamente triângulos sobre os lados dos triângulos anteriormente construídos e vértice sobre o ponto em que a tangente à parábola é paralela
à base, vamos ter, após 𝑛 etapas, a seguinte soma das áreas de todos
os triângulos construídos é igual a
𝑇+
𝑇
𝑇
𝑇
+ 2 + · · · + 𝑛−1
4
4
4
(1.19)
4
𝑇.
3
Aqui surge o problema, o qual sabemos atualmente se tratar de
a qual Arquimedes provou ser igual a
uma soma infinita (uma série geométrica de razão 1/4), porém Arquimedes não tinha as ferramentas do cálculo infinitesimal que utilizamos
nos dias de hoje. Ele usava argumentos bastantes diferentes dos nossos, como o Método da Exaustão. Para isso precisamos do auxílio da
seguinte proposição.
Proposição 1.10. [Proposição 23 de Arquimedes] Dada uma sucessão
finita de áreas 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, · · · , 𝑌, 𝑍, dais quais 𝐴 é a maior, e cada
uma é quatro vezes maior que sua sucessora, então
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + ··· + 𝑌 + 𝑍 +
4𝐴
𝑍
=
.
3
3
Demonstração: Sabemos que 𝐴 = 4𝐵, 𝐵 = 4𝐶, 𝐶 = 4𝐷, · · · , 𝑌 =
4𝑍. Vamos realizar a seguinte soma:
𝐵+𝐶+𝐷+· · ·+𝑌 +𝑍+
𝐵 𝐶
𝑌 𝑍
4𝐵 4𝐵
4𝑌 4𝑍
+ +· · ·+ + =
+
+· · ·+
+
.
3 3
3 3
3
3
3
3
Como 𝐴 = 4𝐵 e portanto
demais parcela temos:
𝐵 +𝐶 +𝐷+···+𝑌 +𝑍 +
𝐴
4𝐵
=
e usando esse raciocínio para as
3
3
𝐵 𝐶
𝑌
𝑍
𝐴 𝐵
𝑌
+ +···+ + = + +···+ .
3
3
3
3
3
3
3
Somando, agora, 𝐴 em ambos os lados teremos
𝐴+𝐵 +𝐶 +𝐷+· · ·+𝑌 +𝑍 +
𝐵 𝐶
𝑌 𝑍
𝐴 𝐵
𝑌
+ +· · ·+ + = 𝐴+ + +...+
3 3
3 3
3 3
3
64
Capítulo 1. OS MÉTODOS DE ARQUIMEDES
(︂
⇒ 𝐴+𝐵+· · ·+𝑌 +𝑍+
𝐵
𝐶
𝑌
+ + ··· +
3
3
3
)︂
+
(︂
)︂
𝑍
𝐴
𝐵
𝑌
= 𝐴+ +
+ ··· +
3
3
3
3
⇒ 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + ··· + 𝑌 + 𝑍 +
𝑍
𝐴
=𝐴+
3
3
⇒ 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + ··· + 𝑌 + 𝑍 +
4𝐴
𝑍
=
.
3
3
Arquimedes aplica a Proposição 1.10 a soma
𝑇+
𝑇
𝑇
𝑇
+ 2 + · · · + 𝑛−1 ,
4
4
4
pois satisfaz as hipóteses, uma vez que cada uma das parcelas é quatro
1
vezes a seguinte, e então, se somarmos da última parcela, ou seja,
3
𝑇+
o resultado será
𝑇
𝑇
𝑇
1
𝑇
+ 2 + · · · + 𝑛−1 + · 𝑛−1
4
4
4
3 4
4
da maior parcela, desde modo,
3
𝑇+
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
1
4
+ 2 + · · · + 𝑛−1 + · 𝑛−1 = 𝑇.
4
4
4
3 4
3
Enfim, chegamos a proposição conhecida como Quadratura
da Parábola, que afirma o seguinte:
Proposição 1.11. [Proposição 24 de Arquimedes] Qualquer segmento
limitado por uma parábola e uma corda é igual a quatro terços do triângulo que tem a mesma base que o segmento e a mesma altura que
ele.
Demonstração: O argumento principal que caracteriza o Método de
4
Exaustão utilizada por Arquimedes é o seguinte: “Se 𝐴𝑆 ≤ 𝑇 e 𝐴𝑆 ≥
3
4
4
𝑇 , então 𝐴𝑆 = 𝑇 .” Vamos demostrar as duas afirmações supondo
3
3
o contrário e chegando a uma contradição, ou seja, dupla redução ao
absurdo. Deste modo, temos que:
1.3. O MÉTODO DE TRIÂNGULOS INSCRITOS
4
𝑇 :
3
Vamos supor que 𝐴𝑆 >
65
(i) 𝐴𝑆 ≤
4
3 𝑇.
Então, após uma certa quantidade
de etapas de construções de triângulos, vamos ter uma soma que
representa a soma da área 𝐴 dos triângulos, é menor que 𝐴𝑆 e
4
4
maior que 𝑇 , ou seja, 𝐴 < 𝐴𝑆 e 𝐴 > 𝑇 . Assim, podemos
3
3
escrever essa soma da seguinte maneira:
𝐴=𝑇 +
𝑇
𝑇
𝑇
+ 2 + · · · + 𝑛−1 .
4
4
4
Pela proposição 1.10 temos que
𝐴+
donde 𝐴 <
(ii) 𝐴𝑆 ≥
4
4
1 𝑇
1 𝑇
= 𝑇 ⇒ 𝐴= 𝑇−
,
𝑛−1
34
3
3
3 4𝑛−1
4
𝑇 , o que contradiz a suposição feita.
3
4
𝑇 :
3
4
Vamos supor agora que 𝐴𝑆 < 𝑇. Com isso podemos realizar a
3
4
operação 𝑇 −𝐴𝑆 e essa diferença resultará num número positivo.
3
Pela Proposição de Exaustão:
Se de uma grandeza qualquer se subtrai
uma parte não menor que sua metade,
do restante subtrai-se também uma parte
não menor que sua metade, e assim por
diante, se chegará por fim a uma grandeza menor que qualquer outra predeterminada da mesma espécie. (EVES,
2011, p.419).
𝑇
de um
4𝑚−1
dos triângulos obtidos na 𝑚−ésima iteração do procedimento, é
Existirá um inteiro 𝑚 de tal modo que a área 𝑇𝑚 =
menor que essa diferença, ou seja,
4
𝑇 − 𝐴𝑆 > 𝑇𝑚 .
3
(1.20)
Por outro lado,
𝑇𝑚 >
1
1 𝑇
𝑇𝑚 =
.
3
3 4𝑚−1
(1.21)
66
Capítulo 1. OS MÉTODOS DE ARQUIMEDES
Além disso, da Proposição 1.10, segue que
(︂
)︂
𝑇
1 𝑇
4
𝑇
𝑇
𝑇
−
+
=
𝑇
+
+
·
·
·
+
.
3 4𝑚−1
3
4
42
4𝑚−1
(1.22)
Deste modo, de (1.20), (1.21) e (1.22), obtemos
(︂
)︂
4
1 𝑇
4
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇 − 𝐴𝑆 > 𝑇𝑚 >
=
𝑇
−
𝑇
+
+
+
·
·
·
+
.
3
3 4𝑚−1
3
4
42
4𝑚−1
Donde,
𝑇
𝑇
𝑇
+ 2 + · · · + 𝑚−1 ,
4
4
4
o que é um absurdo, pois essa soma representa a áreas dos triân𝐴𝑆 < 𝑇 +
gulos inscritos no segmento parabólico de área 𝐴𝑆 , logo não pode
ser maior que a área desse segmento.
4
𝑇.
3
Usando o sofware GeoGebra pode-se construir os triângulos de
Portanto, concluímos que 𝐴𝑆 =
cada etapa, notando que eles vão exaurindo a área de 𝑆 e, além disso,
determinar suas áreas de maneira dinâmica, verificando os resultados
que compõem a demonstração da Quadratura da Parábola pelo método
de exaustão (Proposição 1.11) (Figura 34).
Figura 34 – Áreas dos triângulos inscritos no segmento parabólico.
Fonte: Produção do próprio autor.
1.3. O MÉTODO DE TRIÂNGULOS INSCRITOS
67
Não só Arquimedes concluiu o resultado da quadratura, mas
também outros matemáticos estudaram sobre tal assunto. As provas do
matemático impulsionaram seus conterrâneos e sucessores a fazer novas descobertas. Segundo Boyer (2013), a geometria dos indivisíveis de
Cavalieri (1598-1647) ganhou popularidade quase imediata e tornou-se,
exceto pelos trabalhos de Arquimedes, a maior fonte de pesquisas matemáticas trabalhando com infinitesimais em geometria que culminaram
com a integral definida de Cauchy (1789-1857) e Riemann (1826-1866).
Boyer (2013) comenta que os problemas envolvendo infinitésimos eram
bem populares nessa época, e que Torricelli (1608-1647) se encantava
com eles. Um exemplo disso, é que em seu trabalho “De dimensione
parabolae”, apresentou vinte e uma provas diferentes da quadratura da
parábola, usando métodos com uso de indivisíveis e de exaustão mais
ou menos com a mesma quantidade de provas. Boyer (2013) afirma que
uma dessas provas assemelha-se muito com o trabalho de Luca Valério
(1552-1618) de inscrever e circunscrever figuras.
69
2 A RESOLUÇÃO PELO CÁLCULO
Depois de verificar a Quadratura da Parábola pelos métodos
de Arquimedes, iremos neste capítulo aproximar a área do segmento
parabólico usando áreas de retângulos que podem ser inscritos ou circunscritos nesse segmento. Essa soma de áreas de retângulos é definida
como a Soma de Riemann.
Para trabalhar com essa aproximação precisamos introduzir um
referencial cartesiano, da geometria analítica, e considerar o arco de parábola 𝑝 e o segmento de reta 𝑟 como porções limitadas do gráfico de
funções. Assim, podemos, por meio das somas de Riemann, aproximar
a área do segmento de parábola e por meio da integral definida determinar o valor exato dessa área, para então comparar com o resultado
obtido por Arquimedes.
Consideremos o segmento de parábola 𝑆 delimitado por uma
parábola 𝑝 e pelo segmento de reta 𝐴𝐵 em que 𝐴 e 𝐵 são pontos da
parábola (Figura 3). Adotaremos o referencial cartesiano 𝑥𝑂𝑦 posicionando o eixo 𝑦 sobre o eixo da parábola 𝑝 com sentido positivo de tal
forma que a parábola tenha a concavidade voltada para baixo e o eixo
𝑥 de modo que um dos pontos do segmento 𝐴𝐵 estejam sobre o eixo 𝑥
e o segmento parabólico fique todo no primeiro e segundo quadrantes.
Algumas possibilidades dessa consideração estão ilustradas na Figura
35.
Com base nessas possibilidades exploraremos o segmento parabólico, como representado na Figura 36, em que a parábola é dada
pela função 𝑓 (𝑥) = −𝑎𝑥2 + 𝑐, com 𝑎 (︂
e 𝑐 √︂
números
)︂ reais positivos e o seg𝑐
, 0 e 𝐵(𝑘, −𝑎𝑘 2 + 𝑐), com
mento 𝐴𝐵 definido pelos pontos 𝐴 −
𝑎
70
Capítulo 2. A RESOLUÇÃO PELO CÁLCULO
Figura 35 – Referencial cartesiano para a parábola.
Fonte: Produção do próprio autor.
(︃
√︂ ]︃
𝑐
𝑘 ∈
−
, dessa forma a equação da reta 𝑟 definida pelos
𝑎
√︂ )︂
(︂
𝑐
pontos 𝐴 e 𝐵 é dada pela equação 𝑔(𝑥) = 𝑚 𝑥 +
, sendo
𝑎
√︂
𝑐
,
𝑎
𝑚=
−𝑎𝑘 2 + 𝑐
√︂ .
𝑐
𝑘+
𝑎
(2.1)
Figura 36 – Modelo de segmento parabólico adotado.
Fonte: Produção do próprio autor.
Para usar as somas de Riemann no segmento parabólico podemos considerar uma diferença da área de duas regiões: a área da região
sob o arco da parábola menos a área do triângulo Δ𝐴𝐵𝐵 ′ (Figuras 37 e
38). Usando a soma com retângulos inscritos na região (chamada soma
inferior) para aproximar a área sob o arco de parábola (Figura 37) e
71
soma com retângulos circunscritos na região (chamada soma superior)
para aproximar a área do triângulo Δ𝐴𝐵𝐵 ′ (Figura 38) obtemos uma
aproximação por retângulos inscritos no segmento parabólico, como na
Figura 39.
Figura 37 – Aproximação da área sob o arco da parábola.
Fonte: Produção do próprio autor.
Figura 38 – Aproximação da área do triângulo Δ𝐴𝐵𝐵 ′ .
Fonte: Produção do próprio autor.
72
Capítulo 2. A RESOLUÇÃO PELO CÁLCULO
Figura 39 – Aproximação da área do segmento parabólico 𝑆.
Fonte: Produção do próprio autor.
2.1 SOMAS DE RIEMANN
Para formalizar o cálculo da área de 𝑆 usando uma aproximação por áreas de retângulos iremos introduzir o caso do cálculo da área
de uma região sob o gráfico de uma função 𝑓 (𝑥) positiva e contínua
para 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].
Primeiro, iremos aproximar a área dessa região pela soma de
áreas de retângulos (em particular, inscritos ou circunscritos), então
tomaremos o limite dessa soma, conforme o número de retângulos aumenta arbitrariamente, conforme a Figura 40, e esse limite, quando
existir, é definido como a integral de Riemann da função 𝑓 no intervalo
[𝑎, 𝑏]. Para essa formalização usaremos Guidorizzi (2000).
Uma partição 𝑃 de um intervalo [𝑎, 𝑏] é um conjunto finito
𝑃 = {𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , ..., 𝑥𝑛 }, 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ... < 𝑥𝑛 = 𝑏. A amplitude
do intervalo [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] será indicada por Δ𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 . Os números Δ𝑥1 , Δ𝑥2 , ..., Δ𝑥𝑛 não são necessariamente iguais; o maior deles
denomina-se amplitude da partição 𝑃 e indica-se por máx Δ𝑥𝑖 .
Assim, definimos
2.1. SOMAS DE RIEMANN
73
Figura 40 – Aproximando áreas com retângulos - soma superior.
a
b
a
b
Fonte: Produção do próprio autor.
Definição 2.1. Sejam 𝑓 uma função definida em [𝑎, 𝑏] e 𝑃 : 𝑎 = 𝑥0 <
𝑥1 < 𝑥2 < ... < 𝑥𝑛 = 𝑏 uma partição de [𝑎, 𝑏]. Para cada índice 𝑖 (𝑖 =
1, 2, 3, ..., 𝑛) seja 𝑐𝑖 um número em [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] escolhido arbitrariamente.
O número
𝑛
∑︁
𝑓 (𝑐𝑖 )Δ𝑥𝑖 = 𝑓 (𝑐1 )Δ𝑥1 + 𝑓 (𝑐2 )Δ𝑥2 + ... + 𝑓 (𝑐𝑛 )Δ𝑥𝑛
(2.2)
𝑖=1
denomina-se soma de Riemann de 𝑓 , relativa à partição 𝑃 e aos
números 𝑐𝑖 .
Observe que, se 𝑓 (𝑐𝑖 ) > 0, então 𝑓 (𝑐𝑖 )Δ𝑥𝑖 será a área do retângulo 𝑅𝑖 determinado pelas retas 𝑥 = 𝑥𝑖−1 , 𝑥 = 𝑥𝑖 , 𝑦 = 0 e 𝑦 = 𝑓 (𝑐𝑖 )
(Figura 41), enquanto se 𝑓 (𝑐𝑖 ) < 0, a área de tal retângulo será dado
pelo valor numérico de −𝑓 (𝑐𝑖 )Δ𝑥𝑖 (Figura 42).
Geometricamente podemos então interpretar a soma de Riemann (2.2) como a diferença entre a soma das áreas dos retângulos 𝑅𝑖
que estão acima do eixo 𝑥 e a soma das áreas dos que estão abaixo do
eixo 𝑥 (Figura 43).
74
Capítulo 2. A RESOLUÇÃO PELO CÁLCULO
Figura 41 – 𝑓 (𝑐𝑖 ) > 0.
f(ci)
a
xi-1 xi
b
Fonte: Produção do próprio autor.
Figura 42 – 𝑓 (𝑐𝑖 ) < 0.
a
xi-1
xi
b
f(ci)
Fonte: Produção do próprio autor.
Como casos particulares de somas de Riemann para funções
limitadas em [𝑎, 𝑏] é usual usar as somas superiores denotadas por
𝑆(𝑓, 𝑃 ), na qual deve-se escolher 𝑐𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] de tal forma que 𝑓 (𝑐𝑖 ) é
o máximo da função no subintervalo, e inferiores denotadas por 𝑆(𝑓, 𝑃 ),
em que escolhe-se 𝑐𝑖 tal que 𝑓 (𝑐𝑖 ) é mínimo da função no subintervalo.
Como a soma de Riemann depende da escolha de 𝑐𝑖 e do número de
retângulos, sempre haverá uma diferença entre essas somas, porém,
quando o número de retângulos tende ao infinito, espera-se que as somas convirjam para o mesmo valor. No caso de uma região 𝑅 totalmente
acima do eixo 𝑥 temos que a soma superior sempre resultará uma área
maior que 𝑅, como ilustra a Figura 40, e a soma inferior resultará uma
área menor que 𝑅 (Figura 44). Assim, se existir a área de 𝑆 conforme o
2.1. SOMAS DE RIEMANN
75
Figura 43 – Diferença de áreas.
a
b
Fonte: Produção do próprio autor.
número de retângulos aumenta o valor dessas duas somas se aproxima.
Figura 44 – Aproximando áreas com retângulos - soma inferior.
a
b
a
b
Fonte: Produção do próprio autor.
A seguir apresentaremos dois exemplos da aproximação da área
76
Capítulo 2. A RESOLUÇÃO PELO CÁLCULO
do segmento parabólico por somas de Riemann, usando a somas inferiores com a amplitude dos subintervalos tomada como constante. O
primeiro exemplo será um caso particular numérico para facilitar a
compreensão e o segundo exemplo generaliza a situação que propomos.
Exemplo 2.1. Considere o segmento parabólico delimitado pela parábola 𝑓 (𝑥) = −𝑥2 + 4 e pela reta 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2. Os pontos de interseção
dessas curvas são 𝐴(−2, 0) e 𝐵(1, 3).
Para resolver esse problema faremos, como já descrito acima,
uma diferença de áreas de regiões: a área sob o arco da parábola 𝑦 =
𝑓 (𝑥) e a área sob a reta 𝑦 = 𝑔(𝑥).
Figura 45 – Soma inferior na parábola.
Fonte: Produção do próprio autor.
A Figura 45 ilustra geometricamente a soma inferior da função 𝑓 referente a uma partição com 9 pontos. Observemos que as alturas dos retângulos inscritos não possuem o mesmo comportamento
em todos os subintervalos da partição. Isso ocorre pois no intervalo
[−2, 0] a função é crescente, logo assume seu ponto de mínimo no extremo esquerdo de cada subintervalo e no intervalo [0, 1] a função é
2.1. SOMAS DE RIEMANN
77
decrescente assumindo seu mínimo no direito de cada subintervalo. Assim, para obter uma expressão para soma inferior em função do número de retângulos inscritos (ou número de pontos da partição) tomaremos uma partição 𝑃 = {𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , · · · , 𝑥𝑛 } do intervalo [−2, 0] e
outra partição 𝑄 = {𝑧0 , 𝑧1 , 𝑧2 , · · · , 𝑧𝑛 } do intervalo [0, 1] de modo que
2
1
Δ𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 = , e Δ𝑧 = 𝑧𝑖 − 𝑧𝑖−1 = , 𝑖 = 1, 2, · · · , 𝑛. Logo, para
𝑛
𝑛
cada 𝑥𝑖 ∈ 𝑃 e para cada 𝑧𝑖 ∈ 𝑄 temos
𝑥0 = −2, 𝑥1 = −2 + Δ𝑥, 𝑥2 = −2 + 2Δ𝑥, · · · , 𝑥𝑛 = −2 + 𝑛Δ𝑥 (2.3)
e
𝑧0 = 0, 𝑧1 = Δ𝑧, 𝑧2 = 2Δ𝑧, · · · , 𝑧𝑛 = 𝑛Δ𝑧.
(2.4)
Observamos que com as partições 𝑃 e 𝑄 como acima, estamos
inserindo 𝑛 retângulos em cada uma das regiões: [−2, 0] e [0, 1]. Como o
intervalo [−2, 0] tem o dobro do comprimento do intervalo [0, 1] teremos
retângulos com bases diferentes em cada região: Δ𝑥 = 2Δ𝑧. A Figura
46 ilustra essa soma.
Figura 46 – Soma inferior na parábola com bases diferentes.
Fonte: Produção do próprio autor.
Faremos agora o cálculo dessas somas.
78
Capítulo 2. A RESOLUÇÃO PELO CÁLCULO
Observação: Para calcular somas inferiores ou superiores, serão usadas as seguintes expressões:
(i) 1 + 2 + 3 + · · · + 𝑘 =
(1 + 𝑘)𝑘
2
(ii) 12 + 22 + 32 + · · · + 𝑘 2 =
𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1)
6
Soma inferior para o intervalo [−2, 0] :
𝑆(𝑓, 𝑃 )
= 𝑓 (𝑥0 )Δ𝑥 + 𝑓 (𝑥1 )Δ𝑥 + 𝑓 (𝑥2 )Δ𝑥 + ... + 𝑓 (𝑥𝑛−1 )Δ𝑥
= 𝑓 (−2)Δ𝑥 + 𝑓 (−2 + Δ𝑥)Δ𝑥 + 𝑓 (−2 + 2Δ𝑥)Δ𝑥 +
... + 𝑓 (−2 + (𝑛 − 1)Δ𝑥)Δ𝑥
=
Δ𝑥[(−(−2)2 + 4) + (−(−2 + Δ𝑥)2 + 4) +
(−(−2 + 2Δ𝑥)2 + 4)
=
+ ... + (−(−2 + (𝑛 − 1)Δ𝑥)2 + 4)]
Δ𝑥[(−4 + 4) + (−(4 − 4Δ𝑥 + (Δ𝑥)2 ) + 4) + ... +
(−(4 − 4(𝑛 − 1)Δ𝑥 + (𝑛 − 1)2 (Δ𝑥)2 ) + 4)]
Δ𝑥[4Δ𝑥(1 + 2 + ... + 𝑛 − 1) − (Δ𝑥)2 (12 + 22 + ... + (𝑛 − 1)2 )]
[︃
(︂ )︂2 (︂
)︂]︃
2
2 𝑛(𝑛 − 1)
2
(𝑛 − 1)𝑛(2𝑛 − 1)
=
4·
−
𝑛
𝑛
2
𝑛
6
[︂
(︂
)︂
]︂
2
2
8
8
4
4
=
4𝑛 − 4 −
(2𝑛3 − 3𝑛2 + 𝑛) = 8 − − + − 2
2
𝑛
3𝑛
𝑛 3 𝑛 3𝑛
16
4
4
=
− − 2
3
𝑛 3𝑛
=
Portanto,
𝑆(𝑓, 𝑃 ) =
16
4
4
− − 2.
3
𝑛 3𝑛
Soma inferior para o intervalo [0, 1] :
(2.5)
2.1. SOMAS DE RIEMANN
𝑆(𝑓, 𝑄)
79
=
𝑓 (𝑧1 )Δ𝑧 + 𝑓 (𝑧2 )Δ𝑧 + 𝑓 (𝑧3 )Δ𝑧 + ... + 𝑓 (𝑧𝑛 )Δ𝑧
=
𝑓 (Δ𝑧)Δ𝑧 + 𝑓 (2Δ𝑧)Δ𝑧 + ... + 𝑓 (𝑛Δ𝑧)Δ𝑧
=
Δ𝑧[𝑓 (Δ𝑧) + 𝑓 (2Δ𝑧) + ... + 𝑓 (𝑛Δ𝑧)
=
Δ𝑧[(−(Δ𝑧)2 + 4) + (−(2Δ𝑧)2 + 4) + ... + (−(𝑛Δ𝑧)2 + 4)
=
Δ𝑧[−Δ𝑧 2 (12 + 22 + ... + 𝑛2 ) + 4𝑛]
[︂
]︂
1
1
1
1
11
−
−
− 2 (2𝑛3 + 3𝑛2 + 𝑛) + 4𝑛 =
𝑛
6𝑛
3
2𝑛 6𝑛2
=
Portanto,
𝑆(𝑓, 𝑄) =
11
1
1
−
− 2.
3
2𝑛 6𝑛
(2.6)
Seja 𝑇 = 𝑃 ∪ 𝑄 uma partição do intervalo [−2, 1]. De (2.5) e
(2.6) obtemos a soma inferior de 𝑓 para o intervalo [−2, 1] :
𝑆(𝑓, 𝑇 ) = 𝑆(𝑓, 𝑃 ) + 𝑆(𝑓, 𝑄) = 9 −
9
3
−
.
2𝑛 2𝑛2
(2.7)
Agora faremos a soma superior na região sob a reta 𝐴𝐵, com
𝑥 ∈ [−2, 1], a Figura 47 ilustra a soma superior da função 𝑔 referente a
uma partição com 9 pontos.
Figura 47 – Soma superior na reta.
Fonte: Produção do próprio autor.
80
Capítulo 2. A RESOLUÇÃO PELO CÁLCULO
Note que as alturas dos retângulos circunscritos possuem o
mesmo comportamento em todos os subintervalos da partição, pois
a função é crescente, logo assume seu ponto de máximo no extremo
direito de cada subintervalo. No entanto, como nosso objetivo é fazer
a diferença da soma inferior de 𝑓 e da soma superior de 𝑔 usaremos
a mesma partição 𝑇 = {𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , · · · , 𝑥𝑛 , 𝑧1 , 𝑧2 , · · · 𝑧𝑛 } do intervalo
2
1
[−2, 1] de modo que Δ𝑥 = , Δ𝑧 = e 𝑥𝑛 = 𝑧0 logo 𝑥𝑖 ∈ 𝑃 e 𝑧𝑖 ∈ 𝑄
𝑛
𝑛
são como em (2.3) e (2.4). Dessa forma, novamente teremos retângulos
com bases diferentes em [−2, 0] e [0, 1] (Figura 48).
Figura 48 – Soma superior na reta com bases diferentes.
Fonte: Produção do próprio autor.
Assim,
𝑆(𝑔, 𝑇 )
=
𝑔(𝑥1 )Δ𝑥 + 𝑔(𝑥2 )Δ𝑥 + ... + 𝑔(𝑥𝑛 )Δ𝑥 +
+𝑔(𝑧1 )Δ𝑧 + 𝑔(𝑧2 )Δ𝑧 + ... + 𝑔(𝑧𝑛 )Δ𝑧
=
𝑔(−2 + Δ𝑥)Δ𝑥 + 𝑔(−2 + 2Δ𝑥)Δ𝑥 + ... + 𝑔(−2 + 𝑛Δ𝑥)Δ𝑥
+𝑔(Δ𝑧)Δ𝑧 + 𝑔(2Δ𝑧)Δ𝑧 + ... + 𝑔(𝑛Δ𝑧)Δ𝑧
=
Δ𝑥[(−2 + Δ𝑥 + 2) + (−2 + 2Δ𝑥 + 2) + ... + (−2 + 𝑛Δ𝑥 + 2)]
+Δ𝑧[(Δ𝑧 + 2) + (2Δ𝑧 + 2) + ... + (𝑛Δ𝑧 + 2)]
(Δ𝑥)2 (1 + 2 + 3 + ... + 𝑛) + (Δ𝑧)2 (1 + 2 + 3 + ... + 𝑛) + 2𝑛Δ𝑧
(︂ )︂2 2
2
𝑛 +𝑛
1 𝑛2 + 𝑛
1
9
5
=
·
+ 2·
+ 2𝑛 · = +
.
𝑛
2
𝑛
2
𝑛
2 2𝑛
=
2.1. SOMAS DE RIEMANN
81
Logo,
𝑆(𝑔, 𝑇 ) =
5
9
+
.
2 2𝑛
(2.8)
Finalmente, das expressões obtidas em (2.7) e (2.8) obtemos a
expressão em termos do número de retângulos inscritos no segmento
parabólico 𝑆 (Figura 39).
𝐴𝑆 ≈ 𝑆(𝑓, 𝑇 ) − 𝑆(𝑔, 𝑇 ) =
7
3
9
− − 2.
2 𝑛 2𝑛
(2.9)
Substituindo valores para 𝑛 obtemos algumas aproximações
(com 2𝑛 retângulos inscritos, visto que inscrevemos 𝑛 no intervalo
[−2, 0] e outros 𝑛 no intervalo [0, 1]):
∙ 𝑛 = 1 ⇒ 2 retângulos ⇒ 𝐴𝑆 ≈ −4;
∙ 𝑛 = 3 ⇒ 6 retângulos ⇒ 𝐴𝑆 ≈ 2;
∙ 𝑛 = 8 ⇒ 16 retângulos ⇒ 𝐴𝑆 ≈
461
≈ 3, 6.
128
A soma quando 𝑛 = 1 é negativa, pois a soma inferior de 𝑓 (𝑥) =
4 − 𝑥2 no intervalo [−2, 0] é nula quando usamos apenas um retângulo,
enquanto a soma superior de 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 nesse intervalo é igual a 4.
No intervalo [0, 1] a soma inferior de 𝑓 é igual a soma superior de 𝑔,
como pode ser observado na Figura 49.
No GeoGebra a simulação dinâmica permite alterar rapidamente o valor de 𝑛 para obter diversas aproximações, mas não é possível obter a expressão geral em termos do número de retângulos usados.
Para conferir com o resultado algébrico do Exemplo 2.1, foi preciso
fazer as somas separadas nos intervalos: [−2, 0] e [0, 1], porém essa quebra não é necessária de maneira geral, pois o GeoGebra constrói os
retângulos inscritos ou circunscritos usando apenas como referência os
valores da função no subintervalo, mas para o cálculo algébrico precisamos controlar o máximo e mínimo da função conforme ela é crescente
82
Capítulo 2. A RESOLUÇÃO PELO CÁLCULO
Figura 49 – Soma inferior no segmento parabólico - com 𝑛 = 1.
Fonte: Produção do próprio autor.
ou decrescente no intervalo original. A Figura 50 ilustra a janela do GeoGebra para o valor de 𝑛 = 8, na situação desenvolvida algebricamente
no Exemplo 2.1.
Movendo1 o controle deslizante de 𝑛 e pode-se observar as aproximações obtidas.
Para fazer a aproximação por somas o GeoGebra oferece três
opções:
∙ SomaDeRiemanÀEsquerda[ <Função>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final>, <Número de Retângulos> ]2 na qual a altura dos
retângulos é assumida no extremo esquerdo de cada subintervalo;
∙ SomaDeRiemannInferior[ <Função>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final>, <Número de Retângulos> ]3 na qual a altura
1
2
3
http://tube.geogebra.org/student/mc4h0NKV4
http://tube.geogebra.org/student/mouJVm82Y
http://tube.geogebra.org/student/mZPQRoDaz
2.1. SOMAS DE RIEMANN
83
Figura 50 – Soma inferior no segmento parabólico - conferência do desenvolvimento
algébrico.
Fonte: Produção do próprio autor.
dos retângulos é assumida no ponto de mínimo da função em cada
subintervalo;
∙ SomaDeRiemannSuperior[ <Função>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final>, <Número de Retângulos>]4 na qual a altura dos
retângulos é assumida no ponto de máximo da função em cada
subintervalo.
Para fazer tais somas no segmento parabólico ainda precisamos
trabalhar com uma diferença de áreas: a área sob o arco de parábola e a
área sob o segmento de reta, porém sem fazer a quebra nos intervalos em
que as funções mudam de comportamento de crescente para decrescente
ou vice versa. Essa quebra é necessária para a conta algébrica para
poder determinar o ponto 𝑐𝑖 do subintervalo em que é assumido o ponto
de máximo ou de mínimo.
4
http://tube.geogebra.org/student/milkgONge
84
Capítulo 2. A RESOLUÇÃO PELO CÁLCULO
Nas Figuras 51, 52 e 53 temos a representação da soma inferior,
superior e à esquerda com 𝑛 = 11 retângulos, respectivamente.
Figura 51 – Soma inferior no segmento parabólico.
Fonte: Produção do próprio autor.
Figura 52 – Soma superior no segmento parabólico.
Fonte: Produção do próprio autor.
2.1. SOMAS DE RIEMANN
85
Figura 53 – Soma à esquerda no segmento parabólico.
Fonte: Produção do próprio autor.
Na sequência apresentamos um exemplo da situação geral como
descrita na introdução deste capítulo.
Exemplo 2.2. Considere o segmento parabólico do nosso caso geral√︂de𝑐
,
limitado pela parábola 𝑓 (𝑥) = −𝑎𝑥2 + 𝑐 e pela reta 𝑔(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑚
𝑎
sendo 𝑚 como em (2.1). Nesse caso os pontos de interseção
dessas
(︃ √︂ √︂
]︃ cur(︂ √︂
)︂
𝑐
𝑐
𝑐
vas são 𝐴 −
, 0 e 𝐵(𝑘, −𝑎𝑘 2 + 𝑐), com 𝑘 ∈ −
,
.
𝑎
𝑎
𝑎
Para este caso faremos como no Exemplo 2.1: a área sob o arco
da parábola 𝑦 = 𝑓 (𝑥) menos a área sob a reta 𝑦 = 𝑔(𝑥).
[︂ √︂
]︂
𝑐
,0
Como a função 𝑓 (𝑥) = −𝑎𝑥 +𝑐 é crescente no intervalo −
𝑎
e decrescente no intervalo [0, 𝑘], caso tenhamos 𝑘 > 0, então o desenvol2
vimento da soma de Riemann inferior precisará ser feita em cada um
desses intervalos, de modo semelhante ao Exemplo 2.1. Assim,
[︂ √︂ toma]︂
𝑐
remos uma partição 𝑃 = {𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , · · · , 𝑥𝑛 } do intervalo −
,0 e
𝑎
outra partição 𝑄 = {𝑧0 , 𝑧1 , 𝑧2 , · · · , 𝑧𝑛 } do intervalo [0, 𝑘] de modo que
86
Capítulo 2. A RESOLUÇÃO PELO CÁLCULO
√
𝑐
𝑘
Δ𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 = √ , e Δ𝑧 = 𝑧𝑖 − 𝑧𝑖−1 = , 𝑖 = 1, 2, · · · , 𝑛. Logo,
𝑛
𝑎𝑛
para cada 𝑥𝑖 ∈ 𝑃 e para cada 𝑧𝑖 ∈ 𝑄 temos
√︂
𝑥0 = −
𝑐
, 𝑥1 = −
𝑎
√︂
√︂
𝑐
𝑐
+ Δ𝑥, · · · , 𝑥𝑛 = −
+ 𝑛Δ𝑥
𝑎
𝑎
(2.10)
e
𝑧0 = 0, 𝑧1 = Δ𝑧, 𝑧2 = 2Δ𝑧, · · · , 𝑧𝑛 = 𝑛Δ𝑧.
(2.11)
Observamos que com as partições 𝑃 e 𝑄 como
[︂√︂ acima,
]︂ estamos
𝑐
inserindo 𝑛 retângulos em cada uma das regiões:
, 0 e [0, 𝑘]. Se
𝑎
√︂
𝑐
𝑘<
então teremos Δ𝑥 > Δ𝑧.
𝑎
Faremos agora o cálculo dessas somas.
[︂ √︂
]︂
𝑐
Soma inferior para o intervalo −
,0 :
𝑎
2.1. SOMAS DE RIEMANN
𝑆(𝑓, 𝑃 )
=
=
=
=
=
=
=
87
𝑓 (𝑥0 )Δ𝑥 + 𝑓 (𝑥1 )Δ𝑥 + 𝑓 (𝑥2 )Δ𝑥 + ... + 𝑓 (𝑥𝑛−1 )Δ𝑥
(︂ √︂
)︂
(︂ √︂
)︂
(︂ √︂ )︂
𝑐
𝑐
𝑐
Δ𝑥 + 𝑓 −
+ Δ𝑥 Δ𝑥 + 𝑓 −
+ 2Δ𝑥 Δ𝑥 +
𝑓 −
𝑎
𝑎
𝑎
(︂ √︂
)︂
𝑐
... + 𝑓 −
+ (𝑛 − 1)Δ𝑥 Δ𝑥
𝑎
[︃ (︃ (︂ √︂ )︂2
)︃ (︃ (︂ √︂
)︃
)︂2
𝑐
𝑐
Δ𝑥
−𝑎 −
+ 𝑐 + −𝑎 −
+ Δ𝑥 + 𝑐 +
𝑎
𝑎
(︃ (︂ √︂
)︃
)︂2
𝑐
−𝑎 −
+ 2Δ𝑥 + 𝑐 + ... +
𝑎
(︃ (︂ √︂
)︃ ]︃
)︂2
𝑐
−𝑎 −
+ (𝑛 − 1)Δ𝑥 + 𝑐
𝑎
[︃
√︂
)︂
)︂
(︁ (︁ 𝑐 )︁
)︁ (︂ (︂ 𝑐
𝑐
2
Δ𝑥 −𝑎
− 2Δ𝑥
+ (Δ𝑥) + 𝑐
+ 𝑐 + −𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
√︂
(︂ (︂
)︂
)︂
𝑐
𝑐
2
+ −𝑎
− 4Δ𝑥
+ 4(Δ𝑥) + 𝑐 + ... +
𝑎
𝑎
√︂
(︂ (︂
)︂
)︂ ]︃
𝑐
𝑐
2
2
−𝑎
− 2(𝑛 − 1)Δ𝑥
+ (𝑛 − 1) (Δ𝑥) + 𝑐
𝑎
𝑎
√︂
𝑐
2𝑎
(Δ𝑥)2 (1 + 2 + · · · + (𝑛 − 1))
𝑎
−𝑎(Δ𝑥)3 (12 + 22 + · · · + (𝑛 − 1)2 )
(︂ √︂ )︂2 2
(︂ √︂ )︂3
√
1 𝑐
𝑛 −𝑛
1 𝑐
2𝑛3 − 3𝑛2 + 𝑛
2 𝑎𝑐
·
−𝑎
·
𝑛 𝑎
2
𝑛 𝑎
6
)︂
√ (︂
𝑐 𝑐 2
1
1
√
−
−
.
𝑎 3 2𝑛 6𝑛2
Portanto,
)︂
√ (︂
𝑐 𝑐 2
1
1
𝑆(𝑓, 𝑃 ) = √
−
−
.
𝑎 3 2𝑛 6𝑛2
Fazendo 𝑎 = 1 e 𝑐 = 4 obtemos o mesmo valor que em (2.5).
Soma inferior para o intervalo [0, 𝑘] :
(2.12)
88
𝑆(𝑓, 𝑄)
Capítulo 2. A RESOLUÇÃO PELO CÁLCULO
= 𝑓 (𝑧1 )Δ𝑧 + 𝑓 (𝑧2 )Δ𝑧 + 𝑓 (𝑧3 )Δ𝑧 + ... + 𝑓 (𝑧𝑛 )Δ𝑧
= 𝑓 (Δ𝑧)Δ𝑧 + 𝑓 (2Δ𝑧)Δ𝑧 + ... + 𝑓 (𝑛Δ𝑧)Δ𝑧
=
Δ𝑧[(−𝑎(Δ𝑧)2 + 𝑐) + (−𝑎(2Δ𝑧)2 + 𝑐) + ... + (−𝑎(Δ𝑧)2 + 𝑐)
Δ𝑧[−𝑎(Δ𝑧)2 (12 + 22 + ... + 𝑛2 ) + 𝑐𝑛]
]︂
(︂
[︂
)︂
𝑘
1
1
1
𝑘 2 2𝑛3 + 3𝑛2 + 𝑛
3
=
+ 𝑐𝑛 = −𝑎𝑘
+
+
−𝑎 2
+ 𝑐𝑘
𝑛
𝑛
6
3 2𝑛 6𝑛2
𝑎𝑘 3
𝑎𝑘 3
3𝑐𝑘 − 𝑎𝑘 3
−
− 2.
=
3
2𝑛
6𝑛
=
Portanto,
𝑆(𝑓, 𝑄) =
𝑎𝑘 3
𝑎𝑘 3
3𝑐𝑘 − 𝑎𝑘 3
−
− 2.
3
2𝑛
6𝑛
(2.13)
Fazendo 𝑎 = 1 e 𝑐 = 4 obtemos o mesmo valor que em (2.6).
[︂ √︂
]︂
𝑐
Seja 𝑇 = 𝑃 ∪𝑄 uma partição do intervalo −
, 𝑘 . De (2.12)
𝑎[︂ √︂
]︂
𝑐
e (2.13) obtemos a soma inferior de 𝑓 para o intervalo −
,𝑘 :
𝑎
𝑆(𝑓, 𝑇 ) = 𝑆(𝑓, 𝑃 ) + 𝑆(𝑓, 𝑄)
(︂
)︂
√
√
√
√
√
2𝑐 𝑐 + 3𝑐 𝑎𝑘 − 𝑎 𝑎𝑘 3
𝑐 𝑐 + 𝑎 𝑎𝑘 3 1
1
√
√
𝑆(𝑓, 𝑇 ) =
−
+
(. 2.14)
𝑛 3𝑛2
3 𝑎
2 𝑎
Agora]︂ faremos a soma superior na região sob a reta 𝐴𝐵, como
[︂ √︂
𝑐
𝑥∈ −
, 𝑘 . Como 𝑔 é uma função crescente temos que os pontos de
𝑎
máximo em cada subintervalo estão no extremo direito, logo não haveria
a necessidade de fazer a soma separada. Porém como nosso objetivo é fazer a diferença da soma inferior de 𝑓 e da soma superior de 𝑔, novamente
usaremos
mesma
2 , · · · , 𝑥𝑛 , 𝑧1 , 𝑧2 , · · · 𝑧𝑛 } do in[︂ a√︂
]︂ partição 𝑇 = {𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥√
𝑐
𝑐
𝑘
tervalo −
, 𝑘 , de modo que Δ𝑥 = √ , Δ𝑧 =
e 𝑥𝑛 = 𝑧0 logo
𝑎
𝑛
𝑎𝑛
𝑥𝑖 ∈ 𝑃 e 𝑧𝑖 ∈ 𝑄 são como em (2.10) e (2.11). Dessa forma, novamente
2.1. SOMAS DE RIEMANN
89
[︂√︂
teremos retângulos com bases diferentes em
√︂
𝑐
. Assim,
𝑘<
𝑎
𝑆(𝑔, 𝑇 )
]︂
𝑐
− , 0 e [0, 𝑘], caso
𝑎
= 𝑔(𝑥1 )Δ𝑥 + 𝑔(𝑥2 )Δ𝑥 + ... + 𝑔(𝑥𝑛 )Δ𝑥 +
+𝑔(𝑧1 )Δ𝑧 + 𝑔(𝑧2 )Δ𝑧 + ... + 𝑔(𝑧𝑛 )Δ𝑧
(︂ √︂
)︂
(︂ √︂
)︂
𝑐
𝑐
= 𝑔 −
+ Δ𝑥 Δ𝑥 + 𝑔 −
+ 2Δ𝑥 Δ𝑥 + ... +
𝑎
𝑎
)︂
(︂√︂
𝑐
+ 𝑛Δ𝑥 Δ𝑥 + 𝑔(Δ𝑧)Δ𝑧 + 𝑔(2Δ𝑧)Δ𝑧 + ... + 𝑔(𝑛Δ𝑧)Δ𝑧
𝑔
𝑎
[︃ (︂ √︂
√︂ )︂
√︂ )︂
(︂ √︂
𝑐
𝑐
𝑐
𝑐
= Δ𝑥 𝑚 −
+ Δ𝑥 +
+𝑚 −
+ 2Δ𝑥 +
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
√︂ )︂ ]︃
(︂ √︂
𝑐
𝑐
+... + 𝑚 −
+ 𝑛Δ𝑥 +
𝑎
𝑎
(︃
(︃
[︃ (︃
√︂ )︃
√︂ )︃]︃
√︂ )︃
𝑐
𝑐
𝑐
+ 𝑚 2Δ𝑧 +
+ ... + 𝑚 𝑛Δ𝑧 +
+Δ𝑧 𝑚 Δ𝑧 +
𝑎
𝑎
𝑎
= 𝑚(Δ𝑥)2 (1 + 2 + 3 + ... + 𝑛)
√︂
𝑐
+𝑚(Δ𝑧) (1 + 2 + 3 + ... + 𝑛) + 𝑚
𝑛Δ𝑧
𝑎
√︂
(︂
)︂ 2
𝑐
𝑘2
𝑛 +𝑛
𝑐𝑘
+𝑚
·𝑛
𝑚
+
·
2
2
𝑎𝑛
𝑛
2
𝑎𝑛
√
𝑚(𝑐 + 𝑎𝑘 2 + 2 𝑎𝑐𝑘) 𝑚(𝑐 + 𝑎𝑘 2 )
=
+
.
2𝑎
2𝑛
2
Logo,
𝑆(𝑔, 𝑇 ) =
√
𝑚(𝑐 + 𝑎𝑘 2 + 2 𝑎𝑐𝑘) 𝑚(𝑐 + 𝑎𝑘 2 )
+
.
2𝑎
2𝑛
(2.15)
Fazendo 𝑎 = 1 e 𝑐 = 4 obtemos o mesmo valor que em (2.8).
Finalmente, das expressões obtidas em (2.14) e (2.15) obtemos
a expressão para a área do segmento parabólico em termos do número
de retângulos inscritos no segmento parabólico 𝑆.
90
Capítulo 2. A RESOLUÇÃO PELO CÁLCULO
𝐴𝑆 ≈ 𝑆(𝑓, 𝑇 ) − 𝑆(𝑔, 𝑇 )
(︂
)︂
√
√
√
√
√
2𝑐 𝑐 + 3𝑐 𝑎𝑘 − 𝑎 𝑎𝑘 3
𝑐 𝑐 + 𝑎 𝑎𝑘 3 1
1
√
√
=
−
+
𝑛 3𝑛2
3 𝑎
2 𝑎
√
𝑚(𝑐 + 𝑎𝑘 2 + 2 𝑎𝑐𝑘) 𝑚(𝑐 + 𝑎𝑘 2 )
−
.
(2.16)
−
2𝑎
2𝑛
De forma análoga ao Exemplo 2.1, o GeoGebra permite a simulação dinâmica para explorar vários valores para 𝑎, 𝑐 e 𝑘. Além disso,
para cada um desses valores é possível fazer as aproximações da área do
segmento parabólico pelas somas de Riemann. Para ilustrar a situação
do Exemplo 2.2, construímos as somas análogas às da resolução. O resultado pode ser observado na Figura 54, na implementação dinâmica5
pode-se alterar os valores de 𝑎, 𝑐 e 𝑘 para mudar o segmento parabólico
e 𝑛 para ter aproximações com uma quantidade variável de retângulos.
Figura 54 – Soma inferior - Exemplo 2.2.
Fonte: Produção do próprio autor.
5
http://tube.geogebra.org/m/SpxKsLR4
2.2. INTEGRAL DE RIEMANN
91
2.2 INTEGRAL DE RIEMANN
Depois de verificar o resultado da área do segmento parabólico
por meio das somas de Riemann, vamos agora obter o valor mais preciso
da área de tais regiões.
Definição 2.2. Seja 𝑓 uma função definida em [𝑎, 𝑏] e 𝐿 um número
∑︀𝑛
real. Dizemos que 𝑖=1 𝑓 (𝑐𝑖 )Δ𝑥𝑖 tende a 𝐿, quando máx Δ𝑥𝑖 −→ 0, e
escrevemos
𝑛
∑︁
lim
𝑚á𝑥Δ𝑥𝑖 →0
𝑓 (𝑐𝑖 )Δ𝑥𝑖 = 𝐿
𝑖=1
se, para todo 𝜖 > 0, existir um 𝛿 > 0 que só dependa de 𝜖, mas não da
particular escolha dos 𝑐𝑖 , tal que
|
𝑛
∑︁
𝑓 (𝑐𝑖 )Δ𝑥𝑖 − 𝐿| < 𝜖
𝑖=1
para toda partição 𝑃 = {𝑥0 , 𝑥1 , · · · , 𝑥𝑛 } de [𝑎, 𝑏], com máx Δ𝑥𝑖 < 𝛿
e 𝑐𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ], 𝑖 = 1, 2, · · · , 𝑛. Tal número 𝐿, que quando existe é
único, denomina-se integral de Riemann de 𝑓 em [𝑎, 𝑏] e indica-se
∫︀ 𝑏
por 𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥.
Então, por definição,
∫︁
𝑏
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 =
𝑎
lim
𝑚á𝑥Δ𝑥𝑖 →0
𝑛
∑︁
𝑓 (𝑐𝑖 )Δ𝑥𝑖 .
𝑖=1
Estamos assumindo as propriedades e Teoremas clássicos sobre integral de Riemann, como referência pode-se consultar Guidorizzi
(2000), em particular, sabe-se que toda função contínua é integrável.
Logo, as funções que delimitam o segmento parabólico são integráveis.
Além disso, observe que conforme máxΔ𝑥 tente para zero tem-se que
o número de retângulos construídos na soma de Riemann tende para o
infinito, ou seja, 𝑛 tente para infinito. Assim, calculando o limite das
somas obtidas em (2.9) e (2.16) temos que a área do segmento definido
no Exemplo 2.1 tendo calculado o limite é
92
Capítulo 2. A RESOLUÇÃO PELO CÁLCULO
𝐴𝑆 = lim
𝑛→∞
9
7
3
9
− −
= u.a.
2 𝑛 2𝑛2
2
(2.17)
e a área do segmento do Exemplo 2.2 é
(︂
)︂
√
√
√
√
√
2𝑐 𝑐 + 3𝑐 𝑎𝑘 − 𝑎 𝑎𝑘 3
𝑐 𝑐 + 𝑎 𝑎𝑘 3 1
1
√
√
−
+
−
𝐴𝑆 = lim
𝑛→∞
𝑛 3𝑛2
3 𝑎
2 𝑎
√
𝑚(𝑐 + 𝑎𝑘 2 + 2 𝑎𝑐𝑘) 𝑚(𝑐 + 𝑎𝑘 2 )
−
2𝑎
2𝑛
(︃
=
)︃
√
√
√
√
2𝑐 𝑐 + 3𝑐 𝑎𝑘 − 𝑎 𝑎𝑘 3
𝑚(𝑐 + 𝑎𝑘 2 + 2 𝑎𝑐𝑘)
√
u.a..
−
2𝑎
3 𝑎
(2.18)
Calcular as somas de Riemann e consequentemente seu limite
nem sempre é uma tarefa fácil, para contornar esse problema tem-se,
para a classe das funções contínuas, o Teorema Fundamental do Cálculo
(TFC), que faz a conexão entre a integral definida e a primitiva da
função.
Teorema 2.1 (TFC). Se 𝑓 : [𝑎, 𝑏] → R é contínua e 𝐹 é uma primitiva
∫︁ 𝑏
de 𝑓 em [𝑎, 𝑏], então
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑏) − 𝐹 (𝑎).
𝑎
Deste modo, podemos novamente fazer relação entre a quadratura da parábola e a integral, pois por meio da integral também
podemos calcular áreas. Novamente, como no caso das somas de Riemann, precisamos saber com qual função estamos trabalhando para
assim realizar os cálculos. Vamos utilizar os mesmos exemplos da Seção
2.1 e calcular as áreas por meio da integral de Riemann.
Exemplo 2.3. Considere o segmento parabólico delimitado pela parábola 𝑓 (𝑥) = −𝑥2 + 4 e pela reta 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2. Os pontos de interseção
dessas curvas são 𝐴(−2, 0) e 𝐵(1, 3).
2.2. INTEGRAL DE RIEMANN
93
Figura 55 – Integral definida da função 𝑓 no intervalo [−2, 0].
Fonte: Produção do próprio autor.
Da mesma forma que nas somas de Riemann, para este caso
faremos uma diferença de áreas de regiões: a área sob o arco da parábola
𝑦 = 𝑓 (𝑥) e a área sob a reta 𝑦 = 𝑔(𝑥).
A Figura 55 ilustra a área da região 𝐴𝑝 sob a curva 𝑦 = 𝑓 (𝑥)
calculada pela integral da função 𝑓 no intervalo [−2, 1]. Note que a
função 𝑓 é contínua em todo o intervalo [−2, 1], logo podemos usar o
TFC.
∫︁
𝐴𝑝
1
=
(−𝑥2 + 4)𝑑𝑥
−2
⃒1
[︂
]︂ [︂
]︂
⃒
𝑥3
(1)3
(−2)3
⃒
= − + 4𝑥⃒ = −
+ 4(1) − −
+ 4(−2) = 9.
⃒
3
3
3
−2
Portanto,
∫︁
1
𝐴𝑝 =
−2
(−𝑥2 + 4)𝑑𝑥 = 9.
(2.19)
94
Capítulo 2. A RESOLUÇÃO PELO CÁLCULO
Agora faremos o cálculo para a região sob a reta 𝐴𝐵, isto é, o
cálculo da área 𝐴𝑟 abaixo da função 𝑔. A Figura 56 ilustra essa área.
Figura 56 – Integral definida da função 𝑔 no intervalo [−2, 0].
Fonte: Produção do próprio autor.
Como a função 𝑔 é contínua em todo o intervalo [−2, 1] temos
∫︁
𝐴𝑟
1
=
(𝑥 + 2)𝑑𝑥
−2
=
⃒1
]︂ [︂
]︂
[︂ 2
⃒
𝑥2
(1)
(−2)2
9
⃒
+ 2𝑥⃒ =
+ 2(1) −
+ 2(−2) = .
⃒
2
2
2
2
−2
Portanto,
∫︁
1
𝐴𝑟 =
(𝑥 + 2)𝑑𝑥 =
−2
9
.
2
(2.20)
Deste modo, podemos agora calcular a área 𝐴𝑆 por meio dos
valores obtidos na integral da função 𝑓 (2.19 ) e da função 𝑔 (2.20).
Assim,
𝐴 = 𝐴𝑝 − 𝐴𝑟 = 9 −
9
9
=
2
2
(2.21)
2.2. INTEGRAL DE RIEMANN
95
esse resultado coincide com o obtido pelo cálculo do limite da soma
inferior em (2.17). A Figura 57 mostra exatamente a área do segmento
parabólico.
Figura 57 – Área do segmento parabólico do Exemplo 2.3.
Fonte: Produção do próprio autor.
Exemplo 2.4. Considere o segmento parabólico do nosso caso geral
delimitado
pela parábola 𝑓 (𝑥) = −𝑎𝑥2 + 𝑐 e pela reta 𝑔(𝑥) = 𝑚𝑥 +
√︂
𝑐
, sendo 𝑚 como em (2.1). Nesse caso os pontos de interseção
𝑚
𝑎
(︂ √︂
)︂
(︁ √︂ 𝑐 √︂ 𝑐 ]︁
𝑐
dessas curvas são 𝐴 −
, 0 e 𝐵(𝑘, −𝑎𝑘 2 +𝑐) com 𝑘 ∈ −
,
.
𝑎
𝑎
𝑎
Como 𝑓 e 𝑔 são funções contínuas em
[︁
√︂
−
𝑐 ]︁
, 𝑘 , temos pelo
𝑎
TFC:
⃒𝑘
⃒
𝑎𝑥3
⃒
=
√ 𝑐 (−𝑎𝑥 + 𝑐)𝑑𝑥 = − 3 + 𝑐𝑥⃒⃒ √
− 𝑎
𝑐
− 𝑎
[︃
√︀ 𝑐 3
√︂ )︂]︃
[︂
]︂
(︂
𝑎(− 𝑎 )
𝑎(𝑘)3
𝑐
=
−
+ 𝑐𝑘 − −
+𝑐 −
3
3
𝑎
√
√
√
√
√
3
𝑎𝑘
𝑐 𝑐
𝑐 𝑐
2𝑐 𝑐 + 3𝑐 𝑎𝑘 − 𝑎 𝑎𝑘 3
√
= −
+ 𝑐𝑘 − √ + √ =
u.a..
3
3 𝑎
𝑎
3 𝑎
∫︁
𝐴𝑝
𝑘
2
96
Capítulo 2. A RESOLUÇÃO PELO CÁLCULO
Portanto,
√
√
√
2𝑐 𝑐 + 3𝑐 𝑎𝑘 − 𝑎 𝑎𝑘 3
√
𝐴𝑝 = √ (−𝑎𝑥 + 𝑐)𝑑𝑥 =
u.a..
𝑐
3 𝑎
− 𝑎
∫︁
𝑘
2
(2.22)
Agora para região sob a reta, temos
√︂ ⃒⃒𝑘
√︂ )︂
𝑐
𝑐 ⃒
𝑚𝑥2
√ 𝑐 𝑚𝑥 + 𝑚 𝑎 𝑑𝑥 = 2 + 𝑚 𝑎 𝑥⃒⃒ √
− 𝑎
𝑐
− 𝑎
[︃ (︀ √︀ )︀2
√︂
√︂
√︂ )︂]︃
]︂
[︂
(︂
𝑚 − 𝑎𝑐
𝑚(𝑘)2
𝑐
𝑐
𝑐
+𝑚
𝑘 −
+𝑚
−
2
𝑎
2
𝑎
𝑎
√︂
[︂
]︂
√
𝑚𝑘 2
𝑐
𝑚𝑐 𝑚𝑐
𝑚𝑐 + 𝑚𝑎𝑘 2 + 2 𝑎𝑐𝑚𝑘
+ 𝑚𝑘
−
+
u.a..
=
2
𝑎
2𝑎
𝑎
2𝑎
∫︁
𝐴𝑟
=
=
=
𝑘
(︂
Portanto,
√︂ )︂
(︂
√
𝑐
𝑚𝑐 + 𝑚𝑎𝑘 2 + 2 𝑎𝑐𝑚𝑘
u.a.. (2.23)
𝐴𝑟 = √
𝑑𝑥 =
𝑚𝑥 + 𝑚
𝑐
𝑎
2𝑎
− 𝑎
∫︁
𝑘
Deste modo, podemos agora calcular a área 𝐴𝑆 por meio dos
valores obtidos em (2.22) e de (2.23)
𝐴𝑆 = 𝐴𝑝 − 𝐴𝑟
𝐴𝑆 =
√
√
√
√
2𝑐 𝑐 + 3𝑐 𝑎𝑘 − 𝑎 𝑎𝑘 3
𝑚𝑐 + 𝑚𝑎𝑘 2 + 2 𝑎𝑐𝑚𝑘
√
−
u.a.. (2.24)
2𝑎
3 𝑎
Na Figura 58 temos uma situação da implementação dinâmica
no GeoGebra em que podemos, alterando6 𝑎, 𝑐 e 𝑘, escolher o segmento
parabólico e com isso determinar a área do segmento e a área do triângulo usado por Arquimedes para provar a quadratura, ainda podemos
ver que a relação de Arquimedes de fato é válida.
6
http://tube.geogebra.org/m/NErPw4nv
2.2. INTEGRAL DE RIEMANN
97
Figura 58 – Área do segmento parabólico - Exemplo 2.4.
Fonte: Produção do próprio autor.
Para confrontar algebricamente o resultado obtido pelo Cálculo
e o de Arquimedes, precisamos determinar o ponto 𝐶 que é o vértice do
segmento parabólico para então ter a altura do triângulo 𝐴𝐵𝐶 relativa
a base 𝐴𝐵. Para isto, utilizaremos o Teorema do Valor Médio.
Teorema 2.2 (TVM). Se 𝑓 é contínua em [𝑎, 𝑏] e derivável em (𝑎, 𝑏),
𝑓 (𝑏) − 𝑓 (𝑎)
então existe 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓 ′ (𝑐) =
.
𝑏−𝑎
A partir do Teorema 2.2, obtemos então as coordenadas do
ponto 𝐶.
Tendo o ponto 𝐶(𝑥0 , 𝑦0 ) e a reta 𝑟 na forma 𝑟 : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0,
podemos então, por meio da expressão de distância entre ponto e reta
𝑑(𝐶, 𝑟) =
|𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐|
√
𝑎2 + 𝑏2
(2.25)
calcular tal distância, a qual equivale à altura do triângulo Δ𝐴𝐵𝐶.
98
Capítulo 2. A RESOLUÇÃO PELO CÁLCULO
Para o segmento 𝐴𝐵, calculamos seu comprimento também
por meio de distância, mas desta vez entre dois pontos. Tendo as coordenadas do ponto 𝐴(𝑥𝐴 , 𝑦𝐴 ) e 𝐵(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 ), obtemos o comprimento do
segmento 𝐴𝐵 por meio da expressão
√︀
𝑑(𝐴, 𝐵) = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2 .
Tendo o comprimento do segmento 𝐴𝐵 e a distância 𝑑 entre a
reta 𝑟 podemos então calcular a área do triângulo 𝐴𝐵𝐶,
𝐴Δ𝐴𝐵𝐶 =
𝐴𝐵.𝑑
.
2
(2.26)
Por fim, temos que verificar se vale a relação da quadratura da
4
parábola, provada por Arquimesdes, que afirma que 𝐴𝑆 = Δ𝐴𝐵𝐶.
3
Vamos realizar esses cálculos para os exemplos já trabalhados
anteriormente.
Exemplo 2.5. Considere o segmento parabólico delimitado pela parábola 𝑓 (𝑥) = −𝑥2 + 4 e pela reta 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2. Os pontos de interseção
dessas curvas são 𝐴(−2, 0) e 𝐵(1, 3).
Pelo TVM temos que 𝑓 ′ (𝑐) =
𝑓 (𝑏) − 𝑓 (𝑎)
. Então,
𝑏−𝑎
𝑓 (𝑏) − 𝑓 (𝑎)
𝑏−𝑎
3−0
3
−2𝑐 =
= =1
1 − (−2)
3
−2𝑐 = 1
1
𝑐 = −
2
(︂
)︂
1 15
Logo temos 𝐶(𝑐, 𝑓 (𝑐)) = 𝐶 − ,
.
2 4
(︂
)︂
1 15
Para 𝐶 − ,
e 𝑟 : −𝑥 + 𝑦 − 2 = 0, calculando a distância
2 4
𝑑, temos:
𝑓 ′ (𝑐)
=
2.2. INTEGRAL DE RIEMANN
99
⃒
⃒
(︃
)︃
⃒
⃒
1
15
⃒
⃒
+ 1. − 2⃒
⃒ − 1. −
√
⃒
⃒
2
4
|𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐|
9 2
√
√︀
𝑑=
=
=
8
𝑎2 + 𝑏2
(−1)2 + 12
Para o segmento 𝐴𝐵, temos que seu comprimento é dado por
𝑑(𝐴, 𝐵)
=
√︀
=
√︀
=
(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2
(1 − (−2))2 + (3 − 0)2
√
3 2
A partir desdes dados podemos calcular a área do triângulo
Δ𝐴𝐵𝐶. Assim,
𝐴Δ𝐴𝐵𝐶
√
√ 9 2
3 2.
𝐴𝐵.𝑑
8 = 27 𝑢.𝑎.
=
=
2
2
8
Por fim,
𝐴𝑆 =
4 27
9
4
Δ𝐴𝐵𝐶 = .
= 𝑢.𝑎.
3
3 8
2
confere o resultado de Arquimedes com o cálculo da integral.
101
CONCLUSÃO
A quadratura da parábola foi uma importante descoberta no
meio matemático. Considerada a mais difícil de suas obras, Arquimedes provou a quadratura por meio de propriedade geométricas de retas,
triângulos e segmentos de parábola, sem qualquer ferramenta do cálculo diferencial. O matemático encontrou a solução do problema da
quadratura por meio de dois métodos: o da alavanca, o qual obteve
o resultado equilibrando retas, de mesma forma que trabalhava com
pesos em mecânica e o método de inserir triângulos em um segmento
parabólico, no qual por meio do Método de Exaustão de Eudóxo provou
4
rigorosamente que a área de um segmento parabólico é da área de um
3
triângulo inscrito em tal segmento, onde o triângulo era de mesma base
e de vértice no ponto onde a tangente é paralela a base. Hoje que temos
todas as ferramentas do cálculo para determinar a área de um segmento
parabólico de maneira muito fácil , porém a análise de como ele foi provado na antiguidade não acontece da mesma forma uma vez que são
de compreensão difícil pois usam basicamente elementos geométricos e
argumentações que não estamos acostumados.
Atualmente, com as ferramentas que o cálculo nos proporciona,
conseguimos aproximar a área do segmento parabólico utilizando as somas de Riemann. Para isso precisamos de um arco de parábola e um
segmento de reta inseridos num plano cartesiano, pois tais elementos
precisam ser dados por meio de funções. Podemos também encontrar o
valor da área de um segmento parabólico através das integrais definidas, as quais também necessitam que o arco de parábola e o segmento
de reta sejam dados por meio de funções. As somas de Riemann exigem
um pouco mais de tempo nos cálculos, porém nada que supere a complexidade da geometria utilizada por Arquimedes. Utilizando integrais,
o cálculo se torna ainda mais simples, devido a evolução do cálculo com
102
Conclusão
o passar do tempo.
Não só o ensino, mas tudo que está a nossa volta hoje está
envolvido pela tecnologia. Deste modo, afim de acompanhar o desenvolvimento, é de suma importância que a matemática se atualize frequentemente, isto é, professores e métodos de ensino precisam estar em
constante atualização e preparados para se deparar com tais transformações. O ensino da matemática, por sua vez, também necessita estar
em contante atualização, usufruindo de maneira eficaz das ferramentas
que as tecnologias proporcionam.
Os softwares de geometria dinâmica, por exemplo, são ótimas
ferramentas para serem utilizadas com o objetivo de colaborarem no
processo de ensino-aprendizagem dos alunos. O GeoGebra, dentre outros, é um programa de fácil utilização e disponível gratuitamente. Nele,
dentre tudo o que o programa proporciona, podemos fazer representações geométricas afim de melhor visualizar a situação e conferir os
resultados. Assim, utilizando-o para os fins deste trabalho, foi possível
visualizar e simular várias situações particulares que no ambiente lápis
e papel seriam muito trabalhosas e estáticas, já que esta ferramenta oferece comandos de soma de Riemann e também de integrais definidas,
mostrando então o valor numérico de cada uma das áreas como também
a representação gráfica de cada uma delas. Existem outros exemplos de
programas de geometria dinâmica, como o Cabri Geométre, o Geogebra
e o Cinderella. Porém, devido ao tempo que foi preciso para a realização deste trabalho não foi possível explorar outros softwares além do
Geogebra, o qual foi utilizado como ferramenta, pois tais programas
exigem tempo para que se possa obter um bom conhecimento sobre
tais e então trabalhar com os mesmos.
Inicialmente pretendíamos estudar a quadratura da parábola
feita por outros estudiosos, porém não tivemos tempo para tais pesquisas. Assim, este ponto fica como sugestão de objetivo para trabalhos
futuros como também pesquisas sobre provas para as propriedades tomadas como verdade nas demonstrações feitas por Arquimedes.
REFERÊNCIAS
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<http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/611>. Acesso
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Brasília, 1985.
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<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf>. Acesso em:
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______. The History of the Calculus and Its Conceptual Development. Nova York: Dover Publications, 2013.
104
Conclusão
______. Tópicos de História da Matemática para uso em sala
de aula. São Paulo: Editora Atual, 1993.
CAGLAYAN, Günhan. Exploring Archimedes’ Quadrature of Parabola
with GeoGebra Snapshots. Technology, Knowledge and Learning.
New York: Springer, 2014, 07, p. 101-115.
CONTADOR, Paulo R. M. Matemática, uma breve história. São
Paulo: Editoral, 2014.
EDWARDS, C. H. The historical development of the calculus.
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EUCLIDES. Os Elementos. Tradução de Irineu Bicudo. São Paulo:
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EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Tradução
de Hygino H. Domingues. 5a. ed. Campinas, SP: Editora da Unicamp,
2011.
FIORENTINI, Dario; OLIVEIRA, Ana T. C. C. O Lugar das Matemáticas na Licenciatura em Matemática: que matemáticas e que práticas formativas? Bolema: Boletim de Educação Matemática. Rio
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GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo. 5a.Ed. Rio de
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