Modelos de Séries Temporais
EE-240/2009
Séries Temporais
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Modelos de Séries Temporais
Análise e Previsão de
Séries Temporais
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Modelos de Séries Temporais
Série temporal :
“Conjunto de valores de uma grandeza gerada seqüencialmente no tempo”
Exemplo:
t
y(t)
0.0000
1.0000
2.0000
3.0000
4.0000
5.0000
6.0000
7.0000
8.0000
9.0000
10.0000
11.0000
12.0000
13.0000
....
0.0000
0.9580
1.4540
-1.2937
-1.0410
1.0711
0.2001
1.3900
1.6156
1.6119
2.2902
1.7686
2.3908
0.0975
....
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Modelos de Séries Temporais
t
y(t)
0.0000
1.0000
2.0000
3.0000
4.0000
5.0000
6.0000
7.0000
8.0000
9.0000
10.0000
11.0000
12.0000
13.0000
14.0000
15.0000
16.0000
17.0000
18.0000
19.0000
20.0000
21.0000
22.0000
23.0000
24.0000
25.0000
0.0000
0.9580
1.4540
-1.2937
-1.0410
1.0711
0.2001
1.3900
1.6156
1.6119
2.2902
1.7686
2.3908
0.0975
1.3802
1.3433
-0.0041
1.9573
0.7435
3.3151
1.1949
2.6287
2.4193
1.3781
0.2293
2.4408
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Modelos de Séries Temporais
t
y(t)
0.0000
1.0000
2.0000
3.0000
4.0000
5.0000
6.0000
7.0000
8.0000
9.0000
10.0000
11.0000
12.0000
13.0000
14.0000
15.0000
16.0000
17.0000
18.0000
19.0000
20.0000
21.0000
22.0000
23.0000
24.0000
25.0000
0.0000
0.9580
1.4540
-1.2937
-1.0410
1.0711
0.2001
1.3900
1.6156
1.6119
2.2902
1.7686
2.3908
0.0975
1.3802
1.3433
-0.0041
1.9573
0.7435
3.3151
1.1949
2.6287
2.4193
1.3781
0.2293
2.4408
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Modelos de Séries Temporais
t
y(t)
0.0000
1.0000
2.0000
3.0000
4.0000
5.0000
6.0000
7.0000
8.0000
9.0000
10.0000
11.0000
12.0000
13.0000
14.0000
15.0000
16.0000
17.0000
18.0000
19.0000
20.0000
21.0000
22.0000
23.0000
24.0000
25.0000
0.0000
0.9580
1.4540
-1.2937
-1.0410
1.0711
0.2001
1.3900
1.6156
1.6119
2.2902
1.7686
2.3908
0.0975
1.3802
1.3433
-0.0041
1.9573
0.7435
3.3151
1.1949
2.6287
2.4193
1.3781
0.2293
2.4408
Ajuste de uma função linear ( reta )
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Modelos de Séries Temporais
t
y(t)
0.0000
1.0000
2.0000
3.0000
4.0000
5.0000
6.0000
7.0000
8.0000
9.0000
10.0000
11.0000
12.0000
13.0000
14.0000
15.0000
16.0000
17.0000
18.0000
19.0000
20.0000
21.0000
22.0000
23.0000
24.0000
25.0000
0.0000
0.9580
1.4540
-1.2937
-1.0410
1.0711
0.2001
1.3900
1.6156
1.6119
2.2902
1.7686
2.3908
0.0975
1.3802
1.3433
-0.0041
1.9573
0.7435
3.3151
1.1949
2.6287
2.4193
1.3781
0.2293
2.4408
Erros no Ajuste da Reta
ek
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Modelos de Séries Temporais
Regressão Linear: yk = a tk + b
Mínimos Quadrados: Obter valores a e b de modo que
n
 ek
2
k 1
n
  ( yk - at k - b ) 2
k 1
seja mínimo.
d
d
0,
0
da aˆ
db bˆ
Mínimos
Quadrados
n
t
1
n
y
1
n
n

tk

yk
k 1
n
k 1
aˆ 
 ( t k - t ) ( yk - y )
k 1
n
 (t k - t ) 2
k 1
bˆ  y - aˆ t
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Modelos de Séries Temporais
Regressão Linear:
%Supondo que os pares t(k) e y(k) estão disponíveis
> uns = ones(size(x),1);
> [coef,intervcoef,res,intervres,stat] = regress(y,[t uns],0.05)
% 0.05 se refere (1 – 0.05) de nível de confiança
% coef são os coeficientes angular e linear da reta
% intervcoef são os intervalos de confiança dos coeficientes
% res são os resíduos
% intervres são os intervalos de confiança para os resíduos
% stat contém os valores de R2, F e p
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Modelos de Séries Temporais
y(t) = 0.0665 t + 0.3823
a  [ 0.0117 0.1212 ]
b  [ -0.4155 1.1800 ]
 = 0.05
R2 = 0.2075
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y(t) = 0.0665 t + 0.3823
a  [ 0.0117 0.1212 ]
b  [ -0.4155 1.1800 ]
 = 0.05
R2 = 0.2075
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Modelos de Séries Temporais
n
 ( yˆ k - y )
R2 
k 1
n
 ( yk - y ) 2
k 1
R2 = 0.9259
( yk - y )  ( yk - yˆ k )  ( yˆ k - y )
Total
Não-Explicado
Explicado
R2 = 0.4280
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Modelos de Séries Temporais
Polinômio de 10a ordem
y(t) = 1.7640e-010 t10 - 1.2032e-008 t9 + 3.8719e-008 t8 + 2.0053e-005 t7 - 8.4235e-004 t6 +
1.6681e-002 t5 – 0.18486 t4 + 1.1401 t3 - 3.4843e+000 t2 + 3.9049 t - 5.2614e-002
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Ajuste do Polinômio de 10a ordem:
% Supondo que os pares y(k),t(k) já estão definidos
> coef = polyfit(t,y,10)
> plot(t,y,’r’)
> hold on
> ychapeu = polyval(coef,t)
> plot(t,ychapeu)
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Modelos de Séries Temporais
previsão
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yˆ k  1  yk
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U de Theil
Previsão “naïve”
Forecast Relative Change
Actual Relative Change
APE k  1 
yk  1 - yk
yk
FPEk  1 
yˆ k  1 - yk
yk
n-1
 ( FPEk  1 - APE k  1 ) 2
U
k 1
n-1

k 1
yˆ k  1  yk
APE k  1
  1 yˆ k  1 proposta é tão boa quanto a “naïve”

U   1 yˆ k  1 proposta é melhor que a “naïve”
  1 yˆ

k  1 proposta é pior que a “naïve”
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Adaptações do Método de Regressão Linear:
Linear
y(t) = at + b
Polinomial
y(t) = a1 t n + a2 t
Exponencial
y(t) = ab t

log y(t) = log a + t log b
Potencial
y(t) = a t b

log y(t) = log a + b logt
Hiperbólica
y(t) = a + b / t

y(t) = a + b (1/ t )
n-1
+ ... + ab
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log 5 = 0.699
y(t) = 5 exp (- 0.1 t) = 5 (e -0.1) t = ab t
log (e -0.1) = -0.0434
log y(t) = log a + t log b = log 5 + t log (e -0.1)
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Regressão Linear Robusta
Robust
OLS
outliers
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Regressão Linear Múltipla:
yk  a 0  a 1 t 1k  a 2 t k2  L a m t km  e k
Exemplo:
y
t2
k=3
k=1
k=2
k=4
k=5
t1
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Complicantes na Regressão Linear:
• Regressores mal escolhidos
• Não linearidade
yk  a 0  a 1 t 1k  a 2 t k2  L a m t km  e k
ek ~ N (0,  2 ) i.i.d.
y e ti não são inter-relacionados
yk  fNL (t k) e k
• Coeficientes variantes no tempo
• Heterocedasticidade
yk  a(t k) t k  b(t k)  e k
y k  a t k  b  c(t k) e k
• Erros correlacionados no tempo
ek  i.i.d.
• Erros com média não nula e ~ N (,  2 )
k
• Multicolinearidade
t ik   t kj
0
i  j , "k
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Suavização Exponencial:
yˆ k  1  yˆ k   ( yk - yˆ k )
 = 0.5
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Suavização Exponencial:
yˆ k  1  yˆ k   ( yk - yˆ k )
yˆ k  1  yˆ k   ( yk - yˆ k )
  yk  ( 1 -  ) yˆ k
  yk  ( 1 -  ) (  yk - 1  ( 1 -  ) yˆ k - 1 )
  yk  ( 1 -  )yk - 1  ( 1 -  ) 2 yˆ k - 1
  yk  ( 1 -  )yk - 1  ( 1 -  ) 2 (  yk - 2  ( 1 -  ) yˆ k - 2
)
  yk  ( 1 -  )yk - 1  ( 1 -  ) 2 yk - 2  ( 1 -  ) 3 yˆ k - 2
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Método de Holt-Winters:
yˆ k  m  ak m  bk
a k   ( bk - bk - 1 )  ( 1 -  ) a k - 1
bk   yk  ( 1 -  ) ( ak - 11  bk - 1 )
m=1
 = 0.4
 = 0.4
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Modelos de Séries Temporais
Séries Temporais:
Modelos ARMA
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Modelos de Séries Temporais
Média Móvel - MA:
Auto-Regressão - AR:
x k  -  1x k - 1 -  2 x k - 2 - ... -  n x k - n  e k
y k  - 0 e k -  1e k - 1 - ... -  m e k - m
...
Valores anteriores de y
...
Média ponderada dos últimos m+1 valores de ek
x k  -  1x k - 1 -  2 x k - 2 - ... -  n x k - n -  0 e k -  1e k - 1 - ... -  m e k - m
ARMA
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Média Móvel - MA:
Auto-Regressão - AR:
x k  -  1x k - 1 -  2 x k - 2 - ... -  n x k - n  e k
x k  - 0 e k -  1e k - 1 - ... -  m e k - m
B(q-1 )  1  1q-1  ...  mq-m
A(q-1 )  1  1q-1  ...  nq-n
A(q-1 )xk  ek
xk  B(q-1 )ek
x k  -  1x k - 1 -  2 x k - 2 - ... -  n x k - n -  0 e k -  1e k - 1 - ... -  m e k - m
A(q-1 )xk  B(q-1 )ek
ARMA ( n , m )
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25
Série Original x(k)
20
15
10
5
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Série
“Diferenciada”
5
x(k) - x(k-1)
2.5
0
-2.5
-5
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
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Modelos de Séries Temporais
Estabilidade  Série Estacionária
200
250
200
150
150
100
100
50
50
0
0
-50
0
20
40
60
80
100
120
140
160
xk  1.01 xk-1  ek
1 - 1.01 q-1  0
1
q-1 
1
1.01
Raizes de A(q-1) no círculo unitário
180
200
-50
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
xk  0.9xk-1  ek
1 - 0.9q-1  0
1
q-1 
1
0.9
Raizes de A(q-1) fora do círculo unitário
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Modelos de Séries Temporais
Identificação de Parâmetros de Modelos AR
1  11   21...   nn-1
xk  1  1xk-1  ...  n xk-n  ek
 2  11   2 1...   nn-2
 xk -p
...
n  1n-1   n-2 1...   n 1
xk xk-p  1xk-1xk-p  ...  n xk-n xk-p  ek xk-p
E[ . ]
0
Exk xk-p   1Exk-1xk-p   ...  nExk-n xk-p   Eek xk-p 
Rx(p)=Rxx( k , k-p ) = E[ xkxk-p ]
Rx (p)  1Rx (p - 1)  ...  nRx (p - n) p  0
1 L n-1 
 1   1
   

1
L

2
1
n
2
 

  
   
  




L
1
n
n
1
n
2
 



P
 1 
 
 2
 
 
n 


 R(0)
p  1p-1  ...  np-n
Equações de
Yule-Walker
  P-1
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AR
Computes AR-models of signals using various approaches.
Model = AR(Y,N)
or
TH = AR(Y,N,Approach)
Model: returned as an IDPOLY model with the estimated parameters of the
AR-model, see HELP IDPOLY.
Y: The time series to be modelled, an IDDATA object.
N: The order of the AR-model
Approach: The method used, one of the following ones:
'fb' : The forward-backward approach (default)
'ls' : The Least Squares method
'yw' : The Yule-Walker method
'burg': Burg's method
'gl' : A geometric lattice method
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ARMAX
Computes the prediction error estimate of an ARMAX model.
M = ARMAX(Z,[na nb nc nk])
or M = ARMAX(Z,'na',na,'nb',nb,'nc',nc,'nk',nk)
M : returns the estimated model in an IDPOLY object format
along with estimated covariances and structure information.
For the exact format of M see also help IDPOLY.
Z :
The estimation data in IDDATA object format. See help IDDATA
[na nb nc nk] are the orders and delays of the ARMAX model
A(q) y(t) = B(q) u(t-nk) + C(q) e(t)
If the data have several inputs, nb and nk are row vectors with
lengths equal to the number of input channels.
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Outros Modelos
M
N
I
AR
MA
X
C
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Referências Bibliográficas
AMEMIYA, T. – Advanced Econometrics. Harvard University Press, 1985.
BOX, G.E.P.; JENKINS, G.M.; REINSEL, G.C. – Time Series Analysis, Forecasting
and Control, 3a ed, Prentice Hall, 1994.
FRANSES, P.H. – Time Series Models for Business and Economic Forecasting.
Cambridge University Press, 1998.
GUJARATI, D.N. – Econometria Básica. Pearson Education do Brasil, 2000.
MAKRIDAKIS, S.; WHEELWRIGHT, S.C.; HYNDMAN, R.J. – Forecasting Methods and
Applications. John Wiley, 1998.
MATOS, O.C. – Econometria Básica, Teoria e Aplicações. Editora Atlas, 2000.
MORETTIN, P.A.; TOLOI, C.M.C. – Análise de Séries Temporais. Editora Blücher, 2006.
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Muito Obrigado!
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