MODELAGEM MATEMÁTICA COM RÉGUA E COMPASSO:
UMA ALTERNATIVA PARA A EDUCAÇÃO EM GEOMETRIA?
Dirceu dos Santos Brito
Secretaria de Estado de Educação do Paraná – SEED PR
[email protected]
Lourdes Maria Werle de Almeida
Universidade Estadual de Londrina - UEL
[email protected]
Resumo:
Este trabalho apresenta um estudo realizado com alunos do ensino fundamental para verificar a
viabilidade de abordar problemas de otimização em geometria via atividades de modelagem
matemática. Nesse estudo, os alunos foram convidados a analisar imagens aéreas de praças
públicas e propor possíveis alterações na sua forma geométrica com o objetivo de otimizar
alguma de suas medidas. Mais especificamente, utilizando materiais de desenho (régua,
compasso, esquadro e transferidor), calculadora e imagens impressas obtidas no Google Earth,
os alunos investigaram a possibilidade de construir caminhos de comprimentos mínimos para
essas praças. Conclui-se que a abordagem de problemas de otimização com geometria plana em
atividades de modelagem matemática pode ser uma alternativa interessante para a educação em
geometria.
Palavras-chave: Educação em Geometria. Modelagem Matemática. Problema de
Heron. Otimização Geométrica.
Abstract:
This paper presents a study of elementary school students to verify the feasibility of addressing
problems in geometry optimization via mathematical modeling activities. In this study, students
were asked to analyze aerial images of public squares and propose possible changes in its
geometry in order to optimize some of its measures. More specifically, using drawing materials
(ruler, compass, protractor and triangle), calculator and printed images obtained from Google
Earth, students investigated the possibility of constructing roads of minimum lengths for these
squares. It is concluded that the approach of optimization problems with plane geometry in
mathematical modeling activities can be an interesting alternative for education in geometry.
Keywords: Education in geometry. Mathematical modeling. Heron´s problem.
Geometric optimization.
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Introdução
De acordo com Almeida e Brito (2005, p. 487) “[...] aplicações e modelagem
matemática têm sido apontadas como uma alternativa pedagógica que visa relacionar a
matemática escolar com questões não matemáticas de interesse dos alunos”. Esses
autores defendem que a inclusão no currículo de problemas oriundos da realidade pode
capturar o interesse dos alunos, desenvolver competências e habilidades específicas para
resolver problemas matemáticos, apreciar o poder da matemática além de aprofundar a
compreensão de conceitos e métodos dessa disciplina. (ALMEIDA; BRITO, 2005, p.
487)
Todavia, o trabalho com aplicações e modelagem empregando geometria na
educação básica ainda é insatisfatório. Em particular, as publicações acadêmicas sobre
modelagem matemática (artigos, dissertação de mestrado, tese de doutorado ou livros)
apresentam poucos trabalhos abordando o ensino dos conteúdos de geometria via
modelagem matemática. De fato, numa pesquisa visando mapear as produções
brasileiras em modelagem matemática, Biembengut (2011, p.199) analisou uma amostra
de 64 produções relativas ao Ensino Médio e constatou que:
“Nos exemplos apresentados nos artigos, em 14 não são indicados os
conteúdos matemáticos desenvolvidos e em 43 os conteúdos
restringem-se a alguns conceitos de razão e proporção e sistemas de
medida (12), funções de 1º e 2º graus e exponencial (21), geometria
plana e espacial (7), análise combinatória e probabilidade (2),
geometria analítica (1), sistemas lineares (1) e trigonometria (2)”.
Essa autora chama a atenção para a concentração das produções em torno de
uma parte relativamente pequena dos conteúdos de matemática do ensino médio e, em
particular, verifica a quantidade relativamente pequena de trabalhos de modelagem
utilizando os conteúdos de geometria, comparativamente aos conteúdos de razão e
proporção, sistemas de medida e funções.
Poder-se-ia supor que, por um lado, as pesquisas em modelagem matemática no
ensino refletem o quadro geral de omissão e abandono dos conteúdos geométricos na
educação básica e que, por outro lado, alunos e professores veem esses conteúdos como
menos aplicáveis do que razão, proporção ou funções.
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Assim, entendemos que um problema a ser abordado na pesquisa em educação
matemática é o de compreender o papel que os conteúdos de geometria da educação
básica desempenham na realização de atividades de modelagem. Neste trabalho,
apresentamos um estudo realizado com alunos do ensino fundamental sobre a
viabilidade de abordar problemas de otimização geométrica, utilizando atividades de
modelagem.
Modelagem no ensino de matemática
Modelos matemáticos são geralmente entendidos como representações
simplificadas da realidade. Nesse sentido, Bassanezi (2002, p174) afirma que:
“um modelo matemático é um conjunto consistente de equações ou
estruturas matemáticas, elaborado para corresponder a algum
fenômeno – este pode ser físico, biológico, social, psicológico,
conceptual ou até mesmo outro modelo matemático”.
O processo de obtenção de modelos matemáticos é usualmente chamado de
modelagem. A modelagem matemática de uma situação-problema engloba um conjunto
de ações normalmente agrupadas em etapas. Para Almeida (2012, p. 32) as etapas de
uma Modelagem podem ser as seguintes:
Inteiração: representa o primeiro contato com uma situaçãoproblema. Implica, portanto, cercar-se de informações sobre essa
situação por meio de coleta de dados quantitativos e qualitativos. A
inteiração conduz a formulação do problema e a definição de metas
para sua resolução. Essa fase envolve como processos cognitivos a
compreensão e a estruturação da situação-problema.
Matematização: Tendo sido identificado o problema e também
estruturado esse problema numa linguagem natural. A transformação
da representação da linguagem natural para a linguagem matemática
constitui-se a fase da matematização. Essa fase envolve como
processo cognitivo a matematização da situação-problema.
Reconhecer os aspectos matemáticos da situação, selecionar variáveis
e formular hipóteses fazem parte dessa etapa.
Resolução: Com a simplificação da situação-problema, sua
abordagem com estruturas matemáticas resultam num modelo
matemático. Esse modelo e seus resultados são usualmente
interpretados à luz das informações obtidas na situação investigada.
Essa fase envolve como processo cognitivo a síntese das informações
coletadas.
Interpretação de resultados e validação: O modelo matemático
obtido e seus resultados são interpretados à luz das informações
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obtidas na situação investigada. Esta fase implica na análise da
solução obtida para o problema original e se constitui numa avaliação
do modelo que resulta na sua aceitação ou rejeição. O retorna à
situação-problema original na validação faz com que a modelagem
tenha um caráter cíclico.
Experiências de ensino com modelagem têm sido conduzidas em sala de aula
não só no Brasil, mas em muitos outros países. A condução de atividades de modelagem
em sala de aula envolve um conhecimento empírico que não pode ser transferido
acriticamente de uma situação para outra. Trata-se de um conhecimento que se constrói
a partir da reflexão crítica sobre os erros e acertos.
Uma maneira de encaminhar atividades de modelagem em cursos regulares é
introduzir essas atividades de forma gradativa, respeitando diferentes momentos do
processo de ensino e aprendizagem. Almeida (2012, p. 21) defende que a familiarização
dos alunos com as atividades de Modelagem em cursos regulares deve ocorrer de forma
gradativa em três momentos:
Momento 1: O professor propõe à turma de alunos uma situaçãoproblema, juntos com os dados e demais informações relevantes para sua
compreensão. As demais ações da atividade de Modelagem são
acompanhadas pelo professor que orienta e avalia o trabalho dos alunos.
Momento 2: O professor sugere a escolha de um tema. Os alunos,
organizados em grupos, realizam a coleta de informações, a formulação
das hipóteses, a dedução e a validação do modelo. A diferença principal
do primeiro momento para o segundo é a independência do estudante na
realização das ações de Modelagem.
Momento 3: Os alunos organizados em pequenos grupos, escolhem um
tema e realizam, com a orientação do professor, todas as ações da
atividade de Modelagem. Cabe aos alunos, nesta fase, identificar a
situação-problema, coletar e analisar os dados, enunciar o problema em
linguagem matemática, identificar conceitos matemáticos, obter e validar
o modelo e discutir seu uso para a comunidade escolar.
A familiarização gradativa dos alunos com atividades de Modelagem é uma
forma de evitar obstáculos que normalmente são apontados em seu uso em cursos
regulares. De acordo com Almeida (2012, p. 28):
“Este encaminhamento para a introdução de atividades de Modelagem
Matemática em aulas com alunos ainda não familiarizados com este
tipo de atividade, embora não seja uma prescrição rigorosa, tem se
mostrado adequada em inúmeras experiências realizadas”.
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Neste trabalho, a atividade que apresentamos foi desenvolvida tendo em vista a
familiarização dos alunos com atividades de modelagem matemática. Por isso, a escolha
do tema, a formulação do problema e a coleta de dados foi realizada conjuntamente com
os alunos, sendo que a simplificação, resolução do problema e validação do modelo
foram feitas de modo mais independente.
Educação em geometria e modelagem matemática
Os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (1998, p.51) afirmam que a
aprendizagem da geometria no ensino fundamental é importante porque, por meio dela,
“o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender,
descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive”. Adicionalmente,
os PCN (1998, p. 51) afirmam que a geometria é:
“um campo fértil para se trabalhar com situações-problema” e
que pode contribuir “para a aprendizagem de números e
medidas, pois estimula a criança a observar, perceber
semelhanças e diferenças, identificar regularidades e viceversa”, além disso, permite “ao aluno estabelecer conexões entre
a matemática e outras áreas do conhecimento”.
No entanto, o ensino dos conteúdos geométricos no Brasil tem sido
historicamente deficitário. De acordo com Fainguelernt (1995), Lorenzato (1995) e
Pavanello (1989) entre as várias causas e consequências da omissão e abandono do
ensino da geometria na educação básica do Brasil ao longo das últimas décadas está a
concepção de geometria presente no contexto escolar e na formação dos professores.
Nesse sentido, Freudenthal (1973, p. 342) observou que a questão “O que é
geometria?” pode ter muitas respostas e em diferentes níveis. Uma resposta possível,
para esse autor é: “a geometria ocorre pela experiência e pela interpretação do espaço no
qual as pessoas vivem, respiram e se movem”. Por sua vez, Coxeter (1969, p. 137)
afirma que “a geometria é a mais elementar das ciências que habilita o homem a fazer
predições baseadas em observações sobre o mundo físico a partir de processos
unicamente intelectuais.” As concepções de Freudenthal e Coxeter apontam para uma
visão de geometria como “ciência do espaço físico”.
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Todavia, Usiskin (1994, p. 137) observa que “nem os geômetras concordam
quanto à natureza de sua matéria” e que ao invés de se adotar uma definição única para
a geometria, “o currículo deveria refletir as diferentes visões que as pessoas têm da
geometria”. Para Usiskin (1994, p. 137) as diferentes maneiras de conceber a geometria
no currículo, chamadas de dimensões, podem ser classificadas em quatro categorias:
“(i) a geometria como estudo da visualização, do desenho e da
construção de figuras; (ii) a geometria como estudo do mundo real,
físico; (ii) a geometria como veículo para representar conceitos
matemáticos, ou outros, cuja origem não é visual ou física; (iv) a
geometria como um exemplo de um sistema matemático”.
Essas quatro dimensões da geometria englobam aspectos tanto experimentais
quanto teóricos o que permite uma interpretação voltada diretamente para a educação
em geometria. De fato, a relação entre geometria como ciência do espaço e geometria
como teoria matemática é de enorme importância do ponto de vista da educação, pois,
como afirma Hershkowitz (1990, p. 56):
“Existe o consenso de que estes dois aspectos estão relacionados,
porque alguns dos níveis da geometria encarada como ciência do
espaço são necessários para a aprendizagem da geometria como uma
estrutura lógica”.
Assim, o trabalho com aplicações e modelagem empregando conteúdos
geométricos pode ser um veículo interessante para a educação em geometria. A inclusão
no currículo de problemas oriundos da realidade pode capturar o interesse dos alunos,
desenvolver competências e habilidades específicas para resolver problemas
matemáticos, apreciar o poder da matemática além de aprofundar a compreensão de
conceitos e métodos dessa disciplina.
Aspectos metodológicos
Verificar viabilidade de elaborar, implementar e avaliar atividades de
modelagem com geometria exige a construção de um encaminhamento metodológico
adequado para organizar o experimento, selecionar os instrumentos de coleta de dados e
analisar os resultados obtidos. Nesse caso, os resultados obtidos estão presentes nos
dados coletados nas produções dos alunos que incluem diálogos, registros escritos,
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esboços, construções geométricas feitas no caderno, os painéis e a maquete
confeccionada para a apresentação final do projeto.
Além disso, entendemos que a avaliação das atividades de modelagem com
geometria se evidencia nas produções dos alunos, quando demonstram as capacidades
de identificar o problema, buscar, selecionar e interpretar informações relativas ao
problema, formular hipóteses e prever resultados, selecionar estratégias de resolução,
interpretar e criticar resultados em face da realidade, distinguir e utilizar raciocínios
dedutivos e indutivos, fazer e validar conjecturas, experimentar e recorrer a modelos,
esboços, fatos conhecidos, relações e propriedades, discutir ideias e produzir
argumentos convincentes.
Para identificar essas competências optamos pela abordagem qualitativa, que
segundo Bogdan e Biken (1986, p. 147) “tem o ambiente natural como sua fonte direta
de dados e o pesquisador como seu principal instrumento” e, “envolve a obtenção de
dados descritivos, obtidos no contato direto do pesquisador com a situação estudada,
enfatiza mais o processo do que o produto e se preocupa em retratar a perspectiva dos
participantes”.
A parte experimental desse projeto de modelagem matemática foi realizada ao
longo de quatro semanas com 13 adolescentes, faixa etária de 14 a 16 anos, internados
no Centro de Socioeducação de Londrina – CENSE II. A internação desses adolescentes
decorre da aplicação de medidas socioeducativas em função da prática de atos
infracionais.
A internação desses adolescentes é relevante nesse estudo por três razões:
Primeiro, o fato dos adolescentes estarem internados implica em mais tempo dedicado a
atividades de natureza educativa (aulas de matemática, por exemplo, são 8 por semana).
Segundo, essas atividades devem obrigatoriamente promover o fortalecimento dos
princípios éticos da vida social, deve trabalhar os valores humanos e novos e
apropriados conceitos de vida. Terceiro, por causa da segurança, o número de alunos
por turma é muito reduzido, girando em torno de cinco alunos por turma.
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A atividade desenvolvida e resultados
A atividade proposta aos alunos consiste no problema de encontrar caminhos
mais curtos numa praça, em particular, encontrar um caminho mínimo ligando dois
pontos da Praça do Jardim Botânico de Curitiba. O problema apresentado aos alunos é o
seguinte:
Problema da praça
Qual é o caminho mais curto para, num passeio, uma pessoa que sai do ponto
chegar ao ponto , passando antes por um ponto qualquer no lado
da praça?
Figura 1 Praça do Jardim Botânico de Curitiba
O objetivo desse problema é familiarizar os alunos com a ideia de percurso de
comprimento mínimo e, com isso, permitir que eles aprendam a: realizar medidas de
distâncias e ângulos; construir figuras simétricas utilizando reflexão; reconhecer
ângulos opostos pelo vértice e resolver e utilizar o problema de Heron.
Inicialmente, nessa atividade o professor apresenta o problema e discute com os
alunos que entre dois pontos de um plano um percurso mínimo é dado por um segmento
de reta. Mas, se esse percurso incluir algum outro ponto que desliza sobre uma reta,
então o problema de encontrar o percurso de comprimento mínimo deve ser dado por
dois segmentos de reta.
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Em seguida, o professor orienta os alunos para que obtenham com uma régua os
comprimentos dos caminhos possíveis e, que tentem encontrar, experimentalmente o
caminho mais curto. Comparando as medidas obtidas, os alunos perceberam que o
caminho mais é o que forma ângulos iguais com o lado oposto. Nas palavras dos alunos
é onde o “ângulo da ida e o ângulo da volta” são iguais.
A figura a seguir mostra um exemplo de solução apresentada e que foi retirada
de um painel elaborado pelos alunos para apresentação final da atividade de
modelagem. Nesse caso, a figura mostra que o ponto
para ir dos pontos que chamou de
e
alunos na apresentação final, esse ponto
determina o caminho mais curto
da praça. E, conforme, argumentação dos
é tal que os ângulos formados pelos lados do
percurso com o lado oposto da praça medem
cada um.
Figura 2 Solução apresentada por um aluno que mostra o caminho formando ângulos iguais.
Encontrar e exibir uma solução para o problema não foi muito difícil para os
alunos. Nem mesmo foi difícil perceber que, no caminho mais curto “o ângulo de ida
deve ser igual ao ângulo da volta”. A dificuldade dos alunos, em geral, foi justificar
porque o caminho mais tem curto tem essa propriedade. O professor então propõe aos
alunos a realização de uma atividade para ajudá-los a entender e explicar essa
propriedade do caminho mínimo.
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Em seguida, o professor pede que cada aluno, recorte de uma folha de cartolina,
uma figura igual ao trapézio
, da imagem anterior, explicando a eles que o
problema a ser investigado é equivalente ao da Praça do Jardim Botânico de Curitiba.
O professor pede aos alunos que escolham um ponto
qualquer sobre o lado
, marcando com caneta esse ponto e desenhando o caminho
e
. Em seguida,
os alunos mediram o comprimento total desse caminho. Em seguida, solicitamos que
fizessem a reflexão desse caminho no trapézio de cartolina, do caminho feito na imagem
da praça.
Desse modo, os alunos obtiveram assim os pontos
e
como ilustrado na
figura a seguir. Essa figura também foi retirada do painel utilizado na apresentação final
do trabalho e mostra como foi obtida a justificativa do fato de que o caminho mais curto
possui ângulos de “ida e volta” com medidas iguais.
Figura 3 Reflexão do caminho na praça em recorte de cartolina
Com essa construção, os alunos foram convidados a pensar na relação entre o
caminho
. Como
, seu simétrico
e os ângulos que formavam com o lado
foi escolhido arbitrariamente pelos alunos, em todas as construções
exibidas pelos alunos,
não determinava o caminho mais curto, mas por quê?
Pensar por que esse caminho não é o mais curto levou os alunos a perceberem o
seguinte fato: para que o caminho
e
fosse o mais curto possível, os segmentos
deveriam estar ambos contidos numa mesma reta, pois como
,
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então
. Mas
quando
e
tem comprimento mínimo somente
estão ambos contidos numa mesma reta.
Essa conclusão obtida com os alunos permitiu que entendessem o “método” para
encontrar o ponto
que determina o caminho mínimo. Basta refletir o quadrilátero
em relação ao lado
traçando a reta entre
e
, obtendo os pontos simétricos
e
. Nessa construção,
, obtemos o ponto , intersecção da reta
e o lado
como mostram as figuras a seguir, retiradas dos painéis elaborados pelos alunos para
apresentação final do trabalho.
Figura 4 Solução do problema de Heron
Portanto, o caminho mínimo
intersecção do segmento
com o segmento
é obtido encontrando o ponto
na
. Mas, como isso determina ângulos
iguais? Para compreender esse fato, o professor retomou a definição e propriedade dos
ângulos opostos pelo vértice. Dois ângulos opostos pelo vértice são ângulos não
adjacentes formados entre duas retas. Assim, os alunos puderam verificar que ângulos
opostos pelo vértice possuem medidas iguais.
A partir dessa constatação, os alunos concluíram que, como
construção do caminho mínimo, determinam os ângulos
vértice
e
, então, observaram nessa construção que os ângulos
e
na
, opostos pelo
e
devem
também possuir medidas iguais.
Com essa atividade, os alunos tiveram a oportunidade de aprofundar no estudo
das definições do conceito de ângulo, de ângulos opostos pelo vértice, simetria, reflexão
no plano e eixo de simetria.
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Discussão dos resultados
Ao longo da realização dessa atividade de modelagem os alunos perceberam a
relevância dos conteúdos de geometria para resolver um problema real. Nesse sentido,
essa experiência de ensino representou para os alunos uma “aplicação autêntica” da
matemática, pois aprenderam que conceitos e resultados da geometria podem, de fato,
melhorar vários aspectos de uma praça pública.
Além disso, os alunos utilizaram, na atividade, sua própria experiência para
discutir aspectos do problema abordado. Problemas de otimização geométrica em que se
minimizam comprimentos ou maximiza áreas de figuras podem ser perfeitamente
compreensíveis quando falamos em obter caminhos mais curtos ou canteiros que cabem
mais plantas numa praça. Os alunos tiveram que levantar conjecturas, testar hipóteses,
realizar experimentos, enfim, empregar seus próprios saberes para chegar no saber
sistematizado da geometria.
A utilização de imagens aéreas do Google Earth para abordar conteúdos de
geometria foi outro aspecto positivo dessa atividade. De fato, os alunos conhecem e
gostam desse tipo de tecnologia. Além da motivação, as imagens do Google Earth
também tornaram mais plausíveis os problemas estudados, afinal, a imagem que
tínhamos ali não era uma figura geométrica fora de contexto, mas sim a representação
de um objeto real que o Google Earth permitia explorar e na qual nossa percepção
reconhecia formas geométricas.
Finalmente, os alunos foram convidados a explicar para as pessoas que “não
sabiam matemática” como foram obtidas as soluções dos problemas. Essa necessidade
de explicar para as outras pessoas (famílias, funcionários, professores e outros alunos) o
que foi feito na atividade de modelagem tornou o trabalho com argumentação e
raciocínio dedutivo possível ao longo dessa experiência de ensino. De fato, os alunos
romperam o costume da “fórmula pronta” e do “teorema tirado da cartola”, inserindo-se
em situações em que são chamados para argumentar, justificar e defender uma solução
ou um procedimento adotado.
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