FÍSICA 3
Fontes de Campo Magnético
Prof. Alexandre A. P. Pohl, DAELN, Câmpus Curitiba
EMENTA
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Carga Elétrica
Campo Elétrico
Lei de Gauss
Potencial Elétrico
Capacitância
Corrente e resistência
Circuitos Elétricos em Corrente Contínua
Campo Magnético
Indução Magnética
Indutância
Magnetismo em Meios Materiais
Atividades
Fontes de Campo Magnético
Como são criados os campos magnéticos?
•
Qual é a natureza do campo magnético produzido por uma única partícula
carregada em movimento?
• Como é a descrição do campo magnético produzido por um segmento de
condutor que transporta uma corrente?
Sabemos que uma carga (não importa se estática ou em movimento) cria um
campo elétrico.
Uma carga elétrica cria um campo magnético somente quando está em movimento.
Campo Magnético
de Carga em Movimento
Deseja-se calcular o campo magnético gerado
por uma carga em um ponto do espaço.
Chama-se ponto da fonte o ponto onde se encontra
a carga. E ponto do campo o ponto onde se deseja
calcular o campo.
A experiência mostra que o módulo do campo B é
proporcional a |q| e inversamente proporcional
a r2. Entretanto, a direção do campo é perpendicular
ao plano que contém a reta que une a carga ao
ponto do campo e o vetor velocidade v da mesma:
r é o vetor unitário que une a
carga ao ponto do campo.
r µ 0 q vr × rˆ
B=
4π r 2
Campo Magnético
de Carga em Movimento
O campo pode ser visto de
outra perspectiva, quando
a carga se movimenta para
dentro da página.
Nota-se que as linhas de campo são
circunferências, cujos raios são centrados na
carga (que se movimenta para dentro da página)
O sentido do campo é dado pela regra da mão direita: “segure” o vetor v com a
mão direita, de modo que seu polegar aponte no sentido de v. Ao fechar os dedos
em torno da reta que representa a velocidade v, os dedos fazem uma rotação em
torno de v, no mesmo sentido da rotação das linhas de campo magnético.
Campo Magnético
de Carga em Movimento
Ao se traçar também as linhas de campo elétrico,
originadas na própria carga, verifica-se que
as linhas do campo B e E são perpendiculares
entre si.
A unidade métrica de B (sistema SI) é 1 Tesla = 1 N.s/C.m = 1 N/A.m
Ao se tomar a expressão para B e substituir as unidades métricas
correspondentes às grandezas envolvidas na equação, obtém-se
as unidades da constante µ0 (1 N.s2/C2 = 1 N/A2 = 1 Wb/A.m = 1 T.m/A).
No sistema SI µ0 = 4πx10-7 T.m/A
Exemplo
Dois prótons se deslocam paralelamente ao eixo Ox em sentidos opostos, com a
mesma velocidade v. Determine a força elétrica e a força magnética sobre o próton
da parte superior e calcule a razão entre os módulos dessas forças.
Força elétrica:
q2
Fe =
4πε 0 r 2
1
( )
ˆ
Campo criado pela carga r µ 0 q v î × j µ 0 qv
B=
=
k̂
2
2
inferior no ponto onde se
4π
r
4π r
Encontra a carga superior.
Exemplo(continuação)
A velocidade do próton superior é: -v. A força magnética sobre ele, exercida
pelo próton inferior é:
r r
Fm = q( −v) × B = q(−v) iˆ × Bk̂ = −qvB − jˆ = +qvB jˆ
( )
Portanto, a força magnética é:
2 2
r
µ
qv
µ
q
v ˆ
0
0
ˆ
Fm = +qvB j = qv
=
j
2
2
4π r
4π r
A razão entre os módulos das forças será:
Fm µ0 q2 v 2
=
2
Fe 4π r
q2
2
=
ε
µ
v
0 0
2
4πε 0 r
1
Campo Magnético
de um Elemento de Corrente
Princípio da superposição de campos magnéticos:
O campo magnético total produzido por diversas cargas em movimento é a
a soma vetorial dos campos produzidos pelas cargas individuais.
Seja dl um segmento de um condutor que
transporta uma corrente. Se A é área da seção
desse condutor, seu volume será: A dl. Se a
densidade de cargas no condutor é n, então
a quantidade total de cargas no dito volume é:
dQ = nqAdl
Campo Magnético
de um Elemento de Corrente
Pode-se afirmar que as cargas que se movem nesse segmento são
equivalentes a uma única carga dQ que se desloca com velocidade de
arraste va. Assim, o campo magnético criado por essa “carga” dQ é:
dB =
µ 0 dQv a senϕ µ 0 nqA( dl ) v a senϕ µ0 I ( dl ) senϕ
=
=
2
2
4π
r
4π
r
4π
r2
em que I = n q va A.
Na forma vetorial, tem-se:
r
r µ 0 I dl × rˆ
dB =
4π r 2
Essa equação é conhecida como Lei de Biot e Savart.
Campo Magnético
de um Elemento de Corrente
O campo magnético total calculado em qualquer ponto do espaço por uma corrente
que flui em um circuito completo é determinado integrando-se sobre todos os
segmentos dl que conduzem a corrente.
r µ0
dB =
4π
∫
r
I dl
dl × rˆ
r2
Caso exista um material que envolva tal condutor no espaço, o campo magnético
em suas vizinhanças terá uma contribuição adicional resultante da magnetização
do material. A não ser que tal material seja ferromagnético, esse campo magnético
adicional é pequeno e pode ser desprezado.
Exemplo
Um fio de cobre conduz uma corrente constante de 125 A para um tanque de
eletrodeposição. Determine o campo magnético produzido por um segmento de
fio de 1,0 cm de comprimento em um ponto situado a uma distância de 1,2 m do
fio, considerando que o ponto seja:
a)um ponto P1 situado sobre a perpendicular superior do fio;
b)um ponto P2 situado sobre uma linha que forma um ângulo de 30°com o fio.
Solução
De acordo com a regra da mão direita, no ponto P1 o campo está entrando na página
(plano xy). De acordo com a figura, o segmento dl está localizado na parte
negativa do eixo Ox. Assim,
r
dl = − ( dl )iˆ
r
dl × rˆ = dl −iˆ × ĵ = − ( dl ) k̂
( )
O módulo de B no ponto P1 é calculado por:
µ 0 I ( dl ) senϕ ( 4π ×10
dB =
=
2
4π
r
4π
−7
) (125A) (1, 0 ×10 m) (sen90 ) = 8, 7 ×10
0
−2
(1, 2m)
2
−8
T
Solução
O módulo de B no ponto P2 é calculado por:
µ 0 I ( dl ) senϕ ( 4π ×10
dB =
=
2
4π
r
4π
−7
−2
0
125A
1,
0
×10
m
sen30
(
)
)
(
)(
) = 4, 3×10−8 T
2
(1, 2m)
Os valores obtidos são muito pequenos. Lembre que o valor do campo magnético
da Terra é 10-4 T. Os campos produzidos também se referem a apenas um pequeno
segmento de condutor com comprimento de 1,0 cm!
Campo Magnético de
um Condutor Retilíneo
Um caso simples e de interesse prático é o de um condutor retilíneo. Deseja-se
calcular o campo B gerado por esse condutor em um ponto sobre a reta perpendicular
que divide o condutor em duas metades, situado a uma distância x de seu centro.
Para se calcular o campo, deve-se partir da expressão:
r µ0
dB =
4π
∫
r
I dl × rˆ
r2
O elemento dl encontra-se ao longo do eixo Oy. Assim,
dl = dy e
2
r= x +y
O campo B penetra na página.
2
sen (π - ϕ ) = senϕ =
x
x +y
2
2
Campo Magnético de
um Condutor Retilíneo
O limite de integração corresponde ao tamanho do segmento de corrente L=2a.
Portanto, yinf = -a e ysup = +a
r
r µ I dl × rˆ µ I d y rˆ senϕ µ I
x
dB =
=
=
∫
∫
∫
4π
r
4π ( x + y ) 4π ( x + y
+a
0
+a
0
2
0
2
−a
2
2
2
−a
2
)
3/ 2
dy
Examinando-se uma tabela de integrais, verifica-se que (em que n = 3/2)
dy
∫
(a + y
2
2
)
n
y
=
2(n − 1)a (a + y
2
2
2
)
n −1
2n − 3
dy
+
∫
(2n − 2)a (a + y
2
2
2
)
n −1
Campo Magnético de um condutor
retilíneo
Portanto, o resultado da integração fornece a seguinte expressão:
µ0 I
2a
B=
4π x x2 + a2
Quando o comprimento do condutor for muito grande (a ∞), então a >> x e
B=
µ0 I
2π x
Neste caso, B possui o mesmo módulo em todos os pontos sobre uma
circunferência centralizada no condutor e situada em um plano perpendicular a ele.
Campo Magnético em Fio Retilíneo
in the direction of the magnetic field lines.
S
S
B
I
B
S
B
I
S
S
B
S
B
B
As linhas do campo magnético são
circunferências centrallizadas sobre o fio
que conduz a corrente uniforme I.
Assim, as linhas de campo sempre formam
curvas fechadas e nunca possuem pontos
Iniciais ou finais.
Exemplo
Um condutor retilíneo longo conduz uma corrente de 1,0 A. Para qual distância,
a partir do eixo do condutor, o módulo do campo magnético produzido pela
corrente é igual ao módulo aproximado do campo magnético médio na
superfície da Terra? Considere que tal campo magnético tenha o valor de 0,5x10-4 T
r=
µ0 I
=
2π B
−7
4
π
×10
T.m/ A) (1, 0A)
(
2 π ( 0, 5 ×10 T )
−4
= 4 mm
Campo Magnético de Dois Fios
A figura abaixo mostra um plano xy que corta perpendicularmente dois fios
longos paralelos, cada um deles conduzindo uma corrente I de mesmo módulo,
porém de sentidos contrários. Determine
a) o módulo, a direção e o sentido de B nos pontos P1, P2 e P3;
b) calcule o módulo a direção e o sentido de B nos pontos do eixo Ox à direita
do fio 2, com base na coordenada x do ponto.
Solução
A solução requer o cálculo da resultante da soma dos campos em cada ponto.
a figura ilustra a direção e sentido que o vetor B de cada fio produz nos pontos
desejados.
No ponto P1 tem-se (B1 aponta no sentido negativo do eixo Oy e B2 aponta no
sentido positivo de Oy):
r
r r
Btot = B1 + B2
µ0 I
B1 =
2 π ( 2d)
Btot = B1 − B2 =
µ0 I
e B2 =
2 π ( 4d)
µ0 I
8π d
O campo resultante aponta no sentido negativo de Oy.
Exemplo (solução)
No ponto P2 tem-se (tanto B1 como B2 apontam no sentido positivo de Oy):
r
r r
Btot = B1 + B2
µ0 I
B1 =
2π ( d)
µ0 I
e B2 =
2 π ( d)
µ0 I
Btot = B1 + B2 =
πd
O campo resultante aponta no sentido positivo de Oy.
Exemplo (solução)
No ponto P3 tem-se (B1 aponta no sentido positivo do eixo Oy e B2 aponta no
sentido negativo de Oy):
r
r r
Btot = B1 + B2
µ0 I
B1 =
2 π ( 3d)
Btot = B2 − B1 =
µ0 I
e B2 =
2π ( d)
µ0 I
3π d
O campo resultante aponta no sentido negativo de Oy.
Exemplo (solução)
Para qualquer ponto à direita do fio 2 (para x > d), B1 e B2 possuem a mesma
direção, mas sentidos opostos.
r
r r
Btot = B1 + B2
B1 =
µ0 I
2π ( x + d)
e B2 =
µ0 I
2 π ( x − d)
µ0 I  1
1  µ0 I d
1
Btot = B2 − B1 =
−

=
2π  x + d x − d 
π ( x2 − d 2 )
Para pontos muito distantes dos fios (x >>
d2)
µ0 I d
Btot =
π x2
Campo Magnético de
uma Espira Circular
Anteriormente discutimos a força e o torque sobre uma espira que conduz
corrente e que se encontrava inserida em um campo magnético uniforme.
Agora deseja-se determinar o campo magnético produzido pela própria espira.
Seja a figura abaixo que mostra uma espira circular com raio a e que conduz
uma corrente I. Deseja-se calcular o campo magnético em um ponto P situado
sobre o eixo da espira e localizado a uma distância x do seu centro.
y
Novamente, utiliza-se a Lei de Biot e Savart:
S
dl
p
2 u
2
r^
a u
I
z
O
I
I
S
r
dBy
S
dB
x
p
2 u
2
u
P
dBx x
r µ0
B=
4π
∫
r
I dl × rˆ
r2
Campo Magnético de
uma Espira Circular
A figura mostra que dl e r são perpendiculares e que a direção de B está contida
no plano xy. Da figura observa-se que r2 =x2 + a2. Ao se calcular a contribuição
das componentes de campo ao longo dos eixos Ox e Oy verifica-se que as
dontribuições ao longo de Oy se cancelam, restando apenas as contribuições ao
longo de Ox.
A componente dBx é calculada como:
dBx = dBcosθ
com cosθ =
µ0
∴ Bx =
4π
∫
I ( dl ) rˆ ( cosθ ) µ 0 I
=
2
r
4π
∫
a
x2 + a2
dl
a
12
2
2
2
2
x
+
a
(
) (x + a )
Campo Magnético de
uma Espira Circular
Todas as grandezas na intregral, exceto dl, são constantes. Portanto
µ0 I
a
∴ Bx =
4π ( x2 + a2 ) 3 2
∫ dl
A integral restante requer o cálculo da contribuição do elemento dl sobre o
perímetro da espira, cujo resultado é: 2πa. Assim,
µ0 I
a
Bx =
4π ( x2 + a2 )3 2
µ0 I
a
µ0 I
a2
∫ dl = 4π 2 2 3 2 ( 2π a) = 2 2 2 3 2
(x + a )
(x + a )
Campo Magnético sobre
o eixo de uma bobina
Se agora, ao invés de uma única espira, tivermos uma bobina constituída por
N espiras de mesmo raio, o campo magnético resultante ao longo do eixo
central dessa bobina será:
2
bobina
x
B =
µ0 NI a
2 32
2(x + a
2
)
Atenção: essa equação é válida
somente para os pontos sobre o
eixo da bobina!
O fator N é a razão pela qual se usa uma bobina, ao invés de uma única
espira, para se obter um campo magnético de grande intensidade.
Campo Magnético sobre
o eixo de uma bobina
A figura abaixo mostra o comportamento do campo B em função da variável x.
O valor máximo é obtido quando x = 0 (no centro da bobina).
Bx
Bmax
1
2
3a
2a
a
O
a
Pode-se reescrever a equação do campo
Magnético em função do momento de dipolo
magnético da espira (ou bobina).
m NI
5 0
2a
Bmax
2a
Se µespira = I A= I πa2 (ou µbobina = N I A= N I πa2 ,
tem-se:
3a
x
bobina
x
B =
µ 0 µ bobina
2 32
2π ( x + a
2
)
Exemplo
Uma bobina conduzindo uma corrente de 5,0 A é constituída de 100 espiras
Circulares com raio igual a 0,60 m. Detremine:
a)O campo magnético ao longo do eixo da bobina, situado a uma distância
de 0,80 m do seu centro;
b) Em que ponto ao longo do eixo da bobina o campo magnético se reduz a 1/8
do valor do campo no centro da bobina.
a) Campo magnético ao longo do eixo da bobina
−7
4
π
×10
T. m/ A) (100 ) ( 5, 0A) ( 0, 6m)
(
−4
Bx =
=
1,1×10
T
2
2
2 ( 0,8m) + ( 0, 6m) 
Exemplo (continuação)
continuação)
b) A incógnita é o valor de x, no qual o campo possui 1/8 do módulo qu possui
quando x = 0. Assim,
µ N Ia
2
2
0
2( x + a
2
2
1 µ N Ia
=
8 2(0 + a )
0
)
32
2
32
2
1
1

=
⇒
) 8a  ( x + a
x = ± 3 a = ±1,04m
1
∴
(x + a
2
2
32
3
2
23
2
)
32
 1 

 = 8a 

 
3
23
Lei de Ampère
Em problemas com simetria elevada o cálculo do campo magnético pode
ser realizado empregando-se a Lei de Àmpere. Tal lei é definida tomando-se a
integral de linha do campo B em torno de uma trajetória fechada.
r r
∫ B ⋅ dl = µ I
0
Nessa equação o círculo no símbolo da integral indica que esta deve ser calculada
em uma curva fechada, ou seja, o ponto inicial e final da trajetória devem coincidir.
Tal equação vale para todos os percursos e condutores, qualquer que seja a forma
do condutor e o percurso escolhido. A corrente I significa a corrente total existente
no interior ou correntes englobadas pelo circuito de integração.
Lei de Ampère
Seja o campo magnético produzido por um condutor retilíneo que transporta uma
corrente I. De nossa análise anterior verificamos que
µ0 I
B=
2π r
e que as linhas de campo magnético são circunferências, cujo centros são o
próprio condutor.
Para entender como tal resultado pode ser obtido empregando-se
a Lei de Àmpere, deseja-se calcular o produto de B e dl sobre um elemento do
caminho escolhido e realizar a integral sobre todo o caminho.
Lei de Ampère
Examinando-se a figura abaixo, na qual se toma uma conferência com raio r,
observa-se que B e dl são paralelos. Como r é constante (ou seja, o caminho
escolhido não sofre alteração em seu diâmetro) o valor de B também é constante.
Assim, na integral de caminho pode-se tirar
B para fora da operação de integração:
r r
∫ B ⋅ dl = ∫ Bdlcos(0 ) =B ∫ dl
o
A integral no caminho fechado ao longo da circunferência
de raio r nada mais é do que o comprimento da própria
circunferência. Assim,
B ∫ dl = B(2π r )
Lei de Ampère
Utilizando-se nosso conhecimento sobre B, ou seja, sabendo-se que:
µ0 I
B=
2π r
então
µI
(2π r ) = µ I
B ∫ dl = B(2π r ) =
2π r
0
0
Portanto, a integral no caminho fechado é igual ao produto de µ0 pela corrente I
que atravessa a área delimitada por tal caminho.
Lei de Ampère
Pode-se estender o resultado obtido para percursos de integração mas gerais.
Seja a figura abaixo que mostra um caminho de integração genérico. O ângulo
entre B e dl é Φ, portanto:
r r
B⋅ dl
dl = Bdl cosΦ
Mas,
dl cosΦ = r dθ
em que dθ é o ângulo subtendido pelo elemento
de caminho dl em relação ao fio e r é a distância
entre dl e o fio.
Lei de Ampère
Assim,
r r
µI
(rdθ )
∫ B ⋅ dl = ∫ Bdlcos(Φ ) = ∫
2π r
µI
Portanto,
∫ (dθ )
2π
r r
0
0
Finalmente,
∫ dθ = 2π → ∫ B ⋅ dl = µ I
0
A integral sobre dθ representa o ângulo varrido pela linha que liga o fio
condutor com o elemento dl durante uma volta completa ao longo do
caminho de integração. Tal resultado não depende da forma do percurso
ou da posição do fio no interior do mesmo.
Lei de Ampère
r r
∫ B ⋅ dl = µ I
0
tot
A lei de Àmpere continua valendo para quaisquer condutores que se encontram
dentro do percurso de integração, como mostra a figura acima.
Contrariamente ao caso da força elétrica, a força magnética não é conservativa, pois
ela depende também da velocidade da partícula. Assim, a lei de Àmpere não
representa o trabalho realizado pela força sobre uma carga de prova movida ao longo
do percurso.
Exemplo 1
Um condutor cilíndrico longo de raio R conduz uma corrente I. A corrente está
uniformemente distribuída na área da seção reta do cilindro. Calcule o campo
magnético em função da distância r entre o ponto do campo e o eixo do cilindro
para todos os pontos dentro (r < R) e fora do condutor (r > R).
Interior do Condutor:
No interior do condutor o campo B tem o mesmo
módulo a uma distância r do seu centro. Assim,
escolhe-se uma circunferência de raio r para o
percurso fechado da Lei de Àmpere. Como
B é constante, obtém-se:
r r
∫ B ⋅ dl = B ∫ dl =B(2π r ) = µ I
0
perc
Exemplo 1 ((continuação
continuação))
Para calcular a corrente Iperc no interior percurso de integração, nota-se que a
densidade de corrente no condutor é dada por:
corrente
I
J=
=
área
πR
Assim, I
2
I
Ir
(π r ) =
= J (π r ) =
πR
R
2
perc
2
2
2
2
Substituindo a expressão para Iperc na expressão da Lei de Àmpere, tem-se:
Ir
µI
B(2π r ) = µ
⇒B=
r
2π R
R
2
0
0
2
2
(para r < R)
Exemplo 1 ((continuação
continuação))
Fora do condutor considera-se uma circunferência para o percurso, cujo
raio r é maior do que R (r > R). Neste caso, I = Iperc e o resultado é mesmo
calculado anteriormente para um fio condutor. Portanto,
µ0 I
B=
2π r
(para r > R)
Fora do condutor o campo magnético é o mesmo
que o produzido por um fio retilíneo longo que
conduz uma corrente I.
Exemplo 2
Um solenóide é constituído por um enrolamento helicoidal de fio sobre um núcleo,
em geral com seção reta circular. A figura abaixo mostra a seção longitudinal de
um solenóide com N espiras. Todas as espiras conduzem uma corrente I. Assim,
o campo magnético total é a soma dos campos magnéticos produzidos por cada
espira. Utilize a Lei de Àmpere para determinar o campo magnético no centro ou
nas proximidades do centro desse solenóide.
Escolhe-se como caminho de integração o retângulo
abcd visto na figura ao lado. Assim,
r r
r r
r r
r r
r r
∫ B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl
b
c
d
a
a
b
c
d
Exemplo 2 ((continuação
continuação))
Considerações:
- campo B uniforme no interior do solenóide;
- campo B nulo fora dele;
- supõe-se que os lados bc e da sejam muito longos, de modo que o lado
cd esteja tão afastdo a ponto de o campo magnético sobre ele ser desprezível.
A figura abaixo ajuda a entender tais premissas:
As linhas de campo próximas do centro do solenóide
são paralelas, indicando um campo quase uniforme.
Fora dele, as linhas são mais espaçadas e o campo
magnético é fraco (quase nulo).
Quando o solenóide possui comprimento muito maior
do que o diâmetro de sua seção reta e as espiras são
enroladas de forma compacta, o campo interno nas
vizinhanças do seu centro é paralelo ao eixo e o campo
externo é muito pequeno.
Exemplo 2 ((continuação
continuação))
Assim, considerando-se as premissas anteriores, tem-se:
r r
∫ B ⋅ dl = B ∫ dl (cos0 ) =B L
r r
∫ B ⋅ dl = ∫ Bdl (cos90 ) = 0
r r
∫ B ⋅ dl = ∫ Bdl (cos0 ) = 0, pois B = 0
r r
∫ B ⋅ dl = ∫ Bdl (cos90 ) = 0
b
b
0
a
c
a
c
0
b
b
d
d
0
c
c
a
a
0
d
d
Observa-se, na verdade, que as integrais ao longo dos trechos bc e da podem
ainda ser segmentadas em duas partes: uma que vai do centro ao limite das
espiras e outras que se estende desse limite até os pontos c e d, respectivamente.
Exemplo 2 ((continuação
continuação))
r r
r r
∫ B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl = B L = µ I
b
Finalmente,
a
0
perc
Como o número de espiras em um comprimento L é nL (onde n é a densidade
de espiras por unidade de comprimento), então a corrente total no interior
do retângulo é: Iperc = nLI. Assim,
B L = µ nLI ⇒ B = µ nI
0
0
Exemplo 2 ((continuação
continuação))
Um cálculo mais exato fornece o comportamento
mostrado na figura ao lado para o campo magnético.
Para os pontos ao longo do eixo o campo é mais forte
nas vizinhanças do centro (pnto x = 0) e diminui à
medida que o ponto se aproxima das extremidades,
na direção de x = +2a e x = - 2a.
Exercício
Os fios que formam as semicircunferências indicadas na figura abaixo possuem
raios a e b. Determine o móudlo, a direção e o sentido do campo magnético
resultante produzido pelas correntes dos fios no ponto P.
Materiais Magnéticos
A origem do magnetismo está no movimento dos elétrons no interior do átomo.
Os elétrons formam espiras de corrente microscópicas que se movem e produzem
indvidualmente campos magnéticos.
Em muito materiais, esses campos magnéticos microscópicos estão distribuídos
aleatoriamente e não produzem nenhum campo magnético externo.
Entretanto, em outros materiais esses campos microscópicos produzem um
campo externo.
Ou ainda em alguns materiais, os campos magnéticos microscópicos podem ser
alinhados com um campo externo aplicado sobre eles, para o qual então
Contribuem. Neste caso, diz-se que tais materiais foram magnetizados.
Magneton de Bohr
Seja a figura ao lado que mostra o modelo primitivo
de um elétron em um átomo. O elétron (massa m
e carga –e) move-se com velocidade v em uma órbita
circular de raio r. A carga que se move é então
equivalente a uma espira circular!
Assim, tal espira possui um momento de dipolo magnético
dado por µ = I A, onde I é a corrente e A é a área da espira.
A corrente é calculada como:
I=
e
e
=
T (2π r ) v
T é o período de tempo que o elétron gasta para percorrer
a distância de 2π r.
Magneton de Bohr
ev
e vr
(π r ) =
Portanto, o momento de dipolo magnético do elétron é: µ =
2π r
2
2
Em comum expressar o momento magnético µ em termos do momento angular L
do elétron, L = (mv)r, que é o produto do momento linear (mv) pelo raio r. Assim,
e vr
e
µ=
=
L
2
2m
Segundo a Física Quântica, o momento angular atômico é quantizado e possui
o valor L = h/2π, que representa sua unidade fundamental (h é a conhecida
como constante de Planck e possui o valor h = 6,626x10-34 J.s.
Magneton de Bohr
Assim,
µ=
e  h  eh
 =
2m  2π  4π m
Tal momento de dipolo magnético é chamado de magneton de Bohr, cujo valor é:
µB = 9,274x10-24 A.m2 = 9,274x10-24 J/T.
Os elétrons também possuem um momento angular intrínseco, conhecido como
spin e pode ser descrito classicamente como oriundo da rotação do elétron em
torno de seu próprio eixo. Esse momento angular possui também um momento
de dipolo magnético associado, cujo módulo é quase exatamente o valor de um
magneton de Bohr. ~(1,001 µB).
Classificação dos
Materiais Magnéticos
Os materiais magnéticos podem ser classificados em três categorias:
• Paramagnéticos
• Diamagnéticos
• Ferromagnéticos
Paramagnetismo
O campo magnético produzido pelas espiras microscópicas dos elétrons é
diretamente proporcional ao momento magnético total µtot por unidade de volume V
do material. Essa grandeza é conhecida como magnetização do material:
r µr
M=
V
tot
E o campo magnético adicional produzido pela magnetização é:
r
µM
0
Quando esse material preenche o espaço em torno de um condutor que transporta
uma corrente I, o campo magnético total observado no seio desse material será:
r
v r
B=B +µ M
0
0
Paramagnetismo
Um material paramagnético é aquele que possui o comportamento descrito
logo acima, em que o campo magnético interno fica ampliado em relação
ao valor que existiria se em seu lugar houvesse apenas o vácuo.
Introduz-se um parâmetro conhecido como permeabilidade magnética relativa do
material, expresso por:
µ
K =
m
µ
0
A diferença entre o valor da permeabilidade relativa e a unidade é conhecida
como suscetibilidade magnética, designada por:
χ = K −1
m
m
χm e Km são grandezas adimensionais.
Observação: não confundir o parâmetro µ com a grandeza vetorial que representa o
dipolo de momento magnético!
Paramagnetismo
A tendência dos momentos magnéticos atômicos de se alinharem paralelalmente
ao campo magnético externo é dificultada pelo movimento caótico dos elétrons,
devido à agitação térmica. A suscetibilidade magnética sempre diminui quando a
temperatura aumenta.
Esse fenômeno é conhecido por Lei de Curie, em que o valor de M é dado por:
B
M =C
T
C é a constante de Curie (possui valor diferente para diferentes materiais) e T é
a temperatura.
Diamagnetismo
A maioria dos materiais na natureza pode ser classificada como diamagnética.
(mais comumente conhecidos como não-magnéticos).
Quando um campo magnético externo é aplicado em materiais diamagnéticos,
o resultado é um campo magnético interno que se opõe ao campo externo
aplicado. O efeito geralmente é muito pequeno e não é observado.
Um material diamagnético possui apresenta uma suscetibilidade magnética
negativa. Um supercondutor é um diamagneto perfeito (χm = -1) e repele
completamente o campo externo aplicado.
Valores de χm
Ferromagnetismo
Em materiais ferromagnéticos há fortes interações entre os momentos magnéticos
atômicos que produzem um alinhamento interno em certas regiões do material,
denominadas de domínios magnéticos
Na presença de um campo magnético externo, tais domínios tendem a se alinhar
paralelamente ao campo. O campo magnético total no interior de um domínio
pode ser da ordem de alguns milhares de magnetons de Bohr. Assim, a
Permeabilidade relativa Km é muito maior do que um. Assim, um material
ferromagnético (por exemplo, ferro) é fortemente magnetizado pel campo de um
imã permanente.
Entretanto, à medida que o campo magnético externo aumenta
atinge-se uma saturação, cujo valor é conhecido como magnetização de saturação.
Ferromagnetismo
Em muito materiais ferromagnéticos a relação entre a magnetização e o campo
magnético externo quando o campo aumenta é diferente de quando ele diminui.
esse tipo de comportamento é conhecido como histerese e pode ser visto nas
figuras abaixo.
Memórias de
Imã permanente
computadores
Transformadores
A magnetização e desmagnetização de um material produz dissipaçao de energia
e a temperatura do material aumenta durante o processo. Materiais ferromagnéticos
São largamente empregados em eletroimãs, transfomadores, geradores e motores.