Matemática 4
1
1
=
5a + 1
16
5a + 1 = 16
5a = 15
a=3
Módulo 4
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
PARA SALA
F 1 I
GH ax + b JK
F 1 I
ƒ(1) = Aog G
H 3 .1+ 1JK
1. 1) Da função ƒ(x) = log 1 x , temos o gráfico:
III) ƒ(x) = Aog2
3
y
2
1
ƒ(1) = Aog2
1
4
ƒ(1) = –2
1
x
1/3
Resposta correta: B
1
1
⎛1 ⎞
* P / x = ⇒ y = log 1 = 1, ⎜ ; 1⎟
3
⎝3 ⎠
3 3
* P / y = 0 ⇒ 0 = log 1 x ⇒ x = 1
⎛x
⎞
⎛x
⎞
log 1 ⎜ − 3⎟ = − log2 ⎜ − 3⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
2
2
2
3.
(1; 0)
3
1x
⎛ 1⎞
2) A inversa de ƒ(x) = log 1 x é f ( x ) =
⇒ y =⎜ ⎟
3
⎝3⎠
3
−1
⎛x
⎞
⎛x
⎞
Mas log2 ⎜ − 3⎟ ≤ 0 (pois log 1 ⎜ − 3⎟ ≥ 0 )
⎝2
⎠
⎝
⎠
2
2
x
Ou seja,
y
x
−3 ≤ 1→ x −6 ≤ 2
2
x≤8 → x=8
⎛8
⎞
y = log 1 ⎜ − 3⎟ → y = 0
⎝2
⎠
2
3
1
x.y=0
x
-1
Resposta correta: Não há resposta
* P/x = 0 ⇒ y = 1, (0; 1)
* P/x = –1 ⇒ y = 3; (–1; 3)
4.
Resposta correta: C
2.
A condição de existência é:
I) x + 2 > 0
x > –2
Desenvolvendo a inequação:
log (x + 2) – log (x – 1) > log 2
x+2
log
> log 2
x −1
Do gráfico temos (0, 0) e (5, –4):
1
I) y = Aog2
ax + b
F I
GH JK
F 1 I
0 = Aog G
H a .0 + b JK
x+2
>2
x −1
2
0 = Aog2
II) x – 1 > 0
x>1
x+2
–2>0
x −1
1
b
x + 2 − 2 (x − 1)
>0
x −1
1
= 20
b
1
=1
b
b=1
−x + 4
>0
x −1
F 1 I
GH ax + b JK
F 1 I
–4 = Aog G
H 5a + b JK
II) y = Aog2
2
1
= 2–4
5a + 1
PRÉ-VESTIBULAR
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VOLUME 1
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MATEMÁTICA 4
1
5.
O intervalo (1, 4) obedece à condição de existência, então: A = (1, 4).
S = {x ∈ R / –3 < x < –2}
Resposta correta: D
Resposta correta: A
A condição de existência é:
I) log2 x > 0
x > 20
x>1
Desenvolvendo a inequação:
Aog2 (Aog2 x) < 1
2.
II) x > 0
FG 1 , − 1IJ
H4 K
e (1, 0), considerando a fun-
ção y = Aogbx teremos:
FG 1 , − 1IJ
H4 K
⇒ –1 = Aogb
1
1
⇒ b −1 =
⇒ b=4
4
4
Resposta correta: D
Aog2 x < 21
x < 22
x<4
Do gráfico temos
3.
(III)
Encontrando a interseção entre (I), (II) e (III):
Condição de existência:
(I) x2 + 4x – 5 > 0
x’ = – 5
x’’ = 1
Resolvendo a inequação:
(II) Aog 1 (x 2 + 4x − 5) ≥ −4
2
(I)
⎛ 1⎞
x 2 + 4x − 5 ≤ ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
−4
x 2 + 4x − 5 ≤ 24
x 2 + 4x − 5 ≤ 16
x 2 + 4x − 21 ≤ 0
x ' = −7 ou x" = 3
(II)
(III)
A solução da inequação é dada pela interseção de (I) e (II):
(I) ∩ (II) ∩ (III)
S = {x ∈ R / 1 < x < 4}
S = (– 7, – 5) ∪ (1, 3)
Resposta correta: B
Resposta correta: B
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
A condição de existência é:
x+3>0
x > –3
(I)
Desenvolvendo a inequação:
1
Aog5(x + 3) > 1, como a base é menor que 1, inverte2
mos a base:
FG IJ
H K
Aog5(x + 3) < 0
x + 3 < 50
x<–2
4.
Condição de existência
I. x – 1 > 0
x>1
II. x – 2 > 0
x>2
Resolvendo a inequação:
Aog3 (x – 1) − Aog3 (x – 2) ≥ 1
Aog3
x −2
x −1
≥ 31
x −2
x −1
−3 ≥ 0
x −2
x − 1− 3 x − 2
(II)
Fazendo a interseção entre (I) e (II):
(I)
b
(I) ∩ (II)
PRÉ-VESTIBULAR
g
≥0
x −2
x − 1− 3x + 6
≥0
x −2
−2x + 5
≥0
x −2
(II)
2
bx − 1g ≥ 1
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VOLUME 1
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MATEMÁTICA 4
Estudando o sinal de cada termo do quociente:
6.
Do conjunto M:
FG 1 IJ
H 25 K
F 1I
>G J
H5 K
> e5 j
x
53− x >
53 − x
53 − x
(III)
x
2
−2
x
53 − x > 5−2 x ⇒ 3 − x > −2x ⇒ x > −3
Então M = {x ∈ Z/ x > − 3}
Do conjunto P:
Condição de existência
x+2>0
x > – 2 (I)
Resolvendo a inequação:
Aog2(x + 2) < 3
x + 2 < 23
x+2<8
x < 6 (II)
A solução da inequação é obtida a partir da interseção
de (I) e (II):
A solução da inequação é obtida a partir da interseção
de (I), (II) e (III).
(I)
(II)
(III)
5U
RS
V, comparando com
2W
T
5
S = lx ∈R / p < x ≤ qq teremos p = 2 e q = , então
2
S = x ∈R / 2 < x ≤
p.q=2.
5
=
2
5
l
5.
q
P = x ∈ M / −2 < x < 6
Resposta correta: 5
O conjunto P é formado pelos elementos de M (inteiros maiores que – 3) que estão entre – 2 e 6, ou seja,
P = {– 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
Condição de existência:
I. x – 4 > 0
x>4
Resposta correta: B
II. x – 5 > 0
x>5
Resolvendo a inequação
Aog6 ( x − 4) −1
Aog6 ( x − 5) 1
7.
Condição de existência:
I.
Aog6 ( x − 4) + Aog6 ( x − 5) < 1
x2 > 0
x=0
II. 3x – 26 > 0
3x > 26
26
x>
3
Aog6 ( x − 4)( x − 5) < 1
(x − 4) (x − 5) < 61
x 2 − 5x − 4x + 20 < 6
x 2 − 9x + 14 < 0
Resolvendo a inequação:
Aog4 x 2 + Aog 1 (3x − 26) > 0
(III)
x' = 2 e x'' = 7
2
A solução da inequação é formada a partir da interseção
de (I), (II) e (III):
(I)
(II)
2
1
Aog21 x +
Aog2 (3x − 26) > 0
−1
2
Aog2 x − Aog2 (3x − 26) > 0
Aog2
(III)
l
Aog22 x 2 + Aog2−1(3x − 26) > 0
x
>0
3x − 26
x
> 20
3x − 26
x
− 1> 0
3x − 26
x − 1(3x − 26)
>0
3x − 26
q
S = x ∈R / 5 < x < 7
Resposta correta: D
PRÉ-VESTIBULAR
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VOLUME 1
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MATEMÁTICA 4
3
x − 3x − 26
>0
3x − 26
−2x + 26
>0
3x − 26
D = {x ∈ R/x >
1
}
2
Resposta correta: Não há item correto
Os inteiros do intervalo são 9, 10, 11 e 12, num total de
4 inteiros.
Resposta correta: 4
8.
10. 1) Da inequação log3 (5 – 4x) < 3, temos primeiramente
que fazer a correção de existência.
5
5 – 4x > 0 → 4x < 5 → x < → x < 1,25
4
2) Se log3 (5 – 4x) < log 27 → 5 – 4x < 27 → –4x < 22 →
22
11
→x>−
→ x > − 5,5
→ 4x > –22 → x >
4
2
3)
Analisando cada item:
1
I. Aog2 3 < log 1
9
4
1,25
Aog2 3 < log2 −2 3–2
-5,5
−2
log23
−2
Aog2 3 < log2 3
Aog2 3 <
-5,5
{-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1}
(Falso)
II. 2Aog4
2
15
Aog 2 15
2
1
Aog215
22
2
1,25
Resposta correta: C
=
15
=
15
=
15
1
2
Aog215
1
15 2 =
15
15 = 15
(Verdadeiro)
III. Aog 1 9 < Aog 1 5, quando a base é menor inverter3
3
mos o sinal: 9 > 5
(Verdadeiro)
Resposta correta: C
9.
O domínio da função é dado pelos valores que tornem o
radicando maior ou igual a zero e que satisfazem a condição de existência:
I. Aog3(2x – 1) ≥ 0
2x + 1 ≥ 30
2x ≥ 0
x≥0
II. 2x – 1 > 0
2x > 1
1
x>
2
III.
4
PRÉ-VESTIBULAR
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