PROVA DE MATEMÁTICA
– 1 AVALIAÇÃO – UNIDADE 3 – 2008.
a
3 SÉRIE E. M. _ COLÉGIO ANCHIETA-BA
ELABORAÇÃO DA PROVA: PROF. OCTAMAR MARQUES
RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO
GOUVEIA
a
QUESTÕES DE 01 A 08
Assinale as proposições verdadeiras some os resultados e marque na Folha de
Respostas.
QUESTÃO 1.
Considere a função f(x) = x − 3 − 2x + 4
É verdade que:
01) f possui inversa.
02) f é crescente
04) O único zero de f é igual a 7/3.
08) f é par
16) f(x) = – 4 ⇒ x ∈ {1, 3, 5, 7}.
32) (f o f)(1) = – 3
64) A solução da equação f(f(x)) = – 2 pertence ao intervalo [0, 1].
RESOLUÇÃO:
 − x + 3 − 2x + 4, se x − 3 < 0
 − 3x + 7, se x < 3
⇒ f(x) = 
 x − 3 − 2x + 4, se x − 3 ≥ 0
 − x + 1, se x ≥ 3
f(x) = x − 3 − 2x + 4 ⇒ f(x) = 
Graficamente:
1
01) VERDADEIRA.
Analisando o gráfico acima, pode-se concluir que f é uma função injetora, é uma função
sobrejetora, portanto bijetora. Conclusão: f é uma função inversível.
02) FALSA.
Ainda pela análise do gráfico chega-se à conclusão de que f é uma função decrescente.
04) VERDADEIRA.
 7



O gráfico intercepta o eixo dos x no ponto  ,0  . Logo o único zero de f é igual a 7/3.
3
08) FALSA.
f(x) ≠ f(– x).
16) VERDADEIRA.
Analisando o gráfico, pode-se concluir que f(x) = – 4, se x ≥ 3, logo, – x + 1 = – 4 ⇒ x
= 5 ∈ {1, 3, 5, 7}.
32) VERDADEIRA.
Em f(f(1)) = – 3, fazendo, f(1) = a tem-se: f(a) = – 3 ⇒ a ∈ [3,∞[. Substituindo x por a
em f(x) = – x + 1, tem-se: – a + 1= – 3 ⇒ a = 4 ⇒ f(1) = 4.
Voltando ao gráfico vê-se que essa igualdade é verdadeira.
64) FALSA.
Da equação f(f(x)) = – 2, tem-se, f(x) = 3.
De f(x) = 3 e f(x) = – 3x + 7 ⇒ – 3x + 7 = 3 ⇒ x = 4/3 > 1.
QUESTÃO 2.
FE // BC e AB // DC
EF = 15m
ED = 10m
DC = 10m
FG = 2m
Considere o croquis de um lote de terreno, representado na figura acima.
1
Utilizando os valores 3 = 1,7; π = 3 e sen 150o = , é verdade que:
2
01) A área do triângulo de vértices F, E e D, é igual a 30m2.
02) A área do triângulo de vértices F, D e C é 117,50m2.
04) A área do triângulo de vértices F, C e H é 176,25m2.
08) A área do setor circular é 3m2 e a do retângulo ABHG é 26m2.
16) A área do setor é igual a 10% da área do triângulo de vértices F, E e D.
32) A área total do lote é 360,25m2.
2
RESOLUÇÃO:
Na figura traça-se EJ // CD e DI ⊥ EJ .
O triângulo DEI é retângulo com um ângulo de 60o,
no qual EI = ED.cos60o ⇒ EI = 10.0,5 = 5 e
3
= 1,7 . 5 = 8,5
CJ = DI = ED.sen60o = 10.
2
Então CDEJ é um trapézio retângulo, com altura
medindo 8,5m e bases: DC = 10m e EJ =15m.
01) FALSA.
1
1
SDEF = .10.15.sen150 o = 75. = 37,5cm 2 .
2
2
02) VERDADEIRA.
CD.CH 10.23,5 235
SCDF =
=
=
= 117,5m 2 .
2
2
2
04) VERDADEIRA.
FH.CH 15.23,5 352,5
SFCH =
=
=
= 176,25m 2 .
2
2
2
08) VERDADEIRA.
π.2 2
SSETOR CIRCULAR =
= π = 3m 2 e SABHG = 26m2.
4
16) FALSA.
SSETOR CIRCULAR
3
=
= 0,08 = 8%.
S DEF
37,5
32) VERDADEIRA.
STOTAL = (37,5 + 117,5 + 176,25 + 3 + 26) = 360,25 m2.
3
QUESTÃO 3.
Na figura ao lado temos uma esfera de raio R, inscrita num
cone circular reto de raio 3cm e altura h = 4cm.
O plano α , paralelo à base do cone, está à distância 2R cm
desta base.
É verdade que:
01) O raio da esfera é igual a 1,5 cm.
02) A área lateral do cone é igual a 15π cm2.
04) O volume da esfera é 4,5π cm3 e o do cone é 9π cm3.
08) A distância do plano α ao vértice do cone é igual a 1,5cm.
16) O volume do cone determinado pelo plano α é
3π
16
cm3.
32) O volume do tronco de cone determinado pelo plano α é
9π
16
cm3.
RESOLUÇÃO:
01) VERDADEIRA..
Os triângulos VDB e VBC são semelhantes, logo
VO DO
4−R R
=
⇒
= ⇒ 12 − 3R = 5R ⇒ 8R = 12 ⇒ R = 1,5.
VB BC
5
3
02) VERDADEIRA.
Como a altura e o raio do cone medem, respectivamente, 4cm e 3 cm, então a sua
geratriz mede 5cm.
SL = π r g ⇒ SL = π. 3 . 5 = 15πcm2.
04) FALSA.
VESFERA =
VCONE =
4π R
3
=
3
πR
2
3
H
=
4. π .(1,5) 3
3
π .9.4
3
=
=
13,5 π
36 π
3
3
= 4,5 π cm3.(V)
= 12 π cm3 (F)
4
08) FALSA.
A distância do plano α ao vértice do cone é igual a 4 – 3 = 1cm.
16) VERDADEIRA.
1
4
=
r
3
⇒r=
3
⇒V=
4
π r2H
3
=
 3 
π . 
 4 
3
2
.1
=
3π
16
32) FALSA.
12π – 12 π −
3π
16
=
192 π − 3 π
16
=
189 π
16
QUESTÃO 4.
Na figura vemos o gráfico da função polinomial y = p(x).
Sabe-se que p(x) é do terceiro grau e p(3) = – 2 .
É verdade que:
01) O termo independente de x do polinômio p(x) é positivo.
02) p(x) não possui raízes complexas.
04) O coeficiente do termo em x3 do polinômio p(x) é igual a −
1
.
4
08) A soma dos coeficientes de p(x) é igual a 2.
16) 1 é raiz do polinômio p(2x).
32) – 5 é raiz da equação p(x) = (x – 1)(x – 2).
RESOLUÇÃO:
Pelo gráfico se conclui que –1, 1 e 2 são raízes de p(x), logo pode-se escrever:
p(x) = a(x + 1)(x – 1)(x – 2) e como p(3) = – 2:
p(3) = a(4)(2)(1) = – 2 ⇒ 8a = – 2 ⇒ a = – 1/4 ⇒ p(x) = – 1/4 (x + 1)(x – 1)(x – 2)
5
01) FALSA.
O termo independente de x do polinômio p(x) é −
1
4
(1 ) ( −1 ) ( − 2 ) = − 1
2
02) VERDADEIRA.
O gráfico de p(x), polinômio de grau 3, intercepta o eixo dos x em 3 pontos distintos, as
suas raízes são números reais.
04) VERDADEIRA.
O termo em x3 do polinômio p(x) é igual a −
1
4
.x.x.x = −
1
4
x3.
08) FALSA.
A soma dos coeficientes de p(x) é igual a p(1), e sendo 1 raiz de p(x), tem-se
p(1) = 0.
16) VERDADEIRA.
p(2x) = 1/4 (2x + 1)(2x – 1)(2x – 2).
Substituindo x por 1: 1/4 (2 + 1)(2 – 1)(2 – 2) = 0
32) VERDADEIRA.
–1/4 (x + 1)(x – 1)(x – 2) = (x – 1)(x – 2) ⇒ –1/4 (x + 1) = 1 ⇒ –x – 1 = 4 ⇒ x = –5.
Questão 5.
Considere os conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
É verdade que:
01) Com os elementos de A podemos formar 60 números com 3 algarismos distintos.
02) Com os elementos de A podemos formar 60 números de 3 algarismos com, pelo
menos, dois algarismos iguais.
04) Com os elementos de B podemos formar 100 números com 3 algarismos distintos.
08) Com os elementos de B podemos formar 36 números com 3 algarismos distintos
que começam com algarismo ímpar e terminam com algarismo par.
16) Com os elementos de A podemos formar, pelo menos, 15 números de 5 algarismos
distintos, tais que, alternadamente, seus algarismos sejam ímpares e pares.
32) Com os elementos de A podemos formar 20 números de 5 algarismos distintos, de
modo que os algarismos ímpares fiquem sempre na ordem 1, 3 , 5.
RESOLUÇÃO:
01) VERDADEIRA.
Para a ordem das centenas tem-se 5 opções; escolhido o algarismo dessa ordem restam
para a das dezenas 4 opções; escolhido o algarismo da ordem das dezenas, restam para
a das unidades 3 opções, logo poderão ser formados 5×4×3 = 60 números com três
algarismos distintos.
02) VERDADEIRA.
Com os elementos de A podemos formar 53 = 125 números com três algarismos entre os
quais existem 60 com todos os algarismos distintos (item anterior).
Então poderão ser formados, ao todo, 125 – 60 = 65 números com pelo menos, dois
algarismos iguais.
6
Logo é verdadeira a afirmação de que podemos formar 60 números com pelo menos,
dois algarismos iguais.
04) VERDADEIRA.
Para a ordem das centenas temos 5 opções (1, 2, 3, 4 ou 5); escolhido o algarismo da
ordem das centenas, o 4 por exemplo, para a ordem das dezenas existem 5 opções de
escolha ( 0, 1, 2, 3 ou 5); escolhido o algarismo da ordem das dezenas, o 5 por exemplo,
restam 4 opções para a ordem das unidades. Logo ao todo são 5×5×4 = 100 números.
08) VERDADEIRA.
3a ORDEM
2a ORDEM
ímpar
Par ou ímpar
1, 3 ou 5(escolhe-se o 5)
Restam (0, 1, 3 ou 4)
3 opções
4 opções
Logo poderão ser formados 3×4×3 = 36 números.
16) FALSA.
IMPAR
PAR
IMPAR
3 opções
2 opções
2 opções
Ao todo são 3×2×2×1×1 = 12 números.
1a ORDEM
par
0, 2 ou 4 (escolhe-se o 2)
3 opções
PAR
1 opção
IMPAR
1 opção
32) VERDADEIRA.
Colocados os algarismos 1, 3 e 5: _ 1 _ 3 _ 5 _, existem quatro posições para se
colocar o algarismo 2, por exemplo.
Colocados os algarismos 1, 2, 3 e 5: _ 1 _ 3 _ 5 _2 _, existem cinco posições para se
colocar o algarismo 4.
Logo podem ser formados, obedecendo-se a condição estabelecida, 4 × 5 = 20 números.
Questão 6.
Sobre matrizes e determinantes é verdade que:
01) detA– 1 = – det A
02) Se A é uma matriz de ordem n, então det (nA) = n2 det A.
0 1 2 1
0 3 1 −1
04) x 1 1 2 = 6 ⇒ x ∈ {2, 3, 5, 7}
0 0 3 2
 x −2 
 ser inversível.
08) x = 2 é condição suficiente para a matriz A = 
 −1 1 
 2 m  x   2−n 
   = 
 é homogêneo e indeterminado, então
16) Se o sistema 
1
4
y
0

  

m = 8 e n = 2.
32) Se A é uma matriz inversível, então A X At = A– 1 ⇒ det X = (detA)– 3 .
RESOLUÇÃO:
7
01) FALSA.
1
detA– 1 =
.
detA
02) FALSA.
Se A é uma matriz de ordem n, então det (nA) = nn det A.
04) VERDADEIRA.
0 1 2 1
0 3 1 −1
1 2
1
= 6 ⇒ x(-1)3+1 3 1 − 1 = 6 ⇒ x (2 + 9 + 3 − 12) = 6 ⇒
2
0 3 2
2
x 1 1
0 0 3
2x = 6 ⇒ x = 3 ∈ {2, 3, 5, 7}
08) FALSA.
 x −2 
 ser inversível é suficiente que detA seja diferente de
Para a matriz A = 
 −1 1 
zero:
x
−2
−1
1
≠ 0⇒ x−2≠ 0⇒ x ≠ 2
16) VERDADEIRA.
 2 m  x
 
Se o sistema 
 1 4  y
2 m
= 0 e 2−n = 0 ⇒
1 4
  2−n
 = 
  0

 é homogêneo e indeterminado, então

8 − m = 0 e n = 2 ⇒ m = 8 e n = 2.
32) VERDADEIRA.
Multiplicando à esquerda os dois membros da equação A X At = A– 1 por A– 1 ⇒
A– 1 A X At = A– 1 A– 1 ⇒ X At = (A– 1)2 .
Multiplicando à direita os dois membros da equação X At = (A– 1)2 por (At)– 1 ⇒
X At(At)– 1 = A– 1 A– 1(At)– 1 ⇒ X = A– 1 A– 1(At)– 1 .
Calculando o determinante dos dois membros desta última equação:
det X = det (A– 1.A– 1 .(At)– 1) . Como o determinante do produto de matrizes de mesma
ordem é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes ⇒
det X = det (A– 1).det (A– 1).det((At)– 1) ⇒
 1 

det X = 
 detA 
2
.
1
 1 
=

detA  detA 
3
= (det A )
−3
.
Questão 7.
Considere as relações em R:
I) x2 + y2 = 16
II) 4x2 + 9y2 = 36
III) y2 = 4 – 3x
8
É verdade que:
01) O domínio da relação I é [– 4, 4].
02) A imagem da relação II é [– 4, 4].
04) A função y = 4 − 3x , implícita na relação III, é decrescente
08) O gráfico da relação I é uma circunferência e a área do triângulo eqüilátero nela
inscrito é igual a 12 3 u.a.
16) Um dos pontos de interseção da 1a bissetriz com o gráfico da relação III, é o ponto
(–2, –2).
12 13
32) O lado do quadrado inscrito na curva definida pela relação II, é igual a
.
13
RESOLUÇÃO:
01) VERDADEIRA
x2 + y2 = 16 é a equação de uma
circunferência de centro na origem e
raio 4.
02) FALSA.
Analisando o gráfico ao lado pode-se
concluir que a imagem da relação II é
o intervalo [– 2, 2]
04) VERDADEIRA.
4x2 + 9y2 = 16 é a equação de uma elipse
de centro na origem e eixo maior na
horizontal.
Analisando o gráfico ao lado pode-se
concluir que a imagem da relação II é o
intervalo [– 2, 2]
9
08) VERDADEIRA.
A figura ao lado representa a situação da
questão. Aplicando o teorema de Pitágoras ao
a2
triângulo ADO: 16 = 4 +
⇒
4
64 = 16 + a2 ⇒ a = 48 ⇒ a = 4 3 . Pela
figura vemos que h = 3.(r/2) = 3. 2 = 6 ⇒
4 3 ×6
SABC =
= 12 3 u.a.
2
OUTRA RESOLUÇÃO:
l
h = 3r = 6.
h=
l
S=
2
3
4
=
48
3
4
3
2
= 12
3
l
⇒
2
=6⇒l =
12
3
3
=4
3.
3.
16) FALSA.

−3± 5
 x 2 = 4 − 3x
 y 2 = 4 − 3x

x=
⇒
⇒
⇒ S = { ( − 4, −4 ) , (1,1 ) } .

2
 y = x
 x 2 + 3x − 4 = 0
 x = −4 ou x = 1

32) VERDADEIRA.
4x2 + 9y2 = 36 ⇒ 4x2 9y2 = 36– 4x2 ⇒
y=
36 − 4x 2
⇒B=
3





x,
36 − 4x 2
3


⇒


Como B pertence à primeira bissetriz:
x=
36 − 4x 2
⇒ 9 x 2 = 36 − 4 x 2 ⇒
3
13 x 2 = 36 ⇒ x = OA =
6 13
13
⇒ lado do quadrado =
12 13
13
.
OUTRA RESOLUÇÃO:
Sendo B (x,y) um ponto da primeira bissetriz, x = y, e na equação 4x2 + 9y2 = 36 podese substituir y por x: 4x2 + 9x2 = 36 ⇒ 13x2 = 36 ⇒ x =
O lado do quadrado é igual a
12
13
13
36
13
=
6
13
13
⇒
.
10
QUESTÃO 8.
Considere as seqüências (an) e (bn) de termos gerais an = 2n – 1 e bn = 2n+1; 1 ≤ n ≤ 21.
Pode-se afirmar que:
01) O termo central de (an) é igual a 21.
02) A soma dos termos de (an) é 441.
04) (bn) é uma progressão geométrica de razão 4.
4
08) A soma dos termos de ordem ímpar de (bn) é igual a (2 22 − 1).
3
16) O primeiro termo da seqüência cn =
1
4
, maior que
, é o termo de ordem 11.
an
81
32) A soma dos infinitos termos da seqüência de termo geral
1
1
é igual a .
bn
2
RESOLUÇÃO:
01) VERDADEIRA.
A seqüência (an) tem 21 termos, logo o seu termo central é o termo de ordem:
(21 + 1) : 2 = 11.
Como an = 2n – 1, a11 = 2. 11 – 1 = 21.
02) VERDADEIRA.
a1 = 1, a2 = 3, a3 = 5, ......, a21 = 41 ⇒ a seqüência (an) é uma progressão aritmética
onde a1 = 1 e r = 2, logo S21 =
( 1 + 41 ) .21
2
= 441 .
04) FALSA.
Sendo bn = 2n+1, tem-se: b1 = 4, b2 = 8, b3 = 16, b4 = 32,..., b21 = 222 que constitui uma
progressão geométrica de razão 2.
08) VERDADEIRA.
Os termos de ordem ímpar de (bn): 4, 16, 64,...222 formam uma P.G. de razão 4 de 11
termos.
a 1 q n −1
4 4 11 − 1
4 22
Sn =
=
2
−1 .
⇒
q −1
4 −1
3
(
)
(
) (
)
16) VERDADEIRA.
Cn =
1
4
81 − 8n + 4
85 − 8n
< ⇒
<0⇒
<0
2n − 1 81
81(2n − 1)
81(2n − 1)
85
A raiz do numerador é n =
8
e a raiz do denominador é n =
1
2
.
11
Pela tabela ao lado que apresenta o estudo
85 − 8n
da variação do sinal da fração
81(2n − 1)
buscando determinar o intervalo em que ela
assume valores negativos em função de n.
Como 1 ≤ n ≤ 21, n é o menor número
 85 
inteiro pertencente ao intervalo  , ∞  ,
 8 
então n = 11.
32) VERDADEIRA.
1 1 1 1
1 
1
1
=  , , , ,.......,
Consideremos dn =
 que é uma P.G. de razão .
n
+1
bn
2
2
 4 8 16 32

1
Sn =
a1
1− q
=
4
1−
1
=
1
4
×
2
1
=
1
2
2
QUESTÃO 9.
AX + BY = B
 2 1
 e B =
Considere o sistema matricial 
, onde A = 
X + Y = A
 2 0
Calcule o determinante da matriz X.
1 1 

 .
 1 − 1
RESOLUÇÃO:
 AX + BY = B
.

X+Y =A
tem-se:
Tirando o valor de Y na segunda equação e substituindo na primeira
 AX + BA − BX = B
Y = A−X

⇒  AX − BX = B − BA
.

 AX + B(A − X) = B  ( A − B ) X = B ( I − A )

Substituindo A e B:
 2
 
  2
1 0

1 1
1  1 1 
1 1  1 0   2 1
 − 
  X = 
  
 − 
0   1 − 1  
 1 − 1    0 1   2 0

 1 1   −1 −1   1 0 
 −3
 X = 
 
 ⇒ 
 X = 

 1 −1   − 2 1   1 1 
 1

  ⇒
 
0 

− 2 
1 0 
 :
1 1 
Multiplicando à esquerda os dois membros da equação Pela inversa da matriz 
 1 0 1 0 
 1 0  −3 0 
 −3 0 

 
 X = 
 
 ⇒ X = 
 ⇒ detX = 6
 −1 1   1 1 
 −1 1   1 − 2 
 4 −2 
RESPOSTA: detX = 6
12
QUESTÃO 10.
Uma dívida foi paga em 20 prestações mensais, cada prestação sendo igual à anterior
acrescida de k reais. A segunda prestação foi igual a R$ 46,00, e a sétima foi igual a
R$ 76,00.
x
Sendo x reais a soma de todas as prestações, calcule o valor da expressão
.
20
RESOLUÇÃO:
A informação: “Uma dívida foi paga em 20 prestações mensais, cada prestação sendo
igual à anterior acrescida de k reais” nos conduz à conclusão de que a seqüência
numérica formada pelas prestações forma uma progressão aritmética de razão k, a2 = 46
e a7 = 36.
Assim: a7 = a2 + (7 – 2).k ⇒ 76 = 46 + 5k ⇒ k = 6.
Temos então: a2 = a1 + k ⇒ 46 = a1 + 6 ⇒ a1 = 40 ⇒ a20 = 40 + 19k = 40 + 6.19 = 154
Conclusão: S 20 =
(a1
+a
2
20
) k ( 40 + 154 ) × 20
=
2
= 1940 = x ⇒
x
20
=
1940
20
= 97 ⇒
RESPOSTA: 97.
13