Cálculo: Problema Resolvido
.Problema da Lata-1.
Prof. Lúcio Fassarella
> Problema da Lata cilíndrica com seção reta quadrada.
Você é o engenheiro de uma empresa que fabrica latas. Deve ser iniciada uma nova linha de
produção de latas na forma de cilindro circular reto com altura igual ao diâmetro. Sabendo que
as latas devem conter o volume de 1 litro com tolerância de 1% em torno desse valor, determine
a margem de erro admissível na medida das dimensões da lata, altura e diâmetro.
1
Resolução Analítica
A questão do problema é: determinar qual é a variação admissível no valor da altura e do diâmetro da
lata para a qual a variação do volume não excede 1% do valor prescrito (que é de 1 l). Noutras palavras,
queremos saber até quanto o valor x da altura e do diâmetro pode diferir do valor exato x0 sem que o volume
da correspondente lata di…ra do volume prescrito de 1 l em mais de 0:01 l (1% de 1 l).
Se chamamos de x a medida da altura e do diâmetro, o volume da lata em função de x é dado por:
V (x) =
1 3
x
4
Assim, a medida x0 da altura e diâmetro da lata com volume exatamente igual a 1000 cm3 (1 l) é dado
por
p
x0 = 3 4000=
10:839 cm
Para que o volume da lata com altura e diâmetro medindo x não di…ra do volume prescrito V0 = 1000 cm3
(1 l), a medida x deve satisfazer a seguinte condição:
1 3
x
4
1000 < 10
(1)
Resolvendo essa inequação, temos:
1 3
x
4
1000 < 10
() 990 <
1
4
x3 < 1010
() 990 4 < x3 < 1010 4
()
p
p
3
3960= < x < 3 4040=
Portanto, a margem de erro admissível na medida da
o volume da correspondente lata difere do volume prescrito
8
<p
p
3
= min 3 4000=
3960= ;
:|
{z
}
0:0360
Explicitamente:
0:0360 cm
1
altura e diâmetro x em torno de x0 para a qual
em menos de 1% desse valor é dada por:
9
=
p
p
3
3
4040=
4000=
|
{z
};
(Resposta)
0:0362
(2)
2
Resolução Grá…ca
A questão do problema é: determinar qual é a
variação admissível no valor da altura e do diâmetro
da lata para a qual a variação do volume não excede
1% do valor prescrito (que é de 1 l). Noutras palavras,
queremos saber até quanto o valor x da altura e do
diâmetro pode diferir do valor exato x0 sem que o
volume da correspondente lata di…ra do volume prescrito de 1 l em mais de 0:01 l (1% de 1 l).
y 1100
1050
1000
950
900
10
Se chamamos de x a medida da altura e do
diâmetro, o volume da lata em função de x é dado
por:
V (x) =
10.25
10.5
10.75
11
x
y 1020
1 3
x
4
1010
Assim, a medida x0 da altura e diâmetro da lata
com volume exatamente igual a 1000 dm3 (1 l) é dado
por
p
x0 = 3 4000=
10:839 cm
1000
990
980
10.8
10.82
10.85
10.88
10.9
x
Para resolver o problema gra…camente, vamos
fazer plotagens com sucessivas reduções da janela de
visualização em torno do ponto (x0 ; V0 ), os valores
exatos da medida do raio e do volume da lata prescrito.
Em todos os grá…cos, temos:
- a curva em azul é o grá…co da função y = V (x);
- a reta vertical em verde é a reta que tem abscissa
x0 = 10:838 cm;
- as retas horizontais em vermelho determinam
os valores máximo 1010 cm e mínimo 990 cm admissíveis para a variação do volume da lata.
y 1020
1010
1000
990
980
10.8
10.82
10.85
10.88
10.9
x
y
1010
Grá…cos
(observação: os grá…cos não estão em escala 1:1)
1005
y
1000
1000
995
750
990
500
1 0 .8
1 0 .8 1
1 0 .8 3
1 0 .8 4
1 0 .8 5
1 0 .8 6
x
250
Dessa última plotagem, concluimos que a margem
de erro procurada em torno de x0 = 10:839 cm é
aproximadamente
0:03 cm.
0
0
2.5
5
7.5
10
x
2
3
Resolução Analítica Detalhada
(Aqui se estabelece diretamente a relação entre o Problema da Lata e a de…nição de limite)
Interpretação
A questão do problema é: determinar qual é a variação admissível no valor da altura e do diâmetro da
lata para a qual a variação do volume não excede 1% do valor prescrito (que é de 1 l). Noutras palavras,
queremos saber até quanto o valor x da altura e do diâmetro pode diferir do valor exato x0 sem que o volume
da correspondente lata di…ra do volume prescrito de 1 l em mais de 0:01 l (1% de 1 l).
Extratégia
Para resolver o problema, vamos executar as seguintes etapas:
i) Determinar a medida exata x0 da altura e do diâmetro da lata com volume V0 = 1 l;
ii) Determinar a variação admissível do valor x da altura e do diâmetro da lata torno de x0 que nos
garante que a variação do volume V (x) em torno do V0 não excede " = 0:01 litro (1% de 1 l) –matematicamente, deve satisfazer a condição:
x 2 R; jx
x0 j <
) jV (x)
V0 j < "
(3)
Execução
Aqui, é conveniente utilizar como unidade de medida de comprimento o centímetro ( cm), mas no desenvolvimento vamos omitir a unidade de medida de comprimento para simpli…car a escrita. A relação entre
litro e centímetro cúbico é dada por:
1 l = 1000 cm3
O volume de um cilindro circular reto de altura h e raio r é dado pela seguinte expressão:
V (h; r) = hr2
No caso do cilindro com altura e diâmetros iguais a x, essa expressão assume a forma
V (x) =
1 3
x
4
Assim, o valor exato x0 da altura e do diâmetro da lata com volume de 1 l satisfaz
1 3
x = 1000
4 0
donde
x0 =
p
3
4000=
10:839
Como a medida do volume não deve diferir de 1 l em mais de 1% desse valor, concluimos que o valor x
da altura e diâmetro da lata deve satisfazer a seguinte desigualdade:
1 3
x
4
1000 < 10
(4)
Retornando a condição (3) com x0 indicado e " = 10, resolver o problema se resume a seguinte tarefa:
Determinar
> 0 tal que seja válida a seguinte implicação:
jx
x0 j <
)
3
1 3
x
4
1000 < 10
Para determinar , começamos resolvendo a inequação (4):
1 3
x
4
1000 < 10
() 990 < 14 x3 < 1010
4
< x3 < 1010p4
() 990
p
3
()
3960= < x < 3 4040=
p
Agora, deve ser o menor valor dentre as distâncias do valor exato x0 = 3 4000= e os extremos valores
admissíveis de x:
p
p
p
p
3
3
3
4040=
4000=
0:0360 ; 3 4000=
3960=
0:0362
Donde:
= 0:036 cm
(Resposta!)
(5)
Essa margem de erro signi…ca que: se a medida da altura e diâmetro da lata diferem do valor ideal por
menos do que 0:036 dm, então o volume da correspondente lata difere do volume prescrito de 1 l em menos
de 1% deste.
Veri…cação
Podemos veri…car a correção da resposta (5) analisando o grá…co da função V (x) ou fazendo alguns testes
numéricos (com uma calculadora eletrônica).
Optando por testes numéricos, faremos:
i) escolher alguns valores de x que distam de x0 em menos de 0:036 cm;
ii) calcular a distância entre V (x) e V0 ;
iii) observar se, de fato, a distância entre V (x) e V0 não excede 10 cm (1% de 1 l).
Tabela
2
x0
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
= 10:839 cm
= 0:036 cm
V0 = 1000 cm3
" = 10 cm3
x
[ cm]
jx x0 j
[ cm]
V (x) = 41 x3
cm3
jV (x) 1000j
cm3
10:810
10:820
10:839
10:850
10:860
0:029
0:019
0:00
0:011
0:021
992:13
994:88
1000:1
1003:2
1006:0
7:874
5:118
0:1
3:181
5:957
| {z }
| {z }
<"=10
< =0:036
4
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5