CPV - o cursinho
que mais aprova na GV
FGV — 1a Fase — maio/2003
MATEMÁTICA
01. A seqüência definida abaixo por recorrência:
A afirmativa correta é a D.
As demais afirmações são incorretas, pois:
a1 = 1

para n ≥ 3
a 2 = 1
a = a
n −1 + a n − 2
 n
é chamada seqüência de Fibonacci. A média aritmética dos
5 primeiros termos desta seqüência vale:
a)
b)
c)
d)
e)
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
03. O custo diário de produção de um artigo é
C = 50 + 2x + 0,1 x2, onde x é a quantidade diária produzida.
Cada unidade do produto é vendida por R$ 6,50.
Entre que valores deve variar x para não haver prejuízo?
Resolução:
a1 = 1
2
↓
a2 = 1
1
↓
a4 = a3 + a2 = 3
a3 = a2 + a1 = 2
3
↓
2
↓
a5 = a4 + a3 = 5
1 + 1 + 2 + 3 + 5 12
M=
=
= 2,4
5
5
a)
b)
c)
d)
e)
19
20
21
22
23
≤
≤
≤
≤
≤
x
x
x
x
x
≤
≤
≤
≤
≤
24
25
26
27
28
Resolução:
L = RT – C ≥ O
Alternativa D
02. Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem 3 e O a matriz
nula também de ordem 3. Assinale a alternativa correta:
a)
b)
c)
d)
e)
a) Se A . B = O, não necessariamente A = O ou B = O
b) det(2 . A) = 23 det(A)
c) Se A . B = A . C, não necessariamente B = C.
Por exemplo, se A = O, B e C não precisam ser iguais.
e) det(A + B) = det(A) + det(B) é falso, pois o determinante
da soma de duas matrizes não é a soma de seus
determinantes.
Alternativa D
Se A . B = O então A = O ou B = O
det(2 . A) = 2det(A)
Se A . B = A . C então B = C
A . (B . C) = (A . B) . C
det(A + B) = det(A) + det(B)
L = 6,5x – 50 – 2x – 0,1 x2 = – 0,1 x2 + 4,5x – 50 ≥ 0
–x2 + 45x – 500 ≥ 0
Resolvendo a inequação, obtemos
x1 = 20
x2 = 25
–
+
20
–
25
Resolução:
A propriedade associativa é válida para multiplicação de
matrizes. Logo, A . (B . C) = (A . B) . C
FGV031FMAI
Alternativa B
1
2
CPV - o cursinho que mais aprova na GV
FGV – 25/05/2003
04. No plano cartesiano, existem dois valores de m de
modo que a distância do ponto P(m, 1) à reta de equação
3x + 4y + 4 = 0 seja 6; a soma destes valores é:
a) −
16
3
b) −
17
3
c) −
18
3
d) −
e) −
Resolução:
B
60º
15
A
C
sen 60º =
19
3
AC =
20
3
AB + AC =
pela expressão d P,r =
| ax + by + c |
| 3x + 4y + 4 |
2
3 +4
2
2
a +b
, obtemos:
2
⇒ 6=
5
⇒
3m + 8 = 30
ou
3m + 8 = –30
22
38
m= −
3
3
Portanto, a soma dos valores de m resulta em:
22  38 
16
16
S = 3 + − 3  = − 3 ⇒ S = −
3


Alternativa A
5
7
c) 0,6
b)
7
15
e) 0,7
d)
Resolução:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
e P (A ∩ B) = P (A) . P (B)
Portanto 0,8 = 0,3 + P (B) – 0,3 . P (B) ⇒
P (B) =
A B̂ C mede 60º. A soma das medidas dos catetos vale:
b)
15
4
3)
c) 15 (1 + 3 )
d)
15
2
e)
15 (1 +
2
FGV031FMAI
3)
3)
Alternativa E
05. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 15 e o ângulo
15 (1 +
4
15
(1 +
2
15
2
a) 0,5
|3 . m + 4 .1+ 4|
m=
a)
AB =
1 AB
=
2
15
06. Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B
são tais que P (A ∪ B) = 0,8 e P (A) = 0,3.
Podemos concluir que o valor de P(B) é:
⇒ 30 = | 3 . m + 8 |
Sendo assim:
cos 60º =
15 3
2
Resolução:
Dados: P (m, 1); r: 3x + 4y + 4 = 0; dP,r = 6
Sabendo que a distância de um ponto P à reta r é calculada
d P,r =
3 AC
=
2
15
0,5 5
=
0, 7 7
Alternativa B
07. Uma fábrica de bolsas tem um custo fixo mensal de
R$ 5.000,00. Cada bolsa fabricada custa R$ 25,00 e é vendida
por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal de
R$ 4.000,00 ela deverá fabricar e vender mensalmente x
bolsas. O valor de x é:
a)
b)
c)
d)
e)
300
350
400
450
500
CPV - o cursinho que mais aprova na GV
Resolução:
Temos que L = RT – CT
RT = 45 x e CT = 25 x + 5000
Portanto, para que o lucro mensal seja de R$ 4.000,00
devemos ter:
4000 = 45x – (25 x + 5000) ∴ x =
9000
⇒
20
⇒ x = 450 unidades
Alternativa D
FGV – 25/05/2003
3
Resolução:
Sejam C1 e L1 o preço de compra e o lucro do primeiro terreno
e C2 e L2 o preço de compra e o lucro do segundo terreno.
C1 + C2 = 45000
L1 = 0,2 C1
(1)
L2 = – 0,1 C2
(2)
L1 + L2 = 3000 (3)
Substituindo (1) e (2) em (3) temos: 0,2 C1 – 0,1 C2 = 3000,
 C1 + C2 = 45000
⇒ C1 = 25000 e C2 = 20000

0,2
C
–
0,1
C
=
3000
1
2

08. A equação log (x + 2) + log (x – 2) = 1 tem:
Portanto C1 – C2 = 5000
a)
b)
c)
d)
e)
duas raízes opostas.
uma única raiz irracional.
uma única raiz menor que 3.
uma única raiz maior que 7.
conjunto solução vazio.
Resolução:
Temos que log (x + 2) + log (x – 2) = 1 e CE { x > 2
Portanto, log [(x + 2) (x – 2)] = 1 ⇒
⇒ x2 – 4 = 10 ⇒ x2 = 14 ⇒ x = ± 14
Como x > 2 ⇒ x = 14 .
Portanto, há uma única raiz irracional.
Alternativa B
09. De quantas formas podemos permutar as letras da palavra
ELOGIAR de modo que as letras A e R fiquem juntas em
qualquer ordem ?
a) 360
b) 720
c) 1080
d) 1440
e) 1800
Resolução:
Como as letras A e R devem estar juntas e em qualquer
ordem, devemos ter P6 . P2 = 720 . 2 = 1440 modos
Alternativa D
10. Augusto comprou dois terrenos pagando um total de
R$ 45.000,00. O primeiro foi vendido com um lucro igual a
20% do preço de custo; já o segundo foi vendido com um
prejuízo de 10% do preço de custo.
Todavia, no total, Augusto acabou ainda lucrando
R$ 3.000,00 em relação ao que pagou. A diferença (em valor
absoluto) entre os preços pagos na compra foi de:
a) R$ 3.500,00
b) R$ 4.000,00
c) R$ 4.500,00
d) R$ 5.000,00
e) R$ 5.500,00
FGV031FMAI
Alternativa D
11. A equação polinomial (x – 1) (x2 + 1) + (x + 1) (x2 – 1) = 0
apresenta:
a) 3 raízes inteiras.
b) uma raiz igual a – 1.
c) duas raízes complexas conjugadas.
d) duas raízes irracionais.
e) 3 raízes irracionais.
Resolução:
Fatorando o polinômio do primeiro membro, obtemos:
(x – 1) (x2 + 1) + (x + 1) (x2 – 1) =
= (x – 1) (x2 + 1) + (x + 1) (x + 1) (x – 1) =
= (x – 1) [ x2 + 1 + (x + 1)2 ] =
= (x – 1) (2x2 + 2x + 2)
Assim, uma raiz é igual a 1 (real) e
as duas outras são as raízes da equação 2x2 + 2x + 2 = 0.
Como ∆ < 0 e os coeficientes são reais, as duas raízes são
complexas conjugadas.
Alternativa C
12. No plano cartesiano, os pontos A(–1, 4) e B(3, 6) são
simétricos em relação à reta (r). O coeficiente angular da
reta (r) vale:
a) –1
b) –2
c) –3
d) –4
e) –5
Resolução:
Se A e B são pontos simétricos em relação à reta r, então
a reta r é a mediatriz do segmento AB e, assim, ela é
perpendicular à reta AB.
r
Temos:
mAB =
∆y
6–4
1
=
=
∆x 3 – (–1) 2
A
Então, mr = −
B
1
= –2
m AB
Alternativa B
4
CPV - o cursinho que mais aprova na GV
FGV – 25/05/2003
13. Um conjunto de dados numéricos tem variância igual a
zero. Podemos concluir que:
a) a média também vale zero.
b) a mediana também vale zero.
c) a moda também vale zero.
d) o desvio padrão também vale zero.
e) todos os valores desse conjunto são iguais a zero.
Resolução:
Em todo conjunto de desvio padrão σ e variância V, tem-se:
σ = V . Assim, se V = 0, então também σ = 0.
Alternativa D
14. No intervalo [0, 2π], a equação trigonométrica
sen 2x = sen x tem raízes cuja soma vale:
a) π
b) 2 π
c) 3 π
d) 4 π
e) 5 π
Resolução:
Na compra a prazo, a quantia de R$ 900,00 é paga após dois
meses, pelo valor de R$ 1089,00.
Se i é a taxa mensal de juros, então:
1089 = 900 . (1 + i)2, de onde obtemos (1 + i)2 =
Assim, 1 + i =
Resolução:
121
100
11
1
e i =
= 0,10 = 10%
10
10
Alternativa A
COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA
Temos: x ∈ [0, 2π] e
Mantendo um estilo de prova que já é tradicional, a FGV propôs
questões bastante objetivas, compatíveis com o programa e
direcionadas aos interesses dos cursos que o candidato vai
freqüentar na Faculdade.
sen 2x = sen x ⇒ 2 sen x cos x = sen x ⇒
⇒ sen x . (2 cos x – 1) = 0.
Há duas hipóteses: 1a) sen x = 0
2a) cos x =
Então, as raízes são 0,
Nota-se que os assuntos são pedidos com uma profundidade
moderada, não exigindo grandes virtuosismos dos estudantes
que realmente se prepararam para esse vestibular, o que é
conveniente, tratando-se de uma triagem da 1a fase.
1
2
π
5π
, π,
e 2π e sua soma vale:
3
3
DISTRIBUIÇÃO
π
5π
0+
+π+
+ 2π = 5π
3
3
Equações
Algébricas
6,66%
Logaritmos
Trigonometria
6,66%
6,66%
y
ð
3
π
Médias e
Estatística
13,33%
Matrizes
6,66%
Funções
13,33%
0
2π
1
x
Porcentagem
e Juros
Análise
13,33%
Combinatória e
Probabilidades
13,33%
2
5ð
3
Alternativa E
FGV031FMAI
15. Uma máquina de lavar roupa é vendida à vista por
R$ 1.200,00, ou então a prazo com R$ 300,00 de entrada
mais uma parcela de R$ 1.089,00 dois meses após a compra.
A taxa mensal de juros compostos de financiamento é:
a) 10%
b) 11%
c) 12%
d) 13%
e) 14%
Geo. Plana
6,66%
Geo. Analítica
13,33%