FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007
365
O Uso de Modelagem Matemática no Cálculo do
Volume de uma Maçã
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Matemática
Alessandra Ribeiro da Silva
Carlos Henrique Tognon
Milena Almeida Leite Brandão
[email protected]
[email protected]
[email protected]
Rosana Sueli da Mota Jafelice
[email protected]
Introdução
Presume-se que o cultivo da macieira (Figura 1), tenha-se iniciado há 25 milhões de
anos, tendo como centro de origem a região entre o Cáucaso e o leste da China. No império
Romano, a cultura da macieira já estava bastante difundida. No entanto, é muito provável que
o desenvolvimento das espécies atuais tenha-se iniciado após o final da última era glacial,
portanto, há 20.000 anos. As migrações dos povos euroasiáticos colaboraram para a
disseminação das formas primitivas das macieiras atuais.
Figura 1 e 2 - Macieira florida e plantação de maçãs, respectivamente [4].
O início das plantações de maçã no Brasil (Figura 2) ocorreu, provavelmente no
município de Valinhos, estado de São Paulo, pelo fruticultor Batista Bigneti que, em 1926,
tinha plantas da Cultivar Ohio Beauty.
Com a criação em 1928 da Estação Experimental de São Roque, em São Paulo, pelo
Instituto Agronômico de Campinas, foi dado o passo inicial na pesquisa sobre macieira no
Brasil.
366
FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007
Objetivos
Este trabalho teve com objetivo calcular o volume de uma maçã utilizando vários
métodos e modelar o processo de resfriamento da maçã através da formulação de uma
equação que expresse seu comportamento.
Considerações
Desde o plantio até a armazenagem da maçã, há vários fatores que podem ser
analizados, por exemplo a escolha de terreno, o solo, a aração, herbicídas, colheita e
armazenagem. Mas consideraremos apenas este último.
O objetivo do armazenamento é manter a qualidade interna e externa da fruta,
assegurarando o perfeito funcionamento das câmaras de conservação, por meio da observação
periódica dos equipamentos de refrigeração e controle de gases.
O armazenamento das frutas é feito nas câmaras frigoríficas. Antes de entrar na
câmara fria, a maçã recebe um banho, atravessando um tanque de água gelada (-3°C), sobre
uma esteira circulante, durante 25 minutos, saindo numa temperatura média de 6.5°C.
A temperatura média da câmara é de 1.5° C e tem capacidade para armazenar 600 bins
(caixas). As maçãs podem permanecer na câmara de 5 a 8 meses até a sua comercialização. Se
as maçãs forem comercializadas imediatamente após a colheita, então dispensa-se o trabalho
do banho e do armazenamento em câmaras.
Inicia-se então a secagem e classificação. As frutas são retiradas da câmara fria e
levadas para o classificador onde são separadas as estragadas. Recebem um jato de água
passando dali para a desumidificação e polimento. Em seguida, vão para o secador com
temperatura de 45°C e, finalmente, é feita a classificação.
A classificação é feita pelo peso e também pelo tamanho das maçãs que são acondicionadas em caixas com capacidade de 20kg. Cada caixa comporta de 88 a 250 unidades.
Curiosidades
1) Há mais de 7.500 espécies e variedades de maçãs, veja Figura 3. As diferentes
espécies encontram-se em climas temperados e subtropicais.
Figura 3 - Variedades de maçãs [4].
2) As macieiras não florescem em áreas tropicais, por exemplo, as variedades da família
Gala necessitam de um inverno com cerca de 700 horas de frio com temperaturas de
7,2°C;
3) A maçã fermentada é utilizada para elaborar bebidas alcoólicas (Figura 4), como a
sidra asturiana, o Calvados francês e a sagardua basca;
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Figura 4 - Elaborado de Normandia.
4) A maçã possui as seguintes vitaminas: B1, B2 e Niacina, e também contém sais
minerais como Fósforo e Ferro.
Nota Histórica e Definições
Para uma melhor compreensão do conteúdo deste trabalho, faz-se necessário neste
momento uma introdução histórica no que diz respeito ao assunto Cálculo Diferencial e
Integral, alguns resultados sobre centróides, o Teorema de Pappus e um dos princípios
fundamentais da hidrostática. É o que se segue imediatamente.
A derivada e a integral são duas noções básicas do Cálculo Diferencial e Integral. Do
ponto de vista geométrico, a derivada está ligada ao problema de traçar a tangente a uma
curva enquanto que a integral está relacionada com o problema de determinar a área de certas
figuras planas, mas também possui muitas outras interpretações possíveis.
O Cálculo Diferencial e Integral foi criado por Isaac Newton (1642-1727) e Wilhelm
Leibniz (1646-1716). O trabalho destes cientistas foi uma sistematização de idéias e métodos
surgidos principalmente ao longo dos séculos XVI e XVII, os primórdios da chamada “Era da
Ciência Moderna”, que teve início com a Teoria heliocêntrica de Copérnico (1473-1543). Na
realidade, a grande descoberta de Newton e de Leibniz foi que a Matemática, além de lidar
com grandezas, é capaz de lidar com a variação das mesmas.
A idéia básica do conceito de integral já estava embutida no método da exaustão
atribuído a Eudoxo (406-355 a.C.), desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212
a.C.), grande matemático da escola de Alexandria. O método da exaustão consiste em
"exaurir" a figura dada por meio de outras de áreas e volumes conhecidos. O inconveniente do
método de exaustão de Arquimedes é que para cada novo problema havia a necessidade de
um tipo particular de aproximação.
O que permitiu a passagem do método de exaustão para o conceito de integral foi a
percepção que em certos casos, a área da região pode ser calculada sempre com o mesmo tipo
de aproximação por retângulos (Figura 5).
368
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Figura 5 - Calculando área por aproximação de retângulos.
Esta foi uma descoberta conceitual importante, mas em termos práticos, a descoberta
fundamental foi a possibilidade de exprimir a integral de uma função em termos de uma
primitiva da função dada e este fato é conhecido pelo nome de Teorema Fundamental do
Cálculo. A idéia ou o conceito de integral foi formulado por Newton e Leibniz no século
XVII, mas a primeira tentativa de uma conceituação precisa foi feita por volta de 1820, pelo
matemático francês Augustin Louis Cauby (1789-1857). Os estudos de Cauchy foram
incompletos, mas muito importantes por terem dado início à investigação sobre os
fundamentos do Cálculo Integral, levando ao desenvolvimento da Análise Matemática e da
teoria das funções.
Por volta de 1854, o matemático alemão Bernhard Riemann (1826-1866) realizou um
estudo bem mais aprofundado sobre a integral e em sua homenagem a integral estudada por
ele passou a receber o nome de Integral de Riemann. Tal nome serve para distinguir essa
integral de outras que foram introduzidas mais tarde, como por exemplo, a Integral de
Lebesgue. A forma usada para introduzir o conceito de Integral de Riemann nos cursos de
Cálculo é a versão devida a Cauchy. O que justifica isto é que, ela é simples e bastante
acessível aos alunos de um curso inicial de Cálculo, além de atender aos propósitos de um
curso desta natureza.
Agora veremos como a integração pode ser utilizada no cálculo de centróides.
Considere a distribuição contínua de massa numa região R (chapa fina de material
homogêneo) do plano xy com densidade superficial δ (= massa por unidade de área)
constante, conforme a Figura 6.
Figura 6 - Uso de integração para o cálculo de centróides [3].
O momento dessa região em relação ao eixo y e em relação ao eixo x é dada pelas
expressões:
b
M y = ∫ xδf ( x)dx
a
d
M x = ∫ yδg ( y )dy
c
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369
respectivamente, onde f(x)dx é a área do retângulo vertical e sua massa é δf(x)dx, g(y)dy é a
área do retângulo horizontal e sua massa é δg(y)dy.
A massa total da chapa pode evidentemente ser expressa de duas maneiras,
b
d
a
c
m = ∫ δ f ( x)dx = ∫ δ g ( y )dy.
( )
O centro de massa x, y da chapa é agora definido por
b
x=
∫ xδ f ( x)dx
a
b
d
=
My
∫ δ f ( x)dx
m
y=
e
∫ yδ g ( y)dy
c
d
∫ δ g ( y)dy
a
=
Mx
.
m
c
Como a densidade é constante podemos eliminá-la por cancelamento e as fórmulas
tornam-se:
b
x=
d
∫ xf ( x)dx
a
b
e
∫ f ( x)dx
a
y=
∫ yg ( y)dy
c
d
.
∫ g ( y)dy
c
Exemplos
1) Cálculo do centróide de um retângulo. Considere o retângulo de altura h e base b e
portanto de área hb, conforme Figura 7.
Figura 7 - Centróide de um retângulo [3].
b
Temos: x =
y=
∫ x ⋅ hdx
0
hb
b
1 1 2 
1 1 2 1
=
hx  =
hb  = b e de modo análogo, encontramos

hb  2
 0 hb  2
 2
1
1 1 
h , logo o centróide é o ponto  b, h  que é obviamente o centro do retângulo.
2
2 2 
370
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2) Determinar o centróide da região do primeiro quadrante limitada pelos eixos e pela curva y
= 4 - x2, conforme Figura 8.
Figura 8 - Centróide da região do primeiro quadrante limitada
pelos eixos e pela curva y = 4 - x2 [3].
2
2
1  16

Usando o retângulo vertical, vemos que a área da região é A = ∫ (4 − x2 )dx = 4 x − x3  = .
3 0 3

0
Logo, x =
∫ xdA =
A
2
2
3
3
1  3
x(4 − x 2 )dx =  2 x 2 − x4  = .
∫
16 0
16 
4 0 4
Analogamente, usando um retângulo horizontal, temos y =
∫ xdA =
A
4
3
y 4 − ydy.
16 ∫0
Para calcular essa integral, fazemos a substituição u = 4 - y.
Assim, y = 4 - u e dy = -du e os novos limites de integração serão 4 e 0:
4
y=
4
4
4
3
3
3
3 8
2
3  64 64  8

y 4 − ydy = ∫ u1 2 (4 − u)(−du) = ∫ (4u1 2 − u 3 2 )du =  u 3 2 − u5 2  =  −  = .
∫
16 0
16 0
16 0
16  3
3
 0 16  3 5  5
 3 8
Portanto, o centróide é o ponto  ,  .
 4 5
Dois belos teoremas geométricos relacionando centróides com sólidos e superfícies
de revolução foram descobertos no século quatro antes de Cristo, por Pappus de
Alexandria, o último dos grandes matemáticos gregos. Neste trabalho utilizaremos apenas
um deles que passamos a descrever.
Primeiro Teorema de Pappus: Considere uma região plana que está inteiramente de um
lado de uma reta do plano. Se essa região é girada ao redor da reta que desempenha a
função de eixo, então o volume do sólido gerado dessa maneira é igual ao produto da área
da região pela distância percorrida pelo centróide ao redor do eixo[3].
Voltemos nossa atenção agora para outro matemático grego, Arquimedes (287 a.C.
- 212 a.C.), este, além de matemático era inventor. Nasceu na cidade-estado grega de
Siracusa, na ilha da Sicília e foi o mais importante matemático da Antiguidade.
Em Física, no seu Tratado dos Corpos Flutuantes, estabeleceu as leis fundamentais da
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371
estática e da hidrostática. Um dos princípios fundamentais da hidrostática é assim
enunciado: "todo corpo mergulhado total ou parcialmente em um fluido sofre uma
impulsão vertical, dirigido de baixo para cima, igual ao peso do volume do fluido
deslocado, e aplicado no centro de impulsão." O centro de impulsão é o centro de
gravidade do volume que corresponde à porção submersa do corpo. Isto quer dizer que,
para o objeto flutuar, o peso da água deslocada pelo objeto tem de ser maior que o próprio
peso do objeto. Conta-se que certa vez, Hierão, rei de Siracusa, no século III a.C. havia
encomendado uma coroa de ouro, para homenagear uma divindade que supostamente o
protegera em suas conquistas, mas foi levantada a acusação de que o ourives o enganara,
misturando o ouro maciço com prata em sua confecção. Para descobrir, sem danificar o
objeto, se o seu interior continha uma parte feita de prata, Hierão pediu a ajuda de
Arquimedes. Este pôs-se a procurar a solução para o problema, a qual lhe ocorreu durante
um banho. A lenda afirma que Arquimedes (Figura 9) teria notado que uma quantidade de
água correspondente ao seu próprio volume transbordava da banheira quando ele entrava
nela e que, utilizando um método semelhante, poderia comparar o volume da coroa com
os volumes de iguais pesos de prata e ouro: bastava colocá-los em um recipiente cheio de
água, e medir a quantidade de líquido derramado. Feliz com essa fantástica descoberta,
Arquimedes teria saído à rua nu, gritando Eureka! Eureka! (Encontrei! Encontrei!).
Figura 9 - Arquimedes.
Outro matemático importante foi Pappus de Alexandria (Figura 10) e foi conhecido
por seu trabalho Synagoga ou Coleção. Ele foi um egípcio helenizado nascido em
Alexandria, Egito. Entretanto, muito pouco se conhece sobre sua vida e os escritos
gravados sugerem que ele era professor.
372
FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007
Figura 10 - Pappus de Alexandria.
Vejamos agora algumas definições que serão necessárias para o cálculo do volume de
um sólido de revolução.
1) ∆ = {x 0 ,..., x n } é uma partição do intervalo fechado [a, b], com pontilhame nto ξ = {ξ 1 ,..., ξ n },
se a = x 0 < x 1 < ... < x n -1 = b e x i -1 ≤ ξ i ≤ x i , 1 ≤ i ≤ n.
2) A norma de uma partição ∆ = {x 0 , x 1 ,..., x n }, de [a, b], é dada por :
∆ = max{∆x i },1 ≤ i ≤ n onde ∆x i = x i − x i -1
3) Seja f : [a, b] → R contínua
O sólido
de revolução
e tal que f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b].
obtido pela rotação em torno do eixo, da região
pela curva y = f(x), o eixo e as retas x = a e x = b, possui volume
n
2
b
2
dado por V = lim ∑ π ( f ( ξ i )) ∆ x i = π ∫a [ f(x)] dx. Veja Figura 11.
∆ → 0 i =1
limitada
Figura 11 - Sólido obtido por rotação de uma curva.
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373
Exemplos
2
 3
4
x4
1) y = x → V = π ∫  x 2  dx = π ∫ x 3 dx = π
0
4
0

3
2
4
4
= 64π
0
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Figura 12 - Gráfico da função y = x1.5.
2) x + y = a → y =
2
2
a −x
2
2
a

4π a 3
x3 
 =
→ V = 2 ∫ π a − x dx = 2π  a 2 x −
3 0
3

0
a
2
(
2
2
)
Figura 13 - Uso da integração para o cálculo do volume de uma esfera [3].
Metodologia
A aproximação do volume de uma maçã será feita utilizando-se conceitos de cálculo
diferencial e integral, conhecimentos de geometria espacial e um teorema, conhecido como
teorema de Pappus.
É importante também ressaltar que a maioria dos problemas levantados neste processo
de modelagem diz respeito à geometria do objeto em estudo, no caso a maçã. Este destaque
para a parte visual é importante, visto que assim se consegue uma melhor compreensão do
que está acontecendo além de aguçar a imaginação geométrica.
Para modelar o processo de resfriamento da maçã serão utilizadas equações de
diferenças [1].
Os modelos matemáticos utilizados para o cálculo do volume de uma maçã estão
colocados em uma seqüência que obedece a um nível gradativo de dificuldade e
complexidade conceitual.
No entanto, isto não significa necessariamente que o resultado obtido para a
374
FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007
aproximação do volume da maçã seja tão mais preciso quanto maior for a complexidade do
modelo.
Desenvolvimento
Existem vários métodos matemáticos para calcular o volume de uma maçã. Logo,
escolhemos os seguintes métodos para este cálculo: teorema de Pappus, fórmula do volume da
esfera, fatiando uma maçã e usando integração. Este estudo foi realizado baseado em um
modelo apresentado em [1].
1. Problema: Como calcular o volume de uma maçã?
Teorema de
Pappus!
Volume
da esfera!
Fatiando a
maçã!
Integração!
Figura 14 - Etapas de uma modelagem [1].
1º Método: Utilizando a fórmula do volume da esfera
Envolvendo a maçã com um barbante (Figura 15) obtemos uma circunferência cujo
comprimento é de 26.2cm. Sabendo que o comprimento de uma circunfência é dado pela
fórmula 2π R temos que R = 4.1698cm.
4
→ Volume da esfera: V = π r 3 .
3
FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007
375
Figura 15 - Medindo a circunferência da maçã com um barbante [1].
Aplicando a fórmula do volume de uma esfera obtemos um valor "aproximado"
superior ao volume da maçã:
Vmax = 4 × 3.1416 × (4.1698)3 3 = 303.6934 cm3 .
Cortando-se a maçã ao meio (no sentido longitudinal), mede-se o raio r do círculo
inscrito na face plana da maçã: r = 2.95cm, e obtém-se um valor mínimo para o volume da
maçã:
Vmin = 4 × 3.1416 × (2.95) 3 / 3 = 107.5364cm 3
Calculando a média, entre o volume máximo e este mínimo, segue que:
Vmaça ≈ (303.6934 + 107.5364) 2 = 205.6149 cm3
.
2º Método: Utilizando o teorema de Pappus
Pelo teorema de Pappus temos que o volume do sólido de revolução é igual ao produto
da área da região Ω pela distância d percorrida pelo centróide ao redor do eixo.
Como d = 2 π h e sendo A a área da região Ω temos que V = 2 π hA.
A Figura 16 mostra uma meia fatia de maçã e h é determinado experimentalmente
medindo a distância entre o eixo da maçã (a partir do centróide) até a borda e considerando a
metade deste comprimento.
Determinamos geometricamente a área A através de um papel milimetrado:
A = 22.875 cm 2 e h = 2.1 cm ⇒ V = 2π hA = 301.8292 cm3 .
Figura 16 - Volume da maçã pelo Teorema de Pappus [1].
376
FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007
3º Método: Fatiando a maçã
(i) Retângulos internos (Figura 17).
21
V = ∑ π∆(ri ) 2 = 235.5cm 3
i =1
Usamos ∆ = 0.2cm e
4.2
= 21 fatias cilíndricas.
0.2
Figura 17 - Fatiando a maçã [1].
(ii) Retângulos externos (Figura 18).
21
V = ∑ π∆(ri ) 2 = 247.06cm 3
i =1
3
Volume total ≈ (235.5 + 247.06)/2 = 241.28 cm .
Figura 18 - Fatiando a maçã [1].
4º Método: Usando integração
(i) Aproximando a configuração do corte central da maçã por uma circunferência
(Figura 19).
O volume de cada fatia é dado por
Vi = π y 2 ∆x .
FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007
377
Volume total:
4.1
4.1
V = 2
∫πy
0
2
 x3

dx = 2π  −
+ 16.81x  ⇒ V = 288.6963 cm3
 3
0
Figura 19 - Usando integração para calcular o volume da maçã [1].
(ii) Aproximando por uma parábola y = ax2 + bx + c (Figura 20).
Os pontos dados da curva são: P1 = ( 4.1, 0 ) , P2 = ( 0, 2.7 ) e P3 = (1,3.2 ) .
Desta maneira, como P2 = (0, 2.7) temos que y = ax2 + bx + 2.7 e P1 e P3 nos fornecem
o sistema:
16.81 a + 4.1b = −2.7

a + b = 0.5
Resolvendo o sistema temos que a = -0.3737 e b = 0.8737 e, portanto,
y = −0.3737 x 2 + 0.8737 x + 2.7.
Figura 20 - Aproximando o formato da maçã por uma parábola [1].
Usando integral, pode-se determinar o volume do sólido de revolução da parábola
(“aproximadamente” metade do volume da maçã). Assim,
Vmaça =2 π
4.1
∫ (−0.3737 x
0
2
+ 0.8737 x + 2.7) 2 dx = 169.2408 cm3 .
378
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Conclusão Parcial
Cabe ressaltar que neste caso específico, de calcular volume de uma maçã, um
processo mecânico seria o mais indicado para a avaliação, tanto em termos de simplicidade
como de precisão.
Este processo, devido a Arquimedes, é o seguinte: Mergulha-se a maçã num recipiente
cheio de água e o volume do líquido deslocado é igual ao volume da maçã.
Com a utilização deste experimento, o volume encontrado para a maçã foi de 310 cm3 .
2. Um Exemplo de Modelo Variacional
Para se fazer a formalização de um modelo variacional o conteúdo matemático que é
utilizado baseia-se nas equações diferenciais ordinárias e equações de diferenças.
Processo de resfriamento da Maçã
Para que a maçã possa ser estocada ela deve primeiramente ser submetida a um processo de
resfriamento, o qual é feito com a utilização de um tanque de resfriamento. A Figura 21
mostra os elementos que compõem o sistema de resfriamento com água.
Figura 21- Tanque de refrigeração [5].
O processo de resfriamento é uma das mais importantes etapas pós colheita que
consiste na remoção rápida de calor do campo dos frutos antes do armazenamento ou
comercialização. A maioria das câmaras de armazenagem não possui suficiente capacidade de
refrigeração e nem o movimento de ar com velocidade suficiente para efetuar um resfriamento
rápido dos produtos recém armazenados. Desta forma, este pré-resfriamento, geralmente, é
uma operação separada e que necessita de equipamentos de maior capacidade de refrigeração.
A Tabela 1 relaciona as condições para o armazenamento refrigerado de alguns tipos de maçãs.
FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007
Cultivares
Gala e mutações
Fuji
Golden Delicious
Belgolden
Braeburn
Temperatura
(°C)
0
-1 a 0
0
0
0
Umidade Relativa
(%)
94-96
92-96
94-96
94-96
92-96
379
Período de
armazenamento
4-5 meses
6-7 meses
5-6 meses
5-6 meses
6-7 meses
Tabela 1
O Brasil, apesar de ser um país tropical, dispõe de poucos resfriadores comerciais.
Além disso, pela falta de conhecimento dos produtores, o armazenamento ainda é feito
de forma bastante precária e o pré-resfriamento dos frutos geralmente não é efetuado. Este
fato, juntamente com a entrada de novas cargas ainda não resfriadas na unidade de
armazenamento, faz com que o processo de resfriamento na câmara seja muito demorado e
irregular, principalmente em função da oscilação de temperatura.
Antes da maçã entrar na câmara fria, que está à uma temperatura média de 1.5°C, o
fruto recebe um banho num tanque à uma temperatura de -3°C. A passagem pelo tanque é
feita sobre uma esteira circulante e dura cerca de 25 minutos.
O objetivo deste banho é fazer com que a temperatura da maçã alcance cerca de 6°C.
Na saída do tanque, a temperatura da maçã é avaliada (por amostragem) e, caso não tenha
atingido o valor ideal para estocagem, o lote de maçã deve passar novamente pelo tanque.
Este processo de retorno ao tanque, além de atrasar a estocagem, ocupa uma maior mão-deobra e por conseguinte acarreta prejuízos ao agricultor. Este transtorno ocorre porque a
temperatura do meio ambiente é variável e a velocidade da esteira é constante (a máquina é
construída para atender à termperatura ambiente de, no máximo, 26°C).
Em um primeiro momento, temos o seguinte problema:
“Se a maçã entra no tanque a uma temperatura T0 (temperatura inicial), quantos
minutos deve permanecer neste banho para sair com uma temperatura de 7°C?”
Para se tratar desta questão, usa-se a lei de resfriamento de Newton. Esta supõe que a
variação da temperatura é proporcional à diferença de temperatura do objeto e do ambiente
(em condições ideais).
O Modelo Matemático que traduz a lei de resfriamento de Newton pode ser dado por
uma equação de dierença, da seguinte maneira [1]:
Tt + 1 − Tt = K ( Tt − T a )
(1)
onde:
• Tt : temperatura da maçã no instante t;
• T0 : temperatura inicial (quando entra no tanque);
• Ta : temperatura ambiente (do tanque) igual a -3°C;
• K = coeficiente de resfriamento da maçã.
Solução: A equação (1) pode ser reescrita por
Tt + 1 = ( K + 1)Tt − K Ta
(2)
que é uma fórmula de recorrência para qualquer valor Tt, uma vez que Ta = -3 e T0 é dado. A
solução de (2) pode ser obtida usando-se o processo de recorrência:
380
FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007
T1 = aT 0 + b
( tomando a = K + 1 e b = − K Ta )
T2 = aT1 + b = a 2T0 + ab + b
T3 = aT 2 + b = a 3T0 + a 2 b + ab + b
#
(3)
Tn = a nT0 + b ( a n − 1 + a n − 2 + " + a + 1)
O termo entre parêntesis de (3) é a soma de uma progressão geométrica de razão
a > 1, então, como a soma dos termos de uma P.G. de razao a > 1 é dada por
(a
S n = s1
n
− 1) (a − 1), onde s1 é o primeiro termo da P.G., segue imediatamente que:
Tn = a n T0 + b(a n − 10) (a −1) , ou
(4)
Tn = a (T0 + b (a − 1) − b (a − 1) )
(5)
Se considerarmos que a temperatura média inicial da maçã é 25°C e que, depois de
passar pela esteira durante 25 minutos, sua temperatura é T25 = 6.5°C, podemos calcular o
valor de K= a + 1.
De (5), podemos escrever
n
Tn = ( K + 1) n (T0 − Ta ) + Ta
(6)
Logo,
6.5 = (k + 1) 25 28 − 3 ⇒ (k + 1) 25 =
1
9.5
 9.5 
⇒ 25 ln (k + 1) = ln
⇒
28
 28 
1
 9.5  25
 9.5  25
⇒ ln (k + 1) = ln
 ⇒ k +1 = 
 ⇒ k = -0.0423
 28 
 28 
Considerando a solução (6), pode-se escrevê-la como:
Tt = (0.95768)t ⋅ (T0 − Ta ) + Ta
com T0 e Ta dados.
(7)
FAMAT em Revista - Número 09 - Outubro de 2007
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Figura 22 - Temperatura da Maçã no Tanque x Tempo.
Observando o gráfico da Figura 22 que relaciona a temperatura da maçã no tanque
com o tempo em que esta permanece imersa, verifica-se que quanto maior o tempo (em
minutos) que a maçã fica no banho menor é a temperatura (em °C), como desejado.
Para se encontrar o tempo que a maçã deve permanecer no tanque de resfriamento
em função da temperatura final Ttf (depois de passar pelo tanque), usa-se a equação (7) e
obtém-se:
Tt − Ta
 Tt − Ta 
(0.95768)t = f
(8)
⇒ t = −23.1259 ln  f
 T − T 
T0 − Ta
a
0


Se Ta = -3 e considerando-se fixa a temperatura Ttf = 6.5 no fim do banho, pode-se
colocar t em função de T0 (temperatura inicial da maçã).
A Tabela1, fornece os valores de t para Ttf = 6.5°C e Ttf = 7°C. O valor de t* é o
tempo ideal, superestimado para a maçã permanecer no tanque.
Da Tabela 1, observa-se que, se T0 ≤ 26°C , então 25 minutos no tanque é tempo
suficiente para se ter Ttf ≤ 7°C.
Se 26°C < T0 < 32°C, o banho deveria durar até 30 minutos; e se o dia estiver bem
quente onde 32°C ≤ T0 ≤ 38°C, então o tempo necessário para a maçã atingir
a temperatura de 7°C chega a ser 33 minutos.
382
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Tf = 6.5ºC
T0
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
ln(9.5/(T0+3))
-0,83975
-0,8842
-0,92676
-0,99675
-1,006804
-1,44545
-1,08091
-1,09199
-1,149905
-1,1826954
-1,2144441
-1,2452157
-1,2750687
-1,3040562
-1,3322271
-1,3596261
-1,3862943
-1,412227
-1,437588
-1,4622803
Tf = 7ºC
tc
19,42
20,45
21,43
22,37
23,28
24,15
25
25,8
26,59
27,35
28,08
28,8
29,49
30,16
30,81
31,44
32,06
32,62
33,25
33,8
t
19'25''
20'27''
21'26''
22'32''
23'17''
24'15''
25'
25'48''
26'36''
27'31''
28'5''
28'48''
29'29''
30'10''
30'49''
31'26''
32'4''
32'37''
33'15''
33'48''
ln(10/(T0+3))
-0,78845
-0,83291
-0,87547
-0,91629
-0,9555
-0,99325
-1,03
-1,0647
-1,09812
-1,1314
-1,1632
-1,19392
-1,22378
-1,25276
-1,28093
-1,30833
-1,335
-1,36098
-1,3863
-1,41098
tc
18,23
19,26
20,25
21,2
22,1
22,97
23,8
24,6
25,4
26,17
27
27,6
28,3
29
29,62
30,25
30,87
31,5
32
32,63
t
18'14''
29'15''
20'15''
21'12''
22'6''
22'58''
23'48''
24'36
25'24''
26'10''
27'
27'3''
28'18''
29'
29'37''
30'15''
30'52''
31'3''
32'
32'37''
t*
19'
20'
21'
22'
23'
23'
24'
25'
26'
27'
28'
28'
29'
30'
31'
31'
32'
32'
33'
33'
Tempo necessário para atingir Ttf
Tabela 2 - Temperatura inicial x Tempo necessário para atingir Ttf.
Temperatura inicial
Figura 22 - Temperatura inicial x Tempo necessário para atingir Ttf.
Analisando o gráfico da Figura 22 se verifica que quanto maior for a temperatura
inicial da maçã maior é o tempo necessário para que ela alcance tanto a temperatura final
6.5°C quanto 7°C. E ainda quanto menor a temperatura final maior deve ser o tempo de
duração no banho.
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Conclusão
Durante o processo de desenvolvimento do trabalho verificamos a importância de
entender conceitos matemáticos para aplicá-los de uma maneira adequada e correta nas
situações problemas que foram encontradas durante o percurso de modelagem de tais
situações.
Além disso, é conveniente mencionar que foi necessário fazer um embasamento
histórico para as questões abordadas aqui, com o objetivo de proporcionar ao leitor uma
melhor compreensão dos fatos e da metodologia utilizada.
Finalmente, cabe ressaltar que todo processo de modelagem teve como suporte um
conteúdo matemático, para que assim os modelos pudessem ser executados. Este processo
também contou com o auxílio de conceitos específicos sobre o assunto tratado.
Comparando os seguintes métodos: Teorema de Pappus, fatiando uma maçã, volume da
esfera e integração com o princípio de Arquimedes observa-se que o 1º método teve uma
aproximação melhor enquanto que a aproximação por uma parábola foi o menos preciso. Em
termos operacionais o 2° método apresentou dificuldades de execução em relação aos
demais.
Durante o processo de estocagem da maçã é necessário o seu armazenamento a uma
temperatura de 6.5°C. Para tanto, utilizamos equações de diferenças para expressar
matematicamente a temperatura desta no tanque e com isto descobrir o tempo necessário no
banho. Assim, com os resultados obtidos o agricultor poderá reduzir seus gastos tanto com
mão de obra quanto em relação a atrasos na estocagem.
Bibliografia
[1] R.C.Bassanezi. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática. Editora
Contexto, 2004.
[2] Shenk, Al.. Cálculo e geometria analítica: volume 1. Editora Campus, 1991.
[3] Simmons, George F..Cálculo com geometria analítica : volume 1. Editora
McGraw-Hill, Ltda,1987.
[4] site http://pt.wikipedia.org/wiki/Ma%C3%A7%C3%A3
[5] site http://www.scielo.br/img/revistas/cta/v23n2/2a12f02.gif
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