UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO"
Câmpus Experimental de Sorocaba
Trabalho 1: Modelagem e Resposta Dinâmica de
Sistemas Industriais
Alexandre Borges Marcelo
RA 1110012
Thiago Martins Silva
RA 1110349
Yasmine Castro Fortes
RA 1110438
Sorocaba, 12 de setembro de 2015
Sumário
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1
Modelo de Suspensão Automotiva . . . . . . . . . . . .
4
1. a
Desenvolvimento Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1. b
Representação no MATLAB/Simulink . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1. c
Resposta Dinâmica - Degrau em P . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1. d
Resposta Dinâmica - Degrau em Pi
. . . . . . . . . . . . . . . .
10
2
Sistema de Controle de Nível . . . . . . . . . . . . . . .
11
2. a
Modelagem Matemática
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2. b
Diagrama de Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2. c
Resposta Dinâmica de GP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2. d
Resposta Dinâmica do Sistema Completo . . . . . . . . . . . . . .
17
2. e
Erro da Resposta Dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2. f
Estudo do Controlador Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Introdução
Não é novidade que o controle automático de processos industriais
se tornou de certo modo indispensável para qualquer empresa que visa se
manter competitiva no mercado atual, a utilização de sistemas de controle
fornecem diversos benefícios tais como a melhoria do produto final, economia
de recursos e maior segurança, determinismo e confiabilidade para o processo
controlado.
O controle de um processo industrial pode ser feito basicamente
com duas topologias de sistema sendo estas, sistemas em malha aberta ou
malha fechada em que cada qual possui suas vantagens e desvantagens.
Vale ressaltar entretanto que um sistema de controle em malha fechada
possui menor sensibilidade a ruídos externos bem como às mudanças de
parâmetros internos do sistema. Existem diversos algoritmos utilizados na
concepção de um controlador dentre esses o mais tradicional e vastamente
utilizado na indústria é o Proporcional-Integral-Derivativo (PID) devido se
dá pela obtenção de bons resultados práticos com a simples alterações nos
parâmetros dos sistemas da planta.
A fim de se controlar um sistema industrial o primeiro passo é,
frequentemente, a obtenção do modelo matemático do mesmo por meio
de algum conhecimento teórico como equações as diferenciais que regem
os fenômenos físicos associados àquele sistema. Apesar da relativa complexidade de se obter modelos matemáticos de sistemas reais, valendo-se de
certas simplificações é possível a obtenção de um modelo matemático para
um processo de forma analítica.
Outro ponto importante ligado à modelagem no âmbito industrial
é a simulação de sistemas físicos; tão importante quanto a obtenção de
um modelo matemático é a simulação do mesmo visto que através desta
consegue-se de maneira rápida uma análise profunda da resposta oferecida
pelo modelo proposto. A simulação se mostra essencial no processo de
validação do modelo levantado evitando assim instabilidades ou acidentes
3
causados pelo uso de um modelo matemático pouco condizente.
Neste trabalho encontra-se o processo analítico utilizado para
levantar os modelos matemáticos de dois processos industriais bem como
a simulação de tais sistemas no MATLAB/Simulink a fim de testar e
demonstrar a eficácia dos modelos obtidos.
1 Modelo de Suspensão Automotiva
O sistema de suspensão dos veículos é responsável por diversos
papéis de suma importância para desempenho conforto e segurança, a
suspensão além de proporcionar um maior conforto para quem está no
interior do veículo é responsável por isolar vibrações, melhorar a distribuição
e equilíbrio das cargas e permitir uma maior aderência do pneu com o solo.
O modelo de suspensão tratado neste trabalho é um modelo
bastante conhecido e utilizado conhecido como “suspensão 1/4 de veículo”
ou “quarter car”; trata-se de um modelo dinâmico simplificado com dois
graus de liberdade utilizado em diversos ramos da mecânica. Vale ressaltar
ainda que o grau de semelhança com o comportamento de uma suspensão
real varia conforme os fatores da mesma, tais como material, relevo, atrito
e geometria.
O problema apresentado consiste em um modelo de 1/4 de suspensão, com esquemático e representação mostrados na Figura 1, onde:
• C = representa o movimento de resposta da carroceria do veículo
(saída);
• S = representa o movimento do braço da suspensão (saída);
• Pi = representa uma carga aplicada (em N) sobre a carroceria do
veículo (entrada);
• P = representa a irregularidade do pavimento como um deslocamento
no pneu (entrada);
4
Pi
C
M1
Car Body Attaches Here
Wheel and Tire
B1
K1
S
Spring and Damper
M2
B2
Hub Assembly
K2
P
Figura 1 – Modelo de 1/4 de suspensão
• M1 = representa a massa total do veículo (sem ocupantes) – 62, 5 Kg;
• K1 = representa a elasticidade da mola principal – 17, 5 kN/m;
• B1 = representa o coeficiente de amortecimento do amortecedor –
17, 7 kN · s/m;
• M2 = representa a massa do conjunto roda, eixo, freio, etc. – 35 Kg;
• K2 = representa a elasticidade da flexibilidade do pneu – 87, 6 kN/m;
• B2 = representa o coeficiente de amortecimento do pneu - 1 µN · s/m.
1. a Desenvolvimento Matemático
Conforme a 2a Lei de Newton, a somatória das forças aplicadas a
um corpo resulta em uma variação do seu momento de inércia, que pode
ser interpretado como uma força reativa inercial proporcional a sua massa e
aceleração. Através dos diagramas de corpo livre apresentados na Figura 2,
encontramos as equações 1 e 2.
5
F M2
F M1
Pi
FB1
M1
FB1
FK1
M2
FK1
FB2
FK2
Figura 2 – Diagramas de corpo livre
FM1 = FB1 + FK1 − Pi
(1)
FM2 = FB2 + FK2 − FB1 − FK1
(2)
Onde:
FM1 = M1 · C̈
FM2 = M2 · S̈
FB1 = B1 · Ṡ − Ċ = B1 · Ṡ − B1 · Ċ
FB2 = B2 · Ṗ − Ṡ = B2 · Ṗ − B2 · Ṡ
FK1 = K1 · (S − C) = K1 · S − K1 · C
FK2 = K2 · (P − S) = K2 · P − K2 · S
Expandindo a equação 1 e aplicando a transformada de Laplace, temos:
M1 · C̈ = B1 · Ṡ − B1 · Ċ + K1 · S − K1 · C − Pi =⇒
=⇒ Pi + M1 · C · s2 + B1 · C · s + K1 · C = B1 · S · s + K1 · S =⇒
=⇒ S · (B1 · s + K1 ) = Pi + C · M1 · s2 + B1 · s + K1
=⇒ S =
=⇒
Pi + C · (M1 · s2 + B1 · s + K1 )
B1 · s + K1
6
(3)
Em seguida, expandindo a equação 2 e aplicando Laplace:
M2 · S̈ = B2 · Ṗ − B2 · Ṡ + K2 · P − K2 · S − B1 · Ṡ + B1 · Ċ − K1 · S + K1 · C =⇒
=⇒ M2 · S · s2 = B2 · P · s − B2 · S · s + K2 · P − K2 · S − B1 · S · s + B1 · C · s − K1 · S + K1 · C =⇒
=⇒ C · (B1 · s + K1 ) = M2 · s2 + (B2 + B1 ) · s + (K2 + K1 ) · S − P · (B2 · s + K2 ) =⇒
Substituindo S pela equação 3:
(Pi +C·(M1 ·s2 +B1 ·s+K1 ))
=⇒ C · (B1 · s + K1 ) = M2 · s2 + (B2 + B1 ) · s + (K2 + K1 ) ·
− P · (B2 · s + K2 ) =⇒
2
=⇒ C · (B1 · s + K1 ) = Pi + C · M1 · s2 + B1 · s + K1
− P · (B2 · s + K2 ) · (B1 · s + K1 ) =⇒
B1 ·s+K1
−
· M2 · s2 + (B2 + B1 ) · s + (K2 + K1 ) −
2
=⇒ C · (B1 · s + K1 ) − M1 · s2 + B1 · s + K1 · M2 · s2 + (B2 + B1 ) · s + (K2 + K1 ) =
= Pi · M2 · s2 + (B2 + B1 ) · s + (K2 + K1 ) − P · (B2 · s + K2 ) · (B1 · s + K1 ) =⇒
B1
K1
B1 ·B2
K1 ·K2
2
2
2 +B2 ·K1
=⇒ C · s4 + B1M+B
+M
+M
+M
· s3 + K1M+K
· s2 + B1 ·K
·s+ M
=
M1 ·M2
2
1
2
1
1 ·M2
1 ·M2
K1 ·K2
K2 +K1
B1 ·B2
2 +B2 ·K1
2 +B1
· s2 + B1 ·K
·s+ M
− Pi · M11 · s2 + B
=⇒
=P· M
M1 ·M2
M1 ·M2 · s + M1 ·M2
1 ·M2
1 ·M2
P·
=⇒ C =
s4 +
−
s4 +
B1 +B2
M2
B1 ·B2
M1 ·M2
· s2 +
B1 ·K2 +B2 ·K1
M1 ·M2
·s+
K1 ·K2
M1 ·M2
−
K1
B1 ·B2
2
2 + B1 ·K2 +B2 ·K1 · s + K1 ·K2
· s3 + K1M+K
+
+
·
s
M1
M1 ·M2
M1 ·M2
M1 ·M2
2
B2 +B1
K2 +K1
1
2
Pi · M1 · s + M1 ·M2 · s + M1 ·M2
=⇒
B1
3 + K1 +K2 + K1 + B1 ·B2
2 + B1 ·K2 +B2 ·K1 · s + K1 ·K2
+M
·
s
·
s
M2
M1
M1 ·M2
M1 ·M2
M1 ·M2
1
B1 +B2
M2
+
B1
M1
Como as entradas P e Pi são independentes, podemos separar a saída C
como a soma das funções de transferência 4 e 5, a seguir:
C
=
Pi
2
s4 + B1M+B
+
2
C
=
P
2
s4 + B1M+B
+
2
B1
M1
B1
M1
· s3 +
−
1
M1
K1 +K2
M2
B1 ·B2
M1 ·M2
· s3 +
· s2 +
+
· s2 +
K1 +K2
M2
+
K1
M1
2 +K1
·s+ K
M1 ·M2
B1 ·B2
2 + B1 ·K2 +B2 ·K1 · s + K1 ·K2
·
s
+M
M1 ·M2
M1 ·M2
1 ·M2
B2 +B1
M1 ·M2
B1 ·K2 +B2 ·K1
M1 ·M2
K1
M1
K1 ·K2
·s+ M
1 ·M2
B1 ·B2
K1 ·K2
2 +B2 ·K1
+ M1 ·M2 · s2 + B1 ·K
·s+ M
M1 ·M2
1 ·M2
7
(4)
(5)
1. b Representação no MATLAB/Simulink
A representação de ¼ de suspensão cujo modelo foi obtido foi
também simulado utilizando MATLAB/Simulink. Na figura abaixo tem-se
o modelo utilizando blocos de representação mecânica do Simulink tais
quais massas, molas, amortecedores dentre outros.
1
S PS
Pi
P
V
C
PS S
1
C
R
S
C
R
C
K1
C
B1
R
R
M1
C
K2
C
B2
R
R
M2
f(x) = 0
R
C
V
P
Solver
Configuration
PS S
2
S
Figura 3 – Diagrama de blocos da representação mecânica
O modelo esquematizado na Figura 3, apesar de representar com
exatidão o sistema estudado, possui como limitação o fato de não ser possível
de se inserir o sinal de posição, ou seja, o deslocamento P utilizado como
entrada no exercício proposto (limitação própria da “foundation library”
do Simulink).
Tendo em vista a limitação do modelo anterior, criou-se outro
modelo de simulação para o mesmo sistema, utilizando desta vez blocos
integradores, derivadores e realimentações para representação das equações
físicas que regem o sistema. Tal modelo está representado na Figura 4.
8
K1
Fk1
1
Fm1
Pi
-K-
-K-
1
s
C''
C'
1
s
S'
1
s
C
1
C
1/M1
Fb1
-KB1
Fm2
-K-
1
s
S''
S
2
S
1/M2
Fk2
Fb2
-KB2
2
P
P
du/dt
P'
K2
-K-
Figura 4 – Diagrama de blocos da representação com realimentação
Por fim, para efeito de comparação e confirmação, utilizou-se os
blocos de função de transferência do Simulink para que fossem implementadas diretamente as funções de transferência obtidas analiticamente na
subseção 1. a.
1
Pi
-0.016s 2 -8.0914285719s-48.0457142857
s 4 +788.9142857429s 3 +3282.8571509486s 2 +708809.142865143s+700800
1
C
C/Pi
2
P
8.09142857142857E-006s 2 +708809.142865143s+700800
s 4 +788.9142857429s 3 +3282.8571509486s 2 +708809.142865143s+700800
C/P
Figura 5 – Diagrama de blocos de função transferência
1. c Resposta Dinâmica - Degrau em P
Apesar da limitação do modelo da Figura 3 não permitir a aplicação de um sinal arbitrário em P , foi possível aplicar especificamente um
9
degrau de entrada na origem configurando um valor de deformação inicial
na mola K2 . Após excitar-se o sistema com uma entrada do tipo degrau
com amplitude de 5 cm, todos os modelos citados acima responderam
exatamente da mesma maneira conforme mostra a Figura 6.
0.1
0.09
0.08
C(t) (m)
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
1
2
3
4
5
6
Tempo (s)
Figura 6 – Resposta de C a um degrau em P
Pode-se notar que a carroceria C sai do ponto inicial 0 e tenta
seguir o degrau de 5 cm, assumindo assim um comportamento oscilatório
amortecido devido à ação das molas e amortecedores, de modo que a partir
daí o valor de referência do sistema se altera e a oscilação acontece em torno
dos 5 cm até que o sistema estabiliza neste valor. Observou-se também que
a constante de tempo do amortecimento do sistema é de aproximadamente
1 segundo, o que promove uma maior sensação de conforto visto que o
comportamento oscilatório possuirá curta duração.
1. d Resposta Dinâmica - Degrau em Pi
Para simular a entrada de uma pessoa de 70 Kg foi inserida uma
entrada do tipo degrau com amplitude de 700 N, nessa situação todos os
três modelos utilizados apresentaram exatamente a mesma resposta, sendo
esta ilustrada na Figura 7.
10
0
C(t) (m)
−0.01
−0.02
−0.03
−0.04
−0.05
0
1
2
3
4
5
6
Tempo (s)
Figura 7 – Resposta de C a um degrau em Pi
Como já discutido anteriormente, a natureza do sistema composto
por molas e amortecedores faz com que a oscilação causada pelo degrau
seja gradativamente amortecida até que o sistema se estabiliza em outro
valor de referência devido ao peso da pessoa. Vale ressaltar que como neste
caso da simulação foi aplicado um degrau de força em vez de um degrau de
deslocamento, percebe-se que a oscilação do sistema tem amplitude muito
menor. Isso ocorre devido ao fato de que uma força aplicada gera uma
aceleração e consequentemente um deslocamento ambos graduais na massa
do sistema.
Outro teste feito foi a retirada do amortecedor B2 visto que a
constante de amortecimento deste é ínfima perto dos outros componentes do
sistema, neste caso a resposta do sistema não se alterou significantemente.
2 Sistema de Controle de Nível
Controle de nível é uma aplicação de controle extremamente
presente em indústrias de todos os ramos visto que é difícil encontrar algum
processo de produção em que não se envolvam produtos ou reagente em
estado líquido. Para controlar o nível de tanques industriais é necessário
11
atuar nas vazões dos mesmos, por exemplo, para manter o nível de um
reservatório constante é necessário que a vazão que entre seja igual à vazão
que sai. Partindo deste conceito e de princípios como a equação de energia
de um fluído é possível modelar e consequentemente controlar tais sistemas.
QE
I/P
h1
CV 1
ρ
Q1
A1
hr
LIC
h2
LT
ρ
CV 2
A2
Q2
Figura 8 – Sistema de Controle de Nível
Este trabalho teve como objetivo modelar e controlar a altura H2
do segundo tanque através da válvula que controla a variação (∆QE ) da
vazão de entrada QE no tanque 1. Para este sistema tem-se:
• hr = 1 m.
• O sensor de nível possui faixa de medição de 0 a 2 m, com saída de 4
a 20 mA.
• O LIC foi configurado com um controlador proporcional de K=10,
sendo que K pode variar de 0,3 até 30.
• O conversor I/P tem dinâmica nula e possui entrada de 4 a 20 mA
com saída de 3 a 15 psi.
• A válvula de entrada possui constante de tempo de 10 s e variação de
vazão de 0,002
m3/s.
• Os tanques operam com nível médio h1 = 0, 5184 m e h2 = 1 m.
12
• Valores : A1 = 1 m2 , A2 = 0, 2 m2 , K1 = 0, 0, 025 e K2 = 0, 018.
par
2. a Modelagem Matemática
A variação do volume de cada tanque está relacionado com a
variação da vazão de entrada e saída nos mesmos. Também é dado do
problema que as áreas dos tanques são constantes. Pode-se então relacionar
volume e vazão em cada tanque pelas equações:
V̇ = (Qin − Qout )
(6)
V̇ = A · ḣ
(7)
Como o enunciado diz que o escoamento das válvulas será considerado em regime turbulento, A relação entre a vazão e a altura do tanque
será:
Q = KV ·
√
h
Em que KV é a constante da válvula.
Nota-se então que trata-se de um modelo não linear. Como foi
dado o ponto de operação do sistema, o modelo pode ser linearizado em
torno deste ponto a fim de se obter sua função de transferência.
Tem-se então para a vazão linearizada:
√
KV
KV · hO
KV · h
√ · (h − hO ) =
√
Q = KV · hO +
+
2
2 · hO
2 · hO
q
(8)
Definiu-se então uma constante C a fim de se obter uma simplificação nas
notações de cálculos Substituindo na equação 8, temos:
C=
KV
√
=⇒ Q = C · hO + C · h
2 · hO
(9)
Pela equação 9, nota-se que a vazão linearizada é composta então por uma
13
parte constante e uma variação. Como no ponto de operação em equilíbrio
as vazões Qin e Qout são iguais, temos que:
QOPL = C1 · h1O = C2 · h2O
Conclui-se também que a vazão de entrada possui o mesmo comportamento.
Portanto:
QE = QOPL + ∆QE
A partir das equações 6 e 7 pode-se representar o sistema em
questão por:
A1 · h˙1 = QE − Q1 = QOP + ∆QE − C1 · h1O − C1 · h1 = ∆Qe − C1 · h1
A2 · h˙2 = Q1 − Q2 = C1 · h1 + C1 · h1 − C2 · h2 − C2 · h2 = C1 · h1 − C2 · h2
O
O
Aplicando Laplace:
A1 · H1 · s = ∆QE − C1 · H1 =⇒ H1 (A1 · s + C1 ) = ∆QE =⇒
=⇒ H1 =
∆QE
A1 · s + C1
A2 · H2 · s = C1 · H1 − C2 · H2 =⇒ H2 (A2 · s + C2 ) = C1 · H1 =⇒
∆QE
=⇒
A1 · s + C1
C1 · ∆QE
=⇒ H2 =
(A1 · s + C1 ) · (A2 · s + C2 )
=⇒ H2 (A2 · s + C2 ) = C1 ·
Tem-se então que a função de transferência GP será:
GP (s) =
H2
C1
=
∆QE
(A1 · s + C1 ) · (A2 · s + C2 )
Para o modelo do sensor, supõe-se comportamento ideal linear com saída
14
de 4 a 20 mA para a faixa de operação de 0 a 2 m, portanto seu modelo
é dado por I2 = 8 · h2 + 4. Aplicando Laplace e considerando condições
iniciais nulas, temos que a função de transferência GS é apenas um ganho:
GS (s) =
I2
=8
H2
Para o modelo do conversor I/P, sabe-se que esse possui dinâmica nula,
entrada de 4 a 20 mA e saída de 3 a 15 psi. Novamente supondo comportamento linear, seu modelo é um ganho PV = 3/4 · IV = 0, 75 · IV , e sua função
de transferência:
GIP (s) =
PV
= 0, 75
IV
Para controlar o sistema é utilizado um controlador proporcional com ganho
K, variando de 0,3 a 30, que age na corrente Ie = Ir − I2 (erro entre a
referência e a altura medida). Para tal controlador o modelo utilizado e sua
função de transferência foram:
IV = K · Ie + 4
GC (s) =
IV
=K
IE
(10)
Por fim, para o modelo da válvula, adotou-se um sistema de primeira ordem
com constante de tempo de 10 s e sua vazão variando de 0 até 0,002
m3/s,
controlado por PV , que opera entre 3 e 15 psi.
∆QE =
(PV − 3) · (0, 002/12)
10 · s + 1
Aplicando Laplace com condições iniciais nulas, temos:
GV (s) =
0, 002/12
∆QE
=
PV
10 · s + 1
Em seguida, para obter-se a função de transferência do sistema completo,
15
pode-se observar pelo diagrama da Figura 9 que basta multiplicar GS pela
função de transferência de malha fechada adiante. Para um sistema F (s) em
malha fechada com função direta A(s) e função de realimentação negativa
B(s), tem-se:
F (s) =
A(s)
1 + A(s) · B(s)
(11)
Aplicando-se a equação 11 ao sistema em questão, temos:
G(s) = GS ·
GC · GI/P · GV · GP
=⇒
1 + GC · GI/P · GV · GP · GS
8 · K · 0, 75 ·
=⇒ G(s) =
=⇒ G(s) =
0, 002/12
C1
(A1 ·s+C1 )·(A2 ·s+C2 )
0, 002/12
C1
10·s+1 · (A1 ·s+C1 )·(A2 ·s+C2 )
10·s+1
1 + 8 · K · 0, 75 ·
·
=⇒
0, 001 · K · C1
=⇒
0, 001 · K · C1 + (10 · s + 1) · (A1 · s + C1 ) · (A2 · s + C2 )
0,001·K·C1
10·A1 ·A2
=⇒ G(s) =
s3 +
1
10
+
C1
A1
+
C2
A2
· s2 +
C1 ·C2
A1 ·A2
+
C1
10·A1
+
C2
10·A2
·s+
C1 ·C2
10·A1 ·A2
+
0,001·K·C1
10·A1 ·A2
(12)
2. b Diagrama de Blocos
O diagrama da Figura 9 ilustra a integração das funções de transferência calculadas no item anterior, mostrando as grandezas físicas de cada
sinal e a localização de cada componente no sistema.
hr (m)
GS
IR (mA)
Ie (mA)
+
−
GC
IV (mA)
I2 (mA)
GI/P
GS
PV (psi)
GV
∆QE (m3/s)
h2 (m)
Figura 9 – Diagrama de Blocos do Sistema
16
GP
h2 (m)
2. c Resposta Dinâmica de GP
A Figura 10 mostra como o sistema linearizado e o sistema nãolinear respondem à uma entrada degrau Como a resposta é para um sistema
de segundo grau vemos que ambos os sistemas apresentam uma resposta
h2 (t) (m)
superamortecida ao degrau a que estão submetidos.
1.14
1.13
1.12
1.11
1.1
1.09
1.08
1.07
1.06
1.05
1.04
1.03
1.02
1.01
1
h2 (t) Não-Linear
h2 (t) Linearizado
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Tempo (s)
Figura 10 – Resposta de h2 a uma variação em degrau de ∆QE
É possível notar também, que o erro é pequeno entre o sistema
não-linear e o sistema linearizado no ponto de operação, portanto a técnica
de linearização utilizada aproxima-se do real.
2. d Resposta Dinâmica do Sistema Completo
Para a obtenção da resposta dinâmica do sistema completo, utilizouse o software MATLAB/Simulink a fim de criar-se modelos de simulação
para o mesmo. O primeiro modelo a ser concebido foi a representação das
equações que regem o sistema, dando origem assim, a um modelo não linear
esquematizado na Figura 11.
17
1
1
H1'
QE
1
s
H1
1/A1
Q1
K1
u
-KQ1
2
H2'
1
s
1
H2
H2
1/A2
Q2
K2
u
-K-
Figura 11 – Modelo não linear do sistema proposto
Em seguida desenvolveu-se o sistema linearizado utilizando um
bloco com a função de transferência obtida analiticamente a fim de se
comprovar a eficácia da mesma.
1
dQE
0 .0 347222222s
s 2 +0 .0 3536 11111s+0 .0 0 0 3125
1
s
Gp*s
Integrator
1
H2
Figura 12 – Modelo linearizado com função de transferência.
Vale ressaltar que na Figura 12 foi utilizado o bloco integrador a
fim de inserir a condição inicial (ponto de operação) do sistema, visto que
o bloco de função de transferência não possui tal funcionalidade.
Para a implementação de todo o sistema de controle foi utilizado
o modelo representado na Figura 13.
18
1
HR
IR
Ie
Iv
4
3
2
Iv
Pv
dQE
.75
HR
Pv
dQE
Gc
Gv
I2
H2
1
H2
Gip
Gr
dQE
Gp_TF
H2
Gs
Figura 13 – Modelo completo de controle do sistema
Para o desenvolvimento do modelo contido na Figura 13, foram
criados diversos blocos responsáveis pela representação de cada componente
do sistema.O modelo que representa o controlador, GC , está representado
na Figura 14 , o modelo da válvula atuadora se encontra na Figura 15
e como o princípio de GS e GR é o mesmo (transformar uma altura em
corrente elétrica), o modelo de ambos está presente na Figura 16. Os blocos
de saturação nos modelos definem as limitações de operação em cada caso.
1
20
1
Ie
Iv
K
Saturation
4
Constant1
Figura 14 – Modelo de representação do controlador.
19
0 .0 0 2/12
1
1
10 s+1
Pv
dQE
Transfer Function
3
Constant
Figura 15 – Modelo de representação da válvula atuadora.
1
8
1
H2
I2
Saturation
Gain
4
Constant
Figura 16 – Modelo de representação do sensor
A figura 17 mostra a resposta da altura h2 juntamente com o
h2 (t) (m)
setpoint para o modelo do sistema completo linearizado e não linear.
1.14
1.13
1.12
1.11
1.1
1.09
1.08
1.07
1.06
1.05
1.04
1.03
1.02
1.01
1
h2 (t) Não-Linear
h2 (t) Linearizado
hr
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Tempo (s)
Figura 17 – Resposta de h2 a uma variação em 10% de hr
Pode-se perceber que, devido ao comportamento dinâmico na
atuação da válvula há um sobressinal (overshoot) na resposta obtida por
20
ambos os modelos. Para um sistema de ordem 0 sabe-se que o erro de estado
estacionário é inversamente proporcional a K + 1, o que explica o considerável erro entre a referência e a resposta do sistema em regime permanente.
As imagens 18, 19 e 20, são referentes, respectivamente ao sinal
da saída do controlador, à saída do conversor e à saída da válvula.
13
IV (t) Não-Linear
IV (t) Linearizado
IV (t) (mA)
12
11
10
9
8
7
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Tempo (s)
Figura 18 – Resposta de IV a uma variação em 10% de hr
9.5
P V (t) Não-Linear
P V (t) Linearizado
9
PV (t) (psi)
8.5
8
7.5
7
6.5
6
5.5
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
Tempo (s)
Figura 19 – Resposta de PV a uma variação em 10% de hr
21
1000
−3
x 10
1
∆QE (t) Não-Linear
∆QE (t) Linearizado
0.9
∆QE (t) (m3 /s)
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Tempo (s)
Figura 20 – Resposta de QE a uma variação em 10% de hr
Inicialmente todos os sinais (que estão relacionados entre si) tentam supercompensar a diferença entre a referência e a altura lida pelo
sensor, isso é representado graficamente pelo sobressinal (overshoot) presente em todas as três figuras. Após o sobressinal e a correção brusca ocorre
a estabilização dos sinais.
2. e Erro da Resposta Dinâmica
Como mostra a Figura 17, o erro de estado estacionário é de
aproximadamente 0,047 metros, o que corresponde a 4,3% do sinal de
referência.
2. f Estudo do Controlador Proporcional
Sabe-se que, para um sistema de ordem zero, o erro de estado
estacionário é:
ess =
A
1 + Kp
Onde A é a amplitude do degrau de entrada e Kp é o ganho do sistema.
Como este ganho é
0,001·K·C1
10·A1 ·A2 ,
quanto maior o ganho K do controlador,
22
menor o erro de estado estacionário apresentado pelo sistema. Contudo, a
partir de um certo valor de ganho ocorre saturação do sinal no controlador,
devido suas limitações físicas e faixa de operação. Deve-se então conseguir
o maior ganho possível sem que ocorra a saturação.
Levando em consideração que o sinal máximo do controlador não
deve passar de 20 mA, o mesmo deve ocorrer no maior erro entre a referência
e a altura medida. Como a entrada é um degrau, o maior erro se encontra
no instante da descontinuidade, sendo rapidamente corrigido pelo controle.
Para um sinal Ie com variação inicial de amplitude de 0,8 mA (referente à
variação de altura de 0,1 m), aplicando o modelo da equação 10, temos que
o ganho que resulta no máximo sinal de IV é K = 20. Através de simulação,
h2 (t) (m)
tal fato fica comprovado nas Figuras 21, 22, 23 e 24.
1.14
1.13
1.12
1.11
1.1
1.09
1.08
1.07
1.06
1.05
1.04
1.03
1.02
1.01
1
h2 (t) Não-Linear
h2 (t) Linearizado
hr
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Tempo (s)
Figura 21 – Resposta de h2 para K = 20
Através da Figura 21 nota-se que para o valor de ganho determinado o erro de estado estacionário realmente diminui em relação à situação
anterior.
23
IV (t) (mA)
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
IV (t) Não-Linear
IV (t) Linearizado
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Tempo (s)
Figura 22 – Resposta de IV para K = 20
A Figura 22deixa claro que, para o ganho de 20, o controlador
atinge seu valor máximo, confirmando que qualquer aumento no ganho
PV (t) (psi)
provocaria a saturação do mesmo.
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
P V (t) Não-Linear
P V (t) Linearizado
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Tempo (s)
Figura 23 – Resposta de PV para K = 20
Assim como para o controlador, a Figura 23 mostra que o conversor
I/P trabalha nos extremos de sua faixa de operação (de 3 a 15 psi), ou seja,
aumentar o ganho também causaria saturação deste componente.
24
∆QE (t) (m3 /s)
−3
2
1.9
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
x 10
∆QE (t) Não-Linear
∆QE (t) Linearizado
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Tempo (s)
Figura 24 – Resposta de QE para K = 20
Por fim, a Figura 24 comprova a ação do ganho fazendo com que
a válvula chegue próximo à sua saturação. Vale ressaltar entretanto que, ao
se observar a curva apenas da válvula tem-se a impressão de que o ganho
poderia ser ligeiramente maior, essa teoria não se valida devido à iminência
de saturação dos outros componentes presentes na malha do sistema.
25