Escola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva
Duração: 90 minutos
3º Teste Turma 7
Teste de MATEMÁTICA 12º Ano
Fevereiro 2004
Prof. Luís Abreu
1ª PARTE
Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de
entre as alternativas que lhe são apresentadas e escreva-a na sua folha de prova. Atenção! Se
apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo acontecendo em caso de
resposta ambígua.
1. Admita que, os pesos em gramas das anonas produzidas na Madeira para exportação,
seguem uma distribuição aproximadamente normal, de média 215 gramas. Escolhe-se, ao acaso, uma
dessas anonas. Qual dos seguintes acontecimentos é mais provável?
[A] O seu peso é superior a 225 gramas
[B] O seu peso é inferior a 225 gramas
[C] O seu peso é superior a 212 gramas
[D] O seu peso é inferior a 212 gramas
2. De uma função f, de domínio [–5,5] e contínua em todo o seu domínio, sabe-se que:
f(–5) = –1; f(2) = 2; f(5) = –2; f é estritamente crescente no intervalo [–5, 2]; f é estritamente
decrescente no intervalo [2, 5].
Quantas soluções tem a equação f(x) = 0?
[A] 0
[B] 1
[C]
2
⎛
[D] 3
⎞
3. Considere a função m, definida em IR por m( x) = ⎜ 1 ⎟
⎝e⎠
− x+1
.
Quando m( x) = e2 , o valor de x é:
[ A] -1
[ B]
1
e
[ C] 1
[ D] 3
4. Sendo h(x)= ex + c , em que c é um número real qualquer (positivo ou negativo) e e o
número de Neper, podemos afirmar que h:
A) nunca tem zeros;
B) tem um único zero;
C) tem no máximo um zero;
D) tem pelo menos um zero.
5. Na figura está representada parte do gráfico de uma função g, cujo domínio é R\{–2}. As
rectas x = –2 e y = 1 são assimptotas do gráfico de g. Considere a sucessão de termo geral
−1
⎛ 1 ⎞
u n = –⎜ n ⎟ .
⎝e ⎠
Qual é o valor de
lim g (u n ) ?
[A] 1+
[B] 1−
[C] −2+
[D] −2−
2ª PARTE
Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando os cálculos efectuados e todas as
justificações necessárias.
Quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se o valor
exacto.
x3 − 6 x 2 + 11x − 6
, de domínio R\{1}.
x2 − 2 x + 1
Resolva as seguintes alíneas utilizando métodos exclusivamente analíticos.
1. Seja f a função definida por f(x) =
1.1 Calcule:
1.1.1
lim f ( x)
x→ − ∞
1.1.2 lim f ( x)
x→ 1
1.2 Considere a função g definida do seguinte modo:
⎧
⎪ f ( x)
se x > 1
⎪
g(x) = ⎨1
se x = 1
⎪
x−4
⎪ x + ln
se x < 1
−3
⎩
Estude a continuidade da função g no ponto de abcissa x = 1.
No caso de não se verificar a continuidade no ponto pretendido, averigúe a possibilidade de
continuidade à esquerda ou à direita de x = 1.
1.3 Utilizando o Teorema de Bolzano, prove que: ∃ c ∈ ]3, 4[ : g (c) = 0, 2 .
1.4 O gráfico de g contém pontos de intersecção com os eixos coordenados. Recorrendo à
calculadora, determine as coordenadas desses pontos utilizando aproximações às décimas. Numa
pequena composição explique como procedeu. Pode enriquecer o seu comentário com o traçado de
um ou mais gráficos.
2. Considere a função real de variável real definida em A ( A ⊂ IR ) por h( x) = 4 − 3ln(3 x − 9) .
2.1 Caracterize a função inversa de h.
2.2 Determine sob a forma de intervalos de números reais o conjunto
H = { x ∈ IR : h( x) ≥ −2} .
3. Admita que, ao longo dos séculos XIX e XX e dos primeiros anos do século XXI, a população
residente na Região Autónoma da Madeira, em milhares de habitantes, é dada, aproximadamente,
por
200
p (t ) = −3 +
0, 01 + e−0, 0068t
(considere que t é medido em anos e que o instante t=0 corresponde ao início do ano 1970).
3.1 De acordo com este modelo, qual será a população residente na Região Autónoma da
Madeira no final do presente ano (2004)? Apresente o resultado em milhares de habitantes,
arredondado às décimas.
Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, 3
casas decimais.
3.2 Sem recorrer à calculadora (a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos), resolva
o seguinte problema:
De acordo com este modelo, em que ano a população residente na Região Autónoma da
Madeira foi de 180 mil habitantes?
Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, 3
casas decimais.
FIM