Aula Teórica nº 8
LEM-2006/2007
Trabalho realizado pelo campo electrostático e energia electrostática
Considere-se uma carga q1 no ponto P11 e suponha-se que se trás uma carga q2 do ∞ até
ao ponto P2.
Fig.
Se as cargas forem do mesmo sinal, a força que se exerce entre elas é repulsiva e
portanto não é o campo electrostático que realiza trabalho. Para trazermos a carga q 2 do





∞ até P2 temos de lhe aplicar uma força exterior F = − F2e , com F2e = q 2 E1e , sendo E1e
o campo electrostático criado pela carga q1.
O trabalho realizado pela força externa é dado por
Se definirmos a energia electrostática de um sistema de cargas pontuais, como uma
energia de interacção, com o carácter de uma energia potencial, igual ao trabalho que
um agente exterior precisa realizar para formar uma distribuição, supondo que as cargas
são trazidas do ∞ até às posições finais, uma a uma, tem-se
Repare que a energia electrostática de um sistema de 1 carga é nula pois uma carga não
está em interacção com nenhuma outra e que não se está a contabilizar a energia
intrínseca de cada carga pois nesse caso ela seria infinita por se tratar de uma carga
pontual.
A energia electrostática de um sistema de 2 cargas será igual à soma da energia de um
sistema de uma carga ( we (1) = 0 ), com o trabalho que um agente exterior precisa de
realizar para trazer a 2ª carga do ∞ até à posição final. Repare que se esse trabalho for
positivo a energia electrostática de um sistema de 2 cargas também é positiva:
1
Consideremos agora a operação inversa: Uma vez formado o sistema de 2 cargas,
transportamos agora q1 de P1 até ao ∞ sob a acção do campo da carga q2 (vd. Fig. )
Neste caso, se as duas cargas forem do mesmo sinal, é o campo electrostático que


realiza o trabalho, através da força F1e = q1 E 2e
A energia electrostática final é agora

Assim conclui-se que o trabalho realizado pelo campo E 2e para levar a carga q1 de P1
até ao ∞ é igual ao trabalho que se tinha realizado para trazer q2 do ∞ até P2.
Verificamos assim que no final da operação assim como no início a energia
electrostática do sistema é nula. Esta é uma característica de um campo conservativo.
Existe aqui uma analogia com um campo gravítico ressalvando a diferença que no caso
das massas elas são sempre positivas enquanto que as cargas eléctricas podem ser
positivas ou negativas.
Em particular, se as cargas forem de sinal contrário, tem-se
2
Em qualquer dos casos tem-se
1 q1 q 2
we (2) =
,
4π ε 0 r12
pois se q1 q 2 < 0 ⇒ we ( 2) < 0 .
Sistema de 3 cargas pontuais
Considere-se agora uma terceira carga trazida do ∞ até ao ponto P3, na presença das
outras 2.
Fig.
Se ar cargas tiverem todas o mesmo sinal, a carga q3 é trazida devido ao trabalho de




uma força exterior F ' = − F3e , com F3e = q3 ( E1e + E 2e ) . O trabalho realizado por esta
força é dado por
Seguindo o mesmo raciocínio aplicado ao sistema de 2 cargas, a energia electrostática
de um sistema de 3 cargas será dado por:
3
Sistema de n cargas
Os resultados anteriores podem generalizar-se com facilidade para
sendo
O potencial eléctrico no ponto i (devido a todas as outras cargas excepto i).
Energia electrostática de distribuições de carga em volume e em superfície
Substituindo qi por dq = ρ dv e dq = σ dS a epressão anterior
1
1
we = ∫ ∫ ∫ ρ Vdv + ∫ ∫ σ VdS
2 V
2 S
Onde V é o potencial em cada elemento de volume dv ou elemento de superfície dS,
variável portanto quando da integração.
Note-se que como dv/r é um infinitésimo de 2ª ordem e dS/r é um infinitésimo de 1ª
ordem,a expressão anterior pode conter agora a energia intrínseca em cada elemento de
volume ou de superfície, o que não acontecia com as cargas pontuais, onde a energia de
cada carga tinha de ficar de fora senão o resultado seria ∞.
Fluxo de campo electrostático
•
e
Fluxo de campo electrostático E criado por uma carga pontual através de
uma superfície esférica centrada na carga.
4
•
i)
e
Considere-se agora o fluxo do campo E criado por uma carga pontual,
através de uma superfície com uma forma qualquer.
A carga está no interior da superfície
Considere-se em particular o fluxo elementar dφe através do elemento de
superfície dS
dS’ é o elemento de superfície recortado sobre uma superfície esférica de raio r que
passe pelo ponto P

π
Note-se que dS '→ 0 quando o ângulo ( grad P • n ) →
.
2
Tem-se assim
Se integrarmos agora sobre a superfície esférica de raio r, tem-se
5
Se integrarmos agora sobre a superfície esférica de raio r, tem-se
O resultado a que se chega é o mesmo, independentemente da forma da superfície.
ii)
A carga está no exterior da superfície.
Se fizermos passar agora uma superfície de raio r1 por P1 e uma superfície de raio r2 por
P2 (vd. Fig. ), a integração sobre a superfície de raio r2 é igual a q/ε0, enquanto que a

integração sobre a superfície de raio r1 é igual a – q/ε0 (pois que agora a normal n1 é
dirigida para dentro).Note-se que a normal a uma superfície fechada é sempre dirigida
para o exterior.
Temos então como resultado final para este caso φ
e
= 0.
Teorema de Gauss (da Electrostática)
Examplo:
6
Exemplo: Fluxo através da face de um cubo com uma carga no centro
Contudo, se a carga não estiver no centro, embora o fluxo através da superfície total do
cubo seja q/ε0, não podemos concluir nada sobre o fluxo através de cada face.
Exemplo:
7