Professores do 2º ciclo investigando o desenvolvimento conceitual de seus
alunos: o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
Noeme Araújo de Sousa 1
Fabiana Maria da Silva 2
Rute Elizabete de Souza Rosa Borba 3
RESUMO
O presente estudo teve como objetivos: a) observar o conhecimento que
professores têm sobre a compreensão de seus alunos da divisão com resto
diferente de zero e b) analisar um processo de formação continuada no qual se
discutiu a compreensão de conceitos (com base na teoria proposta por Vergnaud,
1982) e no qual foram realizadas investigações sobre o conhecimento de alunos
quanto à divisão com resto. Participaram do estudo quatro professores do segundo
ciclo do ensino fundamental de uma escola pública de Recife. Após os quatro
encontros propostos, os professores evidenciaram uma maior compreensão dos
elementos que influenciam o desenvolvimento conceitual e passaram a observar
que o processo de investigação em sala da aula é uma forma viável de conhecer
melhor o seu aluno.
Palavras-chave:
formação continuada
investigações sobre o desenvolvimento conceitual
divisão com resto
1
Concluinte de Pedagogia- Centro de Educação- UFPE / Bolsista de Iniciação Cientifica –
PIBIC [email protected]
2
Concluinte de Pedagogia- Centro de Educação- UFPE /Professora da Rede Municipal de
Ensino de Recife [email protected]
3
Professora Adjunta do Departamento de Métodos e Técnicas de Ensino – Centro de
Educação – UFPE. [email protected]
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
proposta do presente estudo surgiu de observações e discussões
realizadas em disciplinas cursadas em Pedagogia na Universidade
Federal de Pernambuco, tais como Pesquisa e Prática Pedagógica e
Metodologia do Ensino da Matemática, e de experiências docentes vivenciadas,
ministrando aulas e realizando pesquisas nas séries iniciais do ensino fundamental.
As observações e discussões realizadas levaram a indagar sobre questões
relacionadas a como os professores analisam o desenvolvimento de conceitos por
parte de seus alunos, em particular a compreensão de problemas de divisão com
resto diferente de zero.
Partiu-se do pressuposto que muitos professores em processos de formação inicial
não tiveram oportunidade de tomar conhecimento de referenciais teóricos que
abordam o desenvolvimento de conceitos e nem foram estimulados a investigarem
como seus alunos desenvolvem suas compreensões conceituais. Propôs-se, dessa
forma, um processo de formação continuada para professores de séries iniciais do
ensino
fundamental
no
qual
os
participantes
estudariam
como
se
dá
o
desenvolvimento conceitual e os mesmos realizariam investigações a respeito da
compreensão de seus alunos de conceitos matemáticos.
O conceito abordado no processo de formação continuada proposto foi o da divisão
com resto, por se tratar de um conteúdo matemático no qual muitos alunos
apresentam dificuldades. Na literatura, estas dificuldades têm sido registradas no
ensino-aprendizagem desta operação e parte destas podem ser atribuídas à falta de
domínio do professor neste conteúdo ou no desconhecimento de como alunos
desenvolvem seu aprendizado matemático. Muitos professores desconhecem que
dificuldades podem estar relacionadas aos diferentes significados que a divisão
possui ou à forma de representação simbólica utilizada na resolução de problemas.
Conseqüentemente, estes professores não sabem como abordar adequadamente o
ensino desta operação nem como discutir junto a seus alunos como devem tratar o
resto de divisões.
Em busca de suprir deficiências na formação inicial de professores e para que os
mesmos tomem conhecimento de discussões educacionais atuais, é preciso que
estejam em constante processo de formação. Estes processos devem enfocar
aspectos teóricos e práticos, tais como teorias de desenvolvimento conceitual e
análises de procedimentos adotados por alunos ao resolverem questões propostas
em sala de aula.
2
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
Segundo Laurence Stenhouse, apud Dickel (2004), o professor está no centro do
processo da pesquisa educacional, visto que, fundamentalmente, é ele quem
planeja e executa as aulas junto com seus alunos. As aulas são um laboratório ideal
para a comprovação da teoria educativa, uma vez que o professor está rodeado de
oportunidades para pesquisar sua própria prática. Partindo de uma discussão da
postura do professor enquanto investigador de sua prática, Stenhouse, apud
Marangon (2003, p.33), afirma que “todo professor deveria assumir o papel de
aprendiz”.
Nesta ótica, as intervenções realizadas no presente estudo se deram baseadas no
pensamento de Stenhouse, confirmando a importância do professor enquanto
pesquisador no dia-a-dia, possibilitando ao mesmo uma maior clareza dos
processos do ensino-aprendizagem nos quais seus alunos se inserem.
Assim, o presente estudo objetivou alcançar uma melhor compreensão do processo
de ensino e aprendizagem da divisão na escola investigada, buscando-se observar
quais conhecimentos professores do segundo ciclo do ensino fundamental têm
sobre a compreensão de seus alunos na resolução de problemas de divisão com
resto e, também, analisar um processo de formação continuada no qual se discutiu
a compreensão de conceitos, realizando investigações sobre o conhecimento de
alunos quanto à divisão com resto diferente de zero.
CONHECIMENTOS
NECESSÁRIOS
DO
PROFESSOR
E
SUA
FORMAÇÃO CONTINUADA:
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) apontam alguns obstáculos a
um proficiente ensino/aprendizagem da matemática. Entre eles estão a falta de
formação profissional qualificada, a ausência de políticas educacionais efetivas,
restrições ligadas às condições de trabalho dos professores e, por parte destes,
interpretações equivocadas de concepções pedagógicas.
Como bem colocou D’Ambrósio (1998) “um dos grandes desafios para o futuro é a
formação de professores de matemática”. Na opinião deste autor os professores
deverão necessariamente ter uma:
Visão do que vem a ser matemática; visão do que constitui a atividade
matemática; visão do que constitui a aprendizagem matemática e visão
do que constitui um ambiente propício à aprendizagem matemática. (p.
87)
3
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
Pesquisas
revelam,
no
entanto,
o
desconhecimento
de
grande
parte
dos
professores quanto aos objetivos e finalidades do ensino da Matemática e, ainda
mais, a crença de que para ensinar esta disciplina basta conhecê-la, conhecer suas
teorias e proposições. Entretanto, o domínio do saber e a competência acadêmica
relacionada à matemática não garantem a competência pedagógica necessária aos
professores.
Cabe, portanto, ao professor saber selecionar as orientações metodológicas mais
adequadas a serem empregadas na construção/apropriação do conhecimento que
incluam, necessariamente, que ele tenha uma boa relação com a matemática,
através de experiências próprias de aprendizagem do conteúdo de diversas
disciplinas e o conhecimento sobre os possíveis caminhos da construção dos
saberes matemáticos.
Ensinar matemática, de acordo com os PCNs (1998) é desenvolver o raciocínio
lógico, estimular o pensamento independente, a criatividade e a capacidade de
resolver problemas. Assim, no Ensino Fundamental a atividade matemática deve
estar orientada para integrar de forma equilibrada seu papel formativo (o
desenvolvimento de capacidades intelectuais fundamentais para a estruturação do
pensamento e do raciocínio lógico) e o seu papel funcional (as aplicações na vida
prática e na resolução de problemas de diversos campos de atividades).
Para Zunino (1995):
Se o enfoque pedagógico que é adotado leva as crianças a deixarem de lado
seu raciocínio lógico quando lhe são ensinados conteúdos matemáticos, elas
seguramente aprenderão a adaptar-se às exigências da escola, porém não
aprenderão matemática, porque não é possível aprender matemática
renunciando a pensar. (p.190)
Seguindo esta mesma linha de pensamento, Carraher, Carraher e Schliemann
(1988) consideram que o papel funcional da matemática, sobretudo na resolução
de problemas de matemática, perde o sentido se não estiver relacionado
diretamente com as vivências das crianças fora da escola, considerando que:
O problema perde o significado porque a resolução de problemas na
escola tem objetivos que diferem daqueles que nos movem para
resolver problemas de matemática fora da sala de aula. Perde o
significado também porque na sala de aula não estamos
preocupados com situações particulares, mas com regras gerais,
que tendem a esvaziar o significado das situações. (p.22)
4
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
Faz-se necessário cristalizar a matemática como uma ciência ensinada na escola e
apreendida dentro e fora do ambiente escolar, na qual as múltiplas lógicas corretas
na resolução de cálculos sejam consideradas. Isto porque as experiências
vivenciadas pelas crianças fora do ambiente escolar são fundamentais para que
haja um estreitamento entre o saber fazer e o saber ser, no qual os cálculos
matemáticos possuem sentido.
Assim, “É importante incentivar as crianças a fazerem antecipações e julgamentos
prévios dos resultados, pois só assim estarão capazes de avaliar a correção ou
incorreção das contas que realizaram”. (ZUNINO, 1995, p.89)
Para que os conhecimentos prévios das crianças sejam considerados e avanços
sejam incentivados, é preciso que os educadores estejam atentos a estas questões,
sendo estudiosos contínuos do processo ensino-aprendizagem.
PROCESSOS INVESTIGATIVOS COMO EIXO DE FORMAÇÃO:
Sobre o desenvolvimento profissional, Stenhouse, apud Dickel (2004), contribui
com sua reflexão quando afirma que este:
É um processo fundamentalmente educativo que se concretiza à
medida que o professor busca compreender as situações concretas
que se apresentam em seu trabalho, e é dependente, portanto, da
sua capacidade de investigar sua própria atuação. (p. 08)
Investir na postura do professor enquanto pesquisador é considerar que “a
pesquisa permite a interface interativa entre a teoria e a prática” e que “a teoria e a
prática levam o indivíduo a partir para a prática equipado com uma teoria e a
praticar
de
acordo
com
essa
teoria
até
atingir
os
resultados
desejados”
(D’AMBROSIO, 2003, p.79).
Muitos têm sido os defensores de que professores sejam pesquisadores de suas
práticas. Segundo Lüdke (2003), os precursores desta defesa foram Lawrence
Stenhouse e Pedro Demo. Outros estudiosos (dentre eles, Marli André, Jacques
Beillerot, Ivani Fazenda, Menga Lüdke, Antônio Nóvoa e Kenneth Zeichner) têm
defendido as investigações feitas pelo professor em sua sala de aula como
essenciais. Estudos especificamente dentro da educação matemática também têm
sido desenvolvidos defendendo a pesquisa como eixo essencial na formação inicial e
continuada de professores (Oliveira, Leão, Tarantino e Pereira (2003); Santos,
5
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
Teixeira e Morclatti (2003); Borba, Guimarães, e Lima (2004); Guimarães, Borba e
Gonçalves (2004), dentre outros).
O conjunto destes estudos tem evidenciado que a experiência de envolver-se com a
pesquisa na formação inicial e continuada propicia ao professor um novo olhar
sobre a sala de aula. O professor investigativo planeja mais criteriosamente suas
aulas, uma vez que tem objetivos de pesquisa que deseja alcançar. Toda a
dinâmica ocorrida na sala de aula passa, também, a ter um novo olhar do
professor, pois métodos adotados precisam ser coerentes com os objetivos das
investigações que se está realizando.
Sobre a formação permanente do professor tem-se afirmado que:
A formação continuada deve incentivar a apropriação dos saberes pelos
professores, rumo à autonomia, e levar a uma prática reflexiva abrangendo a
vida cotidiana da escola e os saberes derivados da experiência docente, pois,
não basta uma maneira segura de ensinar o conhecimento de novas teorias
no campo das ciências, o professor precisa cultivar atitudes de reflexão sobre
sua prática (LEAL e GUIMARÃES, 2001).
Ponte (1998) afirma que ”tem se falado muito sobre formação, no entanto, tem-se
feito relativamente pouca investigação associada a processos concretos de
formação inicial e contínua” (p.16). A seguir, serão relatados alguns estudos
recentes de formação de professores pela e para a pesquisa.
Num estudo de formação continuada realizado por Guimarães, Borba e Gonçalves
(2004) buscou-se acompanhar, em duplas de professoras das séries iniciais, as
discussões sobre o que se concebe como pesquisa em sala de aula, o que se pode
pesquisar, quais métodos de pesquisa podem ser utilizados, o quanto a pesquisa
altera a prática diária do professor e como os resultados de pesquisa podem
redirecionar sua futura prática de ensino. Observou-se o quanto todo o processo
vivenciado – baseado em investigações realizadas em salas de aula – possibilitou
um maior conhecimento por parte das professoras do processo de ensinoaprendizagem.
Em outro estudo de formação pela pesquisa, Nacarato (2000) desenvolveu um
trabalho de geometria com professoras das séries iniciais de uma escola privada
de Campinas baseado no processo no qual elas teriam que aprender e ensinar
através de uma metodologia voltada para pesquisa-ação. Concluiu-se que a
valorização do saber profissional do professor deve passar a ser vista como uma
produção de saberes, principalmente do saber fazer e da especificidade na prática
6
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
pedagógica docente.
Stenhouse, apud Marangon (2003), afirma que todo educador tem que assumir seu
lado experimentador no cotidiano e transformar a sala de aula em laboratório,
efetuando ajustes, quando necessário, para a melhoria da mesma.
defende-se
o
desenvolvimento
profissional
como
sendo
Com isso,
um
processo
fundamentalmente educativo que se concretiza à medida que o professor busca
compreender as situações que se apresentam em seu trabalho e é dependente,
portanto, da sua capacidade de investigar sua própria atuação.
Não há dúvida da necessidade de reivindicarmos a formação do professor
pesquisador
como
aquele
profissional
que
deve
lutar,
coletivamente,
por
alternativas viáveis e comprometidas, que fomente no estudante a vontade de
construir um pensamento independente. O professor pesquisador buscará, assim, a
potencialidade de inventar e lançar bases de um mundo diferente, relacionando
com as aprendizagens pessoais, as teorias de aprendizagem aprendidas durante a
formação (básica e continuada) e a condução do processo educativo.
DIMENSÕES DO DESENVOLVIMENTO CONCEITUAL:
No que se refere ao desenvolvimento conceitual, Vergnaud (1993) postula, com
base em Piaget, que a ação é o fator principal do processo de conhecimento.
Progressivamente
interiorizada
e
devidamente
operacionalizada,
a
ação
se
transforma em conhecimento matemático através da abstração pelo sujeito, das
propriedades e das relações estabelecidas entre ele e a realidade. Por outro lado, se
o sujeito epistêmico é uma figura mais geral do que o sujeito conhecedor dos
saberes próprios da matemática, que lugar ocupa o saber constituído neste
processo?
Vergnaud aborda o desenvolvimento conceitual de maneira significativa ao
desenvolver a Teoria dos Campos Conceituais cujos objetivos estão centrados em
fornecer princípios de base para o estudo do desenvolvimento e da aprendizagem
de competências complexas. Para ele esta teoria não deve ser aplicada somente em
educação matemática mas deve se desenvolver respeitando uma estrutura
progressiva de elaboração de conceitos das diversas áreas do conhecimento.
Para Vergnaud é sobretudo através das situações-problema (teóricas ou práticas)
que um conceito adquire sentido para a criança. Para ele, é a conceitualização do
7
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
real que torna a ação operatória. Nesse caso, assume grande importância o papel
da linguagem e do simbolismo na conceitualização.
Vergnaud considera, então, um conceito sob a perspectiva de três dimensões:
S como sendo o conjunto de situações que tornam o conceito significativo
(referência);
I como sendo o conjunto de invariantes usados pelo sujeito para analisar e
dominar uma situação (significado);
R como as representações simbólicas usadas para representar um conceito,
suas propriedades e as situações e os procedimentos para lidar com ele
(significante).
Uma vantagem dessa abordagem é permitir uma classificação dessas situações,
baseada na análise das tarefas cognitivas, assim como dos procedimentos que
podem ser utilizados em cada uma delas.
SIGNIFICADOS,
PROPRIEDADES
INVARIANTES
E
REPRESENTAÇÕES SIMBÓLICAS DA DIVISÃO COM RESTO:
As competências dos alunos na resolução de problemas verbais rotineiros de
divisão não dependem, basicamente, do domínio dos algoritmos mas, sobretudo, da
conceitualização das relações de base e dos problemas que dela derivam, das
propriedades invariantes e das representações simbólicas existentes na divisão.
Borba, Selva, Spinillo e Sousa (2004) apontam que são dois os significados que a
divisão pode ter :
Partição – é dado um todo e a quantidade de partes em que o mesmo
deve ser distribuído e o resultado é o valor de cada parte;
Quotição – é dado um todo e o valor de cada parte que forma o todo e o
resultado consiste na quantidade de partes.
Dentre as propriedades invariantes da divisão destacam-se: a) numa partição, as
partes distribuídas entre pessoas ou recipientes devem ser iguais; b) numa
quotição, a quota dada não pode ser alterada; c) há uma relação direta entre
dividendo e quociente; d) há uma relação inversa entre divisor e quociente; e) o
quociente é sempre menor que o dividendo; f) o resto é sempre menor que o
8
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
divisor e g) o dividendo é equivalente à soma da multiplicação do quociente pelo
divisor com resto.
As representações simbólicas podem se apresentar de diferentes formas - tais
como oralmente, por uso de material manipulativo, por escrito e com uso da
calculadora - e estas diferentes formas podem afetar a compreensão da operação
de divisão (BORBA, SELVA, SPINILLO e SOUSA 2004).
ESTUDOS ANTERIORES SOBRE DIVISÃO:
Selva (1998), realizou um estudo com crianças com idades entre 5 e 8 anos, no
qual as mesmas eram solicitadas a resolver problemas de divisão, utilizando-se de
diferentes materiais. Verificou-se que os problemas que apresentavam resto
geravam maiores dificuldades e que o resto da divisão era tratado pelos alunos
como um problema independente.
Kouba (1986; 1989), apud Borba et al. (2004 (a)), buscou investigar as estratégias
utilizadas por crianças de primeira, segunda e terceira séries na resolução de
problemas de partição e quotição com resto igual a zero. Verificou-se que as
crianças não apresentavam diferenças de desempenho nos dois tipos de problemas.
As crianças de diferentes séries tendiam, no entanto, a utilizar estratégias
diferenciadas.
Li e Silver (2004), apud Borba et al. (2004 (a)), observaram 14 crianças da terceira
série na resolução de um problema de quotição diferente de zero, no qual eram
apresentadas 22 fitas que deveriam ser distribuídas em caixas que cabiam 5 fitas.
Observou-se que as crianças utilizavam procedimentos que envolviam a adição,
subtração, ou multiplicação e, baseado no contexto envolvido, 13 crianças
conseguiram dar um tratamento adequado ao resto.
Num outro estudo realizado com crianças de 1ª e 2ª séries do Ensino Fundamental,
Tancredi (1992) revelou que é possível construir um algoritmo para a resolução da
operação da divisão que, na sua resolução, considere o modo próprio das crianças
pensarem quando se defrontam com situações que envolvem esse conceito. Para
descobrir o pensamento das crianças, foram propostos a elas, jogos e atividades de
contar histórias, que as levaram a explicitar o conceito de divisão e seus modos de
operar com ele.
9
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
As dificuldades que se apresentam em problemas de estruturas diferentes não são
as mesmas, embora estes possam ser resolvidos pelas mesmas operações
numéricas. O ensino da divisão tem sido uma das grandes dificuldades que os
alunos enfrentam na escola. Os motivos para essa dificuldade são vários, indo
desde as características do próprio algoritmo até o nível de conhecimento que os
professores têm sobre o assunto e sobre como ensiná-lo.
ENCAMINHAMENTOS METODOLÓGICOS
No presente estudo, participaram quatro professores que lecionam no segundo ciclo
do Ensino Fundamental de uma escola pública de periferia do Município de Recife.
Destes, três lecionavam no 1°ano do 2°ciclo e um no 2° ano do 2° ciclo. Os
professores tinham em média dez anos de ensino, sendo três com formação
superior em Pedagogia e um professor formado em Ciências Biológicas.
Foram realizados quatro encontros com os professores, com duração aproximada
de uma hora cada. Os encontros ocorreram numa das salas da escola em 4
semanas seguidas, com um encontro por semana no final do horário das aulas.
Todos os encontros foram gravados, com a devida permissão das participantes.
Os objetivos centrais dos encontros foram:
• 1º encontro: Levantar, através da aplicação de um questionário, o
conhecimento inicial dos professores sobre o desenvolvimento de alunos da
compreensão de divisão com resto;
• 2º encontro: Propor uma discussão teórica acerca da divisão com resto.
• 3º encontro: Discutir sobre a postura do professor pesquisador, e elaborar
instrumentos que servissem de base para processos investigativos que foram
desenvolvidos na sala de aula dos professores;
• 4º encontro: Resgatar o que se aprendeu sobre o desenvolvimento do
conceito de divisão com resto, discutir os resultados obtidos na investigação
proposta e analisar as implicações das discussões para o processo ensinoaprendizagem nas séries iniciais do ensino fundamental.
O foco principal de análise desses encontros foi o de observar o modo como os
professores analisavam inicialmente os procedimentos de alunos em situação de
resolução de problemas de divisão com resto e verificar se o processo de formação
10
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
proposto promoveu novas formas de análise que poderão implicar em mudança de
posturas em suas salas de aula.
Um maior detalhamento do ocorrido nos quatro encontros é descrito a seguir:
1º.
Encontro:
Inicialmente, na intenção de motivar o grupo, foi realizada uma dinâmica (quebragelo), a qual também objetivava introduzir a discussão sobre a valorização de
diversas interpretações que podem surgir ao longo de uma história, enunciado ou
investigação. Foi, assim, discutida uma situação sobre um lixeiro que, ao conduzir
um saco de lixo, deixou cair vários objetos (tais como sementes, restos de papel de
parede, maços de cigarros vazios, uma cartela vazia de anticoncepcional, rolos de
papel higiênico, restos de terra, latas de salsicha e papel de bombom). Os
professores, como observadores do ocorrido, deveriam tentar descobrir quem era o
dono do lixo, levantando hipóteses e justificando-as.
Em seguida, foram apresentados dois protocolos de problemas resolvidos por
alunos de 3ª série de um estudo anterior. 4 Neste momento solicitou-se que os
professores analisassem, a partir de seus conhecimentos prévios, as produções de
crianças semelhantes aos seus alunos.
Protocolo 1 (Adaptado de Borba, Selva, Spinillo e Sousa, 2004):
A seguir descreve-se a estratégia utilizada por uma criança, Marcelo, ao resolver o
seguinte problema, proposto por sua professora:
“Em uma festa de aniversário, a mãe de João tinha 13 chicletes para serem dados a
4 crianças. Ela quer que cada criança receba a mesma quantidade de chicletes.
Quantos chicletes cada criança vai receber?”
Marcelo fez quatro riscos na mesa com os dedos e respondeu: “Eu fiz assim, três
chicletes pra um (criança 1), três chicletes pra dois (criança 2), três chicletes pra
três (criança 3), três chicletes pra quatro (criança 4). Aí já dá 12. Aí vai sobrar
um”.
A professora perguntou: “Então você resolveu dando três chicletes pra cada
criança. Como foi que você decidiu dar três pra cada? Pensasse logo de cara?”
Marcelo respondeu: Não, eu tentei assim: quatro pra um, quatro pra dois...Aí eu vi,
“eta, não vai dar”.
4
Os protocolos foram adaptados, com autorização das autoras – Borba, Selva, Spinillo e Sousa, do
estudo Influência de representações e de significados da divisão em problemas com resto, apresentado
no VIII Encontro Nacional de Educação Matemática realizado na UFPE em julho de 2004.
11
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
“Por que?”, perguntou a professora.
Marcelo respondeu: “Porque faltava mais uma criança. Aí eu fiz com dois. Dois pra
um, dois pra dois, dois pra três, dois pra quatro. Aí ficou só em oito. Não deu.
Tentei de um em um, aí vi que também não ia dar. Aí fiz de três em três e sobrou
um”.
A professora indagou: “Um o que?”
Marcelo respondeu: “Chiclete”.
Por fim a professora perguntou: “E faz o que com ele?”
“A mulher que deu o confeito come esse”, respondeu a criança.
Protocolo 2 (Adaptado de Borba, Selva, Spinillo e Sousa, 2004):
A seguir descreve-se a solução de uma aluna, Sabrina, ao resolver o seguinte
problema, proposto por sua professora:
“Para o picnic da escola Tia Rute preparou 13 cachorros quentes. Em cada prato
cabem 4 cachorros quentes. Quantos pratos ela vai usar?”
Sabrina desenhou 13 bolinhas e agrupou-as de quatro em quatro, conforme a
reprodução de seu desenho abaixo:
Sabrina respondeu: “Eu botei aqui quatro cachorros-quentes pra cada prato. Deu
três pratos, sobrou um cachorro-quente”.
A professora falou: “Tá. Dá pra fazer alguma coisa com esse que sobra?”
A criança concluiu: “Dá pra comer”.
A partir da leitura dos dois protocolos, cada professor apontou e registrou por
escrito o que chamou mais a sua atenção na resolução dos alunos. Os professores
puderam, neste momento, comparar os problemas apresentados (quanto a
contextos, significados da divisão, operação a ser efetuada, representações
simbólicas utilizadas, tratamento dado ao resto etc.) a partir das seguintes
questões que lhes foram postas:
1. Você percebeu alguma(s) semelhança(s) e/ou diferença(s) entre os
problemas 1 e 2? Qual(is)?
2. Você percebeu alguma(s) semelhança(s) e/ou diferença(s) na forma
como as crianças responderam esses problemas? Qual(is)?
3. As crianças acertaram os problemas? Justifique.
12
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
Na medida que os professores iam terminando de responder estas questões por
escrito, foi entregue o texto dos quais os protocolos analisados foram retirados. Foi
solicitado que para o próximo encontro, os professores lessem o texto e que cada
um elaborasse, por escrito, quatro problemas diferentes que envolvessem a
operação “38 dividido por 8”.
2º.
Encontro
Iniciou-se o segundo encontro socializando – escrevendo no quadro – os problemas
elaborados pelos professores para a operação “38 dividido por 8” .
A seguir, os 12 problemas produzidos (quatro por cada um dos três professores
presentes) foram comparados quanto aos significados da divisão (partição e
quotição) e quanto às formas de representação simbólica que poderiam ser usadas
para suas soluções.
A partir dessa comparação dos problemas, deu-se uma discussão a respeito dos
estudos de Vergnaud (1993) e de sua Teoria dos Campos Conceituais, analisando
os fatores que influenciam o desenvolvimento conceitual (situações que dão
significado,
propriedades
invariantes
e
representações
simbólicas).
Foram
classificados os problemas de divisão (partição e quotição) e analisaram-se fatores
que podem influenciar a resolução de problemas de divisão com resto (a natureza
do problema, propriedades a serem levadas em consideração, simbologias
utilizadas, tamanho do resto etc.).
Em seguida foi solicitado que os professores respondessem dois problemas cujas
soluções poderiam ser por meio das operações 18:4 e 46:8, respectivamente. Estes
algoritmos foram escolhidos por apresentarem restos diferentes de zero, sendo que
um dos problemas deveria ser respondido oralmente e outro seria respondido por
escrito. Desejava-se com esta atividade conscientizar os professores sobre as
possíveis formas de resolução de problemas de divisão e das diferentes formas de
tratamento dado ao resto.
Como forma de avaliar o aprendizado deste encontro foi solicitado aos professores
que respondessem oralmente a uma pergunta: “O que mudaria a sua forma de
ensinar divisão a partir das discussões de hoje?”.
13
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
Foi entregue a cada um dos professores um texto para ser lido para o próximo
encontro: “O defensor da pesquisa no dia-a-dia”, escrito por Cristiane Marangon, a
respeito do educador inglês Lawrence Stenhouse, retirado da revista Nova Escola
de setembro de 2003.
3º.
Este
Encontro
encontro
voltou-se
a
uma
discussão
acerca
do
professor
enquanto
pesquisador, baseado no texto distribuído no encontro anterior. As perguntas que
motivaram este momento foram: “O que é pesquisa?” e “O que é pesquisa em sala
de aula?”. A partir das respostas dadas pelos professores deu-se início a um
debate, com base nos estudos de Lawrence Stenhouse, sobre a importância do
professor ser um pesquisador.
A partir das discussões desenvolvidas, propôs-se que os professores elaborassem
problemas que fariam parte de um processo investigativo a ser realizado em suas
salas de aula.
Os problemas deveriam ser adaptados às especificidades de cada turma, porém
ficou acordado que as situações-problemas planejadas seriam as mesmas para
todos os ciclos, uma vez que, segundo os professores, as turmas trabalhavam de
forma conjunta, de modo a verificar a validade de pressupostos teóricos e
experimentais discutidos no encontro anterior – a respeito da influência de
significados e de representações simbólicas na resolução de problemas de divisão
com resto.
Os problemas que surgiram foram:
1º) Numa penca de banana tinham 14 bananas. Aparecerem 6 macacos.
Quantas bananas cada um comeu? Sobrou alguma banana? (Partição).
2º) João tem 34 livros. Ele ganhou uma estante com 4 prateleiras. Quantos
livros ele irá colocar em cada prateleira? (Partição).
3º) Marcelo tem 26 fichas para organizar em caixas. Cada caixa cabe 4
fichas. De quantas caixas ele vai precisar? (Quotição).
4º) Rosa vai levar seus 35 alunos para uma excursão. Sabendo que em cada
carro cabem 6 pessoas, quantos carros serão necessários para levar todos os
alunos? (Quotição).
14
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
A pesquisa proposta e posteriormente aplicada serviria para investigar a prática dos
professores, visando sondar o conhecimento já existente em seus alunos e como
propor atividades que os auxiliassem no desenvolvimento da compreensão da
divisão com resto. O instrumento de pesquisa a ser elaborado deveria atentar para
as seguintes comparações: resolução oral x resolução escrita dos problemas e
problemas de partição x problemas de quotição.
Neste encontro objetivou-se envolver os professores em processos investigativos,
de modo que viessem a valorizar a pesquisa como elemento importante para a
melhoria da qualidade de ensino em sua sala de aula e para a sua formação
enquanto profissional da área de educação.
4º.
Encontro
No último encontro foram organizados os dados da pesquisa elaborada no encontro
anterior e aplicada pelos professores juntamente com as pesquisadoras em suas
salas de aula. Discutiram-se os resultados obtidos nas diferentes turmas, por meio
de resoluções orais ou por escrito, de problemas com o significado de partição ou
de quotição e dos diversos tratamentos dados ao resto.
Para finalizar o encontro, foi entregue um questionário com a finalidade de
identificar
possíveis
avanços
no
conhecimento
dos
professores,
quanto
ao
desenvolvimento de conceitos – em particular o de divisão com resto – e acerca das
repercussões deste trabalho na sua prática pedagógica cotidiana e para avaliar o
processo de formação vivenciado. Por fim, seguiu-se uma confraternização para
encerrar os encontros.
Através dos resultados obtidos durante o processo de formação deste estudo,
buscou-se pontuar questões que são consideradas relevantes no sentido de
responder qual a compreensão inicial que os professores possuíam sobre o conceito
de divisão na resolução de problemas, como os problemas inicialmente eram
propostos pelos professores, que considerações foram levantadas pelos professores
a respeito da mudança de sua prática, quais suas concepções iniciais em relação à
pesquisa em sala de aula e que tipo de aprendizagem conceitual foi alcançada pelos
professores.
15
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
QUAL
A
COMPREENSÃO
INICIAL
QUE
OS
PROFESSORES
POSSUÍAM SOBRE O CONCEITO DE DIVISÃO NA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS?
Com
base
no
questionário,
aplicado
para
verificar
o
que
os
professores
compreendiam inicialmente sobre divisão, e as comparações efetuadas dos dois
protocolos entregues no 1° encontro, verificamos que: os professores percebiam
alguns aspectos isolados do desenvolvimento da compreensão da divisão mas não
possuíam compreensão global dos diversos aspectos que podiam influenciar a
compreensão deste conceito.
Dois dos professores perceberam que as operações possuíam os mesmos
algoritmos (13:4), sendo que seus argumentos partiam da perspectiva das
resoluções. Um professor identificou que a resolução se deu por tentativa e outro
por possuir idéias de agrupamento.
Dos quatro professores participantes, dois conseguiram identificar as semelhanças
e diferenças no significado dos problemas de quotição e partição. Destes dois, um
identificou o resto e o outro atentou para a quantidade de elementos a ser divididos
nos dois problemas.
Um professor conseguiu diferenciar os problemas quanto aos significados da divisão
(partição e quotição), porém não conseguiu dar uma explicação formal para o
mesmo repetindo-os oralmente e explicando de sua forma: “A professora só diz que
deverá ser distribuído para quatro crianças igual e no segundo problemas explica
que cabe quatro cachorros-quentes em cada prato”.
No que se refere às formas de representação simbólica, nenhum professor
conseguiu identificar a diferenciação da resolução dos problemas que distribuíam-se
entre oral e escrito.
Em relação ao acerto ou não dos problemas, a justificativa dada pelos professores
transcorreu da seguinte forma: três professores consideraram que as crianças
acertaram por possuir noção da divisão distribuindo os elementos uniformemente,
salientando que estes não consideraram o resto da divisão, e apenas um percebeu
que o aluno não acertou por não subdividir o que sobrou.
16
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
Observamos, assim, que a maioria dos professores possuía algum tipo de
conhecimento
relacionado
à
divisão,
porém
um
pouco
desorganizado
e
contraditório, uma vez que ao responder aos questionamentos, ora diziam trabalhar
situações diferenciadas e ora diziam tratar, com seus alunos, apenas operações
simples e concretas.
Assim, conseguimos identificar que alguns professores, nos momentos iniciais, não
conseguiram
conceitualmente
diferenciar
os
problemas
apresentados
nos
protocolos. Eles se reportaram mais a idéias de agrupamento e de tentativas
realizadas pelas crianças.
COMO
OS
PROFESSORES
INICIALMENTE
PROPUNHAM
PROBLEMAS DE DIVISÃO?
Dos 12 problemas elaborados de 38:8 5 , dez foram de partição, um de outro tipo
(fração) e apenas um de quotição. Fica evidente que na elaboração dos problemas
nem todos os professores assumem que possuem dificuldades para ensinar
determinados conteúdos (“talvez eu não sabia explicar”) e pensem que é possível
ajudar
às
crianças
no
contexto
de
aula,
dedicando-lhes
maior
atenção.
Possivelmente, os professores apresentaram mais problemas de partição por serem
mais comuns ou por desconhecerem outro tipo de problema de divisão.
Dentre os problemas de partição sugeridos, um deles destacou-se por apresentar
uma necessidade de se tratar o resto. O que demonstra que esse professor
compreende o resto como parte da divisão. O problema era: “Joãozinho tinha 38
livros numa gaveta. Ele ganhou uma estante com 8 prateleiras. Quantos livros ele
poderá distribuir nas prateleiras de forma igual? Quantos continuarão na gaveta?”.
No decorrer das discussões nas quais buscou-se questionar a forma de como os
professores trabalhavam problemas de divisão em sala de aula, a fala de um dos
5
Dona Marta tem 38 bombons para distribuir com 8 sobrinhos. Quantos bombons cada um irá
receber?/Marcelo tem 38 fichas para organizar em caixas, cada caixa só cabem 8 fichas. De quantas
caixas ele vai precisar?/ Pedro tem 38 reais para gastar em 8 dias. Quanto ele gastará em média por
dia?/ Rosa vai levar seus 38 alunos para uma excursão. Ele conseguiu 8 vans. Quantos alunos viajarão
em cada um dos carros?/Joãozinho tinha 38 livros na gaveta. Ele ganhou uma estante com 8 prateleiras.
Quantos livros ele poderá distribuir nas prateleiras de forma igual? E quantos continuarão na
gaveta?/Num bingo havia um prêmio de 38 reais. 8 pessoas bateram neste prêmio. Quantos reais cada
um deverá receber?/Calcule o ⅛ de 38/Como distribuir igualmente 38 lápis em 8 caixas?/Uma
professora tinha 38 lápis para distribuir para 8 alunos. Como foi feita essa distribuição?/Na casa de
Poliana moram 8 pessoas. Dos 38 docinhos que Poliana ganhou, como ela dividiria para cada membro da
família?/No Natal Tom Zé resolveu distribuir 38 reais para 8 crianças. Como foi feita essa
distribuição?/Como posso dividir 38 lápis para 8 crianças?
17
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
docentes
explicita
o
trabalho
da
divisão
de
forma
fragmentada
e
predominantemente do significado de partição, quando diz:
“De inicio, quando a gente trabalha divisão eu creio que a gente trabalha a
partição. Até porque o principio da divisão está sendo trabalhado bastante
esse princípio, pra depois você trabalhar os outros princípios, outras
vertentes. A gente começa trabalhando quanto dá pra cada um, pra cada um,
pra depois trabalhar outras formas, outras vertentes”.(Antônio, 11/11/2004) 6
Esse mesmo professor, no decorrer das discussões, contradiz sua fala inicial quando
trata da divisão como sendo um processo complexo que condensa as quatro
operações fundamentais, devendo ser trabalhada de forma integrada desde a
Educação Infantil:
“Porque a divisão condensa quatro processos de abstração:
subtração, adição, multiplicação e divisão. Então, acredito que a
divisão deveria ser trabalhada assim, ou ela ser trabalhada desde o
início como tem essa ordem: adição, subtração, depois trabalha
multiplicação e divisão. Deveria vir sem nenhuma separação,
simultâneas, porque são idéias que têm que começar desde o
comecinho”. (Antônio, 11/11/2004).
Já outro professor, aponta a divisão como sendo uma operação de conceito difícil
para seus alunos, dizendo:
“Como eles apresentam muita dificuldade na multiplicação, e por conta disso
trabalham muito pela lógica, e até gostam de trazer pra o concreto, dando de
um pra um (...) até porque problema do tipo assim 11 pra dividir com 8,
você tem que dizer: Você tem 11 biscoitos pra dividir com 8 crianças, cada
criança vai ficar com quanto? Tem que trazer pra lógica”. (João,
11/11/2004).
Nesse sentido, um dos motivos que levam as crianças a terem este tipo de
dificuldades na compreensão e resolução de situações de divisão na sala de aula
está relacionado à ausência de um contexto significativo que a estimule
integralmente na construção dos conceitos matemáticos que norteiam a vida.
No momento destinado à elaboração de problemas de partição e quotição, os
professores
demonstraram
teoricamente
saber
identificar
as
dificuldades
encontradas pelas crianças ao resolverem estes problemas. No decorrer das
discussões, entretanto, pode-se perceber que na prática isto não está sendo
considerado.
Podemos observar isso na fala de um dos professores ao refletir sobre uma
situação problema elaborada por outra docente cujo enunciado dizia:
18
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
Rosa vai levar seus 38 alunos para uma excursão. Ela conseguiu 4 “vans”.
Quantos alunos viajarão em cada um dos carros?
Este professor dizia: “Que esteja com a realidade do aluno, e tal. Como é que
agora, eu coloco na cabeça do meu aluno que supostamente foi essa excursão em
que alguém vai ter que sobrar?” A partir desta indagação foi possível compreender
o quanto alguns conceitos matemáticos são ou foram desconsiderados ao longo da
trajetória profissional do professor por uma percepção única de ver o problema e
conseqüentemente sua resolução.
Num problema de partição apresentado acima seria útil discutir com os discentes as
variadas formas dos 38 alunos participarem da excursão possibilitando diferentes
resoluções
que
poderiam
conduzí-los
a
uma
reflexão
sobre
as
diferentes
propriedades da divisão e suas possibilidades de resolução.
É importante destacar que durante as discussões sobre os problemas e suas
possíveis resoluções que se deram neste estudo, nenhum dos professores sugeriu
outra forma diferente da representação escrita para os problemas de quotição e de
partição. Isto deve-se ao fato de que os docentes não vivenciam em suas práticas
formas diferentes de representação destes significados, nos quais valorizem a
resolução dos problemas através do cálculo mental, do material manipulativo e do
uso da calculadora.
QUAIS AS CONCEPÇÕES INICIAIS DOS PROFESSORES SOBRE A
PESQUISA EM SALA DE AULA?
Tendo como base o texto de Marangon (2003) sobre Lawrence Stenhouse, que
fundamentou as discussões que se deram e que foi distribuído para leitura,
conseguimos verificar que as concepções iniciais de pesquisa e de professor
pesquisador eram muito prematuras na postura dos professores. A pesquisa era
vista, pelos professores, como meramente uma obtenção de conhecimentos já
anteriormente produzidos, algo que é buscado fora do âmbito escolar na intenção
de suprir as defasagens escolares, ficando atreladas apenas a buscas bibliográficas.
Apesar disso, a prática da pesquisa como algo não sistemático em sala de aula faz
parte do dia-a-dia de muitos professores e isto é revelado na fala de um docente
quando diz que:
6
O nome dado a cada professor é fictício, na intenção de não ser possível a sua identificação.
19
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
“Acho que é tudo pra gente, não é somente quando tá fazendo um
trabalho mas que no dia-a-dia a gente tá pesquisando (...) Até quando
um aluno traz uma informação pra você, que você não sabe, vai ter
que pesquisar (...) Algo que o aluno vá buscar alguma coisa nova, ou
pelo menos se atualizar no que a gente tá em defasagem pra
acrescentar”. (João, 25/11/04).
Percebemos assim que a pesquisa, enquanto prática sistemática que ajude o
professor a compreender e avaliar qualitativamente como os seus alunos aprendem
e avançam no processo de aprendizagem, está distante do que teoricamente
Stenhouse propõe.
No que envolve a pesquisa, especificamente em sala de aula, os professores
elegeram a falta de tempo, disposição e planejamento como barreiras que impedem
o desenvolvimento de qualquer tipo de pesquisa, muito menos a que envolva
diretamente o professor no direcionamento desta.
O professor Antônio declara: “Eu não tenho tempo de pesquisar, eu mesma nem sei
o que é isso! A gente não tem tempo nem disposição para isso! A gente não tem
tempo de ir buscar”. O professor João complementa “o próprio professor não
consegue planejar sua própria aula”.
Baseada na investigação proposta na qual os professores desenvolveram um
processo de investigação em sua sala de aula, verificamos que todos os professores
avançaram em relação à elaboração dos problemas, uma vez que passaram a
valorizar problemas de partição e quotição e atentando para o resto. Também ficou
evidente a importância que os professores deram aos diferentes tipos de
representação
tanto
oral
quanto
escrito
pois
consideraram
este
aspecto
indispensável para uma possível identificação das dificuldades encontradas pelos
alunos.
O
QUE
OS
PROFESSORES
DESENVOLVIMENTO
DE
APRENDERAM
CONCEITOS,
SOBRE
SOBRE
O
PROCESSOS
INVESTIGATIVOS E SOBRE SUAS PRÁTICAS DE ENSINO?
Dos quatro professores participantes, três deles realizaram a pesquisa em sala de
aula. Dois consideraram a diferenciação dos problemas entre partição e quotição e
outro que a divisão não se dá de uma única forma ou método único dizendo que:
“devemos oportunizar todas as possibilidades de fazer divisão para que o aluno
escolha a que mais se identifica com ele” (Júlio 16/12/2004).
Dessa forma,
percebemos que embora os professores tenham reconhecido ser importante
20
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
trabalhar problemas diferenciados, não ficou claro para todos que não se pode
deixar a cargo do aluno decidir por si só o que mais lhe adeqüe. Cabe ao professor
articular o conhecimento sistemático ao cotidiano do aluno, fazendo a transposição
didática.
Quando buscamos indagar sobre a importância dos pressupostos teóricos sobre
divisão,
todos
os
professores
consideraram
importante
este
conhecimento,
revelando que a teoria está fundamentada na prática e vice-versa. Um dos
professores declarou que a teoria possibilitou uma melhor visualização do
desenvolvimento de seus alunos, registrando: “Foi bastante importante, pois pude
entender melhor o desenvolvimento dos meus alunos” (João 16/12/2004).
Percebe-se
assim
que
o
professor
precisa
compreender
a
pesquisa
do
desenvolvimento conceitual como ação voltada a interagir com o aluno, de forma a
produzir novos conhecimentos, de maneira que teoria e prática se relacionem de
forma dialética.
Com
base
nisso,
houve
um
avanço
no
que
os
professores
participantes
consideravam como pesquisa, uma vez que, anteriormente, viam a pesquisa como
apoio didático relacionado a uma atividade de busca do já produzido e não a uma
ação investigadora. Isso é confirmado em seus registros finais:
“É uma grande fonte enriquecedora de conhecimentos” (João, 16/12/2004);
“Penso como uma atividade necessária para enriquecimento do processo
pedagógico”(Júlio, 16/12/2004);
“Muito bom. Nos ajuda a analisar aspectos que passam despercebidos no dia a
dia” (Antônio,16/12/2004).
Em relação à pesquisa realizada pelos professores com suas turmas, eles
enfatizaram nas discussões, a grande dificuldade de execução da mesma, expondo
com insatisfação os resultados obtidos, pois perceberam que ainda existe muito
trabalho a ser feito com relação ao conceito matemático e mais específico o de
divisão.
A pesquisa foi realizada nas seguintes turmas: A, B e C. Na turma “A” (1° ano do
2° ciclo), da professora Júlio, participaram 19 alunos, na turma “B” (1° ano do 2°
21
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
ciclo), da professora Antônio, participaram 22 alunos e na turma “C” (2° ano do 2°
ciclo), do professor João, participaram 26 alunos.
Os alunos foram distribuídos igualmente em cada turma divididos em grupos
responsáveis pela resolução de problemas orais e escritos, todos com resto
diferente de zero, sendo dois de partição e dois de quotição.
Através desta pesquisa, o professor da turma A (Júlio) considerou que a atividade
foi positiva apesar dos alunos terem ficado em ritmos diferentes. Ele conseguiu
promover uma curiosidade através dos desafios propostos pelos problemas e
percebeu que os nove alunos ao responderem a questão de forma oral não
conseguiram responder de acordo com a forma solicitada. Ele declarou que “usaram
o papel como apoio para representar tanto por desenho quanto para registrar o
algoritmo”. Dos 10 alunos solicitados a responder por escrito ele percebeu que
quatro deles responderam os problemas representando por desenho, dois usaram
os dedos contando e dois usaram o algoritmo, porém de forma inadequada. Ele
percebeu que a grande maioria dos alunos responderam corretamente os
problemas.
O professor Antônio (Turma B) observou que, dos seus 11 alunos que responderam
oralmente, sete deles se apoiaram no uso do papel e lápis e registraram na,
maioria das vezes, desenhos tanto para problemas de partição quanto para os de
quotição e três responderam usando algoritmo de forma inadequada. Também
percebeu que alguns desses consideraram o resto nos problemas de quotição e que
apenas um conseguiu utilizar-se dessa forma de representação considerando o
resto. Na representação escrita foi observado, pelo professor, que dos 11 alunos,
quatro utilizaram desenhos para dar a resposta correta e quatro intercalaram
desenho e algoritmo mas não conseguiram responder corretamente. Os três alunos
que responderam usando o algoritmo não responderam adequadamente. Dos 11
alunos, “nenhum considerou o resto “, disse o professor.
O professor da turma C contou com 26 alunos para desenvolver o trabalho. Este
professor não conseguiu identificar com clareza os procedimentos utilizados pelos
seus alunos e revelou que a maioria dos alunos conseguiu chegar ao resultado
correto, porém não deu indícios em registro dessa afirmação. Ele continuou seu
relato dizendo que “alguns utilizaram a subtração para chegar ao resultado e que
os alunos conseguiram responder melhor as respostas orais”.
22
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
Considerando a maneira como a criança é solicitada a responder aos problemas de
divisão, os professores passaram a acreditar que isto pode afetar na compreensão
do
problema,
na
predisposição
da
criança
em
resolver
os
problemas
e
conseqüentemente no nível de dificuldade apresentada para a resolução do
problema com resto. Os professores também consideraram que em relação ao
problema, o tamanho dos números envolvidos nos algoritmos pode influenciar de
forma significativa nos casos das resoluções orais.
NO QUE OS PROFESSORES MUDARIAM A SUA PRÁTICA A PARTIR
DOS
CONHECIMENTOS
QUE
ESTAVAM
ADQUIRINDO
NO
PROCESSO DE FORMAÇÃO CONTINUADA?
Durante os encontros foi questionado aos professores, a partir das discussões
decorridas, o que mudaria em sua forma de ensinar divisão. Apesar de
percebermos no discurso que todos os professores demonstravam “conhecer”
procedimentos utilizados na resolução dos problemas, tanto de partição como
quotição, não conseguimos visualizar isso em sua prática e conseqüentemente na
solução dos problemas que foram solicitados de ambos os significados.
Não podemos negar o reconhecimento dos professores da aprendizagem da
nomenclatura (quotição/partição) e um certo avanço que houve diante da
identificação e diferenciação dos dois significados, porém não conseguimos
identificar que tipo de mudança se dispunham a fazer, como se tudo que estava
sendo trabalhado já estivesse sobre o domínio e controle deles. Podemos confirmar
isto em suas falas quando dizem:
“De alguma forma, tá na cabeça de todo mundo, não de uma forma tão
crítica como vocês explicaram, mas a gente sempre sabe e é a conversa de
sempre: ver a realidade do aluno” (Júlio, 18/11/2004)
“Trabalho esse tipo de problema mas não sabia que era de quotição. Peço
para que os alunos elaborem esse tipo de problema, que tantos objetos
cabem em determinado lugar mas não sabia que era de quotição”. (Antônio
18/11/2004).
“Pronto. A gente faz mas não sabia que ele era mesmo de quotição” (João
18/11/2004)
Sem o reconhecimento por parte dos professores da necessidade de mudanças,
provavelmente poucas alterações efetivamente ocorrerão em suas salas de aula.
23
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
COMENTÁRIOS FINAIS
Convém, neste momento, voltar o nosso olhar sobre os avanços alcançados pelos
professores, acerca do desenvolvimento conceitual dos seus alunos em casos de
problemas
de
divisão
com
resto,
num
processo
de
formação
continuada,
certificando que apesar do pouco tempo de acompanhamento houve mudança, uma
vez que evidenciamos na prática dos professores participantes, em momentos
posteriores,
a
ação
da
pesquisa
como
fonte
de
investigação
acerca
do
conhecimento matemático como também nas outras áreas do conhecimento.
Revalidou-se, assim, a necessidade de processos de formação contínua que os
conduzam
a
uma
autonomia
responsável
ao
interiorizarem
os
processos
investigativos como necessidade pedagógica.
Entretanto, é preciso que o professor esteja predisposto a mudanças. Mudanças
estas que se refletirão na sua postura em sala de aula, como também no
relacionamento dentro do ambiente escolar.
Podemos perceber que os professores do segundo ciclo demonstraram, no decorrer
do estudo, insatisfação e algumas vezes angústias por inúmeros motivos, tais
como: número alto de alunos em sala, a falta de tempo para planejarem suas
aulas, a falta de equipamentos de qualidade para o apoio pedagógico e a cobrança
de si mesmos por uma qualidade melhor de ensino. É importante salientar que
esses argumentos não justificam a não prática da pesquisa, pois para a ação
pesquisadora no ambiente de sala de aula é preciso que o professor se interesse
em diagnosticar os conhecimentos de seus alunos acerca do conteúdo matemático
tratado, tal comol este estudo levou aos professores esta possibilidade.
Os professores viram o processo de formação proposto como relevante, uma forma
de
compartilhar
o
conhecimento
matemático
de
maneira
sistemática,
compreendendo e diferenciando conceitos pertinentes à divisão.
Destacamos a necessidade de um trabalho que exija um tempo maior de dedicação,
visto que consideramos que a investigação é um procedimento que exige um
investimento de tempo, uma vez que o conhecimento não se dá de forma estanque
e sim dinâmico. Nesse sentido, refletir por mais tempo com os professores sobre
suas experiências pessoais de aprender e ensinar Matemática é imprescindível.
24
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
O professor deve estar atento para as diversas formas de representações
simbólicas do conhecimento matemático, pois elas não devem ser apresentadas aos
alunos de forma pronta e acabada nem de uma única forma. Nesse ponto, podemos
indicar
que
os
professores
participantes
progrediram
ao
considerar
as
representações orais e escritas, antes desapercebidas, como pertinentes.
Nesse sentido, convém que o professor esteja preparado a observar que um tipo de
erro feito pelos seus alunos poderá ter uma lógica que deve ser considerada. Cabe
a ele desmistificar, paulatinamente, a forma como o conhecimento matemático foi
concebido no passado, em específico a divisão, uma vez que esta deve se dar de
forma prazerosa e significativa.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BORBA, R., SELVA, A., SPINILLO, A. e SOUSA, N. Influência de representações e de
significados da divisão em problemas com resto. Anais do VIII ENEM – Encontro
Nacional de Educação Matemática, Recife: UFPE, 2004.(a)
BORBA, R., GUIMARÂES, G e LIMA, R. Professoras de ensino fundamental
realizando pesquisas em matemática na sala de aula. Anais do VIII ENEM –
Encontro Nacional de Educação Matemática, Recife: UFPE, 2004.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília: MEC/ SEF, 1998, 148
p.
CARRAHER, T; CARRAHER, D. e SCHLIEMANN, A. Na vida Dez na escola Zero. São
Paulo: Cortez, 1988 p. 11-22.
D’AMBRÓSIO, U. Educação matemática da teoria à prática. 4a. ed. Campinas:
Papirus, 1998.
DICKEL, A. Buscando referências para a discussão sobre a formação do professorpesquisador
–
contribuições
para
o
debate
[online]
http//www.educacaoonline.pro.br/buscando_referenciais.asp.
Disponível:
Acesso
em:
17/09/2004.
25
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
GUIMARÃES, G., BORBA, R. e GONÇALVES,C. Estratégias adotadas em um processo
de formação continuada para a formação do professor pesquisador. Anais do VIII
ENEM - Encontro Nacional de Educação Matemática, Recife: UFPE, 2004.
KOUBA, V. Children’s solution strategies for equivalent set multiplication and
division word problems. Journal for Research in Mathematics Education, 20, 2, p.
147-158, 1989.
LEAL, T. e GUIMARÃES, G. A formação continuada dos professores e o processo de
produção de texto na escola. Trabalho apresentado no ENEXT – UFPE, 2001.
LI, Y. & SILVER, E. Can younger students succeed where older students fail? An
examination of third graders’ solutions of a division-with-remainder (DWR)
problem. Journal of Mathematical Behavior, 19, p. 233-246, 2000.
LÜDKE, M. O professor e a pesquisa. 2ª edição, Campinas: Papirus, 2003.
MARANGON, C. O defensor da pesquisa no dia-a-dia. Revista Nova Escola, São
Paulo, Edição 165, Setembro de 2003.
NACARATO, A. Educação continuada sob a perspectiva da pesquisa- ação :
Currículo em ação de um grupo de professoras ao aprender ensinando geometria.
Anais do VII Encontro Nacional de Educação Matemática, 2000.
OLIVEIRA, A., LEÂO, G., TARANTINO, M. & PEREIRA, S. Formação de professores
pesquisadores: a experiência do Curso Normal Superior do Instituto Superior de
Educação do Rio de Janeiro na área de matemática. Anais do II Seminário
Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, Santos, 2003.
PONTE, J. Didácticas específicas e construção do conhecimento profissional. In
Investigar e formar em educação: Actas do IV congresso da SPCE (pp. 59-72).
Porto: Sociedade Portuguesa de Ciências da Educação. 1998.
SANTOS, V., TEIXEIRA, L. e MORCLATTI, M. Professores em formação: as
dificuldades de aprendizagem em matemática como objeto de reflexão. Anais do II
Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, Santos, 2003.
26
Como professores do 2º ciclo,, investigam o desenvolvimento conceitual de seus alunos:
o caso dos problemas de divisão com resto diferente de zero.
SELVA, A. Discutindo o uso de materiais concretos na resolução de problemas de
divisão.
Schliemann, A. & Carraher, D. (orgs.). A compreensão dos conceitos
aritméticos. Ensino e Pesquisa. São Paulo, Papirus Editora, p.95-119, 1998.
TANCREDI, R. et alii. A experiência de aprender matemática e a prática pedagógica
de professoras das séries iniciais. São Carlos, DME/UFSCar, 1998. /texto
apresentado no VI Encontro Nacional de Educação Matemática. São Leopoldo,
1992.
VERGNAUD, G. A classification of cognitive tasks and operations of thought involved
in addition and subtraction problems. In T. Carpenter, J. Moser & T. Romberg
(Eds.), Addition and subtraction: a cognitive perspective, p. 39-59, 141-161,
Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum, 1982.
VERGNAUD, G. Teoria dos Campos Conceituais. In: S E M I N Á R I O
INTERNACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA DO RIO DE JANEIRO, 1., 1993 Rio de
Janeiro: UFRJ Projeto Fundão – Instituto de Matemática, 1993. p.1-26.
ZUNINO, D. A matemática na escola – aqui e agora. Porto Alegre, Artes Médicas,
1995.
27