2.15. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DA SÉTIMA SEMANA
2.15
99
Exercícios resolvidos da sétima semana
¶
xyz 2
x
z 2 (x2 − y 2 )
yz
.
−
,
,
(x2 + y 2 )2 1 + x2 2 (x2 + y 2 )2 x2 + y 2
Determine, se existir, uma função potencial para F, especificando seu domínio.
µ
1. Considere o campo F (x, y, z) = −
Resolução. Devemos encontrar um campo escalar ϕ ∈ C 1 (D) satisfazendo em D :
∂ϕ
xyz 2
x
=−
−
,
2
∂x
1 + x2
(x2 + y 2 )
∂ϕ z 2 (x2 − y 2 )
,
=
∂y
2 (x2 + y 2 )2
∂ϕ
yz
.
= 2
∂z
x + y2
Por integração em z na terceira equação obtemos:
ϕ (x, y, z) =
yz 2
+ f (x, y) ,
2 (x2 + y 2 )
logo, derivando com respeito à y :
¸
·
∂f
∂ϕ 1 z 2 (x2 − y 2 )
+
=
,
2
2
2
∂y
2 (x + y )
∂y
e usando a segunda equação:
∂f
= 0 =⇒ f (x, y) = g (x) ,
∂y
assim
ϕ (x, y, z) =
yz 2
+ g (x) ,
2 (x2 + y 2 )
derivando agora, com respeito à x :
¸
·
∂ϕ 1 −2xyz 2
0
=
2 + g (x) ,
2
2
∂y
2 (x + y )
e usando a primeira equação segue
0
g (x) = −
o que nos dá:
¢
x
1 ¡
=⇒ g (x) = − ln 1 + x2 + C,
2
1+x
2
ϕ (x, y, z) =
¢
yz 2
1 ¡
2
−
ln
1
+
x
+ C,
2 (x2 + y 2 ) 2
que é de classe C 1 em D = R3 − {(x, y, z) : x = y = 0} . ¤
100
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA
2. Considere o campo
F (x, y) =
µ
¶
2x
y
2y
x
−
,
−
+y .
x2 + y 2 (x2 + y 2 )2 x2 + y 2 (x2 + y 2 )2
(a) Determine, se existir, uma função potencial para F, especificando seu domínio.
Resolução. Devemos encontrar um campo escalar ϕ ∈ C 1 (D) satisfazendo
em D :
∂ϕ
2x
x
−
,
= 2
2
2
∂x
x +y
(x + y 2 )2
∂ϕ
y
2y
= 2
−
+ y.
2
∂y
x +y
(x2 + y 2 )2
Por integração na primeira equação obtemos
ϕ (x, y) =
¢
1 ¡ 2
1
ln x + y 2 + 2
+ f (y) ,
2
x + y2
logo derivando, com respeito à y :
∂ϕ
y
2y
0
= 2
−
+ f (y) ,
2
2
∂y
x +y
(x2 + y 2 )
usando a segunda equação segue:
0
f (y) = y =⇒ f (y) =
assim
ϕ (x, y) =
y2
+ C,
2
¢
1 ¡ 2
y2
1
ln x + y 2 + 2
+ C,
+
2
x + y2
2
que é de classe C 1 em D = R2 − {(0, 0)} . ¤
¡
¢2
(b) Se γ : (x − 1)2 + y 2 = (x − 1)2 − y 2 com x ≥
R 0 e y ≥ 0 é um caminho
unindo os pontos A = (1, 0) e B = (2, 0) , calcule γ FT ds.
Resolução. Em (a) vimos que
F admite uma função potencial ϕ de classe C 1
R
em D = R2 − {(0, 0)} , logo γ FT ds independe do caminho em D e
Z
3
FT ds = ϕ (B) − ϕ (A) = − + ln 2.
4
γ
¤
2.15. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DA SÉTIMA SEMANA
101
R
x2 y 2
+
= 1 calcule γ FT ds.
4
3
Resolução. Temos que γ é uma
R curva regular e fechada inteiramente contida
em D, como em (b) vimos que γ FT ds independe do caminho em D, segue que
(c) Se γ :
Z
FT ds = 0.
γ
¤
(d) Determine rotz F em D.
R
Resolução. Como em (b) vimos que γ FT ds independe do caminho em D,
segue que
rot F = 0 em D.
z
¤
3. Considere o campo F (x, y, z) = (P (x, y) , Q (x, y)) onde
P (x, y) =
x−1
2−y
.
2
2 , Q (x, y) =
(x − 1) + (y − 2)
(x − 1)2 + (y − 2)2
(a) Determine rotz F em D = R2 − {(1, 2)} .
Resolução. Temos
1
∂Q
=
2
∂x
(x − 1) + (y − 2)2
∂P
1
=
2
∂y
(x − 1) + (y − 2)2
£
¤
(y − 2)2 − (x − 1)2 ,
£
¤
(y − 2)2 − (x − 1)2 ,
logo
rot F =
z
∂Q ∂P
−
= 0 em D.
∂x
∂y
¤
(b) De (a) podemos afirmar que
R
γ
FT ds independe do caminho em D? Por que?
∂Q ∂P
−
= 0 em D, vemos que D não é
∂x
∂y
um domínio simplesmente conexo, logo nada podemos afirmar. ¤
Resolução. Não. Embora rotz F =
102
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA
(c) Se γ : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1 calcule
R
γ
FT ds.
Resolução. Parametrizando γ temos γ (t) = (1 + cos t, 2 + sen t) , 0 ≤ t ≤ 2π,
logo
Z
Z
2π
FT ds =
γ
0
(− sen t, cos t) · (− sen t, cos t) dt = 2π.
¤
(d) De
R (a) o que podemos afirmar sobre a independência do caminho em D de
F ds ? Por que?
γ T
R
Resolução. Podemos afirmar que γ FT ds não é independente do caminho
2
2
em D, pois existe uma curva fechada
R e regular γ : (x − 1) + (y − 2) = 1
inteiramente contida em D tal que γ FT ds 6= 0 . ¤
R
(e) Existe algum domínio onde γ FT ds é independente do caminho? Dê um exemplo.
Resolução. Como rotz F = 0 em D, basta considerarmos um domínio simplesmente conexo inteiramente contido em D, como por exemplo em
©
ª
D1 = (x, y) ∈ R2 : x > 1 ,
a integral é independente do caminho. ¤
R
(f) Se γ : (x − 4)2 + (y − 2)2 = 1 calcule γ FT ds.
Resolução. Como γ é uma curva fechada e regular inteiramente contida em
D1 = {(x, y) ∈ R2 : x > 1} que é um domínio simplesmente conexo e rotz F =
0 em D1 , segue que
Z
FT ds = 0.
γ
¤