CPV - o cursinho
que mais aprova na GV
FGV — 1a Fase — Economia — novembro/2003
MATEMÁTICA
01. Dois pilotos iniciaram simultaneamente a disputa de uma
prova de automobilismo numa pista cuja extensão total é
de 2,2 km. Enquanto Mário leva 1,1 minuto para dar uma
volta completa na pista, Júlio demora 75 segundos para
completar uma volta. Mantendo-se constante a velocidade
de ambos, no momento em que Mário completar a volta de
número cinco, para completar essa mesma volta, Júlio terá
que percorrer ainda
a) 264m.
d) 1628m.
b) 990m.
e) 1936m.
A
L
2
3o) Resta 0,6 de volta para Júlio completar a 5a volta, isto é,
restam 0,6 . 2,2 = 1,32 km = 1320 m
Alternativa C
02. Entre as representações gráficas, a que melhor descreve a
área A de um triângulo eqüilátero em função do
comprimento L do seu lado é
b)
3.
3
5,5 min
5,5 min
=
= 4, 4 voltas
75s
1, 25 min
A
L2 3
. Para L = 2, tem-se S =
4
Assim, o gráfico correspondente é:
S=
c) 1 320m.
Resolução:
1o) Mário dá uma volta em 1,1 minutos.
Logo, gasta 5,5 minutos para dar cinco voltas.
2o) Em 5,5 minutos, Júlio dá
a)
Resolução:
A área do triângulo eqüilátero em função do lado é:
Alternativa E
03. O ponto D é o centro de uma circunferência de 26 cm de
diâmetro. O triângulo ABC inscrito nesta circunferência
possui base BC = 10 cm e é isósceles. A área hachurada do
círculo é igual a
A
a)
b)
c)
d)
e)
(169π – 125) cm2.
(44π) cm2.
(149π – 75) cm2.
(130π – 125) cm2.
(26π – 25) cm2.
Resolução:
A
D
B
C
A
3
3
60º
c)
L
D
L
d)
A
A
B
2
2
2
e)
L
L
C
Aplicando o Teorema de Pitágoras no ∆DCE temos:
132 = 52 + DE2 ∴ DE = 12 cm
A área hachurada é S = π . 132 –
A
3
2
FGV031FNOV
2
E
L
10. (12 + 13 )
⇒
2
S = (169 π – 125) cm2
Alternativa A
1
2
CPV - o cursinho que mais aprova na GV
FGV – 16/11/2003
04. As figuras representam 3 etapas de uma seqüência
construída com quadrados escuros e claros, todos de lados
iguais.
As possíveis raízes inteiras são ±1 e ±2.
Como P(–1) = 0, temos:
–1
1 0 –3
–2
1 –1 – 2
0
1424
3
Q( x )
1a
2a
3a
A diferença entre o número de quadrados escuros e o
número de quadrados claros em uma etapa será igual a 92
apenas na
a)
b)
c)
d)
e)
Q (x) = r2 – r – 2 = 0 ∴ r = 2 ou r = – 1
Logo, r = 2.
Alternativa E
06. A figura representa uma fileira de n livros idênticos, em
uma estante de 2 metros e 20 centímetros de comprimento.
A D
11a etapa.
12a etapa.
13a etapa.
14a etapa.
15a etapa.
AB = DC = 20 cm
AD = BC = 6 cm
. . .
1 2 3
)60º
B C
n
2,2 m
Nas condições dadas, n é igual a
a) 32.
Resolução:
Chamamos de Q as quantidades de quadradinhos em
cada etapa n. As quantidades Q são dadas por:
Qescuros = n2
Qclaros = Qtotal – Qescuros = 4n + 4
Qtotal = (n + 2)2
b) 33.
c) 34.
d) 35.
e) 36.
Resolução:
P
20



60º
Qescuros – Qclaros = 92
n2 – (4n + 4) = 92 ⇒ n2 – 4n – 96 = 0
de onde obtemos n = 12
05. Durante o último jogo da seleção brasileira, brinquei com
meu primo, apostando quem conseguiria colocar mais
pipocas na boca. Comecei colocando 2 na boca e fui
aumentando r pipocas por vez, como em uma PA. Ele
começou colocando 1 na boca e foi multiplicando por r,
como numa PG. Na quarta vez em que colocamos pipocas
na boca, descobrimos que a quantidade colocada por nós
dois foi a mesma. Nessa nossa brincadeira, o valor de r é
um número quadrado perfeito.
um número maior que 3.
um divisor de 15.
um múltiplo de 3.
um número primo.
Resolução:
PA: (2, 2 + r, 2 + 2r, 2{
+ 3r, ...)
PG:
(1, r, r2, {
r3, ...)
a4
b4
a4 = b4 ∴ 2 + 3r = r3 ∴ r3 – 3r – 2 = 0
FGV031FNOV
6Q
x
220 cm
Alternativa B
a)
b)
c)
d)
e)
)
{
R
6 6 ...
x
1
=
⇒ x = 10
20 2
Então 6n + 10 = 220 ∴ n = 35
Alternativa D
No ∆PQR, temos que cos 60º =
07. A análise conjunta dos gráficos permite concluir que a
área do triângulo sombreado é igual a
y
y
4
y=
x
5
q
0
p
a) 64/25.
d) 16/125.
x
b) 16/25.
e) 8/125.
y = x2
q
p
0
x
c) 32/125.
Resolução:
4
p
5
Do 2o gráfico: q = p2
4
16
O sistema fornece p =
e q=
5
25
4 16
.
pq
32
= 5 25 =
Portanto, S =
2
2
125
Do 1o gráfico:
q=
Alternativa C
CPV - o cursinho que mais aprova na GV
A
D
E
x
B
Resolução:
10
18
∆ABE ~ ∆CFB:
8
x 10
=
36 18
⇒ x = 20
C
A
F
D
E
36
Alternativa A
09. O volume de água de um reservatório foi medido em três
datas diferentes, I, II e III, com intervalos de 30 dias entre
duas datas consecutivas. A primeira medição acusou 100%
de água no reservatório, a segunda, 85%, e a terceira, 75%.
Sabendo-se que a variação do volume de água no
reservatório se dá apenas pelo recebimento de água das
chuvas e pela retirada de 100 000 litros diários de água,
pode-se afirmar que
a) se ocorreram chuvas entre as datas I e II, não ocorreram
entre as datas II e III.
b) se ocorreram chuvas entre as datas II e III, não ocorreram
entre as datas I e II.
c) se ocorreram chuvas entre as datas II e III, então,
ocorreram entre as datas I e II.
d) ocorreram chuvas entre as datas II e III.
e) não ocorreram chuvas entre as datas I e II.
4 m
72º
54º
54º
A
4 m
)
4 m
Figura fora
de escala
F
C
108º
)
20.
22.
24.
26.
30.
E
C
)
a)
b)
c)
d)
e)
4 m
4 m
)
B
3
D
Resolução:
)
08. Dados AB = 18 cm, AE = 36 cm e DF = 8 cm, e sendo o
quadrilátero ABCD um paralelogramo, o comprimento de
BC, em cm, é igual a
FGV – 16/11/2003
) 72º
B
Atendendo ao comando I, partimos do ponto A e
chegamos ao ponto B, distante 4 metros de A.
Atendendo ao comando II, viramos 72º à esquerda (x = 72).
Atendendo ao comando III, percorremos 4 metros e
chegamos ao ponto C.
A partir daí, repetimos 3 vezes os comandos II e III,
fechando a trajetória pentagonal regular (y = 3).
Assim sendo, x = 72 e y = 3.
O menor valor positivo de x . y é igual a 72 . 3 = 216
Alternativa C
11. Considere uma lata de óleo de cozinha de formato cilíndrico
que, originalmente, comportava o volume de 1 litro de óleo
e, atualmente, passou a comportar 0,9 litro. Assumindo-se
log0,9 0,95 = 0,5, e admitindo-se que a altura da lata
permaneceu a mesma, a redução percentual do raio de sua
base foi igual a
a)
b)
c)
d)
e)
6%.
5%.
4%.
3%.
2%.
Resolução:
r
Resolução: A variação do volume de água foi menor entre
as datas II e III do que entre as datas I e II. Como o consumo
de água nos dois períodos é constante, podemos afirmar
que choveu entre as datas II e III.
Alternativa D
r’
h
I
II
10. Analise as instruções a seguir:
I. Andar 4 metros em linha reta.
II. Virar x graus à esquerda.
III. Andar 4 metros em linha reta.
IV. Repetir y vezes os comandos II e III.
Em (I): VI = π . r2 . h = 1
Se as instruções são utilizadas para a construção de um
pentágono regular, pode-se afirmar que o menor valor
positivo de x . y é
a) 144.
d) 288.
FGV031FNOV
b) 162.
e) 324.
c) 216.
2
VII
π r ' h 0,9
=
=
2
VI
1
πr h
Em (II): VII = π . r’2 . h = 0,9
⇒
r'
=
r
0,9
Como log0,9 0,95 = 0,5 ⇒ 0,9 = 0,95
r'
temos que
= 0,95. Portanto, a redução foi de 5%.
r
Alternativa B
4
CPV - o cursinho que mais aprova na GV
FGV – 16/11/2003
 1 1
12. Seja a matriz A = 
.
 0 1
A soma dos elementos da matriz A100 é
a) 102.
d) 175.
b) 118.
e) 300.
14. O valor de uma corrida de táxi é uma função polinomial do
primeiro grau do número x de quilômetros rodados. Por
uma corrida de 7 quilômetros, paga-se R$ 23,00 e por uma
corrida de 10 quilômetros, paga-se R$ 32,00. Aplicando-se
o valor de uma corrida de 90 quilômetros durante um mês à
taxa de 10% ao mês, com o juro obtido será possível fazer
uma corrida de táxi de
c) 150.
Resolução:
a) 8 km.
d) 9,6 km.
Temos que:
1 1 1 1 1 2 
A2 = A . A = 
.
=

0 1 0 1 0 1 
1 2  1 1 1 3
A3 = A2 . A = 
.
=

0 1  0 1 0 1
(...)
1 100 
A100 = 0 1 


Logo, a soma dos termos de A100 é: 1 + 100 + 0 + 1 = 102
Alternativa A
13. Uma pesquisa com três marcas concorrentes de
refrigerantes, A, B e C, mostrou que 60% das pessoas
entrevistadas gostam de A, 50% gostam de B, 57% gostam
de C, 35% gostam de A e C, 18% gostam de A e B, 24%
gostam de B e C, 2% gostam das três marcas e o restante
das pessoas não gosta de nenhuma das três. Sorteando-se
aleatoriamente uma dessas pessoas entrevistadas, a
probabilidade de que ela goste de uma única marca de
refrigerante ou não goste de marca alguma é de
a) 16%.
d) 25%.
b) 17%.
e) 27%.
b) 8,4 km.
e) 10 km.
c) 9 km.
Resolução:
P(x) é do 1o grau: P(x) = ax + b
P(7) = 23
7a + b = 23
a=3 e b=2
⇒ 
P(10) = 32
10a + b = 32
∴ P(x) = 3x + 2
x = 90 km ⇒ P(90) = 3 . 90 + 2 = 272
J = C . i = 272 . 0,1 = 27,2
27,2 = 3x + 2 ⇒ x = 8,4 km, portanto,
com o juro obtido é possível fazer uma viagem de 8,4 km.
Alternativa B
15. O gráfico representa a função polinomial
P(x) = x3 – 2x2 – 49x + 98
y
r
s
t
2
x
Figura fora
de escala
c) 20%.
Sendo r, s, t e 2 as únicas intersecções do gráfico com
r
os eixos, o valor de
é
s.t
Resolução:
A
B
9%
16%
a) –5
d) –2
10%
b) –4
e) –1
c) –3
2%
Resolução: Pelo gráfico, 2 é raiz do polinômio.
Por Briot-Ruffini, temos:
22%
33%
0%
8%
C
U
2
1
–2
–49
98
1
0
–49
0
Os dados condizem com o diagrama, de onde se deduz que:
1) gostam de uma única marca: 9% + 10% + 0% = 19%
Temos x2 – 49 = 0
2) não gostam de marca alguma: 8%
r = P(0) = 98
Assim, no total, temos: 19% + 8% = 27%
Alternativa E
FGV031FNOV
Temos então:
s = –7
t=7
r
98
=
= –2
s . t 7 . (−7)
Alternativa D
CPV - o cursinho que mais aprova na GV
FGV – 16/11/2003
5
COMENTÁRIO DA PROVA
A prova de Raciocínio Matemático aplicada pela FGV aos candidatos ao curso de Economia apresenta uma característica bem
marcante: em sua maioria, as questões envolvem assuntos variados, que se mesclam na resolução. Outro aspecto que chama a
atenção é a solicitação que a prova faz da capacidade de raciocínio, intelecção de texto e criatividade dos candidatos.
Praticamente não há questões de resolução imediata, de aplicação direta de fórmulas. Há, sim, questões criativas, que levam o
candidato a raciocinar e a interpretar os enunciados.
Os candidatos com tais habilidades constituem o alvo da FGV para o seu curso de Economia.
DISTRIBUIÇÃO
Probabilidades
3,4%
Conjuntos
Logaritmos
3,4%
3,4%
Matrizes
6,6%
Geometria
Espacial
3,4%
Juros
3,4%
Raciocínio
6,6%
Trigonometria
6,6%
Equações
Algébricas
10%
FGV031FNOV
Razão e
Proporção
6,6%
Seqüências,
P.A., P.G.
10%
Funções
16,6%
Geometria
Plana
20%