Professor Alexmay Soares
Matemática e
suas Tecnologias
MATEMÁTICA
O PRINCÍPIO DA SIMILITUDE DE GALILEU
OU QUAL É O TAMANHO CERTO?
O princípio da similitude de Galileu, também conhecido como a lei do
quadrado e do cubo, é um princípio matemático, com ampla aplicabilidade
científica, tecnológica e econômica. Tal princípio descreve a relação entre
o volume e a área à medida que aumentamos as dimensões de um
objeto. Foi descrito pela primeira vez em 1638 por Galileu Galilei em suas
duas novas ciências .
Este princípio estabelece que, quando um corpo aumenta de
tamanho, o seu volume aumenta mais depressa do que a sua área. Isso
ajuda a explicar fenômenos biológicos tais como o fato de que grandes
mamíferos têm mais dificuldade de refrigeração do que os pequenos ou
porque que existem limites para o tamanho que se pode construir um
castelo de areia.
A lei do quadrado e do cubo pode ser declarada como segue:
Quando um objeto é submetido a um aumento proporcional de
tamanho, o seu volume novo é proporcional ao cubo do multiplicador e a
sua área de superfície nova é proporcional ao quadrado do multiplicador.
Por exemplo, um cubo com um comprimento lateral de 1 metro tem
uma área superficial de 6 m2 e um volume de 1 m3. Se as dimensões
do cubo fossem duplicadas, a sua área de superfície seria aumentada
para 24 m2 e o seu volume seria aumentado para 8 m3. Perceba que
a superfície ficou 4 vezes maior, enquanto que o volume ficou 8 vezes
maior. Este princípio aplica-se a todos os sólidos.
nº
05
2 metros: você tem um cubo 2 vezes mais fundo, largo e alto. Porém, o
corte transversal da face do cubo não terá 2 m², mas 4 m² (2 m × 2 m),
ou seja, se fosse uma criatura viva, o corte transversal de seu músculo ou
osso seria 4 vezes maior que antes. Isso porque, ao dobrar as medidas, o
volume do cubo mudou de 1 cubo para 8 cubos (2 × 2 × 2) e sua massa
foi de 1 kg para 8 kg.
Ele seria 2x mais alto, 4x mais forte... mas 8x mais pesado. São
fatos importantes para a biomecânica: essa lei mostra que se dobrarmos
o tamanho de um animal, sua força irá quadruplicar, mas seu peso
octoplicará! Consequentemente, animais maiores precisarão de patas
proporcionalmente mais largas para sustentar o peso extra.
Esqueleto de um elefante.
EXEMPLO DE CUBOS DE TAMANHO VARIÁVEL
Lado
Área da
face
Área
total
Volume de
cubo
Razão entre a área de
superfície e o volume
1m
1 m2
6 m2
1 m3
6,0 m –1 (ou m2 · m –3)
2m
4m
24 m
8m
3,0 m –1
4m
16 m2
96 m2
64 m3
1,5 m –1
6m
36 m2
216 m2
216 m3
1,0 m –1
8m
64 m2
384 m2
512 m3
0,75 m –1
12 m
144 m2
864 m2
1728 m3
0,5 m –1
20 m
400 m2
2400 m2
8000 m3
0,3 m –1
2
2
3
Descoberta no século XVI, essa lei ajuda a explicar, por exemplo,
porque grandes animais terrestres, como o elefante ou o rinoceronte,
possuem patas proporcionalmente bem mais largas do que pequenos
animais, como alguns insetos. É fácil de entender, acompanhe:
Se, por exemplo, dobrarmos o tamanho de um organismo, iremos
aumentar a área de sua superfície pelo quadrado de 2, ou seja, 4 vezes, e
seu volume pelo cubo de 2, ou seja, 8 vezes. A massa, mantida constante a
densidade, é diretamente proporcional ao volume. Assim, ao dobrarmos as
dimensões de um organismo, estaremos multiplicando por 8 a sua massa.
Suponha um cubo com 1 metro de altura por 1 metro de largura
por 1 m de profundidade. Agora, atribua a esse cubo 1 kg de massa.
Você pode obter a área de superfície deste cubo fazendo em uma de
suas faces um corte transversal de 1 m² (e isso é muito importante de se
entender, porque a força de um organismo está associada à area de corte
transversal do músculo ou osso). Agora, dobre o tamanho da aresta para
Esqueleto de um pequeno mamífero (perceba que os ossos de um elefante são
proporcionalmente mais largos do que o do pequeno mamífero).
É claro que há uma diferença muito grande (não apenas uma) entre
formigas e pessoas: aqui, a principal é que nosso esqueleto é interno,
mas o delas é externo. Temos 2 braços e pernas, elas têm 6 pernas e
mandíbulas feitas para levantar, enquanto que o corpo de um ser humano
não é feito para levantar.
Vamos aplicar a mesma regra para uma formiga com 6 mm, 3 mg
de massa e capaz de erguer 150 mg (é um fato bem difundido que
as formigas são capazes de erguer 50 vezes seu peso). Aumentando
o comprimento da formiga para 1,8 m (300 vezes maior), ela teria
81 kg de massa (300³ = 27000000 vezes mais), mas, pela regra do cubo
e do quadrado, a superfície de seu corpo e o consequente aumento de
sua força será apenas 300² = 90000 maior. Assim, cada pata estará
sobrecarregada com um peso extra 27000000/90000 = 300 vezes maior,
daí a formiga poderia erguer apenas 50 · 81 kg/300 = 13,5 kg.
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Exercícios
01.Suponha que a embalagem de NutraFlora, suprimento alimentar,
tem forma de cilindro reto com volume interno adequado
para acondicionar 100 cápsulas do produto. Duplicando as
dimensões (raio da base e altura) dessa embalagem, o volume
interno será adequado para que quantidade de cápsulas?
A) 200
B) 400
C) 800
D) 1600
E) 3200
02.Um gênero de filmes muito
popular no século XX, a
chamada
ficção
científica
produziu diversos títulos que se
imprimiram em nossa memória.
Alguns mais realistas e outros
bastante fantasiosos. Em 1955, o
filme Tarântula assustou suas plateias com a sinopse de uma
aranha de laboratório (com aproximadamente 3 cm de altura) que,
por conta de um experimento malsucedido, se vê transformada
em um monstro de 3 metros de altura. Certamente, os roteiristas
daquela época não se preocupavam com as implicações físicas
de tais gigantismos (como o aumento de massa), pois, se o
fizessem, aplicando o princípio da similitude de Galileu, é mais
provável que a aranha gigante tivesse, para manter-se em pé
tão bem quanto uma aranha comum, em vez dos tradicionais
4 pares de patas:
A) 16 patas.
B) 32 patas.
C) 80 patas.
D) 240 patas.
E) 800 patas.
04.Um médico receita a seu paciente uma
dose de 32 gotas de certo remédio.
Ao chegar em casa, o paciente
acidentalmente deixa o frasco de contagotas, que continha a medicação, cair
ao chão. Verificando que o frasco havia
trincado, ele resolve passar a medicação
para outro conta-gotas idêntico ao primeiro, exceto pelo fato
de que, no novo recipiente, a abertura por onde saem as gotas
é duas vezes maior do que no frasco original. Pode-se afirmar
que:
A) o paciente deve alterar a dose para 64 gotas.
B) o paciente deve alterar a dose para 4 gotas.
C) se o paciente alterar a dose para 16 gotas, poderá ter uma overdose,
pois estará duplicando a dosagem estabelecida pelo médico.
D) se o paciente alterar a dose para 8 gotas, ele estará reduzindo à
metade a dose estabelecida pelo médico.
E) 2 gotas do novo frasco são suficientes, pois cada uma equivale a
16 gotas do frasco original.
05.Um verdadeiro homem-gigante deveria ter as pernas grossas
como as de um tiranossauro para sustentar seu corpo, mas esse
seria apenas o menor de seus problemas, pois provavelmente
ele teria sua força muscular drasticamente reduzida. Imagine
um guerreiro de 1,80 m com 90 kg de massa e capaz de erguer
sua própria massa acima de sua cabeça. Se tiver sua altura
dobrada para 3,60 m, passará a ter 720 kg de massa, e será capaz
de erguer apenas 360 kg. Se por algum motivo o deixarmos
10 vezes maior, ele passaria a ter 18 metros de altura, 90000 kg
de massa e seria capaz de erguer:
A) apenas 50% de sua própria massa.
B) apenas 25% de sua própria massa.
C) apenas 12,5% de sua própria massa.
D) apenas 10% de sua própria massa.
E) apenas 1% de sua própria massa.
03.Boa parte da energia perdida por uma pessoa é proveniente das
trocas de calor para o meio ambiente por meio da superfície
da pele. Considere que duas pessoas, uma criança de 60 cm
de altura e um adulto com 1,80 m, estejam se alimentando para
repor exclusivamente as perdas de energia devidas às trocas
de calor com o ambiente. Admitindo proporcionalidade entre os
corpos das duas pessoas, podemos afirmar que, em relação à
criança, o adulto deverá ingerir:
A) 3 vezes mais comida.
B) 6 vezes mais comida.
C) 9 vezes mais comida.
D) 18 vezes mais comida.
E) 27 vezes mais comida.
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FB NO ENEM
FB no Enem – Nº 04 – Professor: Sérgio Vasconcelos
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Hercilia-21/02/2013
Rev.:AM