Raízes de funções: o método de NewtonRaphson
Cálculo Numérico,
Aula 03, Rev. 01
Data: 21/8/2012
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Raı́zes de Funçõ es: o Mé todo de
Newton-Raphson
Raízes de Funções
Já vimos na aula passada que encontrar raízes de funções é um tipo de problema
comum que surge na solução de diversos problemas de engenharia. Uma raiz de uma
função é o valor da variável independente (abscissa) para o qual a função assume o
valor de zero no eixo das ordenadas.
Figura 1 – Raiz de uma função
Vimos anteriormente o método da bisseção e dissemos que ele era fácil de
implementar e robusto, pois se o intervalo contiver a raiz, ele vai achar! Por outro
lado, dissemos também que era demorado, ou melhor: ineficiente. Em geral, o método
da bisseção precisa de vários passos para encontrar uma raiz aceitável da função
pesquisada. Vamos ver agora um método que é um pouco mais difícil, um pouco
menos robusto, mas que “acelera” na direção da resposta e, portanto, é bem eficiente.
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O Método de Newton-Raphson
O método se baseia em sucessivas substituições da função
por sua reta tangente,
combinando duas ideias básicas: linearizações e interações.
Para estabelecer uma expressão analítica para o cálculo de sucessivas aproximações à
raiz da função (ver Figura 1), observamos que a tangente do ângulo θ pode ser obtida
tanto da definição da função trigonométrica tangente quanto pela derivada de
ponto
no
(inclinação da reta tangente).
Figura 1 – Ilustração do Método de Newton-Raphson
Assim, a seguinte expressão pode ser obtida:
tan
Sendo
a derivada da função
. Da expressão acima podemos obter uma
expressão para cada nova aproximação da raiz,
:
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Note nessa expressão que tudo o que precisamos para começar é um ponto inicial que
será nossa primeira estimativa para a raiz e, daí por diante, o próprio algoritmo deve
conduzir à solução. Veja o roteiro passo-a-passo:
1. Definir um valor candidato à raiz inicial,
e uma tolerância tol;
2. Obter um novo candidato à raiz através de:
3. Se |
|<
então
é a raiz, caso contrário voltar ao passo 2 e obter
um novo candidato.
Exemplo
Considere o polinômio
5
+ 17 + 21, com uma tolerância de 1 x 10-3
para o nosso algoritmo. A derivada do polinômio acima é da forma
3
10 + 17. Usando o roteiro de cálculo passo-a-passo e começando com uma
estimativa de raiz
1 temos:
1
Como |
0,9333 |
2
30
0,9333
0,0343 > 10# , então precisamos prosseguir até que esse
valor absoluto da função avaliada no candidato à raiz seja menor que a tolerância e
possamos aceitar como um zero da função. O que no caso desse exemplo, só vai
acontecer na próxima iteração:
0,9321, com
0,9321
1,1571 × 10#% , um valor abaixo da tolerância e,
portanto, válido como uma raiz do polinômio.