Resolução de Problemas no Contexto do Curso de Licenciatura
Plena em Matemática da UFMT-Cuiabá
Profa. Dra. Gladys Denise Wielewski
Universidade Federal de Mato Grosso
[email protected]
Profa. Dra. Luzia Aparecida Palaro
Universidade Federal de Mato Grosso
[email protected]
Prof. Dr. Sergio Antonio Wielewski
Universidade Federal de Mato Grosso
[email protected]
1 Introdução
O presente texto se refere ao relato de experiências com atividades envolvendo
Resolução de Problemas que os autores deste artigo, todos professores do Departamento de
Matemática, desenvolvem na disciplina de Prática de Ensino da Matemática I, do sexto
semestre do Curso de Licenciatura Plena em Matemática, da Universidade Federal de Mato
Grosso, Campus de Cuiabá.
Pelo fato dos alunos estarem no 6o semestre do Curso, já tendo contato com a
matemática escolar do ensino fundamental e médio em que são trabalhados os conceitos
necessários para a resolução dos problemas aqui apresentados, isso não garante que saibam de
imediato como proceder para resolvê-los. Assim, nos utilizamos dos problemas para retomar a
discussão de conteúdos, agora na perspectiva do processo de ensino e de aprendizagem da
matemática.
A resolução de problemas matemáticos tem sido objeto de interesse mundial e seu
estudo vem sendo focado em duas vertentes: uma relacionada à sua utilização em sala de aula
e outra enquanto objeto de pesquisa.
A defesa para a sua inserção nos currículos escolares se acentuou no início da década
de 1970. Enquanto que na pesquisa passou por momentos distintos, em que antes da década
1
de 1960 o interesse se concentrava no resultado da resolução de problemas e no final da
década de 1960 valorizou-se o processo da resolução (ONUCHIC, 1999).
A mudança no modo de conceber a resolução de problemas, em que se enfatiza a
importância do processo em vez do resultado, influenciou o seu uso no ensino da Matemática,
valorizando a utilização de diferentes estratégias para resolver problemas (ONUCHIC, 1999).
Com os diferentes estudos acerca da resolução de problemas, sobretudo no que se
refere à sua conceituação teórica, várias definições foram sendo formuladas ao longo dos
anos. A que adotamos neste artigo é a da pesquisadora brasileira que concebe por resolução
de problemas tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em resolver
(ONUCHIC, 1999). Para o professor significa recorrer a qualquer situação que possa levar o
aluno a pensar, a despertar seu interesse, e que lhe seja desafiadora e não trivial (ZUFFI;
ONUCHIC, 2007).
Em nossa opinião, trabalhar com resolução de problemas em um curso de
licenciatura pode possibilitar a discussão de relações entre teoria e prática em duas dimensões:
no desenvolvimento das aulas e enquanto formação profissional.
Durante as aulas, o professor pode decidir como fazer uso da resolução de
problemas, ou seja, se vai percorrer um caminho em que se parte da prática em direção à
teoria ou o caminho inverso, em que se parte da teoria em direção à prática.
No primeiro caso, a resolução de problemas é que desencadeia, por meio de situações
práticas, a busca pela construção (por parte dos alunos) de teorias, que posteriormente podem
ser retomadas em outras práticas. Essa relação poderia ser representada por prática  teoria
 novas práticas.
No segundo caso, a teoria precede a prática, e a resolução de problemas é
considerada apenas uma aplicação da teoria. Tal relação poderia ser representada por teoria 
prática. Ressaltamos que nesta dimensão quem vivencia a relação teoria e prática são os
alunos da Educação Básica.
Consideramos importante que o futuro professor de matemática reflita sobre essas
possibilidades de relacionar teoria e prática em sala de aula da Educação Básica e opte por
aquilo que acredita ser o melhor para seus alunos. Nós, professores autores deste artigo,
defendemos o uso da resolução de problemas percorrendo o processo: prática  teoria 
novas práticas.
2
A outra dimensão é num sentido mais amplo, que envolve a relação teoria e prática
enquanto preparação do futuro professor para atuar em sala de aula, e que para que ele possa
optar por determinada forma de trabalho, primeiro é preciso vivenciar as possibilidades de se
desenvolver atividades com resolução de problemas que focam teoria  prática (que são mais
comuns em livros didáticos) e prática  teoria, podendo chegar a propor novas práticas.
Concordamos com Miranda (2008, p. 16) quando afirma que na formação de
professores “a prática é intencionada pela teoria, que por sua vez é modificada e legitimada
pela prática”. Podemos interpretar esta frase ressaltando que a opção de um futuro professor
por uma prática de se trabalhar com resolução de problemas é resultante de estudos realizados
no curso sobre as possibilidades explicitadas anteriormente, que ao serem colocadas em
prática vão proporcionar modificações ou legitimar a teoria.
Miranda (2008) acrescenta ainda que
A produção de saberes a partir da prática não é um processo linear, pois envolve
reflexão, análise, problematização, assim como o enfrentamento de dúvidas e
incertezas. Trata-se do movimento dialético do conhecimento que compreende o
momento da ação (prática constituída), da reflexão (apoiada em princípios teóricos
reelaborados) e da ação refletida (prática modificada) (MIRANDA, 2008, p. 16).
Proporcionar condições para que o futuro professor vivencie esse processo em que
teoria e prática caminham juntas em movimento dialético pode contribuir
[...] na formação de um profissional com competência teórica e prática, um
profissional da práxis, com conhecimentos específicos e pedagógicos que lhe
possibilitem perceber a dimensão da totalidade e de movimento da ação educativa,
para, numa postura crítica, assumir as novas práticas pedagógicas sólidas
respaldadas teoricamente, contribuindo assim com a produção de uma ciência
pedagógica (SILVA, 2008, p.43).
Este é um dos objetivos que se almeja na formação de professores, portanto, cabe a
nós responsáveis por esta formação trilharmos caminhos que se aproximem deste objetivo.
2 Discussão de algumas atividades de Resolução de Problemas
Consideramos importante que futuros professores de Matemática sejam colocados
diante de situações em que precisam pensar para resolver problemas, por acreditarmos que ao
se vivenciar experiências é possível adquirir conhecimentos, para posteriormente
3
proporcionar situações relevantes em sala de aula. Em outras palavras: saber fazer, fazendo,
que consideramos uma oportunidade para se discutir a relação teoria e prática em sala de aula.
Para tanto, relatamos a seguir duas atividades com resolução de problemas que são
desenvolvidas na disciplina de Prática de Ensino da Matemática I.
Atividade 1: Alturas inacessíveis
Para trabalhar com este tema nos deslocamos para a área externa do prédio do
Instituto de Ciências Exatas e da Terra (ICET), onde funciona o Curso de Licenciatura Plena
em Matemática. Normalmente utilizamos a praça por existir no seu centro um poste de luz
bem alto, que serve para a coleta de medidas que auxiliam na resolução do problema, que é
formulado da seguinte maneira: Como determinar a altura do poste de luz dessa praça?
Os alunos são divididos em grupos contendo, no mínimo, quatro
integrantes, e os instrumentos disponibilizados para os mesmos são:
barbantes, trenas, cabos de vassoura, folhas de papel sulfite e astrolábios1
artesanais, como o do modelo da Figura 1.
São discutidos diferentes processos para determinar a altura do
poste. Primeiro, iniciamos pela observação das sombras de objetos
projetadas pelos raios solares (indicado neste artigo por processo 1). No
segundo momento, calculamos a altura utilizando como instrumento de
Figura 1: Modelo de
astrolábio artesanal
medida uma folha de papel sulfite (processo 2). Os dois primeiros
processos estão baseados em semelhança de triângulos. E por último, utilizamos o astrolábio,
que envolve conceitos da trigonometria no triângulo retângulo (processo 3).
Diante da pergunta e dos instrumentos disponibilizados, os alunos começam a tentar
resolver o problema. Às vezes, alguns se lembram de ter visto algo semelhante em livros
didáticos, no período em que cursaram a educação básica, e a partir dessa lembrança, tentam
colocar em prática os modelos expostos nos mesmos. No entanto, nos livros didáticos a
situação é apresentada pronta, ou seja, as medidas necessárias para resolver o problema já são
dadas, enquanto que na situação prática os alunos precisam determinar as medidas. Como
fazer se não se pode medir sobrepondo a trena, por exemplo, diretamente sobre o poste?
1
O astrolábio é um “instrumento que os antigos astrônomos usavam para medir o ângulo dos corpos celestes
acima do horizonte. Consiste em um disco de metal suspenso por uma moldura, de sorte que o disco permaneça
vertical”. Fonte: http://www.dicionarioweb.com.br/astrol%C3%A1bio.html, consultado em 21/10/2011.
4
Para resolver o problema pelo processo 1, quando necessário, damos dicas como, por
exemplo: os raios solares são considerados paralelos. Isso ajuda? Observem a sombra do
poste.
Com isso, começam a separar o cabo de vassoura e barbante ou trena para fazer as
medidas. Para tanto, colocam o cabo de vassoura na vertical e determinam as medidas das
sombras deste e do poste, conforme ilustra a Figura 2.
De maneira geral, a resolução por este
processo se dá por meio de semelhança de
triângulos, conforme resolução a seguir.
D
A
Figura 2: Esboço do cálculo da altura do
poste com base na sombra de objetos.
Fonte: Adaptação de
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaT
ecnicaAula.html?aula=22970
H
h
B x C
E
y
F
Figura 3: Semelhança de triângulos definida a
partir dos objetos e suas respectivas sombras
Os triângulos retângulos ABC e DEF são semelhantes pelo caso AA (dois ângulos
correspondentes sendo congruentes), pois os ângulos C e F são congruentes porque ambos são
retos, e ao considerar os raios solares sendo paralelos temos que os ângulos B e E também são
congruentes. Automaticamente, os ângulos A e D são congruentes.
Logo,  ABC   DEF (lê-se: o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF).
A razão de semelhança entre os triângulos ABC e DEF será estabelecida do triângulo
maior para o menor (Figura 3). Assim,
, o que pode ser escrito como
, em que:
H corresponde à medida da altura do poste de luz da praça do ICET, que é o valor a
ser determinado, neste caso, a incógnita da equação;
As outras três medidas (h, y e x) podem facilmente ser obtidas com o uso da trena.
Desse modo, temos:
5
h corresponde à medida do cabo de vassoura;
x corresponde à medida da sombra projetada pelo cabo de vassoura;
y corresponde à medida da sombra projetada pelo poste.
Para determinar a altura H pretendida, basta resolver a seguinte equação:
.
Este problema pode ser considerado clássico, pois aparece frequentemente nos livros
didáticos de Matemática. No entanto, o interessante nesta atividade é a oportunidade que os
alunos têm de coletar as medidas, de realizar reflexões e de resolver o problema por diferentes
processos.
Uma das discussões relevantes é que cada grupo encontra um valor diferente para a
altura do poste. Por que a diferença? O que gerou esta diferença? Isso significa que este
processo de resolução não é válido? Então, por que aparece constantemente nos livros
didáticos?
Eles começam a buscar respostas, retomando o processo de resolução, e os motivos
giram em torno de: as medidas não foram feitas com precisão; não foi possível medir direito a
sombra dos objetos, o cabo de vassoura não estava perpendicular em relação ao chão etc.
No que se refere às medidas das sombras, perguntamos aos alunos: por que nos
exercícios similares a este que aparecem nos livros didáticos, normalmente, tem-se uma frase
do tipo: as sombras são medidas simultaneamente?
Esta indagação, juntamente com as hipóteses levantadas por eles sobre as diferenças
nas medidas, os leva a compreender que este processo é válido, mas faz-se necessário garantir
certas condições para que o resultado obtido se aproxime mais da medida correta.
Em seguida, indagamos: Como calcular a altura do poste em dia nublado?
Não tendo respostas dos alunos para este desafio, então, apresentamos uma folha de
papel sulfite. Essa folha pode ajudar? Os alunos, normalmente, ficam intrigados.
Continuamos, e se dobrarmos de modo a obter um triângulo retângulo? Alguns
rapidamente captam a ideia de resolver o problema por semelhança de triângulos.
O processo 2 para obter a medida da altura do poste de luz também envolve
semelhança de triângulos, em que as medidas são determinadas a partir da Figura 4.
Esse processo consiste no observador fixar o triângulo retângulo de papel próximo a
um dos olhos de modo que o olhar ao percorrer a hipotenusa consiga enxergar o ponto mais
alto do poste de luz.
6
No momento em que isto ocorrer, o observador deve ficar imóvel e os colegas do
grupo precisam fazer as seguintes medições: do ponto em que o observador parou até o poste,
e da altura do olho até o chão.
D
Pela Figura 4 estabelecemos que o
triângulo retângulo ABC é semelhante
ao triângulo retângulo DFC, também
H
A
E
pelo caso AA. Assim, temos:
F
C
em que a medida a ser obtida
B
é DF, pois as outras três medidas são
I
J
Figura 4: Esboço do cálculo da altura do poste a
partir de um triângulo retângulo de papel.
Fonte:
Adaptação
de
http://www.uff.br/cdme/trigonometria/aluno05.html
obtidas por meio de trenas, ou seja:
i) AB corresponde à medida da altura do triângulo retângulo de papel;
ii) CB corresponde à medida da base do triângulo retângulo de papel;
iii)CF corresponde à distância do observador até o poste de luz;
iv) Desse modo, DF é obtido pela equação:
v) Uma vez obtido o valor de DF, a altura H é determinada pela equação: H=DF+FJ,
em que FJ = CI, que é a altura do olho do observador até o chão.
Da mesma maneira como ocorreu com o processo anterior, as medidas obtidas pelos
grupos são diferentes. Por que isto ocorreu?
Nas discussões, os alunos reconhecem que o fato de tentar aproximar o triângulo
retângulo de papel do olho pode provocar essa diferença, pois nem todos fixam à mesma
distância do olho. Outro motivo se refere às medidas obtidas do olho até o chão, pois é difícil
ficar sem se mover até fazer a medida, e qualquer movimento da cabeça já provoca alteração
no resultado final.
Com a intenção de aprofundar nos conceitos estudados e discutir outro processo de
resolução para o problema (processo 3), apresentamos aos alunos o astrolábio artesanal, como
mostra a Figura 1.
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Eles observam o instrumento e fazem conjecturas sobre a sua utilização. Constatam
que agora podem utilizar outra informação, que se refere às medidas de ângulos.
Por já terem vivenciado o uso do triângulo retângulo de papel para determinar a
altura do poste, tentam simular o mesmo processo. Porém, percebem que não há a necessidade
de caminhar com o astrolábio posicionado próximo ao olho para conseguir localizar o ponto
mais alto.
Com o astrolábio tendo o pêndulo em 90o, que é quando está perpendicular ao chão,
em qualquer posição que o observador se encontra, pode-se elevar a cabeça de modo que o
olhar ao percorrer o interior de um tubo de caneta consiga enxergar o ponto mais alto do poste
de luz. Ao fazer isto, determina-se o ângulo de elevação.
Os alunos ainda constatam que, com o astrolábio, podem definir a priori a distância
do observador em relação ao objeto, como por exemplo, 3 metros, o que facilita o cálculo
matemático.
B
A partir da Figura 5, são estabelecidas as
seguintes relações:
i) O triângulo ABC é retângulo em C;
A
H
C
ii) O ângulo
cuja medida é
definida a partir de 90o, que representa o
momento em que o astrolábio está
D
Figura 5: Esboço do cálculo da altura do
poste com o uso do astrolábio
Fonte:
Adaptação
de
http://www.uff.br/cdme/trigonometria/alu
no05.html
perpendicular ao chão, e considera-se o
ângulo de elevação, obtido ao elevar a
cabeça para enxergar o ponto mais alto do
objeto;
iii) A altura do poste de luz (H) é determinado por H = BC + CD, sendo que CD é a medida
da altura do olho do observador até o chão, e BC é calculado por meio da tangente do ângulo
de elevação obtido no astrolábio, ou seja,
, ou seja, BC =
. AC.
Ao utilizar o processo 3 os grupos de alunos também chegam a valores diferentes
para a altura do poste, apesar de utilizarem o mesmo instrumento, que pode ser considerado
mais preciso que os anteriores. Eles discutem os motivos que levaram a obter esses valores, e
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os argumentos se respaldam nas medidas realizadas pelos grupos. No entanto, reconhecem o
processo como válido e interessante.
Atividade 2: Explorando escalas em Mapas Rodoviários
Essa atividade é desenvolvida com a utilização de mapas rodoviários tanto de Mato
Grosso quanto do Brasil, e, às vezes, de algum município em particular. A utilização de
mapas diversos tem como finalidade levar o aluno a compreender melhor o conceito de
escalas a partir de representações de mapas. Os materiais utilizados são: mapas, barbantes e
réguas ou trenas.
A título de exemplo para este artigo, ilustramos o trabalho realizado com o mapa
rodoviário de Mato Grosso e vamos estabelecer relações matemáticas gerais, em vez de
valores específicos, embora em sala de aula são trabalhadas as medidas coletadas nos mapas.
A opção por relações gerais se deve ao fato dessa atividade ser desenvolvida em pequenos
grupos em que as medidas obtidas geralmente divergem.
O problema para desenvolver esta atividade é formulado da seguinte maneira: Como
determinar a distância, por exemplo, de Cuiabá a Sinop, utilizando um mapa?
Antes de começar a manusear o mapa para resolver o problema, os alunos são
convidados a observá-lo. Levamos para a sala de aula vários exemplares, dentre eles mapas
do Brasil e dos estados. Eles percebem a importância das cores em um mapa, os tamanhos dos
diferentes mapas. Por exemplo, o mapa do Mato Grosso é quase do tamanho do mapa do
Brasil, sendo que Mato Grosso é parte do Brasil. Como isso é possível nesta representação
dos mapas? Então, eles começam a comparar as escalas utilizadas e a interpretá-las.
Para resolver o problema proposto, os grupos de alunos pegam o barbante e
começam a percorrer o percurso de Cuiabá até Sinop (linha em vermelho na Figura 6),
sobrepondo-o no mapa. Após, medem com a régua o tamanho do barbante utilizado para
percorrer este trecho, e encontram a medida b. E daí, como saber a distância? Neste momento,
percebem a necessidade de utilizar a escala estabelecida no mapa.
Por exemplo, vamos considerar a escala definida no maps google, Figura 6, em que
se tem a informação de 200 km. Isso significa que a cada 1 cm no mapa equivale a 200 km no
real, ou transformando em cm, a 20.000.000 cm, ou seja, para o Estado de Mato Grosso ter
essa representação, o tamanho real foi reduzido 20.000.000 vezes. Em um mapa impresso
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podemos encontrar a escala numérica, que é representada por uma razão expressa por
1:20.000.000.
Figura 6: esboço de um mapa rodoviário do Estado do Mato Grosso
Fonte: http://maps.google.com.br
Com esta informação, os grupos têm condições de resolver o problema, que consiste
na seguinte relação:
Mapa (cm)
Real (cm)
1
20.000.000
b
r
em que b é a medida do comprimento do barbante obtida no mapa para o percurso entre as
cidades e r é a medida real para este percurso. Assim, r é determinado pela proporção: r = b x
20.000.000.
Muitos mapas rodoviários trazem informações das distâncias entre as principais
cidades, isso ajuda a avaliar os resultados obtidos pelos grupos. Normalmente, os alunos se
empolgam e querem encontrar outras distâncias entre cidades, sobretudo, aquelas em que eles
conhecem.
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Geralmente, os resultados entre os grupos de alunos são diferentes, raramente obtém
o valor preciso das distâncias calculadas. O que pode gerar esses distintos resultados? Uma
explicação se refere ao momento de manusear o barbante sobre o mapa, pois nem sempre se
consegue garantir precisão por causa dos percursos rodoviários serem, na sua maioria,
constituídos por curvas. Ao sobrepor o pedaço de barbante sobre a régua, muitas vezes se
estica mais do que na obtenção do percurso no mapa.
3 Considerações finais
No primeiro problema, o das alturas inacessíveis, embora o objetivo seja determinar
a altura do poste de luz da praça em frente ao ICET, o problema foi sendo remodelado na
medida em que se acrescentavam outros desafios. O propósito maior não era apenas obter a
resposta para o problema, mas a discussão dos diferentes processos para se chegar a essa
resposta, o que consideramos importante para a formação do professor de Matemática.
Acreditamos que para o aluno resolver um problema por meio de diferentes
processos, bem como com distintos instrumentos, pode favorecer na tomada de decisão no
momento em que estiver atuando em sala de aula. Decisão esta relacionada aos alunos que
estão sob sua responsabilidade, seus conhecimentos prévios, os recursos disponíveis, seus
objetivos etc. Até mesmo a decisão de desenvolver um trabalho mais integrado com
professores de outras disciplinas da escola, como no caso da atividade com mapas, podendo
envolver o professor de geografia e talvez o de história, por exemplo.
Com relação à atividade com mapas, podemos ainda propor que os grupos calculem
as mesmas distâncias entre cidades utilizando, por exemplo, um mapa do Brasil e outro de um
determinado Estado. Os resultados serão próximos? Como proceder para obter medidas reais
mais precisas? Outras possibilidades podem ser pensadas ao explorar mapas nas aulas de
Matemática.
Avaliamos que atividades de resolução de problemas como as apresentadas neste
artigo foram significativas para muitos alunos que cursaram a disciplina Prática de Ensino da
Matemática I, uma vez que nas disciplinas subsequentes, que são Prática de Ensino de
Matemática II e III, os graduandos fazem uso ao desenvolverem parte do Estágio
Supervisionado nas escolas públicas, que corresponde às oficinas de Matemática, ministradas
por eles e oferecidas aos alunos de escolas públicas do município de Cuiabá.
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Assim, consideramos que estas atividades podem auxiliar os alunos em duas
dimensões na relação teoria e prática. Uma enquanto vivência na construção e/ou aplicação de
conceitos matemáticos (teoria) a novas situações, identificando diferentes processos para
resolver problemas (prática), na perspectiva de aprendiz. A outra dimensão se refere à
possibilidade de replicar situações similares agora enquanto processo de ensino e de
aprendizagem, estabelecendo a teoria e prática na perspectiva de educador.
4 Referências
ONUCHIC, Lourdes de la Rosa. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de
problemas. In: Maria Aparecida V. Bicudo (org.). Pesquisa em educação matemática:
concepções e perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999. p. 199 – 218. – (Seminários &
Debates).
MIRANDA, Maria Irene. Ensino e pesquisa: o estágio como espaço de articulação. In:
SILVA, Lázara Cristina; MIRANDA, Maria Irene. Estágio Supervisionado e Prática de
Ensino: desafios e possibilidades. Araraquara, SP: Junqueira & Marin, 2008, p. 15-36.
SILVA, Lázara Cristina. Prática de Ensino e Estágio Supervisionado: o diálogo entre as
discussões teóricas e a prática cotidiana. In: SILVA, Lázara Cristina; MIRANDA, Maria
Irene. Estágio Supervisionado e Prática de Ensino: desafios e possibilidades. Araraquara,
SP: Junqueira & Marin, 2008, p. 37-83.
ZUFFI, Edna Maura; ONUCHIC, Lourdes de la Rosa. O Ensino-Aprendizagem de
Matemática através da Resolução de Problemas e os Processos Cognitivos Superiores. In:
UNIÓN - Revista Iberoamericana de Educación Matemática - Septiembre de 2007 número 11, p. 79-97.
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