OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL DE CAIXAS DE ARMAZENAMENTO DE ÁGUA
Thiago Pereira Mohallem – IC
E-mail: [email protected]
João Carlos Menezes – PQ
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica
Departamento de Projetos
Pça. Mal. Eduardo Gomes, no 50, Vila das Acácias
CEP: 12228-901, São José dos Campos - SP
RESUMO
Esse trabalho visa o estudo da geometria de caixas de armazenamento de água, com o
propósito de encontrar a melhor configuração para tais, sendo esta a que minimize as tensões
estáticas no recipiente que são geradas pela pressão hidrostática.Para tanto, foi utilizado o software
de Elementos Finitos NASTRAN® Versão 2.0 Evaluation System, que permite a análise de tensões
estáticas, bem como a análise de vibrações de componentes, que podem ser modelados através da
teoria de vigas, de cascas e de elementos sólidos.
ABSTRACT
This work aims for the study of geometry of an open vessel containing water. The main
purpose of study is the determination of the best geometry which minimizes the static stresses
produced by the hydrostatic pressure in the container. The software of finite elements NASTRAN®
Version 2.0 Evaluation System used, allows the analysis of static stresses and vibrations of any solid
component , which can be modeled by beams, shells and solid elements.
1. INTRODUÇÃO
Vasos de armazenamento de líquidos requerem avaliação de resistência estática e dinâmica. A
teoria de cascas pode ser empregada na grande maioria das modelagens desses vasos. Nota-se que a
geometria dos vasos desempenha um papel importante na resistência estática e bem como no
comportamento vibratório.
Especificamente, no caso de caixas de armazenamento de água, nota-se uma tendência recente
de adoção de geometrias circulares e perfis cônicos. As antigas caixas de água residenciais eram
construídas com uma geometria retangular, com leves adoçamentos nas arestas dos lados planos, o que
evidentemente é uma geometria das mais inadequadas em termos de concentração de tensões elevadas
nessas bordas. O perfil cônico deve ser avaliado com respeito ao grau de conicidade e dos reforços
circunferenciais e a melhor geometria desses reforços no que diz respeito aos raios de adoçamento.
Busca-se dessa forma encontrar geometrias alternativas e mais resistentes para as paredes desses
recipientes, sem comprometer a quantidade de material empregado, que não deve ser muito ampliada,
de forma a aumentar consideravelmente o custo de fabricação. Novas configurações, mais resistentes,
são propostas ao final do trabalho.
2. CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES
Primeiramente é necessária a determinação de parâmetros e condições a que serão submetidos
os modelos na simulação, tais como as expressões para o cálculo do volume do tronco de cone, para a
quantidade de material a ser utilizada em cada modelo, bem como estipular um material a ser
empregado e estabelecer as condições de contorno necessárias para a simulação computacional.
2.1. Cálculo dos Volumes e Definição de Dimensões
Com o emprego do programa NASTRAN® Versão 2.0, o carregamento de água em várias
geometrias diferentes para a caixa de armazenamento foi simulado. Para tanto, fixou-se a espessura em
1 mm, o volume em 1000 litros, ou 1 m3, e o raio da base (inferior) em 0,5 m, ou 50 cm, e foi variado
o raio da tampa (superior) e, conseqüentemente, a altura do tronco, de modo a manter o mesmo
volume. Desse modo pode-se comparar qual geometria minimiza as tensões nas fibras externas do
recipiente para uma mesma capacidade volumétrica.
Iniciando o estudo com um cilindro, para obtenção de uma noção comparativa de valores,
pode-se obter que volume do cilindro é dado por:
V = π.r2.h
onde r = 0,5 m é o raio da base e o volume V = 1 m3. Para essas definições pode-se encontrar a altura
do cilindro h = 1,273 m. Para o tronco de cone, sabe-se que seu volume é calculado da seguinte forma:
V = (1/3).π.h.(R2 + R.r + r2)
onde r = 0,5 m é o raio da base e V = 1 m3 o volume do tronco, que são valores fixos, e R o raio da
tampa e h a altura do tronco, que são os valores que serão variados.
2.2. Material Adotado
Deve-se estipular um material a ser empregado no modelo de simulação no NASTRAN®
Versão 2.0, para serem efetuadas as análises. Como a escolha desse material não implica em variações
no resultado relativo obtido entre os vários modelos, pois foi feita uma análise de tensões geradas,
adotou-se aço como material padrão. O aço adotado tem os seguintes propriedades mecânicas:
•
•
•
Módulo de elasticidade: E = 207 GPa
Coeficiente de Poisson: ν = 0,3
Densidade: d = 7800 kg/m3
2.3. Condições de Contorno
Tem-se que também estabelecer as condições de contorno para o modelo a ser analisado, que
são nesse caso muito complexas de serem simuladas.
Na realidade, a condição de contorno em uma caixa d’água residencial, por exemplo, seria o
contato do “chão” na área da base do tronco de cone. Dessa forma, o movimento impedido por essa
condição de contorno, que mais se aproxima da realidade, seria o deslocamento na direção Z
(perpendicular à área da base). O problema nesse caso é que o impedimento de deformações na base
nessa direção,que existem na realidade. Apesar disso, adotou-se essa condição de contorno em
primeira análise.
O problema encontrado, a partir de então, foi o de que limitando-se somente o movimento na
direção Z o corpo não se encontrou em equilíbrio de forças, provavelmente devido a resíduos não
desconsiderados pelo software. A solução adotada então, foi a de “engastar” o recipiente em um
ponto, no mínimo. Sendo assim, optou-se por fixar os pontos da circunferência de junção entre a área
lateral e a área da base, já que nessa região já se esperava encontrar altas tensões, devido à presença de
quinas, e, dessa forma, manter-se uma simetria dos pontos fixos.
2.4. Cálculo da Quantidade de Material
Para uma análise de custo, obtém-se agora a quantidade de material empregado em cada
geometria. Para isso, utiliza-se as fórmulas das áreas laterais e da base de um tronco de cone, em
função de sua altura e raios, e com o valor da espessura obtém-se o volume. Com o valor da densidade
pode-se assim chegar ao valor de massa desejado. Tem-se que:
AL = π.(R + r).[(R – r)2 + h2]1/2
AB = π.r2
V = e.(AB + AL)
M = d.V
onde AL é a área lateral, AB é a área da base, V é o volume de material, d é a densidade do material, M
é a massa do material, e é a espessura, R é o raio da tampa, r é o raio da base e h a altura do tronco de
cone. Dessa forma, chega-se a uma equação da massa em função de h, R, e, r e d.
M = d.e.{ π.(R + r).[(R – r)2 + h2]1/2 + π.r2}
Além disso, o cálculo da área espacial necessária para a ocupação da caixa d’água também é
um fator a se considerar. Simplificadamente, pode-se dizer que essa área é igual à área da
circunferência superior do tronco de cone, ou seja:
A = π.R2
Aplicando essas equações para cada modelo analisado acima, chegamos aos dados da tabela 1.
Tabela 1: Quantidade de material e área espacial necessária a cada modelo analisado.
Modelo
Conicidade (º)
Massa (Kg)
Área espacial requerida (m2)
A
0
37,32
0,79
B
5,44
34,55
1,13
C
12,86
32,54
1,54
D
22,04
31,57
2,01
E
32,29
31,79
2,55
F
42,48
33,33
3,14
G
73,62
57,20
7,07
H
83,08
98,69
12,57
I
84,79
119,07
15,21
Pela tabela acima observa-se que pelo critério de menor material utilizado, o que minimiza os
custos de fabricação, e uma pequena área espacial ocupada, é o modelo D, que utiliza
aproximadamente 31,6 Kg, ocupando por volta de 2 m2.
3. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
Foram feitas simulações para diversos graus de conicidade, primeiramente com o cilindro, e
chegando-se até o tronco de cone com conicidade de aproximadamente 85º, encontrando-se uma
distribuição de tensões similar em todos os modelos, caracterizada por uma alta concentração de
tensões de tração no centro da área da base, e de compressão, na junção da área lateral com a área da
base. Além disso, a área lateral foi a região que apresentou menores valores de tensão. Percebeu-se
porém, que, quanto maior a conicidade, menores foram os valores de tensões obtidos, pois, ao se
aumentar a conicidade, diminuiu-se a altura do tronco de cone, de modo a manter o mesmo volume.
Com essa redução da altura, a pressão hidrostática também é reduzida, originando assim menores
tensões. Sendo assim, calculou-se a quantidade de material necessária à construção de cada modelo,
bem como a área espacial ocupada por eles, como exposto acima, e foi escolhida a conicidade
adequada baseada nesses resultados.
Segue abaixo o modelo simulado escolhido, com conicidade de 22,04º, altura de 741 mm e
raio superior de 80 cm, focalizando a distribuição de tensões ao longo da geometria:
V1
L1
897067049.
C1
827934286.
758801523.
689668759.
620535996.
551403233.
482270470.
413137707.
344004944.
274872181.
205739418.
136606655.
67473892.
-1658871.
Z
Y
-70791634.
-1.399E+8
X
Output Set: MSC/NASTRAN Case 1
-2.091E+8
Contour: Plate Bot Major Stress
Figura 1: Distribuição das tensões principais no tronco de cone com R=80 cm carregado, vista
inclinada.
Uma vez determinada a conicidade do tronco de cone, passou-se a analisar o modelo escolhido
adicionando-lhe nervuras ao longo da área lateral, percebendo-se porém efeitos não desejáveis nas
tensões geradas, que aumentaram, indo contra o objetivo desse projeto em minimizar as tensões.
Portanto, abandonou-se a tentativa de se adicionar nervuras e partiu-se para o adoçamento de
cantos vivos. O principal canto vivo existente é a junção da área lateral com a área da base. Pode-se a
partir de então, analisar os modelos com vários graus de adoçamento, que pode ser modelado de
acordo com um fator chamado “Blend Factor” durante a criação da geometria a ser simulada no
software de estudo. Quanto maior esse fator, mais brusca é a mudança de direção no ponto de ligação
das áreas, ou seja, o canto fica mais “vivo”. Por outro lado, se esse fator for muito pequeno, a
tendência é de que a ligação das áreas tenda a um plano, ou seja, a mudança mais brusca se afasta do
ponto de ligação, ficando mais próxima do final das áreas a serem ligadas.
Simularam-se modelos com diversos graus de adoçamento, chegando aos resultados
apresentados na tabela 2.
Tabela 2: Valores das tensões e deslocamentos máximos para cada modelo com adoçamento
analisado, bem como as taxas de redução percentual em relação ao modelo sem adoçamento.
Grau de
Adoçamento
Deslocamento
Translacional
Máximo
(mm)
Tensão
Máxima de
Tração
(MPa)
0,8
0,9
1,0
1,1
1,3
222
154
155
156
156
719
572
576
577
579
Redução
Percentual em
Relação ao
Modelo Sem
Adoçamento
19,8
36,2
35,8
35,7
35,5
Tensão
Máxima de
Compressão
(MPa)
-307
-184
-167
-178
-168
Redução
Percentual em
Relação ao
Modelo Sem
Adoçamento
0,3
40,3
45,8
42,2
45,5
Abaixo pode-se verificar o modelo com maior redução percentual das tensões em relação ao
modelo sem adoçamento, onde o perfil da distribuição das tensões manteve-se de acordo com os
modelos anteriores, e o maior deslocamento translacional encontrado ocorreu na área lateral, próximo
à junção com a área da base.
V1
L1
575641574.
C1
532323653.
489005732.
445687811.
402369890.
359051969.
315734048.
272416128.
229098207.
185780286.
142462365.
99144444.
55826523.
12508602.
Y
-30809319.
X
Z
Output Set: MSC/NASTRAN Case 1
Contour: Plate Bot Major Stress
-74127240.
-1.174E+8
Figura 2: Distribuição das tensões principais no tronco de cone com R=80 cm carregado, com grau de
adoçamento igual a 1,0, vista inclinada.
4. CONCLUSÕES
A conclusão a que se chega, portanto, é a de que quanto maior a conicidade, menores as
tensões geradas para um recipiente de mesma capacidade volumétrica. Assim sendo, como dito
anteriormente, optou-se por limitar a conicidade no que diz respeito à menor quantidade de material
utilizada e à menor área espacial ocupada. Analisando-se a Tabela 1, verifica-se que o grau de
conicidade que minimiza o material utilizado e ocupa uma área espacial razoável, é o modelo de
aproximadamente 22º de conicidade.
A partir daí então visou-se minimizar os pontos de máximos de tensão, tanto de tração quanto
de compressão, que foram possíveis, através da inclusão de nervuras na área lateral e adoçamentos nos
cantos vivos existentes, principalmente na junção entre as áreas lateral e da base.
Com a inclusão de nervuras na área lateral, notou-se que houve um aumento nos valores das
tensões de tração, o que contrariava o objetivo do estudo, que é o de minimizar as tensões. Sendo
assim, descartou-se o uso dessas nervuras na área lateral. Isso não significa que o acréscimo de
nervuras extras reforçando a geometria não seja útil, apenas descartou-se que a geometria principal
tenha essas nervuras.
Em seguida considerou-se o adoçamento dos cantos vivos da junção das áreas da base e
lateral, modulando esse adoçamento em vários graus, e verificando uma significativa diminuição nos
valores das tensões encontradas. Através da tabela 2, pode-se então concluir que o melhor grau de
adoçamento foi o grau 1,0, pois apresentou uma redução de 35,8% no máximo valor da tensão de
tração e de 45,8% no máximo valor de compressão, além de apresentar praticamente o menor valor de
máximo deslocamento translacional também.
Concluindo, como o desejado na proposta inicial desse trabalho, propõe-se a geometria
descrita e exemplificada na figura abaixo, como sendo a mais adequada no sentido de minimizar as
tensões e as deformações geradas num recipiente de armazenamento de água, com uma determinada
capacidade volumétrica:
V1
L1
C1
Y
X
Z
Figura 3: Geometria proposta, vista inclinada.
AGRADECIMENTOS
Sem dúvida nenhuma a idealização e concretização desse projeto não seria possível sem o amparo
e dedicação de várias pessoas. Agradecemos em especial ao CNPq/PIBIC, que prioriza o incentivo à
pesquisa universitária e ao orientador Prof. João Carlos Menezes, que prestou um acompanhamento
estreito à pesquisa, além de nos auxiliar nas principais dificuldades encontradas.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1 MSC/Nastran for Windows® CAD Integration Module Version 2.0; The MacNeal-Schwendler
Corporation, New York, 1995
2 Boresi, A. P.; Advanced mechanics of materials; John Wiley & Sons, Inc., New York, 1993
3 Gould, P. L.; Analysis of shells and plates; Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1988