Conjuntos
Gabarito Parte I:
Resposta da questão 1:
[B]
Número de alunos que acertaram a questão C: 0,3 ⋅ 120 + 5
+ 5 + 5 = 51.
Resposta da questão 4:
a) Sabendo que U = {10, 11, 12, …, 99}, temos que
A = {33, 66, 99}.
Além disso, como 132 = 22 ⋅ 3 ⋅ 11, vem
B = {11, 12, 22, 33, 44, 66}.
Portanto, A ∩ B = {33, 66}.
b) Do item (a), segue que
A ∪ B = {11, 12, 22, 33, 44, 66, 99}. Daí, como U possui
45 números ímpares e A ∪ B possui 3 números
ímpares, segue que U − (A ∪ B) possui 45 − 3 = 42
números ímpares.
Portanto, como U − (A ∪ B) possui 90 − 7 = 83
elementos, segue que a probabilidade pedida é dada por
42
.
83
Resposta da questão 5:
[D]
Temos que
Resposta da questão 2:
[A]
Pessoas casadas sem filho: 135 – 99 = 36
 x = 10
y = 2

100x = 500y = 10zw = 500w = 20z = 50xw ⇔ 
.
 z = 50
 w = 2
Pessoas não casadas e sem filho: 49 – 36 = 13
Portanto,
Resposta da questão 3:
[C]
x + y + z = 64.
De acordo com a questão temos o seguinte diagrama:
Gabarito Parte II:
Pessoas casadas: 180 – 45 = 135
Resposta da questão 1:
[B]
Com os dados do problema, temos os seguintes diagramas:
Portanto,
0,3x + 20 + 15 + 10 + 5 + 5 + 5 + 24 = x
0,7x = 84
x = 120 (total de alunos)
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Portanto, o número de pessoas que responderam a
pesquisa será dado por:
Resposta da questão 4:
[D]
N = 5 + 10 + 30 + 20 + 15 + 40 + 80 + 50 = 250.
Sejam a, b, m, v e p, respectivamente, as iniciais do nome
de cada cor das fichas recebidas pelo participante.
Resposta da questão 2:
a) Temos
n A ⋅ PA + nB ⋅ PB + PR = 16 ⋅ PB = 10 ⋅ PB + 5 ⋅ PA = 4 ⋅ PR .
Logo,
Resposta da questão 5:
[E]
16 ⋅ PB = 10 ⋅ PB + 5 ⋅ PA ⇔ 5 ⋅ PA = 6 ⋅ PB
⇔
PA 6
=
PB 5
Considere o diagrama, em que U é o conjunto universo do
grupo de tradutores, I é o conjunto dos tradutores que
falam inglês, A é o conjunto dos tradutores que falam
alemão, J é o conjunto dos tradutores que falam japonês,
C é o conjunto dos tradutores que falam coreano e R o
conjunto dos tradutores que falam russo.
e
16 ⋅ PB = 4 ⋅ PR ⇔
A máxima pontuação que ele poderá obter é 26, desde
que os grupos formados sejam, por exemplo,
vvv, aam, aap e bbv.
PR
= 4.
PB
b) Dividindo ambos os lados da igualdade
nA ⋅ PA + nB ⋅ PB + PR = 16 ⋅ PB por PB , vem
P
P
P
P
6
nA ⋅ A + nB ⋅ B + R = 16 ⋅ B ⇔ ⋅ n A + nB = 12
PB
PB PB
PB
5
⇔ nA =
5
⋅ (12 − nB ).
6
Como nA e nB são inteiros maiores do que 1, segue-se,
por inspeção, que só pode ser nA = 5 e nB = 6.
Resposta da questão 3:
[E]
Resposta da questão 6:
[E]
[I] Falsa. Como
x = 3,33… 3 22… 2 000 … = 3,33 … 3 22… 2
999999 1000001
999999 1000001
segue-se que x possui uma expressão decimal finita e,
portanto, é um número racional.
[II] Falsa. Tem-se que
[A] Incorreta. Tomando a = 9 e b = 4, segue que
9 + 4 = 13 ≠ 9 + 4 = 3 + 2 = 5.
[B] Incorreta. Para a = 1 e b = −1, obtemos
a2 − b2 = 12 − ( −1)2 = 1 − 1 = 0.
Porém, a ≠ b.
[C] Incorreta. Qualquer que seja o número real a, temos
10
= 3, 33 … 3 333… > 33 … 3 22… 2 000… = x.
3
2000000
999999 1000001
[III] Verdadeira. De (I), sabemos que 3,33 … 3 22… 2 .
999999 1000001
Logo,
x ⋅ 102000000 = 3,33… 3 22… 2 ⋅ 102000000
999999 1000001
Portanto, como R ∩ A = ∅, segue-se que nenhum dos
tradutores do grupo fala russo e alemão.
que
a2 = | a | . Observe que, por exemplo,
( −1)2 = | −1| = 1 ≠ −1.
[D] Incorreta. Sejam a = −1 e b = 1. Temos que −1 < 1 e
1 1
>
⇔ 1 > −1.
1 −1
[E] Como 0 < a < 1, segue que
0 < a2 < a ⇔ 0 < a2 < a
= 33… 3 22… 2 ,
⇔ 0 <|a|< a
1000000 1000001
⇔ 0 < a < a.
Portanto,
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0 < a2 < a < a ⇒ 0 < a2 < a.
Resposta da questão 7:
[D]
Sejam a, b, c e d os números que cumprem as condições
dadas.
Supondo que d = a + b + c, obtemos d = 50. Daí, como
50 não é primo, segue que a, b e c devem ser primos.
Além disso, a + b + c = 50 e, portanto, 2 é um dos
números a, b ou c (a soma de três primos ímpares é
ímpar). Logo, fixando a = 2, vem b + c = 48. Ora, os
primos maiores do que 2 e menores do que 48 são:
3, 5, 7, 11,13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47.
Por conseguinte, {b, c} pode ser qualquer um dos
conjuntos {5, 43}, {7, 41}, {11, 37}, {17, 31} ou {19, 29}.
O número de soluções existentes para o problema é 5.
Resposta da questão 8:
[C]
Serão necessários 2 ⋅ 81 + 190 = 352 metros de tela para
cercar o terreno. Logo, como cada rolo tem 48 metros de
comprimento, segue-se que o número de rolos necessários
352
é o menor número inteiro maior do que
≅ 7,3, ou
48
seja, 8.
Resposta da questão 9:
[B]
I. Verdadeira, pois 1.0 = 0.1 = 0 ∈ A
2
2
2
II. Verdadeira, pois a . b = (a.b) ∈ B (para a e b naturais)
III. Falso, pois 5 + 6 = 11 ∉ C.
Resposta da questão 10:
[A]
60 – y + x + y + 25 – x + 35 – y – x = 100
- (x + y) = 100 - 120
x + y = 20
Somente no período da tarde: 35 – 20 = 15;
Tarde e noite: x é no máximo 20 (pois x + y = 20);
Somente no período da noite: no mínimo 5 (25 – 20 = 5).
Resposta da questão 11:
[A]
Seja x o número de bolas de gude contidas na urna.
Devemos ter x = 1177 + 48 = 1.225 ou
x = 1250 − 48 = 1.202. Como para x = 1.202 os erros são
25, 18, 7 e 30, segue que x = 1.202 e, portanto, quem
ganhou o prêmio foi o participante A.
Gabarito Parte III:
Resposta da questão 1:
[C]
Como M ∩ P = [5, 10] e P − N = [5, 6], segue que
(M ∩ P) ∪ (P − N) = [5, 10]. Assim, o comprimento desse
intervalo é 10 − 5 = 5.
Resposta da questão 2:
[B]
Gabarito Parte IV:
Resposta da questão 2:
[B]
Resposta da questão 1:
[C]
Resposta da questão 3:
número de pessoas morenas com olhos castanhos = 13
Se (r,n) denota o palpite correto sobre o resultado do jogo
do time n, segue que
Parte V
(r, n) ∈ {(d, 1), (d, 2), (v, 3), (d, 4), (v,5)}.
Desse modo, NA = NB = 4 e NC = 3. Portanto,
NA = NB > NC .
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[A]
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Resposta da questão 2:
[A]
Resposta da questão 3:
a) 3 vezes
b) O gráfico da função f(x) é:
Resposta da questão 4:
a) 150
b) 9%
Resposta da questão 5:
[C]
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