NEGOCIAÇÃO DE SIGNIFICADOS NA SALA DE AULA DE MATEMÁTICA
PRÁTICAS ENTRE PROFESSORAS E ALUNOS DO 1.º CICLO1
Resumo
A presente comunicação reporta-se à caracterização das práticas de negociação de
significados na sala de aula de matemática no 1.º ciclo do ensino básico. Os dados
empíricos constam dos casos referentes a uma investigação, ainda em curso, com três
professoras deste ciclo de ensino, sobre a evolução das conceções e práticas de
comunicação matemática, no decorrer de um trabalho de natureza colaborativa focado
na reflexão sobre as práticas comunicativas em sala de aula. Os dados revelam a
existência de múltiplas práticas culturais, grandemente silenciadas pela predominância
da cultura matemática escolar baseada em conceitos e procedimentos matemáticos,
alimentados pelo controlo e pelo poder do professor (com a anuência dos alunos) na
transmissão de informação e conhecimentos matemáticos.
Palavras-chave: Comunicação matemática, negociação de significados, práticas de
ensino.
Introdução
A negociação de significados na sala de aula de matemática parece resultar do confronto
de diversas práticas culturais (Meira, 1996), com especial relevo da cultura escolar
matemática (Pinto & Fiorentini, 1997), oscilando entre práticas de imposição de
significados e de genuína negociação de significados, dependentes do nível de controlo
e poder do professor em relação aos alunos (Bishop & Goffree, 1986), em consonância
com a natureza das práticas de ensino da matemática e da valorização dos
conhecimentos pessoais dos alunos.
O processo de literacia matemática pode resultar numa imposição cultural exterior de
conceitos, processos e normas ou incidir na negociação de significados matemáticos,
através da conjugação dos conhecimentos da ciência matemática com os conhecimentos
pessoais de cada indivíduo (Bishop & Goffree, 1986). O desenvolvimento da
compreensão de conceitos e representações matemáticas implica processos complexos
que requerem a partilha de múltiplos significados, assentes em regras culturais
específicas da matemática.
Este trabalho é financiado por fundos nacionais através da FCT – Fundação para a Ciência e
Tecnologia no âmbito do Projeto Práticas Profissionais dos Professores de Matemática (contrato
PTDC/CPE-CED/098931/2008).
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Nesta comunicação, tento caracterizar os processos envolvidos na negociação de
significados na sala de aula de matemática, entre o professor e os alunos, ilustrando-os
com testemunhos e episódios de sala de aula de três professoras, recolhidos no âmbito
de uma investigação sobre a evolução das conceções e práticas de comunicação
matemática, no decorrer de um trabalho de natureza colaborativa focado na reflexão
sobre as práticas comunicativas no 1.º ciclo do ensino básico.
A investigação referida enquadra-se numa metodologia qualitativa adotando o
paradigma interpretativo e tomando por design o estudo de caso (Stake, 1994), em que
participaram três professoras – Alexandra, Carolina e Laura –, num contexto de trabalho
de natureza colaborativa comigo, na qualidade de investigador, ao longo de dois anos,
consubstanciado na discussão de perspetivas sobre comunicação e, fundamentalmente,
na análise das suas práticas de comunicação matemática em sala de aula.
Na recolha de dados, foi utilizada a observação e participação na sala de aula (com
registos áudio e vídeo), com enfoque na comunicação, complementada com a
inquirição, através da realização de entrevistas e encontros individuais (com registos
áudio), e a colaboração em encontros de trabalho com as professoras participantes no
estudo (com registos áudio), consubstanciada na reflexão sobre as práticas.
A análise de dados tem por propósito interpretar a evolução das conceções e práticas das
professoras sobre a comunicação matemática, envolvendo diferentes fases até à
construção do texto interpretativo que corporiza o caso, através da redução dos dados
(Goetz & LeCompte, 1984) provenientes do trabalho de campo.
Negociação de significados matemáticos
A negociação de significados matemáticos direciona os objetivos de ensino na sala de
aula para a interação entre os alunos, o professor e o conhecimento matemático, na
busca de um entendimento comum. O significado do conhecimento matemático é
partilhado e assumido pelos intervenientes quando estes concordam com a validade dos
referentes, dos exemplos, das analogias e das conexões apresentadas pelos
interlocutores (Bishop & Goffree, 1986).
A construção do conhecimento na sala de aula baseia-se na negociação de significados,
num processo onde todos têm similares possibilidades de emitir ideias críticas sobre as
questões colocadas e de construir novos significados a partir de experiências individuais
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ou coletivas de interação com os objetos matemáticos ou com os outros indivíduos
(Bishop & Goffree, 1986).
Nesta perspetiva, conceitos e representações matemáticas emergem e são partilhados no
contexto de práticas culturais específicas da sala de aula, através de significados
intrinsecamente associados às circunstâncias e formas de interação social nas práticas de
ensino (Meira, 1996). A negociação reporta-nos assim para a produção de significados
de conceitos, processos e normas sociais e sociomatemáticas (Yackel & Cobb, 1996),
durante a atividade matemática escolar.
Conjugando as perspetivas teóricas sobre a negociação de significados de vários autores
(Bishop & Goffree, 1986; Carvalho, 2001; Frid & Malone, 1995; Meira, 1996; Pinto &
Fiorentini, 1997), proponho uma caracterização dos processos de negociação de
significados na sala de aula de matemática, segundo três vertentes: negociação de
conceitos matemáticos; negociação de processos matemáticos e negociação de normas
sociais e sociomatemáticas.
Negociação de conceitos matemáticos
A negociação dos conceitos matemáticos parece decorrer da participação dos indivíduos
em múltiplas práticas culturais (Meira, 1996), confrontando significados matemáticos
com significados sociais de um mesmo conceito ou de conceitos distintos mas
igualmente denominados. Esta ambiguidade parece ocorrer na distinção entre o
significado social e o significado matemático de uma mesma palavra, frase, expressão
ou símbolo.
A ocorrência de desacordo entre a professora e uma das suas alunas sobre o conceito de
par (de calças) foi relatada por Carolina, num dos encontros de natureza colaborativa. A
tarefa matemática em causa envolvia o produto cartesiano de duas variáveis:
Era um palhaço, tinha três blusas e três pares de calças. A moça faz
aquilo, foram dois ou três que fizeram isto, não mais. A moça foi logo a
primeira que mostrou e eu: «O quê? Dezoito maneiras? Má atão [Mas
então], onde é que tu foste buscar isto? Onde é que tu foste buscar isto?
Dezoito maneiras?».
[Encontro colaborativo _ Carolina]
Perante a interrogação de Carolina, a aluna negociou com a docente o seu significado de
par:
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«Então, professora, três pares de calças, a professora já disse que um par
são dois».
[Encontro colaborativo _ Carolina]
A confrontação entre o significado social de um par de calças e o significado
matemático de par, adotado pela aluna, parece ilustrar a ambiguidade entre conceitos
sociais e matemáticos com denominação comum. Paralelamente, parece existir também
confronto entre a expressão linguística de um conceito e a sua representação
matemática.
O conceito social de pisca-pisca, representado matematicamente por um instante sem
dimensão, parece ilustrar a negociação entre a expressão linguística e a representação
matemática. Num problema em que se pretendia determinar o momento em que duas
lâmpadas, que piscavam de três em três segundos e de cinco em cinco segundos,
respetivamente,
estavam
simultaneamente
acesas,
os
alunos
demonstraram
significativas dificuldades em representar matematicamente os instantes em que ambas
piscavam, revelando incompreensão sobre o conceito de pisca-pisca.
Para os alunos, uma lâmpada piscar de três em três segundos era sinónimo da lâmpada
acender durante três segundos e apagar durante três segundos:
Tiago:  Primeiro desenhámos sessenta traços, cada traço é um segundo.
Sessenta segundos são um minuto.
Professora:  Pronto.
Tiago (com referência à representação figurativa):  Deste lado é a porta
[associada à lâmpada] dos três segundos. E aqui é o dos cinco em cinco.
Primeiro, estes três segundos, acende a primeira luz. Estes aqui, cinco
segundos, acende. Estes, aqui até aqui, mais três, apaga. Destes cinco,
mais cinco, está apagada.
[Aula _ 4.º ano _ Alexandra]
O aluno continuou a explicação concluindo que estão as duas lâmpadas acesas aos
quinze segundos. Alexandra questiona os alunos do grupo:
Professora:  Vocês mostram que os primeiros três segundos, e pelo que
o colega explicou, a luz estava acesa. Ela está acesa três segundos? Ela
acende no três. Ela acende, passados mais três, ela acende. Não está
acesa, apagada, acesa, apagada.
[Aula _ 4.º ano _ Alexandra]
O conceito de piscar de três em três segundos (ou de cinco em cinco segundos) foi
suficientemente negociado, por parte da docente, após ter identificado esta
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incompreensão: “Acender de cinco em cinco não é equivalente a estar aceso cinco
segundos. Piscar de cinco em cinco não é estar aceso cinco segundos” [Aula _ 4.º ano _
Alexandra].
Estes episódios remetem-nos para o significado e representação de conceitos
matemáticos relativos às medidas em unidades de tempo. Carolina relata que os alunos,
nos problemas de viagens, confundem regularmente o horário de chegada com o tempo
de viagem: “Chegaram às dez e tal, era dez horas e tal de viagem” [Encontro
colaborativo _ Carolina].
As dificuldades de aprendizagem matemática de alguns procedimentos menos usuais,
como o cálculo em bases diferentes da decimal, podem estar diretamente relacionadas
com a incompreensão de conceitos matemáticos e a ausência de negociação dos
significados matemáticos destes mesmos conceitos.
Na negociação de conceitos podemos incluir também o significado da notação escolhida
na resolução de problemas ou na representação gráfica, como formas de representação
de conceitos. Num problema de cumprimentos com um beijo, Laura negoceia com os
alunos o sentido das setas que ligam o nome das meninas:
Professora: – Para contar os beijos têm que fazer o quê?
Alunos: – Contar as setas.
[Aula _ 2.º ano _ Laura]
A notação usualmente utilizada nos pictogramas também foi negociada por Laura, a
propósito da existência de meia bola:
Professora: – A Marta disse-me que há por aí bolinhas cortadas ao meio.
Querem dizer?
Alunos: – Que valem um.
Professora: – Um. Porquê?
Alunos: – Porque uma bola vale dois.
[Aula _ 3.º ano _ Laura]
A negociação de conceitos matemáticos parece estender-se, com os alunos do 1.º ano de
Alexandra, ao rigor com que estes executam o seu trabalho, particularmente no recorte
de figuras geométricas de modo a, dentro das possibilidades, estas manterem as
propriedades originais:
O Vladislav corta aquilo tudo direitinho, tão direitinho que até fica, na
figura geométrica, o risco preto. A maior parte de vocês estão a cortar
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tudo à toa e depois já não são nem quadrados, nem círculos, nem
retângulos, nem triângulos. São umas formas assim à toa. Ele não, está a
cortar direitinho pelo risco. Com muito cuidado.
[Aula _ 1.º ano - Alexandra]
A negociação de significados matemáticos de conceitos algébricos parece também
ocorrer em resultado da linguagem utilizada como sinónimo de raciocínios algébricos.
O conceito de incógnita como coisa e da representação icónica de um quadrado em
representação do quadrado da coisa é discutida em Pinto e Fiorentini (1997),
salientando os diferentes significados atribuídos pela professora e pelos alunos à
expressão algébrica o quadrado da coisa. Os autores destacam o papel da professora na
imposição do significado algébrico construído culturalmente por si própria enquanto
aluna, salientando o poder do sistema educacional na reprodução cultural.
O pensamento algébrico associado à busca de padrões e generalizações aritméticas é
igualmente negociado, por vezes sem sucesso, revelando a relevância da negociação de
significados no campo da álgebra. Alexandra tenta identificar padrões na construção de
números inteiros ou decimais com três algarismos distintos:
Professora:  Como é que trocaram os números? João Miguel, tu ias
dizer, se calhar não o que eles fizeram mas como tu fizeste, diz lá.
João Miguel:  Eu tentei todas as maneiras possíveis para conseguir os
números decimais de um algarismo. Fui juntando, fui juntando.
[Aula _ 4.º ano _ Alexandra]
O insucesso da negociação do processo de generalização foi partilhado pela docente nos
encontros de trabalho de natureza colaborativa – “Foi isso que eu quis puxar, mas eles
não iam lá. Ainda falei no padrão, ainda falei na estratégia, mas não foram lá”
[Encontro colaborativo _ Alexandra].
Por seu turno, Laura tenta negociar o significado do valor das unidades na definição de
números pares e ímpares: “Não conseguem encontrar, por exemplo nos pares,
parecença nenhuma ou semelhança nenhuma entre os números? Entre os ímpares
também parecenças entre eles?” [Aula _ 2.º ano _ Laura]. A insistência da professora –
“Ainda não se aperceberam aqui de nada, mesmo depois de sublinhar e depois de
dizermos?” [Aula _ 2.º ano _ Laura 2007] –, sem significativos progressos, originou um
acentuado desconforto da docente, relatando que, como os alunos “não viam nada”, em
resultado também “já não me [lhe] apetecia que eles vissem” [Encontro colaborativo _
Laura].
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A consciência do professor sobre a necessidade de negociar o significado dos conceitos
e ideias matemáticas pode facilitar a aprendizagem dos alunos, através de uma partilha
de significados matemáticos entre todos e da clarificação das representações
matemáticas de conceitos sociais.
Negociação de processos matemáticos
A negociação de processos matemáticos emerge de forma relacionada com as estruturas
de ação, comportamento e comunicação na sala de aula (Meira, 1996), implicando o
confronto entre processos matemáticos e sociais. Num estudo, referido por Meira
(1996), os alunos adotaram processos matemáticos em contextos sociais, nomeadamente
na utilização de uma lista de preços de serviços de correio, assumindo uma forte
influência pela utilização de procedimentos matemáticos nas aulas de matemática,
tornando as ações dos indivíduos subordinadas aos contextos.
A utilização de processos sociais em confronto com processos matemáticos ocorreu
durante uma das aulas de Carolina, em torno da leitura da informação acerca dos
horários de comboios. Durante a resolução coletiva de uma tarefa matemática baseada
num folheto de horários de comboios, reproduzido no manual, um dos alunos alertou a
turma para a incorreção das interpretações sem atender às observações existentes no
folheto:
Fábio: – Não, professora vocês não repararam nas observações.
Professora: – Vamos ouvir o Fábio. Diz.
Fábio: – Vocês não repararam nas observações.
[Aula _ 3.º ano _ Carolina]
Este acontecimento redirecionou a resolução da tarefa, originando uma valorização da
interpretação social dos horários para além da estruturação matemática dos dados
existentes. O contexto escolar específico é referido por Carvalho (2001), ao indicar a
existência de duas esferas diferentes: situações não escolares e escolares, em que, nestas
últimas, as operações não necessitam de sentido para serem realizadas.
Os processos matemáticos relacionados com o cálculo algorítmico surgiram de forma
significativa nas aulas do 4.º ano de Alexandra, especialmente em torno da
multiplicação e da divisão com números decimais. A obrigatoriedade ou não do
alinhamento dos números decimais pela casa das unidades, na operação da
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multiplicação, foi um dos processos renegociados entre a professora e os alunos, em
resultado do questionamento de um aluno:
Aluno:  A vírgula não está debaixo da vírgula.
Professora:  Vírgula debaixo de vírgula. É necessário colocar vírgula
debaixo de vírgula?
Aluno:  Não, às vezes não é preciso.
Professora:  Quando é que temos de pôr…?
Alunos:  Nas contas de mais. Nas contas de menos.
Professora:  Adições e subtrações é que se tem de ter o cuidado de pôr
vírgula debaixo de vírgula. Na multiplicação, não. E porquê?
Aluna:  Porque acrescenta-se no fim.
[Aula _ 4.º ano _ Alexandra]
Este tipo de negociação de processos matemáticos foi recorrente, especialmente em
relação às regras algorítmicas da multiplicação e divisão com números decimais. Num
outro episódio, com estes mesmos alunos, geraram-se ambiguidades a propósito da
comutatividade do cálculo algorítmico da multiplicação (com o registo tradicional da
conta em pé).
Diogo questiona-se pelo facto da multiplicação, apresentada por colegas, não apresentar
as parcelas parciais do algoritmo da multiplicação (As alunas efetuaram a multiplicação
de setenta e cinco centésimas por nove e o Diogo efetuou o produto de nove por setenta
e cinco centésimas):
Diogo:  Na nossa conta, os resultados ali da conta… Tipo o setenta e
cinco e o nove estão ao contrário.
Professora:  E isso faz o resultado ser diferente?
Diogo:  Não. Sim, mas também faz…
Professora:  Faz ser diferente?
Diogo:  Não, mas falta uma coisa. É que elas, na conta de multiplicar,
ainda têm de somar.
[Aula _ 4.º ano _ Alexandra]
A ambiguidade da representação algorítmica parece ilustrar a negociação das operações
aritméticas em torno dos procedimentos de cálculos, assumindo, o aluno, a inexistência
das parcelas intermédias como um erro de cálculo. Esta atitude parece revelar uma
assimilação do procedimento matemático através da sua representação visual.
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Alguns conceitos matemáticos transformam-se em processos matemáticos, baseados no
cálculo, caracterizados por procedimentos. Numa das aulas de Laura, uma aluna
questiona a professora sobre o que é o dobro, originando uma negociação de
significados em torno do processo de determinação do dobro:
Professora:  O que é o dobro? Não tens aí um grupo para o saber? Não
levaram já para casa para calcular o dobro? Como é que tu calculaste o
dobro? Como é que se calcula o dobro de qualquer coisa?
Pinto:  Eu sei, posso dizer?
Outro aluno:  Multiplicar por dois.
Professora:  Então, mas ela... Nós não escrevemos? Nós não fizemos?
Nós não desenhámos?
[Aula _ 2.º ano _ Laura].
A utilização da calculadora na negociação de significados de processos matemáticos
como a multiplicação de números decimais por dez, com o intuito de negociar a
movimentação da vírgula, é referida por Frid e Malone (1995) como um processo
negociado, subvalorizado pelos alunos de anos escolares iniciais, em detrimento do
poder do professor na definição do procedimento matemático. Esta negociação foi
partilhada por Alexandra ao referir que utilizou a máquina de calcular para “eles se
aperceberem”, antes “de começar com a multiplicação por dez, cem e mil” [Encontro _
Alexandra], das regras decorrentes destas multiplicações.
A negociação de processos matemáticos parece incidir nos processos e procedimentos
algorítmicos das operações aritméticas. As dificuldades manifestadas pelos alunos na
realização das operações, nomeadamente na divisão, podem resultar de uma prática de
ensino baseada na imposição de procedimentos sem negociação de processos
matemáticos.
Negociação de normas sociais e sociomatemáticas
O estudo da negociação de significados na sala de aula de matemática também envolve
a análise das rotinas diárias e das ações resultantes das interações sociais (Meira, 1996).
A definição do papel do professor e dos alunos nas interações, originando normas
sociais e sociomatemáticas, mesmo que implícitas, acerca da oportunidade, da
adequação e do valor das intervenções dos alunos e do professor, parece influenciar as
representações acerca da matemática e da atividade matemática escolar.
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Neste contexto, as ambiguidades, gradualmente resolvidas através de processo de
negociação, inerentes ao ensino-aprendizagem da matemática, não se referem à natureza
dos conceitos matemáticos, mas ao (re)estabelecimento das normas sociais e
sociomatemáticas (Meira, 1996). A negociação de normas sociais e sociomatemáticas é
debatida por Carvalho (2001), em torno das questões do género, ao analisar que as
interações das alunas a propósito das tarefas escolares são diminutas em comparação
com os alunos estudados.
A predominância das negociações de significados parece decorrer da regulação de
comportamentos sociais e das atitudes dos alunos, particularmente em relação à
organização do trabalho a pares ou em grupo e da participação dos alunos nas atividades
de sala de aula. A negociação do trabalho em grupo parece apresentar uma dimensão
social da aprendizagem e da entreajuda entre os alunos:
Professora:  Ora bem, vocês estão sentadinhos em grupo, que é para
utilizarem as ideias de todos. Não é para entrarem em conflito, não é para
discutirem, não é para uns quererem mandar nos outros. É para
explicarem uns aos outros os raciocínios que vocês querem seguir.
[Aula _ 3.º ano _ Alexandra]
A negociação de significados relativos às normas sociais apresenta igualmente uma
dimensão de imposição escudada no controlo e poder do professor. Alexandra
partilhou, com o grupo de trabalho de natureza colaborativa, que impôs uma ida ao
quadro como forma de obrigar um aluno, que não queria registar todas as combinações
possíveis de números com três algarismos, a registá-las no quadro e no caderno:
E qual foi a solução que eu dei ao caso? Ai não tens que passar?! Vais
fazer a outra, passas duas vezes. Mas não lhe disse. Disse: «Então o
António agora vai ao quadro». Fez no quadro e depois teve de fazer no
lugar. Fez duas vezes.
[Encontro colaborativo _ Alexandra]
A negociação de comportamentos apresenta assim uma vertente disciplinadora e
reguladora do trabalho dos alunos, a par das regras da participação individual de cada
um dos alunos no trabalho em grupo. Esta vertente da negociação de significados parece
também integrar uma dimensão sociomatemática, nomeadamente em relação às atitudes
dos alunos perante os conteúdos disciplinares da matemática:
Professora:  A conta estava certa, mas não tem valor nenhum. Porque
não sabem porque é que a fizeram, como a fizeram, por que razão. É à
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toa. O que eu quero aqui é que vocês percebam aquilo que estão a fazer.
Quando não percebem, agradeço que perguntem, que digam.
[Aula _ 4.º ano _ Alexandra]
A negociação de significados matemáticos parece incidir nas normas sociais e
sociomatemáticas numa dimensão de negociação formativa e disciplinadora, regulando
a aprendizagem matemática e o comportamento escolar dos alunos.
Alguns comentários finais
O significativo enfoque nos significados e processos matemáticos na cultura de sala de
aula parece originar uma persuasão destes significados e processos na resolução das
tarefas, mesmo quando estas apresentam um expressivo contexto social, como no caso
do par de calças, dos horários de comboios ou do conceito de dobro.
Contudo, a representação de ideias matemáticas, como a localização de acontecimentos
sem dimensão, a identificação de padrões ou o cálculo em bases não decimais, não
surge entre os alunos, parecendo significar um conhecimento matemático baseado em
procedimentos sem compreensão, assentes numa estrutura visual, como no caso dos
cálculos algorítmicos.
A subordinação aos contextos e procedimentos matemáticos (Frid & Malone, 1995;
Meira, 1996) parece originar uma valorização, por parte dos alunos (e do professor), do
papel do professor na transmissão e validação dos conhecimentos matemáticos,
ampliando a desvalorização dos conhecimentos específicos, pessoais e culturais, dos
alunos (dos outros).
Neste sentido, a negociação de normas sociais e sociomatemáticas parece normalizar a
partilha de conhecimentos e regular os comportamentos dos alunos, fomentando uma
cultura de sala de aula pautada pela similaridade das atitudes e dos comportamentos.
Referências bibliográficas
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