7
Resultados de Medições
Indiretas
Fundamentos da Metrologia
Científica e Industrial
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Motivação
c ± U(c)
b ± U(b)

Como estimar a incerteza
do valor de uma
grandeza que é calculada
a partir de operações
matemáticas com os
resultados de outras
grandezas medidas?
A=b.c
U(A) = ?
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 2/52)
7.1
Considerações Preliminares
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Medições indiretas


O valor do mensurando é determinado a
partir de operações matemáticas envolvendo
resultados de duas ou mais grandezas de
entrada medidas separadamente.
Exemplos:


A área de um terreno calculada através do
produto entre sua largura pelo seu comprimento.
Determinação da corrente elétrica dividindo a
queda de tensão sobre um resistor pelo valor da
sua resistência.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 4/52)
O Modelo Matemático


É necessário um modelo matemático
que relacione as grandezas de entrada
com o valor do mensurando.
Exemplos:


A=l.h
V=d/t
d  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 5/52)
Dependência estatística &
correlação


Duas variáveis aleatórias são consideradas
estatisticamente independentes ou não
correlacionadas se as variações aleatórias da
primeira não guardam nenhum tipo de
sincronismo com as da segunda.
Exemplo:

a temperatura da água do mar na praia da
Joaquina e a cotação do dólar.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 6/52)
Dependência estatística


Duas variáveis aleatórias são consideradas
estatisticamente dependentes ou
correlacionadas se as variações aleatórias da
primeira ocorrem de forma sincronizada com
as variações aleatórias da segunda.
Exemplos:


Os valores em Real da cotação do Euro e do Dólar
(na verdade quem mais muda é o Real).
A temperatura da água do mar em duas praias
próximas.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 7/52)
Dependência estatística


A grande maioria dos casos de interesse
prático da engenharia é suficientemente bem
modelada considerando medições como
variáveis aleatórias independentes ou não
correlacionadas.
Apenas os casos que envolvem medições
independentes ou não correlacionadas serão
abordados no tópico seguinte:
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 8/52)
7.2
Estimativa da Incerteza
Combinada em Medições não
Correlacionadas (MNC)
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Adição e subtração de MNC

O quadrado da incerteza combinada da
adição ou subtração de MNC é
calculado pela soma dos quadrados das
incertezas padrão de cada termo:
[u(X 1  X 2    X n )]  [u(X 1 )]  [u(X 2 )]  ...  [u(X n )]
2
2
2
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 10/52)
2
Adição e subtração de MNC

Se o número de graus de liberdade com
que cada incerteza padrão é
determinada é o mesmo, a equação
também pode ser escrita em termos da
incerteza expandida como:
[U(X 1  X 2    X n )]2  [U(X 1 )]2  [U(X 2 )]2  ...  [U(X n )]2
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 11/52)
Exemplo 1: Adição de MNC
mT = m1 + m2
MNC
1
2
[U(mT)]2 = [U(m1)]2 + [U(m2)]2
[U(mT)]2 = [6]2 + [8]2 = 100
m1 = (1000 ± 6) g
U(mT) = 10 g
m2 = (2000 ± 8) g
U(m1) = 6 g
U(m2) = 8 g
mT = (3000 ± 10) g
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 12/52)
Exemplo 2: Subtração de MNC
mC = m2 – m1
MNC
1
2
[U(mc)]2 = [U(m1)]2 + [U(m2)]2
[u(mT)]2 = [6]2 + [8]2 = 100
m1 = (1000 ± 6) g
U(mT) = 10 g
m2 = (2000 ± 8) g
mC + m1 = m2
mC = (1000 ± 10) g
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 13/52)
Multiplicação de MNC

Na multiplicação de MNC o quadrado da
incerteza combinada relativa é calculado
pela soma dos quadrados das incertezas
padrão relativas de cada fator:
2
2
 u(X 1.X 2 )   u(X 1 )   u(X 2 ) 

 
 

X
.X
X
X
 1 2   1   2 
2
u 2R (X1.X 2 )  u 2R (X1 )  u 2R (X 2 )
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 14/52)
Divisão de MNC

Na divisão de MNC o quadrado da incerteza
combinada relativa é calculado pela soma
dos quadrados das incertezas padrão
relativas do divisor e do dividendo:
2
2
 u(X 1/X 2 )   u(X 1 )   u(X 2 ) 

 
 

 X1/X 2   X1   X 2 
2
u 2R (X1/X 2 )  u 2R (X1 )  u 2R (X 2 )
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 15/52)
Generalizando: Multiplicação
e Divisão de MNC

Na multiplicação e/ou divisão de qualquer
número de MNC o quadrado da incerteza
combinada relativa é calculado pela soma
dos quadrados das incertezas padrão
relativas de cada termo por:
1
1
1
n
u (X 1 .X 2 X )  u (X1 )  u (X 2 )    u (X n )
2
R
2
R
2
R
2
R
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 16/52)
Generalizando: Multiplicação
e Divisão de MNC

Se o número de graus de liberdade com
que cada incerteza padrão é determinada é
o mesmo, a equação também pode ser
escrita em termos da incerteza expandida
relativa como:
1
1
1
n
U (X 1 .X 2 X )  U (X1 )  U (X 2 )    U (X n )
2
R
2
R
2
R
2
R
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 17/52)
Exemplo 3: Multiplicação
Determine o volume de
uma pirâmide com base
retangular, cujas
dimensões estão
especificadas na figura, e
altura
a
b
a = (100,0 ± 0,8) mm
b = (90,0 ± 0,6) mm
h = (200,0 ± 1,0) mm.
a.b.h
V
3
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 18/52)
Exemplo 3: Multiplicação
Cálculo do volume:
100  90  200
V
 600000 mm3
3
a.b.h
V
3
Incerteza do volume:
2
2
2
U (V )  U (a)  U (b)  U (h) 
 V   a   b   h 

 
 
 

2
2
2
 U (V )   0,8   0,6   1,0 
 600000   100    90    200 

 
   

2
2
U(V) = 6931 mm³
2
 U (V ) 
-6

(64

44

25)

10
 600000 
V = (600,0 ± 6,9) 10³ mm³
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 19/52)
Exemplo 4: Divisão de MNC
V
R
V
I
R
I
Determine a corrente
elétrica que passa por um
resistor de (500,0 ± 1,0) 
sobre o qual foi medida
uma queda de tensão de
(150,0 ± 3,0) V.
U(R) = 1,0 Ω
U(V) = 3,0 V
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 20/52)
Exemplo 4: Divisão de MNC
V
2
2
 U(I)   U(V)   U(R) 
 I    V    R 
2
I
R
V = (150,0 ± 3,0) V
2
 U(I)   3,0   1,0 
 0,300   150    500 
 


 
2
2
2
R = (500,0 ± 1,0) 
 U(I) 
 0,300   0,0004  0,000004


V 150
I 
 0,300 A
R 500
U(I) = 0,0060 A
I = (300 ±6) mA
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 21/52)
Caso Geral de MNC
G  f ( X 1 , X 2 ,, X n )
2
2
 f

 f
  f

u (G ) = 
u ( X 1 )   
u ( X 2 )     
u ( X n ) 
 X 1
  X 2

 X n

2
f
= coeficiente de sensibilidade
X i
Podem ser calculados analitica ou numericamente
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 22/52)
2
Caso Geral de MNC

Se o número de graus de liberdade com
que cada incerteza padrão é determinada é
o mesmo, a equação pode ser escrita em
termos da incerteza expandida como:
2
2
 f

 f
  f

U (G ) = 
U ( X 1 )   
U ( X 2 )     
U ( X n ) 
 X 1
  X 2

 X n

2
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 23/52)
2
Exemplo: Caso Geral de MNC

Na determinação da massa específica (ρ) de
um material usou-se um processo indireto,
medindo-se em um laboratório, com uma
balança, a massa (m) de um cilindro cujo
diâmetro (D) e altura (h) foram determinados
por um micrômetro e um paquímetro
respectivamente. Após a compensação dos
erros sistemáticos, foram encontrados os
seguintes resultados e os respectivos
números de graus de liberdade para cada
grandeza de entrada:
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 24/52)
Medições Realizadas
Para a massa:
m = (1580 ± 20) g
h
Para o diâmetro:
D = (25,423 ± 0,006) mm
Para a altura:
h = (77,35 ± 0,10) mm
D
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 25/52)
Massa Específica
 = f (m, D, h)
h
D
m
=
Vol
4m
=
 D2 h
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 26/52)
Cálculo da incerteza combinada
2
2
 f
  f
  f

U (  ) = 
U (m)   
U ( D)   
U (h) 
 m
  D
  h

2
2
 4
   8m
   4m

2
U (  ) =  2 U ( m)    3 U ( D )    2 2 U ( h ) 
 D h
  D h
  D h

2
2
2
 U (  )   U ( m)   U ( D )   U ( h ) 

 = 
  2
 

D   h 
    m  
2
2
2
2
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 27/52)
Cálculo da incerteza combinada
2
2
2
2
 U (  )   U ( m)   U ( D )   U ( h ) 

 = 
  2
 

D   h 
    m  
2
2
2
 U (  )   20   0,0060   0,10 

 = 
 

  2
    1580   25,423   77,35 
2
2
 U ( ) 
 = 16023,2  22,28  167,2.10 8  16212,8.10 8
U (  )  
  
2
R
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 28/52)
Cálculo da incerteza combinada
4 .m
4 .1580
3
=


0,040239
g/
mm
2
2
 . D .h 3,14159 .(25,423 ) .77,35
U (  )   .U R (  )  0,040239 . 16212,8.108  0.0005124 g/mm 3
 = (0,04024  0,00051) g/mm3
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 7 - (slide 29/52)