Fundamentos de Matemática para o
Ensino Superior
Profa. Dra. Edna Maura Zuffi i
(janeiro de 2015 – versão provisória)
Sumário
Introdução ............................................................................................................................................ 2
Capítulo I: Conjuntos e Funções .......................................................................................................... 4
1. Conjuntos: ................................................................................................................................. 4
2. Problemas: ............................................................................................................................... 13
3. Construção da Definição de Função: ...................................................................................... 15
4. Histórico sobre o conceito de função: .................................................................................... 16
5. Caracterização de funções e gráficos: ..................................................................................... 21
6. Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras: ............................................................................ 29
7. Composição de Funções: ........................................................................................................ 30
8. A função inversa: .................................................................................................................... 31
Capítulo II: Algumas Funções Especiais ........................................................................................... 32
1. Funções Modulares: ................................................................................................................. 32
2. Funções Exponencial e Logarítmica:....................................................................................... 33
3. Funções trigonométricas: ......................................................................................................... 39
Capítulo III: Infinito e Enumerabilidade ............................................................................................ 51
1. Conjuntos equipotentes, infinitos e enumeráveis: ................................................................... 51
2. Exercícios: ............................................................................................................................... 54
Capítulo IV: Geometria ...................................................................................................................... 56
Capítulo V: Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares ................................................................ 62
Bibliografia: ....................................................................................................................................... 63
1
Introdução
Você sabe o que é a Matemática? Para que serve a Matemática que você aprendeu até aqui? E
a do Nível Superior que começará a aprender agora, para que serve?
Responda as seguintes perguntas:
O número 1 é primo?
Quanto vale 00?
Por que a0=1, quando a≠0 e a é um número real?
2 É um número positivo ou negativo?
O que é uma função? O que é função injetora? E sobrejetora? E bijetora?
O que é um conjunto infinito? Forneça três exemplos desses conjuntos.
Por que a.0=0, para qualquer que seja a um número real?
Um quadrado é um retângulo?
Demonstre o Teorema de Pitágoras.
O que são prismas, pirâmides, cilindros, cones? Faça um esboço de cada um desses sólidos.
O que é uma reta tangente a uma curva, num dado ponto?
Resolva os seguintes sistemas, com x, y e z reais:
2 x  5 y  z  0

2)  5 x  4 y  z  1
 7x  7 y  0

 2x  5y  1

12 x  30 y  0
Simplifique as expressões abaixo, quando possível. Determine o subconjunto dos números
reais para os quais estas expressões estão bem definidas, com as variáveis a, b e x.
sen ( 2 x )
1)
4 cos x
2)
a 2  b2
a b
a 2  b2
3)
( a  b)( a  b)
4)
2 log( a  b )
log a  log b
Caso você tenha tido dificuldades em responder a uma destas perguntas, esta disciplina o
auxiliará a isso, ou seja, ela vai ajudá-lo a definir corretamente certos entes matemáticos, com uma
linguagem mais precisa e também a usar determinadas propriedades relativas aos conjuntos
numéricos e suas relações. Outro objetivo desta disciplina é fazê-lo despertar para uma visão crítica
da Matemática que teve nos Ensinos Fundamental e Médio, comparando-a com a que vai começar a
ter no Ensino Superior e, também, para que os futuros professores de Matemática (licenciandos) já
2
possam ir comparando as formas de ensino que tiveram para esses conteúdos, com possibilidades
para quando forem ensiná-los a seus alunos.
Para isto, nos capítulos I e II teremos um estudo detalhado sobre conjuntos, conjuntos
numéricos e funções reais. No capítulo III, continuaremos a aprofundar as noções de conjuntos
infinitos e enumeráveis. No capítulo IV faremos uma breve revisão de alguns fatos da Geometria
Euclidiana, plana e espacial. Finalmente, no último capítulo, falaremos sobre matrizes,
determinantes e sistemas lineares.
Em geral, a proposta pedagógica deste texto é que o aluno vá construindo seus conhecimentos
novos, a partir daqueles que já traz do nível Básico de Ensino (Fundamental e Médio). Por isso, ela
está repleta de perguntas e problemas, com lacunas para que o próprio discente vá complementando
as informações e, assim, possa exercitar a redação em uma linguagem matemática mais precisa,
desde o seu ingresso no curso. Ela também procura deixar em aberto, algumas questões que serão
discutidas em disciplinas posteriores, para que o aluno vislumbre conexões entre estas.
Esperamos contar com a sua participação e empenho nas descobertas do mundo da
Matemática Superior!
3
Capítulo I: Conjuntos e Funções
1. Conjuntos:
A noção de conjuntos é uma das mais fundamentais em Matemática. Um conjunto é formado
por elementos. É uma coleção de elementos.
Dado um conjunto A e um objeto qualquer a (que pode ser até mesmo outro conjunto),
pergunta-se se a é ou não elemento de A. Em caso afirmativo, diz-se que a pertence ao conjunto A e
escreve-se “a  A”. Caso contrário, escreve-se “a  A” e diz-se que a não pertence ao conjunto
A.
Os conjuntos mais frequentemente encontrados na Matemática são os conjuntos numéricos, as
figuras geométricas (que são conjuntos de pontos) e os conjuntos que se derivam destes, como os
conjuntos de funções, matrizes, ou conjuntos de conjuntos.
A notação de conjuntos substitui a descrição exaustiva de “propriedades” e de “condições”
relativas aos objetos que constituem seus elementos. Por exemplo, em vez de se dizer que “o objeto
x goza da propriedade P”, ou “o objeto y satisfaz à condição C”, podemos escrever “xA” e “yB”,
onde A é o conjunto de todos os objetos que gozam da propriedade P e B é o conjunto dos objetos
que satisfazem à condição C.
Assim, se P é a propriedade de um número inteiro ser par (divisível por 2) e C é a condição de
ser um número real y que satisfaça: y2-3y+2=0, teremos:
A = {... -4, -2, 0,2,4,6,...} e B={1,2}
Desse modo, pode-se escrever A e B na forma acima, ou:
A={xZ x é par} e B={ y y2-3y+2=0}.
Qual é a vantagem, então, de se dizer que “xA” e “yB”, em vez de: “x goza da propriedade
P” e “y satisfaz à condição C”? A vantagem de se utilizar a notação de conjuntos é que ela, além de
ser mais sintética, permite estabelecer entre os conjuntos uma álgebra montada sobre as operações
de união “” e intersecção “”, além da relação de inclusão “”.
Obs.: Nunca escreva coisas como “A={conjunto dos números pares}”! O símbolo {..} já significa o
conjunto cujos elementos estão descritos no interior das chaves. Pode-se escrever: A={números
pares} ou A={2n  nZ}.
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1.1. O conjunto vazio:
Este conjunto é designado pelo símbolo  e é sempre intrigante. É aceito como conjunto
porque tem a função muito útil de simplificar as proposições, evitando menções tediosas de
exceções.
Qualquer propriedade contraditória serve para definir o conjunto vazio. Por exemplo:
 = {x  x  x}.
Em muitas situações da Matemática, é importante saber que um determinado conjunto S não é
vazio. Para mostrar isso, deve-se exibir um objeto x, tal que xS.
1.2. Os conjuntos unitários:
Dado um objeto x qualquer, o conjunto {x} tem como único elemento, esse objeto x.
Observações: i) estritamente falando, x e {x} não são a mesma coisa. Por quê?
ii) E ainda: {}. Por quê?
1.3. A relação de inclusão:
Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A for também elemento de B, diz-se que A é
um subconjunto de B, que A está contido em B, ou que A é parte de B. Para indicar este fato, usa-se
a notação “A  B”.
Assim: A  B, se para todo aA, tivermos aB, ou: aA  aB.
Pode-se esquematizar este fato da seguinte maneira:
B
A
Exemplo: Sejam T={triângulos} e P={polígonos no plano}. Logo, T  P.
A relação “A  B” chama-se relação de inclusão. Quando A não é um subconjunto de B,
escreve-se “A  B”.
A relação de inclusão goza de três propriedades fundamentais. Dados quaisquer conjuntos A,
B e C, tem-se:

Reflexividade: A  A.

Anti-simetria: se A  B e B  A, então A=B.

Transitividade: se A  B e B  C, então A  C.
5
Observações:
i) Quando se deseja mostrar matematicamente que dois conjuntos A e B são iguais, mostra-se que A
 B e que B  A.
ii) A propriedade transitiva da inclusão é a base do raciocínio dedutivo, sob a forma que
classicamente se chama de silogismo. Por exemplo: “Todo ser humano é um animal. Todo
animal é mortal. Logo, todo ser humano é mortal”. Na linguagem dos conjuntos: H={seres
humanos}, A = {animais} e M = {mortais}. Temos: H  A e A  M. Logo, H  M.
iii) Se a é um elemento do conjunto A, a relação aA pode também ser escrita sob a forma {a}A.
Mas é incorreto escrever a  A ou {a}A.
iv) Em Geometria, uma reta, um plano e o espaço são conjuntos. Seus elementos são os pontos.
Assim, se r é uma reta contida no plano , escreve-se r  .
1.4. O complementar de um conjunto:
A noção de complementar de um conjunto só faz sentido quando se fixa um conjunto U,
chamado o universo do discurso, ou conjunto universo. Uma vez fixado U, todos os elementos a
serem considerados pertencerão a U e todos os conjuntos serão subconjuntos de U. Por exemplo, na
Geometria Plana, U é o plano. Na teoria aritmética da divisibilidade, U é o conjunto dos números
inteiros.
Definição de complementar: Dado um conjunto A  U (isto é, A é um subconjunto de U),
chama-se complementar de A ao conjunto Ac formado pelos elementos de U que não pertencem a A.
Assim, fixado o conjunto A, para cada x elemento de U, vale uma, e somente uma, das alternativas:
xA ou xA, isto é, xAc (princípio da não-contradição).
Valem as seguintes propriedades referentes ao complementar:
1.5.
i)
Para todo conjunto A  U, tem-se: (Ac)c = A .
ii)
Se A  B, então Bc  Ac. (ou, em notação simplificada: A  B  Bc  Ac).
União e Interseção:
Dados os conjuntos A e B, a união (ou reunião) AB é o conjunto formado pelos elementos
de A, mais os elementos de B. A interseção AB é o conjunto dos elementos que são comuns a A e
a B, isto é, que pertencem, ao mesmo tempo, aos conjuntos A e B.
Em notação simplificada:
AB = {xxA ou xB} e AB = {x xA e xB}.
6
Exemplo: Se A={números inteiros maiores que 10} e B={números inteiros menores do que 20},
tem-se: A={xZx>10} e B={xZ x<20}. Logo: AUB=Z, isto é, “todo número inteiro é maior do
que 10, ou menor do que 20”.
Valem as seguintes propriedades para a união e interseção:
i)
A B=BA e AB=BA (comutativa).
ii)
(AB)C = A(BC) e (AB)C= A(BC) (associativa).
iii)
A(BC) = (AB)(AC) e A(BC) = (AB)(AC) (distributiva).
iv)
AB=B  AB  AB=A.
v)
(AB)c = AcBc e (AB)c = AcBc.
Exercício: tente redigir uma demonstração para cada uma das propriedades acima.
1.6.
O produto cartesiano entre dois conjuntos:
Dados dois conjuntos A e B, definimos o produto cartesiano AB (lê-se “A cartesiano B”)
como sendo o conjunto de todos os pares ordenados (x,y), onde xA e yB.
De forma sintética: AB={(x,y) xA e yB}
Observação: Note que o par ordenado (x,y)  (y,x), sempre que x≠y. Logo, se A e B são
conjuntos distintos, AB é diferente de BA.
1.7.
O conjunto das partes de um conjunto:
Dado um conjunto A, definimos o conjunto das partes de A, denotado por (A), como sendo
aquele formado por todos os subconjuntos de A, incluindo o conjunto vazio e o próprio A.
Por exemplo: se A={1,2,3,4}, então(A)={, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3},
{2,4}, (3,4}, {1,2,3}, {1,2,4},{1,3,4}, {2,3,4}, A}.
Observações: i) Se o conjunto A tiver mais que quatro elementos, já ficará difícil listar todos
os seus subconjuntos. E se A for infinito, isso se torna impossível. Nestes casos, a notação (A) é
suficiente para incluir qualquer subconjunto possível de A. Por exemplo, se A for o conjunto dos
números reais , o intervalo [1,)(A), ( [1,) é o conjunto de todos os números reais maiores
que 1), pois esse intervalo é um subconjunto de . Note que, nesse caso, o símbolo “” é
adequado, pois os elementos de (A) são conjuntos.
1.8.
Relação de Equivalência:
Considere, por exemplo, os conjuntos: A={dramaturgos} e B={peças teatrais}. Seja x um
elemento de A e y um elemento de B. Podemos definir a relação: “x escreveu y”, que indica que o
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dramaturgo x escreveu a peça y, e podemos denotar que o par (x,y) pertence à relação, isto é, x se
relaciona com y, quando x escreve a peça y. Assim, podemos usar a notação:
R={(x,y)/ x escreveu y} e R será um subconjunto de AB (R AB).
Assim, definimos: se A e B são conjuntos não-vazios, uma relação binária (ou simplesmente
relação) de A em B é um subconjunto qualquer de AB.
Observação: quando A=B, dizemos que R é uma relação sobre A (R AA).
Outros exemplos:
1) Sejam A={0,1,2} e B={a,b,c}. R={(0,a), (0,b), (0,c)} é uma relação de A em B.
2) Se A=B=N, definimos R={(x,y) N / x é divisível por y}. Os pares: (15,3)R, (15,5)R,
pois 15 é divisível por 3 e é divisível por 5 (podemos também denotar: 15 R 3 e 15 R 5:
lê-se: “15 se relaciona, por R, com 3”).
3) R= é uma relação em qualquer conjunto AB.
Definição: Seja A um conjunto não-vazio e R uma relação sobre A (R AA). Dizemos que:

R é reflexiva, quando para todo x em A, o par (x,x)R (ou xRx, xA).

R é simétrica, quando, para todo par (x,y)R, o par (y,x)R (ou: se xRy, então yRx).

R é transitiva, quando (x,y)R e (y,z)R implica que (x,z)R (ou: se xRy e yRz, então
xRz).

R é antissimétrica quando (x,y)R e (y,x)R implica necessariamente que x=y (ou, se
xRy e yRx, então x=y).
Exemplos:
1) A relação R= não é reflexiva, para qualquer conjunto A não-vazio. Pois se xA,
(x,x)R.
2) A relação R={(-1,1), (-1,-1), (2,3), (0,0)} em Z, não é reflexiva, pois existem muitos
números inteiros x, para os quais o par (x,x)Z. Também não é simétrica, pois o par (1,1)R, mas (1,-1)R. Por outro lado, ela é antissimétrica, já que se xRy e yRx, então x=y
(vale para os pares (-1,-1) e (0,0) e não há nenhum outro par em que xRy e yRx, com x≠y).
Finalmente, R também é transitiva, pois o único caso em que xRy e yRz é satisfeito com os
pares (-1,-1) e (-1,1), que satisfaz xRz (-1 R 1).
Definição: uma relação R não-vazia, em A≠, será dita relação de equivalência, se R for
reflexiva, simétrica e transitiva.
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Exemplos:
1) Se A={a,b,c} e R={(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c)}. Então R é relação de equivalência.
Exercício: Justifique.
2) Se A={a,b,c,d} e R={(a,a), (a,b), (a,d), (b,a), (d,a), (b,b), (b,d), (d,b), (c,c)}, então R não é
reflexiva (logo, não é de equivalência). Verifique se R é simétrica, transitiva ou
antissimétrica.
3) Seja A={triângulos no plano euclidiano} e seja R={(x,y)AA/ “x é semelhante a y} é
uma relação de equivalência.
Exercício: Justifique.
4) Seja R={(x,y)ZZ/ “x-y é divisível por 3”}. Então R será:
 Reflexiva: pois xZ, x-x=0 e 0 é divisível por 3.
 Simétrica: pois se (x,y)R, então x-y é divisível por 3. Logo (y-x)=-(x-y) também
será divisível por 3.
 Transitiva: se (x,y)R e (y,z)R, então: x-y é divisível por 3 e y-z é divisível por 3.
Então: x-z=x-y+y-z=(x-y)+(y-z), que é a soma de dois números divisíveis por 3 e,
portanto, é divisível por 3. Logo, (x,z)R.
1.9.
Os números naturais:
Na medida em que a humanidade se civilizava, muito lentamente foi apoderando-se de um
modelo abstrato de contagem, que são os números naturais. As tribos mais rudimentares contavam
apenas um, dois, muitos. As necessidades provocadas por um sistema social cada vez mais
complexo e as longas reflexões conduziram, através dos séculos, a um aperfeiçoamento nos
instrumentos de contagem. E, decorridos vários milênios, podemos hoje descrever o conjunto dos
números naturais N, valendo-nos da notável síntese feita pelo matemático italiano Giuseppe Peano,
no limiar do século XX.
A essência da caracterização de N reside na palavra “sucessor” e a definição matemática do
conjunto dos números naturais se dá pelos seguintes axiomas, conhecidos como Axiomas de Peano:
a) Todo número natural tem um único sucessor.
b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.
c) Existe um único número natural, chamado um e representado pelo símbolo 1, que não é
sucessor de nenhum outro1.
1
Alguns autores incluem o zero como natural. Por motivo histórico, definimos esse conjunto a partir do número um.
9
d) Seja X um conjunto de números naturais (isto é, X  N). Se 1X e se, além disso, o
sucessor de todo elemento de X também pertence a X, então X= N.
O sistema de numeração decimal permite representar todos os números naturais através dos
algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Os primeiros números naturais têm nome: “um, dois, três,
quatro,...”, entretanto, os números naturais muito grandes não possuem nomes, como por exemplo
101000.
Deve ficar bem claro que o conjunto N = {1,2,3,4,5,6...} é uma sequência de objetos
abstratos. Cada um destes objetos (um número natural) possui apenas um lugar determinado nessa
sequência. Todo número tem um sucessor único e, com exceção do 1, tem também um antecessor
único.
Observação: O zero não é aqui incluído como número natural por uma questão de escolha.
Originalmente, o zero foi introduzido pelos maias e difundido pelos árabes, não como um número,
mas como um algarismo, empregado para preencher uma casa decimal vazia. (No caso dos maias, a
base do sistema de numeração era 20 e não 10).
1.10. Os números racionais:
Seja AB um segmento de reta. Fixemos um segmento-padrão unitário u, cuja medida é, por
definição, igual a 1. Se for possível decompor o segmento AB em n (n, um número natural)
segmentos justapostos de tamanho 1, isto é, congruentes ao segmento unitário u, então dizemos que
a medida de AB é n.
B
A
u
Pode ser que o segmento unitário não caiba um número exato de vezes em AB . Então a
medida de AB não será um número natural. Esta situação conduz à ideia de fração. Procurando-se
um pequeno segmento de reta w, que caiba n vezes no segmento unitário u e m vezes em AB , então
a medida de w será de 1/n e de AB será m/n.
w=1/2 u
AB = 7w = 7/2 u
B
A
w
u
Então, dado o segmento AB , encontrando-se w com as propriedades acima, dizemos que AB
e u são comensuráveis.
Relutantes em admitir como número, qualquer objeto que não pertencesse ao conjunto
{2,3,4,5...}, os matemáticos gregos, à época de Euclides, não olhavam para a fração m/n como um
10
número, e sim como uma razão entre dois números, igual à razão entre os segmentos AB e u. Os
egípcios, com exceção de 2/3, só admitiam as frações de numerador 1 (do tipo 1/n).
Hoje definimos o conjunto dos números racionais como sendo aquele que representa todos os
números da forma m/n, onde m e n são inteiros (positivos ou negativos, com n0), o que denotamos
por:
Q={m/n  m,n Z e n0}.
Obs.: O conjunto dos números racionais também pode ser dado por todos os números escritos
sob a forma decimal (decimais exatos, ou dízimas periódicas simples ou compostas).
1.11. A reta real:
Por muito tempo se pensava que, dados dois segmentos quaisquer, AB e CD , estes seriam
sempre comensuráveis, isto é, sempre seria possível encontrar um segmento EF que caberia um
número exato n de vezes em AB e um número exato de vezes m em CD . Esta crença talvez
adviesse da aritmética, onde dois números naturais quaisquer têm sempre um divisor comum (na
pior hipótese, igual a 1). Esta ilusão durou até o quarto século antes de Cristo, quando
os
Pitagóricos (discípulos de Pitágoras) observaram que o lado e a diagonal de um quadrado são
segmentos de reta incomensuráveis.
Você sabe qual foi o argumento utilizado para provar esse fato?
A existência de segmentos incomensuráveis significa que os números naturais mais as frações
são insuficientes para medir todos os segmentos da reta. A solução que se impunha para o problema
era a de ampliar o conceito de número, introduzindo os chamados irracionais, de tal modo que,
fixando-se uma unidade de comprimento arbitrária, qualquer segmento de reta pudesse ter uma
medida numérica.
Deve-se notar, no entanto, que a representação de números reais em correspondência
biunívoca com uma reta só foi possível, na História da Matemática, após terem sido resolvidos
problemas lógicos da construção do conjunto dos números reais, no final do século XIX e início do
século XX.
Hoje, a fim de representar a ideia de número real, imaginamos uma reta. Fixamos aí um ponto
O, de origem, e tomamos um segmento OA como unidade de comprimento. A origem divide essa
reta em duas semirretas. A que contém o ponto A (à direita do ponto O) é chamada de semirreta
positiva e a outra, semirreta negativa.
11
-2
-1
O
1
u
2
3
5/2
w
Temos: N  Z  Q.
Obs.:
O conjunto dos números complexos é definido a partir dos números reais e é
constituído por números da forma a+bi, onde a,b e i   1 é a unidade imaginária.
1.12. Exercícios sobre conjuntos, relações e funções
1) Sejam A, B, C e D conjuntos definidos por:
A  x   : 1  x  2, B  x   : 1  x  2 ou x  3, C  {0,3,5} e D  {x   : 2  x  3 ou x  5}
Esboce, no plano cartesiano, os conjuntos XY, onde X e Y assumem as quatro possibilidades: A, B,
C, ou D.
2) Se E= ou F=, o que é EF? Se EF=, o que se pode dizer de E e F?
3) Prove que, se E  G e se F  H , então E  F  G  H . Se E  F  G  H , necessariamente
segue que E  G e F  H ? Sob quais circunstâncias isto é verdadeiro?
4) Seja G={((x,y), z) ()}. Determine se G é o gráfico de uma função cujo domínio é um
subconjunto de , nos casos abaixo:
a) z=x+y
c) x2+y2+z=1
b) x=1
d) y=ex+z
5) Quantos elementos possui o conjunto ()? Se E é um conjunto finito de n elementos, quantos
elementos possui (E)? Demonstre.
6) Se (E) = m>0 e (F) = n>0, qual será o número de funções de EF?
7) Prove que são equivalentes as cinco afirmações abaixo sobre os subconjuntos A e B de U:
a) A  B
b) A  Bc=
c) A  B=A
d) A  B=B
e) Ac  Bc
8)
a)
b)
c)
d)
Prove as seguintes identidades entre conjuntos:
A-(BC) = (A-B)(A-C)
(A-C)(B-C) = (AB)-C
(A-B)-C = A-(BC)
A-(B-C) = (A-B)(AC)
12
9) Prove por indução:
a) 12  22  32  ...  n 2 
b)
c)
d)
e)
n( n  1)( 2n  1)
,  n .
6
a>0  an>0,  n.
22n-1.3n+2+1 é divisível por 11,  n.
32n+1+2n+2 é divisível por 7,  n.{0}.
22n+15n-1 é divisível por 9,  n.
10) Sejam a,b,c  N={1,2,3...}, números sem divisores comuns tais que a2+b2=c2. Mostre
que ou a é par, ou b é par.
11) Mostre que o quadrado de um número ímpar é da forma 8q+1, onde q.
12) Definimos uma relação R, sobre um conjunto E, como sendo o subconjunto de EE:
R={(x,y): xE e yE}. Dizemos que R é uma relação reflexiva se  xE, o par (x,x)R
[também se denota x R x]. Dizemos que R é simétrica se,  (x,y)R  (y,x)R [i.é., se xRy,
então yRx]. E dizemos que R é transitiva se (x,y)R e (y,z)R  (x,z)R [i.é., se xRy e yRz,
então xRz]. Finalmente, dizemos que R será uma relação de equivalência se for reflexiva,
simétrica e transitiva em E.
a) Se E={a,b,c}, quais das relações abaixo são de equivalência?
R1={(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (c,c)}
R2={(a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (b,c)}
R3={(a,a), (b,b), (b,c), (c,b), (a,c), (c,a)}
R4= EE
R5=
b) Se E={triângulos no espaço euclidiano} e R é a relação definida por xRy  x é
semelhante a y. Mostre que R é relação de equivalência em E.
13) Sejam A, B, C conjuntos. Prove que:
a) A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )
b) A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )
c) A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )
2. Problemas:
1.
Uma pessoa vai tomar banho. Ela enche a banheira, entra nela, lava-se, sai da banheira e
escoa a água.
a) Qual dos gráficos abaixo mostra melhor o que acontece com o nível da água na banheira?
b) O que está errado com cada um dos outros gráficos?
13
c) Se y representa um momento do banho e x a altura do nível de água na banheira, é
possível definir uma função com as variáveis x e y? Há uma expressão algébrica que
pode denotar essa função? Qual?
x
Altura da
água
Altura da
água
Tempo y
A
Altura da
água
x
C
x
tempo y
B
Altura da
água
tempo y
x
D
tempo y
2. Um menino quer aumentar sua coleção de selos. Foi ao correio e obteve do funcionário a
seguinte resposta: “Você poderia entregar encomendas a domicílio. Na primeira entrega eu
lhe daria dois selos. Em cada entrega seguinte, eu lhe daria o dobro da entrega anterior. E,
se sua resposta for afirmativa, você já ganhará um selo”. O menino resolveu pensar.
Pergunta-se: quantos selos o menino receberia para fazer a sexta entrega?
3. Em uma determinada localidade, uma empresa de táxi cobra a seguinte tarifa: R$2,00 por
bandeirada e R$3,00 por km rodado. Uma outra empresa cobra R$3,00 por km rodado e
não cobra bandeirada. Qual empresa é mais vantajosa? Esboce os gráficos das duas tarifas
no mesmo sistema cartesiano. E se a segunda empresa cobrasse R$3,50 por km rodado,
sem cobrar a bandeirada, o que aconteceria?
4. É preciso construir um tanque sem tampa em forma de prisma reto de base quadrada, para
conter um volume de 125 m3. O custo, por m2, da base é de R$80,00 e o custo, por m2, dos
14
lados é de R$40,00. Expresse o custo total do tanque em função do comprimento x dos
lados da base. Quais devem ser as dimensões do tanque a fim de minimizar os custos?
5. Os novos valores de IR-fonte são:
Base de cálculo
até R$900
de R$900 a R$1800
acima de R$1800
Alíquota
isento
15%
25%
Parcela a deduzir
R$135
R$315
Fonte: Secretaria da Receita Federal.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar, em função do rendimento.
3. Construção da Definição de Função:
Dados dois conjuntos não-vazios A e B, responda às seguintes perguntas:
1. O que é uma relação de A em B?
2. O que é uma relação de B em A?
3. O que é uma função de A em B?
4.
Qual a ligação desses dois conceitos matemáticos: “relação” e “função”?
Agora observe suas respostas e compare-as com as definições de função de Dirichlet e
de Bourbaki, que se encontram no tópico seguinte. Suas respostas estão coerentes com estas
definições?
5.
Escreva, a seguir, a definição de função na forma que você julga mais adequada
para apresentar no Ensino Médio. O que ela tem em comum com estas duas
definições históricas?
15
6.
Quais são as duas condições essenciais para que uma relação seja função?
7.
Existem funções não visualizáveis num gráfico? Se existirem, cite exemplos.
8.
Existe função que não se representa por uma expressão algébrica? (Cite exemplo).
9.
Existem funções cujo domínio não é o conjunto dos números reais? (Cite exemplo).
10. Existem funções cujo domínio não é um conjunto numérico? (Cite exemplo).
11. Como se determina o domínio de uma função, em geral?
4. Histórico sobre o conceito de função:
Não parece existir um consenso, entre os diversos autores, a respeito da origem do
conceito de função. Alguns deles consideram que os babilônicos já possuíam um “instinto de
funcionalidade”. (Youschkevitch, 1976). Pode-se encontrar este “instinto de funcionalidade”,
desde cerca de 2000 A.C., nos cálculos babilônicos com tabelas sexagesimais de quadrados e
de raízes quadradas, podendo ser tomadas como “funções tabuladas”, destinadas a um fim
prático.
16
Entre os gregos, as tabelas que faziam a conexão entre a Matemática e a Astronomia,
trazem evidências maiores de perceberem a ideia de dependência funcional. (Youschkevitch,
1976).
Segundo Boyer (1968), há indícios de ideias primárias de função anteriores a 1361,
quando Nicole Oresme, na França, descreveu
graficamente um corpo movendo-se com
aceleração uniforme no tempo. Porém, o trabalho de Oresme resumia-se, ainda, a aspectos
qualitativos, sem se utilizar de medidas. (Youschkevitch, 1976).
Para Youschkevitch (1976), há três fases principais do desenvolvimento da noção de
função:
1) A antiguidade, na qual o estudo de casos de dependência entre duas quantidades
ainda não havia isolado as noções de variáveis e de função;
2) A Idade Média, onde as noções eram expressas sob uma forma geométrica e
mecânica, mas em que ainda prevaleciam, em cada caso concreto, as descrições
verbais ou por um gráfico;
3) O período Moderno, a partir do século XVII, principalmente.
Galileu Galilei (1564-1642) contribuiu para a evolução da ideia de função, ao introduzir
o quantitativo nas suas representações gráficas. O advento de instrumentos de medida
propiciaram a busca por resultados inspirados na experiência e na observação. Seu principal
interesse estava no estudo dos movimentos, efetuando medidas para constatar a velocidade, a
aceleração e as distâncias percorridas pelos corpos.
Já Descartes (1696-1650) utilizou-se de equações em x e y para introduzir uma relação
de dependência entre quantidades variáveis, de modo a permitir o cálculo de valores de uma
delas, a partir dos valores da outra.
Entretanto, compreendemos que foi a partir dos trabalhos de Newton (1642-1727) e
Leibniz (1646-1716), que as primeiras contribuições efetivas para o delineamento do conceito
foram propostas.
Newton usava o termo “fluentes” para descrever as suas ideias sobre funções, e estas
encontravam-se bastante ligadas à noção de curva e a “taxas de mudança” de quantidades
variando continuamente. Newton desenvolveu também uma grande habilidade em expressar
estes “fluentes” em termos de séries infinitas, para o cálculo de comprimentos, áreas,
volumes, distâncias, temperaturas.
17
Leibniz usou o termo “função” na década de 1670, para se referir a “certos segmentos
de reta cujos comprimentos dependiam de retas relacionadas a curvas”. Logo depois, o termo
foi usado para se referir a quantidades dependentes ou expressões (Itô, 1987).
Nota-se que as primeiras definições do conceito revelam um certo encantamento pela
álgebra, onde a função era dada por uma expressão algébrica, como veremos a seguir, na
definição dada por Jean Bernoulli (1667-1748) (Sierpinska, 1992, p. 45):
Este matemático, assim como seu irmão Jaques Bernoulli, estava interessado em
funções que fossem bem comportadas, devido à natureza dos problemas para os quais
contribuiu. Estudou curvas como a catenária e funções exponenciais simples: y=ax , e gerais:
y=xx. Para esta última, propôs também sua expansão em séries de exponenciais. Jean
experimentou várias notações para uma função de x, cuja mais próxima da notação moderna é
“x ” (Boyer, 1968).
Outra definição interessante é a de Leonard Euler (1707-1783), que foi discípulo de
Jean Bernoulli: “Uma função de uma quantidade variável é uma expressão analítica,
composta de alguma maneira desta mesma quantidade e números ou quantidades constantes.
Assim, qualquer expressão analítica a qual, além da variável z, contém também quantidades
constantes, é uma função de z. Por exemplo: a+3z; az-4zz; az+b/aa-zz; cz, etc, são funções de
z.”
Euler, a partir de seu “Introductio in analysin infinitorum”, de 1748, organizou o
cálculo diferencial (Boyer, 1968, p.485). A partir daí, a ideia de função tornou-se
fundamental, enquanto esteve implícita na Geometria Analítica de Fermat e Descartes, assim
como nos estudos de Newton e Leibniz.
Entretanto, a definição dada por Euler falha ao não explicitar o que é uma “expressão
analítica”. Mas não se deve deixar de observar que este matemático trouxe grandes
contribuições para a linguagem simbólica e as notações que utilizamos hoje, entre elas, o
“f(x)” para denotar uma função de x (além da letra e, para a base de logaritmos naturais, 
para o perímetro da circunferência dividido por seu diâmetro, i para
1 ,
 para somatório,
etc.).
A imprecisão da definição de limite de uma função proposta por Euler, que se utilizava
de ideias dúbias sobre os diferenciais, parece refletir a própria imprecisão em sua definição de
função e de variável. Segundo Euler, os diferenciais eram símbolos para “quantidades que
são zero” e também “quantitativamente diferentes de zero”. Esta sua proposta foi criticada por
18
D’Alembert, o qual tentou melhorar o conceito de limite, mas esta questão só foi bem
resolvida no século XIX (Boyer, 1968).
Um outro detalhe interessante que, a nosso ver, pode ter indiretamente contribuído para
o aperfeiçoamento da definição de função (e, particularmente, para a de funções logarítmicas
e exponenciais), é que Euler foi quem esclareceu que os logaritmos de números negativos não
são números reais. Isto era bastante confuso, até então, e acabou por levar a se pensar em
restrições para os domínios destas funções e para as bases consideradas. Euler também
trabalhou com as funções seno e cosseno para números complexos, o que, juntamente com os
estudos de D’Alembert a este respeito, serviram como antecipação de um ambiente favorável
para o desenvolvimento da teoria de funções de variáveis complexas de Cauchy, no século
XIX.
Outra definição de função interessante é a do matemático francês Jean-Louis Lagrange
(1736-1813): “Chama-se função de uma ou várias quantidades toda expressão de cálculo na
qual estas quantidades entram de uma maneira qualquer, misturadas ou não com outras
quantidades, que se vêem como valores dados e invariáveis, de modo que as quantidades da
função podem receber todos os valores possíveis. Assim, nas funções considera-se somente as
quantidades que se consideram variáveis, sem consideração às constantes que podem estar aí
misturadas.”
Lagrange utilizou as notações f’(x), f”(x), ..., f n(x) para a 1ª. , 2ª., ..., n-ésima derivadas
de uma função f(x). Também trabalhou com a expansão de funções em séries de potências,
mas deixou lapsos quanto à convergência destas séries e também no estudo de funções que
não eram expressas em séries infinitas. (Note-se, aqui, que sua definição de função tem o
cuidado de incluir funções de várias variáveis).
Outro matemático francês foi Augustin Cauchy (17..-1857), que influenciou
marcadamente a Matemática do início do século XIX. A definição de função, segundo
Augustin Cauchy, era : “Chamam-se funções de uma ou várias quantidades variáveis às
quantidades que se apresentam, no cálculo, como resultados de operações feitas sobre uma
ou várias outras quantidades constantes ou variáveis”.
Apesar dessa sua definição ainda imperfeita para o conceito de função, a teoria de
funções de uma variável complexa foi desenvolvida por Cauchy a partir de 1814. Pode-se
observar algumas similaridades do trabalho de Cauchy com o de Bolzano (1781-1848). Este
último, por volta de 1840, parecia reconhecer que os números reais não são enumeráveis, ou
seja, que seu “infinito” é diferente daquele dos conjuntos de números naturais e inteiros.
19
Enquanto Newton, à sua época, preocupava-se com curvas geradas por movimentos
suaves e contínuos, Bolzano, em 1834, apresentava uma função que era contínua, mas que
não era diferenciável em nenhum ponto do intervalo em que se definia. Este exemplo passou
despercebido, até ser redescoberto e difundido por Weierstrass (1815-1897).
Esta foi a época em que despontaram os trabalhos de Ampère, Poisson e Fourier, que
tinham também interesse em magnetismo e outros assuntos da Física.
Para Fourier, qualquer função y=f(x) poderia ser representada por uma série do tipo:
y

1
a 0   (a n cos nx  bn sen nx) , e esta conferiria maior generalidade ao tipo de função
2
n 1
que poderia ser estudada.
Em 1837, Peter Gustav Lejeune-Dirichlet (1805-1859), que sucedeu Gauss em
Göttingen, propôs a seguinte definição geral de função, a qual foi amplamente aceita até
meados do século XX: “Se uma variável y está relacionada a uma variável x de modo que, ao
se atribuir qualquer valor numérico a x, existe uma regra de acordo com a qual um único
valor de y é determinado, então y é dito ser uma função da variável independente x”
(tradução nossa).
Embora esta última chegue próximo à noção moderna, à época de Dirichlet, os
conceitos de “conjunto” e
de “número real” ainda não tinham sido precisamente
estabelecidos. Mas a “regra” proposta por este matemático poderia ser bastante arbitrária
(p.ex. f(x)=c, para os valores de x irracionais, e f(x)=dc, para os valores de x racionais, o que
determinava, já àquela época, uma função bastante “mal comportada”.) (Boyer, p.405).
Em 1867, Hankel tornou possível aos matemáticos compreender que os números reais
devem ser vistos como “estruturas intelectuais”, mais do que como magnitudes dadas
intuitivamente e herdadas da geometria de Euclides. Em 1872, cinco matemáticos, inclusive
Weierstrass, propuseram uma teoria de números reais como limites de seqüências de números
racionais.
Também em 1872, um argumento mais completo para o problema dos números reais foi
dado por Dedekind (1831-1916). Com os “cortes de Dedekind”2 no sistema de números
racionais e o axioma de Cantor-Dedekind (segundo o qual os pontos de uma reta podem ser
2
Para toda divisão dos números racionais em duas classes A e B, tais que cada número da primeira classe, A, é
menor do que todo número da segunda classe, B, existe um só número real produzindo este ‘Schnitt’, ou corte de
Dedekind. Se A contém um ponto de máximo como elemento, ou B contém um mínimo, então o corte define um
número racional. Caso contrário, o corte define um número irracional. (Boyer,1968)
20
colocados em correspondência 1 a 1 com os números reais), o conjunto dos números reais
mostrou-se realmente como uma construção intelectual humana.
Ainda no ano de 1872, aparece a definição precisa de um conjunto infinito, dada por
Dedekind (quando um de seus subconjuntos próprios está em correspondência biunívoca com
o conjunto dado). Cantor também apresentou contribuições sobre a noção de “infinito”,
mostrando que os infinitos dos naturais e dos reais não são os mesmos.
Uma definição de função, que é usada atualmente nos meios matemáticos e científicos,
e que foi proposta em 1939, é a de Bourbaki. (Este era o pseudônimo utilizado em
publicações de um grupo de matemáticos do qual participavam André Weil e Jean
Dieudonné). Eis a definição:
Uma função é uma tripla ordenada (X,Y,f), onde X e Y são conjuntos e f é um
subconjunto de XY, tal que, se (x,y)f e (x,y’)f, então y=y’. (Sierpinska, 1992, p.30)
A obra de Bourbaki está caracterizada por um tratamento axiomático e uma forma
rigidamente abstrata. A sua ênfase na estrutura acarretaria economia de pensamento, o que
parece ter sido levado em conta nas reformas educacionais propostas pelo movimento da
Matemática Moderna, na década de 60 (Boyer, 1968, p.675).
Com esta definição mais geral, e com a eliminação dos problemas lógicos que
envolviam a construção do conjunto dos números reais, é possível elaborar, hoje, funções
muito mais abrangentes. Por exemplo, aquelas usadas no sentido de “aplicações”, definidas
em conjuntos quaisquer, ou em estruturas da Álgebra, onde os domínios e imagens são
“grupos”, “corpos”, “anéis”, etc. Dentro da própria Análise, o conceito se estende à ideia de
“funcional”, quando o seu domínio é um espaço de funções, ou seja, quando temos, a grosso
modo, “função de funções”. As próprias sequências, numéricas ou mais gerais, passam a ser
vistas como exemplos de funções, cujo domínio é o conjunto dos números naturais.
5. Caracterização de funções e gráficos:
5.1. Uma panela, contendo uma barra de gelo a 40o C é colocada sobre a chama de um
fogão. Nestas condições, o gráfico abaixo nos mostra a evolução da temperatura da água
em função do tempo:
C
100
80
60
40
20
-20
-40
2
10
20
t (min)
21
a) qual é a lei que descreve essa evolução nos dois primeiros minutos? E nos oito minutos
seguintes? E nos dez minutos que se seguem?
b) O que significam as diferentes inclinações dos três segmentos que compõem o gráfico?
5.2. a) Trace os gráficos das seguintes funções definidos em R e com valores em R
y = x2;
y = x2 – 2
y = x2 + 2;
b) determine as coordenadas dos vértices destas parábolas
c) As concavidades destas parábolas estão voltadas para cima ou para baixo? Por quê?
d) Todas estas parábolas têm o mesmo eixo de simetria? Se sua resposta for afirmativa,
diga qual é esse eixo.
5.3. A seguir, são apresentados os gráficos que fornecem os alongamentos, em cm, de duas
molas, em função das forças em gf, exercidas em suas extremidades.
Along. (cm)
50
Mola 2
40
30
20
10
Mola 1
100
300
500
peso (gf)
a) Qual é a mola mais fraca (i.e. aquela que se alonga mais facilmente) ?
b)
Qual é a lei de cada uma dessas funções, representadas nos gráficos acima?
22
5.4. Considere as três funções dadas por :
i) x =
t
;
2
ii) x =
t
-3
2
e
iii) x =
t
+2
2
a) Para cada uma delas, a cada unidade que se aumente no valor de t, como aumentam os
valores de x?
b)
As três retas representativas dos gráficos dessas funções têm mesma declividade?
c)
Faça os gráficos dessas funções num mesmo sistema cartesiano;
d)
O que acontece nos 3 casos acima se o coeficiente angular passa a ser - 1?
e)
Compare i) com os casos onde o coeficiente angular é 2 ( i.e. x =
t
2
e x = 2t)
5.5. Construa, num mesmo sistema de eixos cartesianos, os gráficos das funções de  em :
y = 1 x2
y = 1 (x – 2)2
y = 1 (x + 2)2.
Compare os gráficos que construiu. O que você pode concluir?
5.6. Construa, num mesmo sistema de eixos cartesianos, os gráficos das funções de  em :
z = 3y2
z = y2
z=
1 2
y
3
Observando estes gráficos, o que você conclui?
5.7. Caracterização de Funções:
5.7.1. Uma função f:   , dada por y = k, é chamada de função constante (onde k é
uma constante real)
Como é o gráfico dessa função?
23
5.7.2. Uma função f:   , dada por y = ax, chama-se função linear (onde a  , a  0).
Como é o gráfico de uma função linear de domínio ?
5.7.3. Uma função f:    chama-se afim, quando existem constantes a,b   tais que
f(x)=ax+b,  x  .
Como é gráfico de uma função afim de domínio ?
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS FUNÇÕES AFINS (y=ax+b):
Se x1, x2 são distintos, então: a = [f(x1)-f(x2)]/(x1-x2) (é sempre constante!)
Tal constante é o coeficiente angular da reta que representa o gráfico da função afim.
E ainda, dados x, x+h , com h0, o número
f ( x  h)  f ( x )
chama-se taxa de crescimento (ou taxa de variação) da função f, no
h
intervalo de extremos x e x+h.
No caso da função afim, a taxa de crescimento é sempre constante e igual ao
coeficiente angular a, em qualquer intervalo da reta real. Isto vale para outros tipos de
função?
PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES LINEARES:
i)
Uma função linear é um caso particular de função afim (quando b=0)
ii) Se f(x) = ax, com a, então:
f(0)=0; f(x1+x2) = f(x1)+f(x2) e f(x)=f(x), para todo .
Estas três últimas condições, juntas, definem quaisquer funções ou operadores
lineares, em conjuntos quaisquer (não necessariamente numéricos).
5.7.4. Uma função f:    , dada por
f(x)=y = ax2+bx+c (a,b,c  , com
a  0),
chama-se função quadrática ou função do 2.ograu.
Como é o gráfico da função quadrática?
24
Exercício: Calcule a taxa de variação da função quadrática no intervalo [x,x+h], com
h0. Ela depende de x? Compare com o caso da função afim.
5.7.5. Uma função f:    é uma função poligonal, quando existem
to < t1 < ... < tn
tais que, para x  to, para x  tn e em cada um dos intervalos [ti-1, ti], f coincide
com uma função afim fi. Ou seja:
 f 0 ( x), se x  t 0
 f ( x), se t  x  t

0
1
f ( x)   1
, onde cada fi é uma função afim.

 f n1 ( x), se x  t n
Como é o gráfico de uma função poligonal?
5.7.6. Uma função p:    é uma função polinomial quando existem números reais ao,
a1,...,an tais que, para todo x  , tem-se:
p(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1x + ao
Se an  0, dizemos que p tem grau n.
5.7.7. Faça um esboço dos gráficos das funções abaixo, atribuindo 10 valores para as
abscissas:
z = t3
z = t4
5.7.8. A partir dos gráficos anteriores, construa os gráficos de:
25
z = t3-2
z = t4 + 2
z = (t-1)4
z = (t+1)4
5.8. Vértice da parábola, função quadrática e concavidade:
5.8.1. Numa parábola, o vértice V é o ponto de intersecção desta com o eixo de simetria. No
caso da função quadrática, cujo gráfico é dado por uma parábola, o vértice é o ponto
extremo da função (isto é, de máximo ou de mínimo valor para as imagens dessa
função) e possui coordenadas: V=(-
b
1
,).
2a
4a
Justificativa:
Observe o gráfico:
y=ax2+bx+c
c
0

**
*
-b/a
* e ** são os pontos da parábola que têm ordenada c
Em y = ax2+bx+c, substituindo y por c, obtemos:
c = ax2+bx+ c  a2 + bx = 0  x(ax + b) = 0  x = 0 ou x = -
b
a
A parábola é simétrica em relação ao eixo de simetria, que passa pela abscissa xv (pontilhado
na figura). Logo, xv é a média de 0 e -
b
b
 xv = a
2a
Substituindo x por xv, obtemos:
yv = -

(b 2  4ac)
= , onde =b2-4ac.
4a
4a
5.8.2. Para a função y=ax2+bx+c, temos:
26

Se a>0, a concavidade da parábola que a representa é para cima.

Se a<0, a concavidade é para baixo.
Justificativa:
y = ax2+bx+c = a(x2+b/a x)+c (note que a0)

2bx b 2
y = a x 2 
 2
2
a
4a

2
 b2
b 
(b 2  4ac)



c

a
x





 4a
2
a
4
a



2
b 


y = a x   
.
2a 
4a


Se a>0, como o termo entre parênteses está ao quadrado, ele é positivo ou nulo.
Então, nesse caso: y 

( y v ), x   . (Isto é, toda imagem é superior a yv 4a
ele é valor mínimo – e a parábola só pode ter concavidade para cima).

Se a<0, pelo mesmo argumento se conclui que y 

( y v ), x   . (Isto é,
4a
toda imagem é inferior a yv – ele é valor máximo - e a parábola só pode ter
concavidade para baixo).
5.9. Exercícios sobre funções:
1. Determine a função representada pela reta r, na figura abaixo, dado que a área do
trapézio destacado é 6 u.a.
y
r
(6,4)
0
4
6
x
2. Esboce o gráfico da função h( x)   x 2  5 x  0,5 .
3. Diga quais dos gráficos abaixo podem representar funções. Nos casos afirmativos,
determine o domínio e a imagem. Informe também se tais funções são injetoras,
sobrejetoras ou bijetoras.
y
y
y
10
9/7
7
0,5
5
1
1
(A)
7
x
2
(B)
6 x
1
3
(C)
5
x
27
4. Uma empresa aérea vai vender passagem para um grupo de 100 pessoas. Ela cobrará
desse grupo, 2.000 dólares por passageiro embarcado, mais 400 dólares por passageiro
que não embarcar. Pergunta-se:
a) Qual é a relação entre a quantidade de dinheiro arrecadado pela empresa e o
número de passageiros embarcados?
b) Quanto arrecadará a empresa se viajarem somente 40 passageiros?
c) Quantos passageiros viajarão se a empresa só conseguir arrecadar 96.000
dólares?
5. Em um terreno de formato triangular, deseja-se construir uma casa com formato
retangular, como na figura abaixo. Determine as dimensões da casa, de maneira que a
área construída seja máxima.
15
30
6. Utilize a interpretação geométrica do módulo para resolver as equações e inequações
abaixo:
a) x  1  4
b) x  1  2
c) x  1  x  5
7. Prove que:
a) a função f: X Y é injetora se, e somente se, existe uma função g: Y X tal
que g(f(x))=x, para todo xX.
b) a função f: X Y é sobrejetora se, e somente se, existe uma função h: Y X
tal que f(h(y))=y, para todo yY.
8. A escala de temperaturas N, abaixo, foi feita com base nas temperaturas máxima e
mínima de Nova Iguaçu. A correspondência com a escala Celsius é dada pela tabela ao
lado. Em que temperatura ferve a água na escala N?
N C
0
18
100 43
28
9. Uma caixa d’água de 1.000 litros tem um furo no fundo, por onde escoa a água a uma
vazão constante. Ao meio dia de certa data, ela foi cheia e, às 6h da tarde desse dia, só
tinha 850l. Quando ela ficará pela metade?
10. As grandezas x e y são inversamente proporcionais. Se x sofre um acréscimo de 25%,
qual será o decréscimo percentual de y?
6. Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras:
6.1. Uma função f: A  B é injetora, se dois elementos distintos de A correspondem
sempre a duas imagens distintas em B. (Isto é, f(x1)=f(x2)  x1=x2 ou x1x2 
f(x1)f(x2)).
6.2. Uma função f: A  B é sobrejetora quando todo elemento de B é imagem de pelo
menos um elemento de A. (Isto é, Im(f)=B=CD(f) ou B=Im(f)={bB/ existe aA tal
que f(a)=b}).
6.3. Uma função f: A  B será bijetora se ela for, simultaneamente, injetora e sobrejetora.
6.4. Dada uma função f: A  B bijetora, chamaremos de função inversa de f a função g:
B  A tal que, se f(a) = b, então g(b) = a,  a  A e  b  B. Denotamos, nesse caso:
g(x)=f 1(x), para todo x em B.
OBSERVAÇÕES GERAIS:
i) O gráfico de uma função bijetora f, e o gráfico de sua função inversa f –1, são
simétricos em relação à reta y = x.
ii) Espera-se que, ao analisar os problemas e exercícios referentes à construção e
interpretação de gráficos, você perceba que:
a) O crescimento e decrescimento da função de 1.o grau depende exclusivamente do
coeficiente angular a.
b) Uma função de 1.o grau é bijetora.
iii) As raízes ou zeros de uma função são os valores das abscissas que correspondem à
ordenada zero (i.é, correspondentes a y=0).
29
Para a função de 1.o grau, atribuímos a y o valor zero e resolvemos a equação ax + b = 0
 x=-
b
(a  0).
a
No gráfico de y = ax + b, a raiz x = -
b
a
corresponde à abscissa onde a reta intercepta
o eixo Ox.
iv) Uma função de 1.o grau crescente assume valores positivos para todo x maior que a
raiz, e valores negativos, para todo x menor que a raiz. O inverso ocorre com uma
função 1.o grau decrescente.
7. Composição de Funções:
Sejam f : A  B e g : B  C
duas
funções.
Definimos
g f : AC
por
g  f ( x)  g ( f ( x)), x  A . (   “qualquer que seja ou para todo”). Afirmamos que g  f é
uma função, pois para todo x em A, existe um único elemento f(x) em B (pois f é função) e
como g também é função de B em C, g(f(x)) determina um valor único em C. Logo, para todo
x em A, g  f (x ) define um único valor em C.
Chamamos g  f de função composta de g com f. Observe que o domínio da função g é
o contradomínio de f (na verdade, basta que CD(f) seja subconjunto de B, isto é, g seja
aplicável em qualquer possível imagem de f).
Exemplos:
1) Sejam f e g funções dadas pelos diagramas abaixo:
A
f
a
g
B
b
c
x
y
z
w
C
d
e
h
i
Temos:
g  f (a )  g ( f (a ))  g ( y )  e
g  f (b)  g ( f (b))  g ( x)  d
g  f (c)  g ( f (c))  g (w)  i
2) Se h( x )  cos(4 x  5) , podemos dizer que f ( x)  4 x  5 e g ( x)  cos x e teremos
que g  f ( x)  h( x), x   . Verifique!
30
3) Se f ( x )  
x2
e g ( x )  2 x , determine g  f ( x) e f  g ( y ) .
2
4) Se k ( x )  2sen( x 4  2 x 2  1) , determine as funções para as quais k(x) é uma
composição.
Se p( x )  x 4  2 x 2  1 e g ( x )  2senx, então :
g  p( x )  g ( p( x ))  g ( x 4  2 x2  1)  2sen( x 4  2 x 2  1)  k ( x ) .
8. A função inversa:
Seja f : A  B uma função bijetora. Então, sempre existirá g : B  A tal que
f  g ( y )  y, y  B e g  f ( x)  x, x  A . Chamamos g de função inversa de f e
denotamos por g  f 1 .
Exemplo: Se f : A  a , b, c, d   B  x, y , z , w é tal que f(a)=y, f(b)=z, f(c)=w e
f(d)=x, então f é injetora e sobrejetora (explique por quê). Basta definirmos g  f 1 : B  A
por: g(x)=d, g(y)=a, g(z)=b e g(w)=c e assim teremos:
g  f (a )  g ( f (a ))  g ( y )  a ; g  f (b)  g ( f (b))  g ( z )  b ;
g  f (c)  g ( f (c))  g (w)  c e g  f ( d )  g ( f ( d ))  g ( x)  d .
E ainda:
f  g ( x)  f ( g ( x))  f (d )  x ; f  g ( y )  f ( g ( y ))  f ( a )  y ;
f  g ( z )  f ( g ( z ))  f (b)  z e f  g (w)  f ( g (w))  f (c)  w .
Logo: g  f 1 e f  g 1 .
31
Capítulo II: Algumas Funções Especiais
1. Funções Modulares:
 x, se x  0
1.1. Definição: definimos a função modular f :    por f ( x )  x  
.
 x, se x  0
O gráfico da função modular é uma poligonal:
y=
x
x
1.2. Composição da função modular:
Se o gráfico de f(x) é dado como abaixo, então o gráfico de g ( x)  f ( x) será dado
como ao lado:
g ( x)  f ( x)
f(x)
x
x
1.3. Exemplos: 1) desenhar o gráfico de h( x )  x 2  3x  2 :
2) Qual será o gráfico de p( x)  x  7  9 ?
32
1.4. Exercícios sobre funções e funções modulares:
1) João está crescendo. Sua altura, nos dias de seu aniversário, é dada pela tabela abaixo.
Qual a variação média da altura de João durante os 4 primeiros anos de sua vida? E nos
últimos 4 anos? Em que período é maior a taxa de crescimento?
Idade (anos) Nasc. (0)
Altura (cm)
48
1
70
2
83
3
90
4
98
5
105
6
110
7
118
8
123
9
128
10
135
2) A figura abaixo mostra o número de fazendas (em milhões), nos EUA, entre 1940 e
1990. Avalie a taxa média de variação do número de fazendas entre 1950 e 1970.
7
6
nº faz.
5
4
3
2
1
0
1940
1950
1960
1970
1980
1990
ano
3) Esboce os gráficos das seguintes funções compostas, determinando quais as composições:
a) f1(x) = cos(3x) (ache o período)
b) f2(x) = | x2 + 4x | - 8
c) f3(x) = 25x
d) f4(x) = ( x + 51/2)5
e) f5(x) = | 3x + 5 |
f) f6(x) = x2 + | x | + 1
2. Funções Exponencial e Logarítmica:
2.1. Construção da Exponencial:
Seja a   (a positivo e não-nulo). Dado um inteiro n>0, a potência an é definida
como o produto de n fatores iguais ao número a, ou seja: an=a.a....a (n-vezes).
33
Vale a propriedade fundamental: para quaisquer m e n inteiros e positivos, então:
am.an=am+n.
De fato:
Da definição, teremos: a m .a n 
( a.a...a )( a.a...a )
( a.a....a.a.a )

 a mn .
( m  vezes )( n  vezes ) ( m  n ) vezes
Se quisermos definir a0, com a>0, de modo que a propriedade acima continue válida,
seremos obrigados a convencionar que a0=1, para que: a 0 .a n  a 0  n  a n e, de fato:
a 0  a n / a n  1.
Para estendermos a noção de potências para expoentes negativos, mantendo-se, ainda, a
validade da propriedade fundamental, devemos ter:
a  n .a n  a  n  n  a0  1 , donde: a  n  1
an
.
Evidentemente, a relação fundamental vale para o produto de várias potências com
expoentes inteiros: a m .a n .a p .a q  a m n  p  q . Em particular, tomando um produto de p fatores
iguais a am, obteremos:
a m .a m ...a m
 ( a m ) p  a mp .
( p  vezes )
Definição: dado o número real a>0 e um número inteiro q>0 (note que até o momento,
a é sempre positivo), o símbolo
q
a representa o número real positivo cuja q-ésima potência
é igual a a, ou seja, é a única raiz positiva da equação xq-a=0.
Portanto:
q
a  0 e ( a )q  a .
q
p
Por extensão, definiremos a
q
, onde p,q são inteiros e q>0, de modo a manter as
p
propriedades anteriormente válidas. Logo: a
p
é igual a ap, isto é, a
q
q
deve ser o número real cuja q-ésima potência
 a p . Em particular: a
q
1
q
 a.
q
Assim, dado a   (a>0), sabemos definir, até o momento, a potência ar, para
qualquer número r inteiro positivo, nulo, negativo, ou r fracionário. Resta-nos, então, definir
ar, para r irracional.
Vamos fazer isto por aproximação, de forma que a exponencial não dê “saltos”, ou seja,
em linguagem matemática, que ela represente uma função contínua. (Você aprenderá esse
conceito na disciplina de Cálculo I).
Por exemplo, como definir a?
34
Sabemos que  admite uma sequência de números racionais que se aproxima cada vez
mais dele: 3,14; 3,1416; 3,14159; 3,141592; 3,1415926, ...  .
Assim, para a>0, sabemos definir:
a
3,14
a
314
100
; a
31416
10000
....  a (números reais que se aproximam cada vez mais de a).
E pode-se constatar que esses valores ficam cada vez mais próximos. Então, a  será o
valor real para o qual se aproximam todas essas potências. Em notação de limite, que você

também aprenderá no curso de Cálculo I, a  lim a
 pn 
 q 
 n 
n
p 
, onde  n  é uma sequência de
 qn n 1
racionais que se aproximam de  quando n.
Isto é possível (ou seja, a existência desse número limite), por uma propriedade do
conjunto dos números reais, chamada de “completude”, sobre a qual você aprenderá na
disciplina de Análise.
p
Observação: vejam que não é possível definir sempre a
q
, quando a base a for
negativa!
Exercício: Explique por quê.
Assim, definiremos a função f(x)=ax, para um dado a>0, a≠1, como sendo aquela que
associa a cada valor x   , a potência y=ax, que também é um número real.
Exercício: Tente explicar por que excluímos a=1.
O gráfico da função exponencial tem os aspectos abaixo, conforme a base da potência
seja um número positivo maior ou menor que 1:
a>1
0<a<1
y=ax
y=ax
1
1
0
Se a  1 :
a x  0, quando x  
a x  , quando x  
x
0
x
Se 0  a  1 :
a x  0, quando x  
a x  , quando x  
35
Exercício: Explique por que ocorre o comportamento acima.
Observação: todas as propriedades da potenciação continuam válidas para expoentes
reais, quando a base a>0:
i)
a0=1
ii)
ar+s=ar.as, para todos r,s números reais
iii)
(ar)s=ar.s, para todos r,s reais
iv)
ar 
1
, para todo r real.
ar
Exercício: E agora, tende descobrir quanto vale 00...
2.2. A lenda do tabuleiro de xadrez:
Existem diversas mitologias associadas à criação do xadrez, sendo uma das mais
famosas aquela que a atribui a um jovem brâmane indiano, chamado Lahur Sessa. Segundo a
lenda, contada em O Homem que Calculava, do escritor e matemático brasileiro Malba Tahan
(Júlio César de Mello e Souza), numa província indiana chamada Taligana, havia um
poderoso rajá que havia perdido o filho em batalha. Ele sentia-se em constante depressão e
passou a descuidar-se de si e do reino.
Certo dia, o rajá foi visitado por Sessa, que lhe apresentou um tabuleiro com 64 casas
brancas e negras intercaladas, com diversas peças que representavam a infantaria, a cavalaria,
os carros de combate, os condutores de elefantes, o principal vizir e o próprio rajá. Sessa
explicou que a prática do jogo daria conforto espiritual ao rajá, que finalmente encontraria a
cura para a sua depressão, o que realmente ocorreu.
Este último, agradecido, insistiu para que Sessa aceitasse uma recompensa por sua
invenção e o brâmane pediu simplesmente um grão de trigo para a primeira casa do tabuleiro,
dois para a segunda, quatro para a terceira, oito para a quarta e assim sucessivamente, até a
última casa. Espantado com a modéstia do pedido, o rajá ordenou que fosse paga
imediatamente a quantia em grãos que fora pedida.
Depois que foram feitos os cálculos, os sábios do reino ficaram atônitos com o resultado
que a quantidade de grãos havia atingido, pois, segundo eles, toda a safra local, durante 2.000
36
anos, não seria suficiente para cobri-la. Impressionado com a inteligência do brâmane, o rajá
convidou-o para ser o principal vizir do reino, e foi perdoado por Sessa de sua grande dívida
em trigo3.
Você pode dar uma explicação matemática para essa lenda?
Veja: até a 64ª casa, teríamos as quantidades de grãos: 1+2+22+23+...264=264-1 =
18.446.744.073.709.551.615 (ordem de quintilhões).
Sabe-se que a produção brasileira de grãos em 1992 foi de 2,839 milhões de toneladas,
o que se calcula que represente 65 trilhões de grãos, aproximadamente. Donde se conclui que
aquele rei jamais teria como pagar o sábio.
Exercício: A partir desse modelo de raciocínio, retome o problema do selo, indicado no
capítulo I, seção 2, deste texto e resolva-o. O que aconteceria se o rapaz fizesse 30
entregas?
2.3. Construção do logaritmo:
Pelos gráficos dados anteriormente, podemos verificar que a função exponencial,
definida com domínio  e contradomínio restrito a  , é injetora e sobrejetora.
Exercício: tente justificar esses fatos
Assim, respeitados esses conjuntos de definição, a função exponencial será também
bijetora. Logo, ela admite uma inversa, à qual chamamos de função logarítmica.
Definição: Dado a>0, a≠1, definimos a função logaritmo de base a como sendo a
função inversa da exponencial na base a, ou seja:
log a :   
x  log a x  y  a y  x
, isto é:
loga a y  loga x  y e a loga x  a y  x , ou seja, a exponencial e o logaritmo na base a
são funções inversas.
Propriedades do logaritmo: dados a>0, a≠1, r, s   , valem:
3
i)
log a a  1 , pois a1=a.
ii)
loga 1  0 , pois a0=1.
Fonte: Wikipédia
37
loga ( r.s )  loga r  loga s (o log transforma multiplicação em soma).
iii)
De fato: Sejam m  loga ( r.s ) ; p  loga r e q  loga s . Queremos mostrar que m=p+q.
Mas, da definição de log, valem: a m  r.s; a p  r e a q  s  a m  a p .a q  a p  q . Como
a função exponencial é injetora, isto ocorrerá somente quando m=p+q 
loga ( r.s )  loga r  loga s . 
loga r s  s. loga r .
iv)
De
fato:
se
p  loga r s e
se
q  loga r ,
a p  rs e aq  r
então

a p  ( a q )s  a q.s  p  s.q  loga r s  s. loga r .
Gráfico do logaritmo:
Observação: o gráfico de uma função inversa a f será simétrico ao gráfico de f, com
relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. Assim:
0<a<1
a>1
y  loga x
y  log a x
0
1
0
1
x
x
Observação: quando a=10, escrevemos apenas log x  log10 x (logaritmo na base 10).
O logaritmo natural: ln:
Uma função importante na Matemática, que você estudará mais profundamente na
disciplina de Cálculo I, é a exponencial com base e (onde e  2,718281828 é um número
irracional e chamado de número de Euler): f(x)=ex. Esta função é muito interessante, porque
sua derivada é ela própria, isto é, f ( x )  f ( x ) , x.
A função logaritmo natural (ou neperiano) é definida como sendo a inversa da função
f(x)=ex, ou seja, y  ln x  e y  x . Ou ainda: ln e y  y e eln x  x , isto é, ln x  loge x .
38
Esta função também pode ser definida como sendo uma área abaixo de uma curva,
variando com x, do seguinte modo:
y=1/x
0
1
x
x0
A(x0) é a área abaixo da curva y  1 x , entre as retas y=0, x=1 e x=x0. É possível
mostrar que A(x) assim definida satisfaz às propriedades da função logaritmo e então será
definida como o logaritmo natural (ln). Isto será visto em maiores detalhes em seu curso de
Cálculo I.
Observação: Uma forma de se encontrar o número de Euler e é através da sequência:
n
 1
1   , fazendo-se n (natural) crescer tanto quanto se queira, isto é n.
 n
n
 1
Dizemos que e  lim 1   e este é conhecido como o segundo limite fundamental,
n
 n
no Cálculo. Se fizermos algumas aproximações, teremos:
2
(1  1)1  2 ;
10
 1
1    2,25 ;
 2
...
1

1    2,59 ;
 10 
1000
...
1 

1 

 1000 
 2,71692 ;
10000
1 

1 

 10000 
 2,7181 ...
3. Funções trigonométricas:
3.1. O Teorema de Pitágoras:
A trigonometria é o estudo das medidas em um triângulo retângulo.
Definição: Um triângulo será retângulo quando um de seus ângulos for reto.
Teorema de Pitágoras: Em todo triângulo retângulo de catetos a e b e de hipotenusa
c, vale: a2+b2=c2.
B
c
a
39
C
b
A
Demonstração: Construímos o triângulo retângulo ABC, como na figura abaixo,
justaposto de outro triângulo ADE, idêntico ao primeiro, porém rotacionado de 90° e
de forma que A, C e D estejam alinhados.
b
D
a
c
β

A
b
E

C
c
B
a
Desse modo, ligando-se B a E, a figura resultante será um trapézio, visto que DE é
paralelo a BC. Em cada triângulo, por serem retângulos, =90°. Considere o ângulo
, formado entre as hipotenusas. Como =180°, então =90° e o triângulo ABE é
retângulo. A área do trapézio será:
AT 
(CB  DE ).DC ( a  b ).( a  b ) a 2  2ab  b 2


(i)
2
2
2
Por outro lado, conhecendo-se a fórmula da área dos três triângulos, BCA, ADE e
ABE, teremos:
AT 
a.b a.b c.c 2ab  c 2



(ii).
2
2
2
2
Igualando-se (i) e (ii), teremos:
a 2  2ab  b 2 2ab  c 2

 a 2  b2  c 2 
2
2
3.2. As razões trigonométricas:



Considere, agora, as semirretas AB e AC , onde C é obtido pela intersecção de AB

com uma perpendicular em B. Demarquemos B1, B2, B3..., pontos em AB e os respectivos
C1, C2, C3... obtidos do mesmo modo que C, como na figura abaixo:
C
C1
C2
C3

A
B
B1 B2 B3
40


Consideremos o ângulo  formado pelas semirretas AB e AC (   BAˆ C ). Por
construção, os triângulos ABC, AB1C1, AB2C2, AB3C3, ... são todos retângulos e possuem o
ângulo  comum. Logo, são semelhantes (caso AAA).
Assim, definimos pelas razões de semelhança:
sen 
BC B1C1 B2C2


 ... , o chamado seno do ângulo  (cateto oposto a  pela
AC AC1 AC2
hipotenusa, em cada triângulo. Note que a razão será sempre a mesma, independentemente
dos tamanhos dos triângulos).
cos 
AC AB1 AB2


 ... , o cosseno do ângulo  (cateto adjacente a  pela
AC AC1 AC2
hipotenusa).
tg 
BC B1C1 B2C2


 ... , a tangente do ângulo  (cateto oposto a  pelo cateto
AB AB1
AB2
adjacente).
Assim, esses valores definidos pelas razões trigonométricas não dependem da variação
dos tamanhos dos lados dos triângulos envolvidos, mas apenas da abertura do ângulo !
3.3. Arcos de Circunferência:
Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, ela fica dividida em duas
partes. Cada uma delas, que incluem os pontos A e B, são denominadas arcos de

circunferência AB . Se A e B coincidem, um dos arcos é nulo e o outro é o arco de uma volta.
Agora vamos orientar a circunferência, definindo o sentido positivo como sendo aquele
em sentido anti-horário. Desse modo, apenas um arco de A para B, será agora o nosso arco

AB , indo de A para B (nesta ordem), no sentido positivo.
B
A
+
Uma medida usual de arcos de circunferência é o grau. Um grau é obtido ao se dividir a
circunferência em 360 partes iguais (1 grau = 1° = 1/360 da circunferência. Logo, 90°= ¼ da
circunferência e 180°= ½ da circunferência).
Outra forma de se medir os arcos é através do radiano: 1 radiano = 1 rad = arco cujo
comprimento corresponde ao tamanho do raio da circunferência, como na figura:
41
r
tamanho r = arco de 1 rad
Sabe-se que a medida total de uma circunferência de raio r>0 é 2r. Como o tamanho r
corresponde a 1 rad, então a circunferência completa mede 2 rad. Logo:
360°  2 rad e 180°   rad (alguns adotam a notação rd).
Para acharmos outros valores de arcos correspondentes em graus e radianos, basta

seguirmos esta proporção. Então, em geral, se um arco AB , de tamanho l, dado numa
circunferência de centro O e raio r>0, corresponde a uma abertura de ângulo , então, em
l
radianos, teremos:   rad .
r
3.4. Ciclo trigonométrico:
Consideremos o sistema cartesiano de origem O e uma circunferência de centro em O e
raio r=1. Seu comprimento será 2. Seja agora um ponto P sobre a circunferência, de
coordenadas P(x0,y0). Sendo P´ a projeção ortogonal de P sobre o semieixo OA e se x0>0 e
y0>0, os pontos PP´O definem um triângulo retângulo de hipotenusa igual a r=1.
y
P(x0,y0)

O
P´
A(1,0)
x

Desse modo, o ângulo  correspondente ao arco AP (medido positivamente no sentido
anti-horário) será tal que:
sen 
y0
x
y
 y0 ; cos  0  x0 e tg  0 , se x0  0.
1
1
x0
Assim, dado um ponto P(x0,y0) de coordenadas quaisquer (negativas, positivas ou nulas)
sobre esta circunferência, generalizamos:
sen  y0 ; cos  x0 e tg 
y0
, se x0  0, onde  é o ângulo correspondente ao arco
x0

AP (sempre no sentido anti-horário).
3.5. Arcos notáveis de [0,2 ) e as funções trigonométricas:
42
graus
0°
30°
45°
60°
90°
120° 135°
150°
/6
/4
/3
/2
2/3 3/4
5/6
180° 210° 225° 240° 270° 300° 330°
360°
radianos 0
graus
radianos 
7/6 5/4 4/3 3/2 5/3 11/6 2
Dado qualquer número real x (que corresponde a uma medida de arco em radianos), este
sempre poderá ser expresso como x=0+2k, para algum k inteiro e onde 0 é um arco da
primeira volta (0[0,2)). Seja, então P, de coordenadas P(x0,y0), o ponto final sobre o ciclo
trigonométrico que corresponde ao arco 0, marcado a partir do semieixo OA. Assim,
podemos definir: senx  sen 0  y0 , onde y0 é a ordenada do ponto P.
Logo, a cada x   , associa-se um único valor: senx  sen 0  y0 e isto representa uma
função f real (f: ), a qual chamaremos de função seno e denotaremos por:
f :  
x  f ( x )  senx
Do mesmo modo, definiremos a função cosseno: para x   , x=0+2k, para algum k
inteiro e se P(x0,y0) é o ponto final que define o arco 0, na primeira volta do ciclo
trigonométrico, teremos: cosx=cos0=x0.
g :  
x  g ( x )  cos x
A função tangente será definida para A  { x   / x 

2
 k , k  Z } (conjuntos dos
pontos em que o cosseno não se anula):
h: A
x  h( x )  tgx 
senx
cos x
Gráficos:
43
3.6. Seno, cosseno e tangente para arcos notáveis no triângulo retângulo:
Considere o triângulo retângulo abaixo, que envolve os arcos notáveis de 30°, 60° e 90°:
Assim:
1
 cos60
2
3
cos30 
 sen60
2
1
3
3
e tg 60 
tg 30 

 3
3
1
3
sen 30 
2
1 60°
30°
3
Agora considere o outro triângulo:
sen 45  cos45 
2
1
1
2

e tg 45  1
2
2
45°
1
Pelas coordenadas dos pontos finais dos arcos no ciclo trigonométrico, temos que:
sen0°=0; sen90°=1; cos0°=1; cos90°=0 e tg0°=0/1=0 e não está definida a tg90°
3.7. Sinais das funções trigonométricas:
Seno (eixo y)
Cosseno (eixo x)
y
Tangente (sinal de y/ sinal de x)
y
+
+
-
-
x
y
-
+
-
+
x
-
+
+
-
x
Valores absolutos para senos e cossenos de arcos notáveis em ordem crescente (ver
1 2 3
sinais conforme os quadrantes acima): 0, ,
,
,1 .
2 2 2
Valores absolutos para tangentes de arcos notáveis em ordem crescente (ver sinais
conforme os quadrantes acima): 0,
3
,1, 3 .
3
44
3.8. Funções cotangente, secante e cossecante:
Função Cotangente:
Dado x  A , onde A  {x   / x  k , k  Z} , definimos a função cotangente por:
ctg : A  
x  ctgx 
cos x
, x  A
senx
.
Gráfico:
Função Secante:
Dado x  B , onde B  {x   / x    k , k  Z} , definimos a função secante por:
2
sec : B  
x  sec x 
1
, x  A
cos x
Gráfico:
Função cossecante:
Dado x  A , onde A  {x   / x  k , k  Z} , definimos a função cossecante por;
csc : A  
x  csc x 
1
, x  A
senx
.
Gráfico:
45
3.9. Interpretações Geométricas no Ciclo Trigonométrico (A=(1,0)):
- Tangente
Q
y
P

x
P´ A
O

A reta AQ (perpendicular a Ox em A) é paralela ao
eixo das ordenadas (y). Afirmamos que o segmento AQ

representa a tangente do ângulo , dado pelo arco AP .
De fato, os triângulos OAQ e OP´P são semelhantes e
da definição:
PP AQ AQ
tg 


 AQ.
OP OA
1
- Cotangente:
y
M

M´
P

x
P´ A
O

A reta MM  (perpendicular a Oy em M) é paralela ao
eixo das abscissas (x). Afirmamos que o segmento
MM´ representa a cotangente do ângulo , dado pelo

arco AP .
De fato, os triângulos OM´M e OP´P são semelhantes e
da definição:
OP MM  MM 
ctg 


 MM .
PP OM
1
- Secante:
Q
y
P

O
P´
A
x

A reta AQ (perpendicular a Ox em A) é paralela ao
eixo das ordenadas (y). Afirmamos que o segmento OQ

representa a secante do ângulo , dado pelo arco AP .
De fato, os triângulos OAQ e OP´P são semelhantes e
da definição:
OP OQ OQ
sec  


 OQ.
OP OA
1
46
- Cossecante:

A reta MM  (perpendicular a Oy em M) é paralela ao
eixo das abscissas (x). Afirmamos que o segmento
OM´ representa
a cotangente do ângulo , dado pelo

arco AP .
De fato, os triângulos OM´M e OP´P são semelhantes e
da definição:
OP OM  OM 
csc 


 OM .
PP OM
1
y
M

M´
P

P´ A
O
Observações: i) A função cosseno é par, isto é, cos(-x)=cosx, x   . O seu gráfico é
simétrico em relação ao eixo das ordenadas y.
ii) A função seno é ímpar, isto é: sen(-x) = - senx, x   . O seu gráfico é simétrico em
relação à origem do sistema cartesiano.
iii) Destes
x 

2
tg (  x ) 
fatos,
segue
que
a
função
tangente
também
é
ímpar,
pois
 k , k  Z :
sen(  x )  senx

 tgx .
cos( x ) cos x
iv) Lembrete: soma de arcos: se a e b são arcos quaisquer, vale:
sen(a  b)  sena. cosb  senb. cosa
cos(a  b)  cosa. cosb  sena.senb
tg ( a  b ) 
v)
tga  tgb
. (Não faremos a prova desses fatos nesta disciplina).
1  tga.tgb
Então a diferença de arcos ficará:
sen(a  b)  sena. cos(b)  sen(b). cosa  sena. cosb  senb. cosa
cos(a  b)  cosa. cos(b)  sena.sen(b)  cosa. cosb  sena.senb
tg ( a  b ) 
vi)
tga  tg ( b )
tga  tgb

1  tga.tg ( b ) 1  tga.tgb
Arcos duplos: das relações da soma de arcos, teremos:
sen(2a )  sen(a  a )  sena. cosa  sena. cosa  2sena. cosa
cos(2a )  cos(a  a )  cos a. cos a  sena.sena  cos2 a  sen 2a
tg (2a )  tg ( a  a ) 
tga  tga
2tga

.
1  tga.tga 1  tg 2 a
47
vii)
Identidades trigonométricas fundamentais:
a) sen 2 x  cos2 x  1, x   . (Segue imediatamente do ciclo trigonométrico e do
Teorema de Pitágoras)
b) sec2 x  1  tg 2 x, x    { / 2  k , k  Z } .
c) csc2 x  1  ctg 2 x
3.10. Exercícios sobre funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas:
1) Simplificar as expressões:
a)
3
375  3 24  3 81  3 192
b) a3 ab4  b3 a 4b  3 a 4b 4  3ab3 ab
c)
d)
3 2 2
3 2 2

17  12 2
17  12 2
x  x2 1
x  x2 1

x  x2 1
x  x2 1
2) Resolver as equações (em  ):
a) 8 x  0,25
2 x 3
 1
b) 53 x1   
 25 
3 x1
c) ( 2 )
 (3 16 ) 2 x1
d) 2 x 1  2 x  2 x 1  2 x  2  2 x 3  120
e) 4 x 1  9.2 x  2  0
f) 25
x
 124.5
x
 125
a x  ax
 m , onde 0  a  1 , admite raiz
3) Para que valores reais de m, a equação x
a  a x
real?
4) Resolver as inequações exponenciais (em  ):
a) 2 x  32
x
1
b)    243
9
1
c) ( 2 ) x  3
16
x
5
d) 0,16  15,625
5) Calcular, pela definição:
48
a) log 4 16
b) log 27 81
c) log 3
4
5
5
d) log 0,01 0,0001
6) Calcular o valor de s em:
s  log 4 (log 3 9)  log 2 (log 81 3)  log 0,8 (log16 32)
7) Usando as propriedades demonstradas em sala para o logaritmo, mostre que: se a>0,
b
a1, b>0 e c>0, então: log ( )  log b  log c
a c
a
a
8) Demonstre a propriedade de mudança de base para o logaritmo: se a,b,c são números
log c b
reais positivos, a1 e c1, então log a b 
.
log c a
9) Se x  log c (ab), y  log b (ac) e z  log a (bc) , prove que:
1
1
1


1
x 1 y 1 z 1
10) Resolver as equações logarítmicas:
a) (log 4 x) 2  2 log 4 x  3  0
b) log 2 x.(2 log 2 x  3)  2
c) log 3 x  4 log x
11) Faça um esboço dos gráficos das funções abaixo, forneça seu domínio e imagem, seu
período, justificando se são, ou não, injetoras e sobrejetoras:
a) f:    , f(x) = -3cosx
b) f:    , f(x) = sen x
c) f:    , f(x) = -3cos(x-/4)

d) f:   {  k , k  Z }   , f(x) = tgx +1
2
e) f:    , f(x) = sen (x/3)
2ab
, com a  b  0 .
a  b2
13) Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
sen x
cos x

1
a)
cossec x sec x
1  cos x
 (cossec x  cot x) 2
b)
1  cos x
c) sen(a  b).sen(a  b)  cos2 b  cos2 a
1  sen 2 x
d) tg (45  x). cot(45  x) 
1  sen 2 x
12) Calcular secx, sabendo que sen x 
2
14) Simplificar as expressões:
49

sen( x). cos(  x)
2
a)
tg (2  x). cos(  x)
 9
b) sen
 2
15


  cos x 
2



.sen(7  x)

15) Usando somas e diferenças, calcular:
a) cos15
b) cot 165
c) cossec 15
2
16) Sendo sen   , com 0<</2, calcule:
3





a) sen  2 
b) cos   
2

4

3 3
 x  2 , calcular sen(3x).
17) Se cos x  e
5 2
18) Resolva as equações trigonométricas em  :
2
3
a) sen 3x 
b) sen 5x  sen 3x , restrita à 1a volta
c) cos x  
2
2
tg(3x)=1
d)
50
Capítulo III: Infinito e Enumerabilidade
1. Conjuntos equipotentes, infinitos e enumeráveis:
Definição: Sejam A e B dois conjuntos contidos em um conjunto universo X. Dizemos
que A e B são equipotentes se existe uma correspondência biunívoca (função bijetora) entre
eles, isto é, se a todo elemento de A está relacionado um, e somente um, elemento de B, e
vice-versa.
Notação: AB (lê-se “A é equipotente a B”, ou “A tem a mesma potência que B”)
Exercício: Mostre que a relação de equipotência é uma relação de equivalência em X.
Definição: Dizemos que um conjunto B é infinito, se existe um subconjunto A B, A≠B,
e uma função f: AB, tal que f é uma bijeção (isto é, B é equipotente a um subconjunto
próprio seu). Caso contrário, B é dito finito.
Ou, de outro modo:
Definição: Um conjunto B será dito finito de for vazio ou se existe nN, tal que B é
equipotente ao conjunto {1,2,...,n}. Nesse caso, n é denominado cardinalidade do conjunto
B (e nesse caso, coincide com o número de elementos de B: notação: B=n). Um conjunto
será infinito se não for finito.
Exemplos: 1) Consideremos X={1,2,3}. Para qualquer subconjunto A X, A≠X, não é
possível haver bijeção de A em X. Por exemplo, se A={1,2}, qualquer função definida de A
em X nunca será sobrejetora:
1.
2.
.1
.2
.3
Qualquer função definida de A em X
nunca será sobrejetora, pois sempre haverá
um valor do contradomínio que não será
imagem de nenhum elemento do domínio.
2) Considere N o conjunto dos números naturais e A=2N={2,4,6,8,..} o conjunto dos
naturais pares.
f :N  A
n  f ( n )  2n
é uma bijeção.
Logo, A N, A ≠ N e existe bijeção entre A e N. Portanto, N é infinito (e equipotente a
A).
51
Definição: Dizemos que um conjunto B é enumerável se B é equipotente a N, isto é,
existe uma bijeção de B em N (ou de N em B, pela inversa). E dizemos que B é contável se B
é finito ou enumerável.
Exemplos de conjuntos contáveis: 1) qualquer conjunto finito, por exemplo, o conjunto
de alunos da disciplina SMA0334, no 1º semestre de 2012, é contável.
2) Z={..., -3,-2,-1,0,1,2...} é enumerável.
f :Z  N
Considere:
 2 x  2, se x  0
x  f ( x)  
 2 x  1, se x  0
.
Esta função associa os inteiros positivos aos naturais pares e os negativos, aos naturais
ímpares. f é uma bijeção, pois é injetora e sobrejetora. (Exercício: Explique por quê).
p

4) O conjunto Q   / p, q  Z , q  0 é enumerável.
q

Isto decorre dos fatos de que: (1) o produto cartesiano de dois conjuntos
enumeráveis é enumerável; (2) a união de dois conjuntos enumeráveis é também
enumerável e (3) todo subconjunto de conjunto enumerável é também enumerável.
(Não iremos provar esses fatos agora).
Isto pode ser visto do seguinte modo: cada par ( p, q )  Z  Z  está associado a um
número racional da forma p/q. Como Z é enumerável, então Z  Z  é também
enumerável e como podemos ver que Q está imerso (podemos dizer “contido”)
em Z  Z  , Q é enumerável. (Detalhes desse fato poderão ser vistos nas notas de aula
da disciplina “Elementos de Matemática”).
De outra maneira (ideia): podemos listar todas as frações positivas e estabelecer uma
ordem entre os números listados, como na figura abaixo, o que enumera este
conjunto, ou seja, estabelece uma função bijetora com os naturais. Como
Q  Q  Q e cada uma das partes desta união é enumerável, como anteriormente
citado, então Q é enumerável.
52
1/1
1/2
1/3
1/4
1/5
...
2/1
2/2
2/3
2/4
2/5
...
3/1
3/2
3/3
3/4
3/5
...
4/1
4/2
4/3
4/4
4/5
...
5/1
5/2
5/3
5/4
5/5
...
...
...
...
...
...
enumeração das frações positivas
Observações: i) O produto cartesiano de um número finito de conjuntos enumeráveis é
enumerável (decorre da propriedade (1) anteriormente citada);
ii) A união de um número finito de conjuntos enumeráveis é também enumerável
(decorre de (2));
iii) Os conjuntos dos números irracionais e dos reais não são enumeráveis.
iv) A cardinalidade de um conjunto finito é definida como sendo o seu número de
elementos; a cardinalidade de um conjunto enumerável é definida como a dos
naturais, a qual chamamos de 0 (Aleph-zero); a cardinalidade dos números reais é
chamada de 1 (Aleph-um).
v) Conjuntos infinitos não são exatamente os mesmos que conjuntos ilimitados:
Definição: Um conjunto numérico X é dito limitado superiormente se existe um
número qualquer M, tal que x<M, para todo elemento xX.
Definição: Um conjunto numérico X é dito limitado inferiormente se existe um número
qualquer m, tal que m<x, para todo elemento xX.
Definição: Um conjunto numérico X é dito limitado se existem números quaisquer m e
M, tais que m<x<M, para todo elemento xX.
Por exemplo:
O conjunto 0,1  x   / 0  x  1 (intervalo aberto entre 0 e 1) é infinito, porém é
limitado.
Detalhes sobre os fatos acima mencionados você pode encontrar nas notas de aula da
disciplina “Elementos de Matemática”.
53
2. Exercícios:
1) Seja o conjunto B e uma classe de conjuntos A={Ai: Ai é conjunto, para i=1,2,...}. Prove
que:

a) se BAi,  i=1,2,3..., então B   Ai
i 1

b) se AiB,  i=1,2,3..., então  Ai  B .
i 1
2) Quatrocentos alunos em uma classe de 800 estão estudando, ou francês, ou alemão, ou
russo. Nenhum aluno está estudando as três línguas, mas 11 estão estudando francês e
russo. Dos 242 alunos estudando francês, 211 não estudam nenhuma outra língua
estrangeira. Sessenta e seis alunos estudam russo. Quantos estudam apenas alemão? Russo
ou alemão? Francês ou alemão, mas não russo?
3) Dados os conjuntos X e Y não vazios, considere f : X  Y uma função. Dados A  X e
B  Y , definimos f 1 ( B)  {x  X / f ( x)  B}  X e f ( A)  { f ( x) / x  A}  Y . Se A1 , A2 ,..., An  X
e B1 , B2 , B3 ,..., Bn  Y , mostre que:

n

n




a) f 1   Bi    f 1 ( Bi )
b)
c)
d)
 i 1  i 1
n  n
f 1   Bi    f 1 ( Bi )
 i 1  i 1
n

 n
f   Ai     f ( Ai ) 
 i 1  i 1
n  n
f   Ai     f ( Ai ) 
 i 1  i 1
4) Seja E um conjunto não vazio e R uma relação de equivalência sobre E. Dizemos que
( x, y )  R  xRy  x ~ y  x se relaciona com y pela R . Definimos, para cada a E , o conjunto:
a  {x  E / x ~ a} , o qual é chamado de “classe de equivalência de a”. Mostre que:
a) Se a ~ b , então a  b
b) Se (a, b)  R , ou seja, a não se relaciona com b pela R, então a   b   .
1 1 1 1
2 3 4 5
1
n
5) Prove que o conjunto A  {1, , , , ,..., ,...}   é infinito e enumerável.
6) Diga se os conjuntos abaixo são infinitos, enumeráveis ou ilimitados:
a) B1  {x   /  1  x   }
b) B2  {x  Q / x  p q , com p, q  Z , q  0 e p  1}
c) B3  {1,2,3,...,1.000 .000}
d) B4   , , , ,...,
1 2 3 4
2 3 4 5
n

,...
n 1 
e) B5  {2,2 2 ,2 3 ,2 4 ,...,21000 }
54
f) B3  B5 (neste caso, não precisa verificar se é ilimitado}.
55
Capítulo IV: Geometria (em construção)
Exercícios de Geometria- primeira lista
1.
Determine o valor de “x” nos seguintes casos:
30o
x
a)
b)
40o
2x-10o
c)
2x-10o
x+20o
d)
2.
4x+30o
2x
x
35o
e)
Determine o valor de “α” nos seguintes casos:
4x-2y
3x-15o
3.
x+35o
x+y
2x-y


a)
b)
Se OP é bissetriz de AOˆ B , determine x nos casos:
A
B
O
3x-5o P
2x+10o
B
P
y-10o
2y
x+30o
O
A
a)
b)
4. A soma de dois ângulos adjacentes é 120o. Calcule a medida de cada ângulo, sabendo que a
medida de um deles é a diferença entre o triplo do outro e 40o.
5.
a) Dê a medida do ângulo que vale o dobro do seu complemento.
b) Determine a medida do ângulo igual ao triplo do seu complemento.
c) Calcule o ângulo que vale o quádruplo de seu complemento.
d) Calcule um ângulo, sabendo que um quarto do seu suplemento vale 36o.
56
6. Demonstre que as bissetrizes de dois ângulos adjacentes e suplementares formam um ângulo
reto.
7. Demonstre que as bissetrizes de dois ângulos adjacentes e complementares formam um
ângulo de 45o.
8. Dois ângulos adjacentes somam 136o. Qual é a medida do ângulo formado pelas suas
bissetrizes?
9. As bissetrizes de dois ângulos consecutivos formam um ângulo de 52 o. Se um deles mede 40
o
, qual é medida do outro?
10. Se o ABC é isósceles de base BC, determine BC. AB = 3x - 10 BC = 2x  4
AC  x  4
11. Se o ABC é isósceles de base AC, determine x. Aˆ  x  30  Cˆ  2 x  20 
12. Se o ABC é isósceles de base BC, determine x e y:
13. Na figura, o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEC . Determine o valor de  e  .
Aˆ  3
Bˆ    48
Ê = 5
D̂ = 2  10 
14. Na figura o triângulo ABD é congruente ao triângulo CBD. Calcule x e y e os lados do
triângulo ACD.
57
15. Na figura, o triângulo CBA é congruente ao triângulo CDE. Determine o valor de x e y e a
razão entre os perímetros desses triângulos
AB = 35
CE = 22
AC = 2x + 6
DE = 3y + 5
16. Demonstre que a mediana relativa à base de um triângulo isósceles é também bissetriz.
17. Demonstre que as medianas relativas aos lados congruentes de um triângulo isósceles são
congruentes.
Exercícios de Geometria – segunda lista
x y
 , onde x=BD e y=DC. Dica:
c b
traçar uma reta paralela a AD passando por C e usar o Teorema de Tales.
1. Na figura, o segmento AD é bissetriz. Prove que
2. Nas figuras determine x
3. Demonstre o Teorema de Pitágoras. Isto é, dado um triângulo retângulo de lados a, b,
c com lado maior c (hipotenusa), então c2=a2+b2.
Dica: Na figura h é a altura relativa ao lado c. Usar semelhança de triângulos, para os
três que aparecem na figura.
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4. Calcule a distância do centro de um hexágono regular a um dos seus lados, sabendo
que eles medem 1m.
5. Calcule a área da região sombreada:
6. Demonstre que as diagonais de um losango se interceptam formando ângulo reto.
7. No triângulo ABC abaixo, calcule h:

h



D
1
C
4
8. Na figura 8.1, demonstre que =a+b+c. Na figura 8.2, calcule o valor de
Aˆ  Bˆ  Cˆ  Dˆ  Eˆ .
B
a
A
C

b
c
E
D
8.1.
8.2.
9. Na figura, determine a medida do segmento DE, sabendo que AB é o diâmetro da
circunferência, B é o ponto de tangência do segmento BC e DE é paralelo a BC.
10. Na figura, ABC é um triângulo equilátero de lado 2 m. Calcule a área total e o volume
do sólido gerado ao rotar a região sombreada em volta da reta r.
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B

A



C
r
11. Um fabricante de latas deseja fabricar uma lata em forma de cilindro circular reto, com
20cm de altura e 3.000 cm3 de capacidade. Determine a capacidade em litros e o valor
do raio interior da lata.
12. Um cilindro circular reto de raio r e altura h está inscrito num cone de altura 12 e raio
da base 4, conforme a figura abaixo. Expresse h e o volume V do cilindro, como
função de r.
12
h
13. A primeira astronave do programa espacial Apolo tinha a forma de um tronco de cone
circular reto, como na figura, onde são dados os raios das bases a e b. Utilize
semelhança de triângulos para expressar y em função de h. Expresse o volume do
tronco em função de h ( e de a e b dados).
y
h
14. Calcule a área das figuras geométricas abaixo:
7
6
5
4
Hexágono regular de lado 4
5
15. Calcule o volume e a área total dos sólidos geométricos abaixo:
a)
b)
c)
d)
Uma pirâmide reta de base quadrada, de lado 3 e altura 12.
Um prisma regular de base pentagonal, cujo lado mede 4 e a altura 10.
Um cilindro reto de raio da base 4 e altura 7.
Um cubo de lado 5.
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e) Um paralelepípedo, cuja base tem lados maiores medindo 5 unidades, lados
menores 4, ângulo entre um lado maior e um menor igual a 45 graus, e altura 6
unidades.
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Capítulo V: Matrizes, Determinantes e Sistemas
Lineares (em construção)
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Bibliografia:
BOYER, C., História da Matemática, Trad. Elza F. Gomide, Ed. Edgard Blücher e Ed. Da
Universidade de São Paulo, 1974.
CARAÇA, B.J., Conceitos Fundamentais da Matemática, Lisboa, 1952.
GERÔNIMO, J.R e FRANCO, V.S. Fundamentos de Matemática: uma introdução à lógica
matemática, teoria dos conjuntos, relações e funções. 2ª ed. Maringá, PR:
EDUEM, 2008.
ITÔ, K. , Encyclopedic Dictionary of Mathematics, Second Edition, The Math. Soc. of
Japan, Vol.II, MIT Press, USA, 1987.
LIMA, E. L.; CARVALHO, P.C.P.; WAGNER, E. & MORGADO, A.C., A Matemática do
Ensino Médio, Vol. I, Coleção do Professor de Matemática, SBM, Rio de Janeiro,
1997.
SIERPINSKA, A., On understanding the notion of function, in The concept of function aspects of epistemology and pedagogy, Dubinsky  Harel (Ed.), M.A.A . Notes,
v.25, p. 25-58, 1992.
YOUSCHKEVITCH, A.P., The Concept of Function, in Archive for History of Exact
Sciences, vol.16,n.1, 37-85, 1976.
i
Agradecemos à Profa. Dra. Renata Meneghetti pela colaboração na redação dos itens 1, 2 e 5 do
primeiro capítulo.
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