4
K[x]=(p(x)), K um corpo.
4.1
Introdu»c~
ao
No cap¶³tulo 3, ¯zemos um estudo introdut¶orio dos an¶eis quocientes A=I, I um ideal de
A.
Em particular, estabelecemos o teorema fundamental do isomor¯smo de an¶eis:
Teorema. Se f : A ! B ¶e um homomor¯smo de an¶eis, ent~ao, a aplica»c~ao
f : A=ker(f) ! Im(f );
de¯nida por f (a + Ker(f )) = f (a), ¶e um isomor¯smo de an¶eis.
Neste cap¶³tulo, exploramos a estrutura do anel quociente K[x]=I, em que K ¶e um
corpo e I ¶e um ideal de K[x].
Como visto no cap¶³tulo 3, todo ideal de K[x] ¶e principal | visto que K[x] ¶e um
anel euclidiano | ou seja, para cada ideal I de K[x], existe um polin^omio p(x) tal que
I ¶e gerado por p(x), isto ¶e, I = (p(x)) = ff(x)p(x) j f (x) 2 K[x]g.
Assim sendo estaremos explorando a estrutura de an¶eis K[x]=(p(x)), K um corpo,
p(x) 2 K[x].
Mostraremos que se grau (p(x)) ¸ 1, ent~ao o anel quociente K[x]=(p(x)) ¶e identi¯cado com um anel de express~oes polinomiais
K[u] = fam um + am¡1 um¡1 + ¢ ¢ ¢ + a1 u + a0 j am ; : : : ; a0 2 Kg;
em que u ¶e um "elemento de fora de K", sendo p(u) = 0.
Assim sendo, o anel quociente K[x]=(p(x)) nos prov^e uma raiz de p(x) que n~ao
pertence ao corpo K. Veremos ainda que se p(x) ¶e irredutivel em K[x], ou seja, se
¶e imposs¶³vel fatorar p(x) como produto de polin^omios n~ao constantes em K[x], ent~ao
K[x]=(p(x)) = K[u] ¶e um corpo. Este ¶e uma extens~ao do corpo K que cont¶em uma
raiz, u, do polin^omio p(x).
43
Estrutura do anel K[x]=I = K[x]=(p(x))
4.2
Sejam ent~ao K um corpo, K[x] o anel de polin^omios sobre K, na indeterminada x, p(x)
um polin^omio em K[x] e I ½ K[x] o ideal de K[x] gerado por p(x).
Notemos primeiramente que, sendo A ¶e um anel qualquer,
² se I = f0g ent~ao A=I = A=f0g »
=A
² se I = A ent~ao A=I = A=A »
= f0g
Os fatos acima s~ao facilmente deduzidos notando-se que as aplica»c~oes
f; g: A ! A
dadas por
f (x) = 0 e g(x) = x; 8x 2 A
s~ao homomor¯smos de an¶eis. Como ker(f) = A, ker(g) = f0g, Im(f ) = f0g e
Im(g) = A, pelo teorema fundamental do homomor¯smo de an¶eis, temos:
A=ker(f) »
= Im(f ) ) A=A »
= f0g e
A=ker(g) »
= Im(g) ) A=f0g »
= A.
Se p(x) = 0, ent~ao I = (p(x)) = (0) = f0g.
Neste caso, K=I = K[x]=(p(x)) = K[x]=f0g »
= K[x].
Se p(x) = c 6
= 0, ent~ao I = (p(x)) = (c) = K[x]. A dedu»c~ao deste fato ¶e deixada
como exerc¶³cio.
Neste caso, K[x]=(p(x)) = K[x]=(c) = K[x]=K[x] »
= f0g.
4.2.1
O anel K[x]=(p(x)), quando grau (p(x)) ¸ 1
Proposi»c~
ao 4.2.1 Sejam K um corpo, e p(x) 2 K[x] um polin^omio de grau ¸ 1. Seja
I = (p(x)). A aplica»c~ao
i: K ! K[x]=I
de¯nida por
i(a) = a + I; 8a 2 K
¶e um monomor¯smo de an¶eis.
Demonstra»c~ao.. 8a; b 2 K,
i(ab) = ab + I = (a + I)(b + I) = i(a)i(b); e
i(a + b) = a + b + I = (a + I) + (b + I) = i(a) + i(b)
e portanto i ¶e um homomor¯smo.
44
Veri¯camos a seguir que ker(i) = f0g, e portanto i ¶e um monomor¯smo:
8a 2 K, i(a) = 0 ) i(a) = 0 + I (pois 0 + I ¶e o elemento zero do anel quociente
K[x]=(p(x))).
Agora, i(a) = 0 + I , a + I = 0 + I , a ¡ 0 2 I , a 2 I.
Notemos ent~ao que, sendo I = (p(x)), a 2 I se e somente se a = p(x)f (x) para
algum polin^omio f(x) em K[x]. Temos ent~ao grau (p(x)) + grau (f (x)) = grau (a).
Se a 6
= 0, temos aqui uma contradi»c~ao:
0 = grau (a) = grau (p(x)) + grau (f(x)) ¸ grau (p(x)) ¸ 1
Logo, necessariamente, a = 0.
Portanto, i(a) = 0 ) a = 0, ou seja, ker(i) = f0g e i ¶e um monomor¯smo.
Observa»c~
ao 4.2.1 Como vimos, pela proposi»c~ao 4.2.1, quando grau (p(x)) ¸ 1, a
aplica»c~ao i: K ! K[x]=(p(x)), i(a) = a + (p(x)), ¶e um monomor¯smo. Assim, K »
=
Im(i) = fa + (p(x)) j a 2 Kg.
Mais precisamente, atrav¶es desse isomor¯smo entre o corpo K e sua imagem
pelo monomor¯smo i, podemos identi¯car cada elemento a 2 K com sua imagem
a + (p(x)) 2 K[x]=(p(x)).
Assim sendo, consideraremos que o anel quociente K[x]=(p(x)) cont¶em uma
\c¶opia" do corpo K.
Os processos de identi¯ca»c~ao como o descrito acima s~ao comuns em estruturas
alg¶ebricas. Por exemplo, o anel Z dos n¶umeros inteiros, ¶e freqÄuentemente identi¯cado
como um sub-anel dos n¶umeros racionais atrav¶es do monomor¯smo
f : Z ! Q;
f(n) =
n
1
.
Deste modo, passamos a considerar o racional
n
1
e o inteiro n como sendo iguais.
Proposi»c~
ao 4.2.2 Seja p(x) um polin^omio de grau ¸ 1 em K[x], K um corpo. Considere a classe lateral u = x + (p(x)) 2 K[x]=(p(x)). Ent~ao, denotando a + (p(x)) = a
para cada elemento a 2 K, temos que cada elemento do anel quociente K[x]=(p(x)) se
escreve como uma express~ao polinomial
n
an u + ¢ ¢ ¢ + a1 u + a0 =
n
X
ak uk
k=0
sendo n ¸ 0 e a0 ; : : : ; an elementos de K (considerado com sub-anel de K[x]=(p(x))).
Demonstra»c~ao.. Seja ® um elemento (classe lateral) em K[x]=(p(x)).
Temos ® = f(x)+(p(x)), para algum f (x) 2 K[x]. Sendo f (x) = an xn +¢ ¢ ¢+a0 ,
veremos que ent~ao ® = an un + ¢ ¢ ¢ + a0 .
45
De fato
® = f (x) + (p(x))
n
hX
i
k
=
ak x + (p(x))
k=0
n h
i
X
=
ak xk + (p(x))
k=0
n h
ih
i
X
=
ak + (p(x)) xk + (p(x))
k=0
n h
ih
ik
X
ak + (p(x)) x + (p(x))
=
=
k=0
n
X
ak uk = ak uk + ¢ ¢ ¢ + a0
k=0
sendo que, na passagem da antepen¶ultima para a pen¶ultima linha, consideramos a identi¯ca»c~ao ak + (p(x)) = ak (ak 2 K).
Observa»c~
ao 4.2.2 Em virtude da proposi»c~ao 4.2.2, sendo u = x+(p(x)), denotaremos
K[x]=(p(x)) = K[u] = fan un + ¢ ¢ ¢ + a0 j an ; : : : ; a0 2 Kg
e chamaremos os elementos deste anel de express~oes polinomiais em u, com coe¯cientes
em K.
Proposi»c~
ao 4.2.3 Seja K um corpo e considere p(x) 2 K[x], de grau n ¸ 1. Como
no enunciado da proposi»c~ao 4.2.2, seja u = x + (p(x)). Ent~ao:
1. K[u] ¶e um anel que cont¶em o corpo K como sub-anel. (Isto ¶e precisamente o que
enuncia a proposi»c~ao 4.2.1).
2. u 2 K[u] ¶e raiz do polin^omio p(x), ou seja p(u) = 0.
3. Cada elemento de K[u] se escreve, de maneira u
¶nica, na forma
bn¡1 un¡1 + ¢ ¢ ¢ + b0
com b0 ; : : : ; bn¡1 2 K (lembre-se: n = grau (p(x))).
Demonstra»c~ao..
1. J¶a demonstrado (proposi»c~ao 4.2.1).
46
2. Suponha p(x) =
Pn
p(u) =
ak xk . Ent~ao
k=0
n
X
ak uk
k=0
n
X
=
[ak + (p(x))][x + (p(x))]k
=
k=0
n
X
[ak + (p(x))][xk + (p(x))]
k=0
n
X
=
[ak xk + (p(x))]
k=0
=
n
hX
i
ak xk + (p(x))
k=0
= p(x) + (p(x)) = 0 + (p(x))
= 0
(pois p(x) 2 (p(x)))
3. Seja ® = cm um + ¢ ¢ ¢ + c0 2 K[u]. Temos que ® = f(u), sendo f (x) =
cm xm + ¢ ¢ ¢ + c0 2 K[x].
Fazendo a divis~ao euclidiana de f (x) por p(x), obtemos polin^omios q(x) e r(x)
em K[x], satisfazendo
f(x) = p(x)q(x) + r(x);
com grau (r(x)) < grau (p(x)) = n
Assim, r(x) ¶e da forma r(x) = bn¡1 xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + b0 , com bn¡1 ; : : : ; b0 2 K.
Ent~ao ® = f (u) = p(u)q(u) + r(u) = 0 ¢ q(u) + r(u) = r(u) pois, como provado
no item anterior, p(u) = 0.
Logo, ® = r(u) = bn¡1 un¡1 + ¢ ¢ ¢ + b0 .
Para mostrar que os coe¯cientes bn¡1 ; : : : ; b0 s~ao determinados de maneira u¶nica,
suponhamos que
® = bn¡1 un¡1 + ¢ ¢ ¢ + b0 = dn¡1 un¡1 + ¢ ¢ ¢ + d0
para certos dn¡1 ; : : : ; d0 2 K.
Ent~ao
0 = ® ¡ ® = (bn¡1 un¡1 + ¢ ¢ ¢ + b0 ) ¡ (dn¡1 un¡1 + ¢ ¢ ¢ + d0 )
= (bn¡1 ¡ dn¡1 ) un¡1 + ¢ ¢ ¢ + (b0 ¡ d0 )
|
{z
}
| {z }
en¡1
= en¡1 u
n¡1
e0
+ ¢ ¢ ¢ + e0
Resta provar que en¡1 = : : : = e0 = 0.
47
Considere ent~ao g(x) = en¡1 xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + e0 . Como g(u) = 0, isto quer dizer que
g(x)+(p(x)) = 0+(p(x)). Isto, por sua vez, implica em g(x)¡0 = g(x) 2 (p(x)).
Ent~ao existe um polin^omio h(x) 2 K[x] tal que g(x) = p(x)h(x). Logo,
grau (g(x)) = grau (p(x)) + grau (h(x)) = n + grau (h(x))
Por outro lado grau (g(x)) · n ¡ 1, logo a ¶unica maneira de conciliar a rela»c~ao
entre os graus de g(x); f(x) e h(x) ¶e termos grau (g(x)) = grau (h(x)) = ¡1 e
portanto g(x) = 0, da¶³ ent~ao en¡1 = : : : = e0 = 0.
Observa»c~
ao 4.2.3 A proposi»c~ao anterior nos diz que se grau (p(x)) = n ¸ 1,
ent~ao o conjunto un¡1 ; : : : ; u; 1 ¶e um conjunto de geradores do anel quociente
K[x]=(p(x)) = K[u].
Al¶em disso, esses n geradores s~ao linearmente independentes sobre o corpo K,
ou seja, considerando-se os escalares em K, en¡1 un¡1 + ¢ ¢ ¢ + e1 u + e0 = 0 )
en¡1 = : : : = e0 = 0.
Em outras palavras, o anel K[u] ¶e ent~ao um espa»co vetorial sobre o corpo K,
sendo os elementos un¡1 ; : : : ; u; 1 uma base desse espa»co.
De¯ni»c~
ao 4.2.1 (Polin^
omios irredut¶³veis em K[x]) . Sendo K um corpo, um
polin^omio p(x) em K[x], ¶e dito ser irredut¶³vel sobre K ou irredut¶³vel em K[x] se
grau (p(x) ¸ 1 e n~ao existem polin^omios f (x); g(x) 2 K[x], com grau (f(x)) ¸
1, grau (g(x)) ¸ 1 e p(x) = f (x)g(x).
Em outras palavras, p(x) ¶e irredut¶³vel se tem grau ¸ 1 e p(x) = f (x)g(x) ) f (x)
¶e constante ou g(x) ¶e constante.
Alternativamente, dizemos que p(x) ¶e redut¶³vel sobre K se p(x) se escreve na
forma p(x) = f (x)g(x), com grau (f(x)) ¸ 1 e grau (g(x)) ¸ 1.
Exemplo 4.2.1 Claramente, todo polin^omio de grau 1 ¶e irredut¶³vel, j¶a que imposs¶³vel escrev^e-lo como produto de dois polin^omios, ambos com grau ¸ 1
Teorema 4.2.1 Se p(x) 2 K[x] ¶e irredut¶³vel sobre K (K um corpo) ent~ao o anel
quociente K[x]=(p(x)) ¶e um corpo.
Demonstra»c~ao.. Provaremos que, em K[x]=(p(x)), toda classe n~ao nula f (x) +
(p(x)) ¶e invert¶³vel.
De fato, se f (x) + (p(x)) 6
= 0 + (p(x)) ent~ao f (x) 6
2 (p(x)). Logo, n~ao existe
q(x) 2 K[x] satisfazendo f (x) = p(x)q(x).
Assim p(x) n~ao ¶e fator de f (x) e conseqÄuentemente, como p(x) ¶e irredut¶³vel,
mdc (p(x); f (x)) = 1
Para veri¯car esta ¶ultima a¯rma»c~ao, notemos que sendo mdc (p(x); f (x)) = d(x),
temos que d(x) ¶e fator (divisor) de ambos p(x) e f(x). Sendo p(x) irredut¶³vel,
48
seus u¶nicos divisores m^onicos s~ao 1 ou ¸p(x), com ¸ = a¡1
n , an o coe¯ciente
dominante de p(x). Logo, d(x) = 1 ou d(x) = ¸p(x).
Agora, d(x) divide f (x) e p(x) n~ao divide f (x). Isto implica d(x) 6
= ¸p(x), o que
implica d(x) = 1.
Voltando µa nossa dedu»c~ao central, sendo mdc (p(x); f (x)) = 1, existem polin^omios a(x); b(x) 2 K[x] satistazendo
a(x)p(x) + b(x)f (x) = 1
Da¶³,
[a(x)p(x) + b(x)f (x)] + (p(x)) = 1 + (p(x))
e ent~ao, em K[x]=(p(x)) = K[u],
a(u)p(u) + b(u)f (u) = 1
Como p(u) = 0, temos ent~ao b(u)f (u) = 1, logo, devido µa comutatividade da
multiplica»c~ao em K[u], [f(u)]¡1 = b(u).
Exemplo 4.2.2 Seja p(x) = x2 + 1 2 R[x]. p(x) ¶e irredut¶³vel sobre R pois tem grau 2
e n~ao tem ra¶³zes em R.
Sendo u = x + (p(x)) = x + (x2 + 1), temos R[x]=(p(x)) = R[x]=(x2 + 1) = R[u]
(proposi»c~ao 4.2.2).
Como grau (x2 + 1) = 2, pela proposi»c~ao 4.2.3, temos
R[u] = fa0 + a1 u j a0 ; a1 2 Rg
Ainda pela proposi»c~ao 4.2.3, temos p(u) = u2 + 1 = 0, ou seja, u2 = ¡1.
Assim R[u] ¶e um corpo, extens~ao do corpo R (isto ¶e, contendo R como sub-corpo),
que possui uma raiz do polin^omio x2 + 1, irredut¶³vel em R[x].
N~ao ¶e dif¶³cil ver que R[u] »
= C, bastando para isso considerar o homomor¯smo de
an¶eis (corpos)
'
R[u] ¡!
C
a + bu 7
¡! a + bi
e mostrar que ' ¶e de fato um isomor¯smo.
Exemplo 4.2.3 Consideremos agora p(x) = x3 + x + 1 em Z2 [x]. Z2 ¶e um corpo e
p(x) ¶e irredut¶³vel sobre Z2 (tente escrever p(x) = (ax + b)(cx2 + dx + e) em Z2 [x] e
voc^e ver¶a que isto ¶e imposs¶³vel).
Logo, Z2 [x]=(x3 + x + 1) ¶e um corpo, extens~ao de Z2 .
Sendo u = x + (x3 + x + 1), temos, de acordo com a proposi»c~ao 4.2.3,
Z2 [x]=(x3 + x + 1) = Z2 [u] = fau2 + bu + c j a; b; c 2 Z2 g
Assim, Z2 [u] ¶e um corpo, extens~ao de Z2 , com oito elementos, a saber:
0; 1; u; u + 1; u2 ; u2 + 1; u2 + u; u2 + u + 1
sendo u3 = u + 1, uma vez que u3 + u + 1 = 0.
49
4.3
Problemas complementares
1. Prove que, sendo K um corpo, e p(x) = c 6
= 0, c 2 K, ent~ao (p(x)) = (c) = K[x].
2. Sejam K ¶e um corpo e p(x) 2 K[x] um polin^omio de grau 2 ou 3. Prove que
p(x) ¶e redut¶³vel sobre K se, e somente se p(x) tem uma raiz em K.
3. Determine todos os polin^omios de grau 4 em Z2 [x],
(a) irredut¶³veis sobre Z2 ;
(b) redut¶³veis sobre Z2 , mas que n~ao possuem ra¶³zes em Z2 ;
(c) que possuem ao menos uma raiz em Z2 (sendo ent~ao, obviamente, redut¶³veis
sobre Z2 ).
4. Veri¯que que p(x) = x2 + 1 ¶e irredut¶³vel em Z3 [x]. Fazendo a identi¯ca»c~ao
Z3 [x]=(p(x)) = Z3 [u], u = x+(x2 +1), escreva as t¶abuas de adi»c~ao e multiplica»c~ao
do corpo Z3 [u]
5. Sendo p(x) = x3 + x2 + 1 2 Z2 [x], mostre que o anel quociente Z2 [x]=(p(x)) ¶e
um corpo com 8 elementos. Escreva a lista completa desses elementos. Sendo
u = x + (p(x)), calcule
(a) u¡1
(b) (u + 1)¡1
(c) (u2 + u)¡1
6. Explique como construir um corpo com
(a) 4 elementos
(b) 25 elementos
(c) 125 elementos
7. Prove que, sendo K um corpo, se p(x) 2 K[x] ¶e um polin^omio de grau 1, ent~ao
K[x]=(p(x)) = K[u] »
= K.
8. Prove que, sendo K um corpo, se p(x) 2 K[x] tem grau ¸ 2 e ¶e redut¶³vel sobre K,
ent~ao o anel quociente K[x]=(p(x)) n~ao ¶e um corpo, possuindo divisores pr¶oprios
de zero.
9. Mostre que p(x) = x2 + 2 ¶e redut¶³vel sobre Z3 . No anel Z3 [x]=(p(x)), determine
todos os divisores pr¶oprios de zero.
2
10. Seja
p f (x) = x ¡
p3 2 Q[x]. Mostre que Q[x]=(f (x)) ¶e um corpo isomorfo a
Q[ 3] = fa + b 3 j a; b 2 Qg.p Sendo u = x + (f (x)) 2 Q[x]=(f (x)), que
elemento corresponde a u em Q[ 3]? Calcule (u2 + 1)¡1 e (u2 + 1)(u2 + u + 1)
como express~oes polinomiais de grau · 2 em Q[u].
11. Mostre que
(a) x4 + 4 ¶e redut¶³vel em Q[x];
(b) x4 + 1 ¶e irredut¶³vel em Q[x], mas n~ao em R[x];
50
Nota sobre fatora»c~
ao de polin^
omios em K[x], K um corpo:
Todo polin^omio p(x) 2 K[x], K um corpo, p(x) de grau ¸ 1, se escreve na forma
p(x) = ¸p1 (x) ¢ ¢ ¢ ps (x)
sendo ¸ uma constante de K e p1 (x); : : : ; ps (x) polin^omios m^onicos irredut¶³veis em
K[x]. Al¶em disso, ¸ e os fatores polinomiais p1 (x); : : : ; ps (x) s~ao determinados de
maneira u¶nica, a menos da ordem dos fatores.
51