LIMPÍADA CAPI
ABA DE MATE
ÁTICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE/UFES
Nível 2 – 7ª e 8ª séries do Ensino Fundamental
2a Fase – 30 de agosto de 2003
SOLUÇÕES DAS QUESTÕES*
1ª Questão.
Qual das frações é a maior,
123456789123
123456789124
ou
?
123456789124
123456789125
Não faça a divisão. Dê argumentos!
Solução 1: A segunda fração acima é a maior. De fato, basta observar que
1234567891 23
1
=1−
1234567891 24
1234567891 24
e
1234567891 24
1
.
= 1−
1234567891 25
1234567891 25
Portanto
1234567891 23 1234567891 24
.
<
1234567891 24 1234567891 26
Solução 2: Chamando de
x = 123456789124 temos que as duas frações acima são iguais a
respectivamente. Como x − 1 < x , temos que
2
2
x −1
x
.
<
x
x +1
x −1
x
e
,
x
x +1
2ª Questão.
Uma folha de papel retangular ABCD de área 1 é dobrada através de uma linha reta de modo que o vértice C
coincida com o vértice A. A folha dobrada tem a forma de um pentágono. Mostre que a área do pentágono é menor
do que 3/4.
D
F
C
H
A
E
B
G
Solução: Ao fazer coincidir o vértice C com o vértice A, forma-se a dobra EF que intersecta a diagonal AC no ponto
H. Depois da folha dobrada, o ângulo ∠ CHF ficará coincidente com o ângulo ∠ AHF. Logo ∠ CHF = ∠ AHF = 90º.
Os triângulos CHF e AHE são congruentes, pois possuem três ângulos iguais e dois lados (CH e AH) iguais. Logo
FH e HE têm a mesma medida. Assim o polígono AECF é um paralelogramo com 4 lados iguais (um losango). Se G
é a posição do ponto B com a folha dobrada, então os triângulos AGE, ADF e CBE são congruentes entre si, pois
são retângulos, AE = AF = CE (têm mesma hipotenusa) e AG = AD = CB (têm um cateto comum). Assim temos
Área AGEFD = Área AEFD + Área ΔAGE.
A área de AEFD = 1/2 Área de ABCD = 1/2, pois os triângulos do losango AECF são iguais e os triângulos ADF e
CBE são congruentes. Como DF é menor do que 1/2DC, segue-se que área ΔADF é menor do que 1/4. Assim temos
Área AGEFD = Área AEFD + Área ΔAGE < 1/2 + 1/4 = 3/4 .
3ª Questão.
Quatro meninas Abigail, Beatriz, Camila e Daniela participaram de um concurso musical. Cada música foi cantada 3
vezes, por 3 meninas diferentes. Quem cantou mais vezes foi Abigail que cantou 8 músicas. Daniela cantou 12
músicas a menos do que cantaram as outras três. Quantas músicas diferentes foram cantadas no concurso?
*[email protected]
Solução: No concurso foram cantadas 8 músicas diferentes.
De fato, sejam a , b , c e d , respectivamente, o número de músicas cantadas por Abigail, Beatriz, Camila e
Daniela e seja N o número de músicas distintas cantadas no concurso. Como Abigail cantou 8 músicas, segue-se
que N ≥ 8 . Temos ainda que
a + b + c + d = 3N , a = 8 e a + b + c = d + 12 .
Substituindo a última dessas igualdades na primeira obtemos 2d + 12 = 3N e assim 3N é um número par.
Portanto N também é par (e maior ou igual a 8). Logo N = 8 , 10 , 12 , ..., etc. Mas se N ≥ 10 , então
2d + 12 ≥ 30 , isto é, d ≥ 9 . O que implica que Daniela cantou no mínimo 9 músicas, portanto mais do que
Abigail, o que não pode. Logo N = 8 e d = 6 .
4ª Questão.
Um trem movendo-se a uma velocidade de 60 km/h passa por um outro que se move em sentido contrário a 48
km/h. Um passageiro no primeiro trem observa que o segundo trem demora 6 segundos para passar. Qual o
comprimento do segundo trem?
Solução: O segundo trem tem 180 metros de comprimento.
De fato, a velocidade de aproximação do segundo trem em relação ao primeiro é a soma das duas velocidades.
Assim, o segundo trem passa à velocidade de 108 km/h em relação ao primeiro. Durante 6 segundos o passageiro
do primeiro trem vê o segundo trem passar. A velocidade de 108 km/h corresponde a 30 m/seg, o que dá 180m em
6 segundos. Portanto o segundo trem tem 180 metros de comprimento.
Instante em que o 2º trem se afasta
Instante em que o 2º trem chega
Passageiro
no 1º trem
5ª Questão.
São dados dois quadrados cuja soma das áreas é igual a 1/2. Mostre que é possível colocá-los dentro de um
quadrado de área 1 sem que eles se intersectem.
a
b
a e b os lados dos dois quadrados. Vamos supor que a soma dos lados seja
a + b > 1 . Logo a + 2ab + b > 1 . Mas como a 2 + b 2 ≥ 2ab , segue-se que
2( a 2 + b 2 ) > 1 .
1
2
2
Assim a + b > , isto é, a soma das áreas dos dois quadrados é maior do que 1/2, o que não é verdade. Logo
2
a + b ≤ 1 , e portanto os dois quadrados podem ser colocados, lado a lado, dentro do quadrado unitário.
Solução: Com efeito, sejam
2
2
6ª Questão.
Quarenta e quatro árvores estão dispostas em forma de um círculo e há um pássaro pousado em cada uma delas.
A cada minuto dois pássaros voam da árvore em que estão e pousam, cada um, na árvore mais próxima. É possível
que depois de vários minutos, todos eles estejam pousados numa mesma árvore?
Solução: É possível sim. Basta que as árvores estejam distribuídas de modo que cada uma delas esteja à igual
distância da vizinha.
Nesta situação, vamos numerar os galhos em ordem circular de 1 a 44. Assim, o galho 44 é vizinho galho 1.
Podemos dividir os pássaros em dois grupos. O primeiro grupo vai do galho 1 ao 22. O segundo vai de 23 a 44.
Vamos supor que no primeiro instante o pássaro do galho 1 voa para o galho 2 e o pássaro do galho 44 voa para o
galho 43. Em seguida, a cada minuto, o primeiro voa sucessivamente para os galhos 3, 4, ..., 22, e o segundo voa
sucessivamente para os galhos 42, 41, ..., 23. Fazendo o mesmo com os pássaros dos galhos 2 e 43, 3 e 41 e
assim por diante, podemos afirmar que num determinado instante, os pássaros do primeiro grupo estarão no galho
23 e os do segundo grupo estarão no galho 22. Dividindo os pássaros do galho 23 em 11 duplas, a cada minuto
uma dupla pode voar até a árvore 22. Dessa forma, depois de um certo instante, todos eles estarão pousados na
árvore 22.
*[email protected]
*[email protected]